5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque Aula 4
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Movimento Harmônico Simples: Exemplos (continuação)
O Pêndulo Físico
O chamado pêndulo físico é qualquer pêndulo real. Ele consiste de
um corpo rígido (com qualquer forma) suspenso por um ponto O e
que pode girar livremente (sem atrito) em torno desse ponto.
Antes de estudarmos o pêndulo físico, é conveniente voltarmos ao
pêndulo simples e analisa-lo usando o conceito de torque.
Consideremos o diagrama de forças para o pêndulo simples e o
sistema de coordenadas (r, θ, z) definido na figura abaixo, cujos
versores são ( r̂ , , k̂ ).
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O torque em relação ao ponto de rotação (ponto pivô) O é dado por, !τO =!rO ,m ×m
!g . (1)
Escrevendo os vetores !rO ,m e m
!g em termos de suas componentes
no sistema ( r̂ , , k̂ ): !rO ,m = ℓr̂ (2)
e
m!g =mg cosθr̂ −mg sinθθ̂ . (3)
Substituindo (2) e (3) em (1): !τO = ℓr̂×mg cosθr̂ − sinθθ̂( ) ,
ou !τO = ℓmg r̂× cosθr̂ − sinθθ̂( )⎡
⎣⎤⎦ .
Usando a tabela abaixo (tente obter os valores da tabela usando a
regra do “determinante” para calcular o produto vetorial):
r̂× r̂ = 0; r̂×θ̂ = k̂; r̂× k̂ = −θ̂θ̂ × r̂ = −k̂; θ̂ ×θ̂ = 0; θ̂ × k̂ = r̂k̂ × r̂ = θ̂; k̂ ×θ̂ = −r̂; k̂ × k̂ = 0
,
obtemos: !τO = −ℓmg sinθk̂ . (4)
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O torque em relação ao pivô O tem componente apenas na direção z.
Quando θ > 0, o torque em relação a O aponta no sentido negativo
de z; quando θ < 0, o torque em relação a O aponta no sentido
positivo de z.
O momento de inércia do corpo pontual de massa m em relação ao
eixo que passa pelo pivô O é definido por (lembre de Física I):
IO =mℓ2 . (5)
Como o corpo de massa m está girando em torno de O, a sua
equação de movimento é:
τO = IOα , (6)
onde α = dω dt = d 2θ dt2 é a aceleração angular do corpo.
Podemos reescrever (6) usando (4), (5) e a definição de α:
−mgℓsinθ =mℓ2 d2θdt2 ,
ou
d 2θdt2
= −gℓsinθ . (7)
Esta é a equação de movimento para o pêndulo simples obtida na
aula passada (equação (4)).
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Portanto, o tratamento baseado no torque e na equação de
movimento rotacional é equivalente ao feito anteriormente, baseado
na segunda lei de Newton1.
Vamos agora aplicar a abordagem baseada no torque e na lei
rotacional de movimento ao caso do pêndulo físico.
A figura abaixo ilustra um pêndulo físico.
O centro de gravidade (CG) do corpo está situado a uma distância s
de O. Na posição de equilíbrio, quando o pêndulo está na vertical, o
ponto CG está localizado abaixo de O ao longo da linha vertical.
1 Tinha que ser, pois a equação de movimento rotacional é obtida a partir da segunda lei de Newton.
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Quando o corpo oscila, seu deslocamento em relação à vertical é
descrito pelo ângulo θ como indicado no desenho.
Vamos supor que a massa total do corpo é m e que o seu momento
de inércia em relação ao eixo que passa por O é I.
Quando o corpo está na posição indicada pelo desenho, o seu peso
provoca um torque restaurador em relação a O dado por
)sen( θτ mgs−= . (8)
O sinal negativo decorre do fato de que a direção positiva é a que se
afasta da vertical.
Esta equação pode ser obtida pelo mesmo método usado na dedução
da equação (4) para o torque do pêndulo simples. Basta usar !rO ,m = sr̂ e m
!g =mg cosθr̂ −mg sinθθ̂ .
A equação de movimento para o corpo é
2
2
dtdII θ
ατ == ,
ou seja,
θθ sen2
2
mgsdtdI −= ,
que rearranjando nos dá
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0sen2
2
=+ θθ
Imgs
dtd
. (9)
Note que esta equação é idêntica à equação de movimento para um
pêndulo simples (equação (10) da aula passada ou equação (7) desta
aula) se fizermos o comprimento do pêndulo simples ser igual a
msIl = . (10)
Na realidade, o pêndulo simples é um caso particular do pêndulo
físico em que toda a massa m está concentrada a uma distância l de
O. Neste caso, a distância s entre o CG deste sistema e o ponto de
suspensão O é igual a l e o momento de inércia do sistema em
relação a O é I = ml2.
O ponto do corpo que está a uma distância l de O está indicado por
C na figura. Como visto acima, se toda a massa do corpo estivesse
concentrada em C e ele estivesse ligado a O por um fio sem massa
teríamos um pêndulo simples equivalente, do ponto de vista
dinâmico, ao pêndulo físico. O ponto C é denominado de centro de
oscilação do pêndulo físico.
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A observação de que um pêndulo físico com toda a sua massa m
concentrada no seu centro de oscilação é equivalente a um pêndulo
simples foi feita por Huygens em seu tratado sobre o relógio de
pêndulo (ver aula passada).
No caso de pequenas oscilações, a equação de movimento para o
pêndulo físico torna-se
02
2
=+ θθ
Imgs
dtd
. (11)
Esta é a equação de um MHS com
Imgs
=ω . (12)
A frequência das oscilações é
Imgsf
π21
= (13)
e o período é
mgsIT π2= . (14)
Compare estas equações com as equações (7), (8) e (9) da Aula 3
para o pêndulo simples.
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A equação (14) nos sugere um método para determinar o momento
de inércia de um corpo de forma complicada. Vamos supor que seja
possível determinar o centro de gravidade do corpo, por exemplo,
por testes de equilíbrio. Conhecendo-se o CG do corpo, este é
colocado para fazer pequenas oscilações em torno de um eixo
passando por um ponto O.
Mede-se então o período T das oscilações de pequenas amplitudes e
a distância s entre o ponto O e o CG do corpo. Como também temos
a massa m do corpo, a única variável desconhecida em (14) é o
momento de inércia I em relação a O. O valor de I, portanto, pode
ser determinado por substituição direta dos valores das demais
variáveis em (14).
Líquido em Um Tubo em Forma de U
Um sistema físico com comportamento oscilatório similar ao de um
pêndulo é um líquido no interior de um tubo em forma de U. Seja
um líquido de densidade ρ no interior de um tubo em forma de U
como na figura abaixo.
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A seção reta do tubo é A e o comprimento total da coluna de líquido
é l. Portanto, a massa total de líquido é m = ρAl.
No equilíbrio, o nível do líquido é o mesmo nos dois lados do tubo,
que tomado como a altura de referência y = 0 (veja a figura acima).
Vamos considerar que a energia potencial do sistema é nula no
equilíbrio: U = 0 quando o nível do líquido é y = 0.
Vamos supor que a coluna de líquido é posta para oscilar no interior
do tubo. Vamos assumir que cada pedaço do líquido se move com a
mesma velocidade v = dy/dt.
Uma situação como a da figura, em que a altura do nível de líquido
baixa de y no lado esquerdo e aumenta de y no lado direito,
corresponde a uma situação imaginária em que um bloco de líquido
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de massa ρAy é levantado por uma altura y do lado esquerdo e
transportado rigidamente para o lado direito, sendo colocado sobre a
coluna neste lado. Como isto resulta na elevação de um bloco de
líquido de massa ρAy por uma altura y, a energia potencial do
sistema aumenta para 2.)( AgygyAyyU ρρ == .
Tomando a situação da figura como a do instante inicial, a coluna
líquida passa, a partir daí, a oscilar em torno da posição de equilíbrio
com velocidade v = dy/dt. A energia cinética da coluna é então 2
21
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=dtdyAlK ρ .
Desprezando forças dissipativas, a energia mecânica total do líquido
se conserva. Ela é,
22
21 Agy
dtdyAlE ρρ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= . (8)
Comparando esta expressão com a da energia do pêndulo simples na
aproximação de pequenas oscilações,
( )222
21
21
θωθ lmdtldmE +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ,
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vemos que elas são idênticas fazendo-se
2
21
ωρ mAg =
e
.mAl =ρ
Combinando estas duas equações, temos que
lg22 =ω . (9)
As oscilações de um líquido em um tubo em forma de U equivalem
às oscilações harmônicas de um pêndulo simples de comprimento
l/2. Este resultado foi deduzido pela primeira vez por Newton (1642-
1727) nos Principia.
Corpo Flutuando
Quando um corpo flutuando em um líquido é ligeiramente abaixado
ou levantado em relação à sua posição de equilíbrio, aparece uma
força restauradora igual ao aumento ou à diminuição do peso do
líquido deslocado pelo corpo (lei do empuxo de Arquimedes, que
será vista mais adiante neste curso). Por causa disso, o corpo passa a
oscilar em relação ao nível original.
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No caso em que a parte do corpo que oscila tem seção reta
constante, como na figura abaixo, as oscilações constituem um
MHS.
A figura mostra um densímetro afundado por uma altura y em
relação à sua posição de equilíbrio.
Vamos supor que a massa do densímetro é m, que a densidade do
líquido no qual ele está imerso é ρ e que a seção reta da parte do
densímetro que oscila é A.
Desta forma, quando o densímetro está afundado por y, o volume de
líquido deslocado é Ay e o seu peso é ρgAy. O densímetro sofre uma
força para cima (contrária ao seu deslocamento) dada por −ρgAy.
Uma situação análoga ocorre quando o densímetro está acima do
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líquido por uma altura y em relação à linha de flutuação de
equilíbrio.
A equação de movimento para o densímetro de massa m é então
gAydtydm ρ−=2
2
ou
02
2
=+ ymgA
dtyd ρ
. (10)
A solução desta equação é um MHS com
mgAρ
ω = , (11)
mgAf ρ
π21
= (12)
e
gAmTρ
π2= . (13)
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