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É um movimento em que um corpo: - percorre repetidamente a mesma trajetória - Passa pela mesma posição, com a mesma velocidade e a mesma aceleração, ao fim de um intervalo de tempo igual a um período T

Movimento Oscilatório ou

vibratório

Movimento periódico em que a trajetória é percorrida em ambos os sentidos, em torno de uma posição de equilíbrio

- Movimentos Periódicos

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- Movimento Harmónico Simples - MHS

Movimento ligado a uma mola numa superfície plana e horizontal de atrito desprezável - oscilador

Quando a mola não está pressionada o corpo encontra-se na posição de equilíbrio

x = 0

- Movimento Harmónico Simples - MHS

Quando distendemos a mola, esta tende a regressar à sua posição de equilíbrio

x >0

A mola exerce uma força , uma força elástica

F

- É uma força restauradora - atua no sentido negativo F<0 F

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- Movimento Harmónico Simples - MHS

Quando comprimimos a mola, esta tende a regressar à sua posição de equilíbrio

x <0

A mola exerce uma força , uma força elástica

F

- É uma força restauradora - atua no sentido positivo F>0 F

- Movimento Harmónico Simples – MHS – LEI DE HOOKE

O valor da força elástica é diretamente proporcional e de sinal contrário à elongação

F = -kx

F – valor da força elástica x – elongação k – constante de elasticidade (Nm-1) – é uma característica

da mola

Aplicando a 2ª Lei de Newton:

F = -kx F= ma

xm

ka =

A aceleração do MHS não é constante: – é proporcional e de sentido contrário à elongação do oscilador

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- Movimento Harmónico Simples - MHS

F – máx; a = máx;

F = 0; a = 0;

F – máx; a = máx;

F = 0; a = 0;

F – máx; a = máx;

- Movimento Harmónico Simples - MHS

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- Equação do movimento - MHS

MHS como projeção do movimento circular

Coordenada da posição x corresponde à projeção segundo o eixo xx, quando o ângulo descrito é ωt

x = Rsen ωt x (t)= A sen ωt

- Equação do movimento - MHS

MHS como projeção do movimento circular

Coordenada da posição x corresponde à projeção OP segundo o eixo xx, quando o ângulo descrito é ωt mais o ângulo φ no ponto inicial P0

x (t)= A sen (ωt+φ)

Equação do movimento harmónico simples

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- Características de um oscilador harmónico simples

- Período – T - frequência – f - elongação – x - amplitude – A - fase inicial – φ -Fase do movimento - ωt+φ -frequência angular -

fπω

πω

2=

Τ

2=

- Velocidade e Aceleração do MHS

Movimento retilíneo – aplicando a lei dos movimentos

td

rdv

=td

vda

=

dt

dxvv x ==

dt

dvaa x ==

x(t) = A sen (ωt+φ)

v(t) = A ω cos (ωt+φ)

a(t) = -A ω2 sen (ωt+φ)

a(t) = - ω2x A aceleração é proporcional à elongação mas de sentido contrário

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- Velocidade e Aceleração do MHS

-Há um desfasamento de ¼ de T entre a elongação e a velocidade - há um desfasamento de ½ de T entre a elongação e a aceleração

x = ± A v = 0 ; a = ± ω2x

x = 0 v = ± A ω ; a = 0

A elongação e a aceleração encontram-se em oposição de fase

- Velocidade e Aceleração do MHS

- Frequência Angular

F = ma F = -Kx m

tkxta

)(=)( -

)(=)( txωta 2-

m

kω =

A frequência angular depende apenas da constante de elasticidade e da massa do oscilador, tal como

m

k

πf

2

1=

k

mπT 2=

Não depende da amplitude do movimento

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- Exercício

Um oscilador harmónico é constituído por uma massa de 5,0 g ligada a uma mola elástica. No instante t = 0, encontra-se 4,0 cm da oposição de equilíbrio com uma velocidade v0

= 87 cms-1. Sabendo que a frequência do movimento é de 2,o Hz, determine: a) A fase inicial e a amplitude do movimento b) A elongação e o valor da velocidade no instante t = 0,5 s c) O valor máximo da velocidade e da aceleração do oscilador d) A constante elástica da mola e) A intensidade da força elástica máxima f) A elongação do oscilador quando se move com uma velocidade de 60 cm s-1

- Regras de derivação

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- Energia de um Oscilador Harmónico Simples

Movimento de um corpo ligado a uma mola elástica

No movimento oscilatório há transformação da Ep elástica em Ec e vice-versa

Em =constante oscilador atinge posições extremas Força elástica é uma força conservativa

- Energia Potencial Elástica

Ep gravítica Peso – força conservativa

Ep elática F elástica– força conservativa

pgravPEW Δ= -

pelástelastFEW Δ= -

Considerar movimento da mola desde posição equilíbrio até a um ponto – distensão ou compressão

elastFW Área do Gráfico

2

2

1= KxW

elastF- 0<

elastFW

pelástelastFEW Δ= - 2

2

1= KxE

elastP

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- Energia Potencial Elástica

0>elastF

W

2

2

1= KxE

elastP

Quando regressa à posição de equilíbrio

2

2

1= KxW

elastF

Só depende da elongação e da constante de elasticidade da mola

x (t)= A sen (ωt+φ)

m

kω =

22

2

1= xωmE

elastP

EP elást é tanto maior quanto maior for a elongação Nas posições extremas é máxima Na posição de equilíbrio é nula

- Energia Potencial Elástica

22

2

1= AωmE

elastP

EP elást é tanto maior quanto maior for a elongação Nas posições extremas é máxima Na posição de equilíbrio é nula

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- Energia Cinética

2

2

1= mvEc

v(t) = A ω cos (ωt+φ)

m

kω =

Na posição de equilíbrio

Vmax=ωA

22

2

1=

maxωmAEc

)+(cos2

1= 22 tωkAEc

φ

- Energia Mecânica

elastpcm EEE +=

m

kω =

2

2

1= kAEm

22

2

1= ωmAEm

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- Exercício

Um corpo de massa 500 g está ligado a uma mola cuja constante de elasticidade é k = 18 Nm-1 . O sistema executa um MHS de amplitude A = 50 mm e fase inicia φ = π/2. Considerar o atrito desprezável. a) Determinar a frequência angular de oscilação b) Deduzir uma expressão para a velocidade de elongação e, usando essa expressão,

calcular o módulo da velocidade em x= 30 mm c) Estabelecer uma expressão que permita calcular a elongação do coro, relativamente

à posição de equilíbrio em função da velocidade. Com essa expressão determinar a elongação.

d) Calcular a energia mecânica do oscilador e) Escrever a expressão da energia potencial elástica e da energia cinética em função do tempo e verificar a conservação da energia mecânica

- Pendulo gravítico

TPFR

+= ttR PF

= TPF nnR

+=

θmgsenPt -=Pt tem sentido oposto ao do deslocamento – orientada para a posição e equilíbrio

É uma força restauradora – responsável pela variação da velocidade dt

dsv =

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- Pendulo gravítico

Para pequenas oscilações θ < 30º

sen θ Arco s x

θmgPt -= Com θ = x/l Em radianos

l

xmgPt -= x= kPt -

A componente tangencial o peso é uma força restauradora pois satisfaz a Lei de Hooke

k

mπT 2= como

l

mgK =

g

lπT 2=

O período e oscilação de um pêndulo gravítico depende apenas do comprimento e da aceleração da gravidade

- Oscilações Amortecidas

Oscilador Real - devido a forças dissipativas Em do sistema diminui ao longo do tempo

A diminui ao longo do tempo

Se fornecermos energia ao oscilador real, passa a oscilar com A constante

Oscilações Forçadas