Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Metodo de Gauss-Jordan e Sistemas Homogeneos
Marcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2017.1
14 de agosto de 2017
1 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Sumario
1 Metodo de Gauss-Jordan
2 Sistemas Homogeneos
2 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Sumario
1 Metodo de Gauss-Jordan
2 Sistemas Homogeneos
3 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Considere o sistema
S
x + 2y − 3z = −7
2x − 3y + z = 73x + y + 2z = 6
Vimos que uma solucao para S e x = 1, y = −1 e z = 2 ou,equivalentemente,
S ′
x = 1
y = −1z = 2
isto e, um sistema cuja matriz ampliada e
[E ′ | ∆] =
1 0 0 | 10 1 0 | −10 0 1 | 2
Vejamos que [E ′ | ∆] e uma forma escalonada para o sistemaoriginal S .
4 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Uma Forma Escalonada para o sistema original S e
[E | b′] =
1 2 −3 | −70 1 −1 | −30 0 1 | 2
O pivot da segunda linha aparece indicado abaixo. Parazerarmos os demais coeficientes desta coluna, devemosrealizar as operacoes elementares como se segue:1 2 −3 | −7
0 1 −1 | −30 0 1 | 2
← L1 − 2L2
Passando ao terceiro pivot, temos:1 0 −1 | −10 1 −1 | −3
0 0 1 | 2
← L1 + L3
← L2 + L3
5 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Daı, obtemos
[EA | ∆] =
1 0 0 | 10 1 0 | −10 0 1 | 2
onde ∆ e precisamente a solucao do sistema original S .
A matriz [EA | ∆] e chamada Forma Escalonada Reduzidado sistema S .
6 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
[A|b] [E |b′] [EA|∆]
Matriz Aumentada Forma Escalonada F. E. Reduzida
Substituicao Reversa ∆ = solucao
E.G. G-J
7 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Exemplo: Determinar a solucao do sistema abaixo usando oMetodo de Gauss-Jordan
S
3x + 4y + 2z + w = 24x + y − z + 2w = 12x + 2y + z + w = 2x + 4y + 2z + w = 2
Resposta...
(0,−1, 2, 2).
8 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Exemplo: Considere o sistema cuja matriz aumentada e
[A | b] =
2 3 4 0 | −21 0 −2 1 | 34 2 1 −1 | 2
e encontre sua solucao pelo Metodo de Gauss-Jordan.
Resposta...(5
11+ α,
8
11− 2α,−14
11+ α, α
)onde α ∈ R.
9 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Exemplo: Encontre a solucao para o sistema abaixo usando oMetodo de Gauss-Jordan
S
3x + 2y + z + w + t = 2−2x + 2y + z + 3w + 2t = 4−x + y + z + 2w + 2t = 1
Resposta...(2α + β − 2
5,−3α + β + 13
5,−α− 2β − 2, α, β
)com
α, β ∈ R
10 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
No exemplo anterior, encontramos a seguinte solucao:
α
(2
5,−3
5,−1, 1, 0
)+ β
(1
5,
1
5,−2, 0, 1
)+
(−2
5,
13
5,−2, 0, 0
)ou, ainda, escrevendo as listas em forma de coluna,
X = α
2
5
−3
5
−1
1
0
+ β
1
5
1
5
−2
0
1
+
−2
5
13
5
−2
0
0
e a solucao geral do sistema.
11 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Sumario
1 Metodo de Gauss-Jordan
2 Sistemas Homogeneos
12 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Quando os termos independentes das equacoes de um sistemalinear sao todos nulos, diremos que o sistema e homogeneo.
A primeira coisa a observar a respeito desses sistemas e quesao sempre possıveis.
De fato, se toda equacao do sistema e da forma
ai1x1 + ai2x2 + ...+ aimxm = 0
entao a sequencia formada por m zeros (0, 0, ..., 0) satisfaz aigualdade acima. Tal sequencia, portanto, sera solucao dosistema, mas podem existir (infinitas) outras.
13 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Considere o sistema homogeneo3x + 2y − z = 04x − 3y + 2z = 05x + 5y − 3z = 0
Sua Forma Escalonada Reduzida e:
[EA | ∆] =
1 0 0 | 00 1 0 | 00 0 1 | 0
e portanto sua unica solucao e X = (0, 0, 0).
Importante
Quando um sistema homogeneo tem apenas uma solucao, a saber,a sequencia formada apenas por zeros, diremos que o sistemapossui solucao trivial.
14 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Agora, considere o sistema nao homogeneo
S
2x + 3y − 4z + w = 4x − 2y + z − w = 7−x + y − z + 5w = 15
Sua Forma Escalonada Reduzida e
[EA | ∆] =
1 0 0 −23
6| −13
|0 1 0 −4 | −22
|0 0 1 −31
6| −24
e sua solucao geral:
X =
(23α
6− 13, 4α− 22,
31α
6− 24, α
)ou X = α
( 23
6 )4
( 316 )1
+
−13−22−24
0
15 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Agora, vamos considerar a versao homogenea deste sistema:
S ′
2x + 3y − 4z + w = 0x − 2y + z − w = 0−x + y − z + 5w = 0
Sua Forma Escalonada Reduzida e
[EA | ∆′] =
1 0 0 −23
6| 0
|0 1 0 −4 | 0
|0 0 1 −31
6| 0
que resulta na solucao geral
X ′ =
(23α
6, 4α,
31α
6, α
)ou X ′ = α
( 23
6 )4
( 316 )1
16 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Comparando
Matriz Ampliada:
[A | b] e [A | 0]
Forma Escalonada Reduzida:
[EA | ∆] e [EA | 0]
Solucao:
X = α
( 23
6 )4
( 316 )1
+
−13−22−24
0
e X ′ = α
( 23
6 )4
( 316 )1
17 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
Teorema
Seja S um sistema nao homogeneo cuja solucao geral e
X = α1h1 + α2h2 + ...+ αrhr + p
entao, a solucao do sistema homogeneo associado e
X ′ = α1h1 + α2h2 + ...+ αrhr
18 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
ExemploA matriz ampliada de um sistema nao homogeneo S e:
[A | b] =
4 2 1 2 3 2 | 19 5 3 2 1 1 | −15 2 5 2 2 5 | 3
Forma Escalonada Reduzida
[EA | ∆] =
1 0 0 ( 83 ) ( 17
3 ) ( 359 ) | ( 10
3 )0 1 0 −4 −9 (− 20
3 ) | −60 0 1 (− 2
3 ) (− 53 ) (− 2
9 ) | −( 13 )
Solucao geral:
X = α.
(− 8
3 )4
( 23 )100
+ β.
(− 17
3 )9
( 53 )010
+ θ.
(− 35
9 )( 20
3 )( 2
9 )001
+
( 10
3 )−6
(− 13 )
000
19 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
ExemploA matriz ampliada do sistema homogeneo associado:
[A | b] =
4 2 1 2 3 2 | 09 5 3 2 1 1 | 05 2 5 2 2 5 | 0
Forma Escalonada Reduzida
[EA | 0] =
1 0 0 ( 83 ) ( 17
3 ) ( 359 ) | 0
0 1 0 −4 −9 (− 203 ) | 0
0 0 1 (− 23 ) (− 5
3 ) (− 29 ) | 0
Solucao geral:
X = α.
(− 8
3 )4
( 23 )100
+ β.
(− 17
3 )9
( 53 )010
+ θ.
(− 35
9 )( 20
3 )( 2
9 )001
20 / 21
Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos
ExemploEncontre a solucao do sistema abaixo e do sistema homogeneoassociado.
S
x + 2y − 3z = 4
2x − y + 5z = 74x + 3y − z = 14
S e impossıvel.
Mas...
[EA | 0] =
1 0 ( 75 ) | 0
0 1 (−115 ) | 0
0 0 0 | 0
X ′ =
(−7α
5,
11α
5, 0, α
)para α ∈ R
21 / 21
Top Related