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Gilberto Antonio de Oliveira
Nmeros Irracionais e Transcendentes
So Jos do Rio Preto
2015
Gilberto Antonio de Oliveira
Nmeros Irracionais e Transcendentes
Dissertao de Mestrado Profissional apresentada como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre, junto ao Programa de Ps-Graduao em Matemtica Profissional em Rede Nacional - PROFMAT, do Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas da Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, Campus de So Jos do Rio Preto.
Orientador: Prof. Dr. Joo Carlos Ferreira Costa
So Jos do Rio Preto
2015
Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE UNESP - Cmpus de So Jos do Rio Preto
Oliveira, Gilberto Antonio de.
Nmero Irracionais e transcendentes/ Gilberto Antonio de Oliveira So Jos do Rio Preto, 2015
84 f.: Il., tabs Orientador: Joo Carlos Ferreira Costa Dissertao (mestrado profissional) Universidade Estadual
Paulista Jlio de Mesquita Filho, Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas 1. Matemtica - Estudo e Ensino. 2. Aritmtica Estudo e Ensino.
3. Nmeros Irracionais. 4. Campos Algbricos. 5. Nmeros transcendentes. 6. Matemtica Metodologia. I. Costa, Joo Carlos Ferreira. II. Universidade Estadual Paulista "Jlio de Mesquita Filho". Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas. III.Ttulo.
CDU 511(07)
Gilberto Antonio de Oliveira
Nmeros Irracionais e Transcendentes
Dissertao de Mestrado Profissional apresentada como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre, junto ao Programa de Ps-Graduao em Matemtica Profissional em Rede Nacional - PROFMAT, do Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas da Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, Campus de So Jos do Rio Preto.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Joo Carlos Ferreira Costa UNESP So Jos do Rio Preto Orientador Profa. Dra. velin Meneguesso Barbaresco UNESP So Jos do Rio Preto Prof. Dr. Edivaldo Lopes dos Santos UFSCAR So Carlos
So Jos do Rio Preto
2015
Dedico este trabalho a meus familiares Ftima Aparecida de Oliveira, Tnia Cristina Oliveira, Antonio do Rosrio Oliveira, Raphael Afonso Oliveira de Jesus e Odette Marano Oliveira (em memria pelo amor, carinho, educao e orientao no decorrer de minha vida.
Ofereo aos meus pais e irmos de considerao, Neuza Florido
Mir, Nazir Mir e Nazir Mir Jr e Michel Mir por todo incentivo e apoio
durante toda a minha estada em So Jos do Rio Preto.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, sempre a Deus, que nos brindou com sade para a realizao
deste. Por sempre estar presente, iluminando o nosso caminho.
Aos meus familiares, que sempre estiveram presentes na minha vida,
educando, orientando, incentivando e torcendo pelo meu sucesso.
Aos meus familiares por considerao, pelo apoio e incentivo nos momentos
difceis e por toda torcida durante esse perodo.
Ao Prof. Dr. Joo Carlos Ferreira Costa, pela tranquilidade e pacincia e,
acima de tudo, competncia com que conduziu a orientao deste trabalho. Muito
obrigado por todas as excelentes sugestes e ensinamentos, sem os quais seria
impossvel a concluso deste trabalho.
Coordenao do PROFMAT e a todos os docentes do Departamento de
Matemtica envolvidos neste importante projeto. Sem essa iniciativa provavelmente
eu jamais seria incentivado a voltar aos estudos e me qualificar melhor como
profissional.
Aos colegas de curso, pela amizade, incentivo, exemplo e determinao.
Especialmente ao Michel Mir, pelo companheirismo nos incontveis sbados e
domingos de estudos e preparao para as avaliaes e qualificao. Agradeo
tambm as inmeras correes em meus inmeros erros de clculos.
Ao meu grande amigo Jos Augusto Coelho por todo o incentivo dado para
que eu voltasse aos estudos e por todo o interesse apresentado durante esse
perodo. Agradeo tambm as valiosas sugestes dadas durante o processo de
elaborao dessa dissertao.
A todos, que direta ou indiretamente, fizeram parte deste belssimo momento
de minha vida.
O nico lugar em que o sucesso aparece antes do trabalho no dicionrio. Albert Einstein
RESUMO
Nmeros irracionais e transcendentes intrigam matemticos desde os primrdios do
desenvolvimento matemtico. Demonstrar a irracionalidade ou transcendncia de
um nmero pode ser uma tarefa extremamente complicada e tcnica, mas carrega
consigo uma beleza mpar que fascina muitos matemticos.
No decorrer da histria, a demonstrao da irracionalidade ou transcendncia de
alguns nmeros ajudou, por exemplo, na soluo de importantes problemas
matemticos, alguns deles propostos desde a Grcia antiga.
Mas, apesar de todo o fascnio e importncia dessas classes de nmeros, eles
quase no so abordados durante os Ensinos Fundamental e Mdio. No entanto,
acreditamos que tais classes podem ser, mesmo que superficialmente, tratadas com
os alunos no sentido de despertar neles a curiosidade e o gosto pela matemtica.
Muitos conceitos (como o de infinito, cardinalidade, entre outros) e a prpria histria
podem ser usados neste intuito. Assim, a proposta de nosso trabalho , inicialmente,
mostrar a evoluo dos conjuntos numricos apresentando tambm fatos histricos
relacionados a alguns nmeros ou classes de nmeros. Na segunda parte do
trabalho, aprofundamos nosso estudo sobre nmeros algbricos e transcendentes.
Apresentamos na parte final uma prova da irracionalidade e transcendncia dos
nmeros e e .
Palavras-chave: Nmeros Irracionais. Nmeros Algbricos. Nmeros
Transcendentes.
ABSTRACT
Irrational and transcendental numbers intrigued mathematicians since the
beginning of mathematical development. Proving the irrationality or transcendence of
a number can be a subject very complicated, however this is a task which have been
fascinated many mathematicians.
In this work we present some historical information and properties of irrational,
algebraic and transcendental numbers. The main part of this work are the proofs of
irrationality and transcendence of the numbers e and . We have noticed these two
numbers are known by students in high school, but they are never shown as
transcendental numbers. We believe that it is possible to present the notion of
transcendental and algebraic numbers for the students, at least superficially. For
instance, it is possible to explore the notions of infinite, cardinality, among others and
also the rich history of these kind of numbers.
Key words: Irracional numbers. Algebraic numbers. Transcendental numbers.
SUMRIO
INTRODUO ................................................................................................................11
CAPTULO 1 NUMEROS E CONJUNTOS NUMRICOS...............................................14
1. A ideia de nmero ......................................................................................... 14
2. Conjuntos Numricos .................................................................................... 16
2.1 Nmeros Naturais..................................................................................... 16
2.2 Nmeros Inteiros ..................................................................................... 17
2.3 Nmeros Racionais.................................................................................. 19
2.4 Nmeros Irracionais ................................................................................ 20
2.5 Nmeros Reais......................................................................................... 21
2.6 Nmeros Complexos ............................................................................... 23
2.7 Conjuntos Numricos x Solues de Equaes ...................................... 24
CAPTULO 2 RESULTADOS PRELIMINARES............................................................. 25
CAPTULO 3 NMEROS IRRACIONAIS: UMA ABORDAGEM .................................. 32
1. Fraes Contnuas e Irracionalidade ............................................................. 32
2. Existem Muito Mais Nmeros Irracionais que Racionais ............................... 36
3. O Nmero 2 Irracional .............................................................................. 39 3.1 Usando Fraes Irredutveis .................................................................... 39
3.2 Usando o Princpio Fundamental da Aritmtica ...................................... 40
3.3 Usando Fraes Contnuas ..................................................................... 40
3.4 A Prova Geomtrica ................................................................................. 40
3.5 Usando Boa Ordenao .......................................................................... 42
CAPTULO 4 NMEROS ALGBRICOS E TRANSCENDENTES .............................. 43
1. Os Nmeros de Liouville ....................................................................... 45
2. Um Pouco de Histria ........................................................................... 49
3. Trs Problemas Insolveis ................................................................... 55
3.1 A Duplicao do Cubo .................................................................... 56
3.2 A Trisseco do ngulo .................................................................. 58
3.3 A Quadratura do Crculo ................................................................. 59
CAPTULO 5 IRRACIONALIDADE E TRASNCENDNCIA DOS NMEROS E e....61
1. A Irracionalidade do Nmero e ..............................................................61
2. A Irracionalidade do Nmero ..............................................................62
3. A Transcendncia do Nmero ............................................................65
4. A Transcendncia do Nmero e ............................................................70
CAPTULO 6 ATIVIDADE EM SALA DE AULA.............................................................73
CONCLUSO ................................................................................................................ 79
REFERNCIAS ............................................................................................................. 82
11
INTRODUO
O nmero a alma das coisas (Pitgoras, data desconhecida). A frase
anterior, proferida por um dos mais conhecidos matemticos de todos os tempos,
sintetiza de maneira brilhante uma importante rea do conhecimento matemtico: a
teoria dos nmeros. A matemtica conhecida como a cincia das formas e, claro,
dos nmeros. O desenvolvimento das teorias matemticas sempre esteve atrelado
ao desenvolvimento do conceito de nmero. Assim, no podemos menosprezar a
importncia desse conceito para a matemtica. Mas claro que tambm no se
pode afirmar que a matemtica trata apenas de nmeros, como muitos chegam a
pensar.
importante ressaltar que tal desenvolvimento mencionado ocorreu de forma
extremamente lenta e muitas vezes polmica. Foram milhares de anos para se
desenvolver ideias que muitas vezes so tratadas hoje como triviais, e existe um
grande perigo nisso, principalmente quando se trabalha com educao matemtica.
Muitas vezes podemos achar estranho que um aluno tenha dificuldades em entender
como funcionam as regras de sinais quando operamos com nmeros negativos, ou
ento, o que significa um nmero ser racional ou irracional, mas quando pensamos
dessa forma acabamos nos esquecendo do quo lento foi o desenvolvimento e
tambm a aceitao de determinadas propriedades e classes de nmeros. Devemos
sempre nos perguntar: ser que os grandes matemticos, das mais variadas
pocas, no tiveram dificuldades em aceitar e compreender as operaes com
determinados tipos de nmeros? Ser que no natural que nossos alunos tambm
apresentem algumas dificuldades com isso? Alguns conceitos que levaram milhares
de anos para serem desenvolvidos acabam sendo trabalhados em apenas alguns
meses em sala de aula e esse tempo muitas vezes no suficiente para que o aluno
compreenda alguns detalhes mais abstratos da teoria.
Dessa maneira, este trabalho tem por objetivo trazer algumas informaes
que podem ser de grande utilidade para alunos e tambm para profissionais que
lidam com a educao matemtica em nvel bsico. Tentamos trazer algumas
informaes interessantes a respeito das mais variadas classes numricas com
nfase especial a duas delas, que so pouco abordadas ao longo da educao
bsica: os nmeros irracionais e transcendentes. Nosso objetivo no , de maneira
12
alguma que provas como, por exemplo, da irracionalidade ou transcendncia dos
nmeros e e, sejam ensinadas aos alunos, mas julgamos ser til o conhecimento
dessas duas classes numricas, para fomentar o interesse e a curiosidade dos
alunos, o que pode levar a despertar talentos para a matemtica. Alis, dois dos
mais famosos nmeros que conhecemos, o e o e fazem parte dessas classes e,
no entanto, sabemos muito pouco sobre eles. Veremos aqui que alguns dos mais
famosos problemas da matemtica, como os trs grandes problemas da Grcia
Antiga, podem ser abordados com o intuito de se observar que a impossibilidade de
suas resolues pode ser verificada com o auxlio dos conceitos de nmeros
algbricos e transcendentes. Acreditamos que, conhecer estes problemas e o motivo
pelo qual eles no podem ser resolvidos podem enriquecer substancialmente uma
aula de geometria.
Ainda na geometria, muito se fala a respeito dos nmeros e 2 por exemplo, mas pouco contado a respeito de suas histrias. Este outro ponto
importante que gostaramos de abordar. Uma das partes do trabalho se ocupa da
demonstrao, de vrias maneiras diferentes, da irracionalidade do nmero 2 e algumas delas poderiam ser reproduzidas em sala de aula sem grandes
dificuldades. Saindo da geometria e indo para o estudo das funes, temos, no
estudo dos logaritmos, o importante logaritmo neperiano, ou logaritmo de base e.
Mas o que esse misterioso nmero e o que pode ser dito a respeito dele? Tambm
teremos uma parte do trabalho dedicada definio, histria e aplicaes (baseadas
em problemas da matemtica financeira que um assunto que geralmente cativa
os alunos do Ensino Bsico por suas aplicaes no cotidiano) desse nmero
importante, mas pouco conhecido dos alunos.
No Captulo 1, ser apresentado um breve histrico a respeito do
desenvolvimento da ideia de nmero, alm de informaes sobre os conjuntos
numricos, e algumas das motivaes histricas para que fosse desenvolvido seu
estudo. Neste captulo poderemos observar os principais objetivos dos nmeros em
geral: contagem, medio e resoluo de equaes.
O segundo captulo traz alguns pr-requisitos para a leitura do texto. O
Captulo 3 trabalhar com a ideia de irracionalidade, dando uma abordagem sobre
fraes contnuas. Todos os teoremas, princpios e proposies que sero utilizados
ao longo do trabalho foram compilados nesses dois captulos. Ainda no Captulo 3
13
ser feito um comentrio a respeito da cardinalidade do conjunto dos nmeros
irracionais e ser mostrado que os nmeros irracionais so em nmero muito maior
que os racionais e este fato pode servir de motivao para se estudar esse curioso
conjunto dos nmeros irracionais. O final do captulo ser dedicado s mais variadas
formas de se demonstrar a irracionalidade do nmero 2. As demonstraes da irracionalidade dos nmeros e e sero feitas em um captulo parte.
O quarto captulo trar algumas noes a respeito da transcendncia dos
nmeros reais, demonstrando que tais nmeros existem e apresentando alguns
exemplos de nmeros que so sempre transcendentes (os chamados nmeros de
Liouville). Uma importante parte do captulo ser dedicada aos nmeros e e,
ressaltando um pouco de suas interessantes histrias e mostrando um pouco de
suas aplicaes na geometria (no caso do ) e na matemtica financeira (no caso
do e). O final do captulo ser dedicado demonstrao da impossibilidade de se
resolver os trs problemas da Grcia Antiga, usando rgua e compasso: a
duplicao do cubo, a trisseco do ngulo e a quadratura do crculo. Todas as
demonstraes sero feitas usando-se propriedades de nmeros algbricos e
transcendentes. Apresentar a histria relacionada a estes trs problemas, bem como
dar aos alunos ideias do porqu esses problemas no podem ser resolvidos com
rgua e compasso, pode ser uma boa ferramenta para se trabalhar em sala de aula
com os alunos.
O quinto captulo o mais tcnico e trata das demonstraes da
irracionalidade e transcendncia dos nmeros e e. Tais demonstraes so
extremamente tcnicas e exigem um grau de conhecimento matemtico que vai
muito alm dos conceitos que so trabalhados durante o Ensino Bsico. No
esperamos que os profissionais de Educao Bsica faam essas demonstraes
para seus alunos, mas consideramos importante formalizar as provas de
irracionalidade e transcendncia desses dois nmeros. Este captulo dedicado
queles que tm interesse em aprofundar um pouco mais seus conhecimentos.
Afinal sempre importante dominarmos a fundo um assunto que desejamos lecionar
e, quanto mais conhecemos esse assunto, mais apaixonados ficamos com seu
fascnio.
O ltimo captulo trata de um relato sobre uma atividade em sala de aula.
14
CAPTULO 1
NMEROS E CONJUNTOS NUMRICOS
1. A IDEIA DE NMERO
Segundo Lima ([9] 2006, p.25) os nmeros so um dos dois objetos principais
de que se ocupa a matemtica, o outro o espao, junto com as figuras nele
contidas. A frase anterior nos d uma noo do quo importante a noo de
nmero para o desenvolvimento dos conceitos matemticos. Em primeira instncia
podemos dizer que nmeros so usados na matemtica com dois objetivos
principais: contagens e medidas. Quando trabalhamos com contagens, estamos
usando grandezas que so chamadas discretas e o o resultado um nmero inteiro.
Caso trabalhemos com uma medio, a grandeza chamada contnua e o nmero
chamado de nmero real.
Para entender melhor essas ideias e as diferenas que existem entre os
diferentes tipos de nmeros devemos ter condies de classificar e agrupar os
nmeros de acordo com caractersticas comuns a eles. Este tipo de classificao
pode ser obtido estudando-se os conjuntos numricos.
Deus fez os nmeros naturais, o resto criao do homem. Esta frase,
proferida por Leopold Kronecker, matemtico alemo que viveu entre 1823 e 1891,
tem a capacidade de sintetizar de maneira simples e objetiva a histria da apario
dos conjuntos numricos. Nmeros naturais vieram pela primitiva e simples
necessidade de organizao e contagem. Os outros tipos de nmeros surgiram da
necessidade de se resolver problemas do dia-a-dia. Alguns desses problemas
intrigaram matemticos por centenas ou at mesmo milhares de anos e outros
problemas parecem ainda no ter soluo. Entretanto, engana-se aquele que
imagina que nmeros esto apenas relacionados resoluo de problemas
cotidianos. Muitos nmeros esto associados a problemas algbricos. o caso, por
exemplo, da unidade imaginria i que uma soluo da equao x = -1.
Desde os primrdios do desenvolvimento da humanidade encontramos a noo
de nmero e de suas generalizaes. Muitas vezes o desenvolvimento do conceito
15
de nmero esteve diretamente ligado ao desenvolvimento da prpria humanidade.
Por exemplo, a noo do conceito de nmero permitiu aos homens primitivos
reconhecer que algo muda em um pequeno agrupamento de objetos (por exemplo,
seus animais, seus pertences, etc).
Devemos, entretanto, tomar certo cuidado para no confundir o sentido de
nmero, em sua significao primitiva e em seu papel intuitivo, com a capacidade de
contar. As quantidades esto nossa volta no dia-a-dia, mas a capacidade de
contar exige um fenmeno um pouco mais complexo .
Os estudos a respeito de povos primitivos das mais variadas civilizaes servem
para nos fornecer uma comprovao de que embora os nmeros estejam nossa
volta, a capacidade de contar ou de estabelecer relaes entre quantidades um
processo um pouco mais complexo. Alguns habitantes da selva e alguns indgenas
no possuem palavras numricas alm de um, dois e muitos e ainda assim, existe
uma grande dificuldade nesse caso de se estabelecer uma contagem com valores
maiores que dois. Podemos observar alguns resqucios dessa limitao com relao
contagem na prpria estrutura de muitas lnguas [2]. Por exemplo, a palavra
inglesa thrice ou a palavra latina ter, possuem dois sentidos, um deles significa trs
vezes e outro significa muitos. Outro exemplo que podemos citar uma evidente
conexo entre as palavras latinas tres (trs) e trans (mais alm); ou ento as
palavras francesas trois (trs) e trs (muito) .
Esses so alguns exemplos que procuram mostrar o quo lento foi o processo de
desenvolvimento do conceito de nmero e de suas aplicaes iniciais em processos
de contagem. Todavia, por meio de diversas circunstncias ao longo de nossa
histria, o homem aprendeu a completar aquela percepo limitada de nmero com
um artifcio que estava destinado a exercer influncia extraordinria em sua vida
futura. Esse artifcio a operao de contar, e a ele que devemos o progresso da
humanidade .
Como j fora mencionado, no devemos confundir o conceito de nmero com o
processo de contagem. Podemos ter nmeros sem contagem e contagem sem
nmeros. Por exemplo, se uma pessoa entra em uma sala de aula podemos
identificar dois conjuntos, o das carteiras que esto na sala e dos alunos que
16
assistiro a uma determinada aula. Sem efetuar nenhum tipo de contagem podemos
dizer com certeza se estes dois conjuntos possuem ou no a mesma quantidade de
elementos e, se possurem quantidades diferentes de elementos, podemos tambm
determinar facilmente qual dos conjuntos possui maior quantidade. Se todas as
carteiras estiverem ocupadas e no houver alunos em p, o nmero de carteiras e
alunos igual; se houverem carteiras vazias sem alunos em p, existem mais
carteiras que alunos e, finalmente, se todas as carteiras estiverem ocupadas e
existirem alunos em p, existem mais alunos que carteiras. Este procedimento
possvel graas correspondncia biunvoca, a qual faz corresponder a cada
elemento do primeiro conjunto um nico elemento do segundo. Uma prova deste tipo
de procedimento est na origem da palavra clculo. Tal palavra se origina da palavra
latina calculus, que significa pedra. A pedra era o objeto usado para se estabelecer
essa correspondncia biunvoca entre quantidades para saber se eram iguais ou
qual delas era maior.
Pode parecer, primeira vista, que o processo de correspondncia biunvoca
fornece apenas um meio de relacionar, por comparao, dois conjuntos distintos,
isto , dizer se os conjuntos possuem a mesma quantidade de elementos ou qual
deles possui a maior quantidade de elementos, sedo incapaz de criar o nmero no
sentido absoluto da palavra. Contudo, a transio do relativo ao absoluto no
difcil. O processo utilizado foi a criao de conjuntos modelos, tomados do mundo
que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possvel. A
avaliao de um dado conjunto fica reduzida seleo, entre os conjuntos modelos,
daquele que possa ser posto em correspondncia biunvoca com o conjunto dado.
2. CONJUNTOS NUMRICOS
2.1 NMEROS NATURAIS
Como j foi mencionado anteriormente, os nmeros naturais vieram pela
primitiva e simples necessidade de organizao e de contagem. Conforme a
humanidade evolua, as necessidades tambm evoluam, j que os sistemas sociais
tornavam-se cada vez mais complexos. Mas, com o progresso, tambm foi possvel
disponibilizar mais tempo para reflexes mais elaboradas. Isso ajudou a descrever o
17
conjunto dos nmeros naturais de forma concisa e precisa. Para isso vamos nos
valer dos axiomas de Peano, matemtico italiano dos sculos XIX e XX.
Denotaremos por N o conjunto cujos elementos so chamados de nmeros
naturais. A essncia da caracterizao de N reside na palavra sucessor.
Intuitivamente, quando n e n so nmeros naturais, dizer que n o sucessor de n
significa que n vem logo depois de n. Em outras palavras, no existem outros
nmeros naturais entre n e n.
Abaixo esto os axiomas de Peano, que so a base do estudo dos nmeros
naturais.
a) Todo nmero natural tem um nico sucessor.
b) Nmeros naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
c) Existe um nico nmero natural, chamado um e representado pelo smbolo 1,
que no sucessor de nenhum nmero natural.
d) Se m e n so nmeros naturais tais que o sucessor de m igual ao sucessor
de n temos que m = n.
e) Seja X um subconjunto de N. Se 1 e se, alm disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, ento X = N.
Podemos observar que o conjunto N uma sequncia de objetos abstratos, que
de maneira inicial parecem vazios de significado. No entanto, com esses axiomas
podemos utilizar smbolos para descrever o sucessor de 1 (denotado por 2); o
sucessor do sucessor de 1 (denotado por 3), e assim por diante. Em linguagem
moderna, representamos o conjunto N dos nmeros naturais por:
N = {1,2,3,...}
Observao: H uma razo histrica aqui para no iniciarmos o conjunto N
com o nmero zero, como fazem muitos textos matemticos.
2.2 NMEROS INTEIROS
Os nmeros naturais sempre estiveram nossa volta e sua aceitao sempre
ocorreu de maneira rpida, tanto pelos matemticos, quanto pela populao em
18
geral. Isso ocorre porque esses nmeros so bastante intuitivos. Entretanto, o
mesmo no pode ser dito com relao aos nmeros inteiros. A aceitao de
nmeros negativos ocorreu de forma muito lenta, mesmo entre os matemticos.
Acredita-se que a primeira apario dos nmeros negativos na histria da
matemtica tenha ocorrido na China Antiga, aproximadamente h 4000 anos. Os
chineses efetuavam seus clculos de uma maneira bem peculiar. Usavam dois
conjuntos de barras, uma vermelha e a outra preta. O conjunto de barras vermelhas
representava os nmeros negativos e o de barras pretas os positivos. . Tambm os matemticos indianos se depararam com
nmeros negativos, mas nesse caso tais nmeros apareceram quando eles
tentavam estabelecer um algoritmo para a resoluo de equaes quadrticas
. Muitos matemticos apresentaram grande
resistncia quando se deparavam com nmeros negativos. Era o caso de Diofanto
de Alexandria, matemtico grego do sculo III a.C. Diofanto operava de maneira
magistral com nmeros, mas quando se deparava com solues negativas em seus
problemas, as classificava como absurdas.
Toda essa resistncia fez com que os nmeros negativos levassem milhares
de anos para serem reconhecidos como nmeros, tendo aceitas suas operaes e
propriedades.
Com o Renascimento veio a expanso comercial e a circulao de dinheiro
aumentou, obrigando os comerciantes a utilizar smbolos para expressar situaes
de lucro e prejuzo, ou seja, precisavam representar nmeros positivos e negativos.
Dessa maneira os matemticos da poca desenvolveram tcnicas operatrias para
problemas que envolvessem nmeros negativos e positivos. Surgia ento um novo
conjunto numrico, representado pela letra Z (inicial da palavra Zahlen, que significa
nmero em alemo), sendo formado pelos nmeros positivos e seus opostos,
podendo ser escrito da seguinte forma:
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Tal conjunto recebeu o nome de conjunto dos nmeros inteiros.
19
2.3 NMEROS RACIONAS
Nmeros naturais surgiram da necessidade de contagem, nmeros inteiros da
necessidade de se operar com valores que eram negativos. J os nmeros racionais
esto associados a problemas de medidas.
Considere um segmento de reta AB que desejamos conhecer a medida. Para
que essa medida possa ser efetuada, devemos tomar um segmento padro que ser
denominado de segmento unitrio ou unidade de medida e o denotaremos por u. Por
definio devemos ter que a medida do segmento u sempre igual a 1. Tambm
estipularemos que segmentos congruentes tenham a mesma medida e que, se n 1
pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, ento a medida
de AB ser igual soma das medidas desses segmentos. No caso em que esses n
segmentos so congruentes ao segmento unitrio, podemos dizer que o segmento
unitrio cabe n vezes no segmento AB e a medida de AB, que ser representada por
m(AB) ser igual a n.1 (j que 1 a medida do segmento unitrio), ou seja, m(AB) =
n.
Uma situao que pode ocorrer a de o segmento u no caber um nmero
inteiro de vezes em AB. Nesse caso, a medida de AB no ser um nmero inteiro,
ou mais precisamente, um nmero natural. Para resolver este problema
necessrio utilizar um raciocnio um pouco mais elaborado.
Vamos agora tomar um segmento de reta t, que caiba n vezes no segmento
unitrio e m vezes em AB. Observe que a medida de t ser uma frao igual a 1/n
da medida de de u e, alm disso, sua medida ser m vezes 1/n, ou seja, a medida
de t ser igual a m/n. Surgem ento os nmeros racionais, que so os nmeros que
podem ser escritos na forma m/n, com m e n inteiros e n no nulo.
Na Grcia antiga, os nmeros da forma m/n no eram tratados como
nmeros, pois os gregos tinham dificuldades em admitir nmeros que no
pertencessem ao conjunto {2,3,4,5,...} (observe que nem mesmo o nmero 1 era
considerado como nmero, pois para os gregos ele era usado para representar um
segmento unitrio que era tomado como referncia em uma medida). Esses valores
eram tratados como uma razo entre as medidas de dois segmentos, e no como
nmeros propriamente ditos, mas o importante no era o nome que era dado aos
objetos que tinham a forma m/n, com m e n inteiros e n no nulo; o importante era
20
saber raciocinar com esses objetos e aplicar esses conceitos na resoluo de
problemas.
Alm de problemas de cunho geomtrico, os nmeros racionais esto
tambm ligados a problemas algbricos, como a soluo de equaes. medida
que temos uma evoluo das equaes algbricas, torna-se cada vez mais
importante saber em que conjuntos tais equaes fazem sentido ou possam ser
resolvidas. Isso ser visto na subseo 2.7.
O conjunto dos nmeros racionais denotado pela letra Q (do ingls quotient)
e definido da seguinte forma:
=
; , , 0.
2.4 NMEROS IRRACIONAIS
Assim como os nmeros racionais, os irracionais tambm esto relacionados
a problemas que envolvem medidas. Durante muito tempo se pensou que quaisquer
dois segmentos eram sempre comensurveis, isto , a razo entre suas medidas
sempre resultaria em uma frao com numerador e denominador inteiros. Ou seja, a
noo de comensurabilidades est relacionada ao conjunto Q. Esta crena pode ter
se originado da aritmtica, onde dois nmeros naturais sempre tm um divisor em
comum (o nmero 1). Entretanto, com segmentos de reta esses conceitos mudam
um pouco.
Essa crena de que dois segmentos de reta sempre fossem comensurveis
durou at cerca de quatro sculos antes de Cristo. Nessa poca, um dos discpulos
de Pitgoras fez uma observao que abalou toda a estrutura da matemtica grega.
Esse discpulo descobriu que as medidas do lado e da diagonal de um quadrado no
so segmentos comensurveis. Em linguagem moderna, tomando um quadrado de
lado unitrio, temos que sua medida ser igual a 2 e o nmero 2 no pode ser escrito na forma m/n, com m e n naturais (a prova deste fato ser apresentada
posteriormente). Observando-se a existncia de segmentos incomensurveis, pode-
se chegar concluso que os nmeros naturais mais as fraes obtidas a partir de
nmeros naturais (ou seja os nmeros racionais positivos) eram insuficientes para
medir todos os segmentos de reta.
21
A soluo encontrada e que, com certa relutncia foi finalmente adotada, foi a
de ampliar o conceito de nmero, e nesse momento foram introduzidos os
chamados nmeros irracionais. Com isso, fixando uma unidade de comprimento
arbitrria, qualquer que fosse o segmento de reta que tivssemos, poderamos
atribuir ao segmento uma medida numrica. No caso em que a medida do segmento
comensurvel com a unidade escolhida, sua medida um nmero racional (que
poder ser natural ou fracionrio) e no caso do comprimento do segmento ser
incomensurvel com a unidade estabelecida, sua medida um nmero irracional.
Nmeros irracionais tambm podem estar relacionados a problemas
algbricos, assim como os racionais, conforme veremos na subseo 2.7. Existem
muitos nmeros irracionais que possuem significativa importncia para a
matemtica. Ao longo deste trabalho citaremos alguns deles, contando um pouco de
suas histrias e aplicaes.
Geralmente denotaremos o conjunto dos nmeros irracionais por R Q.
2.5 NMEROS REAIS
Com o objetivo de ter uma ideia mais clara a respeito dos novos nmeros que
haviam surgido (os nmeros irracionais) e, principalmente, para situar esses
nmeros em relao aos racionais, podemos imaginar uma reta, na qual foi fixada
um ponto O, que ser chamado de origem, e um ponto arbitrrio X, direita de O e
diferente de O. Vamos tomar o segmento OX como o segmento unitrio, ou seja,
como unidade de comprimento. A reta OX receber o nome de reta real (Figura 1).
(Figura 1)
A origem O divide a reta real em duas semirretas: a que contm o ponto X a
semirreta chamada positiva, e a outra semirreta a negativa.
Considere agora um ponto P na reta real. Se o segmento OX couber um
nmero inteiro de vezes em OP diremos que a abscissa de P um nmero natural,
se P estiver direita de O, ou um nmero inteiro negativo caso P esteja esquerda
de O.
22
De maneira mais geral, se um ponto P pertencente reta real for tal que, o
segmento OP comensurvel com o segmento OX, diremos que a abscissa de P
representa um nmero racional, podendo ser positivo ou negativo conforme P esteja
direita ou esquerda do ponto O.
Por ltimo, se o ponto P for tal que o segmento OP incomensurvel com
OX, diremos que p a abscissa de P. O nmero p ser considerado positivo se P
estiver direita de O e considerado negativo se P estiver esquerda de O.
Observe que dado um ponto P sobre a reta real s existem duas
possibilidades para o segmento OP (ser comensurvel ou incomensurvel com o
segmento OX). Assim temos que todas as medidas possveis de segmentos so
dados por nmeros reais, o qual ser representado por R, como o conjunto cujos
elementos so nmeros racionais ou irracionais. Isto ,
= ( ). Existe uma correspondncia biunvoca entre a reta OX e o conjunto dos
nmeros reais. Em outras palavras, cada ponto da reta real est associado a um
nmero real e cada nmero real possui uma posio especfica na reta real. Dessa
maneira, o conjunto dos nmeros reais pode ser visto como o modelo aritmtico de
uma reta e a reta, pode ser vista como o modelo geomtrico dos nmeros reais.
Essa representao dos nmeros reais como abscissas de pontos de uma reta foi
de fundamental importncia para grandes avanos ocorridos na matemtica.
Podemos agora avanar no estudo dos nmeros reais e observar que, alm
de serem divididos em racionais e irracionais, os nmeros reais podem ser dados
pela unio de dois outros tipos de conjuntos: o conjunto dos nmeros algbricos e o
conjunto dos nmeros transcendentes. O estudo deste ltimo conjunto uma das
partes principais que se ocupar o presente trabalho.
Observao: Existe uma maneira formal de construir os nmeros reais por
meio dos cortes de Dedekind ou sequncias de Cauchy. Mais informaes a esse
respeito podem ser encontradas em [7], por exemplo.
23
2.6 NMEROS COMPLEXOS
De todos os conjuntos numricos, o conjunto dos nmeros complexos com
certeza, aquele que possui a denominao mais infeliz. Tal denominao
herdada de pocas em que a abstrao matemtica exigida para compreenso
desses nmeros era considerada muito elevada. Atualmente sabemos que o prprio
conceito de nmero real envolve uma elevada abstrao.
Os nmeros complexos, diferentemente dos demais nmeros, no esto
associados a processos de contagem ou medidas de segmentos, reas, volumes.
Tais nmeros esto relacionados com problemas algbricos, principalmente a
resoluo de equaes polinomiais. Um dos resultados mais importantes
relacionado aos nmeros complexos o Teorema Fundamental da lgebra,
demonstrado por Carl Friedrich Gauss, em 1799, o qual afirma que toda equao
polinomial tem soluo no conjunto dos nmeros complexos. Esse teorema teve
importantes conseqncias para a matemtica, a partir do sculo XIX. Alm disso,
os nmeros complexos ampliaram a noo que temos a respeito de nmeros, que
eram enxergados como pontos de uma reta e passaram a ser vistos como
coordenadas de vetores num plano ou identificados com pontos do plano cartesiano.
Sabemos que, em R, a equao x + 1 = 0 no admite soluo. Dessa
maneira, somos forados a definir um nmero n satisfazendo n = -1, que resolva a
equao.
Temos duas opes para definir tal nmero. Podemos postular a sua existncia ou
ento usamos um pouco de lgebra linear elementar e samos em busca de um ente
de natureza geomtrica que seja a soluo do nosso problema. Optaremos pela
segunda forma. Vamos olhar a equao x + 1 = 0 da seguinte forma: X + I = 0, ou
X.X = -I, onde X uma matriz quadrada de ordem 2 com coeficientes reais, I a
matriz identidade de ordem 2 e . a operao de multiplicao de matrizes. Sendo
X uma matriz quadrada de ordem 2, vamos definir =
. Assim nosso
problema se resume a resolver a equao
.
= 1 00 1.
.
= 1 00 1 + + + + = 1 00 1
Usando igualdade de matrizes chegamos ao seguinte sistema de equaes:
24
+ = 1 + = 0 + = 0
+ = 1 (1.1) Resolvendo o sistema (1.1) encontramos a soluo a = 0, b = -1, c = 1 e d = 0. A
soluo = 0 11 0 geometricamente representa a rotao de um ngulo igual a 2 radianos no plano R, no sentido anti-horrio.
A partir desta motivao definimos o conjunto dos nmeros complexos da
seguinte forma:
= { + ; , } onde a constante imaginria tal que = 1.
2.7 CONJUNTOS NUMRICOS X SOLUES DE EQUAES
A evoluo dos conjuntos numricos tambm pode ser pensada em termos
da resoluo de problemas que envolvem solues para equaes algbricas.
Por exemplo, para resolver a equao x 4 = 3 fcil ver que sua soluo
um nmero natural. J no caso da equao x + 4 = 3 no temos uma soluo
natural, apenas uma soluo inteira. Pensando agora na equao 2x + 3 = 4 no
encontramos uma soluo natural e nem uma soluo inteira. Sua soluo um
nmero racional. Vamos agora considerar as equaes x - 2 = 0 e x + 1 = 0. Para a
primeira equao temos que sua soluo no pode ser representada por um nmero
racional, apenas irracional e a ltima no apresenta nenhuma soluo real, apenas
complexa.
Podemos assim estabelecer uma relao entre o conceito de nmero e a
resoluo de equaes algbricas. Conforme as equaes exigiam solues mais
sofisticadas, os conjuntos numricos evoluam e iam se adaptando a essas
necessidades. Nosso objetivo nesse trabalho ser estudar duas classes especiais
de nmeros reais, que so pouco abordados durante o Ensino Bsico, que esto
relacionados a problemas geomtricos e tambm solues de equaes
algbricas: os nmeros irracionais e os nmeros transcendentes.
25
CAPTULO 2
RESULTADOS PRELIMINARES
Neste captulo apresentaremos alguns resultados que sero de fundamental
importncia para algumas demonstraes feitas ao longo deste trabalho.
Princpio da Boa Ordenao (PBO): Todo subconjunto no vazio S, dos nmeros naturais, possui um elemento mnimo, isto , existe 0 , tal que 0 , para todo . Demonstrao: Sem perda de generalidade, vamos supor que 1 S j que caso isso ocorresse, 1 seria o menor elemento de S. Dessa maneira, o menor elemento
de S, cuja existncia desejamos provar, ser da forma + 1. Devemos ento encontrar um nmero natural tal que + 1 S e, alm disso, todos os elementos de S devem ser maiores que , e assim maiores que 1,2,3, , . Ou seja, procuramos um nmero natural tal que In = {1,2,3, , n} N S e + 1 . Com esse objetivo vamos considerar o conjunto = { ; In N S}.
Dessa forma, X o conjunto dos nmeros naturais tais que todos os
elementos de X so maiores que . Estamos supondo que 1 S e com isso temos que 1 X. Em contrapartida, como S um conjunto no vazio, nem todos os nmeros naturais pertencem a X, ou seja, X N. Dessa forma deve existir algum X tal que + 1 X . Em outras palavras, todos os elementos de S so maiores que n, mas nem todos os elementos de S so maiores que + 1. Como no existem nmeros naturais entre e + 1, conclumos que + 1 e o menor elemento de S.
importante ressaltar que o Princpio da Boa Ordenao vlido
exclusivamente para nmeros naturais. Alm disso, vrios resultados podem ser
obtidos a partir desse princpio. Por exemplo, uma das formas de se mostrar a
irracionalidade de 2 se baseia no PBO, como veremos.
26
Princpio de Induo Finita (PIF): Seja P(n) uma propriedade relativa ao nmero natural n. Vamos supor que:
i) P(1) verdadeira.
ii) Para todo natural n, a validez de P(n) implica a validez de P(n+1).
Ento P(n) vlida, qualquer que seja o nmero natural n.
O PIF decore dos axiomas de Peano e serve para mostrarmos propriedades
que valem para todos os nmeros naturais, sem ter que testar a propriedade para
cada nmero natural, o que seria impossvel.
Exemplo 2.1: Vamos usar o princpio de Induo Finita para mostrar que a soma
dos quadrados dos nmeros naturais dada por: 1 + 2 + 3 + + = ( + 1)(2 + 1)6 1) De fato, primeiramente observe que a frmula vale para n = 1 pois: 1 = 1(1 + 1)(2.1 + 1)6 = 1 2) Suponha que a propriedade vale para certo nmero natural k, ou seja: 1 + 2 + 3 + + = ( + 1)(2 + 1)6 3) Vamos mostrar que a propriedade vale para = + 1. De fato: 12 + 22 + 32 + + 2 + ( + 1)2 = ( + 1)(2 + 1)6 + ( + 1)2= ( + 1)(2 + 1) + 6( + 1)6 = ( + 1). [(2 + 1) + 6 + 6]6= ( + 1). (22 + 7 + 6)6 = ( + 1). ( + 2). (2 + 3)6 Assim a propriedade vlida para = + 1. Por 1), 2) e 3) segue, do PIF, que a propriedade vlida para todos os
nmeros naturais.
Forma Alternativa do Princpio de Induo Finita: Seja P uma propriedade referente a nmeros naturais cumprindo as seguintes condies
1) O nmero natural x satisfaz a propriedade P;
27
2) Se um nmero natural n satisfaz a propriedade P ento seu sucessor n + 1
tambm satisfaz a propriedade P.
Ento todos os nmeros naturais maiores ou iguais a x satisfazem a propriedade
P.
Principio Fundamental da Teoria dos Nmeros: Dado , no existe tal
que < < + 1. Demonstrao: Vamos usar o PBO para mostrar esse resultado.
Primeiramente observe que como < < + 1, podemos escrever 0 < < 1. Dessa maneira, nosso objetivo mostrar que no existe um nmero natural
entre 0 e 1 (observe que, como < , temos que inteiro e positivo). Vamos supor o contrrio, ou seja, que existe um nmero natural entre 0 e 1.
Defina o conjunto = { ; 0 < < 1}. Como, por hiptese, existe um nmero natural entre 0 e 1, temos que no vazio. Dessa forma, pelo PBO, existe um
nmero 0 o qual mnimo. Com isso 0 < 0 < 1. Agora multiplicando essa desigualdade por 0 obtemos 0 < 02 < 0 < 1 (observe que como 0 < n0 < 1 temos 02 < 0) e dessa maneira 02 , mas isso contraria a minimalidade de 0. Dessa maneira no existe um nmero natural entre 0 e 1.
Teorema Fundamental da Aritmtica (TFA) Todo nmero natural maior que 1 pode ser escrito como produto de potncias de nmeros primos e, alm disso, essa
decomposio nica, a menos de uma reordenao.
Demonstrao: Usaremos a forma alternativa do PIF para fazer a demonstrao do
TFA.
Observe que se n = 2 temos que o nmero j est escrito na forma de
potncia de nmeros primos, j que 2 = 2.
Agora suponha que tal resultado vlido para todo nmero natural menor que
e vamos provar que o resultado vale para . No caso de o nmero n ser primo,
nada temos a demonstrar. Vamos ento supor que n seja composto. Dessa maneira,
existem nmero naturais 1 e 2 tais que = 12, com 1 < 1 < e 1 < 2 < . De acordo com a hiptese de induo, temos que existem nmeros primos p1, p2,..., pr,
q1, q2,..., qs e nmeros naturais 1, 2,..., r e 1, 2,..., s tais que n1 = p11 p22 prr e
28
n2 = q11 q22 qss . Com isso temos que = 11 22 11 22 , mostrando assim que n pode ser escrito como produto de potncias de nmeros primos.
Agora vamos mostrar a unicidade. Suponha que possamos escrever em
duas representaes do tipo = 11 22 = 11 22 onde os pi e os qj so nmeros primos, , so nmeros naturais, = 1,2, . . . , = 1,2, . . . , . Logo 1|q11 q22 qss . Da temos que 1 = para algum j. Como o produto no depende da ordem, podemos reordenar os fatores 1, 2, , . e supor que seja 1. Da segue tambm que 1 = 1, pois estamos em duas decomposies em nmeros primos.
Procedendo de maneira anloga para 22 = 22 conclumos tambm que = e = , = 2, , .
Como 22 = 22 < , a hiptese de induo acarreta que = e o resultado segue.
Os teoremas a seguir envolvem nmeros reais e complexos e so dados em
cursos universitrios de Clculo e Funes de Varivel Complexa.
Teorema de Rolle Seja : [, ] contnua tal que: i) diferencivel no intervalo aberto (a,b);
ii) () = () = . Ento existe um nmero c, no intervalo (a,b) tal que () = 0 (aqui ()
representa a derivada da funo avaliada em c).
Teorema do Valor Mdio Seja : [, ] contnua tal que diferencivel no intervalo (a,b). Ento existe um nmero c, no intervalo aberto (a,b) tal que
() = () ()
.
As demonstraes desses dois teoremas podem ser encontradas em [8].
No Captulo 5, para a demonstrao da transcendncia do nmero , ser
necessrio algum conhecimento a respeito de variveis complexas. Abaixo
apresentamos esses conceitos e, para no tornar o texto excessivamente longo
29
partiremos do pressuposto de que as propriedades elementares a respeito de
nmeros complexos so conhecidas.
Uma funo : tem derivada no ponto 0 se o limite abaixo existe: (0) = lim
0 () (0) 0 (0) chamada de derivada de em 0.
Definio 2.1: Se uma funo tiver derivada em todos os pontos de ento
dizemos que analtica em .
Alm disso, se () = (, ) + (, ) onde (, ) e (, ) so as partes real e imaginria de () e analtica em C ento vale que () = (, ) + (, ), (1) onde e representam a derivada com relao varivel x.
possvel mostrar tambm que
() = + . (2) Identificando (1) e (2) temos as chamadas equaes de Cauchy-Riemann.
No Clculo real de uma varivel, temos o famoso Teorema do Valor Mdio,
como j vimos. No entanto, para : analtica conseguimos apenas uma desigualdade do valor mdio como no teorema a seguir.
Teorema 2.1 Seja : uma funo analtica em e sejam 1 e 2 nmeros complexos quaisquer. Ento: |(2) (1)| 2|2 1| {| (1 + 2)|} 0 1. Aqui |z| representa o mdulo do nmero complexo = + , ou seja, || = + e sup o supremo.
Uma demonstrao desse teorema pode ser encontrada em [21].
No estudo dos nmeros algbricos e transcendentes necessitamos trabalhar
com polinmios. O Teorema Fundamental da lgebra nos diz que todo polinmio
admite razes complexas.
30
Teorema 2.2 (Teorema Fundamental da lgebra) Todo polinmio p(z) em , de
grau maior ou igual a 1, tem uma raiz em .
Podemos encontrar a demonstrao desse teorema em [21].
Na demonstrao da transcendncia do nmero ser usada a ideia de
relaes entre os coeficientes e as razes de um polinmio, que sero definidos e
exemplificados a seguir.
Definio 2.2 Se 1, 2, , so as razes de um polinmio (), ento esse polinmio da forma
() = ( 1)( 2) ( ) (2.1) (podemos supor sem perda de generalidade que o coeficiente lder de () 1). Se desenvolvermos o produto indicado em (2.1) obtemos: () = 11 + 22 33 + + (1) (2.2) onde
1 = =1 (2.3.1) 2 =
31
Definio 2.3 Um polinmio (1, , ) e dito simtrico quando podemos permutar as variveis 1, , entre si, sem que isso altere a sua expresso.
Exemplo 2.3 Um polinmio , nas variveis e dito simtrico quando (, ) =(, )
Teorema 2.3 Seja (1, , ) um polinmio simtrico de grau com coeficientes em . Ento, existe um polinmio (1, , ) de grau menor ou igual a , com coeficientes em , onde
1 = =1
2 =
32
CAPTULO 3
NMEROS IRRACIONAIS: UMA ABORDAGEM
1. FRAES CONTNUAS E IRRACIONALIDADE
Seja = 01 um nmero racional irredutvel, ou seja, (0, 1) = 1 e
suponha que 1 > 0. Utilizando o algoritmo da diviso de Euclides podemos obter as seguintes equaes:
0 = 10 + 2, 0 < 2 < 1 1 = 21 + 3, 0 < 3 < 2 2 = 32 + 4, 0 < 4 < 3
.
.
.
1 = 1 + +1, 0 < +1 < (3.1) Escrevendo = +1 para 0 , ento das equaes acima tiramos
= + 1+1 0 1 = aj (3.2) Quando i = 0 e i = 1, temos 0 = 0 + 11 e 1 = 1 + 12. Substituindo 0 = 0 + 11 temos:
0 = 0 + 11 + 12
Se continuarmos esse processo chegamos a:
0 = 01 = 0 + 11 + 1 + 1
Essa a expresso, em frao contnua de = 01. Assumimos, no incio, que
tem denominador positivo, mas essa suposio no pode ser feita sobre 0 e portanto 0 pode ser positivo, negativo ou zero. Entretanto, sendo 0 < 2 < 1 0
33
3 < 2 podemos observar que 0 < 3 < 1 e como 1 = 132 podemos dizer que 1 positivo bem como os outros termos 2, 3, .
De maneira geral, para quaisquer 0, 1, , onde 1, , so nmeros positivos e 0 pode ser positivo, negativo ou nulo, denotaremos:
0; 1, , = 0 + 11 + 1 + 1
Essa frao contnua ser chamada simples caso todos os sejam inteiros e
chamada finita se tiver uma quantidade limitada de termos.
Temos ainda a seguinte relao:
0; 1, , = 0 + 11;2,, . (3.3)
Exemplos 3.1: i) 3411 = 3 + 111 = 3; 11. ii) 635 = 12; 1,1,2.
A seguir apresentamos um importante teorema que relaciona os nmeros
racionais com as fraes contnuas:
Teorema 3.1 Qualquer frao contnua simples e finita representa um nmero racional. Reciprocamente, qualquer nmero racional pode ser expresso como uma
frao contnua simples e finita.
Demonstrao: Podemos provar a condio necessria usando induo finita sobre
a quantidade de termos que forma a frao contnua 0; 1, , onde . De fato, para o caso em que j = 0, temos 0 = 0 . Vamos supor agora que o resultado seja vlido para uma frao contnua com k termos em sua representao
decimal. Queremos provar que o resultado vlido para + 1 termos em sua representao.
De acordo com a igualdade (3.3) podemos garantir que 0; 1, , um nmero racional. Para isto basta observar que 0 um nmero inteiro e 1; 2, , um nmero racional. Assim o nmero 0 + 11;2,, = 0; 1, 2, , racional.
34
Para a demonstrao da recproca basta usar a construo das fraes
contnuas que foi feita no incio desta Seo. Vamos definir agora o que uma frao contnua simples e infinita.
Definio 3.1 A sequncia infinita de inteiros 0, 1, 2, , onde 1, 2, so nmeros positivos e 0 pode ser positivo, negativo ou nulo, determinam uma frao contnua simples e infinita 0; 1, 2, . O valor de 0; 1, 2, definido como lim
0; 1, 2, , .
A seguir apresentamos alguns resultados envolvendo fraes contnuas que
sero usados para demonstrar que toda frao contnua simples e infinita representa
um nmero irracional. A demonstrao desses fatos foi omitida, pois foge ao objetivo
deste trabalho. Uma referncia para estes resultados [13].
Dados 0, 1, uma sequncia infinita de inteiros, todos positivos, exceto possivelmente 0, definimos duas sequncias de inteiros e recursivamente do seguinte modo:
2 = 0, 1 = 1, = 1 + 2, 0; 2 = 1, 1 = 0, = 1 + 2, 0.
Proposio 3.1 Para qualquer nmero real , > 0 vale que: 0, 1, , 1, = 1 + 21 + 2.
Proposio 3.2 Se = 0; 1, 2, , para todo 0, ento = .
Proposio 3.3 As equaes
1 1 = (1)1 1 = (1)1 1 so vlidas para 1 e as identidades
2 2 = (1) 2 = (1)2
35
so vlidas para 2. Teorema 3.2 A sequncia definida na Proposio 3.2 satisfaz
0 < 2 < 4 < 6 < < 7 < 5 < 3 < 1.
O teorema a seguir relaciona fraes contnuas simples e infinitas e os
nmeros irracionais.
Teorema 3.3 O valor de qualquer frao contnua simples e infinita um nmero irracional.
Demonstrao: Seja = 0; 1, 2, . De acordo com a Definio 3.1 temos que: = lim
0; 1, 2, , .
Contudo, de acordo com o Teorema 3.2, < < +1. Assim 0 < | | < |+1 |. De acordo com a identidade 1 = (1)11 podemos escrever +1 = (1)
+1. E assim temos 0 < | | < 1 +1. Multiplicando a identidade acima por , obtemos, 0 < | | < 1+1 0 < | | < 1+1. Vamos supor agora que seja um nmero racional, ou seja, =
, com
, > 0. Ento, 0 < < 1+1. Multiplicando a identidade acima por b, obtemos, 0 < | | < +1. Como +1 quando , temos que existe um 0 natural e
suficientemente grande tal que < 0+1 e assim 0 < | | < 1. Entretanto, isso uma contradio, j que 0 0 um nmero inteiro.
Portanto, um nmero irracional.
36
2. EXISTEM MUITO MAIS NMEROS IRRACIONAIS QUE RACIONAIS
J vimos que podemos representar os nmeros reais por meio da reta real.
Nessa reta os inteiros so marcados facilmente usando-se a unidade como
referncia e marcando os nmeros como mltiplos dessa unidade. Os nmeros
racionais podem ser obtidos por meio de subdivises adequadas do segmento
unitrio. Imaginando os nmeros racionais sobre a reta podemos observar que
possvel obter racionais to perto um do outro quanto se queira. Para isto basta
tomar subdivises cada vez menores da unidade. Em outras palavras, podemos
dizer o conjunto dos nmeros racionais um conjunto denso espalhado por toda a
reta. Uma anlise menos cuidadosa nos levaria a acreditar que os nmeros
racionais teriam a capacidade de preencher toda a reta. Mas isto seria um absurdo
visto que j sabemos da existncia de nmeros irracionais. A questo que queremos
abordar no momento : existem mais nmeros racionais ou irracionais na reta?
George Cantor, matemtico russo dos sculos XIX e XX fez uma importante
descoberta a respeito da distribuio dos nmeros irracionais ao longo da reta real.
Cantor foi o primeiro matemtico a conseguir provar que existem conjuntos
infinitos com cardinais diferentes. De fato, Cantor mostrou que o conjunto dos
nmeros naturais e o dos reais eram ambos infinitos, mas possuam cardinais
diferentes.
Aqui necessitamos introduzir a noo de enumerabilidade.
Definio 3.2 Um conjunto A dito enumervel se seus elementos puderem ser
colocado em correspondncia biunvoca com os nmeros naturais. Mais
precisamente, A enumervel se existir uma funo bijetiva : .
Exemplos 1) O conjunto dos nmeros naturais enumervel.
2) O conjunto dos nmeros inteiros enumervel.
O teorema a seguir descreve algumas propriedades de conjuntos
enumerveis:
37
Teorema 3.4 i) A unio de um conjunto finito com um conjunto enumervel enumervel.
ii) A unio de dois conjuntos enumerveis enumervel.
iii) A unio de um conjunto finito de conjuntos enumerveis enumervel.
iv) A unio de um conjunto enumervel de conjuntos finitos enumervel.
v) A unio de um conjunto enumervel de conjuntos enumerveis enumervel.
Essas demonstraes podem ser encontradas em [5].
Observaes: 1) Se A enumervel e um conjunto infinito, ento
tambm enumervel.
2) fcil ver que e so enumerveis. O conjunto tambm
enumervel. Isso foi provado por Cantor.
Teorema 3.5 O conjunto R dos nmeros reais no enumervel.
Demonstrao: Vamos mostrar que o subconjunto [0,1) dos nmeros reais no enumervel. Em virtude da observao acima teremos que R ser no enumervel.
Dado [0,1), podemos escrev-lo da seguinte forma: 0, 1234. , (3.4) onde um dos algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Existem alguns nmeros que
possuem duas representaes da forma (3.4). Um exemplo o nmero 510 que pode ser representado por 0,5000000... ou 0,49999999...
Quando for este o caso sempre optaremos pela representao decimal que
termina. Em outras palavras, eliminaremos as decimais da forma (3.4) que a partir
de certa ordem os elementos so iguais a 9. Vamos supor que os nmero reais do
intervalo [0,1) formam um conjunto enumervel. 0, 111213 0, 212223 0, 313233 (3.5)
.
.
.
Agora construiremos o nmero:
38
0, 1234. da seguinte maneira: todos os so diferentes de 0 e de 9 e 1 11, 2 22 e assim por diante.
Dessa maneira temos que 0, 1234. 0, 123 para todo , j que . Com isso temos que 0, 1234. no est na lista (3.5) mas est no intervalo [0,1), o que um absurdo. Dessa maneira, os nmeros reais do intervalo [0,1) no formam um conjunto enumervel e, consequentemente, R no enumervel.
Vamos introduzir aqui a noo de cardinalidade.
A importncia dos nmeros naturais provm do fato de que eles constituem o
modelo matemtico que torna possvel o processo de contagem. Noutras palavras,
eles respondem perguntas do tipo Quantos elementos tm esse conjunto? [9].
Para contar os elementos de um conjunto necessrio usar a noo de
correspondncia biunvoca ou bijeo, como j dissemos no Captulo 1.
Uma funo : chama-se uma bijeo entre e quando ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.
Seja um conjunto. Diz-se que finito e que possui n elementos quando
se pode estabelecer uma correspondncia biunvoca : {1,2, , } . O nmero natural n chamado nmero cardinal de . Por ltimo, diz-se que infinito quando
ele no finito, ou seja, no existe correspondncia biunvoca : {1,2, , } . Neste caso, se infinito podemos usar a ideia de bijeo (correspondncia de um
para um) para definir a noo de cardinal de . Por exemplo, todos os conjuntos que
tenham uma correspondncia com so ditos ter a mesma cardinalidade de (so
chamados enumerveis).
Observaes: 1) A cardinalidade de N estritamente menor que a de R.
2) Observe que no enumervel, enquanto enumervel e = ( ). Dessa maneira, se fosse um conjunto enumervel, teramos que ( ) = seria enumervel, o que um absurdo e dessa forma temos que no enumervel. Sendo no enumervel temos que no finito e no possui o mesmo cardinal de . Isso indica que no podemos estabelecer uma
correspondncia biunvoca entre e . Disso conclumos que a cardinalidade
39
de (ou ento a de j que e possuem mesma cardinalidade) estritamente
menor que a de o que mostra que existem mais nmeros irracionais que racionais.
3. O NMERO IRRACIONAL
Dentre os nmeros irracionais, os nmeros , e e 2 so os que provavelmente possuem as histrias mais ricas. Uma parte deste trabalho ser
dedicada a tratar dos nmeros e e, mas no momento nos concentremos na
irracionalidade de 2. A definio do nmero 2 vem da geometria (a medida da hipotenusa de um
tringulo retngulo de catetos de comprimento igual a 1) e tambm da lgebra (um
nmero positivo x que satisfaz a equao 2 2 = 0). Uma das demonstraes mais conhecidas da irracionalidade de 2
atribuda a Hipassus de Metapontum (cerca de 500 a.C.), que pertencia escola
Pitagrica. Uma lenda interessante a respeito do surgimento do nmero 2 afirma que a demonstrao da irracionalidade do nmero custou a Hipassus a vida, pois os
pitagricos no admitiam a existncia de segmentos incomensurveis.
Abaixo apresentamos algumas demonstraes interessantes da
irracionalidade de 2.
3.1 USANDO FRAES IRREDUTVEIS
Vamos supor que 2 seja racional. Assim 2 = , com e inteiros e no
nulo. Vamos assumir, sem perda de generalidade, que uma frao irredutvel,
isto , (, ) = 1. Como 2 =
temos que 2 = 2
2 ou ento 2 = 22. Logo 2 par e isso implica que par, isto , = 2, para algum inteiro.
Dessa maneira 22 = (2)2 2 = 22.
40
Assim par e portanto b par. Mas isso contraria o fato de e serem
primos entre si.
3.2 USANDO O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA
Vamos supor que o nmero 2 seja racional, digamos . Dessa maneira
temos que 2 =
2 = 22 2 = 22. Observe que, se decompusermos o
nmero em fatores primos, teremos que todo fator primo desse nmero tem
expoente par e assim o expoente de 2 em 2 necessariamente mpar. Mas, se decompusermos o nmero em fatores primos teremos que
qualquer fator primo ter expoente par. Isso significa que o expoente de 2 na
decomposio de ser par.
Agora como = 2 conseguimos obter duas decomposies diferentes para um mesmo nmero e isso contraria a fatorao nica demonstrada pelo
Teorema Fundamental da Aritmtica.
3.3 USANDO FRAES CONTNUAS
Primeiramente devemos observar que o nmero = 1 + 2 uma raiz da equao = 2 + 1, ou seja, = 2 + 1. Como 0 vamos dividir os dois membros da igualdade anterior por , obtendo = 2 + 1
.
Agora = 2 + 1
= 2 + 12+1
= 2; 2,2,2, . Com isso temos que o nmero 1 = 2 = 1; 2,2,2, , o qual irracional,
pelo Teorema 3.3.
3.4 A PROVA GEOMTRICA
Para esta demonstrao faremos uso de uma importante ferramenta, que o
corao do mtodo da descida infinita de Fermat: no existe subsequncia
decrescente e infinita de nmeros naturais.
41
Vamos comear com um retngulo R1 com lados medindo 1 = 1 + 2 e 1 = 1. Observe que 1 > 2 e assim podemos subdividir R1 em dois quadrados de lado 1 e um retngulo R2 com lados medindo 2 = 1 e 2 = 2 1 (Figura 2).
Figura 2
Observe ainda que 11 = 22 = 2 + 1. Intuitivamente, vamos continuar
construindo retngulos , = 3,4,5, . . ., com lado maior (igual a 1) e lado menor (igual a 1 21).
Afirmao:
= 2 + 1, 1. A prova ser feita por induo sobre n. J vimos que para n = 1 e n = 2 a
frmula vale.
Supondo, por hiptese de induo, que 1 1 = 2 + 1, podemos escrever:
= 11 21 = 11
1 2 = 12 + 1 2 = 12 1 = 2 + 1, como queramos.
Dessa forma, a proporo entre os lados maior e menor desses retngulos
constante e com isso temos que existem infinitos retngulos Rn. Repare agora que a
sequncia ( ) decrescente e infinita. Tal fato segue da relao 1 < 2 + 1 = 1
1 > .
42
Vamos agora supor que 2 = , com a e b naturais. Definamos o retngulo
R1 com lados 1 = + e 1 = . Com isso 11 = + = + 1 = 2 + 1.
De modo anlogo ao argumento anterior, construmos infinitos retngulos Rn
com lados medindo . No entanto, a construo dos lados dos retngulos menores envolve apenas a subtrao a partir dos lados + e . Por esse motivo temos que um nmero inteiro para todo n. Na realidade vamos provar que
natural para todo n.
De fato como
= 2 + 1 > 0 para todo , ento sempre no nulo. Vamos supor por absurdo que < 0, para algum . Ento o PBO garante a existncia de um 0 mnimo com essa propriedade. Mas 0 0 > 0 e da 0 tambm negativo, derivando um absurdo com a minimalidade de 0 j que 01 = 0 < 0.
Em concluso, a sequncia ( ) de nmeros naturais infinita e estritamente decrescente o que um absurdo.
3.5 USANDO O PRINCPIO DA BOA ORDENAO
Vamos supor que 2 seja um nmero racional. Tomando esse fato como verdadeiro temos que o conjunto = { ; 2 } no vazio e com isso admite um elemento mnimo , de acordo com o PBO. Dessa maneira existe ,
tal que 2 = . Da, temos que: 2 = 2 2
2 1 = 2 1 = 2 .
Lembrando que 1 < 2 < 2, podemos escrever 0 < < e com isso conclumos que . Mas esse fato contraria a minimalidade de .
43
CAPTULO 4
NMEROS ALGBRICOS E TRANSCENDENTES
As definies de nmeros algbricos e transcendentes so feitas atravs de
conceitos algbricos, mas as aplicaes desses nmeros vo muito alm de
questes algbricas. Nmeros algbricos e transcendentes aparecem nas mais
variadas reas da matemtica, como geometria, anlise, matemtica financeira,
entre outros.
Definio 4.1 Um nmero real ser dito algbrico se existir um polinmio no
nulo, com coeficientes inteiros, tal que seja raiz desse polinmio.
Exemplos 4.1: 1) Todos os nmeros racionais so algbricos, pois todo
nmero racional da forma raiz da equao = 0, e inteiros e 0.
2) As razes ensimas de nmeros racionais tambm so nmeros algbricos.
De fato, se =
, temos que raiz da equao = 0, com e inteiros
e no nulo. 3) O nmero 2 algbrico, pois soluo da equao 2 2 = 0 .
A grande pergunta que fica : ser que as equaes algbricas com
coeficientes inteiros conseguem representar todos os nmeros reais? Em outras
palavras, todo nmero real soluo de uma equao algbrica com coeficientes
inteiros? A resposta no. Existem nmeros que no so solues de equaes
algbricas com coeficientes inteiros. Veremos isso mais adiante.
Abaixo esto relacionadas algumas propriedades dos nmeros algbricos.
(i) A soma de dois nmeros algbricos algbrico.
(ii) O produto de dois nmeros algbricos algbrico.
(iii) O simtrico de um nmero algbrico algbrico. (iv) O inverso 1 de um nmero algbrico ( 0) algbrico.
44
As demonstraes de tais propriedades podem ser encontradas em [5].
Definio 4.2 Todo nmero real que no for algbrico, ser dito transcendente.
A palavra transcendente associada a essa classe de nmeros serve para
indicar que esses nmeros transcendem s equaes algbricas. Em outras
palavras, nenhuma equao algbrica com coeficientes inteiros consegue alcanar
esses nmeros.
Como poder ser observado ao longo deste trabalho, mostrar que um nmero
transcendente algo difcil. Uma das dificuldades reside no fato de que esses
nmeros no so definidos a partir do que eles so e sim a partir do que eles no
so. No entanto, veremos que algumas classes de nmeros possuem a
caracterstica da transcendncia. O estudo dos nmeros transcendentes provm de
diversos problemas, alguns deles associados geometria (como a quadratura do
crculo); outros so de cunho terico e avanado, como as investigaes de Hermite
sobre a funo exponencial ou o stimo problema de Hilbert, de sua famosa lista de
23 problemas (muitos deles ainda sem soluo).
Dois dos nmeros transcendentes mais importantes da matemtica so o e
o e. Ao longo deste trabalho ser dada uma ateno especial a estes dois nmeros.
Alguns outros exemplos de nmeros transcendentes so: 22, 23. A teoria dos nmeros transcendentes foi originada por Joseph Liouville,
matemtico francs do sculo XIX o qual obteve, pela primeira vez uma classe de
nmeros que no satisfaziam a nenhuma equao algbrica de coeficientes inteiros.
No Captulo 3 foi mencionada a ideia de conjuntos enumerveis e no
enumerveis para mostrar que existiam mais nmeros irracionais que racionais.
Abaixo trabalhamos com essa ideia de maneira mais consistente, apresentando
algumas definies, propriedades e teoremas importantes.
Teorema 4.1 O conjunto de todos os nmeros algbricos enumervel. Demonstrao: Considere um polinmio de coeficientes inteiros
() = + 11 + + 1 + 0. (4.1) Vamos definir a sua altura como sendo o nmero natural
45
|| = | | + + |1| + |0| + . (4.2) O Teorema Fundamental da lgebra garante que () dado em (4.1), tem
exatamente razes complexas. Todas elas, algumas ou nenhuma delas podem ser
reais. Temos que o nmero de polinmios da forma (4.1) com uma dada altura
certamente um nmero finito. Sendo assim as razes de todos os polinmios de uma
dada altura formam um conjunto finito. Feito isso podemos observar que o conjunto
de todas as razes de todos os polinmios de todas as alturas formam um conjunto
enumervel. De acordo com o item iv) do Teorema 3.4 temos que a unio de um
conjunto enumervel de conjuntos finitos enumervel e com isso garantimos que o
conjuntos de todos os nmeros algbricos enumervel.
Teorema 4.2 O conjunto dos nmeros transcendentes no enumervel Demonstrao: De acordo com o Teorema 4.1 temos que o conjuntos dos nmeros
algbricos enumervel. Agora, de acordo com o Teorema 3.5 o conjunto R dos
nmeros reais no enumervel e com isso conclumos que o conjunto dos
nmeros transcendentes deve ser no enumervel uma vez que R se escreve como
a unio desses dois conjuntos.
1. OS NMEROS DE LIOUVILLE
O Teorema 4.2 nos garante a existncia de nmeros transcendentes. Tais
nmeros existem e em profuso, mas o teorema no nos d explicitamente nenhum
nmero transcendente. Foi o matemtico francs Joseph Liouville, em 1851, que nos
apresentou um critrio para que um nmero seja transcendente. Usando esse
critrio ser possvel escrever explicitamente alguns nmeros transcendentes.
Antes de apresentar tais nmeros necessitamos de algumas definies e
resultados importantes.
Definio 4.3 Diz-se que um nmero algbrico de grau se ele for raiz de uma
equao polinomial de grau com coeficientes inteiros, e se no existir uma
equao polinomial, de menor grau, da qual seja raiz.
46
Dessa maneira, os nmeros racionais coincidem com os nmeros algbricos de grau
1.
Definio 4.4 Um nmero real aproximvel na ordem n por racionais se existirem
uma constante > 0 e uma sequncia
de racionais diferentes, com > 0 e , = 1 tais que < .
Podemos dizer que um nmero irracional bem aproximado por racionais se
aproximvel na ordem por racionais. Em particular, um importante resultado
associado a este tipo de aproximao o Teorema da Aproximao de Dirichlet, o
qual afirma que:
Teorema 4.3 Se um nmero irracional, ento existem infinitos racionais
com 1, tais que
< 12.
Mais detalhes a respeito deste teorema podem ser encontrados em [6].
Este resultado fundamental para se fazer as chamadas aproximaes
diofantinas (aproximao de nmeros reais por racionais).
Em sntese, Liouville construiu uma classe de nmeros que so muito bem
aproximadas por racionais.
Teorema de Liouville Seja uma raiz real de um polinmio irredutvel () de coeficientes inteiros de grau 2. Ento existe uma constante positiva () tal que
()
, > 0 para todo racional . Uma escolha para esta constante que
pode facilitar os clculos () = 11+| |1|| ()|, onde () a derivada de (). Demonstrao: Com a escolha de () sugerida acima, se tivermos
1, o
teorema vlido, pois 1 ()
. Para o caso em que
< 1, vamos observar que, como () irredutvel sobre os inteiros, ele tambm irredutvel sobre os racionais e com isso
0, o que implica | |.
1, j que .
um
47
nmero inteiro no nulo. De acordo com o Teorema do Valor Mdio, existe um
nmero real t, entre e tal que:
= ()
=
| ()|.
Dessa maneira
| ()|
=
1. E com isso
1bn(1 + |P (t)|) 1 (1 + ||1| ()|) = c()bn onde usamos que | | ab 1. Definio 4.5 Um nmero real chamado de nmero de Liouville se existir uma
sequncia
1, com > 1, tal que
< 1
para todo 1.
O conjunto dos nmeros de Liouville ser denotado por L.
Exemplo O nmero 10 ! = 0,1100010000000000000000010000000 =1 um nmero de Liouville. Este nmero conhecido como constante de Liouville.
Para mostrar que este nmero de Liouville vamos considerar a sequncia
de racionais definida por
= 110n!jn=1 . Assim temos
= 110n != +1 = 110(j+1)! 1 + 110(j+2)!(j+1)! + . (4.3) A expresso em parnteses majorado por 1 + 110 + 1102 + 1103 + = 109 . Assim, o ltimo membro de (4.3) majorado por:
48
1(10 !)10 ! . 109 < 1(10 !) e com isso
< 1(10 !) ! e como = 10 !, segue que o nmero definido no incio do exemplo um nmero de Liouville.
Proposio 4.1 A sequncia descrita anteriormente, no limitada.
Demonstrao: Vamos supor que a sequncia seja limitada. Se isto ocorrer,
ento existe > 0, tal que , para todo 1. Agora como < 1 temos que
< 1 e com isso obtemos < < . Esta ltima desigualdade implica em uma limitao para a sequncia , j
que < (|| + 1). Entretanto, isso contraria o fato de a sequncia ser infinita.
Com isso conclumos que a sequncia no limitada.
Corolrio 4.1 Todo nmero de Liouville irracional.
Demonstrao: Vamos supor, por absurdo, que um nmero de Liouville seja
racional da forma . Se isto ocorrer, ento existem infinitos
, diferentes de tais
que:
1
> = 1| | . (4.4) De acordo com a desigualdade (3.4) temos que
1 < ||, o que contraria o fato de no ser limitada (Proposio 3.1). Portanto, todo nmero de Liouville
irracional.
Teorema 4.2 Todo nmero de Liouville transcendente. Demonstrao: De acordo com o Corolrio 4.1 temos que um nmero de Liouville
no pode ser racional. Vamos supor que seja um nmero de Liouville algbrico no racional, ou seja, que seja um nmero algbrico de grau > 1. De acordo
49
com o Teroema de Liouville temos que
()
ser vlida para todo nmero
racional. Em particular para os
da Definio 4.5. Dessa maneira teramos:
()
< < 1 . Com isso
< 1(), para todo 1, mas isso contraria o fato de a
sequncia ser no limitada. Dessa maneira o nmero no pode ser
algbrico.
2. UM POUCO DE HISTRIA
Durante toda a histria da matemtica temos diversos nmeros que
assumiram grande importncia no desenvolvimento de conceitos e da prpria
histria da matemtica. Temos exemplos de tais nmeros em todos os conjuntos
sejam eles naturais, inteiros, racionais, irracionais, complexos e, claro, nos
transcendentes. Os nmeros transcendentes de maneira geral no so abordados
durante o Ensino Bsico, mas os alunos aprendem a trabalhar com alguns deles,
mesmo sem saber que so transcendentes. o caso, por exemplo, dos nmeros
e e. O primeiro, associado a importantes problemas geomtricos; e o segundo
associado funo exponencial e logaritmos, assuntos muito explorados durante o
Ensino Mdio. Por este fato, no existe motivo para no se comentar, mesmo que
brevemente, um pouco mais a respeito desses nmeros, de sua rica e interessante
histria e tambm um pouco sobre a interessante classe de nmeros qual
pertencem.
Neste sentido, vamos abordar algumas informaes interessantes a respeito
dos nmeros e e.
Desde que os humanos comearam a comercializar bens e a trabalhar com o
conceito de dinheiro, as questes financeiras passaram a ocupar uma preocupao
constante dentro da matemtica. Uma ideia que se encontra no centro das atenes
quando o assunto Matemtica Financeira so os juros. Nenhum outro aspecto da
vida tem caracterstica mais comum do que o impulso para acumular riqueza e
conseguir a independncia financeira. Assim, no deve surpreender a ningum que
algum matemtico annimo, no incio do sculo XVII, tenha notado uma ligao
50
curiosa entre o modo como o dinheiro se acumula e o comportamento de certa
expresso matemtica no infinito ([12] Maor, 2008).
Vamos analisar um interessante problema de Matemtica Financeira.
Suponha que uma pessoa faz uma aplicao de um capital C, por um perodo
t, a uma taxa de juros igual a i (o valor da taxa sempre ser dado em decimal e no
em porcentagem) e na modalidade de juros compostos. Sabemos que o valor do
montante M acumulado nessa aplicao dado por:
= . (1 + ) . (4.5) Em alguns casos podemos calcular o juro acumulado no uma vez, mas
vrias vezes ao perodo. Por exemplo, numa aplicao de R$ 1000,00 uma taxa
de 10% a.a (ao ano), podemos fazer uma capitalizao semestral. Nesse caso
usaramos metade da taxa de juros (5%) como taxa por perodo (nesse caso um
perodo passa a ser um semestre). Agora teramos uma taxa de 5% a.s (ao
semestre) composta duas vezes (j que um ano corresponde a dois semestres).
Repare que no primeiro caso, com taxa de 10% ao ano e capitalizao anual, os
juros da aplicao seriam de R$ 100,00. J no segundo caso, seria R$ 102,50
(basta substituir C = 1000, n = 2 e i = 0,05 na equao (3.5)). Assim, o juro obtido
R$ 2,50 maior que no primeiro caso. Generalizando um pouco essa ideia, se um
capital C for aplicado a uma taxa de juros igual a i por um perodo t e com n
capitalizaes peridicas iguais durante esse perodo t, o valor do montante M
acumulado ao final da aplicao ser igual a:
= 1 +
. (4.6)
Vamos analisar um exemplo para verificar se, conforme aumentamos o
nmero de capitalizaes em um perodo, o Montante, e consequentemente os
juros, tambm aumentam. Tomemos uma situao em que um capital C = R$
1000,00 aplicado a uma taxa i = 10%, com diversos tipos de capitalizao. Vamos
resumir as informaes na tabela abaixo.
Perodo de converso n i/n M
Anual 1 0,1 R$ 1100,00
Semestral 2 0,05 R$ 1102,50
Trimestral 4 0,025 R$ 1103,81
Mensal 12 0,008333333 R$ 1104,71
51
Semanal 52 0,0019230769 R$ 1105,06
Dirio 365 0,0002739726 R$ 1105,15
Tabela 1: Montantes acumulados em aplicaes com diferentes capitalizaes
Podemos observar que, conforme aumentamos o nmero de capitalizaes, o
montante aumenta e isso nos leva a seguinte pergunta. Ser que esse crescimento
ocorre indefinidamente, ou seja, conforme aumentamos o nmero de capitalizaes,
o montante poderia se tornar infinito? A resposta claramente no, mas essa
pergunta levou a importantes descobertas matemticas.
Para explorar um pouco mais essa situao, vamos considerar uma situao
na qual a taxa de juros aplicada seja igual a 100%. Claramente nenhum banco teria
oferta to generosa, mas nossa preocupao estudar um caso hipottico com
importantes consequncias matemticas. Tomando uma aplicao de um capital C =
R$ 1,00, com t = 1 ano e i = 100%, a equao (4.6) se torna
= 1 + 1
. (4.7)
Vamos agora investigar como essa frmula se comporta para valores
crescentes de n.
n 1 + 1
1 2
2 2,25
3 2,37037
4 2,44141
10 2,59374
100 2,70481
1000 2,71692
10000 2,71815
100000 2,71827
1000000 2,71828
10000000 2,71828
Tabela 2: Valores aproximados de 1 + 1
52
Podemos observar que, conforme os valores de aumentam, o valor de
1 + 1
parece se tornar prximo de 2,71828. Mas ser que este padro continua?
Em outras palavras, independente do quo grande for o valor de n, os valores de
1 + 1
tendem a se estacionar em um valor fixo? A resposta sim, e o nmero
que possui essa notvel propriedade foi denotado por e. Podemos escrever ento
= lim 1 + 1 . interessante observar como um simples problema relacionado a taxa de juros teve implicaes to significativas na matemtica.
Outra importante caracterstica do nmero e estar relacionado a um
problema geomtrico: a rea sob a hiprbole = 1. Desde os primrdios, uma das questes que mais intrigou os matemticos de
diversas pocas foi o clculo de reas que no podiam ser decompostas em figuras
bsicas, como polgonos ou setores circulares. O clculo da rea de uma parbola j
havia sido feito com sucesso por Arquimedes, usando o mtodo da exausto.
No sculo XVII Pierre de Fermat conseguiu estabelecer frmulas que
calculavam as reas de figuras cuja equao geral era = . Repare que a hiprbole = 1 um caso particular da equao anterior, quando = 1. A frmula obtida por Pierre de Fermat para a rea da curva = no intervalo [0, ] foi:
= +1+1 . (4.8)
O nico problema que tal frmula no poderia ser aplicada justamente no
caso da hiprbole (quando = 1) que nos interessa. Coube a um contemporneo de Fermat, Grgoire de Saint-Vicent fazer uma
importante observao. Ele observou que rea sob a hiprbole = 1, a partir de um ponto de referncia fixo > 0 (geralmente por, convenincia, tomamos = 1) at um ponto varivel = dada por () = log ( importante observar que ainda no sabemos o valor de e se ele fixo ou no).
Dessa maneira o problema da quadratura da hiprbole estava resolvido, cerca
de dois mil anos depois de os gregos se depararem com esse problema pela
primeira vez. Mas uma questo ainda ficara sem resposta: a frmula () = log realmente nos fornece a rea sob a hiprbole como uma funo da varivel , entretanto essa frmula ainda no adequada para efetuar clculos, pois ainda no
foi estabelecida a base que deveramos adotar. Para que se possa efetuar qualquer
53
tipo de clculo, necessrio que se estabelea uma base para esse logaritmo. A
grande questo : ser que qualquer base (dentro das condies de existncia dos
logaritmos) pode ser usada? A resposta claramente no. No estamos livres para
escolher o valor de aleatoriamente. Logo, deve existir um valor de que determine
a rea que estamos procurando numericamente e possvel mostrar que esse valor
o nmero e. Uma referncia para este estudo o livro [9].
Veremos mais adiante a prova da irracionalidade e transcendncia do nmero
e.
Trabalhando agora com um pouco de geometria, encontramos interessantes e
intrigantes problemas associados ao nmero , outro famoso nmero
transcendente. Durante o Ensino Bsico aprendemos a calcular o permetro de um
tringulo e, a partir dessa ideia, podemos calcular o permetro de qualquer polgono.
Entretanto, quando se trata de formas curvas, essa ideia j no pode mais ser
aplicada. Durante os ensinos Fundamental e Mdio, aprendemos frmulas que
determinam o comprimento e a rea de um crculo. Tais frmulas so,
respectivamente, = 2 e = 2 onde o raio do crculo. Geralmente vemos essas frmulas de forma simples e natural, sem nos perguntar o porqu dessa
constante que aparece nessas frmulas (o nmero ) ou como esse nmero foi
obtido.
Valores relativamente precisos de eram conhecidos desde a poca dos
antigos egpcios. Um texto contido no Papiro Rhind, datado de 1650 a.C, traz a
declarao de que a rea de um crculo tem o mesmo valor que a rea de um
quadrado cujo lado tenha medida igual a 89 do dimetro do crculo. Calculando o valor de por meio dessa aproximao obtemos 3,16049 e esse valor corresponde a um erro de apenas 0,6% com relao ao valor verdadeiro de , um feito realmente
impressionante para um texto com cerca de trs mil e quinhentos anos (ver [12]).
Conforme os conceitos matemticos foram evoluindo, muitos valores foram
atribudos a . Valores estes cada vez mais precisos, mas sempre obtidos de
maneira emprica: calculava-se o comprimento da circunferncia e dividia-se esse
valor pela medida do dimetro. O primeiro matemtico a propor um mtodo capaz de
fornecer o valor de por meio de um procedimento matemtico, ou seja, um
algoritmo, em vez de uma medio, foi Arquimedes.
54
A ideia de Arquimedes era inscrever e circunscrever polgonos regulares a um
crculo. Quanto maior o nmero de lados do polgono inscrito, mais prximo do