OlimpíadaPaulista deMatemática
Quadrados Mágicos: Director’s Cut
Prof. Carlos Shine
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Quadrados Mágicos
• Aparecem números consecutivos
• Soma das linhas = soma das colunas = soma das diagonais
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Existem quadrados mágicos maiores?
• Sim!
• Existem quadrados mágicos de tamanho 3, 4, 5, 6, ...
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Matemática e Arte?
Somamágica:
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Como fazer quadrados mágicos de qualquer tamanho?
• Uma ideia: quadrados latinos!
• São quadrados que têm números de 1 a n em cada linha e coluna.
1 3 2 4
2 4 1 3
4 2 3 1
3 1 4 2
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Algo a mais
• Além disso, as diagonais não podem ter números repetidos
1 3 2 4
2 4 1 3
4 2 3 1
3 1 4 2
X
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Assim...
• Monte uma nova tabela girando-a de 90 graus no sentido anti-horário
1 3 2 4
2 4 1 3
4 2 3 1
3 1 4 2
24
13
13
24
31
42
42
31
24
13
13
24
31
42
42
31
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Depois?
• Subtraia 1 de cada número, multiplique tudo por 4 e some à primeira tabela.
1 3 2 4
2 4 1 3
4 2 3 1
3 1 4 2
4 3 1 2
2 1 3 4
3 4 2 1
1 2 4 3
3 2 0 1
1 0 2 3
2 3 1 0
0 1 3 2
12 8 0 4
4 0 8 12
8 12 4 0
0 4 12 8
13 11 2 8
6 4 9 15
12 14 7 1
3 5 16 10
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Infelizmente
• Isso funciona bem só para alguns quadrados
• Não dá certo sempre
• O que fazer então?
• Não se preocupe! Há outras regras!
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Ímpares
• Comece pela casinha do meio da primeira linha e vá na diagonal superior direita
• Se o tabuleiro acabar, volte do outro lado (que nem videogame!)
• Se a casinha já estiver ocupada, vá uma casa para baixo.
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Tamanho 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
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Por que funciona?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
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Múltiplos de 4
• Preencha na ordem usual (da esquerda para a direita, de cima para baixo)
• Divida o tabuleiro em quadrados 4 4• Em cada tabuleiro desenhe as duas diagonais• Troque todos os números que estão sob
diagonais pelo complementar (o maior pelo menor, o segundo maior pelo segundo menor, etc)
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Tamanho 8
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 641
10
19
28
4
11
18
25
37
46
55
64
40
47
54
61
33
42
51
60
36
43
50
57
5
14
23
32
8
15
22
29
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Por que funciona?
• Trocamos elementos simétricos tanto numérica como geometricamente
• Cada linha tem 4 números “grandes” e 4 “pequenos”
• Isso balanceia a soma
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Pares que não são múltiplos de 4
• Método “LUX”• Dividimos em quadrados 2 2• Preenchemos cada quadrado com
quatro números, na ordem• A ordem dos quadrados é a mesma do
caso ímpar• A ordem de cada quadrado pode ser L,
U ou X
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Exemplo
4 1
2 3
1 4
2 3
1 4
3 2
4 1
2 3
5 8
7 6
9 12
10 11
16 13
14 15
20 17
18 19
24 21
22 23
28 25
26 27
32 29
30 31
33 36
35 34
37 40
38 39
41 44
43 42
45 48
46 47
49 52
50 51
56 53
54 55
60 57
58 59
64 61
62 63
68 65
66 67
69 72
71 70
76 73
74 75
80 77
78 79
81 84
82 83
88 85
86 87
92 89
90 91
96 93
94 95
97 100
99 98
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Em geral
• Se n = 4k + 2, a distribuição dos Ls, Us e Xs é a seguinte:– k + 1 linhas de Ls– Uma linha de Us– k – 1 linhas de Xs– Trocamos o L central pelo U inferior
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Por que funciona?
• As “médias” dos quadrados funcionam, pois o caso ímpar funciona
• Falta só ajustar dentro dos quadrados
4 1
2 3
1 4
2 3
1 4
3 2
5
5
5
5
5
5
6 4 3 7 4 67
3
4
6
3
7
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Nas linhas...
• Nas linhas está tudo bem, pois somamos vários pares na média
4 1
2 3
1 4
2 3
1 4
3 2
5
5
5
5
5
5
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Nas colunas...
• Note que cada L compensa um U;• Há sempre dois Ls a mais que Us• Então nas linhas ímpares temos +2
e nas linhas ímpares -2• Mas cada U tem -2 nas linhas
ímpares e +2 nas linhas pares.
4 1
2 3
1 4
2 3
1 4
3 2
6 4 3 7 4 6
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Nas diagonais...
• Há um L a mais do que Us;• Então a diagonal que desce fica
com +2 e a que sobe, com -2• Mas cada um dos dois U tem -1 na
diagonal que desce e +1 na que sobe
4 1
2 3
1 4
2 3
1 4
3 2
7
3
4
6
3
7
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Voltando ao 3 x 3
• Permitindo agora colocar qualquer número real nas casinhas, é possível achar todos os quadrados mágicos?
• A resposta é sim, e vamos ver como!
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Primeiro passo: o número do meio
• Seja 3k a soma mágica• Então:
a + e + i = 3kb + e + h = 3kc + e + g = 3kd + e + f = 3k
• Somando tudo obtemosa + b + c + d + e + f + g + h + i + 3e = 12k
• Como a soma de todos os números é 9k (três vezes a soma mágica),
9k + 3e = 12k e = k
a b c
d e f
g h i
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Agora é só preencher!
k
k + l
k – l
k + m
k – m
k – l + m k + l – m
k – l – m
k + l + m
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Mais uma curiosidade
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Produtos
Produtos
48
105
72
844596
Soma das linhas
225
Soma das colunas 225
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Não é coincidência!
• Isso vale para todo quadrado mágico de tamanho 3
• Você pode abrir a conta para conferir!k + l k – l – m k + m
k – l + m k k + l – m
k – m k + l + m k – l
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Quadrados mágicos multiplicativos
• Agora os produtos devem ser iguais!
• Os números não precisam mais ser consecutivos.
128 1 32
4 16 64
8 256 2
Produto mágico:4096
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Cubos mágicos• É a versão 3D dos quadrados mágicos• Em cada linha de números a soma deve ser a
mesma
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O que se sabe sobre cubos mágicos?
• Não existem cubos mágicos de tamanho 2, 3 e 4
• Todavia existem cubos mágicos de tamanho 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12
• Não se sabe o que acontece para cubos maiores
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Alguns problemas para você
1. Construa quadrados mágicos de tamanho 6, 7, 12 e 14
2. Verifique a propriedade dos produtos dos quadrados mágicos de ordem 3
3. A propriedade vale também para diagonais?4. Existe um exemplo em que a propriedade
vale para diagonais?5. O menor produto mágico possível para
quadrados multiplicativos de tamanho 3 é 216. Encontre um quadrado mágico com esse produto mágico.
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