Otimização do Método Otimização do Método MultigridMultigrid Geométrico Geométrico em Transferência de em Transferência de CalorCalor
Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO PINTO
I Seminário de Multigrid de 2008 I Seminário de Multigrid de 2008 LENA - UFPRLENA - UFPRCuritiba – 17/04/2008Curitiba – 17/04/2008
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Roteiro da apresentação- Introdução;
- Fundamentação teórica;
- Motivação;
- Objetivos;
- Revisão bibliográfica;
- Dados de implementação;
- Problemas abordados:
- unidimensionais lineares e não-linear;
- bidimensional linear (isotrópico);
- bidimensional linear (anisotrópico);
- Conclusões gerais;
- Contribuições;
- Trabalhos futuros.
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Introdução
- Modelos matemáticos na dinâmica dos fluidos computacional recaem em equações diferenciais que geralmente não têm soluções analíticas conhecidas;
- Técnicas utilizadas: experimental, teórica e numérica.
- Estas eq. diferenciais são discretizadas resultando emum conjunto de equações algébricas do tipo:
- Problemas práticos; Características da matriz A;
- Erros; Métodos diretos X Métodos iterativos.
bAx
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Introdução
Queda do resíduo para o solver GS e 4 tamanhos de malhas
5
Introdução
Fonte: http://www.math.utah.edu/~eagan/multigrid.html
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Fundamentação teórica
Engrossamento: (engross. Padrão, r = 2)h
Hr
7
Fundamentação teórica
Engrossamento: e (semi-engrossamento)
y
x
h
hRA
1yr
h
H
x
xx h
hr
Anisotropia geométrica:
x
xx h
Hr
Isotropia N = 9x9; RA = 1 Anisotropia N = 5x9; RA = 2
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Resolver Au=f com u0 , calcular o resíduo (r) e restringir
Resolver Ae=rprolonga a correção (e)
Resolver Au=f e Resolver Au=f e verificar a convergênciaverificar a convergência hh
2h
4hh
8hh
Resolver Ae=r calcular o resíduo e restringir
Corrige (Corrige (ee) e Resolve Ae=r) e Resolve Ae=rProlonga a correção (Prolonga a correção (ee))
Ciclo V: Esquema CS
Fundamentação teórica
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Resolver A(u)=f com u0 , restringe o resíduo (r) e a solução (v)
Resolver A(u)=A(v)+r e prolonga a correção (e=u-v)
Resolver Au=f e Resolver Au=f e verificar a convergênciaverificar a convergência hh
2h
4hh
8hh
Resolver A(u)=A(v)+r restringe o resíduo e a solução
Corrigir (v) e Resolver Au=fCorrigir (v) e Resolver Au=f Prolonga a correção Prolonga a correção
Fundamentação teórica
Esquema FAS
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Objetivos
Objetivos gerais:- Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas lineares e não-lineares, uni e bidimensionais.- Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas anisotrópicos.
Objetivos específicos:- Comparar os esquemas CS e FAS para as equações de difusão, advecção-difusão e Burgers em malhas isotrópicas.- Comparar algoritmos baseados em engrossamento padrão e semi-engrossamento em malhas anisotrópicas.
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Revisão bibliográfica
- Razões de engrossamento: - Brandt (1977): r = 2, 3 e 3/2; - Briggs et al. (2000): r ≠ 2 desvantagem; - Stüben (1999, 2001): r = 2 e 4 em anisotropias.
- CS e FAS: - Yan e Thiele (1998): Variante do FAS; - Mesquita e de-Lemos (2004): CS para não-linear.
- Semi-engrossamento: - Mulder (1989): SE múltiplo; - Montero et al. (2001): plano EP x plano SE; - Zhang (2002): SE parcial; - Larsson et al. (2005): SE condicional para Eq. Poisson.
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Dados de implementação
- Linguagem: FORTRAN/95;
- Multigrid: Geométrico;
- Suavizadores: TDMA, El_Gauss, GS, MSI, ADI;
- Engrossamento: r = 2, 3, 4 e 5;
- RA: 1/1024, 1, 2, 16, 128, 1024 e 8192;
- Restrição: Injeção;
- Prolongação: Interpolação linear (1D) e bilinear (2D);
- Critério de parada: ;
- Estimativas inicias e tolerâncias (padrão): , .710
1
1
)0(
)(
R
kR
0
v
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Dados de implementação
- Outras estimativas iniciais: e
- Outras tolerâncias: e
- Quem é ? Quem é ?
- Quem é ? Quem é ?
ótimoITI
ótimoL
CPUt
máximoL
1,...,1v 2/1,...,2/1v
410 1010
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Problemas unidimensionais lineares e não-linear
O problema linear de transferência de calor unidimensional pode ser modelado pelas equações diferenciais ordinárias:
Equação de difusão:
Equação de advecção-difusão:
1)1(,0)0(
10,2
2
TT
xxfdx
Td
1)1(,0)0(
10,2
2
TT
xdx
Td
dx
dTPe
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O problema não-linear de escoamento unidimensional pode ser modelado pela equação diferencial ordinária:
Equação de Burgers:
1)1(,0)0(
10,2
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uu
xSdx
ud
dx
duRe
2
2
1
12Re
RexRexRe
e
eeeReS
Problemas unidimensionais lineares e não-linear
16
Escopo
- Itens abordados (influência): - Número de incógnitas;
- Iterações internas;
- Níveis de malhas;
- Razões de engrossamento;
- Esquemas CS e FAS.
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- Número de elementos (1D):
r 2 3 4 5
N mínimo 2 2 2 2
N máximo 8.388.608 9.565.938 8.388.608 3.906.250
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Problema bidimensional linear (isotrópico)
O problema linear de condução de calor bidimensional pode ser modelado pela equação diferencial parcial:
Equação de Laplace:
xsenxTyTyTxT
yxy
T
x
T
)1,(,0),1(),0()0,(
1,0,02
2
2
2
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Escopo
- Itens abordados (influência): - Número de incógnitas;
- Iterações internas;
- Níveis de malhas;
- Razões de engrossamento;
- Solvers;
- Esquemas CS e FAS.
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- Número de incógnitas (2D, iso):
r NN mínimo mínimo NN máximo máximo
SG 3x3 = 9 513x513 = 263169
2 3x3 = 9 2049x2049 = 4198401
3 3x3 = 9 1459x1459 = 2128681
4 3x3 = 9 2049x2049 = 4198401
5 3x3 = 9 1251x1251 = 1565001
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Problema bidimensional anisotrópico: Escopo
- Malhas: isotrópicas e anisotrópicas;
- Várias razões de aspecto para anisotropia;
- Algoritmos para anisotropia: EP, SE, EP-SE e SE-EP.
- Itens abordados (influência): - Iterações internas; - Razão de aspecto; - Número de incógnitas; - Algoritmos.
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- Número de incógnitas (2D, aniso):
RA NN mínimo mínimo NN máximo máximo
1/1024 4097x5 16385x17
1 129x129 2049x2049
2 65x129 2049x4097
16 17x257 513x8193
128 5x513 129x16385
1024 5x4097 33x32769
8192 5x32769 17x131073
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Conclusões gerais
- O esquema FAS (r = 3) é mais rápido que o CS (r = 2) para problemas lineares e não linear, 1D e 2D;
- ITI afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) e a dimensão do problema influenciam no ;
- L afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) não tem muita influência no ;
- O solver MSI é mais rápido que GS e ADI para os esquemas CS e FAS;
ótimoITI
ótimoL
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Conclusões gerais
- O algoritmo SE-EP (dentre os algoritmos que foram testados) resulta em menor tempo de CPU para problemas anisotrópicos com ou ;
- Grande variação de RA resulta em pequena variação do . para o algoritmo SE-EP .
1RA1RA
ótimoITI
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Trabalhos atuais e futuros
- Ciclos e Roteiros (Fabiane, Marcio e Marchi);
- Outras Anisotropias Geométricas (Fabiane, Marcio e Marchi);
- Anisotropia Física (Roberta, Marcio e Marchi);
- Multigrid Algébrico em problemas difusivos e advectivos (Roberta, Marcio e Marchi).
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Trabalhos atuais e futuros
- Problemas difusivos 1D e 2D com o uso de Volumes Finitos (Rafael, Marcio e Marchi);
- Anisotropia Geométrica (Partial Semicoarsening - Zhang) com razão de engrossamento agressiva (Marcio e Marchi).
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