Kerolaynh Santos e Tássio Magassy – Engenharia Civil
PROFORM–Programa de Formação Diferenciada
Curso Introdutório de Matemática para Engenharia
CIME 2012.2
Parte II
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
Definição: Equações envolvendo funções/relações
trigonométricas verdadeiras para todas as variáveis
envolvidas.
São úteis para simplificar expressões que contenham
funções trigonométricas;
Aplicação: integração de funções não trigonométricas.
Cálculo II e IV
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
dividindo os membros por 𝑎2:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑎2
𝑏
𝑎
2
+𝑐
𝑎
2
= 1 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜷 = 𝟏
Teorema de Pitágoras
Relações fundamentais
𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑐
𝑎 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 . 𝑎
cos 𝛽 = 𝑏
𝑎 𝑏 = cos 𝛽 . 𝑎
TEOREMA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑐
𝑎 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 . 𝑎
cos 𝛽 = 𝑏
𝑎 𝑏 = cos 𝛽 . 𝑎
𝑡𝑔 𝛽 =𝑐
𝑏 𝑡𝑔 𝛽 =
𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑎. cos (𝛽) 𝑡𝑔 𝛽 =
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
cos (𝛽) cos (𝛽) ≠ 0
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =𝑏
𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =
𝑎. 𝑐𝑜𝑠(𝛽)
𝑎. sen (𝛽) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =
𝑐𝑜𝑠𝛽)
sen (𝛽)=
1
𝑡𝑔(𝛽) 𝑠𝑒𝑛 (𝛽) ≠ 0
𝑠𝑒𝑐 𝛽 =𝑎
𝑏 𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
𝑎
𝑎. cos (𝛽) 𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
1
cos (𝛽) cos (𝛽) ≠ 0
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =𝑎
𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
𝑎
𝑎. 𝑠𝑒𝑛 (𝛽) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
1
sen (𝛽) 𝑠𝑒𝑛 (𝛽) ≠ 0
Relações fundamentais
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
Demonstração da identidade Trigonométrica:
)²(cos
)²(cos
)²(cos
)²(
)²(cos
1)²(sec
sen
)²(sec1)²( tg
sec (𝛽)2 = 𝑡𝑔(𝛽)2 + 1 (𝑐. 𝑞. 𝑑)
Relações derivadas
Trigonometria
Identidades Trigonométricas
Demonstração da identidade Trigonométrica:
)²(
)²(cos
)²(
)²(
)²(
1)²(seccos
sensen
sen
sen
cossec² (𝛽) = 𝑐𝑜𝑡𝑔²(𝛽) + 1 (𝑐. 𝑞. 𝑑)
)cossec²)(cotg²1 (β=β+
Relações derivadas
Trigonometria
EXERCÍCIO 4:
Simplifique a expressão: .
Sendo e , determine o valor de m.
xcotg
xgxg
=y21
cot)(cot
1
y = tg(x)
m=x 3)cos( m=xsen 2)(
m=2
Trigonometria
PROBLEMA!!
Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica numa fazenda, precisou colocar dois postes em lados opostos de um lago. Contudo, um problema surgiu: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, mas a presença do lago impedia a medição direta.
Realidade
Trigonometria
PROBLEMA!!
Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes. Com aparelhos apropriados, mediu-se o ângulo entre a linha de visão dele e os postes (120º); a distâncias entre o poste mais afastado e o engenheiro (100m) e o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha entre os postes (45º) . Com essas informações o engenheiro pode calcular a distância desejada.
COMO?
Modelo Matemático
Trigonometria
PROBLEMA!!
O Triângulo AOB é obtusângulo e a resolução deste problema consiste em determinar a medida do lado AB.
Para resolvê-lo vamos usar:
LEI DOS SENOS
Modelo Matemático
Trigonometria
Lei dos Senos
Relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano.
Demonstração!
Trigonometria
Lei dos Senos PROBLEMA!! (Resolução)
Pela lei dos senos, temos: Modelo Matemático
31002
2
3
2
2
100
º120º45
100 d
d
sen
d
sen
2
3100d
Racionalizando: md 650
Trigonometria
Lei dos Cossenos
Exercício: O ângulo agudo de um losango mede 20º e seus lados medem 5cm.
Quais são as medidas das diagonais maior e menor do losango?
20º
5 5
x
y
Diagonal menor (x)=1,7cm
Diagonal maior (y)=9,8cm
Trigonometria
CONCEITOS BÁSICOS Arcos e ângulos
A
B Arco AB
AB
O
Ângulo central
AÔB
Arco: parte da circunferência
delimitada por dois pontos.
Ângulo central: todo arco
possui um ângulo que o
subtende.
Comprimento de
circunferência:
rC 2
Trigonometria
Arcos e ângulos
Graus
A’ A
B
B’
Quando dividimos uma circunferência em
360 partes congruentes, cada uma dessas
partes é um arco de um grau (1º).
1 ângulo reto = 90°
2 ângulos retos = 180°
3 ângulos retos = 270°
4 ângulos retos = 360°
1°= 60’ e 1’ = 60’’
Trigonometria
Arcos e ângulos
Exemplo: Se α e β são arcos que medem, respectivamente,
83°30’39’’ e 12°43’45’’, determine a medida de α + β:
Resposta:
α + β = 96°14’24’’
Trigonometria
Arcos e ângulos
Grados
1 grado equivale a 1/400
da circunferência. Desta
forma:
1 ângulo reto = 100gr
2 ângulos retos = 200gr
3 ângulos retos = 300gr
4 ângulos retos = 400gr
A’ A
B
B’
Trigonometria
Arcos e ângulos
Exercício: Na circunferência da figura, de raio 9 cm, determinou-se, com os
lados do ângulo central α, um arco de comprimento 10,8 cm. Calcule, em
radianos, a medida de α:
Resposta:
α = 1,2rad
Trigonometria
Arcos e ângulos
Exercício: Na figura abaixo, conhecidos o raio de 4 cm do arco de
circunferência e ângulo central de 30°, calcular o comprimento, em
cm, do arco por ele determinado sobre a curva:
x
4 cm
30°
Trigonometria
Arcos côngruos (ou congruentes)
A
B
O
α
- São arcos que possuem a
mesma origem e extremidade.
- A diferença entre dois arcos
côngruos é sempre um
múltiplo de 2.
x = α + k2
Trigonometria
Redução ao primeiro quadrante
2o quadrante:
sen ( - x) = sen x
cos ( - x) = - cos x
tg ( - x) = - tg x
a = ( - x)
O x
y
/2
0 x
a
3/2
2
t
Trigonometria
Redução ao primeiro quadrante
3o quadrante:
sen ( + x) = - sen x
cos ( + x) = - cos x
tg ( + x) = tg x
a = ( + x)
Trigonometria
Redução ao primeiro quadrante
4o quadrante:
sen (2 - x) = - sen x
cos (2 - x) = cos x
tg (2 - x) = - tg x
a = (2 - x)
O x
y
/2
0 x
a
3/2
2
t
Trigonometria
Fórmula de adição e subtração de arcos
cos (𝒂 + 𝒃) = cos (𝒂). cos (𝒃) – 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)
cos (𝒂 − 𝒃) = cos (𝒂). cos (𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos (𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos (𝒂)
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 − 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos (𝒃) − 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos (𝒂)
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃) ?
Trigonometria
Lei dos Cossenos
Exercício: Usando as fórmulas de adição, determine:
a) 𝑠𝑒𝑛(105º) e) 𝑠𝑒𝑛(225º)
b) cos (135º) f) cos (225º)
c) cos (195º) g) cos (300º)
d) 𝑠𝑒𝑛(165º) h) 𝑠𝑒𝑛(345º)
Trigonometria
Arco metade
2
cos a 1
2
a cos
+ ± =
2
cos a - 1
2
a sen ± =
cos a 1
cos a - 1
2
a tg
+ ± =
Trigonometria
Transformação em produto
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen𝑥 + 𝑦
2. 𝑐𝑜𝑠
𝑥 − 𝑦
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen𝑥 − 𝑦
2. 𝑐𝑜𝑠
𝑥 + 𝑦
2
cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑦
2. 𝑐𝑜𝑠
𝑥 − 𝑦
2
cos 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = − 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦
2. 𝑠𝑒𝑛
𝑥 − 𝑦
2
Trigonometria
Exercícios:
Transforme em produto a expressão 𝑠𝑒𝑛(60º) + 𝑠𝑒𝑛(30º).
Transforme em produto a expressão cos (5𝑥) + cos (3𝑥).
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