Polinômia, expr alg e prod nat

POLINÔMIOS,

PRODUTOS NOTÁVEIS

E

FRAÇÕES ALGÉBRICAS

30

MÓDULO III – POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS

O Módulo III é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a relembrar itens como:

- “Colocar em evidência”;- “Produtos Notáveis”;- “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números.

I. POLINÔMIOS

1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios.

MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis.

Exemplos:

a) m5b) 2p

c) xy2

d) my

Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis.

Exemplo:

22 mx2mx2 =

Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios.

Obs. 1: O monômio ay4 é um polinômio de um termo só.

Obs. 2: y4x2 + é um polinômio de 2 termos: x2 e y4 .

Obs. 3: 4abx2 +− é um polinômio de 3 termos: x2 , ab− e 4.

2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

2.1. Adição Algébrica de Polinômios

Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes.

Exemplo:

31

Coeficiente Numérico

Parte Literal

a) Obter o perímetro do triângulo abaixo:

Como perímetro é a soma dos lados, teremos:

( ) ( ) ( ) =+−+++ 3x4x3x1x 22

termos semelhantes=+−+++ 3x4x3x1x 22

termos semelhantes

=++−++ 31x4xx3x 22

4x3x4 2 +− o resultado é um polinômio.

b) ( ) ( ) ( ) =+++−−− xy2xyx34xy4x 22

xy2xyx34xy4x 22 +−−−−−

=+−−−−− xy2xyx34xy4x 22

=−−+−−− 24xyxyxy4x3x 22

6xy4x2 2 −−−EXE R C Í C I O S

32

2x1+x343 2 +− xx

Primeiro eliminaremos os parênteses tomando cuidado quando houver sinal negativo

fora dos parênteses.

1) Reduza os termos semelhantes:a) =−−− 2222 46104 aaaa

b) =+−−532

aaa

2) Escreva os polinômios na forma fatorada:a) =+− 234 654 xxxb) =+− 3322 1248 baabbac) =+ 43223 315 xbaxbad) =+++ acabcb 55e) =+++++ cnbnancmbmamf) =++ 22 2 yxyx

g) =++ 962 aah) =+− 36122 mmi) =− 22 164 yx

j) =−122nm

k) ( ) ( ) ( ) =+−−+−−++ yxyxyxyxxyyxyx 2222222222 65235

l) =

−+−+

−+−

++− cbabaccab

6

1

6

1

8

1

2

1

3

1

4

5

m) ( ) ( ) ( ) =−−−++−+−− 3,05,11,38,17,04,12,35,2 222 xxxxxx

2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios

A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes.

Exemplo:

a) ( ) ( )xxy2x 2 −⋅+ xy2xy2xxxx 22 ⋅−⋅+⋅−⋅=

yx2yx2xx 223 −+−= e fica assim.

33

b) ( ) ( )b2a3ba2 −⋅+ b2ba3bb2a2a3a2 ⋅−⋅+⋅−⋅=bb2ab3ba22aa32 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

22 2346 bababassemelhantetermos

−+−=

22 b2aba6 −−=

c) ( ) ( ) =+−⋅− 2p3p1p2 2

=−++−−

=−+−+−

=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅

2p3p4pp6p2

2p3pp4p6p2

21p31p12p2p3p2pp2

223

22

2p7p7p2 23 −+−d) ( ) ( ) =−⋅− yy3xy4xxy 22

=+⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅

=⋅+⋅−⋅−⋅

222222

2222

yx4yyxx34xyyyxx3

yyx4yx3yx4yxyyx3xy

34

Conserve a base e some os expoentes.

2224223 yx4yx12xyyx3 +−− não há termos semelhantes

Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta.

2.3. Divisão Algébrica de Polinômio

Divisão de um polinômio por um monômio

A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio.

Exemplo:a) ( ) =÷+− 3234 x5x15x20x10

3

2

3

4

3

234

x5

x15

x5

x20

x5

x10

x5

x15x20x10 +−=+−=

x

34x2

x

1314x2

x314x2

x3x4x2

x5

15x

5

20x

5

10

1

101

323334

+−=

⋅+⋅−=

+⋅−=

+−=

⋅+⋅−⋅=

−

−−−

ou

3

2

3

4

3

234

x5

x15

x5

x02

x5

x10

x5

x15x20x10 +−=+−

x

34x2

xx

x314

x

xx2

x

x3

x

x4

x

x2

2

3

2

3

4

+−=

⋅⋅+⋅−⋅=

+−=

/

b) ( ) =÷− 224334 yx7yx7yx28

22

43

22

34

22

4334

yx7

yx82

yx7

yx7yx28 −=−=

35

Como é mínimo múltiplo da fração, podemos separar em duas frações.

22

212

24232324

xyyx4

yx1yx4

−=

⋅⋅−=

⋅⋅−⋅⋅= −−−−

ou

22

43

22

34

22

4334

yx7

yx82

yx7

yx7yx28 −=−

22

222

22

122

xyyx4

xy1yx4

yx.1

yyxx1

yx

yyxx4

−=

=−=/⋅/⋅/⋅⋅/⋅−

/⋅/⋅/⋅/⋅= //

//

//2

Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.

EXERCÍCIOS

3) Calcule:

a) =+− )4)(3(5 xxx

b) =−+ ))(2(3 babaab

c) =+−− )1)(1)(1( 2 aaa

d)( )

( ) =−2

24

7

2135

a

aa

e) ( ) =−−xy

xyyx )( 33

f)( )

( ) =−

−−2

357

6

722442

y

yyy

g)( )

( ) =−+abc

abccabbca

5

502510 222

h)=

+−

ab

abbaba

27

4

5

2

1 2222

i) =+2

3a2

j) a

1a5 2 +

4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida:

a) ( )( ) =−−+ 222 2axxaax

b) ( )( ) ( ) =+−−+− yxayxayx 2

c) ( )( ) ( )( ) =−−−−−−+ cbcbabacba

d)( )( )( ) ( )( ) =++−−−+ 22 2323 yxyxyxyxyx

e) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] =+−+−+ 2222 xaaxxaxa

f) ( ) =−−− 132.3 2 xxx

g) ( ) =++ xyyxyx 3.5 22

h) =

−

2

1

4

1.

5

2xx

i) =

+

2

3

4

3.4

aa

II. PRODUTOS NOTÁVEIS

No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:

1) ( ) ( ) 22 yxyxyx −=−⋅+

2) ( ) 222 yxy2xyx +±=±

3) ( ) 32233 yxy3yx3xyx ±+±=±

36

Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais decorá-los, observemos:

a) ( ) ( ) =+⋅− yxyx =−/−/+ 22 yxyyxx 22 yx −

b) ( ) =+ 2yx ( ) ( ) =+++=+⋅+ 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx ++

c) ( ) =− 2yx ( ) ( ) =+−−=−⋅− 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx +−

d) ( ) =+ 3yx ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅+=+⋅+ 222 2 yxyxyxyxyx

=+++++= 322223 22 yxyyxxyyxx 3223 33 yxyyxx +++

Como utilizaremos os produtos notáveis?

Exemplos para simplificações:

a)( )

( ) ( ) ( )yx

3

yxyx

yx3

yx

y3x3notável produto22 −

=−⋅+

+ →−+

b) ( ) 16x8x44.x.2x4x 2222 ++=++=+

Obs.: ( ) 24x + jamais será igual a 16x 2 + , basta lembrarmos que:( ) ( ) ( ) 16x8x16x.44.xx4x4x4x 222 ++=+++=+⋅+=+

c) ( )32a − jamais será 8a 3 − , pois:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−⋅−=−⋅−=− 4a4a2a2a2a2a 223

8a12a6a8a8a2a4a4a 23223 −+−=−+−+−

EXERCÍCIOS

5) Desenvolva os produtos notáveis:

a) ( )2ba +

b) ( )232 +a

c) ( )243 yx +

d) ( )2ba −

e) ( )232 −a

f) ( )243 yx −

g) ( ) )( baba −+

h) ( )( )3232 −+ aa

i) ( )( )yxyx 3434 −+

j)2

2

1

−y

k) ( )22hd −

l) ( )( )3535 −+

m) ( )( )1212 +−

37

Observemos que b é o fator comum, portanto, deve ser colocado em

evidência com o menor expoente.

6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2.

III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas.

1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência

Exemplos:

a) 2bab −

Então ( )babbab 2 −=−

Ao efetuarmos o produto ( )abb −⋅ , voltaremos para a expressão inicial 2bab − .

b) by4ay2 +

Assim: ( )b2ay2by4ay2 +=+

c) xb8bx16bx4 223 −−

( )b4x8x2bx2xb8bx16bx4 2223 −−=−−

38

2y é o fator comum;2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4;Portanto 2y deve ser colocado em evidência.

Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus menores expoentes)2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8.Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência.

ab

abbab ==÷

bb

bbb

22 ==÷

ay2

ay2y2ay2 ==÷

b2y2

by4y2by4 ==÷

23

3 x2bx2

bx4bx2bx4 ==÷

x8bx2

bx16bx2bx16

22 −=

−=÷−

b4bx2

xb8bx2xb8

22 −=

−=÷−

d) ( )3225322 my2ymymym2 −=−

Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum sempre com o menor expoente.

EXERCÍCIO

7) Simplifique as expressões:

a)( ) =

++

ba

ba 2

b)( )

( ) =++

⋅++xcba

xcba

c)( ) =

++

ba

55

33

d) =++

1515

55

b

aab

e) =++

+22 2 baba

ba

f) =+−

1

12a

a

g) =++

−96

92

2

xx

x

h) =−−

2

26

39

bab

aba

IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS

As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas.

Exemplos:t

m2,

y

t4,

x

22

As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns exemplos:

1. Adição e Subtração

Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.

Exemplos:

a) y4

1

x2

3 +

39

2ymym2 2222 =÷

322

532253 my

ym

ymymym ==÷

m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4.xy → todas as variáveis que aparecem nos denominadores comporão o m.m.c. com seus maiores expoentes.

y63y2

y2x2

xy4x2xy4

=⋅

==÷

x1x

xy4

xy4y4xy4

=⋅

==÷

=+y4

1

x2

3

xy4

xy6 +

b) 22

2

x8

y

xy3

2

y

x −+

M.m.c. entre 2222 yx24x8exy3,y =

=−+22

2

x8

y

xy3

2

y

x

22

324

yx24

y3x16yx24 −+

VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ?

40

24222

222

22

yx24xyx24

yx24y

yx24yyx24

=•

==÷

x162x8

x8xy3

yx24xy3yx24

2

22222

=•

==÷

32

22

22222

y3yy3

y3x8

yx24x8yx24

=•

==÷

24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8;

são as variáveis com seus maiores expoentes.

Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.?m.d.c. ⇒ mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em

todos os termos) para colocar em evidência.Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6.

b) 10, 15, 20 ⇒ m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20.

m.m.c. ⇒ mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações.

Qual é o mmc de 2,4 e 6 ? Observe:múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2)múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4)múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6)

O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc).No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra prática de a decomposição simultânea em fatores primos..

Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.m.c. é 12.

b) 10, 15, 20 ⇒ m.m.c. é 60.

Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que escrevê-los na forma fatorada.

c)x39

x

xx3

32 −

−−

Fatorando os denominadores:( )

( )x33x39

x3xxx3 2

−=−−=−

M.m.c. dos denominadores fatorados ( )x3x − e ( )x33 − será: ( )x3x3 −

Assim ( ) ( ) =−

−−

=−

−− x33

x

x3x

3

x39

x

xx3

32 ( )x3x3

x9 2

−−

Mas ainda podemos melhorar o resultado:

41

605.3.2.2

5

3

2

1,1,1

5,5,5

5,15,5

10,15,5

20,15,10

=

123.2.2

3

2

1,1,1

3,1,1

3,2,1

6,4,2

=

Denominadores fatorados

m.m.c.produto de todos os

termos que aparecem nos denominadores

( ) ( ) ( )( )

2xxx que temose

xx33

x3x3x33x3x3

=•

=−−

=−÷−

( ) ( ) ( )( )

933 que temose

3x3x

x3x3x3xx3x3

=•

=−−

=−÷−

( )( ) ( )

( ) x3

x3

x3x3

x9 notável produto2 +=

−+− →

−−

d) ya

1

ya

a22 +

+−−+

−

Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada:( )( ) notável produto yayaya 22 →+−=−

Assim teremos:

( ) ( ) =+

++

+−

=+

++−

−+− ya

1

ya

1

ya

a

ya

1

yaya

ya

a

( )( ) ( ) ( ) ( )yaya

y2a2aya

yaya

yayayaa 2

−+−++=

−+−+−++

2. Multiplicação e divisão de frações algébricas

A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas, ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.

Exemplos:

a)xy3

4

xy3

y4

y

1

3

y2

x

222

==⋅⋅

b)yx

12

yx

12

yx

3

x

4

3

yxx

4

32122=

⋅=⋅= +

42

m.m.c dos denominadores será

EXERCÍCIOS

8. Calcule:

a) =−+y

a

y

a

y

a 23

b) =+++

+−−

+−

yx

x

yx

x

yx

x 123

c) =−+b

a

b

a

b

a

2

3

2

d) =−+x

a

x

a

x

a

4

3

2

3

e) =−xx 4

322

f) =−++

2

23

a

g) =−+−

−+

1

22

13

x

h) =−

++ baba

11

i) =+

−+

+1

22 2

b

a

aab

ab

j)4

124

2

22 −−+

−+

+−

x

xx

x

k)ba

b

ba

b

ba

a

++

−+

− 22

22

l)ab

ba

a

ba

b

ba 22 +++−+

m) =+

+−−−

− 2

2

4

12

2 2

2

xx

x

n) =−

−−++

+−

1

4

1

12y

y

o) =+

+−x

xx

33

2

p) =⋅y

x 5

3

2

q) =−⋅+y

ba

x

ba

r) =+

⋅+ 2

2

3

a

s) =−

⋅−5

2

3

5

a

aa

t) =⋅⋅x

y

a

x 32 22

8

3

u) =−−⋅

−+

nm

ba

nm

)(2

v) =−

⋅−nm

nm 3

6

22

w) =−+⋅

++

4

63

1 2

2

x

xx

x) =+

⋅−1

212

a

x

a

y) =

x

a

23

z) =−

−

x

xaxy

xa 22

9. Calcule:

a) =−

+

x

xx

x

3

252

5

2

43

b) =++

−

a

xxa

x

9124

94

2

c) ( )=

−

ba

aab

a

2

d) =−

−

4

222 yx

yx

e) =

2

7

5

b

a

f) =

− −3

3

m

a

g) =

2

32

b

a

h) =

−1

3

2

4

5

y

x

i) =

−3

25

2

b

a

j) =

02

c

ab

k) =

22

4

3

c

ba

l) =

−− 2

ba

a

m) =

−

−2

43

2

x

n) =

+− 2

ba

RE S P O S T A S D O S EXE R C Í C I O S

1ª Questão:a) 2a 16 b)

30

19a−

2ª Questão:a) ( )6 5x -4xx 22 + d) c)a)(b(5 ++ g) 23)(a + j) 1) 1).(mn- (mn +

b) ( )22b3a 1 -2ab4ab + e) c)bn)(a(m +++ h) 26)-(m k) 2222 3xy-y5xyx +

c) ( )322 bx 5a xb3a + f) 2y)(x + i) 4y) 4y).(2x-(2x + l) ( )24

12c 8b-3a +

m) 1,1- 0,9x -0,1x 2

3ª Questão:a) 60x- 5x 5x 2 3 + d) 3 - 5a 2 g) 10c-5b2a + j)

a

1a5 +

b) 3223 3ab-b3a-b6a e) 22 y x- + h) ( )140

40b 28a-35ab +

c) 12a-a 24 + f) 12y 4y 7y- 35 ++ i)2

3a +

4ª Questão:

44

a) 242 2ax-x -a c) 22 c -ab- bc a + e) 322 2x-xaax- + g) 3223 3xyy15xy3x ++

b) 3ay-2y3xy-x 22 + d) y5x-5xy- 22 f) 3x9x6x- 23 ++ h)5

x-

10

x2

i) 6a 3a 2 +

5ª Questão:a) 22 b2aba ++ d) 22 b2ab-a + g) 22 b-a j) 41+y-y 2

b) 912a4a 2 ++ e) 912a-4a 2 + h) 9-4a 2 k) 22 4h4hd-d +c) 22 16y24xy9x ++ f) 22 16y24xy-9x + i) 22 9y-16x l) 2

m) 1

6ª Questão:100

7ª Questão:a) ba + c)

5

3 e)( )ba

1

+g)

3x

3-x

+b) d d)

3

a f)( )1a

1

+h)

2b

3a

8ª Questão:a)

y

4a h)( )22 b-a

2a o)( )x3

9

+v)

2

nm +

b)( )yx

x

+i)

( )1ba

b

+p)

3y

10x w)( )2-x

3x

c)6b

a j)

4-x

4-2xx2

2 + q)

xy

b-a 22 x) 2a-2

d)12x

7a k) ( )( )b-a

ba + r)

65aa

6a2

2

++

y)3a

x

e) ( )24x

3x-8 l)b

2a s)

3

2a z) ( )y

xa +

f)( )2aa

aa

−−+ 652 m)

( )2-x

4 t)2

3xy 2

g)2

1 n) ( )( )1y

2-2y

+u)

( )n-m2

nm +

9ª Questão:a)

102

3

−xd)

yx +2 g)

4

6

b

4a k)2

24

16

9

c

ba

b))32(

32

+−

xa

x e)2

2

49

25

b

a h)2

3

5

4

x

y l)22

2

2 baba

a

+−c)

( )2−ab

a f)3

3

27a

m−i) 125b6/8 a3 m)

2

4

16249

x

xx +−

j) 1 n)22

22

2

baba

+++−

45

Download - Polinômia, expr alg e prod nat