Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM
João Alves e Sousa Laboratório Regional de Engenharia Civil - LREC Rua Agostinho Pereira de Oliveira, 9000-264 Funchal, Portugal. E-mail: [email protected]
Resumo
Em anos recentes, à medida que as tolerâncias aplicadas a processos
industriais têm vindo a ser apertadas, requerendo por isso maior exactidão, o papel da incerteza de medição tem-se tornado mais
importante na avaliação da conformidade dessas tolerâncias. De facto, a avaliação da incerteza de medição é crescentemente vista como a âncora
da garantia da qualidade. Isto leva, inevitavelmente, à necessidade de trabalhar com expressões adequadas para a incerteza das medições, de
modo a assegurar o controlo da qualidade.
O objectivo da avaliação da incerteza de medição é modelar estatisticamente o sistema ou processo de medição, tomando em linha de
conta as grandezas de entrada e as suas características para determinar
um resultado final do modelo, explicitando a extensão e a natureza da sua exactidão. É regra na apresentação de resultados em metrologia associar
ao valor da mensuranda um intervalo de confiança de 95 % que contenha o resultado da medição, indicativo da distribuição dos valores que podem
razoavelmente ser atribuídos à mensuranda.
Na avaliação das incertezas de medição, que é o principal objectivo deste
estudo, o método convencional empregue envolve o uso de uma metodologia apresentada no Guide for the Expression of Uncertainty in Measurements (GUM) e em outros documentos similares nele baseados.
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM Esse método é baseado na propagação das incertezas através da aproximação de uma série de Taylor ao modelo de medição. Contudo,
algumas questões têm sido levantadas recentemente, no que concerne à adequação desta abordagem para avaliar e expressar incertezas de
medição, em particular em casos onde estejam presentes distribuições assimétricas, curvas de calibração não lineares e outros, cuja influência nos resultados não pode ser ignorada, sendo importante enquadrar a
validade da utilização do GUM.
Nos casos em que a utilização do método convencional do GUM seja
inapropriada, por violar os princípios teóricos em que o seu desenvolvimento assenta, tem sido sugerido como um processo alternativo
para a determinação das incertezas de medição a utilização do método de
Monte Carlo (MCS – Monte Carlo Simulation). Este método é considerado mais fiável para lidar com os efeitos acima referidos (desde que garantidos
alguns princípios básicos), e possui uma outra vantagem importante que é a possibilidade de ser usado como ferramenta de validação dos resultados
obtidos com o GUM.
O objectivo deste artigo é, desta forma, discutir a garantia dos princípios relacionados com a utilização do GUM na avaliação de incertezas de
medição através de exemplos concretos e, simultaneamente, dar a conhecer, ainda que de forma superficial, um processo alternativo de
calcular essas incertezas nos casos onde a utilização do GUM seja discutível.
1. Introdução
A incerteza associada com o valor de uma quantidade física fornece uma medida quantitativa da fiabilidade e confiança desse valor. Em ciências
Qualidade e Metrologia
puras e aplicadas é reconhecido que a incerteza pode ser usada para avaliar a consistência entre experimentação e teoria, medições diferentes e
teorias diferentes. Em anos recentes, à medida que as tolerâncias aplicadas a processos industriais têm vindo a ser restringidas, requerendo
por isso maior exactidão, o papel da incerteza de medição tem-se tornado mais importante na avaliação da conformidade dessas tolerâncias. De facto, a avaliação da incerteza de medição é crescentemente vista como
nuclear na garantia da qualidade. Isto leva, inevitavelmente, à necessidade de trabalhar com expressões para a incerteza das medições
adequadas para assegurar o controlo da qualidade.
O objectivo da avaliação da incerteza de medição é modelar estatisticamente o sistema ou processo de medição, incluindo a
quantificação das grandezas de entrada (input quantities) e a natureza das
suas inexactidões, e determinar o resultado do modelo (output quantity),
quantificando a extensão e natureza da sua exactidão. Um requisito essencial é associar ao valor da mensuranda um intervalo de confiança que contenha o resultado da medição, que é a melhor estimativa do resultado
numérico obtido, e que possa ser expectável que inclua uma determinada proporção, 95 % na maioria dos casos, da distribuição dos valores que
podem razoavelmente ser atribuídos à mensuranda.
Na avaliação das incertezas de medição, que é o principal objectivo deste
estudo, o método convencional empregue envolve o uso de uma metodologia apresentada no Guide for the Expression of Uncertainty in Measurements (GUM) [1] e em outros documentos similares nele
baseados. Essa metodologia é baseada na representação das quantidades de entrada do modelo em termos de valores estimados e incertezas padrão
associadas que medem a dispersão desses valores. Esses valores e
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM respectivas incertezas são “propagadas” através de uma versão linearizada do modelo (aproximação de uma série de Taylor ao modelo de medição)
para fornecer uma estimativa da quantidade de saída e a sua incerteza. Uma forma de obter um intervalo de confiança é igualmente fornecida. O
procedimento tem também em consideração eventuais efeitos de correlação que existam se as quantidades de entrada forem estatisticamente interdependentes.
Contudo, algumas questões têm sido levantadas recentemente, no que
concerne à adequação desta abordagem para avaliar e expressar incertezas
de medição [2], em particular em casos onde estejam presentes distribuições assimétricas, curvas de calibração não lineares e outros, cuja
influência nos resultados não pode ser ignorada. E não se pense que os
problemas associados ao uso menos adequado do GUM se referem apenas a “grandes e complexos” problemas. Para problemas “pequenos, não-
lineares” envolvendo modelos de medição com apenas 2 ou 3 grandezas de entrada, as incertezas e intervalos de confiança resultantes podem ser
incorrectos. Uma das razões para isso tem a ver com o facto de que a lei de
propagação de incertezas (ou variâncias) promovida no GUM é apenas aplicável a modelos lineares. Outra razão é a aplicabilidade do Teorema do
Limite Central, que é assumido para deduzir os intervalos de confiança com base na distribuição normal ou t-student, e que geralmente requer
(entre outras coisas) um número de grandezas de entrada suficientemente grande. E embora o GUM no seu todo seja um documento muito completo,
a sua aplicação é restrita à versão mais simples e tem sido adoptada pela maioria dos envolvidos em metrologia, daí que urge avaliar a adequação
deste procedimento em geral e em aplicações particulares.
Qualidade e Metrologia
A avaliação da incerteza de medição pode, no entanto, ser avaliada através de outros métodos menos comuns mas cuja aplicação pode ser de enorme
utilidade, até como ferramenta de validação do método GUM convencional cuja aplicação nem sempre é tão criteriosa como deveria. Aqueles métodos,
dos quais se destaca o método de Monte Carlo, têm estado restringidos aos Laboratórios de Medição Primários (NMIs – National Measurement Institutes) devido à sua natureza computacional intensiva.
Porém, para validar o uso de MCS é necessário efectuar alguns estudos
prévios, designadamente aqueles relacionados com a selecção e a
qualidade dos geradores de números pseudo-aleatórios (base dos algoritmos numéricos) e com as funções usadas para converter os números pseudo-aleatórios gerados em valores de funções de distribuições
específicas. Estes valores são utilizados para, através de uma relação
funcional, estimar o valor da mensuranda e o respectivo intervalo de
incerteza com uma exactidão definida.
2. A Incerteza de medição segundo o método GUM
A declaração de um resultado de uma medição só está completo se incluir o valor atribuído à mensuranda e a incerteza da medição associada a esse
valor. A incerteza de medição é um parâmetro, associado ao resultado da medição, que caracteriza a dispersão de valores que podem razoavelmente
ser atribuídos à mensuranda. A avaliação da incerteza é convencionalmente feita pelo uso do chamado método GUM, que é baseado na definição de uma relação funcional (1) entre uma grandeza aleatória
(mensuranda) e várias grandezas de entrada.
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM ( )NXXXfY ,,, 21 L= (1)
A função f do modelo estatístico representa o procedimento de medição e o método de avaliação, descrevendo a forma como o valor da mensuranda Y é
obtido a partir das N grandezas de entrada Xi. Em muitos casos pode constituir uma simples expressão analítica explícita, mas pode ser também uma relação implícita mais complexa, ou ser apenas determinada
experimentalmente ou ainda um mero algoritmo computacional.
Cada input quantity (grandeza de entrada) tem associada uma função de
distribuição de probabilidade (pdf) que caracteriza razoavelmente o seu comportamento, tendo por isso uma natureza aleatória que condiciona o
valor real da mensuranda, não permitindo o seu conhecimento exacto. Daí
a necessidade de associar ao resultado da medição uma estimativa da dispersão dos valores em torno do valor obtido, dada pela incerteza de
medição. Uma estimativa da mensuranda Y, a estimativa resultante denominada por y, é obtida da equação (1) usando estimativas das
grandezas de entrada xi para os valores das dessas grandezas Xi
( )Nxxxfy ,,, 21 L= (2)
A incerteza de medição associada com as estimativas das grandezas de
entrada é avaliada de acordo com uma de duas formas distintas: avaliação
tipo A ou avaliação tipo B. A avaliação da incerteza padrão do tipo A é o método de avaliar a incerteza por análise estatística de uma série de
observações independentes para a mesma grandeza de entrada nas mesmas condições de medição. Neste caso a incerteza padrão é o desvio
padrão experimental da média que resulta da determinação do seu valor
médio. A avaliação da incerteza padrão do tipo B é o método de avaliar a
Qualidade e Metrologia
incerteza por outros meios que não a análise estatística de uma série de observações, e são baseadas nalgum outro conhecimento científico.
Para o primeiro tipo de avaliação referido, se houver resolução suficiente no processo de medição haverá uma dispersão mensurável dos valores
obtidos. Assumindo que a quantidade Xi repetidamente medida é a quantidade Q e que foram feitas k observações estatisticamente
independentes, a estimativa da quantidade Q é q , o valor médio dos
valores individuais qj observados, da qual se pode obter uma variância
associada representada por )(2 qs . A forma de as determinar é através
das fórmulas conhecidas da estatística elementar [3].
∑=
=k
jjq
kq
1
1 (3)
∑=
−−
=k
jj qq
kqs
1
22 )(1
1)( (4)
k
qsqs )()(2
2 = (5)
A raiz quadrada da equação (4) dá-nos o desvio-padrão experimental da amostra de valores medidos. Em relação ao valor médio, a melhor forma de
caracterizar a dispersão de valores em torno do seu valor, é através do
desvio-padrão da média (5). Este estimador determina a contribuição para
a incerteza proveniente da avaliação do tipo A, )()( qsqu = .
É provável que os componentes sistemáticos da incerteza, isto é aqueles que são devidos a erros que se mantêm constantes ao longo da medição, sejam obtidos através de avaliações do tipo B: destes componentes
sistemáticos destacam-se, no caso de um instrumento, as incertezas
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM associadas com as correcções a valores indicados em certificados de calibração. Outros exemplos incluem a incerteza declarada para o padrão
de referência e respectiva degradação, ou instabilidade no seu valor ou leitura, a resolução e estabilidade do equipamento sob calibração, o
procedimento ou método de medição (e.g. erros de alinhamento) e os efeitos das condições ambientais nos anteriores. Depois de identificados todos os possíveis componentes sistemáticos da incerteza, baseados tanto quanto
possível em dados experimentais ou considerações teóricas, eles deverão
ser caracterizados em termos de desvios padrão com base nas distribuições
de probabilidades assumidas. A distribuição de probabilidade de uma incerteza obtida de uma avaliação do tipo B pode tomar uma variedade de
formas, mas é em geral aceitável assumir formas geométricas bem
definidas para as quais o desvio padrão pode ser obtido facilmente. A incerteza padrão é definida como um desvio padrão e é derivada da
incerteza da grandeza de entrada dividindo-a por um número associado à distribuição probabilística assumida. Os divisores para as distribuições
mais comuns em aplicações em metrologia são [4]:
Normal 1 Normal (k=2) 2 Rectangular 3
Triangular 6 U-shaped 2
A distribuição probabilística mais utilizada para representar o
comportamento de grandezas de entrada do tipo B é a distribuição rectangular. Não só quando a informação disponível é escassa, visto que
assim se assume uma atitude pessimista majorando a incerteza padrão
Qualidade e Metrologia
devido a essa fonte de incerteza (excepto num caso), mas principalmente quando se conhecem apenas os limites inferior e superior de um
determinado erro, esta distribuição deve ser assumida para a incerteza associada a esse erro. Se ai for a semi-amplitude da variação, o desvio
padrão, referido aqui como incerteza padrão )( ixu é dado por
3
)( ii
axu = (6)
No caso de ser uma distribuição rectangular descentrada, em relação à
qual se conhecem os limites a e b ( ab > ) então a incerteza padrão
associada virá
12)()( abxu i
−= (7)
Partindo da equação (1), é possível estabelecer um desenvolvimento em
série de Taylor de 1ª ordem em torno de um ponto que representa a
mensuranda:
( ) ( ) ( )∑=
+−⋅
∂∂
+=N
iiii
iN xrx
xffy
1221 ,...,, µµµµ (8)
onde ix e iµ representam, respectivamente, a estimativa e o valor
esperado para cada grandeza de entrada, 2r representa o resto de ordem 2
do desenvolvimento em série de Taylor e o primeiro termo do segundo
membro da equação (8) representa o valor esperado yµ da mensuranda y.
Para se obter a variância de y é necessário determinar a diferença entre a
estimativa da mensuranda (8) e o valor esperado tal como se indica na
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM equação (9), resultando dessa forma a expressão simplificada apresentada na equação (10).
( ) ( )∑=
+−⋅
∂∂
=−N
iiii
iy xrx
xfy
12µµ (9)
( )∑=
−⋅
∂∂
=N
iii
i
xxfy
1
2
2 )( µσ (10)
O segundo membro da equação pode ser modificado de modo a evidenciar
as componentes diagonais e as componentes cruzadas da matriz da variância [5]:
∑ ∑ ∑=
−
= +=
⋅
∂∂
⋅
∂∂
+⋅
∂∂
=N
i
N
i
N
ijij
jii
i xf
xf
xfy
1
1
1 1
22
2 2)( σσσ (11)
onde 2
iσ é a variância associada à grandeza de entrada i e ijσ é a
covariância entre cada par de grandezas de entrada, sendo equivalente a
jiijr σσ .. (r é o coeficiente de correlação para as variáveis em causa).
Como consequência, quando não existe correlação ou quando se admite que
esta é desprezável ( 0≅ijr ), a equação anterior simplifica-se, tomando a
forma:
∑=
⋅
∂∂
=N
ii
ixfy
1
22
2 )( σσ (12)
Qualidade e Metrologia
Substituindo em (11) as variâncias pelas estimativas das incertezas e as
derivadas parciais pela representação equivalente 2
∂∂
=i
i xfc , obtém-se
a Lei de Propagação de Incertezas (LPI) na sua forma geral:
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑=
−
= +=
+=N
i
N
i
N
ijjijijiii xxrxuxuccxucyu
1
1
1 1
222 ,....2.)( (13)
a qual, para o caso de grandezas de entrada não correlacionadas, tem a
representação simplificada mais usual indicada abaixo,
( )∑ ∑= =
==N
i
N
ixii yuxucyu
i1 1
2222 )(.)( (14)
que está associada a uma dispersão dos valores em torno do valor médio com um nível de confiança igual a um desvio-padrão. Em Metrologia, porém, é habitual a utilização de níveis de confiança mais elevados,
normalmente de 95 % (ou 99 %), aos quais corresponde a adopção de um
factor de expansão igual a 2 (ou 3), considerando que a distribuição
associada a y é normal, de acordo com o Teorema do Limite Central. Assim, a adopção de níveis de confiança diferentes de um desvio-padrão na expressão da incerteza de medição designada por expandida, são
genericamente representados na forma abaixo, onde k representa o factor
de expansão.
)(. yukU = (15)
Em muitos casos, porém, pode não ser prático avaliar as incertezas do tipo
A com base num número alargado de medições ( ≥ 30), o que pode resultar numa diminuição do nível de confiança para valores abaixo dos 95 % se o
factor de expansão usado se mantiver k = 2, que só se aplica a situações de
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM convergência para a distribuição normal com amostras de maiores dimensões. Nestes casos, o cálculo de k deverá ao invés ser baseado na
distribuição t-Student, a qual permite determinar a incerteza expandida a partir de amostras mais pequenas, e obter um valor para k que garanta
uma incerteza expandida U mantendo o mesmo nível de confiança de requerido. Para se obter este novo k é necessário determinar uma
estimativa do número efectivo de graus de liberdade efν da incerteza de
medição padrão ( )yu . O GUM recomenda que a equação de Welch-
Satterthwaite seja utilizada para calcular o valor de efν , baseada nos
graus de liberdade iν das componentes de incerteza individuais.
( )( )∑
=
=N
i i
ief yu
yu
1
4
4
ν
ν (16)
O valor dos graus de liberdade iν para contribuições obtidas de avaliações
do tipo A resulta da dimensão da amostra, sendo igual a (N – 1) se a
amostra tiver uma dimensão N. No caso das contribuições do tipo B é
normalmente possível tomar um número de graus de liberdade iν como
sendo infinito, isto é, o seu valor é conhecido com um grau de confiança
muito elevado. Contudo, embora tal seja possível de justificar em certas circunstâncias, a prática comum é utilizar o valor de 50 para quantificar
essa variável. Ver o GUM [1] para ter acesso à fórmula que permite
determinar, para estes casos, o número de graus de liberdade. Em casos
onde a contribuição do tipo B é ela mesma uma incerteza expandida baseada numa distribuição t-Student, então não terá já um número
Qualidade e Metrologia
infinito de graus de liberdade, e deverá ser usado o valor declarado no certificado de calibração ou ser obtido da tabela abaixo indicada.
Tendo obtido um valor para efν a tabela da distribuição t-Student é usada
para determinar o valor de k. A tabela abaixo fornece alguns valores para
k95, isto é para um nível de confiança de 95 %; valores para outros níveis
de confiança podem ser vistos em [1].
efν 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16
k95 13,9 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,28 2,23 2,20 2,17
efν 18 20 25 30 35 40 45 50 60 80 100 ∞
k95 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,06 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,00
Deve referir-se que efν não é em normalmente um inteiro pelo que será
necessário interpolar entre valores dados na tabela. Interpolação linear é
suficiente para efν > 3; interpolação de ordem superior deve ser usada nos
outros casos. Alternativamente, usar o valor inferior mais próximo. O valor de k95 obtido da tabela é o valor requerido para calcular a incerteza de medição expandida U95 tal como indicado na equação seguinte,
( )yukU .9595 = (17)
As circunstâncias ideais para aplicação do GUM são aquelas onde existe um modelo aditivo relacionando as variáveis de entrada Xi com a
mensuranda Y, isto é,
nn XaXaY +⋅⋅⋅+= 11 (18)
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM para quaisquer constantes a1,…,an, e qualquer valor de n, grande ou pequeno, desde que as quantidades de entrada Xi tenham distribuições
Gaussianas independentes. Noutras circunstâncias o método GUM convencional fornece em geral uma solução aproximada. A qualidade dessa
aproximação irá depender do número das grandezas de entrada, do grau de não-linearidade do modelo, do desvio em relação à distribuição normal de cada grandeza de entrada e da ordem de magnitude das incertezas
envolvidas, sabendo que a distribuição Y resultante converge para uma
distribuição normal à medida que o número de grandezas de entrada
aumenta e se aproximam os valores das incertezas entre si. Essa aproximação pode ser em muitas circunstâncias perfeitamente aceitável
para aplicações práticas. Noutras pode não ser esse o caso. É conveniente
ler a declaração da secção G.6.6 do GUM.
3. Exemplos de cálculos de incertezas de medição segundo o GUM
3.1 Calibração de uma balança com capacidade de 205 g e resolução de
0,1 mg
A calibração é realizada usando pesos da Classe (OIML) E2. Os testes abrangem um ensaio de linearidade (exactidão) de resposta ao longo da
escala de funcionamento da balança, um ensaio de excentricidade em
resposta ao posicionamento dos pesos em vários pontos do prato da
balança e um ensaio de reversibilidade para determinar a resposta da balança a ciclos ascendentes e descendentes alternados. O ensaio de
repetibilidade está incluído no ensaio de linearidade.
Admite-se que o instrumento de pesagem está nivelado, limpo e em boas condições, e que lhe foi efectuada uma auto-calibração (de acordo com as
Qualidade e Metrologia
instruções do fabricante) antes do início do ensaio de calibração propriamente dito. O cálculo de incerteza abaixo é referente a um valor de
200 g perto do alcance máximo. As indicações da balança são obtidas da seguinte forma:
Indicação pretendida, IARdPPX CIRDPI ++++= δ
onde PP = Peso certificado do padrão de referência,
PD = Degradação do padrão desde a última calibração,
dRδ = Arredondamento do valor de um dígito da indicação,
IAC = Correção devida à impulsão do ar;
RI = Repetibilidade da indicação.
Vamos admitir as seguintes condições de ensaio:
- O certificado de calibração para a massa padrão de referência
de 200 g dá-nos uma incerteza de ± 0,1 mg para um nível de
confiança de 95 % (k = 2);
- O valor máximo admitido para os limites da degradação da
massa padrão foi fixado em ± 0,1 mg, por análise ao histórico
das calibrações. A distribuição de probabilidade é assumida
como sendo triangular;
- O último dígito significativo nos valores a calibrar
corresponde a 0,1 mg, logo existe um possível erro de
arredondamento de ± 0,05 mg. A distribuição de
probabilidade é assumida como sendo rectangular;
- Não se considera qualquer correcção para a impulsão do ar;
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM
- A repetibilidade da balança foi determinada através de uma série de 5 leituras efectuadas (Avaliação do tipo A) com a
massa padrão de 200 g. Entre cada pesagem é importante verificar o zero (tara) da máquina. O desvio-padrão
experimental obtido foi de 0,05 mg, para um valor médio das 5 leituras de 199,9999 g. O número de graus de liberdade para esta avaliação é de 4 (N - 1). O desvio padrão da média
vem,
0224,0505,0)(
)()( ====NPs
PsIu CCR mg
Balanço da incerteza para o patamar de 200 g
Símb Fonte de incerteza Valor ± mg
Distribuição de probabilidade Divisor ic )( Xlu
± mg efν
PP Calibração do peso padrão 0,1 normal 2,0 1,0 0,05 50
PD Degradação do padrão desde última calibração
0,1 triangular 6 1,0 0,058 50
dRδ
Erro de arredondamento digital
0,05 rectangular 3 1,0 0,029 ∞
RI Repetibilidade da indicação 0,022 normal 1,0 1,0 0,022 4
IAC Impulsão do ar 0 rectangular 3 1,0 0,0 50
)( Xlu Incerteza de medição padrão normal 0,085 >125
%95U
Incerteza de medição expandida normal
(k = 2) 0,17 >125
Qualidade e Metrologia
Para um peso aplicado de 200 g a indicação da balança seria então de
199,9999 g ± 0,17 mg. Esta incerteza expandida é baseada numa incerteza
padrão que, quando multiplicada por um factor de expansão k = 2, corresponde a um nível de confiança de 95%.
3.2 Calibração de um paquímetro digital de alcance 200 mm e resolução
0,01 mm
A calibração foi efectuada usando um calibrador de paquímetros e blocos
padrão de referência. Para cada patamar de ensaio obtemos um desvio de
calibração Lδ que é dado pela diferença entre o comprimento indicado
pelo instrumento a calibrar e o valor convencionalmente verdadeiro do padrão de referência,
SX LLL −=δ (19)
Um factor determinante em muitos casos nos ensaios de comprimento é a temperatura, não só devido à sua variação durante o ensaio mas
igualmente por razões do desvio relativamente à temperatura de
referência em laboratórios 0t que é de 20 ºC. Estas variações têm origem
no controlo das condições ambientais, na presença de operadores no espaço físico do ensaio e, por vezes, no próprio aquecimento produzido pelos
equipamentos em funcionamento, que são impossíveis de eliminar, daí o
desvio e a amplitude de variação referidos. Em termos do ensaio experimental estes factores vão produzir uma diferença entre as
temperaturas médias (a que se associa sempre um intervalo de variação) a
que se encontram os equipamentos de referência e a calibrar, St e
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM
Xt respectivamente, com influência na incerteza de medição como se
indica a seguir. Contabilizando na equação anterior o efeito provocado pela variação da temperatura na variação do comprimento, o modelo de
medição transforma-se em,
( )[ ] ( )[ ]00 11 ttLttLL SSSXXX −+−−+= ααδ (20)
Considerando os vários factores que afectam a medição de um
comprimento, nomeadamente degradação, repetibilidade e efeitos
mecânicos, entre outros, a equação do modelo matemático que descreve o comprimento desconhecido de um bloco padrão a calibrar vem então:
( )[ ] EMOPMXSDSX LRRITtLLILLL δδαδδαδ +++−+−+++= (21)
onde SL = Comprimento certificado do comprimento de referência a 20 ºC,
DL = Degradação do comprimento de referência (calibrador ou bloco padrão),
SI = Correcção devida à correcção dos valores lidos no equipamento de referência,
Lδ = Diferença de comprimento determinada no ensaio, L = Comprimento nominal do patamar ensaiado, α = Valor médio dos coeficientes de expansão térmica do
padrão e do paquímetro, tδ = Diferença entre as temperaturas médias do padrão e
do paquímetro, αδ = Diferença entre os coeficientes de expansão térmica do
padrão e do paquímetro, Tδ = Diferença entre a temperatura média do padrão e
paquímetro, e a temperatura de referência de 20 ºC, XI = Correcção devida à resolução finita do paquímetro, MR = Repetibilidade da medição,
Qualidade e Metrologia
OPR = Reprodutibilidade dos operadores, EMLδ = Correcção devido a efeitos mecânicos, como força
aplicada e o paralelismo das faces de medição. Vamos admitir as seguintes condições de ensaio:
- O certificado de calibração para o calibrador de paquímetros (padrão de referência) por patamares, que no caso dos 200 mm igual a ± 1,7x10-3 mm para um nível de confiança de 95 % (k = 2);
- O valor anual médio da degradação dos últimos três anos foi calculado, analisando o histórico dessas calibrações, dando 0,8x10-3 mm. A distribuição de probabilidade é assumida como sendo triangular;
- Não há desvios residuais a considerar;
- A diferença resultante do ensaio de exactidão (3 leituras) foi de 0,01 (arredondado de 0,008), para um valor nominal de L = 200 mm;
- Valor médio do coeficiente de expansão térmica tomado como 11,5x10-6 ºC-1;
- Diferença entre as temperaturas médias do padrão e do paquímetro, estimada em 0,2 ºC;
- Diferença entre os coeficientes de expansão térmica do padrão e do paquímetro, estimada em 2,0x10-6 ºC-1com distribuição triangular;
- O desvio em relação à temperatura de referência é tomado como a maior diferença para 20 ºC ocorrida durante o ensaio, cujas temperaturas são registadas, mais a incerteza do instrumento que mede esses valores; estimada em ± 0,5 ºC;
- Sendo a resolução 0,01 mm esta incerteza é tomada como ± 0,005 mm e é assumida uma distribuição rectangular centrada;
- Foram efectuados 10 ensaios para determinar esta fonte de incerteza, tendo-se chegado a um desvio padrão experimental de ± 7,4x10-3 mm. O correspondente desvio padrão da média é de ± 2,3x10-3 mm;
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM
- A reprodutibilidade dos operadores é baseada em 10 leituras para diferentes situações de ensaio, sendo de ± 8,8x10-3 mm. O correspondente desvio padrão da média é de ± 2,8x10-3 mm.
- O desvio de paralelismo foi determinado como a máxima diferença entre leituras com os blocos-padrão em pontos distintos nas hastes de medição. Esse valor é de 0,01 mm sendo considerada uma distribuição rectangular descentrada.
Balanço da incerteza para o patamar de 200 mm (pontas exteriores)
Símb Fonte de incerteza Valor ± µm
Distribuição de probabilidade Divisor ic )( Xlu
± µm efν
SL Calibração do padrão de refª. 1,7 normal 2,0 1,0 0,85 50
DL Degradação média anual do padrão de refª. últimos 3 anos
0,4 triangular 6 1,0 0,163 50
SI Correcção dos erros do padrão de refª. 0,0 rectangular 3 1,0 0,0 50
tδ Diferença de temp. entre equipamentos 0,1 ºC rectangular 3 -2,3
µmºC-1 0,133 50
T∆×αδ
Efeitos do desvio de temp. em relação à temp. (20ºC) de refª.
0,2 triangular 6 -1,0 0,082 50
XI Erro de arredonda-mento digital 5,0 rectangular 3 -1,0 2,89 ∞
MR Repetibilidade das medições 2,3 normal 1,0 1,0 2,3 9
OPR Reprodutibilidade dos operadores 2,8 normal 1,0 1,0 2,8 9
EMLδ
Efeitos mecânicos (e.g. Paralelismo) 5,0 rectangular 3 1,0 2,89 50
)( Xlu Incerteza de medição padrão normal 5,53 >80
%95U Incerteza de medição expandida Normal
(k = 2) 11 >80
Qualidade e Metrologia
4. O método de Monte Carlo como alternativa para o cálculo de incertezas de medição
Embora o método de Monte Carlo (MCS) já tenha sido aplicado ao cálculo de incertezas em problemas metrológicos, o seu uso tem sido confinado aos
NMIs – Institutos Nacionais de Medição (Laboratórios Primários), devido à sua natureza computacional intensiva, ou a casos onde a distribuição atribuída às grandezas de entrada são as mais comuns Gaussiana (ou
normal) e rectangular (ou uniforme). Como se sabe, outras distribuições
existem como a distribuição triangular e a distribuição em U (e.g
metrologia eléctrica) e combinações destas com as anteriores. A questão principal está não só na determinação de uma incerteza de medição expandida cujo valor seja correcto, mas igualmente no intervalo de
confiança correspondente, questões que nos conduzem à adequação e
validação do GUM.
A grande vantagem do MCS reside não só no facto de os seus resultados tenderem para a solução exacta, dependendo do número de simulações (trials) efectuadas, mas também no facto de fornecer informação muito
mais completa acerca do modelo de medição analisado. Essencialmente o MCS é um método estatístico de amostragem que serve de alternativa à
propagação das incertezas por aproximação do modelo de medição através de séries de Taylor, como no GUM. De facto, o MCS propaga as funções de
densidade de probabilidade (pdf) ao invés de apenas as incertezas das grandezas de entrada, conseguindo assim obter uma estimativa da pdf da mensuranda em vez de um simples parâmetro estatístico como o desvio
padrão final. Com essa estimativa da pdf resultante é depois possível determinar qualquer parâmetro estatístico, incluindo estimativas do
resultado da medição, a incerteza associada e o intervalo de confiança
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM correspondente. Outra importante vantagem do MCS é a sua aplicabilidade independentemente da natureza do modelo de medição, por
exemplo modelos marcadamente não-lineares, e a sua capacidade para trabalhar com modelos de estágios múltiplos.
Como referido atrás em relação ao modelo de medição (puramente aditivo)
mais comum nn XaXaXaY +⋅⋅⋅++= 2211 , o GUM é
particularmente adequado para modelos lineares mas requer que as
grandezas de entrada iX tenham distribuições Gaussianas
independentes. Qualquer desvio em relação a esta condição ideal implica
que o resultado do GUM seja apenas uma aproximação, que irá depender de vários factores como o número de variáveis de entrada, grau de não-linearidade, etc., e em muitas ocasiões a aplicação do GUM não é aceitável,
sendo sugerida a aplicação de métodos numéricos, como o MCS, para avaliar adequadamente as incertezas de medição. Um exemplo comum
onde o GUM pode produzir um resulto incorrecto é na soma de duas distribuições rectangulares com igual semi-amplitude. Nesta situação pode
ser demonstrado, analiticamente ou usando o MCS, que a distribuição
resultante não é Gaussiana mas sim triangular (ou trapezoidal para semi-amplitudes arbitrárias) [Cox]. A aproximação a uma distribuição
Gaussiana é significativamente melhorada quando a soma das grandezas com distribuição uniforme passa de duas para três, o que reforça a
importância do número de grandezas de entrada nas aplicações do GUM. Outro facto ilustrativo de uma outra desvantagem do GUM: tudo o que este produz é um parâmetro estatístico, o desvio padrão, não dando
quaisquer informações sobre a forma da distribuição da mensuranda que é
sempre assumida como normal, uma hipótese nem sempre válida.
Qualidade e Metrologia
Como vimos também o MCS tende para a solução exacta dependendo do número de simulações efectuadas, a exactidão aumentando com este
número (M). Há formas de determinar o número M adequado de simulações para um problema específico, sabendo que o número correcto
de simulações irá depender da forma da pdf e do nível de confiança pretendido. Todavia, um valor de 60000 simulações tem sido adequado para intervalos de confiança a 95% num grande número de testes, mas
mesmo assim deve ser sempre verificado com base no comprimento do intervalo de confiança correspondente, nos percentis 2,5 e 97,5,
relativamente ao número de dígitos significativos na mensuranda. É este o critério de convergência sugerido em [Cox] para garantir um determinado nível de exactidão na incerteza calculada. Assumindo então o valor de
60000 simulações, a aplicação do MCS envolve os seguintes passos
principais [2]:
- Gerar M amostras xi de das grandezas de entrada X;
- Avaliar o modelo yi com base na relação funcional, e.g.
Mixxy iii ,....,1,2,1 =+= para obter a grandeza
desconhecida;
- Ordenar os valores de yi de forma crescente e produzir o histograma correspondente, para permitir estimar a pdf de Y;
- Tomar o intervalo ),( )2/1()2/( MM yy αα − como um intervalo de
)1( α− confiança para a mensuranda;
- Executar um teste específico para validar o procedimento a um
determinado nível de exactidão.
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM Apenas como exemplo do que atrás foi dito, e para que se possa ter uma maior sensibilidade em relação às potencialidades deste método, vejam-se
as três figuras abaixo que reflectem o tal modelo simples aditivo em que as grandezas de entrada têm todas uma distribuição em U [6]. As figuras 1, 2
e 3 abaixo referem-se, sucessivamente, à soma de duas, três e quatro grandezas de entrada com a distribuição referida. Como se pode facilmente constatar, apenas a partir do último caso se pode falar, como aproximação
razoável, de uma distribuição normal resultante. Nos outros casos
estaríamos a assumir algo totalmente irrealista e contrário ao resultado
produzido.
0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Histogram
807
0
n1hist_int
fww
0.1690.17 int
Figura 1 Soma de duas distribuições em U
Qualidade e Metrologia
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
100
200
300
400
500
Histogram
475
0
n1hist_int
fww
0.2390.241 int
Figura 2 Soma de três distribuições em U
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350
100
200
300
400
500
600
Histogram
595
0
n1hist_int
fww
0.3180.321 int
Figura 3 Soma de quatro distribuições em U
Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM 5. Conclusões
Não se infira do último capítulo que o GUM afinal não é o melhor método
para o cálculo das incertezas ou que não é sequer adequado para este fim,
numa reacção mais drástica aos cuidados que se devem ter na análise ao
modelo de medição que se pretende estudar. Pelo contrário, o GUM continuará a ser o método mais utilizado no cálculo das incertezas de medição, e a sua adequação ao fim para que é utilizada será correcta na
grandíssima maioria dos casos. Refira-se ainda que o documento GUM é
um documento bastante completo que preconiza diferentes abordagens
para diferentes problemas, nomeadamente o uso de termos de ordem superior da série de Taylor, mas que é utilizado quase exclusivamente na
sua versão mais simplificada, que mesmo assim tem validade para a
maioria das situações correntes da metrologia.
Este facto, no entanto, não invalida que em condições particulares devam
ser empregues outros processos de cálculo, como o método de Monte Carlo, ou que pelo menos o GUM não tenha que ser validado para essa aplicação
específica. Um exemplo corrente onde pode ocorrer tal situação é quando existem poucas grandezas de entrada e em que, ao mesmo tempo, uma delas é dominante e não é Gaussiana, para não mencionar outras situações
menos correntes de modelos de complexidade acrescida.
Referências bibliográficas
[1] ISO, BIPM, CEI, IFCC, IUPAC, IUPAP, OIML. Guide for the
Expression of Uncertainty in Measurement (GUM), 1995.
Qualidade e Metrologia
[2] Cox, M., Dainton, M. and Harris, P. M., Uncertainty and Statistical Modelling. Software Support for Metrology Best
Practice Guide Nº 6, National Physical Laboratory, 2001.
[3] EA. Expression of the uncertainty of measurement in calibration.
Technical Report EA-4/02, European Co-operation ofr Accreditation, 1999.
[4] UKAS. The Expression of Uncertainty and Confidence in
Measurement. Ref. M3003, United Kingdom Accreditation
Service, 1997.
[5] LNEC. Avaliação da incerteza associada à calibração de equipamentos de medição de comprimento por comparação directa. Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Relatório
274/01 – CPCE.
[6] Ribeiro, A.S., Sousa, J.A. and Castro, M.P., Some Remarks on the
Use of U-Shaped Probability Distribution Functions in Monte Carlo Simulation. 10th IMEKO TC7 International Symposium “Advances of Measurement Science”, June 29 – July 2, Saint-
Petersburg, Russia, 2004.
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