7/25/2019 Problema 2 [Geometria]Carlos Victor
1/2
1
PROBLEMA 2 GEOMETRIA [2016] - PROPOSTO POR CARLOS VICTOR
ABC um triangulo issceles com AC = BC e AB = 2. D o ponto mdio do lado AB.
A razo da medida r ( raio da circunferncia inscrita ) para a medidaR ( raio da circunferncia circunscrita)
igual a 3 : 8. Nestas condies existem somente dois tringulos diferentes [a menos de congruncias].
Sabe-se que em um dos tringulos, CD2 um inteiro a, enquanto que no outro tringulo,
CD2=n
m
, com mdc ( m, n) = 1. Determine o valor da soma: a + m + n.
RESOLUODesde que r: R= 3 : 8, ento r= 3k e R= 8k para algum k> O.
Denotando por O e I respectivamente circuncentro e incentro do ABC,
OI2= R22Rr [TEOREMA DE EULER].
Dai, OI2= 64k248k2= 16k2 e, portanto, OI = 4k.
Como o ABC issceles de base AB , e D ponto mdio de AB , ento necessariamente
O, I pertencem reta CD e CD . AB . Ainda mais, como ID AB, ento ID = r = 3k .
Nestas condies, claramente , I um ponto interior ao ABC edistinto de O (OI = 4k>0), enquanto que O D,
pois, caso contrrio, OI = r, o que implica, 4k = 3k, ou seja, k = 0 ; contrariando o fato de k > 0. Por curiosidade, a
igualdade O = D ,leva-nos a razo 8
312
12
r
r
R
r
( figura).
Por outro lado, sendoID = r = 3k < OI = 4k, ento , claramente, O externoao segmento ID.
Deste modo , existem apenas duas posies possveis para o ponto D em relao ao segmento OI :
(I) D externo ao segmento OI ( C < 900). ( II)D interno ao segmento OI ( C > 900).
7/25/2019 Problema 2 [Geometria]Carlos Victor
2/2
2
De ( I):
ADO
e
222
15
AOODAO
kODCOIDOICOCD
e
2264491
1578
kk
kkkCD
e
115
15.15
2
22
k
kCD
152 CD .
De ( II):
ADO
e
222AOODAO
IDCICD
e
22641
734
kk
kkkCD
e
17.9
7.7
2
22
k
kCD
9
72 CD .
Destes resultados, conclui-se que existem somente dois tringulos ( ABC)diferentes; satisfazendo o enunciado.
Um deles, com CD2= 15 , o que implica a = 15 , enquanto, o outro com CD2=9
7,o que implica m = 7 e n = 9.
Portanto, a + m + n = 15 +7 + 9 = 31.
RESPOSTA: 31
NOTA1 : TEOREMA DE EULER DISTNCIA DO CIRCUNCENTRO AO INCENTRO.
NOTA 2 : TEXTO ORIGINAL PROPOSTO POR CARLOS VICTOR
AUTOR:Luiz Antonio Ponce Alonso [ 07/01/2016]
Top Related