Download - Problemas Omegaleph 2011

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Vamos abrir neste tópico a oportunidade de propormos vários problemas e sugerir e postar possíveis soluções. Começemos pelo seguinte teorema. 1) Demontrem o seguinte teorema que irei usar para resolver vários problemas: Paradoxo de Galileu: "Qualquer conjunto enumerável tem uma bijeção sobre um subconjunto próprio de si mesmo". Este teorema nos ajudará a sair de aparentes complicações e revelará resultados realmente paradoxais. 2) Prove que [\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}}}}}] é inteiro, usando o Paradoxo de Galileu. 3) (IME) Calcule: [\lim_{x\rightarrow2 }\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}}}}], usando o Paradoxo de Galileu. OBS: Saiba que [\lim_{x\to L}x=L]. 4) (OMEGALEPH) Galileu ficou perplexo com os seguintes resultados: a) Há tantos números inteiros positivos quantos são os quadrados dos números inteiros. Ou seja, designando por d o cardinal dos números inteiros positivos, prove que #NQ = {1, 4, 9, 16, 25, ...} é igual a #[\mathbb{N}]={1, 2, 3, 4, 5, ...} = d. b) Prove que há tantos inteiros positivos quantos são os números triangulares. Lembre-se que os triangulares são os números 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ..., ou seja, são os obtidos pela relação de recorrência: [T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}]. Perfeito, João! Depois eu faço uma demonstração mais formal, mas você atingiu o coração da famosa Aritmética Transfinita, sobre a qual vamos nos deter posteriormente. No problema das raízes de raízes de raízes ..., experimente fazer o seguinte: [\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}}}}}] = k. Em seguida, eleve os dois lados da igualdade ao quadrado e perceba que, usando o Paradoxo de Galileu, você poderá escrever que: [2 * \left (\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}}}}})\ \right ) =k^{2}] Por fim, pelo paradoxo de Galileu, podemos dizer que ainda teremos: [$$2*\left({\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...}}}}}}}}_{{k}}}\right)=k^{2}] Sendo assim, teremos: [2.k = k^{2} \therefore k = 2.]

C.Q.D. Use o mesmo raciocício com a questão 3. Depois voltamos. Caso alguém não consiga ver as resoluções em TeX, instale o seguinte plugin (extensão): https://chrome.google.com/webstore/detail/mbfninnbhfepghkkcgdnmfmhhbjmhggn O resultado será imediato e você verá as fórmulas em grande estilo. Abraços.

Demonstração do Paradoxo de Galileu 1) Demonstrem o seguinte teorema que irei usar para resolver vários problemas: Paradoxo de Galileu: "Qualquer conjunto enumerável tem uma bijeção sobre um subconjunto próprio de si mesmo". Prova. Consideremos um conjunto [S_1] cujos elementos satisfaçam a condição do teorema de ser um conjunto enumerável. Sendo assim, poderemos escrever que: [S_1=\left \{ s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6, ... \right \}]. Agora, construamos o conjunto que satisfaça às condições do enunciado. Para simplificar podemos tomar [S_2=S_1-\left \{s_1\right\}=\left \{s_2, s_3, s_4, s_5, s_6, ... \right \}]. Observe que os inteiros positivos são os índices dos elementos de [S_1] e de [S_2], de modo que se visualize de forma clara a enumerabilidade como também o fato de [S_2] ser um subconjunto próprio de [S_1], estando, portanto, inteiramente contido em [S_1]. É fácil ver que podemos construir uma bijeção do tipo: [s_1\leftrightarrow s_2, s_2\leftrightarrow s_3, s_4\leftrightarrow s_4, ... s_i\leftrightarrow s_{i+1}, ...], com [s_i \in S_1 \wedge s_{i+1}\in S_2] . Tal bijeção é, como se vê, injetiva entre o conjunto [S_1] e o conjunto [S_2] pela simples eliminação de [s_1]. Assim, para cada elemento de podemos fazer corresponder um único elemento de [S_2], pela bijeçãoad infinitum dada por [s_i\leftrightarrow s_{i+1}], com [s_i \in S_1 \wedge s_{i+1}\in S_2]. Ou seja, todos os elementos de [S_1] podem ser colocados em correspondência biunívoca com os elementos de [S_2], [s_i\leftrightarrow s_{i+1}]. Sendo assim, podemos dizer que o cardinal do conjunto [S_2] é igual ao cardinal do conjunto [S_1] que, por sua vez, é igual ao cardinal do conjunto [\mathbb{N}]. Simbolicamente, escrevemos [\sharp\left ( S_1 \right ) = \sharp\left (S_2 \right ) = \sharp\left ( \mathbb{N} \right ) = \aleph_0=\mathbf{d}]. Por conseguinte, qualquer conjunto enumerável tem uma bijeção sobre um subconjunto próprio de si mesmo. C.Q.D

Por que o termo PARADOXO? A simples definição de PARADOXO é que ele consiste de uma afirmação aparentemente contraditória, mas que é, no entanto, verdadeira. O Paradoxo de Galileu prova que há tantos números naturais quantos são os números ímpares, pares, triangulares, ..., o que parece um contrasenso. Daí o termo paradoxo. O número cardinal transfinito [\aleph_0] foi designado pelo matemático alemão Georg Cantor (1845–1918), o criador da Teoria dos Conjuntos, para designar o menor número cardinal. Em seguida, temos o cardinal dos números reais [\aleph_1], que identifica o número transfinito dos números reais, ou da reta real.

Cantor viveu dias conturbados porque suas descobertas revolucionaram o conceito de número na sua época e ele chegou a resultados realmente paradoxais, pois a Aritmética Transfinita, tema de minha dissertação de mestrado, realmente apresenta resultados surpreendentes que até o próprio Cantor perguntava a Dedekind se ele estava correto em suas conclusões. Alguns resultados da teoria dos conjuntos de pontos realmente eram tão paradoxais, que Cantor mesmo, em certa ocasião, em 1877, escreveu para Dedekind: “Eu vejo, mas eu não creio!”; e pediu a seu amigo para examinar as provas. Nessa época foi que, pela primeira vez, chegou-se a uma definição rigorosamente matemática de infinito, pois ninguém havia realmente definido o que era um conjunto infinito. Também se descobriu que há diferenças entre infinito e infinito. Em síntese: Diz-se que um sistema S é infinito quando ele é semelhante a uma parte própria de si mesmo. Caso contrário, dir-se-á que S é um sistema finito. Um conjunto S é infinito se e somente se existe uma bijeção de S com um subconjunto próprio de S. Volto ao assunto amanhã, com vários exemplos paradoxais.

Solução do Problema 3 No problema 3 das raízes de raízes de raízes ..., envolvendo x, experimente fazer mesmo que foi feito no problema anterior: [\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}}}} = k. ] Em seguida, eleve os dois lados da igualdade ao quadrado e perceba que: [x * \left ( \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}}}}\ \right ) =k^{2}] Por fim, pelo Paradoxo de Galileu, podemos dizer que teremos: [$$x*\left({\underbrace{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}}}}}_{{k}}}\right)=k^{2}] Sendo assim, vem: Deste modo, se [\lim_{x\rightarrow L }x=L], então: [\lim_{x\rightarrow2 }\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}}}}=\lim_{x\rightarrow2 }x=2]. De fato, apenas não constava no enunciado a dica de que [\lim_{x\rightarrow L }x=L], por ser, na época da prova, um conceito elementar da Teoria dos Limites, matéria exigida pelo IME nesta prova de 1964/1965, que exemplifica que Cálculo era assunto de ensino médio. Prossigamos na direção contrária à proposta do ENEM. 5) (OMEGALEPH-2011) Usando o Paradoxo de Galileu, calcule: a) [\Psi\left ( x,y \right )=\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y}}...}}}}] b) [\Phi\left ( x,y,z \right )=\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z}}...}}}}] c) [\Lambda=2\Psi^7\left ( 1,1 \right )+4\Phi^3\left ( 1,1,1 \right )] Roteiro:

1) Em a), determine [\Psi^4] e em b) determine [\Phi^8]. Em ambos os casos, aplique o Paradoxo de Galileu e pronto. 2) Em c), determine o que se pede com base nas funções obtidas em a) e b). Observação sobre [\Lambda, \Psi] e [\Phi] [\Psi] e [\Phi] São apenas outra forma de eu escrever que são, respectivamente, funções de duas e três variáveis. Apenas embelezamento estético para acostumar o estudante a usar letras gregas em fórmulas, como ele verá muitas em seus estudos superiores. Assim, [\Psi\left ( x,y \right )=\ f\left ( x,y \right)] e também [\Phi\left ( x,y,z \right )=\ f\left ( x,y,z \right)] Apenas isso. Também perceba que, poderíamos ter convencionado que: [\Psi\left ( x,y \right )=\Psi] e também [\Phi\left ( x,y,z \right )=\Phi] E, assim, criar várias relações entre [\Lambda, \Psi] e [\Phi]. Pois é, Renatinha, aqui eu apenas coloquei a fundamentação teórica, o Paradoxo de Galileu, com demonstração detalhada e enquadramento dentro da área específica, a Aritmética Transfinita, que fornece o teorema por trás da resolução que você propôs para 5.a). Vale ressaltar que os problemas que vamos resolver no estilo Omegalheph, apesar de contemplar IME/ITA/IIT/MIT/Putnam/USAMO/AIME/IMO ..., estará apresentando problemas específicos desses vestibulares e competições, mas sempre procurando aprofundar a fundamentação teórica e partir, sempre que possível, para as generalizações. Em outras ocasiões, trataremos dos problemas genéricos e os dos vestibulares e competições serão apenas aplicações ou casos particulares. Nossa intenção é ensinar o estudante a ir do particular para o genérico e do genérico para o particular. Omegaleph pretende ser um tratamento sui generis de questões não-elementares por metodologias elementares e questões elementares por metodologias não-elementares. Vamos ao trabalho. Forte abraço.

Solução do Problema 5 5) (OMEGALEPH-2011) Usando o Paradoxo de Galileu, calcule: a) [\Psi\left ( x,y \right )=\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y}}...}}}}] b) [\Phi\left ( x,y,z \right )=\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z}}...}}}}] c) [\Lambda=2\Psi^7\left ( 1,1 \right )+4\Phi^3\left ( 1,1,1 \right )]

Solução: a) [\Psi\left ( x,y \right )=\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y}}...}}}}] Neste caso, sigamos os mesmos procedimentos que foram feitos nos problemas anteriores: Façamos: [\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y...}}}}}}} = k ] Elevando os dois membros a 4: [x^2.y*\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y ...}}}} =k^4] Note que, de acordo com o Paradoxo de Galileu, o que está dentro do parentese vale k (do enunciado) [x^2.y*\left ( \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y...}}}} \right ) =k^4] Ou seja, o Princípio de Galileu nos permite asseverar que: [$$x^2.y*\left({\underbrace{\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y...}}}}}}}_{{k}}}\right)=k^{4}] Sendo assim: [x^2.y.\left k =k^4] logo [x^2.y\left =k^3 \therefore k=\sqrt[3]{x^2.y}] Portanto, [\Psi\left ( x,y \right )=\sqrt[3]{x^2.y}] Então, [\Psi\left ( 1,1 \right )=\sqrt[3]{1^2.1}=1] e [2\Psi^7\left ( 1,1 \right ) = 2.1^7=2] b) Resolvendo, teremos, em analogia com os procedimentos anteriores: [\Phi\left ( x,y,z \right )=\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z}}...}}}}] Neste caso, sigamos também os mesmos procedimentos que foram feitos nos problemas anteriores: [\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z...}}}}}}} = k ] Elevando os dois membros a 8: [x^4.y^2.z*\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z...}}}}}} =k^8]

Note que, de acordo com o Paradoxo de Galileu, o que está dentro do parentese vale k (do enunciado) [x^4.y^2.z*\left ( \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z...}}}}}} \right ) =k^8] Ou seja, o Princípio de Galileu nos permite asseverar que: [$$x^4.y^2.z*\left({\underbrace{\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z...}}}}}}}_{{k}}}\right)=k^{8}] Sendo assim: [x^4.y^2.z.\left k =k^8] logo [x^4.y^2.z\left =k^7 \therefore k=\sqrt[7]{x^4.y^2.z}] Portanto, [\Phi\left ( x,y,z \right )=\sqrt[7]{x^4.y^2.z}] Então, [\Phi\left ( 1,1,1 \right )=\sqrt[7]{1^4.1^2.1}=1] e [4\Phi^7\left ( 1,1,1 \right ) = 4.1^7=4] Por fim, c) Calculando: [\Lambda=2\Psi^7\left ( 1,1 \right )+4\Phi^3\left ( 1,1,1 \right )=2+4=6] Logo, [\Lambda=6] Isto conclui a solução do problema 5 e nos leva ao problema 6, que consiste numa generalização preparada pelo professor Kumar para testar o Sinthaya Gupta e prepará-lo para o IIT e o AIEEE da Índia. Este tipo de problema exige um pouco mais de conhecimento de Heurística dos estudantes e os estimula a desenvolver uma atitude metodológica matemática desde o princípio. Percebam um crescendo bem dosado do grau de dificuldade entre as questões e como o mesmo princípio, o Paradoxo de Galileu, está sendo bem explorado. Este é o paradigma do Sistema Omegaleph de Ensino. Vamos em breve à questão 6. 19 nov (6 dias atrás)

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Cê bem que podia explicar o que são polinômios simétricos. Não sei o que é, mas vi um garoto comentando aqui na comunidade e não achei nada sobre =z    

Polinômios simétricos

Cara Renatinha, você está falando em algo que envolva um problema como o que segue? Sabendo que: [;\left\{\begin{matrix} & x + y + z = 1 & \\ & x^2 + y^2 + z^2 = 9 & \\ & x^3 + y^3 + z^3 = 1 & \end{matrix}\right;]. Calcule: [;\frac{4}{x^4 + y^4 + z^4};] Este tipo de problema envolve o conceito de polinômios simétricos, e posso abrir um tópico sobre isto, se for do seu interesse. Preciso apenas saber se é isto que você tem em mente.

   Usando o conceito de polinômios simétricos, teríamos que [S_4 = 1.1-9.(-4)+1.(-4)=33], daí[\frac{4}{S_4}=\frac{4}{33}]. Na EUREKA! N°25 tem um artigo excelente que trata desses polinômios simétricos, mas também seria ótimos se o prof. Fabiano abordasse esse assunto aqui na comunidade :)        Como  vimos,  o  Paradoxo  de  Galileu  encurta  o  caminho  na  solução  de  questões  que,  caso  recorrêssemos  a  séries  geométricas,  teríamos  de  trabalhar  um  pouco  mais.  Fomos  criteriosos  nas  aplicações  dos  conceitos,  aumentando  gradualmente  o  nível  de  dificuldade  das  questões.    Agora,  tenho  mais  duas  questões  para  dominarmos  definitivamente  o  assunto  e  que  demonstrarão  se  vocês  realmente  aprenderam  a  usar  o  Paradoxo  de  Galileu,  teorema  tão  importante,  mas  que  poucos  estudantes  do  ensino  médio  já  viram  e  com  a  devida  demonstração  e  explicação.    (OMEGALEPH  2011)  Questão  6:  Usando  o  Paradoxo  de  Galileu,    a)  Calcule:    [;  \delta=\left  (  x_1,x_2,x_3,x_4  \right  )=\sqrt{x_1\sqrt{x_2\sqrt{x_3\sqrt{x_4\sqrt{x_1\sqrt{x_2\sqrt{x_3\sqrt{x_4}}}}}}}}...;]    

b)  Prove  que  [;\sqrt{x_1\sqrt{x_2\sqrt{x_3...\sqrt{x_n\sqrt{x_1\sqrt{x_2\sqrt{x_3...\sqrt{x_n}}}}}}}}...=$${\left[{{\prod\limits_{k=1}^{n}{\left({x_{k}}\right)}}^{2^{n-­‐k}}}\right]}^{{{1}\over{2^{n}-­‐1}}}$$;],    para  todo  [;$$x_{k}\in  \mathbb{N}$$;].      Observação:  O  expoente  do  produtório  é  [;\frac  {1}{2^{n}-­‐1};]    

Polinômios simétricos - Teoria e Problemas Como sugerido pela Renatinha, abrimos um tópico sobre Polinômios Simétricos. Vamos, a partir de uma definicão desses polinômios e após os interessados lerem artigo citado abaixo, propor vários problemas para que os conceitos sejam bem ilustrados. Definição: Seja [$K$] um corpo e [$K[X_1,\ldots,X_n]$] o anel das formas polinomiais sobre [$K$]. Um polinômio [$f \in K[X_1,\ldots,X_n]$] é simétrico se para toda permutação [$\pi$] de [$\{1,\ldots,n\}$:] [$$ f(X_1,\ldots,X_n) = f(X_{\pi(1)},\ldots,X_{\pi(n)})$$.] Fórmulas de Viète Para um polinômio [$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$], com raízes [$z_1 , z_2, \dots, z_n$], que não precisam ser necessariamente distintas, temos que: [$\displaystyle \sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n} z_{i_1} \cdots z_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} $] para [$k = 1, 2, \dots, n$]. Listando essas fórmulas explicitamente, [*$z_1 + z_2 + \cdots + z_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$;] [*$z_1 z_2 + \cdots + z_1 z_n + z_2 z_3 + \cdots + z_2 z_n \cdots + z_{n-1} z_n = \frac {a_{n-2}}{a_n}$;] [*$\cdots$] [*$z_1 z_2 \cdots z_n = (-1)^n \frac {a_0}{ a_n}$.] Prova das Fórmulas de Viète Estas fórmulas de Viète são popularizadas no âmbito do ensino médio brasileiro como Relações de Girard, mas, seguindo Titu Andreescu e muitas outras obras de história de matemática, as designamos de Fórmulas de Viète. Oferecemos aqui uma prova destas relações. Primeiramente, observe que a indexação [$1 \le i_1 \le \cdots i_k \le n$] representa todos os subconjuntos possíveis de [$\{ 1, 2, \dots, n \}$] de tamanho [$ k $] até atingir . O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) pertmite-nos estabelecer que [$P(x) = a_n (x - z_1) \cdots (x- z_n)$], o que, de acordo com um corolário da fórmula do produto das somas

podemos reescrever [$P(x)$] como a soma das potências[$x^k$] com coeficientes resultante das somas de todos os produtos dos elementos dos subconjuntos de [$\{ z_1, \dots, z_n \}$] de tamanhos complementares [$n-k$]. Portanto, igualando respectivamente com os coeficientes originais de[$P(x)$], divididos todos eles por [$a_n$], obtemos assim as Fórmulas de Viète ou as assim chamadas Relações de Girard. Fazendo uma demonstração um pouco mais gráfica, a fim de que você possa acompanhar o algebrismo envolvido nesta prova, podemos explicitar todas as etapas da demonstração como segue abaixo. Isto fará parte de nossa abordagem sobre polinômios que está sendo escrita e em breve estará disponível no site do Projeto Omegaleph. Consideremos a equação: [P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+ ... a_{1}x+a_{0}=0], com [(a_n \neq 0)]. Sejam [$\{ z_1, z_2,z_3, \dots, z_n \}$] as raízes de [P(x)]. Pelo TFA podemos estabecer a seguinte identidade: [$P(x) \equiv a_n (x - z_1)(x - z_2) \cdots (x- z_n)$]. Assim: [$P(x) \equiv a_n (x - z_1)(x - z_2) \cdots (x- z_n)\equiv $] [P(x)=a_{n}x^{n}-a_{n}($\underbrace{z_1+z_2+z_{3}+...z_{n}}_{\sigma_{1}}$)x^{n-1}+$] [+a_{n}($\underbrace{z_1z_2+z_1z_3+...+z_{n-1}z_{n}}_{\sigma _{2}}$)x^{n-2}-]      [- a_{n}($\underbrace{z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+...+z_{n-2}z_{n-1}z_{n}}_{\sigma _{3}}$)x^{n-3}+...+] [+(-1)^ka_n\sigma _kx^{n-k}+ ... + (-1)^na_n($\underbrace{z_1z_2z_{3}...z_{n}}_{\sigma _{n}})$] Com [$\sigma _k$] representamos a soma de todos os [$C_{n}^{k}$] produtos de [$k$] raízes de [$P(x) = 0$], calculada como [$\sigma _k=(-1)^k \frac {a_{n-k}}{a_n}] . Por fim, basta igualarmos as duas formulações de [$P(x)$] para obtermos: [$\sigma _1$ = z_1+z_2+z_{3}+...+z_{n}] [$\sigma _2$ = z_1z_2+z_1z_3+...+z_{n-1}z_{n}] [$\sigma _3$ = z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+...+z_{n-2}z_{n-1}z_{n}] ............................................................................................................... [$\sigma_k$ = $$\sum\left[{\prod\limits_{k}{C_{n}^{k}}(z)}\right]$$ = (-1)^k \frac {a_{n-k}}{a_n}] ................................................................................................................ [$\sigma _n$ = z_1z_2z_{3}...z_{n} = (-1)^n \frac {a_0}{a_n}]

Portanto, terminamos a prova das Fórmulas de Viète ou as assim chamadas Relaões de Girard, que estabelece as relações entre os coeficentes e as raízes da equação polinomial [$P(x)$]. [$C.Q.D.$] Em seguida veremos outros resultados que poderão ser usados para resolvermos inúmeras questões tipo IME, ITA e Olimpíadas que envolvem os conceitos de Fórmulas de Viète e sua aplicação a questões sobre polinômios simétricos, Somas de Newton e temas correlatos dentro do tema Polinômios, cujos Polinômios Simétricos definidos acima fazem parte. Aguardem que daremos prosseguimento.

Primeiras Questões Como aplicação das Fórmulas de Viète, resolva as seguintes questões: Questão 1: Usando as Fórmulas de Viète, calcule a soma dos quadrados e a e a soma dos cubos das raízes da equação [x^3 - px + qx - r = 0$] . Questão 2: Se o conjunto-solução da equação [x^4 - \alpha x^3 + \beta x^2 - \gamma x + \delta = 0] é [$$S$=\left\{{r_{1},\ r_{2},\ r_{3},\ r_{4}}\right\}$$], calcule, em função de [ $\alpha$], [$ \beta$], [ $\gamma$] e [$ \delta$], o número [$$\varphi$$ = \frac {1}{r_1} + \frac {1}{r_2} + \frac {1}{r_3} + \frac {1}{r_4}$] .

> Euacalahd 1) De acordo com suas definições acima, fiz assim: [S_2=r_1^2+r_2^2+r_3^2=\sigma_1-2\sigma_2], basta substituírmos pelas relações de Girard agora [\longrightarrow S_2=(-b)^2-2c=p^2+2r]. No caso da soma dos cubos, temos [S_3=r_1^3+r_2^3+r_3^3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3=-(-p)^3+3(-p)c-3(-r)=p^3-3pq+3r]

> Euacalahd 2) Nesse caso encontrei [\phi] em função apenas de [\gamma] e [\delta], assim -->[\phi=\dfrac{\dfrac{-d}{a}}{\dfrac{e}{a}}=-\dfrac{d}{e}][=\frac{\gamma}{\delta}] Devo estender para incluir[\alpha] e [\beta]?

��ฑลtίฑ�ล ღ ღ Renatinha Hoooooooooooow agradeço As soluções estão perfeitas! Parabéns! Quanto à questão 2, o enunciado está realmente ambíguo e até mesmo impreciso, pois o autor da questão quis apenas dizer que o número pedido deveria ser em função dos coeficientes da equação dada, mas não necessariamente envolvendo todos eles. Em síntese, essa questão 2 apenas sugeriria que se desenvolvesse: [$$\varphi$$ = \frac {1}{r_1} + \frac {1}{r_2} + \frac {1}{r_3} + \frac {1}{r_4}= \frac {r_1r_2r_3+r_1r_2z_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4}{r_1r_2r_3r_4}= \frac {\sigma _3}{\sigma _4}$] [\therefore $$\varphi$$ =\frac {\sigma _3}{\sigma _4}= \frac {(-1)^3 \frac

{a_{1}}{a_4}}{(-1)^4 \frac {a_{0}}{a_4}}=\frac {(-1)a_{1}}{a_{0}}=\frac{\gamma}{\delta}] Entretanto, elas avançaram o ponto e, nesta altura, vamos ver como os conceitos de Fórmulas de Viète ou Relações de Girard podem ter sua aplicação a questões sobre polinômios simétricos, como já foi adiantado acima, mas não de forma sistematizada. Veremos também Somas de Newton e temas correlatos dentro do tema Polinômios, cujos Polinômios Simétricos definidos acima fazem parte. Aguardem que daremos prosseguimento.  Para eu rão reinventar a roda, após a introdução que dei, é hora de ler o texto do Carlos A. Gomes: Polinômios Simétricos. Siga o link: http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero24/gomes.pdf. A partir daí você terá uma visão mais ampla dos polinômios simétricos de 2 e 3 variáveis. Depois releremos com vocês e ampliaremos a abordagem. Abraços.      

Reescrevendo parte da prova das Fórmulas de Viète Reescrevo aqui parte da prova das Fórmulas de Viète ou Relações de Girard porque elas facilitam a compreensão da famosas regras de sinais, dando-lhes consistência teórica. [ $\sigma_1=$z_1 + z_2 + \cdots + z_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$] [ \sigma_2=$z_1 z_2 + \cdots + z_1 z_n + z_2 z_3 + \cdots + z_2 z_n \cdots + z_{n-1} z_n = \frac {a_{n-2}}{a_n}$] [$\sigma _3$ = z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+...+z_{n-2}z_{n-1}z_{n}= -\frac {a_{n-3}}{a_n}$;] ............................................................................................................... [$\sigma_k$ = $$\sum\left[{\prod\limits_{k}{C_{n}^{k}}(z)}\right]$$ = (-1)^k \frac {a_{n-k}}{a_n}] ................................................................................................................ [$\sigma _n$ = z_1z_2z_{3}...z_{n} = (-1)^n \frac {a_0}{a_n}] Ou, de modo sintético: [$\displaystyle \sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n} z_{i_1} \cdots z_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} $] para [$k = 1, 2, \dots, n$] Daqui surgem as regras de sinais das relações de Girard.  

Prof. Fabiano Caros amigos, pretendo resolver a questão do IME para mostrar, seguindo nossa linha de abordagem, como precisamos ver mais de cima os problemas e como é importante a visão clara das definições e teoremas para resolver problemas deste tipo. O Titu Andreescu, por exemplo, deu uma solução ao problema que ficou muito aquém do nosso modo de abordagem, porque foi por um caminho que nem sequer pensou em generalização e sim um modo direto restrito ao problema particular. Nossa proposta, ao contrário, foi fazer o estudante resolver o problema geral, por relação de recorrência, e deixar

o problema proposto como um simples caso particular, para k=2, do problema genérico. A diferença é que estamos ensinando os estudantes a verem mais de cima. Estamos preparando um material com questões do IME e do ITA, o Renji está trabalhando isto, em que antes de resolvermos a questão particular, procuramos ver mais de cima as questões generalizadas. Os problemas do IME, ITA e outros serão meros casos particulares desses problemas gerais. Percebe a diferença? Gastando o latim, esta é a metodologia a maiore ad minus, do maior para o menor. Como se resolvêssemos algebricamente problemas de aritmética. Se você sabe resolver o problema generalizado, saberá, com certeza, resolver o particular. Como exemplo, a forma da equação do segundo grau [x^{2}-Sx+P=0] nada mais é do que uma decorrência da aplicação das relações entre coeficientes e raízes de uma equação geral: [A_{0}x^{m}+A_{1}x^{m-1}+A_{2}x^{m-2}+A_{3}x^{m-3}+ ... A_{m-1}x+A_{m}=0]. Isto nós veremos com muitos detalhes mais adiante em nossas aulas teóricas em vídeo e por escrito. Pode aguardar. Abraço e deixe-me preparar para viajar. Talvez fique alguns dias sem nos falarmos. Tão logo chegue ao Brasil e ajeite minha agenda, passo por aqui para nos falarmos. Esta comunidade tem contribuído muito para que eu possa direcionar o Projeto Omegaleph. A participação de vocês tem sido decisiva. Bons estudos.  Provar que se a e b são raíses da equação [x^{2} - px + B^{m} = 0]. Teremos[\log_{B}a^{a}+\log_{B}b^{b}+\log_{B}a^{b}+\log_{B}b^{a} = mp] Solução: 1) Utilizando a propriedade: [\log x^{k} = k.\log x] Temos que: [{\color{Red} \log_{B}a^{a}+\log_{B}b^{b}+\log_{B}a^{b}+\log_{B}b^{a}} = a.\log_{B}a+b.\log_{B}b+b.\log_{B}a+a.\log_{B}b] 2) Colocamos os termos multiplicados por [{\color{Red} a}] e por[{\color{Red} b}] em evidência. [{\color{Red} a}.(log_{B}a + log_{B}b) + {\color{Red} b}.(log_{B}b + log_{B}a)] 3) Colocamos agora o termo: [{\color{Blue} (log_{B}a + log_{B}b)}] em evidência. [{\color{Blue} (log_{B}a + log_{B}b)} (a+b)] 4)Aplicando a propriedade: [\log_{K}xy = \log_{K}x + \log_{K}y ] Temos: [{\color{Blue} (log_{B}a.b)} (a+b)] 5)Como a soma das raízes é igual a: [-\frac{b}{a}] e o produto vale: [\frac{c}{a}], podemos escrever da seguinte forma: [{\color{Blue} (log_{B}a.b)} (a+b) = \log_{B}B^{m}. (p)]

6) [{\color{DarkGreen} \log_{B}B^{m}= m}] 7) [ \log_{B}B^{m}. (p) = mp] [\log_{B}a^{a}+\log_{B}b^{b}+\log_{B}a^{b}+\log_{B}b^{a} = mp] C.Q.D  Problema Hungaro: Sabemos que se a|b e a|c, então a|(sb+vc) onde s e v são constantes inteiras. seja a=17, e b=2x+3y, c=9x+5y, temos que: 17|(2x+3y) e 17|(9x+5y) -> 17|(-5)*(2x+3y)+(3)*(9x+5y) 17|(-10x-15y+27x+15y) -> 17|17x -> 1|x 17|(9)*(2x+3y)+(-2)*(9x+5y) -> 17|(18x+27y-18x-10y) -> 17|17y -> 1|y Não tenho certeza, não sou muito bom com este tip ode exercício, mas acho que é isso.  Resolução do 2º desafio: x^2011-20x+11=0 Utilizando somas de Newton, temos: 1*S(2011)-20*S(1)+11*S(0)=0 A soma pedida no problema é S(2011).Por Girard, sabemos que a soma de todas as raízes é nula, portanto S(1)=0.Logo: S(2011)=-11*S(0)=-11*2011 = -22121  Renatinha:    O Segundo desafio também to usando somas de newton Ta dando o seguinte S(2011) -20S1 +11S0 = 0 S1=0 S0= 2011 Logo S(2011) = -11.2011 bateu com a do danilo  Pedro Regis: Harvard-MIT) Econtre o valor de: [\frac{2^{2}}{2^{2}-1}\cdot \frac{3^{2}}{3^{2}-1}\cdot \frac{4^{2}}{4^{2}-1}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{2006^{2}}{2006^{2}-1}] Solução: Vou trabalhar separado em duas partes para poder deixar com mais termos para que fique mais claro. Parte I os cinco primeiros termos.

Transformando em produtos os numeradores e fatorando as diferenças de quadrados dos denominadores. [\frac{2\cdot 2}{(2-)(2+1)}\cdot \frac{3\cdot3 }{(3-1)(3+1)}\cdot \frac{4\cdot4 }{(4-1)(4+1)}\cdot \frac{5\cdot5 }{(5-1)(5+1)}\cdot \frac{6\cdot6 }{(6-1)(6+1)}] Efetuando as somas e subtrações do denominador, e observando como vão se cancelar. [\frac{2\cdot 2}{(1)(3)}\cdot \frac{3\cdot3 }{(2)(4)}\cdot \frac{4\cdot4 }{(3)(5)}\cdot \frac{5\cdot5 }{(4)(6)}\cdot \frac{6\cdot6 }{(5)(7)}] Chegamos a este resultado. [\frac{2}{1}\cdot \frac{6}{7}] Parte II os 4 ultimos termos . Transformando em produtos os numeradores e fatorando as diferenças de quadrados dos denominadores. [\cdot \frac{2003\cdot2003 }{(2003-1)(2003+1)}\cdot \frac{2004\cdot2004 }{(2004-1)(2004+1)}\cdot \frac{2005\cdot2005 }{(2005-1)(2005+1)}\cdot \frac{2006\cdot2006 }{(2006-1)(2006+1)}] Efetuando as somas e subtrações do denominador, e observando como vão se cancelar. [\cdot \frac{2002\cdot2002 }{(2001)(2003)}\cdot \frac{2003\cdot2003 }{(2002)(2004)}\cdot \frac{2004\cdot2004 }{(2003)(2005)}\cdot \frac{2005\cdot2005 }{(2004)(2006)}\cdot \frac{2006\cdot2006 }{(2005)(2007)}] Chegamos a este resultado. [\frac{2002}{2001}\cdot \frac{2006}{2007}] Agora juntando os resultados das partes I) e II). [\frac{2}{1}\cdot \frac{6}{7}\cdot\frac{2002}{2001}\cdot \frac{2006}{2007}] Pelo padrão do cancelamento o 6 o 7 o 2001 e o 2002 vão se cancelar com outros termos. Ficando apenas. [\frac{2\cdot 2006}{2007}] [\frac{4012}{2007}] Sera que acertei ? Foi mal ai se fiz besteira.  Renji-­‐Rodrigo    

Dá pra fazer o caso geral ;x~ [\prod^{n}_{k=2}\frac{k^2}{k^2-1}=\frac{( \prod\limits^{n}_{k=2}k )^2}{\prod\limits^{n}_{k=2}(k-1)\prod\limits^{n}_{k=2}(k+1)}= \frac{(n!)^2}{(n-1)! \frac{(n+1)!}{2}}=\frac{2(n)! (n)!}{(n-1)!(n)!(n+1)}=\frac{2n}{n+1}.] Como exemplo [\prod^{2006}_{k=2}\frac{k^2}{k^2-1} = \frac{4012}{2007}. ]  Natasha foi mal faltou um e ali ''Harry e Natasha''. A respeito do problema que eu disse que me deu a ideia de fazer este de Haverd, me deu a ideia porque ele segue o mesmo raciocinio, foi esse ai abaixo, não sei se é a fonte correta porque tem varias fontes pra esse problema na net. (E.U.A) Calcule: [ \frac{(10^{4}+324)(22^{4}+324)(34^{4}+324)(46^{4}+324)(58^{4}+324)}{(4^{4}+324)(16^{4}+324)(28^{4}+324)(40^{4}+324)(52^{4}+324)}] Minha opinião sobre essa questão. Eu acho essa questão 100 vezes mais difícil de sacar como resolver, só vi até hoje um jeito de resolve-lo como resolver, fora o trabalho algébrico que também é consideravelmente grande. Gostaria de ver maneiras alternativas de resolver essa questão. Renji muito massa essa generalização, eu tinha percebido que dava pra encontrar o caso geral, mas me falta habilidades pra fazer uma resolução assim. Olhar e dizer '' vou encontrar a generalização do caso dese problema e vai ser mais facil pra mim resolve-lo pelo caso geral ''. omentando o que falou no post anterior) Então, as vezes resolver um caso mais geral é mais simples ( as vezes, talvez minoria das vezes xD), de qualquer forma acho interessante os casos gerais ( acho que vale a pena escrever xD), e você consegue generalizar sim \o\ sobre o problema que postou, também não sei solução simples =/, arranjar uma fatoração rápida para chegar no resultado, mas aqui uma generalização dele Calcular o produto [\prod^{n-1}_{k=0}\frac{324 +(10+12k)^4}{324 +(4+12k)^4}. ] Se sabemos as fatorações (tem que demonstrar que elas valem) [324 +(4+12k)^4=4(5+12k+72k^2)(29+84k+72k^2) ] [324 +(10+12k)^4=4(5+12(k+1)+72(k+1)^2)(29+84k+72k^2) ] daí [\prod^{n-1}_{k=0}\frac{324 +(10+12k)^4}{324 +(4+12k)^4}=\prod^{n-1}_{k=1}\frac{(5+12(k+1)+72(k+1)^2)}{(5+12k+72k^2)} =]

[=\prod^{n-1}_{k=0}Q(5+12k+72k^2)=\frac{5+12n+72n^2}{5} ] Estou usando a notação [Qf(k) =\frac{f(k+1)}{f(k)} ] que é um operador que faz o quociente dos termos consecutivos e a propriedade de produto telescópico ( é parecido com soma telescópica, mas é com produto 8D (=^.^=)) [\prod^{n-1}_{k=0}Q f(k) =\frac{f(n)}{f(0)} ] é só ver que os termos vão se cancelando. A respeito da questão que postei com fonte do E.U.A. Eu postei ela por que acho que ela tem em pelo menos uma resolução um raciocínio parecido com a questão do MIT. Eu disse que gostaria de ver uma resolução diferente para ela. Se a galera puder postar algumas soluções alternativas seria interessante. @Renji cabeluda pra meu nível matemático essa sua segunda generalização, não entendi esse muito bem não, mas é isso ai. Kkkkkk @Alcemyr não tenho esse livro mas já ouvi muito falar e quero muito telo mas falta grana, se vc puder postar a resolução, ou pelo menos a ideia pra eu saber se é diferente da que eu conheço. Prof.Fabiano acredito que essa questão seja boa para ser feito um vídeo. Digo isso porque a maneira que eu conheço de resolve-la usa o produto notável [ a^{4}+4b^{4} ], seria um caso mais avançado da questão do MIT. Ai esta ela novamente com a fonte correta. (AIME-1987) Calcule: [ \frac{(10^{4}+324)(22^{4}+324)(34^{4}+324)(46^{4}+324)(58^{4}+324)}{(4^{4}+324)(16^{4}+324)(28^{4}+324)(40^{4}+324)(52^{4}+324)}] E prof aqui esta ela em látex se o senhor quiser colocar no site \frac{(10^{4}+324)(22^{4}+324)(34^{4}+324)(46^{4}+324)(58^{4}+324)}{(4^{4}+324)(16^{4}+324)(28^{4}+324)(40^{4}+324)(52^{4}+324)};] Desculpas ai quer coisa. Pode ser que eu demore a voltar aqui no tópico porque não tenho PC pessoal, portanto se me fizerem uma pergunta ou algo do tipo pode ser que eu demore a responder ok. acho que é a mesma resolução que vc disse saber, mesmo assim lá vai: desenvolve [a^{4}+4b^{4}] assim: [a^{4}+4b^{4} = a^{4}{\color{Red}+ 4x^{2}y^{2}}+4b^{4}{\color{Red} -4x^{2}y^{2}}] ... ... até chegar em:

[a^{4}+4b^{4} = [(x-y)^{2}+y^{2}].[(x+y)^{2}+y^{2}] depois mostra que [n^{4} + 324] pode ser escrito como [n^{4} + 4.3^{4}], substitui os valores na expressão de cima e encontra: [n^{4} + 324 = [(n-3)^{2}+9].[(n+3)^{2}+9]] aí substitui cada termo na equação inicial e simplifica tudo...    (Antes de responder , queria postar essa outra generalização do produtório postado pelo Pedro regis ) Calcular a fórmula fechada do produtório [\prod^{n-1}_{k=1} \frac{(x+2y+4yk)^4+4y^4}{(x+4yk)^4+4y^4}.] Usamos a fatoração de Sophie Germain, no numerador e no denominador [a^4+4b^4=[(a-b)^2+b^2][(a+b)^2+b^2] ] [(x+2y+4yk)^4+4y^4=\underbrace{[(x+y+4yk)^2+y^2]}_{A}[(x+3y+4yk)^2+y^2]= A[(x-y+4y(k+1))^2+y^2] ] [(x+4yk)^4+4y^4=[(x-y+4yk)^2+y^2]\underbrace{[(x+y+4yk)^2+y^2]}_{A} ] a divisão dos dois fatores se simplifica em [\frac{(x+2y+4yk)^4+4y^4}{(x+4yk)^4+4y^4}=\frac{(x-y+4y(k+1))^2+y^2}{\underbrace{(x-y+4yk)^2+y^2}_{g(k)}}=\frac{g(k+1)}{g(k)} ] logo o produto é telescópico, resultando em [\prod^{n-1}_{k=1}\frac{(x+2y+4yk)^4+4y^4}{(x+4yk)^4+4y^4} = \frac{g(n)}{g(1)}=\frac{(x-y+4yn)^2+y^2}{(x+3y)^2+y^2} ]  Prof.  Fabiano    Tente a generalização logo, seguindo o Sinthaya Gupta, rsrsrsrs, Perceba que temos aqui relação de recorrência. Veja no site o material do Renji, se tiver dúvida. Passo 1: Calcule [f_{2k}+f_{2k+2}] Passo 2: Use a relação: [sen^{2}x + cos^{2}x=1] Passo 3: Tendo a forma da relação geral de recorrência e vendo que ela é função de k: [f_{2k}+f_{2k+2}=f(k)], faça o problema do Andreescu como uma aplicação para k=2. Matou a questão. Sinthaya Gupta brincou com o Andreescu! rsrsrsrs Abraço!

Roteiro para a Questão do MIT

Na segunda, do MIT, calcule g(x)=f(f(x)) e depois calcule h(x)=f(g(x)). Observe que, intermitentemente, você terá: 1) Primeira aplicação, o resultado será sempre f(x); 2) Segunda aplicação, o resultado sempre será f(f(x))=g(x); 3) Terceira aplicação, o resultado será f(f(f(x)))=h(x). 4) Quarta aplicação, o resultado será f(f(f(f(x))))=f(x). 4) Deste modo, 1 aplicação f(x), 2 aplicações g(x), 3 aplicações h(x), 4 aplicações, f(x), 5 aplicações g(x), e assim sucessivamente. Como 2010 é múltiplo de 3, na sequência, f, g, h, f, g, h, ...f, g, h, na aplicação de ordem 2010, teremos que ela assumará o valor h(x). Logo: [$$\underbrace{f,\ g, h, f, g, h, \ ...,\ f,\ g,\ h}_{2010 apliçações}$$] Chamando F o resultado desejado, teremos que [F=h(2011)^{2011}]. Lá se foi a questão. Tente aí. Estou pretendendo, quando voltar de viagens, criar um fórum com resolução orientada de problemas, onde darei roteiros para os problemas, isto é, quando for encontrada dificuldade. Boa a ideia?