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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8a Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

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HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2008.

FÍSICA 1

CAPÍTULO 3 – VETORES

54. São dados três deslocamentos em metros: d1 = 4,0 i + 5,0 j − 6,0 k, d2 = −1,0 i + 2,0 j + 3,0 k e

d3 = 4,0 i + 3,0 j + 2,0 k. (a) Determine r = d1 − d2 + d3. (b) Determine o ângulo entre r e o semi-eixo z positivo. (c) Determine a componente de d1 em relação a d2. (d) Qual é a componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2

cosab φ⋅ =a b

? (Sugestão: Para resolver o item (c), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-20; para resolver o item (d), considere a Eq. 3-27.) (3-20)

Fig. 3-20 senc ab φ= (3-27) (Pág. 61)

Solução. (a) 1 2 3d d d= − +r

( ) ( ) ( )4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 4,0 3,0 2,0= + − − − + + + + +r i j k i j k i j k

( ) [ ] [ ]4,0 1,0 4,0 5,0 2,0 3,0 6,0 3,0 2,0 = − − + + − + + − − + r i j k

9,0 6,0 7 ,0= + −r i j k (b) O ângulo entre r e o eixo z pode ser obtido por meio do produto escalar entre r e o vetor unitário k: cos 1 cosrz rzrθ θ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅r k r k

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cos rz rθ ⋅

=r k (1)

Agora precisamos calcular r.k e r. Cálculo de r.k: ( ) ( )9,0 6,0 7 ,0 0 0 7,0⋅ = + − ⋅ = + −r k i j k k

7,0⋅ = −r k Cálculo de r:

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 9,0 6,0 7 ,0x y zr r r r= + + = + + −

12,8840r = Substituindo-se esses valores em (1), teremos:

( )( )

7,0cos 0,5433

12,8840rzθ−

= = −

( )1cos 0,5433 122,9089rzθ −= − =

123rzθ ≈

(c) A componente de d1 em relação a d2, que chamaremos d12, é d1 cos θ12

. Esse termo aparece no produto escalar dos dois vetores:

1 2 1 2 12cosd d θ⋅ =d d

1 21 12

2

cosdd

θ ⋅=

d d

Ou seja:

1 212

2

dd⋅

=d d

(2)

Agora precisamos calcular d1⋅d2 e o módulo de d2

. O produto escalar vale:

( ) ( ) 21 2 4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 4,0 10 18 12 m⋅ = + − ⋅ − + + = − + − = −d d i j k i j k

O módulo de d2

vale:

( ) ( ) ( )2 2 22 2 22 2 2 2 1,0 2,0 3,0 3,7416 mx y zd d d d= + + = − + + =

Substituindo-se os valores de d1⋅d2 e d2

em (2), teremos:

( )( )

2

12

12 m3,2071 m

3,7416 md

−= = −

12 3, 2 md ≈ −

(d) A componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2, que chamaremos d12⊥, é d1 sen θ12

. Esse termo aparece no módulo do produto vetorial dos dois vetores:

1 2 1 2 12 12 2send d d dθ ⊥× = =d d

1 212

2

dd⊥

×=

d d (3)

Agora só precisamos calcular |d1×d2

|. O produto vetorial vale:

( ) ( )1 2 4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 27 6,0 13× = + − × − + + = − +d d i j k i j k i j k

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O módulo de d1×d2

é:

( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 27 6,0 13 30,5614 m× = + − + =d d

Substituindo-se os valores de |d1×d2| e d2

em (3), teremos:

( )21 2

122

30,5614 m8,1678 m

3,7416 md

d⊥

×= = =

d d

12 8, 2 md ⊥ ≈