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CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

1.1 Definições

Todas as construções têm componentes estruturais, que devem possuir resistência e rigidez

adequadas para a finalidade prevista. Resistência é a capacidade do componente estrutural não

sofrer qualquer tipo de dano, sob o efeito das ações, e rigidez é sua capacidade de não se

deformar excessivamente, sob esse efeito. As ações, associadas à finalidade da construção, são

todas as causas de deformações dos componentes estruturais, como peso próprio, forças

aplicadas, variação de temperatura, vento, forças de inércia etc.

Todos os materiais são deformáveis. Quando a deformação desaparece totalmente após a

retirada das ações, diz-se que o comportamento do material é elástico. Quando alguma

deformação permanece após a retirada das ações, diz-se que o comportamento é plástico.

Todos os materiais comportam-se elasticamente até um certo limite das deformações a que são

sujeitos; além de tal limite alguns se rompem e outros (a maioria) passam a se comportar

plasticamente.

1.2 Objetivo da Resistência dos Materiais

Estabelecer métodos adequados para o cálculo de tensões e deformações em componentes

estruturais, de forma que eles possam ser projetados atendendo às condições necessárias de

resistência e rigidez. Para estabelecer tais métodos utilizam-se modelos matemáticos, baseados

em resultados experimentais, cujo campo de validade é limitado pelas hipóteses inerentes.

1.3 Limitações do curso de Resistência dos Materiais

Comportamento elástico, pequenas deformações, pequenos deslocamentos.

As deformações (ε) são consideradas pequenas quando seu valor absoluto não ultrapassa

determinado limite, geralmente da ordem de 0,01.

Exemplo: barra com seção transversal quadrada de lado a0, comprimento L0, sujeita à tração,

conforme figura 1.1.a - o diagrama tensão deformação do material é mostrado na figura 1.1.b.

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Sejam a e L as dimensões da barra depois da aplicação da força de tração F. Tem-se:

∆L = L - L0 εx = ∆L / L0 ∆a = a – a0 εy = εz = ∆a / a0

Relação entre as áreas final e inicial da seção transversal:

(a/a0)2 = [(a0 + ∆a)/ao]

2 = [(a0 + εy a0)/a0]2 = (1 + εy)

Para |εy| ≤ 0,01 (pequenas deformações), notando que εy é negativo (porque a < a0), obtém-se

(a/a0)2 ≥ 0,98 (redução da ordem de 2% na área)

Assim, pode-se considerar a área constante no caso de pequenas deformações.

Para εx ≤ εe o comportamento é linear, com σ = F / (a0)2 = Eεx (E = módulo de elasticidade)

Particularmente, no fim do comportamento linear, σ = σe = Eεe

Deslocamentos são pequenos quando a geometria da estrutura deformada pelas ações difere

pouco de sua geometria indeformada, de forma que seja desprezível o erro cometido quando se

calculam respostas da estrutura com base na geometria inicial.

Exemplo: para a determinação do momento fletor em A na peça em balanço da figura 1.2, o

deslocamento u da extremidade direita seria pequeno se Pu << Fh, pois, neste caso, poder-se-

ia calcular MA com base na geometria indeformada, i. é., MA = Pu + Fh ≅ Fh.

1.4 Exemplos de projetos mecânicos que envolvem Resistência dos Materiais

- eixos, engrenagens e elementos de máquinas em geral;

- estruturas de automóveis, navios e aviões;

- guindastes e pontes rolantes;

a a0

F F σ

x σe

εe 0,01

FIGURA 1.1 (a) (b)

FIGURA 1.2

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- comportas, condutos-forçados e equipamentos hidro-mecânicos em geral;

- vasos de pressão;

- estruturas de correias transportadoras;

- estruturas de máquinas em geral;

- etc.

1.5 Histórico

Os egípcios possuíam alguns conhecimentos de mecânica simples e de resistência dos

materiais, pelo menos dois mil anos antes de Cristo. Contudo, o primeiro registro do uso de

princípios científicos no campo da mecânica é atribuído a Arquimedes (287-212 A. C.), que

estabeleceu o princípio da alavanca. Os romanos conheciam muitos princípios da mecânica,

como o do arco, muito utilizado nas construções do Império Romano. Pouco avanço ocorreu

durante o declínio do Império Romano e a Idade Média.

O ressurgir do interesse pela ciência que veio com o Renascimento aparentemente concentrou-

se na Itália. A primeira publicação sobre resistência dos materiais é atribuída a Leonardo da

Vinci (1452-1519).

O grande cientista italiano Galileu (1564-1642), em seu livro “Two New Sciences”,

apresentou dois tópicos de resistência dos materiais, um a respeito de ensaios de barras

tracionadas de geometria similar e outro a respeito da resistência teórica e experimental de

vigas em balanço.

O inglês Robert Hooke (1635-1703) contribuiu muito para o desenvolvimento da Resistência

dos Materiais, com sua famosa lei de Hooke, formulada em 1660, mas, publicada somente em

1676: “a deformação é proporcional à tensão”. Esta lei foi o primeiro avanço importante na

teoria dos corpos elásticos.

Isaac Newton (1642-1727), além de desenvolver suas leis famosas , é também considerado o

criador do cálculo diferencial.

Atribui-se a John Bernoulli (1667-1748) o estabelecimento do princípio dos deslocamentos

virtuais. Foi o filho de John, Daniel (1700-1782), entretanto, quem propôs, numa carta a seu

discípulo, Leonard Euler (1707-1783), o princípio que levou Euler a formular a teoria de Euler-

Bernoulli sobre a flexão de vigas. Leonard Euller foi um dos mais prolíferos e conceituados

cientistas do século XVIII, produzindo vários livros-texto e mais de 400 artigos durante os

últimos 20 anos de sua vida.

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J. L. Lagrange (1736-1813) produziu vários trabalhos, os mais significativos tendo sido a

respeito de flambagem de pilares, aplicando corretamente as teorias de Euler sobre estabilidade

estrutural.

Próximo ao início do século XIX, a ênfase dada a corpos de forma específica, tais como barras

solicitadas axialmente e vigas fletidas, começou a mudar para corpos de forma arbitrária. A

caracterização das equações de campos elásticos foi descrita por Navier (1785-1836) em 1821,

e por Cauchy (1789-1857) em 1822. As formulações apresentadas pelos dois cientistas foram

idênticas, exceto por uma importante diferença: Navier acreditava que havia apenas uma

constante do material em meio hookeano isotrópico, enquanto Cauchy considerava que havia

duas constantes. Embora se saiba atualmente que há realmente duas constantes independentes,

essa diferença de opinião continuou quase até o fim do século. Certamente uma importante

razão para a controvérsia ter se estendido por várias décadas é a inexatidão dos equipamentos

usados em ensaios naquele período.

Na mesma época em que Navier e Cauchy estavam investigando o problema do campo

elástico, Fourier (1768-1830) estava formulando as equações para modelagem do campo de

temperaturas em um corpo de forma arbitrária. Este grande físico e matemático é também

conhecido pelo desenvolvimento das séries de Fourier.

Outro famoso cientista francês foi Duhamel (1797-1852). Ele foi o primeiro cientista a estudar

tensões térmicas detalhadamente e também o primeiro a aplicar o princípio da superposição de

efeitos.

Em 1852 Lamé publicou o primeiro livro sobre a teoria da elasticidade: “Leçons sur la Théorie

Mathematique de l’Elasticité des Corps Solids”.

Durante meados do século XIX, os cientistas Thomas Young (1773-1829) e Poisson (1781-

1840) contribuíram com a introdução do módulo de Young e do coeficiente de Poisson,

respectivamente.

Sem dúvida, o mais prolífero estudioso de elasticidade do século XIX foi o francês Barré de

Saint-Venant (1797-1886). Ele é conhecido principalmente devido ao princípio de St. Venant

e à sua teoria da torção, que foi modificada por Prandtl (1875-1953) em 1903. Próximo ao final

de sua vida, Saint-Venant tornou-se muito interessado no estudo da plasticidade, que tinha sido

iniciado por Tresca no seu famoso trabalho sobre escoamento em 1864.

No final do século XIX os cientistas mostraram crescente interesse pelos métodos variacionais

ou energéticos, originalmente propostos por John Bernoulli e desenvolvidos por Euler e

Lagrange.

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O teorema de Alberto Castigliano (1847-1884), apresentado em sua tese em 1873, é ainda

largamente utilizado.

O famoso tratado do inglês Lord Rayleigh (John William Strutt, 1842-1919), “The Theory of

Sound”, foi publicado em 1877-1878. Suas aplicações de métodos variacionais a problemas de

vibrações foram mais tarde corroboradas por Walter Ritz (1878-1909), resultando no método

largamente utilizado de Rayleigh-Ritz.

Os avanços do século XIX culminaram com a publicação de A. E. H. Love (1863-1940),

intitulada “A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity” em 1892-1893. Certamente

nenhum outro texto é tão profundo ou veio a causar tanto impacto posterior na análise

estrutural.

Por volta da virada do século, os cientistas dos Estados Unidos desconheciam grande parte dos

métodos analíticos desenvolvidos na Europa durante o século XIX. Coube ao ucraniano

Stephen P. Timoshenko (1878-1972) levar essas informações para os Estados Unidos. Após a

tradução de seus trabalhos, eles têm sido utilizados por estudantes de mecânica estrutural em

todo o mundo, mesmo nos dias atuais.

Bibliografia do Capítulo 1

H. Allen & Walter E. Haisler, “Introduction to Aerospace Structural Analysis”, John Wiley &

Sons, 1985.

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CAPÍTULO 2 - EQUAÇÕES BÁSICAS DA ELASTICIDADE LINEA R

2.1 Tensões

Seja um corpo de forma qualquer sujeito a forças P1, P2, P3 etc. e outras ações, e um ponto

qualquer P no interior do corpo, conforme figura 2.1.a. Em uma seção por um plano arbitrário

Q, passando por P, existem forças distribuídas, com intensidades e direções variáveis, atuando

nos pontos da seção. Tais forças correspondem à interação entre as duas partes em que o corpo

foi subdividido pelo plano Q. Supondo que o material é contínuo, na área infinitesimal dA,

situada no plano Q e contendo o ponto P, atua uma força dF, como mostrado na figura 2.1.b.

Denomina-se vetor tensão σσσσ ao vetor, cuja direção é a mesma de dF, dado por:

σσσσ = dF/dA

O vetor tensão σσσσ pode ser decomposto em suas componentes σQn e σQt, nas direções ortogonal

e tangencial ao plano Q, respectivamente. Conforme figura 2.1.b:

σQn = dFn/dA σQt = dFt/dA

É comum chamar σQn e σQt de σ (tensão normal) e τ (tensão tangencial ou de cisalhamento),

respectivamente.

Pelo exposto, fica claro que o vetor tensão em um ponto do corpo depende não só da posição

do ponto, mas, também da inclinação do plano que passa pelo ponto.

FIGURA 2.1

(a)

P Q

(b)

P Q dA

dF dFn

dFt

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Considere-se um parelepípedo de dimensões infinitesimais contendo o ponto P, cujas faces são

ortogonais às direções X, Y, Z de um sistema de coordenadas previamente definido, conforme

figura 2.2.a. Isolando-se esse parelepípedo do restante do corpo, em cada face atuará um

determinado vetor tensão, como na figura 2.2.b. O índice utilizado é o da direção normal à

face. Em duas faces opostas, os vetores tensão tornam-se iguais e opostos, quando as

dimensões do parelepípedo tendem para zero.

Em cada face do paralelepípedo, o vetor tensão pode ser decomposto, como na figura 2.1.b, em

uma componente normal e outra tangencial à face. A componente tangencial à face, por sua

vez, pode ser decomposta nas duas direções de eixos coordenados paralelos à face considerada.

Resultam as três componentes por face indicadas na figura 2.2.c. O primeiro índice de cada

componente indica a direção da normal à face considerada e o segundo índice indica a direção

da própria componente. Assim a componente σyz, por exemplo, atua tangencialmente à face de

normal Y, na direção Z. A componente σxx atua perpendicularmente à face de normal X. As

componentes com índices diferentes são tensões tangenciais ou de cisalhamento e as

componentes com índices iguais são tensões normais.

Convenção de sinais: Uma componente que atua numa face de normal externa positiva do

paralelepípedo elementar é positiva se tiver o mesmo sentido do eixo coordenado que lhe é

paralelo; se a normal externa à face considerada for negativa, a componente é positiva se tiver

sentido oposto ao do eixo coordenado que lhe é paralelo. Na figura 2.2.c todas as componentes

indicadas são positivas. De agora em diante as componentes de tensões serão designadas

simplesmente por tensões. Uma tensão normal positiva é de tração e uma tensão normal

negativa é de compressão.

σσσσx

Y X

FIGURA 2.2

(b) (a)

(c)

σσσσy

σσσσz

σXX

σZZ

σYY

σXY σYX

σXZ σZX

σZY

σYZ

Obs: não estão repre-sentadas as tensões nas faces ocultas.

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2.1.1 Estado de tensões em um ponto. Tensor de tensões. Simetria do tensor de tensões.

Conhecidos os vetores tensão atuantes nas faces do paralelepípedo elementar que contém o

ponto P, cujas faces são ortogonais aos eixos coordenados pré definidos, é possível determinar

o vetor tensão em qualquer plano passando por P. Com efeito, seja νννν o vetor unitário normal ao

plano arbitrário Q, passando por P – figura 2.3. Os vetores tensão σσσσν , σσσσx , σσσσy , σσσσz , atuam,

respectivamente, nas áreas (k, m, n são os co-senos diretores da normal νννν):

AQ = área ABC Ax = área PAC = kAQ Ay = área PAB = m AQ Az = área PBC = n AQ

Por equlíbrio vetorial das forças atuantes no tetraedro ABCP, tem-se:

σσσσν (AQ) = σσσσx (Ax) + σσσσy (Ay) + σσσσz (Az) = σσσσx (kAQ) + σσσσy (mAQ) + σσσσz (nAQ) Donde:

σσσσν = kσσσσx + mσσσσy + nσσσσz cqd

Em termos de componentes nas direções dos eixos coordenados, esta equação equivale a:

Ou, simplesmente:

σσσσν = [ ΣΣΣΣ] νννν (2.1)

Na equação (2.1), [ΣΣΣΣ] é a matriz anterior contendo as nove tensões referidas ao sistema XYZ, a

qual, como se mostrou, define totalmente o estado de tensões no ponto P. Pode-se mostrar que

a matriz [ΣΣΣΣ] é um tensor, no sentido matemático.

O vetor tensão σσσσν pode ser decomposto nas componentes σνν e σνt, normal e tangencial ao

plano Q, respectivamente:

σνν = σσσσν . νννν (produto escalar) (2.1 a)

(σνt)2 = |σσσσν|2 – (σνν)

2 (Pitágoras) (2.1 b)

O tensor de tensões [ΣΣΣΣ] é simétrico, isto é: σyx = σxy σzx = σxz σzy = σyz

σνx σνy = σνz

σzx σzy σzz

σyx σyy σyz

σxx σxy σxz

k m n

Z B

P Q σσσσν

σσσσz σσσσx

σσσσy

νννν

FIGURA 2.3

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Demonstra-se a seguir a primeira igualdade; para as outras duas o procedimento é análogo. Na

figura 2.4 mostram-se as tensões que produzem momento em relação ao eixo PZ.

A soma dos momentos das forças resultantes das tensões, em relação a PZ, é nula:

(σxx-σxx)(dydz)(dy/2) + (σyx)(dxdz)dy – (σxy)(dydz)dx + (σzx-σzx)(dxdy)(dy/2) +

(σyy-σyy)(dxdz)(dx/2) + (σzy-σzy)(dxdy)(dx/2) = 0, donde

σyx = σxy cqd; analogamente

σzx = σxz e σzy = σyz

O tensor de tensões [ΣΣΣΣ] tem, então, somente 6 termos independentes:

[ΣΣΣΣ] = (2.2)

2.1.2 Exemplos de estados de tensões

Solicitação uniaxial – figura 2.5.a; Solicitação de corte - figura 2.5.b. Em ambos os casos o

tensor de tensões está referido ao sistema XYZ.

Z σXX

σYY

σXY σYX

σZX

σZY

σZX

σZY

σYY

σYX

σXX

σXY

dx dz

FIGURA 2.4

σxz σyz σzz

σxx σxy σxz

σxy σyy σyz

C P1 P1

(a) (b)

Na seção AB: σ = P1/A1 (A1 = área da seção AB) No sistema XYZ: [ ΣΣΣΣ ] =

σ 0 0 0 0 0 0 0 0

Na seção CD: τ = P2/A2 (A2 = área da seção CD) No sistema XYZ: [ ΣΣΣΣ ] =

0 τ 0 τ 0 0 0 0 0

σ σ τ τ

FIGURA 2.5

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2.1.3 Equações de equilíbrio de tensões

Seja B o vetor que representa a força de massa ou de volume (devida à gravidade, à atração

magnética etc.) por unidade de volume:

B = Bxi + Byj + Bzk

Tomando o equilíbrio estático das forças na direção X, atuantes no elemento da fig. 2.6:

[(∂σxx/∂x)dx]dydz + [(∂σyx/∂y)dy]dxdz + [(∂σzx/∂z)dz]dxdy + Bxdxdydz = 0, ou:

∂σxx/∂x + ∂σyx/∂y + ∂σzx/∂z + Bx = 0 (2.3)

Equações análogas de equilíbrio aplicam-se às direções Y e Z.

2.1.4 Planos principais e tensões principais

Denominam-se planos principais aos três planos ortogonais entre si, que passam pelo ponto

considerado, nos quais as tensões de cisalhamento são nulas. As tensões normais que atuam

nos planos principais são chamadas tensões principais e designadas por σ1, σ2 e σ3, em ordem

decrescente de valor algébrico. Se o plano inclinado da figura 2.3 for um plano principal, o

vetor tensão σσσσν terá a direção de νννν, podendo-se escrever:

σσσσν = σiνννν (2.4)

onde σi é uma tensão principal. Igualando-se os segundos membros das equações (2.1) e (2.4),

tem-se:

[ΣΣΣΣ] νννν = σiνννν, ou

σxxk + σxym + σxzn = σik

σxyk + σyym + σyzn = σim

σxzk + σyzm + σzzn = σin, donde:

(σxx - σi)k + σxym + σxzn = 0

X Z

σxx σxx+(∂σxx/∂x)dx Bx

σyx

σyx+(∂σyx/∂y)dy σzx

σzx+(∂σzx/∂z)dz

FIGURA 2.6

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σxyk + (σyy - σi)m + σyzn = 0 (2.5)

σxzk + σyzm + (σzz - σi)n = 0

Observando-se que

k2 + m2 + n2 = 1, (2.6)

a solução do sistema (2.5) não pode ser trivial, resultando a condição:

(σxx - σi) σxy σxz

σxy (σyy - σi) σyz = 0 (2.7)

σxz σyz (σzz - σi)

A equação (2.7) é cúbica e suas três raízes σi são as tensões principais σ1, σ2 e σ3 (pode-se

demonstrar que as três raízes são reais).

Para se obterem as direções normais a cada plano principal (chamadas direções principais),

substitui-se, sucessivamente, cada tensão principal no sistema (2.5). Devido à condição (2.7),

apenas duas das três equações (2.5) são linearmente independentes, devendo (2.6) ser usada

como terceira equação. Demonstra-se que as três direções principais e, consequentemente, os

três planos principais, são ortogonais entre si. Desta forma, obtidas duas direções principais

(correspondentes a σ1 e σ2, por exemplo), a terceira pode ser obtida pelo produto vetorial das

(k3 m3 n3) = (k1 m1 n1) ΛΛΛΛ(k2 m2 n2)

O módulo do vetor tensão atuante em qualquer plano que passa pelo ponto considerado tem

valor intermediário entre os módulos das tensões principais σ1 e σ3, como se mostra a seguir.

Utilizando-se eixos paralelos às direções principais no ponto como sistema de coordenadas, a

equação (2.1) fica:

σνx = σ1k

σνy = σ2m (2.8)

σνz = σ3n

Substituindo os valores de k, m, n dados por (2.8) em (2.6), obtém-se:

(σνx)2/(σ1)

2 + (σνy)2/(σ2)

2 + (σνz)2/(σ3)

2 = 1 (2.9)

Esta é a equação de um elipsóide cujos semi-eixos são σ1, σ2 e σ3, no sistema de coordenadas

σνx σνy σνz, conforme figura 2.7. Observa-se que o módulo de qualquer vetor tensão σσσσν (cujas

componentes são σνx, σνy e σνz) tem valor intermediário entre os módulos das tensões

principais σ1 e σ3, como se afirmou anteriormente.

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Pode-se também demonstrar que a tensão normal σνν atuante em qualquer plano que passa pelo

ponto considerado tem valor intermediário, algebricamente, entre σ1 e σ3.

2.1.5 Valores extremos das tensões de cisalhamento

Utilizando-se eixos paralelos às direções principais no ponto como sistema de coordenadas, as

componentes cartesianas de σσσσν são dadas por (2.8). O quadrado do módulo de σσσσν e a

componente normal de σσσσν, dada por (2.1 a), ficam, respectivamente:

|σσσσν|2 = (σ1k)2 + (σ2m)2 + (σ3n)2

σνν = σσσσν . νννν = (σ1k σ2m σ3n) . (k m n) = σ1k2 + σ2m

2 + σ3n2

Substituindo-se estas expressões na equação (2.1 b), obtém-se a componente tangencial, ou de

cisalhamento, de σσσσν:

(σνt)2 = |σσσσν|2 – (σνν)

2 = (σ1k)2 + (σ2m)2 + (σ3n)2 – (σ1k2 + σ2m

2 + σ3n2)2 (2.10)

Determinando-se matematicamente os extremos da função σνt(k, m, n), obtêm-se os seguintes

valores de σνt, com os correspondentes valores de k, m, n (que definem as normais aos planos

onde as tensões de cisalhamento assumem valores extremos):

σνt k m n

± (σ1-

σ2)/2

±1/√2 ±1/√2 0

± (σ1-

σ3)/2

±1/√2 0 ±1/√2

± (σ2-

σ3)/2

0 ±1/√2 ±1/√2 (2.11)

Vê-se que os planos onde atuam os valores extremos das tensões de cisalhamento são

bissetores dos planos principais, e que a maior tensão de cisalhamento é igual a:

σνx

σνy

σνz

σ1

σ2

σ3

σσσσν

FIGURA 2.7

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(σ1 - σ3)/2

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2.2 Deformações (para pequenos deslocamentos e pequenas deformações)

Devido ao efeito de forças e outras ações, todos os pontos de um corpo sofrem deslocamentos,

definindo-se o campo de deslocamentos (figura 2.8):

q = q(x, y, z) = (u, v, w)

u = u(x, y, z) v = v(x, y, z) w = w(x, y, z)

Considerem-se três pontos A, B, C, do corpo indeformado, no plano XY, separados por

distâncias infinitesimais; o segmento AB é paralelo a X e tem comprimento dx (figura 2.9.a); o

segmento AC é paralelo a Y e tem comprimento dy (figura 2.9.b). Sendo u e v os

deslocamentos horizontal e vertical, respectivamente, de A, tem-se: uB = u + (∂u/∂x) dx vB = v + (∂v/∂x) dx (figura 2.9.a)

uC = u +(∂u/∂y) dy vC = v +(∂v/∂y) dy (figura 2.9.b)

A posição deformada de AB é A1B1, cuja projeção horizontal é:

dx + uB – u = dx + (∂u/∂x)dx

Assim, a variação de comprimento de AB é (∂u/∂x)dx, e a deformação linear na direção X:

εxx = (∂u/∂x)dx/dx = ∂u/∂x (2.12)

Analogamente determinam-se as outras deformações lineares:

εyy = ∂v/∂y (2.13)

εzz = ∂w/∂z (2.14)

u A(x,y,z

q(x,y,z) X

Z w

FIGURA 2.8

A1 B1

vB v u

C dy

u v

uC C1

(a) (b) FIGURA 2.9

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Por outro lado, o ângulo reto BAC sofre uma distorção, devido à rotação de seus lados.

Rotação de AB (figura 2.9.a).: (vB – v)/(dx + uB – u) = [(∂v/∂x)dx]/[(dx + (∂u/∂x)dx)] = ∂v/∂x

(para pequenas deformações, ∂u/∂x << 1)

Rotação de AC (figura 2.9.b).: (uC – u)/(dy + vC – v) = [(∂u/∂y)dy]/[(dy + (∂v/∂y)dy)] = ∂u/∂y

(para pequenas deformações, ∂v/∂y << 1)

Assim, a distorção total do ângulo reto BAC é dada por:

γxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x (2.15)

Analogamente determinam-se as distorções nos planos XZ e YZ:

γxz = ∂u/∂z + ∂w/∂x (2.16)

γyz = ∂v/∂z + ∂w/∂y (2.17)

Vê-se, pelas equações (2.15), (2.16) e (2.17), que

γxy = γyx γxz = γzx γyz = γzy (2.18)

Convenção de sinais: deformações lineares positivas correspondem a alongamentos; distorções

angulares positivas correspondem a redução do ângulo reto cujos lados têm direção e sentido

dos eixos coordenados antes da deformação.

2.2.1 Estado de deformações em um ponto. Tensor de deformações.

Analogamente ao caso das tensões, demonstra-se que as três deformações lineares e as três

distorções angulares são suficientes para descrever o estado de deformações em um ponto.

Entretanto, pode-se mostrar que para a matriz de deformações tornar-se um tensor, no sentido

matemático, é necessário que as distorções angulares sejam divididas por 2. Assim, o tensor de

deformações, que é simétrico conforme (2.18), é dado por:

[ΕΕΕΕ] = (2.19)

onde as deformações angulares são:

εxy = γxy/2 εxz = γxz/2 εyz = γyz/2 (2.20)

O vetor deformação εεεεν, em um plano cuja normal é νννν, bem como suas componentes linear (ενν)

e angular (ενt) são obtidos com equações análogas às equações (2.1), (2.1.a) e (2.1.b):

εεεεν = [ΕΕΕΕ] νννν (2.21)

ενν = εεεεν . νννν (produto escalar) (2.21 a)

(ενt)2 = |εεεεν|2 – (ενν)

2 (Pitágoras) (2.21 b)

εxz εyz εzz

εxx εxy εxz

εxy εyy εyz

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2.2.2 Planos principais e deformações principais

Assim como para as tensões, existem três planos ortogonais entre si, denominados planos

principais, onde as deformações angulares são nulas. As deformações lineares ε1, ε2, ε3,

atuantes nestes planos, são denominadas deformações principais. A deformação linear ενν

atuante em qualquer outro plano tem seu valor algébrico compreendido entre ε3 (mínima) e ε1

(máxima). A determinação das deformações principais e dos planos principais é feita da

mesma forma que para as tensões, utilizando-se o tensor [ΕΕΕΕ] em lugar do tensor [ΣΣΣΣ].

2.2.3 Valores extremos das deformações angulares

Por analogia com as tensões, obtém-se:

ενt k m n

± (ε1-ε2)/2 ±1/√2 ±1/√2 0

± (ε1-ε3)/2 ±1/√2 0 ±1/√2

± (ε2-ε3)/2 0 ±1/√2 ±1/√2 (2.22)

2.2.4 Equações de compatibilidade de deformações

Definido o campo de deslocamentos q = (u, v, w), ficam definidas as deformações εij em todo

o corpo, por meio das equações (2.12) a (2.20). Entretanto, para se obter um campo de

deslocamentos contínuo e unívoco, a partir das deformações, é necessário que tais deformações

atendam a determinadas equações de compatibilidade. Por exemplo, no plano XY tem-se:

εxx = ∂u/∂x εyy = ∂v/∂y γxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x

Derivando-se as 3 expressões acima como mostrado a seguir, obtém-se a equação (2.23)

∂2εxx/∂y2 = ∂3u/∂x∂y2 ∂2εyy/∂x2 = ∂3v/∂y∂x2 ∂2γxy/∂x∂y = ∂3u/∂x∂y2 + ∂3v/∂y∂x2, donde:

∂2εxx/∂y2 + ∂2εyy/∂x2 = ∂2γxy/∂x∂y (2.23)

Duas equações similares a (2.23) são obtidas para os planos XZ e YZ, respectivamente.

Além destas três equações de compatibilidade, há outras três, uma das quais (2.24) é obtida a

seguir, e as outras duas podem ser obtidas por meio de troca adequada dos índices:

∂2εxx/∂y∂z = ∂3u/∂x∂y∂z ∂2γxy/∂x∂z = ∂3u/∂x∂y∂z + ∂3v/∂x2∂z

∂2γxz/∂x∂y = ∂3u/∂x∂y∂z + ∂3w/∂x2∂y ∂2γyz/∂x2 = ∂3v/∂x2∂z + ∂3w/∂x2∂y, donde

∂2εxx/∂y∂z =(1/2)( ∂/∂x)(- ∂γyz/∂x + ∂γxz/∂y + ∂γxy/∂z) (2.24)

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2.2.5 Deformação volumétrica

Considere-se um paralelepípedo retangular elementar, de lados dx, dy, dz, sujeito a um estado

de deformações [ΕΕΕΕ]. Os comprimentos finais dos lados deformados são dx + εxdx, dy + εydy,

dz + εzdz, respectivamente. As deformações angulares não produzem variação de volume.

Assim, a deformação volumétrica é dada por:

∆V/V = [(dx + εxdx)(dy + εydy)(dz + εzdz) – dxdydz]/(dxdydz) =

(1 + εx)(1 + εy)(1 + εz) – 1

Desprezando-se o produto de duas ou mais deformações:

∆V/V = εx + εy + εz (2.25)

2.3 Relações entre tensões e deformações (para pequenos deslocamentos e pequenas

deformações)

Considerando-se a simetria dos tensores [ΣΣΣΣ] e [ΕΕΕΕ] e admitindo-se que cada tensão é função

linear das 6 deformações, tem-se (índices repetidos são escritos só uma vez, tensões de

cisalhamento são indicadas pela letra τ, distorções angulares γij são usadas em lugar das

deformações correspondentes εij):

σx = c11εx + c12εy + c13εz + c14γyz + c15γzx + c16γxy

σy = c21εx + c22εy + c23εz + c24γyz + c25γzx + c26γxy

σz = c31εx + c32εy + c33εz + c34γyz + c35γzx + c36γxy

τyz = c41εx + c42εy + c43εz + c44γyz + c45γzx + c46γxy

τzx = c51εx + c52εy + c53εz + c54γyz + c55γzx + c56γxy

τxy = c61εx + c62εy + c63εz + c64γyz + c65γzx + c66γxy (2.26)

Na fig. 2.10 vê-se que a variação da energia de deformação associada a uma variação dεx da

deformação εx, no volume dxdydz, é dada por:

dWx = σx(dydz) dεx(dx)

No volume unitário: dWx0 = σxdεx

FIGURA 2.10

dy εx, σx

σx

εx

dWx0

dεx (dεx)dx

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Considerando-se todas as tensões e deformações obtém-se, no volume unitário:

dW0 = σxdεx + σydεy + σzdεz + τyzdγyz + τzxdγzx + τxydγxy (2.27)

Por outro lado, pode-se escrever:

dW0 = (∂W0/∂εx)dεx + (∂W0/∂εy)dεy + (∂W0/∂εz)dεz + (∂W0/∂γyz)dγyz + (∂W0/∂γzx)dγzx

+ (∂W0/∂γxy)dγxy (2.28)

Comparando-se (2.27) e (2.28), vê-se que ∂W0/∂εx = σx e ∂W0/∂εy = σy

Derivando-se estas igualdades como a seguir e levando-se em conta as equações (2.26):

∂2W0/∂εx∂εy = ∂σx/∂εy = c12 ∂2W0/∂εy∂εx = ∂σy/∂εx = c21, donde c12 = c21; em geral:

cij = cji (2.29)

Assim, em (2.26) só existem 21 constantes independentes (materiais anisótropos). Para

materiais ortotrópicos (aqueles que têm propriedades simétricas em relação a três planos

ortogonais), demonstra-se que não há interação de tensão normal com distorção, de tensão de

cisalhamento com deformação linear, nem de tensão de cisalhamento com distorção cujos

índices não correspondem aos da tensão. A matriz dos coeficientes cij de (2.26) fica com 9

constantes independentes:

c11 c12 c13 0 0 0

c12 c22 c23 0 0 0

[cij] = c13 c23 c33 0 0 0

0 0 0 c44 0 0

0 0 0 0 c55 0

0 0 0 0 0 c66 (2.30)

Para materiais isótropos (cujas propriedades independem da direção considerada), tem-se:

c11 = c22 = c33 = c1, c12 = c13 = c23 = c2, c44 = c55 = c66 = c3

Assim, as equações (2.26) ficam:

σx = c1εx + c2εy + c2εz σy = c2εx + c1εy + c2εz σz = c2εx + c2εy + c1εz

τyz = c3γyz τzx = c3γzx τxy = c3γxy

Ou, inversamente:

εx = f1σx + f2σy + f2σz εy = f2σx + f1σy + f2σz εz = f2σx + f2σy + f1σz

γyz = f3τyz γzx = f3τzx γxy = f3τxy

Fazendo f1 = 1/E, f2 = -ν/E, f3 = 1/G, obtém-se a chamada lei de Hooke generalizada:

Prof. Gilson Queiroz 19

εx = (1/E)[σx -ν(σy + σz)] εy = (1/E)[σy -ν(σx + σz)] εz = (1/E)[σz -ν(σx + σy)]

γyz = τyz/G γzx = τzx/G γxy = τxy/G (2.31)

Mostra-se, a seguir, que existe uma relação entre G, E e ν. Considere-se o estado de tensões da

figura 2.11, denominado estado de cisalhamento simples. A deformação linear ενν na direção νννν

pode ser determinada de duas formas:

Em função do tensor de deformações no sistema XYZ

De acordo com as equações (2.19) a (2.21.a) e (2.31):

εx = εy = εz = εxz = εyz = 0 εxy = γxy/2 = τxy/(2G) = τ/(2G)

ενν = νννν.[ΕΕΕΕ].νννν = [√2/2 √2/2 0] = τ/(2G)

Em função das tensões normais σνν e σν1ν1

σνν = νννν.[ΣΣΣΣ].νννν = τ σν1ν1 = νννν1.[ΣΣΣΣ].νννν1 = -τ

Assim, com a primeira das equações (2.31):

ενν = (1/E)[σνν -ν(σν1ν1 + 0)] = (1/E)[τ -ν(-τ + 0)] = τ(1 + ν)/E

Igualando-se os dois valores de ενν:

τ/(2G) = τ(1 + ν)/E, donde

G = E/[2(1 + ν)] (2.32)

Conclui-se que bastam duas constantes físicas para se determinarem as relações entre tensões e

deformações, no caso de materiais isótropos.

2.3.1 Significado físico das constantes G, E, ν

Nas 3 últimas equações (2.31) nota-se que as tensões de cisalhamento são proporcionais às

distorções angulares correspondentes, sendo G a constante de proporcionalidade:

τij = Gγij

A constante G é denominada módulo transversal de elasticidade.

-√2/2 νννν1 = √2/2 0

0 τ/(2G) 0

τ/(2G) 0 0

0 0 0

√2/2

A B

C D

τ τ

νννν νννν1

0 τ 0 [ΣΣΣΣ]= τ 0 0 0 0 0

√2/2 νννν = √2/2 0

FIGURA 2.11

45o

Prof. Gilson Queiroz 20

Considere-se agora o estado de tensões uniaxial (figura 2.5.a). De acordo com as 3 primeiras

equações (2.31), tem-se:

εx = (1/E)[σ -ν(0 + 0)] = σ/E εy = εz = (1/E)[0 -ν(σ + 0)] = -νσ/E = -νεx

Vê-se que a tensão normal longitudinal é proporcional à deformação linear longitudinal:

σ = Eεx (no estado de tensões uniaxial)

Esta é a conhecida lei de Hooke, e a constante de proporcionalidade E é denominada módulo

longitudinal de elasticidade ou simplesmente módulo de elasticidade.

Observa-se também que as deformações transversais são proporcionais à deformação

longitudinal:

εy = εz = -νεx (no estado de tensões uniaxial)

A constante de proporcionalidade ν é denominada coeficiente de Poisson.

2.3.2 Valores limites do coeficiente de Poisson

No estado de tensões uniaxial as deformações transversais nunca têm o mesmo sinal da

deformação longitudinal; assim, se esta corresponder a um alongamento, as transversais

corresponderão a contrações. Para atender a este fato físico, vê-se na expressão εy = εz = -νεx

que a constante ν não pode ser negativa, isto é, ν ≥ 0.

Considere-se um estado de tensões onde as três tensões principais são iguais entre si e de

tração, σ1 = σ2 = σ3 = σ > 0. Pelas 3 primeiras equações (2.31) obtém-se:

ε1 = (1/E)[σ1 -ν(σ2 + σ3)] = (σ/E)(1 – 2ν) = ε2 = ε3

A deformação volumétrica, de acordo com (2.25) é:

∆V/V = ε1 + ε2 + ε3 = (3σ/E)(1 – 2ν)

Esta deformação, causada pelas três tensões de tração, não pode ser negativa; como o fator

3σ/E é positivo, resulta que 1 – 2ν ≥ 0 e, consequentemente, ν ≤ 1/2. O coeficiente de Poisson

tem, portanto, os seguintes limites:

0 ≤ ν ≤ 1/2 (2.33)

2.3.3 Coincidência dos planos principais de tensões e de deformações

No caso de materiais isótropos, as equações (2.31) permitem concluir que os planos principais

de deformações coincidem com os planos principais de tensões (quando as três tensões de

cisalhamento são nulas, as três deformações angulares também são). Além disto, devido à faixa

de variação de ν dada por (2.33), as 3 primeiras equações (2.31) mostram que nos planos

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onde atuam a maior e a menor tensões normais, atuam também a maior e a menor deformações

lineares, respectivamente.

2.3.4 Efeito da variação de temperatura

As deformações correspondentes a uma variação de temperatura ∆T são dadas por αij∆T. Os

coeficientes αij, denominados coeficientes de dilatação térmica, têm as seguintes propriedades:

materiais anisótropos αij = αji

materiais ortotrópicos αij = 0, para i≠j,

materiais isótropos (além de αij = 0 para i≠j) αx = αy = αz = α

As equações (2.31), com inclusão do efeito da variação de temperatura, tornam-se:

εx = (1/E)[σx-ν(σy+σz)]+α∆T; εy = (1/E)[σy-ν(σx+σz)]+α∆T; εz = (1/E)[σz-ν(σx+σy)]+α∆T

γyz = τyz/G γzx = τzx/G γxy = τxy/G (2.34)

2.3.5 Estados especiais de tensões

Estado plano de tensões - ocorre quando uma chapa de pequena espessura t é sujeita somente a

cargas cujas linhas de ação ficam no seu plano médio (paralelo às duas dimensões maiores da

chapa). Considera-se que as tensões não variem na espessura da chapa, isto é, na direção

perpendicular ao plano médio. Se esta direção for Z, tem-se:

σz = τxz = τyz = 0 e, consequentemente, εxz = εyz = 0

Estado plano de deformações - ocorre quando o campo de deslocamentos tem componente nula

em uma determinada direção e as outras duas componentes não variam ao longo desta direção.

Se esta direção for Z, tem-se:

w = 0, u = u(x, y), v = v(x, y) e, consequentemente,

εz = ∂w/∂z = 0 εxz = (1/2)( ∂u/∂z + ∂w/∂x) = 0 εyz = (1/2)( ∂v/∂z + ∂w/∂y) = 0

τxz = τyz = 0

2.3.6 - Consideração final

A hipótese das relações lineares entre tensões e deformações, feita em todo o item 2.3, é válida

para qualquer material, no início da solicitação. Entretanto, além de um certo nível de

solicitação, chamado limite de proporcionalidade do material, tal hipótese, bem como suas

consequências, perdem a validade. Salvo indicação contrária, este curso de Resistência dos

Prof. Gilson Queiroz 22

Materiais restringe-se a solicitações abaixo do limite de proporcionalidade. Além disto,

consideram-se apenas materiais isótropos e homogêneos.

2.4 Energia de deformação

Admitindo-se que todas as ações aplicadas em um corpo cresçam lenta e proporcionalmente de

zero até o respectivo valor final, todas as tensões e deformações também crescerão

proporcionalmente de zero até o respectivo valor final.

Na figura 2.12.a mostra-se a variação de σx com εx, e na figura 2.12.b o efeito da deformação

εx em um paralelepípedo elementar de lados paralelos aos eixos coordenados.

A força resultante das tensões σx é Fx = σx(dydz), e o deslocamento de seu ponto de aplicação,

associado a εx, é ux = εx(dx). A força e o deslocamento mantêm também uma relação linear

entre si, assim como a tensão e a deformação (figura 2.12.a). A energia de deformação do

elemento dxdydz, associada a σx e εx, é igual à área sob o diagrama Fx – ux:

dUx = (1/2)Fxux = (1/2)σx(dydz)εx(dx) = (1/2)σxεx(dV)

No volume unitário, U0x = dUx/dV = (1/2)σxεx

Analogamente obtêm-se as energias de deformação do volume unitário, associadas a σy, εy e a

σz, εz. Assim:

U0x = (1/2)σxεx U0y = (1/2)σyεy U0z = (1/2)σzεz (2.35)

Na figura 2.13.a mostra-se a variação de τxy com γxy, e na figura 2.13.b o efeito da deformação

γxy em um paralelepípedo elementar de lados paralelos aos eixos coordenados.

σx

εx

FIGURA 2.12

εx, σx

dx εxdx (a) (b)

τxy

γxy

FIGURA 2.13

dx (a) (b)

∂u/∂y ∂v/∂x

τxy

τyx = τxy

Prof. Gilson Queiroz 23

A força resultante das tensões τxy é Fy = τxy(dydz), e o deslocamento de seu ponto de aplicação,

na direção da força, é uy = (∂v/∂x)(dx). A força resultante das tensões τyx é Fx =

τyx(dxdz) = τxy(dxdz), e o deslocamento de seu ponto de aplicação, na direção da força, é ux =

(∂u/∂y)(dy). Força e deslocamento mantêm também uma relação linear entre si, assim como a

tensão e a deformação (na figura 2.13.a mostra-se a relação entre Fy e uy, bem como a relação

entre Fx e ux). A energia de deformação do elemento dxdydz, associada a τxy e γxy, é igual à

soma das áreas sob os diagramas Fy – uy e Fx – ux:

dUxy = (1/2)Fyuy + (1/2)Fxux = (1/2)τxy(dydz)(∂v/∂x)(dx) + (1/2)τxy(dxdz)(∂u/∂y)(dy) =

(1/2)τxy(∂v/∂x + ∂u/∂y) (dV) = (1/2)τxyγxy(dV)

No volume unitário, U0xy = dUxy/dV = (1/2)τxyγxy

Analogamente obtêm-se as energias de deformação do volume unitário, associadas a τxz, γxz e a

τyz, γyz. Assim:

U0xy = (1/2)τxyγxy U0xz = (1/2)τxzγxz U0yz = (1/2)τyzγxz (2.36)

A energia de deformação total do volume unitário é obtida somando-se todas as parcelas dadas

em (2.35) e (2.36):

U0 = (1/2)σxεx + (1/2)σyεy + (1/2)σzεz + (1/2)τxyγxy + (1/2)τxzγxz + (1/2)τyzγxz (2.37)

2.5 Aplicação: tração e compressão de barras prismáticas

Barra prismática é uma peça em forma de prisma ou de cilindro, na qual o comprimento

medido ao longo do eixo é pelo menos 10 vezes maior do que a maior dimensão da seção

transversal ao eixo.

Em uma barra prismática sujeita a forças externas atuando no centro de gravidade da seção

transversal, perpendicularmente ao plano desta seção, surgem forças normais de tração ou de

compressão.

A convenção de sinais para forças normais é análoga à utilizada para tensões: a força normal

em uma face da seção transversal com normal positiva é positiva se tiver o mesmo sentido do

eixo de coordenadas que lhe é paralelo. Assim, forças normais de tração são positivas.

Conforme figura 2.5.a, no tensor de tensões para uma barra prismática sujeita a força normal,

tem-se σx = σ = P1/A e as demais tensões nulas (X é a direção normal à seção transversal, P1 a

força normal e A é a área da seção transversal).

No tensor de deformações, conforme expressões (2.31), tem-se:

Prof. Gilson Queiroz 24

εx = σx/E εy = εz = -νσx/E γxy = γxz = γyz = 0

A variação do comprimento dx é dada por εxdx (expressão (2.12)); a variação do comprimento

L, na direção X é:

∆L = ∫εxdx = ∫(σx/E)dx = ∫[P1/(EA)]dx (limites de integração 0 e L)

Para trechos com P1/(EA) = constante:

∆L = P1L/(EA)

A energia de deformação no volume unitário, conforme (2.37), é U0 = (1/2)σxεx. No volume

elementar Adx tem-se:

dU = (1/2)Aσxεxdx = (1/2)A(P1/A)[P1/(EA)]dx =[P12/(2EA)]dx

No volume total da barra, de comprimento L:

U = ∫[P12/(2EA)]dx (limites de integração 0 e L)

Para trechos com P12/(EA) = constante:

U = P12L /(2EA)

Bibliografia do Capítulo 2

Boresi, A. P. e Chong, K. P. – “Elasticity in Engineering Mechanics” – Prentice Hall – N.

Jersey - 1987

Féodossiev, V. – “Résistance des Matériaux” – Éditions de la Paix – Moscou - 1968

Prof. Gilson Queiroz 25

CAPÍTULO 3 – VASOS DE PRESSÃO AXISSIMÉTRICOS, DE PAREDE FINA

Vasos de pressão podem conter gases e/ou líquidos e/ou partículas sólidas. Como exemplos de

vasos de pressão axissimétricos citam-se: um bujão de gás doméstico, uma caixa d’água

tronco-cônica de eixo vertical, um silo para armazenamento de grãos (com a parte superior

cilíndrica e a inferior tronco-cônica) etc.

Neste capítulo estudar-se-á basicamente o caso de conteúdo gasoso, considerando-se

desprezíveis os efeitos do peso próprio (do vaso e do gás) e das forças externas (por exemplo

as aplicadas pelos suportes). Entretanto, salienta-se que, nos casos em que o vaso contém

líquido ou partículas sólidas:

o peso próprio do conteúdo não pode ser desprezado e, consequentemente,

a pressão interna na parede não é constante,

as forças aplicadas pelos suportes têm que ser consideradas e,

no caso de partículas sólidas, existem forças de atrito entre as partículas e a parede.

3.1 Caso axissimétrico geral

Considere-se o estado de tensões em um ponto qualquer A, situado na parede do vaso de

pressão da figura 3.1, referido ao sistema formado pelas direções:

c (circunferencial), m (meridional), n (normal)

A c

σc

σm

FIGURA 3.1

t t = espessura da parede

Prof. Gilson Queiroz 26

σm

σc

σm σc

σm

σc

Observa-se que não existem tensões de cisalhamento nas superfícies externa e interna da

parede, ou seja, τnc = τnm = 0. Devido à axissimetria, a parede do vaso não sofre distorções

angulares no plano formado pelas direções c, m, portanto, γcm = 0 e τcm = Gγcm = 0.

Observa-se também que a tensão normal σnn (ou simplesmente σn) é nula na superfície externa

da parede e igual a –p na superfície interna. Como se verá à frente, a tensão –p é desprezível

em relação às tensões normais σmm (ou σm) e σcc (ou σc).

Assim, para definir o estado de tensões em um ponto qualquer da parede do vaso, basta

determinar as tensões normais σm (meridional) e σc (circunferencial).

Na figura 3.2.a:

rm, r = raios do meridiano e do paralelo, respectivamente, que passam por A

rc = raio da curvatura horizontal (normal à parede entre A e o eixo do vaso)

Nas figuras 3.2.b e 3.2.c aparecem as variações de direção das tensões σm e σc,

correspondentes aos ângulos dθ e dϕ, medidos no plano meridiano e no plano perpendicular ao

meridiano que contém rc (a tensão σm varia também em módulo, mas esta variação é

desprezível em relação ao valor da tensão).

Resultante da pressão p no elemento compreendido pelos ângulos dθ e dϕ, direção n:

p(rmdθ)(rcdϕ)

Projeção das resultantes das tensões σm no mesmo elemento, na direção n:

-2tσm(rcdϕ)dθ/2

Projeção das resultantes das tensões σc no mesmo elemento, na direção n:

-2tσc(rmdθ)dϕ/2

r α

(a)

FIGURA 3.2

dθ p

(b)

p rc

dϕ

(c)

Prof. Gilson Queiroz 27

Estabelecendo-se o equilíbrio das três forças na direção n:

p(rmdθ)(rcdϕ) - 2tσm(rcdϕ)dθ/2 – [2tσc(rmdθ)dϕ/2] = 0

Simplificando-se o resultado, obtém-se a equação de Laplace:

p/t = σm/rm + σc/rc (3.1)

A segunda equação necessária para a determinação de σm e σc é obtida pelo equilíbrio, na

direção do eixo, de uma das partes em que o vaso é subdividido pelo plano do paralelo

passando por A, conforme figura 3.3:

p(πr2) = σmtcosα(2πr), donde

σm = pr/(2tcosα) = prc/(2t) (3.2)

As equações (3.1) e (3.2) resolvem o problema.

Nos polos da superfície do vaso tem-se r = 0 e α = 90o; assim, a equação (3.2) não pode ser

utilizada. Observa-se, entretanto, que todas as tensões meridionais atuantes em um polo são

iguais entre si, independentemente do meridiano a que pertencem. Desta forma, pode-se

escrever a seguinte equação de equilíbrio na direção da normal ao polo, que coincide com a

direção do eixo do vaso (figura 3.4 - r0 = raio do meridiano, no polo analisado):

p(r0dθ)(r0dθ)- 2tσ0(r0dθ)dθ/2 – 2tσ0(r0dθ)dθ/2 = 0, donde:

σ0 = pr0/(2t) (3.3)

σm σm rc

α p

FIGURA 3.3

σ0 σ0

σ0 σ0 r0 dθ

FIGURA 3.4

Prof. Gilson Queiroz 28

Observação: a teoria utilizada não se aplica a tampos planos de vasos, que sofrem flexão

devido à pressão interna.

3.2 Casos particulares

3.2.1 Vasos esféricos

Todos os pontos da superfície esférica podem ser considerados como polos, com raio r0 = R,

sendo R o raio da superfície esférica. As tensões normais meridionais, independentemente do

ponto e da direção considerados, são dadas por (3.3), substituindo-se r0 por R:

σ0 = pR/(2t) (3.4)

3.2.2 Vasos cilíndricos

Comparando-se as figuras 3.2 e 3.5, vê-se que:

rc = r = R = raio da superfície cilíndrica rm = ∞ α = 0

Substituindo-se estas informações nas equações (3.1) e (3.2), respectivamente, obtém-se:

σc = pR/t (3.5)

σm = pR/(2t) (3.6)

3.3 Tubos encaixados

3.3.1 Efeito isolado da pressão interna

Considere-se que os dois tubos da figura 3.6.a estejam encaixados, sem folga e sem pressão de

contato, antes da aplicação da pressão interna pi. Seja ps a pressão de contato que surge após a

aplicação de pi. Na figura 3.6.b mostra-se a metade do sistema situada acima do plano

diametral; estabelecendo-se o equilíbrio vertical desta metade, obtém-se:

Eixo

rm = ∞ rc = r = R

FIGURA 3.5

Prof. Gilson Queiroz 29

2riLpi = 2L(σcete + σciti) ou ripi = σcete + σciti (3.7)

Na superfície de contato dos dois tubos, as deformações circunferenciais são iguais, εce = εci;

assim, usando-se a lei de Hooke generalizada (2.31):

(σce - νeσme)/Ee = (σci - νiσmi)/Ei (3.8)

Ee, νe, σme são o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson e a tensão meridional,

respectivamente, no tubo externo

Ei, νi, σmi são o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson e a tensão meridional,

respectivamente, no tubo interno

Desprezando-se o efeito das parcelas νeσme e νiσmi em (3.8) (simplificação usual na prática

para esta situação), obtém-se:

σce/Ee = σci/Ei ou σce = (Ee/Ei)σci (3.9)

Utilizando-se (3.7) e (3.9), resultam:

σci = piri /[(Ee/Ei)te + ti] σce = piri /[te + (Ei/Ee)ti] (3.10)

O tubo externo fica sujeito a uma pressão interna igual à pressão de contato ps, assim:

σce = psrs/te, donde

ps = σcete /rs = piri /{r s[1 + Eiti/(Eete)]} (3.11)

3.3.2 Efeito isolado de variações de temperatura

Considere-se que os dois tubos da figura 3.6 estejam encaixados inicialmente sem folga e sem

pressão de contato (e também com pi = 0). A aplicação de variações de temperatura ∆Te e

FIGURA 3.6

ri rs

(a)

pi σci σc

σci σc

(b)

Prof. Gilson Queiroz 30

∆Ti nos tubos externo e interno, respectivamente, pode resultar no aparecimento de pressão de

contato ou de folga entre os dois tubos. Sejam αe e αi os coeficientes de dilatação térmica dos

tubos externo e interno, respectivamente; as deformações circunferenciais correspondentes,

devidas somente à variação de temperatura, são αe∆Te e αi∆Ti.

Se αe∆Te > αi∆Ti, surge folga entre os tubos e, consequentemente, nenhuma tensão.

Se, ao contrário, αe∆Te < αi∆Ti, surgem pressão de contato e tensões nos tubos. Neste caso,

desprezando-se (como anteriormente) o efeito das parcelas νeσme e νiσmi nas deformações

circunferenciais, tem-se:

εce = σce/Ee + αe∆Te εci = σci/Ei + αi∆Ti

Estabelecendo-se a compatibilidade destas deformações e notando que σce = psrs/te (tração) e

σci = -psrs/ti (compressão), onde ps é a pressão de contato:

psrs/(teEe) + αe∆Te = -psrs/(tiEi) + αi∆Ti, donde

ps = (αi∆Ti - αe∆Te)/{r s[1/(teEe) + 1/(tiEi)]} (3.12)

Bibliografia do Capítulo 3

Féodossiev, V. – “Résistance des Matériaux” – Éditions de la Paix – Moscou - 1968

Prof. Gilson Queiroz 31

CAPÍTULO 4 – TORÇÃO DE BARRAS PRISMÁTICAS

Em uma barra prismática em equilíbrio, sujeita a momentos externos atuando em planos

normais ao eixo da barra, aparecem momentos de torção nas seções transversais.

A convenção de sinais para momentos de torção é análoga à utilizada para tensões: o momento

de torção em uma face da seção transversal com normal positiva é positivo se seu vetor tiver o

mesmo sentido do eixo de coordenadas que lhe é paralelo.

Vários tipos de seções transversais de barras sujeitas à torção, além de sofrerem rotação em

torno do eixo da barra, perdem sua planicidade na situação deformada, fenômeno denominado

empenamento.

Este capítulo é limitado à torção uniforme, que ocorre quando a seção transversal for isenta de

empenamento (por exemplo seções circulares cheias ou vazadas), ou quando não for isenta mas

não houver restrição ao empenamento. Existe restrição ao empenamento quando o momento de

torção varia ao longo do eixo da barra ou quando algum apoio da barra oferece restrição ao

empenamento; neste caso tem-se uma situação complexa, denominada torção não uniforme,

com tensões normais e de cisalhamento nas seções transversais. Geralmente a torção não

uniforme é assunto de cursos de pós graduação.

4.1 Barra de seção maciça qualquer

Como já comentado, o momento de torção deve ser constante e os apoios não podem oferecer

restrição ao empenamento.

Condições de contorno em deslocamentos (figura 4.1.a):

I - a seção da esquerda não gira em torno do eixo X (eixo de torção);

II - o deslocamento u (na direção x) do ponto A é impedido, isto é, u(0, 0, 0) = 0.

Hipóteses (figura 4.1.a):

I - u = u(y, z), isto é, o empenamento (função dos deslocamentos u) é o mesmo para todas as

seções transversais;

Prof. Gilson Queiroz 32

II - as projeções das seções transversais no plano YZ giram como corpo rígido em torno do

eixo X, e o ângulo de rotação de uma seção em relação a outra é proporcional à distância entre

elas: ϕ = θx, sendo θ o ângulo de torção por unidade de comprimento (θ = constante).

Campo de deslocamentos

O ponto qualquer P = P(x, y, z) desloca-se para P’. Para pequenas rotações, PP’ = r(θx), com

PP’ tendendo a se tornar perpendicular ao raio r (figura 4.1.b). Assim, os deslocamentos nas

direções Y e Z são dados por (notando que a projeção horizontal de PP’ tem sentido contrário

ao do eixo Y):

-v = rθxsenα = θxz, donde v = -θxz w = rθxcosα = θxy (4.1)

Campo de deformações

Com as expressões (2.12) a (2.17) obtém-se:

εy = ∂v/∂y = 0 εz = ∂w/∂z = 0 εx = ∂u/∂x = 0 (hipótese I)

γyz = ∂v/∂z + ∂w/∂y = 0

γxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x = ∂u/∂y - θz γxz = ∂u/∂z + ∂w/∂x = ∂u/∂z + θy (4.2)

Observa-se que as distorções γxy e γxz (e consequentemante as tensões τxy e τxz) são funções

apenas de y e z.

Campo de tensões

Com a lei de Hooke generalizada (eq. 2.31) obtém-se:

σx = σy = σz = τyz = 0

τxy = G(∂u/∂y - θz) τxz = G(∂u/∂z + θy) (4.3)

M t M t A X

Z YB

B’

C’

ϕ=θx ϕL=θL

FIGURA 4.1

(a)

(b)

P’

θx -v

Prof. Gilson Queiroz 33

Compatibilidade de deformações

Derivando-se a penúltima equação (4.3) em relação a z, a última em relação a y, e subtraindo-

se, tem-se:

∂τxy/∂z - ∂τxz/∂y = -2Gθ = H = constante (4.4)

Pode-se mostrar que (4.4) corresponde a uma equação de compatibilidade de deformações.

Equilíbrio de tensões

Com as expressões (2.3), obtém-se (desprezando-se o peso da barra, Bx = By = Bz = 0):

∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z = ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z = 0

∂τxy/∂x + ∂σy/∂y + ∂τyz/∂z = ∂τxy/∂x = 0

∂τxz/∂x + ∂τyz/∂y + ∂σz/∂z = ∂τxz/∂x = 0 (4.5)

As duas últimas equações (4.5) confirmam que τxy e τxz são funções apenas de y e z.

Condições de contorno em tensões

I - Considere-se, em um ponto S qualquer da superfície lateral da barra, o sistema de

coordenadas formado pelo eixo X, pela normal νννν = (k, m, n) à superfície lateral em S, e pela

tangente t ao contorno da seção em S (figura 4.2.a). Devido à simetria do tensor de tensões

referido ao sistema ννννtX, tem-se τxν = τνx. Porém, τνx = 0 (não existem tensões na superfície

lateral da barra) e, consequentemente, τxν = 0. Desta forma, a tensão de cisalhamento na seção,

junto ao contorno, é paralela à tangente ao contorno no ponto considerado. Expressando τxν em

função de τxy e τxz, tem-se (notar que a projeção horizontal de ds tem sentido contrário ao do

eixo Y):

τxν = mτxy + nτxz = τxy(dz/ds) + τxz(-dy/ds) = 0 (4.6)

II – Nas seções transversais extremas tem-se (figura 4.2.b):

dMt = τxz(dydz)y - τxy(dydz)z, donde Mt = ∫∫(yτxz - zτxy)dydz (4.7)

M t

(b)

τxz

τxy dy

(a) YX

FIGURA 4.2 X

νννν t

τxν

τνx τxz

τxy

-dy

Prof. Gilson Queiroz 34

Solução do problema

A primeira equação (4.5) é condição necessária e suficiente para que exista uma função φ(y, z)

tal que (a função φ(y, z) é denominada função de torção de Prandtl):

τxy = ∂φ/∂z τxz = -∂φ/∂y (4.8)

Substituindo-se (4.8) em (4.4):

∂2φ/∂z2 + ∂2φ/∂y2 = -2Gθ = H = constante (4.9)

Substituindo-se (4.8) em (4.6):

(∂φ/∂z)(dz/ds) + (-∂φ/∂y)(-dy/ds) = 0, donde

dφ/ds = 0 (só no contorno da seção) (4.10)

Observa-se que a função φ é constante no contorno da seção.

Substituindo-se (4.8) em (4.7):

M t = ∫∫(yτxz - zτxy)dydz = -∫∫(y∂φ/∂y)dydz - ∫∫(z∂φ/∂z)dydz = -∫dz∫y(∂φ/∂y)dy - ∫dy∫z(∂φ/∂z)dz

Integrando-se por partes, obtém-se:

M t = -∫y(φy2 - φy1)dz + ∫∫φdydz - ∫z(φz2 - φz1)dy + ∫∫φdydz

Como y2, y1, z2, z1 são coordenadas de pontos situados no contorno da seção (onde φ é

constante), tem-se φy2 = φy1 e φz2 = φz1, donde:

M t = 2∫∫φdydz (4.11)

A solução consiste, então, em encontrar uma função φ(y, z) que atenda (4.9) em toda a seção e

(4.10) no contorno. Com a equação (4.11) determina-se a constante H (consequentemente, o

ângulo de torção por unidade de comprimento, θ). As demais respostas são determinadas, uma

vez definida a função φ, na sequência: τxy e τxz pelas expressões (4.8); u por integração das

expressões (4.3); γxy e γxz pelas expressões (4.2) ou simplesmente dividindo τxy e τxz,

respectivamente, por G (2.31).

Nota: o centro de rotação das seções transversais (sobre o eixo X) chama-se centro de torção. A

determinação do centro de torção para seções transversais abertas de parede fina é apresentada

no capítulo 6; a determinação genérica é objeto da Teoria da Elasticidade. Quando a seção tem

um eixo de simetria, o centro de torção fica sobre ele.

4.2 Barra de seção elíptica

Aplica-se o procedimento descrito no item 4.1. Devido à dupla simetria, o centro de torção

coincide com o centro de gravidade. A equação do contorno da seção, na situação da figura 4.3,

é y2/a2 + z2/b2 – 1 = 0.

Prof. Gilson Queiroz 35

Experimenta-se uma função de Prandtl dada por:

φ(y, z) = K(y2/a2 + z2/b2 – 1), sendo K uma constante (4.12)

A função φ atende às exigências (4.9) e (4.10), respectivamente:

∂2φ/∂z2 + ∂2φ/∂y2 = K(2/b2 + 2/a2) = constante (4.13)

φ = 0 no contorno, donde dφ/ds = 0 no contorno

Comparando (4.9) e (4.13), obtém-se:

K(2/b2 + 2/a2) = -2Gθ, donde K = -Gθ a2b2/( a2 + b2) (4.14)

Com (4.11), (4.12) e (4.14) relacionam-se Mt e θ:

M t = 2∫∫φdydz = [-2Gθ a2b2/( a2 + b2)] ∫∫(y2/a2 + z2/b2 – 1)dydz =

= [-2Gθ a2b2/( a2 + b2)](πab/4 + πab/4 - πab) = πa3b3Gθ/( a2 + b2), donde

θ = Mt/GIt (4.15)

It = ( πa3b3)/(a2 + b2) (4.16)

Com (4.14), (4.15) e (4.16) em (4.12), obtém-se, finalmente:

φ(y, z) = [-Mt/(πab)](y2/a2 + z2/b2 – 1) (4.17)

Demais respostas:

Com (4.8) τxy = ∂φ/∂z = -2Mtz/(πab3) τxz = -∂φ/∂y = 2Mty/(πa3b) (4.18)

Com (4.3) τxy = G(-θz + ∂u/∂y) τxz = G(θy + ∂u/∂z) (4.19)

Igualando-se as expressões de τxy dadas em (4.18) e (4.19), e também as expressões de τxz,

obtém-se:

∂u/∂y = -z[2Mt/(πab3G) - θ] ∂u/∂z = y[2Mt/(πa3bG) - θ]

Substituindo-se nestas equações o valor de θ dado por (4.15), com It dado por (4.16), resulta:

∂u/∂y = [Mt(b2 – a2)/(πa3b3G)]z ∂u/∂z = [Mt(b

2 – a2)/(πa3b3G)]y

Nota-se que o coeficiente de z e de y nas duas equações é o mesmo e também que é uma

constante; chamando esta constante de c0, obtém-se:

∂u/∂y = c0z, donde u = c0zy + f1(z) ∂u/∂z = c0y, donde u = c0yz + f2(y)

FIGURA 4.3

M t

Prof. Gilson Queiroz 36

Para que o valor de u seja o mesmo nas duas equações, é necessário que f1(z) = f2(y), para

qualquer ponto (y, z), ou seja, f1(z) = f2(y) = constante = c1, resultando u = c0yz + c1. Com a

condição de contorno II do item 4.1 (u(0, 0, 0) = 0), obtém-se c1 = 0 e, finalmente:

u = c0yz = [Mt(b2 – a2)/(πa3b3G)]yz (4.20)

Como b < a, vê-se que os deslocamentos u têm sinal contrário ao do produto yz das

coordenadas, isto é, os deslocamentos longitudinais são positivos no segundo e no quarto

quadrantes da seção e negativos no primeiro e no terceiro, caracterizando a perda de

planicidade da seção.

Vetor tensão

No plano da seção, o vetor tensão é tangencial, sendo dado por σσσσνννν = ττττ = (0 τxy τxz). Vê-se em

(4.18) que τxy e τxz variam linearmente ao longo de um raio qualquer da elipse, com valor nulo

no centro. Assim, como mostrado na figura 4.3, a direção do vetor tensão é constante ao longo

de um raio e paralela à tangente ao contorno na extremidade do raio (devido à primeira

condição de contorno em tensões vista no item 4.1). O módulo do vetor tensão é dado por:

ττττ = τ = √(τxy2 + τxz

2) = [2Mt/(πab)]√(y2/a4 + z2/b4) (4.21)

No contorno, onde o módulo é máximo para um determinado raio, tem-se z2 = b2(1 – y2/a2).

Para se obter o máximo em toda a seção substitui-se esta expressão em (4.21) e faz-se dτ/dy

= 0, obtendo-se:

y = 0 z = ±b (extremidades do eixo menor) τmax = 2Mt/(πab2) = Mt/Wt (4.22)

Wt = πab2/2 (4.23)

4.2.1 Caso particular: barra de seção circular

Neste caso a = b = R e y2 + z2 = r2 (figura 4.4), donde

Com (4.16) It = ( πa3b3)/(a2 + b2) = πR4/2 (4.24)

Com (4.21) τ = M tr/It (4.25)

Com (4.20) u = [Mt(b2 – a2)/(πa3b3G)]yz = 0 (4.26)

Na expressão (4.26) vê-se que a seção circular não empena.

M t

FIGURA 4.4

Prof. Gilson Queiroz 37

Para seção em forma de coroa circular, demonstra-se que também não são sujeitas a

empenamento e que (R = raio externo, ri = raio interno):

It = π(R4 – ri4)/2 (4.27)

Wt = It/R = π(R4 – ri4)/(2R) (4.28)

4.3 Barra de seção retangular maciça de pequena espessura

Na figura 4.5 tem-se b >> t. Assume-se uma função de Prandtl φ invariável com z:

φ = φ(y)

Aplicando-se a φ a condição (4.9), tem-se d2φ/dy2 = -2Gθ, donde:

φ = -Gθy2 + Ay + B, sendo A e B constantes de integração

Para atender (4.10) faz-se φ = 0 no contorno y = ±t/2, obtendo-se:

0 = -Gθt2/4 + At/2 + B 0 = -Gθt2/4 – At/2 + B, donde:

A = 0 B = Gθt2/4 ∴ φ = (Gθ/4)(t2 – 4y2) (4.29)

Substituindo-se (4.29) em (4.11):

M t = 2∫∫φdydz = 2b∫(Gθ/4)(t2 – 4y2)dy = (Gθb/2)(t2y – 4y3/3), com y variando de –t/2 a +t/2

∴ Mt = Gθbt3/3 e θ = Mt/GIt (4.30)

It = bt3/3 (4.31)

As tensões de cisalhamento, calculadas com (4.8), são:

τxy = ∂φ/∂z = 0 τxz = -∂φ/∂y = 2Gθy (4.32)

A nulidade das tensões τxy, decorrente da função φ assumida, não corresponde à realidade;

entretanto, tais tensões são desprezadas porque (τxy) max < (τxz) max. A tensão τxz varia

linearmente com y e seu maior valor absoluto é dado por:

(τxz) max = τmax = 2Gθt/2 = (Mt/It)t = Mt/Wt (4.33)

Wt = It/t = bt2/3 (4.34)

t/2 t/2

FIGURA 4.5

M t

Prof. Gilson Queiroz 38

Comentário

Como se observa nas expressões (4.15) e (4.16), bem como nas expressões (4.30) e (4.31), a

relação entre o ângulo de torção por unidade de comprimento e o momento de torção pode ser

escrita, em geral, como θ = Mt/GIt, sendo It uma propriedade geométrica da seção transversal,

denominada momento de inércia à torção.

Analogamente, observa-se nas expressões (4.22) e (4.23), bem como nas expressões (4.33) e

(4.34), que a tensão máxima de cisalhamento na seção é dada por τmax = Mt/Wt, sendo Wt uma

propriedade geométrica da seção transversal, denominada módulo resistente à torção.

4.4 Barras com seção aberta de parede fina

Quando a seção transversal é aberta e composta de vários retângulos de pequena espessura (bi

>> ti), conforme figura 4.6, tem-se

M t = Mt1 + Mt2 + Mt3 + ... + Mtn, (4.35)

sendo Mti (1≤ i ≤n) a parcela do momento de torção assumida pelo retângulo i e n o número de

retângulos componentes da seção.

Por outro lado, de acordo com a hipótese II dada no item 4.1, as projeções sobre o plano YZ de

todos os componentes da seção giram do mesmo ângulo, igual ao ângulo correspondente à

seção inteira:

θ1 = θ2 = θ3 = ... = θn = θ (4.36)

Para cada retângulo i tem-se θi = Mti/GIti, sendo Iti = biti3/3, e para a seção inteira tem-se θ

= Mt/GIt, donde

M t1/GIt1 = Mt2/GIt2 = Mt3/GIt3 = ... Mtn/GItn = Mt/GIt (4.37)

∴ (Mt1 + Mt2 + Mt3 + ... + Mtn)/(GIt1 + GIt2 + GIt3 + ... + GItn) = Mt/GIt

Eliminando-se G e aplicando-se a equação (4.35), conclui-se que:

It = It1 + It2 + It3 + ... + Itn = (1/3)Σ(biti3), para i variando de 1 a n (4.38)

b1 b2

t3 t4

FIGURA 4.6

M t, θ

M t1, θ1

M t2, θ2

M t3, θ3

M t4, θ4

Prof. Gilson Queiroz 39

Para paredes curvas de pequena espessura, (4.38) transforma-se em (s é a coordenada ao longo

da linha média da parede)

It = (1/3)∫t3ds (4.39.a)

A tensão máxima de cisalhamento em um retângulo componente da seção é dada por

τmaxi = Mti/Wti = (Mti/Iti)ti

Com (4.37) τmaxi = (Mt/It)ti (4.40)

A maior tensão de cisalhamento na seção ocorre no retângulo componente de maior espessura

τmax = (Mt/It)tmax = Mt/Wt (4.41)

Wt = It/tmax = [(1/3)Σ(biti3)]/tmax (4.42)

4.5 Barras com seção fechada de parede fina

Neste caso admite-se que as tensões de cisalhamento na seção transversal são constantes na

espessura da parede e têm direção paralela à linha média da parede, no ponto considerado,

conforme figuras 4.7.a e 4.7.b (na figura 4.7.b isola-se um elemento de comprimento dx, entre

os planos 1-1 e 2-2, paralelos a X). As tensões τ1 e τ2 na seção transversal repetem-se nos

planos 1-1 e 2-2, respectivamente, devido à simetria dos tensores de tensões correspondentes.

Estabelecendo o equilíbrio do elemento isolado na direção X, tem-se:

τ1t1dx = τ2t2dx, donde

τ1t1 = τ2t2 = τt = q = constante (4.43)

A constante q é denominada fluxo de cisalhamento (a direção do fluxo é tangente à linha média

da parede, no ponto considerado).

FIGURA 4.7

M t

ds dF

1 X

τ2

τ1

(a) (b)

Área A*

Prof. Gilson Queiroz 40

A força dF, na figura 4.7.a, é a resultante das tensões de cisalhamento no elemento da seção de

comprimento ds e espessura t:

dF = τtds =qds

O momento de dF em relação a um ponto O qualquer é:

dMt = hdF = qhds = 2qdA* (4.44)

(O produto hds é igual ao dobro da área dA* do triângulo elementar OAB, uma vez que ds é

colinear com dF). A integral de dMt na seção é igual ao momento de torção. Para q constante:

Mt = ∫ tdM = 2q ∫ *dA = 2qA* = 2τtA* ∴ τ = Mt/(2tA*) (4.45)

A* é a área da região delimitada pela linha média.

A tensão máxima de cisalhamento ocorre onde a espessura da parede for mínima:

τmax = Mt/Wt = Mt/(2A*tmin) (4.46)

Determina-se a seguir o ângulo de torção θ por unidade de comprimento. A energia de

deformação do volume unitário é dada por (conforme equações (2.36) e (2.31)):

U0 = (1/2)τγ = (1/2)τ2/G

No volume infinitesimal tdsdx (figura 4.7), tem-se

dU = [1/(2G)] τ2tdsdx = [1/(2G)] (q2/t)dsdx (4.47)

A energia de deformação dU neste volume infinitesimal pode também ser obtida em função de

dMt, dado por (4.44), e do ângulo de torção θ por unidade de comprimento (figura 4.1.a):

dU = (1/2)(θdx)dMt = (θdx)qdA* (4.48)

Igualando-se (4.47) e (4.48):

(θdx)qdA* = [1/(2G)] (q2/t)dsdx ∴ 2GθdA* = (q/t)ds

Integrando-se na seção:

2GθA* = ∫ (q/t)ds (4.49)

Para q = constante = Mt/(2A*):

θ = [Mt/(4GA*2)] ∫ds/t = Mt/(GIt)

It = (4A*2)/ ∫ ds/t (4.50)

4.6 Energia de deformação de barras sujeitas à torção uniforme

Com base na expressão (4.48), tem-se, na seção transversal completa e no comprimento dx:

dU = (θdx) ∫ qdA* (4.51)

Para q = constante:

dU = (1/2)Mtθdx = Mt2dx/(2GIt) (4.52)

Prof. Gilson Queiroz 41

Bibliografia do Capítulo 4

Boresi, A. P. e Chong, K. P. – “Elasticity in Engineering Mechanics” – Prentice Hall – New

Jersey - 1987

Féodossiev, V. – “Résistance des Matériaux” – Éditions de la Paix – Moscou - 1968

Ugural, A. C., Fenster, S. K. - “Advanced Strength and Applied Elasticity” – Elsevier – New

York – 1981

Rivello, R. M. – “Theory and Analysis of Flight Structures” – McGraw Hill, New York - 1969

CAPÍTULO 5 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PL ANAS

Neste capítulo estudam-se algumas propriedades geométricas das seções transversais de barras,

necessárias para o estudo da flexão e da flambagem em capítulos posteriores.

5.1 Definições

Prof. Gilson Queiroz 42

Considere-se uma seção de forma qualquer, cujo centro de gravidade é o ponto C (figura 5.1).

Os eixos CY e CZ são eixos baricêntricos. A área da seção é dada por:

A = ∫S dA (5.1)

Com relação aos eixos OY1 e OZ1, paralelos a CY e CZ, respectivamente, tem-se:

Momentos estáticos: Qy1 = ∫S z1dA Qz1 = ∫S y1dA (5.2)

Momentos de inércia: Iy1 = ∫S z12dA Iz1 = ∫S y1

2dA (5.3)

Raios de giração: ry1 = √(Iy1/A) rz1 = √(Iz1/A) (5.4)

Produto de inércia: Iy1z1 = ∫S y1z1dA (5.5)

Momento polar de inércia: IO = ∫S R12dA (5.6)

Como (y12 + z1

2) = R12, tem-se: Iy1 + Iz1 = IO (5.7)

Vê-se que a soma Iy1 + Iz1 não se altera mediante rotação do sistema Y1Z1 em torno de O.

Observa-se também que os momentos de inércia e o momento polar de inércia não se alteram

quando se trocam os sentidos dos eixos coordenados.

Definem-se as mesmas propriedades com relação aos eixos baricêntricos, bastando substituir

y1, z1, IO, R1 por y, z, IC, R, respectivamente, nas expressões (5.2) a (5.7). Devido ao conceito

de centro de gravidade, tem-se, em relação a eixos baricêntricos:

Qy = ∫S zdA = 0 Qz = ∫S ydA = 0 (5.8)

5.2 Translação a partir de eixos baricêntricos

y1C

z1C

FIGURA 5.1

R1C

Prof. Gilson Queiroz 43

Na figura 5.1 vê-se que

y1 = y + y1C z1 = z + z1C, (5.9)

sendo y1C e z1C as coordenadas do centro de gravidade no sistema Y1Z1, de eixos paralelos aos

eixos baricêntricos CY e CZ. Substituindo-se as relações (5.9) em (5.2), obtem-se:

Qy1 = ∫S (z + z1C)dA = ∫S zdA + z1CA Qz1 = ∫S (y + y1C)dA = ∫S ydA + y1CA

Considerando-se as relações (5.8), resulta:

Qy1 = z1CA Qz1 = y1CA (5.10)

Donde z1C = Qy1/A y1C = Qz1/A (5.11)

Com as equações (5.11) pode-se locar o centro de gravidade no sistema Y1Z1.

Substituindo-se as relações (5.9) em (5.3), obtem-se:

Iy1 = ∫S (z + z1C)2dA = ∫S z2dA + 2z1C ∫S zdA + (z1C)2A

Iz1 = ∫S (y + y1C)2dA = ∫S y2dA + 2y1C ∫S ydA + (y1C)2A

Considerando-se as relações (5.8), resulta:

Iy1 = Iy + (z1C)2A Iz1 = Iz + (y1C)2A (5.12)

Analogamente mostra-se que

Iy1z1 = Iyz + y1Cz1CA (5.13)

Com (5.7) e (5.12) obtem-se:

IO = Iy + Iz + [(y1C)2 + (z1C)2]A = IC + (R1C)2A (5.14)

5.3 Rotação de eixos

Considere-se uma rotação θ do sistema Y1Z1, conforme figura 5.2. As coordenadas u, v de dA

no novo sistema são dadas por:

u = y1cosθ + z1senθ v = z1cosθ - y1senθ (5.15)

Desta forma:

Iu = ∫S v2dA = ∫S (z1cosθ - y1senθ)2 dA = Iy1cos2θ + Iz1sen2θ - Iy1z1sen2θ (5.16)

Iv = ∫S u2dA = ∫S (y1cosθ + z1senθ)2 dA = Iy1sen2θ + Iz1cos2θ + Iy1z1sen2θ (5.17)

Iuv = ∫S uvdA = ∫S (y1cosθ+z1senθ)(z1cosθ-y1senθ)dA = Iy1z1cos2θ+(1/2)(Iy1 – Iz1)sen2θ (5.18)

Como já mencionado, o momento polar de inércia não se altera com a rotação.

U v

FIGURA 5.2

Prof. Gilson Queiroz 44

5.4 Eixos principais de inércia e momentos principais de inércia

Determina-se um valor da rotação θ (figura 5.2) para o qual Iu assuma um valor extremo

(máximo ou mínimo); como a soma Iy1 + Iz1 não se altera com a rotação, se Iu for máximo, Iv é

mínimo, e vice versa. Os eixos e os momentos de inércia correspondentes a tal rotação são os

eixos principais de inércia e os momentos principais de inércia, respectivamente, no ponto O.

dIu/dθ = -2Iy1cosθsenθ + 2Iz1senθcosθ - 2Iy1z1cos2θ = (Iz1 – Iy1)sen2θ - 2Iy1z1cos2θ = 0, donde

tg2θ = 2Iy1z1/(Iz1 – Iy1) (5.19)

Com (5.19) ficam determinadas as direções dos eixos principais. Os sentidos dos eixos

principais dependem da escolha do quadrante para o ângulo 2θ (duas opções para cada sinal de

tg2θ):

. se tg2θ ≥ 0 há duas soluções que diferem de π, sendo uma do 1o. quadrante e outra do 3o.

quadrante. Para θ há duas soluções que diferem de π/2. Escolhe-se a correspondente a do 1o.

quadrante: 0 ≤ θ ≤ π/4 (a outra solução é a 2a. direção, perpendicular à 1a.);

. se tg2θ ≤ 0 há duas soluções que diferem de π, sendo uma do 2o. quadrante e outra do 4o.

quadrante. Escolhe-se a do 4o. quadrante e - π/4≤ θ ≤ 0.

Com (5.18) e (5.19), obtém-se:

Iuv = cos2θ[Iy1z1 – (1/2)(Iz1 – Iy1)tg2θ] = cos2θ(Iy1z1 – Iy1z1) = 0 (5.20)

Como o produto de inércia é nulo em relação aos eixos principais, o sentido destes eixos é

irrelevante. Assim:

se tg2θ ≥ 0, considera-se que 0 ≤ 2θ ≤ π/2 e, consequentemente,

sen2θ ≥ 0 cos2θ ≥ 0 0 ≤ θ ≤ π/4 sen2θ ≤ 1/2 cos2θ ≥ 1/2 (5.21)

se tg2θ ≤ 0, considera-se que -π/2 ≤ 2θ ≤ 0 e, consequentemente,

sen2θ ≤ 0 cos2θ ≥ 0 -π/4 ≤ θ ≤ 0 sen2θ ≤ 1/2 cos2θ ≥ 1/2 (5.22)

Prof. Gilson Queiroz 45

Determinação do momento de inércia principal Iu, para tg2θ ≥ 0 – têm-se as seguintes relações

trigonométricas, levando-se em conta (5.21):

cos2θ ={1+[1/(1+tg22θ)]1/2}/2 sen2θ ={1-[1/(1+tg22θ)]1/2}/2 sen2θ = [tg22θ/(1+tg22θ)]1/2

(5.23)

Substituindo-se estas expressões trigonométricas em (5.16), obtém-se:

Iu = (Iy1 + Iz1)/2 + [(Iy1 – Iz1)/2] [1/(1+tg22θ)]1/2 – Iy1z1[tg22θ/(1+tg22θ)]1/2

Com a equação (5.19) obtém-se, após algumas simplificações (notando que Iz1–Iy1 e 2Iy1z1 têm

o mesmo sinal):

Iu = (Iy1 + Iz1)/2 ± [(Iz1 – Iy1)2/4 + (Iy1z1)

2]1/2 (5.24)

Procedendo-se analogamente para tg2θ ≤ 0, obtém-se esta mesma expressão de Iu (nas relações

(5.23) altera-se o sinal de sen2θ e, agora, Iz1–Iy1 e 2Iy1z1 têm sinais contrários).

Na expressão (5.24) o sinal + aplica-se quando Iy1 ≥ Iz1 e o sinal – quando Iy1 ≤ Iz1 (o outro

sinal é usado para o cálculo de Iv, uma vez que Iu + Iv = Iy1 + Iz1); em outras palavras,

utilizando-se as faixas de variação de θ dadas por (5.21), Iu é o momento de inércia máximo se

Iy1 ≥ Iz1, e o mínimo se Iy1 ≤ Iz1. Os eixos principais baricêntricos são também denominados

eixos principais centrais.

5.5 Eixos de simetria

O momento estático de uma seção em relação a um eixo de simetria OZ é nulo; portanto, um

eixo de simetria é também baricêntrico (figura 5.3). Como consequência, se uma seção tiver

dois eixos de simetria, sua interseção é o centro de gravidade da seção.

O produto de inércia de uma seção em relação a dois eixos ortogonais OY1 e OZ, sendo pelo

menos um de simetria, é nulo, uma vez que os produtos yz1 de dois elementos simétricos de

área dA anulam-se mutuamente (figura 5.3). Como consequência, se um dos eixos de um

FIGURA 5.3

C z1

-y1 y1

dA dA

O Y1

Prof. Gilson Queiroz 46

sistema de coordenadas Y1Z for de simetria, os eixos coordenados OY1 e OZ são principais de

inércia, porque, conforme (5.19), tg2θ = 0.

5.6 Exemplos

5.6.1 Momentos de inércia de um retângulo em relação aos eixos de simetria

Os dois eixos de simetria são principais centrais. Em relação a CY tem-se (figura 5.4):

Iy = ∫S z2dA = b∫S z

2dz = bz3/3 (para z variando de –h/2 a h/2), donde

Iy = bh3/12 (5.25)

De maneira análoga obtém-se:

Iz = hb3/12 (5.26)

Vê-se que, para h > b, Iy = Imax e Iz = Imin

5.6.2 Área e momentos de inércia principais centrais de uma seção duplamente simétrica,

composta de vários retângulos cujos eixos são paralelos aos eixos de simetria da seção

Na figura 5.5 são dados bf, tf, hw, tw, a. Assim,

zD = hw/2 + tf/2 zB = -zD yF = bf/2 – a – tw/2 yE = -yF

FIGURA 5.5

E F

yE yF

FIGURA 5.4

Prof. Gilson Queiroz 47

Calculam-se, para cada retângulo B, D, E, F, a área e os momentos de inércia Imy e Imz,

referidos aos eixos do próprio retângulo paralelos a CY e CZ, respectivamente.

Retângulo B A = bftf Imy = bftf3/12 Imz = tfbf

3/12

Retângulo D A = bftf Imy = bftf3/12 Imz = tfbf

3/12

Retângulo E A = hwtw Imy = twhw3/12 Imz = hwtw

3/12

Retângulo F A = hwtw Imy = twhw3/12 Imz = hwtw

3/12

A seguir determinam-se, para cada retângulo, os momentos de inércia referidos aos eixos CY e

CZ, por meio das expressões (5.12).

Retângulo B Iy = bftf3/12 + (zB)2bftf Iz = tfbf

3/12 + (0)2bftf

Retângulo D Iy = bftf3/12 + (zD)2bftf Iz = tfbf

3/12 + (0)2bftf

Retângulo E Iy = twhw3/12 + (0)2hwtw Iz = hwtw

3/12 + (yE)2hwtw

Retângulo F Iy = twhw3/12 + (0)2hwtw Iz = hwtw

3/12 + (yF)2hwtw

As somas destes últimos momentos de inércia são os momentos de inércia (principais centrais)

Iy e Iz , respectivamente, da seção completa.

Os cálculos podem ser organizados como na tabela 5.1, onde se utilizam os dados numéricos:

bf = 30cm tf = 1,25cm hw = 37,5cm tw = 0,8cm a = 2cm

TABELA 5.1

RET. A z z2A Imy z2A+

Imy

y y2A Imz y2A+

Imz

B 37,5 -19,375 14077 5 14082 0 0 2813 2813

D 37,5 19,375 14077 5 14082 0 0 2813 2813

E 30 0 0 3516 3516 -12,6 4763 2 4765

F 30 0 0 3516 3516 12,6 4763 2 4765

Σ 135 28154 7042 35196 9526 5630 15156

Resultados: A = 135cm2 Iy = 35196cm4 Iz = 15156cm4

Observar que as colunas z2A + Imy e y2A + Imz são desnecessárias, uma vez que para se obter

Iy e Iz da seção completa bastaria somar Σz2A com ΣImy e Σy2A com ΣImz, respectivamente.

5.6.3 Área e momentos de inércia principais centrais de uma seção mono simétrica, composta

de vários retângulos que têm um eixo paralelo ao eixo de simetria da seção

Na figura 5.6 são dados bf, tf, hw, tw, a. Assim, sendo OZ1 um eixo arbitrário de referência:

Prof. Gilson Queiroz 48

zD = hw/2 + tf/2 zB = -zD y1E = a + tw/2 y1B = y1D = bf/2

Com o mesmo procedimento usado no exemplo 5.6.2, determinam-se a área da seção e os

momentos de inércia relativos aos eixos OY e OZ1; adicionalmente, utilizando-se a segunda

equação (5.10), determinam-se os momentos estáticos dos retângulos em relação a OZ1, cujo

somatório é o momento estático Qz1 da seção completa em relação a este eixo. De acordo com

a segunda equação (5.11), a coordenada y1C do centro de gravidade da seção é obtida

dividindo-se Qz1 pela área (ambos da seção completa). Para se obter o momento de inércia

principal central da seção em relação a CZ utiliza-se a segunda equação (5.12):

Iz = Iz1 – (y1c)2A (Iz1 e A da seção completa)

Na tabela 5.2 ilustra-se o procedimento descrito, para os dados numéricos:

bf = 30cm tf = 1,25cm hw = 37,5cm tw = 0,8cm a = 2cm

TABELA 5.2

RET. A z z2A Imy y1 y1A y12A Imz

B 37,5 -19,375 14077 5 15 562,5 8438 2813

D 37,5 19,375 14077 5 15 562,5 8438 2813

E 30 0 0 3516 2,4 72 173 2

Σ 105 28154 3526 1197 17049 5628

A = 105cm2 y1C = 1197/105 = 11,4cm

Iy = 28154 + 3526 = 31680cm4 (principal central)

Iz1 = 17049 + 5628 = 22677cm4 Iz = 22677 – 11,42x105 = 9031cm4 (principal central)

FIGURA 5.6

C O

y1E y1B

y1C

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5.6.4 Área, momentos de inércia e produto de inércia em relação aos eixos baricêntricos CY e

CZ, e momentos de inércia principais centrais de uma seção sem simetria, composta de vários

retângulos cujos eixos são paralelos aos eixos CY e CZ.

Na figura 5.7 são dados bf, tf, hw, tw, a. Assim, sendo OY1 e OZ1 eixos arbitrários de

referência:

z1E = hw/2 + tf z1B = tf/2 y1E = a + tw/2 y1B = bf/2

Determinam-se y1C e Iz utilizando-se o eixo de referência arbitrário OZ1; determinam-se z1C e Iy

utilizando-se o eixo de referência arbitrário OY1. Para ambos os eixos o procedimento é

idêntico ao utilizado no exemplo 5.6.3 para a determinação de y1C e Iz. Adicionalmente,

determinam-se os produtos de inércia dos retângulos em relação aos eixos OY1 e OZ1, pela

expressão (5.13) (observando-se que o produto de inércia de um retângulo em relação aos

próprios eixos é nulo); a soma destes produtos de inércia é o produto de inércia Iy1z1 da seção

completa em relação aos eixos OY1 e OZ1. O produto de inércia Iyz da seção completa em

relação aos eixos baricêntricos CY e CZ é calculado pela expressão (5.13). O ângulo θ do eixo

principal CU com o eixo CY é calculado pela expressão (5.19). Os momentos de inércia

principais centrais da seção, finalmente, são calculados pela expressão (5.24). Nas expressões

(5.19) e (5.24), os índices y1 e z1 são substituídos por y e z, respectivamente, uma vez que a

rotação aplica-se ao sistema baricêntrico YZ.

Na tabela 5.3 ilustra-se o procedimento descrito, para os dados numéricos:

bf = 30cm tf = 1,25cm hw = 37,5cm tw = 0,8cm a = 2cm

FIGURA 5.7

y1E y1B

y1C

z1B

z1E z1C

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TABELA 5.3

RET. A z1 z1A z12A Imy y1 y1A y1

2A Imz y1z1A

B 37,5 0,625 23 15 5 15 562,5 8438 2813 352

E 30 20 600 12000 3516 2,4 72 173 2 1440

Σ 67,5 623 12015 3521 634,5 8611 2815 1792

A = 67,5cm2 y1C = 634,5/67,5 = 9,4cm z1C = 623/67,5 = 9,23cm

Iy1 = 12015 + 3521 = 15536cm4 Iy = 15536 – 9,232x67,5 = 9785cm4

Iz1 = 8611 + 2815 = 11426cm4 Iz = 11426 – 9,42x67,5 = 5462cm4

Iy1z1 = 1792cm4 Iyz = 1792 – 9,4x9,23x67,5 = -4064cm4

tg2θ = 2x(-4064)/(5462 – 9785) = 1,88 ∴ 2θ = 62o θ = 31o

Como Iy > Iz, Iu é o momento de inércia máximo e Iv o mínimo:

Iu = Imax = (9785 + 5462)/2 + [(5462 – 9785)2/4 + (-4064)2]1/2 = 12227cm4 (principal central)

Iv = Imin = (9785 + 5462)/2 - [(5462 – 9785)2/4 + (-4064)2]1/2 = 3020cm4 (principal central)

Bibliografia do capítulo 5

Timoshenko, S. P. e Gere, J. M. – “Mecânica dos Sólidos” – Livros Técnicos e Científicos

Editora – Rio de Janeiro – 1983

Queiroz, G. – “Elementos das Estrururas de Aço” – Belo Horizonte - 1993

Prof. Gilson Queiroz 51

CAPÍTULO 6 – FLEXÃO DE BARRAS PRISMÁTICAS

Denomina-se flexão simples à solicitação de uma barra por momento fletor e força cortante, e

flexão pura ao caso particular em que o momento fletor é o único esforço solicitante em uma

barra ou trecho de barra. Na flexão pura a hipótese básica é a de que as seções transversais

permanecem planas e perpendiculares ao eixo da barra (l.g. dos centros de gravidade das

seções) após a deformação. Esta hipótese é violada pela efeito da força cortante, como se verá

neste capítulo. Entretanto, para pequenos deslocamentos, podem-se utilizar as expressões

deduzidas para os efeitos do momento fletor, mesmo na presença de força cortante.

Tanto o vetor momento fletor como o vetor força cortante são decompostos segundo as

direções dos eixos coordenados. A convenção de sinais para os vetores componentes do

momento fletor e da força cortante é análoga à utilizada para tensões: em uma face da seção

transversal com normal positiva, o vetor é positivo se tiver o mesmo sentido do eixo de

coordenadas que lhe é paralelo.

6.1 Efeitos do momento fletor

6.1.1 Tensões normais na seção transversal

Na barra da figura 6.1, C é o centro de gravidade da seção transversal; os eixos CY e CZ são

eixos baricêntricos quaisquer, perpendiculares entre si. Na seção transversal DE atua apenas

um momento fletor M, que se decompõe em My e Mz. Sob a ação de M, aparecem tensões

normais σx na seção DE e ocorre uma rotação relativa entre as seções AB e DE, afastadas de

dx entre si.

Esta rotação pode ser descrita pelos deslocamentos na direção X, de DE com relação a AB.

B E’

D’

C C’

x dx

x1 = εxdx

C M

My D

E Z

z dA X1

Plano de ação de M

FIGURA 6.1

Prof. Gilson Queiroz 52

Em cada ponto da seção DE tem-se um deslocamento εxdx (capítulo 2, item 2.2), sendo εx a

deformação no ponto. Pela hipótese da conservação da planicidade da seção, a posição

deformada D’E’, de DE, fica em um plano, cuja equação no sistema X1YZ (com origem em C)

é:

x1 = εxdx = a1 + b1y + c1z (a1, b1 e c1 são constantes a determinar)

Pela lei de Hooke generalizada εx = σx/E, donde (notar que dx = constante):

σx = (E/dx)( a1 + b1y + c1z) = a + by + cz (6.1)

Vê-se que as tensões normais σx também se distribuem na seção conforme a equação de um

plano. A seguir determinam-se as constantes a, b, c.

A força normal N na seção é nula, donde

N = ∫S σxdA = ∫S (a + by + cz)dA = aA + b∫S ydA + c∫S zdA = 0

Como CY e CZ são baricêntricos, ∫S ydA = ∫S zdA = 0, resultando

a = 0 (6.2)

Por outro lado, considerando-se σx de tração em dA, têm-se:

∫S (σxdA)z = My e ∫S (σxdA)y = -Mz

Desenvolvendo-se estas equações obtêm-se, respectivamente:

∫S (a + by + cz)zdA = 0 + bIyz + cIy = My ∫S (a + by + cz)ydA = 0 + bIz + cIyz = -Mz (6.3)

Com as equações (6.3) determinam-se b, c:

b = -(MzIy + MyIyz)/[IyIz – (Iyz)2] (6.4)

c = (MyIz + MzIyz)/[IyIz – (Iyz)2] (6.5)

Substituindo-se (6.2), (6.4) e (6.5) em (6.1), tem-se, finalmente:

σx = σ = -(MzIy + MyIyz)(y)/[IyIz – (Iyz)2] + (MyIz + MzIyz)(z)/[IyIz – (Iyz)

2] (6.6)

Observações:

a) O tensor de tensões referido a XYZ só tem a tensão σx não nula, denominada simplesmente

de σ de agora em diante; o tensor de deformações tem as três deformações lineares não nulas e

as deformações angulares nulas.

b) A equação by + cz = 0 representa uma reta situada no plano da seção transversal, em cujos

pontos σ = 0 (as deformações nestes pontos, consequentemente, são também nulas). Esta reta

denomina-se linha neutra da seção. Vê-se que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da

seção. Como a seção gira em torno da linha neutra, o plano do eixo deformado da barra é

perpendicular à linha neutra.

Prof. Gilson Queiroz 53

c) Como as tensões σ distribuem-se na seção segundo a equação de um plano, a linha neutra é

a interseção deste plano com o plano da seção. Assim, as tensões σ são constantes em uma

paralela à linha neutra situada no plano da seção e variam linearmente em uma perpendicular à

linha neutra situada também no plano da seção.

d) Em função das observações anteriores, para se determinar graficamente as tensões σ em

todos os pontos da seção, basta calcular a tensão em um ponto R, fora da linha neutra, e

proceder como mostrado na figura 6.2. As tensões extremas σ’ e σ’’ ficam nas extremidades

(ou bordas) da seção mais afastadas da linha neutra.

e) Caso os eixos escolhidos CY e CZ, além de baricêntricos, fossem principais, ter-se-ia Iyz=0

e, consequentemente:

σ = (-Mz/Iz)y + (My/Iy)z (6.7)

A equação da linha neutra, referida aos eixos principais centrais torna-se:

(-Mz/Iz)y + (My/Iy)z = 0, ∴ z = (Mz/My)(Iy/Iz)y

Na figura 6.2, se CY e CZ forem principais centrais:

tgα = (Mz/My)(Iy/Iz) tgβ = Mz/My (6.8)

Vê-se que, em geral, a linha neutra não coincide com a direção do vetor M, ou seja, o plano do

eixo deformado da barra não coincide com o plano de ação de M.

f) A coincidência da linha neutra com a direção do vetor M ocorre em duas situações:

- quando os momentos principais de inércia Iy e Iz forem iguais, isto é, quando os momentos

de inércia em relação a todos os eixos baricêntricos forem iguais;

- quando a projeção de M sobre um dos eixos principais, My ou Mz, for nula, isto é, quando o

vetor M tiver a direção de um dos eixos principais, situação denominada flexão normal.

σ’

Plano de ação de M

σ’’

σR

Linha neutra

Perpendicular à linha neutra

C M

FIGURA 6.2

R β

Prof. Gilson Queiroz 54

g) Sendo CY e CZ principais centrais, os dois casos de flexão normal são:

Mz = 0 linha neutra coincide com CY σ = (My/Iy)z (figura 6.3.a) (6.9)

My = 0 linha neutra coincide com CZ σ = (-Mz/Iz)y (figura 6.3.b) (6.10)

Denominam-se módulos resistentes à flexão às relações Wys, Wyi, Wzs e Wzi dadas por:

Figura 6.3.a: Wys = Iy/zs; Wyi = Iy/zi ∴σ’ = My/Wys ; σ’’ = My/Wyi (6.11)

Figura 6.3.b: Wzs = Iz/ys; Wzi = Iz/yi ∴σ’ = Mz/Wzs ; σ’’ = Mz/Wzi (6.12)

h) Sendo CY e CZ principais centrais, se My e Mz forem ambos diferentes de zero, a flexão é

denominada flexão oblíqua. Comparando-se a expressão (6.7) com (6.9) e (6.10), vê-se que a

flexão oblíqua pode ser decomposta em duas flexões normais, uma com apenas My ≠ 0 (figura

6.3.a) e outra com apenas Mz ≠ 0 (figura 6.3.b). As tensões normais finais são obtidas pela

soma algébrica das tensões devidas aos efeitos isolados de My e Mz. Na figura 6.3, para My e

Mz diferentes de zero, a tensão normal em P, por exemplo, seria igual à soma algébrica das

tensões σP determinadas com Mz = 0 (figura 6.3.a) e com My = 0 (figura 6.3.b).

6.1.2 Linha elástica na flexão normal

Conforme o item anterior, na flexão normal, o plano que contém o eixo deformado da barra

coincide com o plano de ação do momento fletor. Nas figuras 6.4.a e 6.4.b mostram-se as

situações indeformada e deformada, respectivamente, de um trecho de barra de comprimento

dx, sujeito a um momento fletor My positivo (os eixos Y e Z são principais centrais). Os

deslocamentos w são os deslocamentos dos pontos do eixo da barra na direção Z.

FIGURA 6.3

(b)

(a)

σ’

σ’’ σP

σ’

σ’’

σP

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O plano que contém as linhas neutras das seções transversais (plano XY) é denominado plano

neutro (figura 6.4.a), e seus pontos são isentos de tensão e deformação (σ = 0, ε = εx = 0). Da

figura 6.4.b, para pequenos deslocamentos:

dϕ = dx/Rz = [(dx + εdx) – dx]/z, donde:

dϕ/dx =1/Rz = ε /z = (σ/E)/z = (Myz/Iy)/(Ez) = My/(EIy) (6.13)

Por outro lado, na figura 6.5, onde se reproduz um trecho do eixo curvo da barra da figura 6.4,

tem-se (observando-se que a rotação ϕ tem sinal contrário ao de dw/dx):

ϕ ≅ tgϕ = -dw/dx, donde:

dϕ/dx = -d2w/dx2 (6.14)

Comparando-se (6.13) com (6.14), conclui-se que:

d2w/dx2 = -My/(EIy) ( notar que My = My(x) ) (6.15)

A equação (6.15) é a equação diferencial da linha elástica, para momento fletor My.

Com procedimento análogo ao anterior, conclui-se que, para momento fletor Mz:

d2v/dx2 = Mz/(EIz) (6.16)

Da expressão (6.15) para a (6.16) o sinal se alterou porque a deformada do eixo associada a Mz

positivo tem derivada segunda (d2v/dx2) positiva.

FIGURA 6.4

My My

Plano neutro

(a)

T U

dx+εdx

dϕ

(b)

T U

FIGURA 6.5

Prof. Gilson Queiroz 56

Observações:

a) Para se obterem os deslocamentos do eixo da viga nos planos XZ e XY é necessário integrar

duas vezes as equações (6.15) e (6.16), respectivamente. Após a primeira integração obtêm-se

as rotações das seções transversais (ou do eixo da barra) nos planos correspondentes.

b) As constantes de integração são determinadas apenas com as condições de contorno quando

a equação do momento fletor for única em todo o intervalo de variação de x. Os tipos de apoio

mais comuns são o apoio rotulado e o engastamento (em uma mesma seção o tipo de apoio

pode ser diferente nos dois planos corrrespondentes aos eixos principais). No apoio rotulado, o

deslocamento do eixo é nulo no plano correspondente. No engastamento, tanto o deslocamento

quanto a rotação são nulos no plano correspondente.

c) Quando a equação do momento fletor não for única no intervalo de variação de x, surgem

mais constantes de integração do que no caso anterior e, além das condições de contorno, têm

que ser usadas condições de continuidade de deslocamentos e rotações. Nas duas seções

imediatamente adjacentes a cada seção onde a equação do momento fletor se altera, impõem-

se a igualdade dos deslocamentos e a igualdade das rotações.

d) A linha elástica de uma flexão oblíqua é obtida decompondo-a em duas flexões normais,

determinando-se a linha elástica de cada uma destas individualmente e compondo-se

vetorialmente os deslocamentos w e v de cada ponto do eixo da barra. Apesar da linha elástica

de cada flexão normal ser uma curva plana, é evidente que a linha elástica resultante da flexão

oblíqua é uma curva reversa, em geral.

6.1.3 Energia de deformação na flexão normal

Sendo Y e Z principais centrais, tem-se, a partir de (6.13):

dϕ = Mydx/(EIy)

Como dϕ é proporcional a My, a energia de deformação do elemento dx (figura 6.4), associada

a My, é dada por:

dU = (1/2)Mydϕ = (1/2)(My)2dx/(EIy) (6.17)

Analogamente obtém-se a energia de deformação do elemento dx associada a Mz. Na flexão

oblíqua a energia de deformação do elemento dx é igual à soma das parcelas associadas a cada

flexão normal componente:

dU = (1/2)(My)2dx/(EIy) + (1/2)(Mz)

2dx/(EIz) (6.18)

Prof. Gilson Queiroz 57

6.2 Efeitos da força cortante

6.2.1 Tensões de cisalhamento na seção transversal

6.2.1.1 Seções maciças retangulares

Na barra da figura 6.6 o elemento dx está sujeito à força cortante Vz e ao momento fletor My,

ambos positivos. Estabelecendo-se o equilíbrio de momentos atuantes no elemento dx em

relação ao eixo Y, obtém-se:

dMy – Vzdx = 0 ∴ Vz = dMy/dx (6.19)

A força cortante produz, na seção transversal, tensões de cisalhamento τxz, que têm, por

hipótese, a direção e o sentido da força cortante correspondente. Por hipótese tais tensões não

variam na seção, na direção perpendicular à força cortante (direção Y, no caso). Para

determinar as tensões τxz na linha EJ da seção (figura 6.6.a), situada na coordenada z1 (figura

6.6.b), isola-se a porção ABDEFGHJ do elemento dx situada entre as coordenadas z1 e h/2. Na

figura 6.6.c mostram-se as tensões atuantes na porção isolada. As tensões normais atuantes nas

seções à esquerda e à direita de dx diferem entre si de dσ, devido à variação dMy do momento

fletor. Como as tensões τzx são nulas na superfície livre ABFG, também são nulas as tensões

τxz na seção, para z = h/2. Para z = z1 têm-se tensões τzx no plano DEHJ com o mesmo

valor das tensões τxz a determinar. Estabelecendo-se o equilíbrio do sólido ABDEFGHJ na

direção X, tem-se:

∫S’ dσ(dA) - τzx(bdx) = 0

dA = elemento de área da região achurada S’ (figura 6.6.a)

Mas, de acordo com (6.9), dσ = (dMy/Iy)z, donde

τzx(bdx) = (dMy/Iy)∫S’ z(dA) ∴τzx = [1/(bIy)](dMy/dx)∫S’ z(dA)

Finalmente, com (6.19), obtém-se:

τxz = τzx = [Vz/(bIy)]∫ S’ z(dA) (6.20)

h/2

Z Z

My My+dMy Vz

A B

D E

σ σ+dσ

τxz τxz τzx

τzx

(a) (b) (c)

A≡F B≡G

D≡H E≡J h/2

h/2

FIGURA 6.6

S’

Prof. Gilson Queiroz 58

A integral que aparece nesta expressão é o momento estático da região S’ da seção (situada

entre as coordenadas z1 e h/2) em relação ao eixo Y. No caso em questão:

∫ S’ z(dA) = b(h/2 – z1)[(h/2 – z1)/2 + z1] = (b/2)[(h/2)2 – (z1)2]

Assim, a distribuição das tensões de cisalhamento na direção da força cortante é parabólica,

com valor nulo para z1 = h/2 e valor máximo para z1 = 0:

(τxz)max = [Vz/(bIy)](b/2)(h2/4) = {Vz/[b(bh3/12]}(b/2)(h2/4) = 1,5Vz/(bh) (6.21)

Vê-se que a tensão máxima é igual a 1,5 vezes a tensão média, que seria obtida dividindo-se a

força cortante pela área da seção.

Com procedimento análogo ao anterior, obtêm-se, para seções retangulares sujeitas a Vy e Mz,

as relações:

Vy = -dMz/dx (6.22)

τxy = τyx = [Vy/(hIz)]∫ S’’ y(dA) (6.23)

Nesta expressão, τxy é a tensão de cisalhamento na linha KL da seção (situada na coordenada y

= y1) e a integral é o momento estático da região S’’ da seção (situada entre as coordenadas y1 e

b/2) em relação ao eixo Z (figura 6.7).

No caso em questão:

∫ S’’ y(dA = (h/2)[(b/2)2 – (y1)2]

Assim, a distribuição das tensões de cisalhamento na direção da força cortante é parabólica,

com valor nulo para y1 = b/2 e valor máximo para y1 = 0:

(τxy)max = 1,5Vy/(bh) (6.24)

Observação: na flexão oblíqua superpõem-se os efeitos das forças cortantes Vz e Vy; em um

ponto qualquer da seção, a tensão de cisalhamento é igual à resultante das tensões τxz e τxy.

y1 S’’

b/2 b/2

B G

FIGURA 6.7

Prof. Gilson Queiroz 59

6.2.1.2 Seções maciças circulares

A distribuição de tensões de cisalhamento nos pontos de uma corda AB, perpendicular à força

cortante V, em seções maciças circulares, tem, por hipótese, o padrão mostrado na figura 6.8.

As tensões na extremidade da corda são tangentes ao círculo (ver capítulo 4, item 4.1 -

Condições de contorno em tensões – I). As direções de todas as tensões em AB concorrem no

mesmo ponto P e tais tensões têm todas a mesma projeção na direção da força cortante

(notar que, neste caso, qualquer eixo baricêntrico é principal central).

A projeção das tensões na direção da força cortante é determinada de forma semelhante à

utilizada para seções retangulares; as tensões são determinadas a partir desta projeção e da

posição do ponto P. A tensão máxima ocorre sobre o diâmetro perpendicular à força cortante e

é dada por:

τmax = (4/3)V/(πr2) (6.24)

ou seja, a tensão máxima é igual a (4/3) vezes a tensão média.

6.2.1.3 Seções abertas de parede fina – Centro de torção

Em seções de parede fina a força cortante produz tensões de cisalhamento que, por hipótese,

atuam na direção da linha média da parede e são constantes na direção perpendicular a esta

linha. Na barra da figura 6.9 os eixos Y e Z são baricêntricos quaisquer, perpendiculares entre

si; o elemento dx está sujeito à força cortante Vz e ao momento fletor My, ambos positivos. A

força cortante deve passar pelo centro de torção T da seção (a ser conceituado posteriormente,

neste item). A expressão (6.19) continua válida, mesmo para eixos não principais.

A B

FIGURA 6.8

Prof. Gilson Queiroz 60

Para determinar a tensão τxs na linha EJ da seção (figura 6.9.a), situada na coordenada

curvilínea s (medida sobre a linha média da parede, a partir de uma extremidade), isola-se a

porção ABDEFGHJ do elemento dx situada entre as coordenadas s = 0 e s= s (figura 6.9.b).

Na figura 6.9.c mostram-se as tensões atuantes na porção isolada. A convenção de sinais para

as tensões τxs é a mesma que foi introduzida no capítulo 2, com o sistema de coordenadas

formado pelo eixo X e pela coordenada s no local onde atua τxs. Como no item 6.2.1.1, as

tensões normais atuantes nas seções à esquerda e à direita de dx diferem entre si de dσ, devido

à variação dMy do momento fletor. Como as tensões τsx são nulas na superfície livre ABFG,

também são nulas as tensões τxs na seção, para s = 0. Para s = s têm-se tensões τsx no

plano DEHJ com o mesmo valor das tensões τxs a determinar. Estabelecendo-se o equilíbrio do

sólido ABDEFGHJ na direção X, tem-se:

∫S’ dσ(dA) + τsx(tdx) = 0

t = espessura da parede na linha EJ

dA = elemento de área da região achurada S’ (figura 6.9.a)

Mas, de acordo com (6.6), para dMz = 0 e dMy ≠ 0, tem-se

dσ = -(dMyIyz)(y)/[IyIz–(Iyz)2] + (dMyIz)(z)/[IyIz–(Iyz)

2] = (dMy)(Izz–Iyzy)/[IyIz–(Iyz)2] (6.25)

Portanto

τsx(tdx) = -{(dMy)/[IyIz–(Iyz)2]} ∫S’ (Izz–Iyzy)(dA) = {(dMy)/[IyIz–(Iyz)

2]}( I yz ∫S’ ydA -Iz∫S’ zdA)

Finalmente, com (6.19), obtém-se:

τxs = τsx = {(V z/t)/[IyIz–(Iyz)2]}( I yz ∫S’ ydA-Iz∫S’ zdA) (efeito de Vz) (6.26)

Com procedimento análogo ao anterior obtém-se a tensão τxs na mesma linha EJ, devida à

força cortante Vy (atuando no centro de torção):

τxs = τsx = {(V y/t)/[IyIz–(Iyz)2]}( I yz ∫S’ zdA–Iy∫S’ ydA) (efeito de Vy) (6.27)

My My+dMy Vz

A B

D E

σ σ+dσ

τxs τxs

τsx

(a) (b) (c)

A≡F B≡G

D≡H E≡J

FIGURA 6.9

My+dMy

B E G J S’

τxs

Prof. Gilson Queiroz 61

As integrais ∫S’ ydA e ∫S’ zdA, que aparecem em (6.26) e (6.27), são os momentos estáticos da

região achurada S’ da seção (entre s = 0 e s =s) em relação aos eixos Z e Y, respectivamente

(figura 6.9.a). Quando a seção tem várias extremidades (seções em forma de I, p. ex.), S’ é toda

a região da seção que fica do mesmo lado da linha EJ, onde se deseja determinar τxs.

A força cortante é igual à resultante das tensões de cisalhamento que ela produz na seção, ou

seja:

∫S (τxs)VzdA = Vz ∫S (τxs)VydA = Vy (6.28)

(S = superfície da seção completa, (τxs)Vz e (τxs)Vy são as tensões de cisalhamento devidas só a

Vz e só a Vy, respectivamente)

A tensão τxs na linha EJ, devida ao efeito combinado de Vz e Vy, é igual à soma algébrica das

tensões dadas por (6.26) e (6.27)

τxs = τsx = {1/[I yIz–(Iyz)2]}[(V z/t)( Iyz ∫S’ ydA-Iz∫S’ zdA) + (Vy/t)( Iyz ∫S’ zdA–Iy∫S’ ydA)] (6.29)

O produto q = tτxs, variável com s, é denominado fluxo de cisalhamento

No caso de Y e Z, além de baricêntricos, serem eixos principais, tem-se Iyz = 0 e a expressão

(6.29) simplifica-se para:

τxs = τsx = -[Vz/(tIy)] ∫S’ zdA - [Vy/(tIz)] ∫S’ ydA (6.30)

Centro de torção

Por definição é o ponto da seção por onde deve passar a força cortante para que não apareça

momento de torção. Quando a seção tem eixo de simetria, o centro de torção fica sobre ele.

Como a força cortante é a resultante das tensões de cisalhamento na seção, seu momento em

relação a um ponto qualquer (por exemplo, o centro de gravidade C da seção), na ausência de

torção, é igual ao momento resultante das tensões de cisalhamento, dadas por 6.26 e 6.27, em

relação ao mesmo ponto. Nas figuras 6.10.a e 6.10.b, sendo T o centro de torção, tem-se,

respectivamente:

VzyT = -∫S r(τxs)VzdA VyzT = ∫S r(τxs)VydA , donde

yT = (-1/Vz)∫S r(τxs)Vztds zT = (1/Vy) ∫S r(τxs)Vytds (6.31)

As expressões (6.31) permitem determinar a posição do centro de torção. O sinal negativo na

primeira expressão decorre dos momentos de Vz e das tensões (τxs)Vz terem sentidos contrários.

A distância r é sempre considerada positiva. As tensões (τxs)Vz e (τxs)Vy são calculadas com

(6.26) e (6.27), respectivamente.

Prof. Gilson Queiroz 62

6.2.1.4 Seções fechadas de parede fina

Analogamente ao caso das seções abertas de parede fina, a força cortante produz tensões de

cisalhamento que, por hipótese, atuam na direção da linha média da parede e são constantes na

direção perpendicular a esta linha. Na seção da figura 6.9.a os eixos Y e Z são baricêntricos

quaisquer, perpendiculares entre si; q = tτxs é o fluxo de cisalhamento em A, onde a espessura

da parede é t; T é o centro de torção, por onde deve passar a força cortante para não surgir

torção; O é uma origem arbitrária da coordenada curvilínea s, na linha média da parede.

Para se determinar o fluxo de cisalhamento q e a posição do centro de torção, usa-se o

procedimento descrito a seguir.

a) Com base nas expressões (6.31):

yT = (-1/Vz)∫S r(q)Vzds zT = (1/Vy) ∫S r(q)Vyds (6.32)

Nestas expressões, (q)Vz e (q)Vy são os fluxos q devidos aos efeitos isolados de Vz e Vy,

respectivamente (figura 6.10.a).

T Vy

zt r

t (τxs)Vy

(b)

yt r

t (τxs)Vz

(a)

FIGURA 6.10

T C

q r

(a)

O s

(b)

O s

(c)

≡≡≡≡ +

FIGURA 6.10

Prof. Gilson Queiroz 63

b) Seja qO o valor do fluxo q no ponto O. Decompõe-se o fluxo q, em um ponto qualquer A,

em duas parcelas: uma parcela variável qb = q – qO e uma parcela constante qO (figuras 6.10.b e

6.10.c). A soma destas parcelas é o fluxo q. Para os efeitos isolados de Vz e Vy, tem-se:

(q)Vz = (qb)Vz + (qO)Vz (q)Vy = (qb)Vy + (qO)Vy (6.33)

Como as parcelas (qO)Vz e (qO)Vy são constantes, elas equivalem a momentos de torção

(capítulo 4, item 4.5), tendo força resultante nula; consequentemente, as parcelas (qb)Vz e (qb)Vy

têm como resultantes as forças cortantes Vz e Vy, respectivamente.

c) No ponto O tem-se q = qO e qb = qO – qO = 0. Assim, a parcela variável qb pode ser

determinada como se a seção fosse aberta em O:

(qb)Vz = t(τxs)Vz (qb)Vy = t(τxs)Vy (6.34)

As tensões (τxs)Vz e (τxs)Vy são determinadas com (6.26) e (6.27), respectivamente.

d) Para determinar a parcela constante qO basta impor a condição de que o ângulo de torção θ

por unidade de comprimento é nulo. Como o fluxo total q não é constante, utiliza-se a

expressão (4. 47) do capítulo 4:

2GθA* = ∫ (q/t)ds = 0

Decompondo-se o fluxo q como anteriormente, obtêm-se as duas equações seguintes, que

permitem determinar (qO)Vz e (qO)Vy:

(qO)Vz ∫ ds/t + ∫ (qb)Vz (ds/t) = 0 (qO)Vy ∫ ds/t + ∫ (qb)Vy (ds/t) = 0 (6.35)

e) Finalmente obtêm-se, com (6.33), as expressões de (q)Vz e (q)Vy, as quais, substituídas em

(6.32), permitem determinar as coordenadas do centro de torção com relação aos eixos

baricêntricos CY e CZ. O fluxo q, devido ao efeito combinado de Vz e Vy, é dado por:

q = (q)Vz + (q)Vy = (qb)Vz + (qO)Vz + (qb)Vy + (qO)Vy (6.36)

Caso particular

Quando a força cortante atua segundo um eixo de simetria da seção, o fluxo de cisalhamento q

é nulo nas interseções da parede com a linha de ação da força cortante, recaindo-se no caso de

seções abertas.

6.2.2 Linha elástica em planos de simetria (todas as cargas aplicadas nos planos de simetria)

Nas figuras 6.11.a e 6.11.b mostram-se as situações indeformada e deformada,

respectivamente, de um trecho de barra de comprimento dx, sujeito a uma força cortante Vz

positiva, atuando no centro de torção (o plano XZ é de simetria). Os deslocamentos ws,

causados pela força cortante, têm a direção de Z, devido à simetria.

Prof. Gilson Queiroz 64

A energia de deformação no volume unitário, conforme (2.37), é dada por:

U0 = (1/2)τγ = (1/2)τ2/G (6.37)

Nestas expressões, τ e γ são iguais a τxz e γxz, respectivamente, para seções retangulares, e

iguais a τxs e γxs, respectivamente, para seções de parede fina. No volume infinitesimal dxdA,

sendo dA um elemento de área da seção transversal, tem-se:

dU1 = (1/2)(τ2/G)dxdA (6.38)

No volume correspondente a toda a seção transversal, no comprimento dx:

dU = dx ∫S (1/2)(τ2/G)dA (6.39)

Neste mesmo volume pode-se determinar a energia de deformação por:

dU = (1/2)Vzdws (6.40)

Igualando-se (6.39) e (6.40) obtém-se a equação diferencial da linha elástica devida à força

cortante Vz, quando o plano XZ é de simetria:

dws/dx = [1/(GVz)] ∫Sτ2dA (6.41)

Analogamente obtem-se, para a força cortante Vy, quando o plano XY é de simetria:

dvs/dx = [1/(GVy)] ∫Sτ2dA (6.42)

Nesta expressão, vs são os deslocamentos do eixo da barra na direção Y, τ = τxy para seções

retangulares e τ = τxs para seções de parede fina.

Observando as expressões (6.20), (6.23), (6.26) e (6.27), conclui-se que a tensão de

cisalhamento é igual à força cortante multiplicada por uma propriedade geométrica da seção

transversal. Assim, pode-se escrever:

dws/dx = (Vz/G) ∫S (τ/Vz)2dA = (Vz/G) ∫S τ*2dA (6.43)

Em (6.43), τ* é a tensão devida à força cortante unitária (propriedade geométrica da seção);

notando que o produto τ*2dA tem a dimensão do inverso de uma área, obtem-se a equação

usual da linha elástica devida à força cortante Vz, quando o plano XZ é de simetria:

dws/dx = kzVz/(GA) (6.44)

FIGURA 6.11

Vz Vz

dx (a)

T U

(b)

T U

ws Eixo da barra

dws

Prof. Gilson Queiroz 65

sendo kz uma constante adimensional que só depende da geometria da seção:

kz = A ∫S τ*2dA (6.45)

Determinação da constante kz para seções retangulares

Com base em (6.20) e na figura 6.6:

τ* = [1/(bIy)]∫ S’ z(dA) = [1/(bIy)]{(b/2)[(h/2)2 – (z1)2]} = [6/(bh3)] [(h/2)2 – (z1)

kz = A ∫S {[6/(bh3)] [(h/2)2 – (z1)2]} 2 dA

Com dA = bdz1, A = bh e z1 variando de –h/2 a h/2, obtem-se, após a integração:

kz = 36/30 = 1,2 (6.46)

Determinação da constante kz para seções abertas de parede fina

Com base em (6.30) e na figura 6.9:

τ* = τ/Vz = -[1/(tIy)] ∫S’ zdA, donde (τ*)2 = [1/(tIy)2] (∫S’ zdA)2 = [1/(tIy)

2](QS’y)2

QS’y = momento estático da região S’ em relação ao eixo principal CY.

Substituindo a expressão de (τ*)2 em (6.45) e com dA = tds:

kz = A ∫S [1/(tIy)2](QS’y)

2 tds = [(A/(Iy)2] ∫S [(QS’y)

2/t]ds (6.47)

Nesta expressão, s varia de zero até o comprimento total da linha média da seção; os valores de

QS’y e t são determinados em função da coordenada s, que vai da origem (extremidade) até o

ponto considerado da linha média.

Analogamente ao efeito da força cortante Vz, obtem-se para a força cortante Vy:

Equação usual da linha elástica devida à força cortante Vy, quando o plano XY é de simetria:

dvs/dx = kyVy/(GA) (6.48)

ky = A ∫S τ*2dA τ* = τ/Vy (6.49)

Constante ky para seções retangulares:

ky = 36/30 = 1,2 (6.50)

Para seções circulares, pode-se mostrar que as equações (6.44) e (6.48) são aplicáveis, com kz

= ky = 10/9.

Constante ky para seções abertas de parede fina:

ky = [(A/(Iz)2] ∫S [(QS’z)

2/t]ds (6.51)

QS’z = momento estático da região S’ em relação ao eixo principal CZ.

Para seções em forma de I duplamente simétrico (figura 6.12.a), com tf > tw e com btf > htw,

sujeitos a uma força cortante no plano médio da alma (Vy na figura 6.12.b) podem-se desprezar

as tensões de cisalhamento nas mesas e considerar que a tensão de cisalhamento na alma é

praticamente constante. Assim, por equilíbrio:

Prof. Gilson Queiroz 66

τ* = τ/Vy = [Vy/(htw)]/V y = 1/(htw), na alma

Com base em (6.49):

ky = A ∫S τ*2dA = A{[1/(htw) 2] (htw) + (0)2(2btf)} = A/(htw) (6.52)

Para seções em forma de I duplamente simétrico, sujeitos a uma força cortante perpendicular

ao plano médio da alma (Vz na figura 6.12.c), a tensão de cisalhamento na alma é nula, porque

o momento estático da região da seção situada acima ou abaixo de qualquer corte do tipo I-I,

em relação ao eixo Y, é nulo. Assim, recai-se no caso de uma seção retangular com altura igual

a b e espessura igual a 2tf, para a qual kz = 1,2. Entretanto, para usar a área A total da seção na

expressão (6.44), é necessário fazer a correção:

kz = 1,2A/(2btf) (6.53)

Para seções circulares vazadas de parede fina, pode-se mostrar que ky = kz = 2.

Observações:

a) Para se obterem os deslocamentos do eixo da viga nos planos XZ e XY (ambos de simetria)

é necessário integrar as equações (6.44) e (6.48), respectivamente.

b) As constantes de integração são determinadas apenas com as condições de contorno quando

a equação da força cortante for única no intervalo de variação de x. Os tipos de apoio mais

comuns são o apoio rotulado e o engastamento (em uma mesma seção o tipo de apoio pode ser

diferente nos dois planos de simetria). Em ambos os tipos de apoio o deslocamento do eixo é

nulo no plano correspondente. Por hipótese, as seções transversais não giram, porém, o eixo da

barra gira, mesmo no engastamento, deixando de existir a ortogonalidade entre o eixo da barra

e o plano da seção transversal. Assim, tanto no apoio rotulado quanto no engastamento, a única

condição de contorno é a nulidade do deslocamento no plano do apoio. Devido à variação das

tensões de cisalhamento na seção, e portanto das distorções, ocorre empenamento da seção,

como se mostra nas figuras 6.13.a (situação indeformada) e 6.13.b (situação deformada) para

um trecho de barra de comprimento dx, com seção retangular.

(a) (b) (c)

FIGURA 6.12

I I Z

Prof. Gilson Queiroz 67

c) Quando a equação da força cortante não for única no intervalo de variação de x, surgem

mais constantes de integração do que no caso anterior e, além das condições de contorno, têm

que ser usadas condições de continuidade de deslocamentos. Nas duas seções imediatamente

adjacentes a cada seção onde a equação da força cortante se altera, impõe-se a igualdade dos

deslocamentos.

d) A linha elástica em um plano de simetria, devida ao momento fletor e à força cortante, é

obtida determinando-se a linha elástica devida a cada efeito individual e somando-se

algebricamente os deslocamentos de cada ponto do eixo da barra. Na flexão oblíqua, faz-se

esta soma para cada plano de simetria e compõem-se vetorialmente os deslocamentos de cada

ponto do eixo da barra. Assim:

No plano de simetria XZ: wΣ = w + ws (6.54)

No plano de simetria XY: vΣ = v + vs (6.55)

Linha elástica final: δ = [(wΣ)2 + (vΣ)2]1/2 (6.56)

Apesar da linha elástica de cada flexão normal ser uma curva plana, é evidente que a linha

elástica resultante da flexão oblíqua é uma curva reversa, em geral.

6.2.3 Energia de deformação em planos de simetria (todas as cargas aplicadas nos planos de

simetria)

No volume correspondente a toda a seção transversal, no comprimento dx:

a) Efeito da força cortante Vz, com base em (6.40) e (6.44)

dU = (1/2)Vzdws = (1/2) kz (Vz)2dx /(GA) (6.57)

b) Efeito da força cortante Vy, por analogia

dU = (1/2) ky (Vy)2dx /(GA) (6.58)

c) O efeito combinado de Vz e Vy é igual à soma dos efeitos individuais

dx dx

Vz Vz

FIGURA 6.13

DISTORÇÃO MÁXIMA

DISTORÇÃO NULA

(a) (b)

Prof. Gilson Queiroz 68

dU = (1/2) kz (Vz)2dx /(GA) + (1/2) ky (Vy)

2dx /(GA) (6.59)

6.3 Efeitos térmicos na linha elástica de sistemas isostáticos – flexão normal

Nas figuras 6.14.a e 6.14.b mostram-se as situações indeformada e deformada,

respectivamente, de um trecho de barra de comprimento dx, sujeito a uma variação linear de

temperatura ∆Tz, no plano XZ, crescente no sentido positivo de Z (os eixos Y e Z são

principais centrais). A temperatura no plano neutro é, por hipótese, igual à temperatura

ambiente T0, ou seja, no plano neutro ε = εx = 0 (se a temperatura no plano neutro for diferente

da ambiente, a barra sofre deformação longitudinal constante, adicionalmente às deformações

devidas ao gradiente de temperatura na seção). Os deslocamentos w são os deslocamentos dos

pontos do eixo da barra na direção Z.

Da figura 6.14.b:

dxs = dx + α(T + ∆Tz – T0)dx dxi = dx + α(T– T0)dx dxs – dxi = α∆Tzdx

dϕ = dx/Rz = (dxs - dxi)/h = α∆Tzdx/h, donde:

dϕ/dx =1/Rz = α∆Tz/h (6.60)

Comparando-se (6.60) com (6.13), vê-se que o efeito da temperatura pode ser levado em conta

substitindo-se My/(EIy) por α∆Tz/h na equação diferencial da linha elástica (6.15):

d2w/dx2 = -α∆Tz/h (6.61)

Analogamente, para uma variação linear de temperatura ∆Ty no elemento dx, no plano XY,

com temperatura crescente no sentido positivo de Y, obtem-se:

d2v/dx2 = -α∆Ty/h (6.62)

Combinando-se os efeitos dos momentos fletores e das variações de temperatura, obtem-se:

d2w/dx2 = -My/(EIy) - α∆Tz/h (6.63)

FIGURA 6.14

Plano neutro

(a)

P Q

dx X

Rz dϕ

(b)

P Q

temp=T

temp=T+∆Tz

temp=T0

dxs

dxi

Prof. Gilson Queiroz 69

d2v/dx2 = +Mz/(EIy) - α∆Ty/h (6.64)

Bibliografia do Capítulo 6

Silva, J. F. - “Resistência dos Materiais” - Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro - 1962

Rivello, R. M. – “Theory and Analysis of Flight Structures”– McGraw Hill, New York- 1969

Timoshenko, S. P. e Gere, J. M. – “Mecânica dos Sólidos” – Livros Técnicos e Científicos

Editora – Rio de Janeiro – 1983

Shames, I. H. and Dym, C. L. – ‘Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics”

– McGraw-Hill, New York, 1985

Prof. Gilson Queiroz 70

CAPÍTULO 7 – INSTABILIDADE

Peças estruturais sujeitas a tensões normais de compressão e/ou tensões de cisalhamento,

causadas por esforços externos, dependendo de sua configuração geométrica e das

propriedades mecânicas do material de que são feitas, podem mudar bruscamente o padrão de

comportamento, perdendo sua forma básica original. Por exemplo, uma barra reta sujeita a uma

força normal de compressão crescente pode, a partir de certo valor da força, curvar-se

bruscamente; uma barra sujeita a um momento fletor crescente, atuando em torno do eixo

principal de máximo momento de inércia, pode, a partir de certo valor do momento, deslocar-

se bruscamente para fora do plano de flexão etc. Tais mudanças bruscas de comportamento

caracterizam instabilidade de forma quando a solicitação externa atinge determinado valor. A

mudança brusca de forma é denominada flambagem e a solicitação que a provoca é

denominada carga de flambagem. Quando a flambagem muda a forma da peça como um todo,

ela é chamada de flambagem global e, quando apenas uma região localizada da peça sofre

mudança de forma, tem-se uma flambagem local.

Em muitas situações práticas, a possibilidade de ocorrência de flambagem deve ser analisada,

porque, na maioria dos casos, tal ocorrência implica no colapso da peça. Cumpre ressaltar que

a superposição de dois ou mais tipos de esforços solicitantes (força normal de compressão,

força cortante na direção Z, força cortante na direção Y, momento fletor segundo o eixo Y,

momento fletor segundo o eixo Z, momento de torção), de maneira geral, aumenta o risco de

flambagem correspondente a um esforço solicitante isolado. Por exemplo, se determinada peça

flamba quando sujeita a determinado momento My1 isolado ou determinada força normal de

compressão N1 isolada, quando for sujeita à superposição de momento e força normal,

flambará para My2 < My1 e N2 < N1.

Um estudo mais completo dos casos de flambagem, para cada tipo de construção, é feito

geralmente nas publicações específicas para tal tipo de construção (pontes, edifícios,

aeronaves, equipamentos hidromecânicos etc.).

Prof. Gilson Queiroz 71

Neste trabalho serão abordados apenas alguns casos simples, visando ilustrar procedimentos

usuais para determinação da carga de flambagem.

7.1 Sistema barra rígida – mola rotacional

Considere-se o sistema indicado na figura 7.1.a, onde a barra AB, sujeita à carga de

compressão P, é rígida e a mola rotacional em B reage a uma rotação θ da barra com um

momento M = cθ, sendo c a constante elástica da mola. Caso a extremidade superior da barra

AB seja deslocada horizontalmente de δ (com δ << L), há três possibilidades:

- se Pδ < cθ (momento imposto menor que o momento na mola devido à rotação), a barra volta

à posição vertical inicial – situação de equilíbrio estável;

- se Pδ = cθ (momento imposto igual ao momento na mola devido à rotação), a barra

permanece na posição deslocada – situação de equilíbrio indiferente;

- se Pδ > cθ (momento imposto maior que o momento na mola devido à rotação), a barra

continua a se afastar da posição vertical inicial – situação de equilíbrio instável.

Na figura 7.1.a tem-se δ = Lsenθ = Lθ (para pequenos deslocamentos). Assim, a condição Pδ

= cθ, para que o equilíbrio passe de estável para instável fica:

PLθ = cθ, ou seja, P = c/L (7.1)

A carga P = c/L é denominada carga de flambagem. Se P < c/L, o equilíbrio da barra AB na

posição vertical inicial é estável, e se P > c/L, tal equilíbrio é instável. Exatamente para P = c/L

tem-se a transição de uma forma de equilíbrio para outra, com o deslocamento lateral δ ficando

indeterminado (figura 7.1.b). Esta indeterminação é devida à hipótese simplificadora senθ = θ,

válida para pequenos deslocamentos. Admitindo-se grandes deslocamentos, a abordagem é

FIGURA 7.1

A’

(a)

c/L

δ<<L

Equil. estável

Equil. instável

(b)

Prof. Gilson Queiroz 72

diferente. Considere-se que o ângulo θ (figura 7.1.a) varie de -π até π, e a mola sempre reaja

proporcionalmente a θ. A relação θ/senθ é igual ou superior a 1 no intervalo considerado

(figura 7.2). Assim, se P < c/L (PL/c inferior a 1), tem-se, para -π ≤ θ ≤ π:

PL/c < θ/senθ ⇒ PLsenθ < cθ ∴ Pδ < cθ - equilíbrio estável

Por outro lado, se PL/c > 1, pode-se, para cada valor de P, igualar o momento imposto ao

momento reativo da mola:

PLsenθ = cθ (7.2)

Esta equação é atendida para qualquer valor de P, quando θ = 0, o que corresponde à posição

original da barra rígida (situação de equilíbrio instável). Ela também é atendida para dois

valores de θ ≠ 0 (de sinais opostos), o que corresponderia a uma posição de equilíbrio estável

deslocada da posição vertical inicial para P = cθ/(Lsenθ). Para cada θ, o valor de P pode ser

obtido multiplicando-se as ordenadas da figura 7.2 por c/L. Na figura 7.3 apresenta-se a

solução completa do problema. Para P < c/L tem-se solução única, com a posição vertical

original estável. Para P > c/L têm-se duas soluções: a posição vertical inicial instável (para θ =

0) e uma posição deslocada estável (para θ ≠ 0).

FIGURA 7.3

π -π π/2 -π/2 π/4 -π/4 π/8 -π/8

θ/senθ

π/2

FIGURA 7.2

π -π π/2 -π/2 π/4 -π/4 π/8 -π/8

(π/2)c/L

c/L ESTÁVEL

INSTÁVEL

Prof. Gilson Queiroz 73

7.2 Barra bi-rotulada elástica, com seção duplamente simétrica, sujeita a compressão

Como no caso da barra rígida, admita-se que a barra AB, sujeita à força normal de compressão

P, seja afastada de sua forma reta, com pequenos deslocamentos laterais w (figura 7.4.a).

O momento fletor em um ponto qualquer da barra curvada é My = Pw, de acordo com a

convenção de sinais utilizada. Com base na equação diferencial 6.15, da linha elástica devida

ao momento fletor (desprezando-se o efeito da força cortante), tem-se:

d2w/dx2 = -My/(EIy) = -Pw/(EIy) (7.3)

Fazendo k2 = P/(EIy), obtém-se a equação diferencial

d2w/dx2 + k2w = 0, (7.4)

cuja solução é

w = C1senkx – C2coskx (7.5)

As constantes de integração C1 e C2 são determinadas com as condições de extremidade:

Para x = 0, w = 0, donde C2 = 0; para x = L, w = 0, donde C1senkL = 0

A última condição é atendida para C1 = 0 ou para senkL = 0. A solução C1 = 0 corresponde à

forma reta inicial da barra AB (uma vez que C2 é também igual a zero). A condição de

flambagem é, então:

senkL = 0, ou kL = nπ, com n = 1, 2, 3... (7.6)

Ao valor n = 1 corresponde o menor valor de P que provoca a perda da forma reta da barra:

kL = π, donde P = Pfl = k2(EIy) = π2(EIy)/L2 (7.7)

O valor de Pfl dado por (7.7) é a carga de flambagem da barra bi-rotulada AB. Analogamente

ao caso do sistema barra rígida – mola rotacional (item 7.1), a forma reta é estável para P < Pfl

e instável para P > Pfl. Para P = Pfl a seção central da barra pode assumir qualquer

FIGURA 7.4

(a)

Pfl

C1<< L

Equil. estável

Equil. instável

(b) Z

w C1

Prof. Gilson Queiroz 74

deslocamento lateral C1 (pequeno), conforme figura 7.4.b; a linha elástica da barra é uma meia

onda senoidal (figura 7.4.a), dada por

w = C1sen(πx/L) (7.8)

Os demais valores de P, correspondentes a n = 2, 3 etc., são cargas de flambagem superiores,

para as quais a linha elástica da barra seria constituída de duas, três etc. semi-ondas senoidais,

respectivamente:

w = C1sen(2πx/L) w = C1sen(3πx/L) etc. (7.9)

Tais cargas não têm interesse prático porque, uma vez atingida a primeira carga de flambagem,

dada por (7.7), a peça comprimida perde sua estabilidade.

A indeterminação da constante C1 (deslocamento lateral da seção central para n = 1) pode ser

eliminada utilizando-se uma equação diferencial da linha elástica própria para grandes

deslocamentos. Substituindo-se a primeira das equações (6.13), dϕ/dx =1/Rz , pela expressão

seguinte (válida para grandes deslocamentos),

1/Rz = (-d2w/dx2)/[1 + (dw/dx)2]3/2 (7.10)

A equação diferencial da linha elástica fica sendo (em lugar de (6.15):

(d2w/dx2)/[1 + (dw/dx)2]3/2 = -My/(EIy) = -Pw/(EIy) (7.11)

Integrando-se esta equação chega-se às seguintes conclusões (análogas às obtidas para o

sistema barra rígida – mola rotacional (item 7.1)):

a) A forma reta é estável para P < Pfl = π2(EIy)/L2

b) Para P ≥ Pfl há duas possibilidades: a barra pode permanecer na forma reta inicial, em

equlíbrio instável (w = 0), ou assumir uma forma curva estável (w ≠ 0), como ilustrado na

figura 7.5. De qualquer forma, P = Pfl continua sendo a carga de flambagem da barra

P/Pfl

FIGURA 7.5

ESTÁVEL

INSTÁVEL

wmax/L

0,1 0,2 0,3 -0,3 -0,2 -0,1

0,8

1,0

1,2

Prof. Gilson Queiroz 75

Observação: barras sujeitas a força normal de compressão podem, em geral, flambar por uma

combinação de flexão e torção. Esta abordagem, entretanto, está fora do escopo deste curso.

7.3 Barras sujeitas a força normal de compressão, com diversas condições de extremidade

Com procedimento idêntico ao utilizado no item 7.2, podem-se determinar as cargas de

flambagem para outras condições de extremidade de uma barra. Na figura 7.6 todas as barras

têm comprimento L, módulo de elasticidade E e momento de inércia Iy em relação ao eixo Y.

Nas figuras 7.6.b e 7.6.d, as extremidades superiores podem se deslocar horizontalmente, mas

têm rotação impedida em torno de Y.

As condições de extremidade para os seis casos da figura 7.6 são:

caso (a) – para x = 0, w = 0; para x = L, w = 0 – como já visto no item anterior

caso (b) – para x = 0, w = 0 e dw/dx = 0; para x = L, dw/dx = 0

caso (c) – para x = 0, w = 0 e dw/dx = 0

caso (d) – para x = 0, w = 0; para x = L, dw/dx = 0

caso (e) – para x = 0, w = 0 e dw/dx = 0; para x = L, w = 0

caso (f) – para x = 0, w = 0 e dw/dx = 0; para x = L, w = 0 e dw/dx = 0

A título de exemplo considere-se o caso (e). Seja F a reação horizontal superior, na situação

deformada. Tem-se:

d2w/dx2 = -My/(EIy) = -[Pw + F(L-x)]/(EIy) (7.12)

Fazendo k2 = P/(EIy), obtém-se a equação diferencial

d2w/dx2 + k2w = F(x-L)/(EIy), (7.13)

cuja solução é

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Z X

FIGURA 7.6

P P P P P P F

µ=1 µ=1 µ=2 µ=2 µ=0,7 µ=0,5

Prof. Gilson Queiroz 76

w = C1senkx – C2coskx + F(x-L)/(k2EIy) (7.14)

As constantes de integração C1, C2 e a reação horizontal F são determinadas com as condições

de extremidade:

para x = 0, w = 0, donde C2 + FL/(k2EIy) = 0;

para x = L, w = 0, donde C1senkL - C2coskL = 0

para x = 0, dw/dx = 0, donde kC1 + F/(k2EIy) = 0

A solução trivial deste sistema de equações, C1 = C2 = F = 0, corresponde à forma reta de

equilíbrio. Para que haja solução não trivial é necessário que o determinante dos coeficientes

das incógnitas se anule, isto é:

Desenvolvendo o determinante obtém-se:

kL = tgkL (7.15)

O menor valor de kL para o qual a equação (7.15) é atendida é kL = 4,49rd, ao qual

corresponde:

Pfl = k2(EIy) = (4,49/L)2(EIy) = 20,16EIy/L2 ≅ π2EIy/(0,7L)2 (7.16)

Da mesma forma poderiam ser obtidas as cargas de flambagem para os outros casos. Todos os

resultados podem ser escritos na forma:

Pfl = π2EIy/(µL)2 (7.17)

Na figura 7.6 são dados os valores do coeficiente µ para os seis casos mostrados. O coeficiente

µ é denominado coeficiente de flambagem e o produto µL é o comprimento de flambagem.

Pode-se observar na figura 7.6 que o comprimento de flambagem é o comprimento

correspondente a uma semi-onda senoidal. Em outras palavras, o comprimento de flambagem é

igual ao comprimento que a barra analisada deveria ter, na situação bi-rotulada, para que sua

carga de flambagem fosse mantida.

7.4 Carga de flambagem de barras com seção duplamente simétrica, sujeitas a compressão,

considerando-se os dois planos principais

Da expressão 7.17 obtém-se a tensão de flambagem da barra:

σfl = Pfl/A = π2E(Iy/A)/(µxzL)2 = π2E(ry2)/(µxzL)2 = π2E/(µxzL/ry)

2 = π2E/λy2 (7.18)

0 1 L/(k2EIy) senkL -coskL 0 = 0 k 0 1/(k2EIy)

Prof. Gilson Queiroz 77

A = área da seção transversal

ry = √(Iy/A) = raio de giração da seção transversal, relativo ao eixo Y

λy = µxzL/ry = índice de esbeltez no plano normal a Y (plano XZ)

O índice xz introduzido no coeficiente de flambagem µ indica que este coeficiente depende das

condições de contorno no plano XZ, conforme item anterior.

Para a flambagem no plano XY (flexão em torno do eixo Z), obter-se-ia, analogamente:

σfl = π2E/λz2 (7.19)

λz = µxyL/rz = índice de esbeltez no plano normal a Z (plano XY)

rz = √(Iz/A) = raio de giração da seção transversal, relativo ao eixo Z

µxy = coeficiente de flambagem, dependente das condições de contorno no plano XY

A tensão final de flambagem é o menor dos valores dados por 7.18 e 7.19, isto é, a barra

flamba no plano correspondente ao maior índice de esbeltez (plano XZ se λy > λz, e plano XY

se λz > λy). Basta então determinar o maior valor de λ e, em função dele, a tensão final de

flambagem.

7.5 Validade das fórmulas de flambagem de barras comprimidas

Como as expressões anteriores foram determinadas com base na linha elástica da barra

deformada, sua validade depende da condição:

σfl ≤ σP (7.20)

σfl = tensão final de flambagem, determinada como no item anterior

σP = limite de proporcionalidade do material (figura 7.7.a)

Para tensões superiores a σP o comportamento não é elástico e a tensão de flambagem não pode

ser determinada como no item anterior. O valor da tensão de flambagem tem um limite

superior, ditado pela própria resistência do material ao escoamento fy, e a curva que dá σfl em

FIGURA 7.7

(a) (b)

σ σfl

ε λ

fy fy

σP σP CAMPO DE VALIDADE

Prof. Gilson Queiroz 78

função de λ, para σfl > σP, é geralmente estabelecida com base em dados experimentais (figura

7.7.b).

7.6 Método energético para a determinação da carga de flambagem

Este método pode ser usado para outros casos de flambagem, de forma análoga à apresentada

aqui para barras comprimidas.

Considere-se a barra da figura 7.8, sujeita à carga de flambagem Pfl, em equilíbrio na posição

deformada. A energia de deformação da barra U, devida ao momento fletor, é igual ao trabalho

Pflδ, realizado pela força externa Pfl, que se mantém constante durante a realização do trabalho

(figura 7.8). De acordo com a expressão (6.17), tem-se, para flambagem no plano XZ (flexão

em torno do eixo Y):

U = (1/2)∫(My2/EIy)dx = Pflδ (7.21)

Pela equação (6.15), da linha elástica devida ao momento fletor My:

d2w/dx2 = -My/(EIy), ou seja, (My)2 = (EIy d

2w/dx2)2 (7.22)

O deslocamento δ, do ponto de aplicação da carga externa, é igual à diferença entre o

comprimento inicial L, da barra, e a projeção do eixo deformado sobre o eixo indeformado

(figura 7.8):

δ = ∫(dx - dxcosϕ) = ∫(1 - cosϕ)dx = ∫[1 – 1 + 2sen2(ϕ/2)]dx = 2∫sen2(ϕ/2)dx (7.23)

Para valores pequenos de ϕ, sen(ϕ/2) = (ϕ/2) = (senϕ)/2, resultando:

δ = (1/2)∫(sen2ϕ)dx = (1/2)∫(dw/dx)2dx (7.24)

Substituindo (7.22) e (7.24) em (7.21), obtém-se:

(1/2)∫[(EIy d2w/dx2)2/EIy]dx = Pfl(1/2)∫(dw/dx)2dx, donde:

FIGURA 7.8

Pfl

w C1

dx dx ϕ

Prof. Gilson Queiroz 79

Pfl = [∫EIy (d2w/dx2)2dx]/[∫(dw/dx)2dx] (as integrais são de 0 a L) (7.25)

Com a expressão (7.25) pode-se determinar a carga de flambagem Pfl, desde que se conheça a

equação do eixo deformado da barra w = w(x). Porém, a principal aplicação do método

energético ocorre quando não se conhece a equação do eixo deformado. Neste caso, elege-se

uma função w que atenda às condições de contorno (e a outras condições conhecidas, como

simetria, ponto de máximo etc.), e aplica-se a expressão (7.25). A carga aproximada de

flambagem assim obtida será sempre igual ou superior à carga teoricamente correta, uma vez

que o erro na definição de w equivale à introdução de vínculos inexistentes e consequente

aumento de rigidez. A aproximação será tanto melhor quanto maior a proximidade entre a

função escolhida w e a equação correta do eixo deformado.

A título de exemplo, considere-se a barra bi-rotulada da figura 7.4. A equação correta do eixo

deformado é, conforme (7.8), w = C1sen(πx/L). Então:

dw/dx = (π/L)C1cos(πx/L) d2w/dx2 = -(π/L)2C1sen(πx/L)

Substituindo estas expressões em (7.25) obtém-se a carga de flambagem teoricamente correta:

Pfl = π2EIy/L2 = 9,87EIy/L

Considere-se agora uma função w dada pelo polinômio do segundo grau: w = ax2 + bx + c

dw/dx = 2ax + b d2w/dx2 = 2a

Condições de contorno:

para x = 0, w = 0, donde c = 0

para x = L, w = 0, donde aL2 + bL = 0 e b = -aL, resultando:

dw/dx = 2ax - aL d2w/dx2 = 2a

Substituindo as expressões de dw/dx e d2w/dx2 em (7.25):

Pfl = [∫EIy (2a)2dx]/[∫(2ax - aL)2dx] = 12EIy/L2

Para a função polinomial escolhida ocorreu um erro de 100x(12 – 9,87)/9,87 = 21,6% no valor

da carga de flambagem, indicando que a escolha não foi boa. Observa-se que a derivada

segunda d2w/dx2 da função escolhida é constante, o que é incoerente com a expressão (7.3),

onde se vê que d2w/dx2 é nula quando w = 0 (extremidades) e assume um valor extremo

quando w é máximo (centro).

Para melhorar a solução, pode-se, por exemplo, adotar um polinômio do quinto grau para w,

w = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f, e impor as seguintes condições:

para x = 0, w = 0 e d2w/dx2 = 0

para x = L, w = 0 e d2w/dx2 = 0

para x = L/2, dw/dx = 0 (porque w é extremo)

Prof. Gilson Queiroz 80

Com estas cinco condições pode-se expressar cinco coeficientes do polinômio em função do

restante e obter expressões para dw/dx e d2w/dx2 em função deste coeficiente restante;

substituindo tais expressões na equação (7.25) obtém-se (ver exercício resolvido):

Pfl = 9,88EIy/L2 (praticamente igual ao valor correto)

7.7 Flambagem lateral de barras de seção retangular sujeitas à flexão pura

Considere-se uma barra de seção transversal retangular, com a altura h maior do que a largura

b, sujeita a momentos nas extremidades, como indicado na figura 7.9. As seções transversais

extremas são impedidas de girar em torno do eixo X.

Existe um valor Mfl de M, denominado momento de flambagem, para o qual a viga pode

assumir duas configurações (analogamente ao caso de flambagem devida à força normal de

compressão): uma configuração sem deslocamentos na direção Y (como originalmente) e outra

configuração com deslocamentos na direção Y, mantendo-se a forma da seção. Na segunda

configuração, que é o modo de flambagem da barra, cada seção transversal sofre um

deslocamento lateral v (devido a uma flexão em torno de Z) e gira de um ângulo de torção ϕ.

Esta configuração é mostrada na figura 7.10, pelos cortes A-A e B-B (ver também figura 7.9).

O corte A-A mostra o plano horizontal que passa pelo centro de gravidade da seção.

Nos cortes A-A e B-B da figura 7.10 tem-se, respectivamente (para pequenos deslocamentos):

h X Z

M M

FIGURA 7.9

Y A A

Y x y

M fl

M t

M fl Y

z Z

FIGURA 7.10 CORTE A-A CORTE B-B

Prof. Gilson Queiroz 81

M t = Mflsenα = Mfldv/dx (7.26)

Mz = -Mflsenϕ = -Mflϕ (7.27)

De acordo com a equação (4.30), Mt = GItθ, sendo θ = dϕ/dx (para variação não linear de ϕ

com x). Substituindo em (7.26):

GItdϕ/dx = Mfldv/dx (7.28)

De acordo com a equação (6.16), Mz = EIzd2v/dx2. Substituindo em (7.27):

EIzd2v/dx2 = -Mflϕ (7.29)

Derivando-se (7.29) em relação a x:

EIzd3v/dx3 = -Mfldϕ/dx (7.30)

Substituindo (7.28) em (7.30):

EIzd3v/dx3 = -Mfl

2 (dv/dx)/(GIt), ou d3v/dx3 + k2dv/dx = 0 (7.31)

sendo k2 = Mfl2/(EIzGIt)

A solução da equação diferencial (7.31) é:

v = C1 + C2senkx + C3coskx (7.32)

Da equação (7.29):

ϕ = (-EIz/M fl)d2v/dx2 = (-EIz/M fl)(-C2k

2senkx – C3k2coskx) (7.33)

Com as condições de contorno v = 0 e ϕ = 0 para x = 0, v = 0 e ϕ = 0 para x = L, obtem-se:

com (7.33) C3 = 0 C2senkL = 0; com (7.32) C1 = 0

A condição C2senkL = 0 é atendida para C2 = 0 (forma reta, uma vez que C1 e C3 são nulos) e

para senkL = 0 (condição de flambagem). Da condição de flambagem obtem-se o menor valor

de kL e, consequentemente, do momento de flambagem M fl:

kL = π k2 = Mfl2/(EIzGIt) = (π/L)2, donde

M fl = (π/L)(EIzGIt)1/2 (7.34)

7.8 Barras sujeitas a flexão e a força normal de compressão

A barra da figura 7.11 tem seção transversal simétrica em relação ao eixo Z e as cargas atuam

no plano XZ. Sob a ação das cargas transversais ao eixo da barra, o eixo se deforma e a força

P, que não produz momento fletor na barra indeformada, passa a produzir quando o eixo se

deforma, aumentando a deformação.

P F1 F2

F3 F4

Z FIGURA 7.11

Prof. Gilson Queiroz 82

De acordo com a equação (6.15) tem-se

d2w/dx2 = -My/(EIy) = -(Mytr + Pw)/(EIy) (7.35)

Na equação (7.35) tem-se Mytr = momento fletor devido apenas às cargas transversais ao eixo

da barra (independente de w para pequenos deslocamentos). Fazendo P/(EIy) = k2, obtem-se:

d2w/dx2 + k2w = -Mytr/(EIy) (7.36)

A solução desta equação diferencial é igual à soma da solução geral da equação homogênea

(segundo membro nulo) com uma solução particular w* da equação não homogênea:

w = C1senkx + C2coskx + w* (7.37)

A solução particular depende da expressão de Mytr em função de x. Considere-se, por exemplo,

que as cargas transversais fossem uma carga uniformemente distribuída q em toda a viga (no

sentido de Z) e que esta viga fosse bi-apoiada, como na figura (7.11). Neste caso:

Mytr = (qL/2)x – qx2/2 (polinômio do segundo grau) (7.38)

Tomando w* também como um polinômio do segundo grau:

w* = ax2 +bx +c; d2w*/dx2 = 2a (7.39)

Substituindo (7.38) e (7.39) em (7.36), obtem-se:

2a + k2(ax2 +bx +c) = -[(qL/2)x – qx2/2]/(EIy)

Estabelecendo a igualdade dos coeficientes dos termos do mesmo grau nos polinômios do

primeiro e do segundo membro, obtem-se:

2a + k2c = 0 k2b = -qL/(2EIy) k2a = q/(2EIy), donde

a = q/(2k2EIy) b = -qL/(2k2EIy) c = -q/(k4EIy)

Assim, a solução particular procurada é:

w* = [q/(2k4EIy)](k2x2 – Lk2x – 2) (7.40)

A solução completa (7.37) torna-se:

w = C1senkx + C2coskx + [q/(2k4EIy)](k2x2 – Lk2x – 2) (7.41)

Condições de contorno para viga bi-apoiada: para x = 0 e x = L, w = 0, donde:

C2 = q/(k4EIy) C1 = [q/(k4EIysenkL)](1 – coskL)

Substituindo as constantes C1 e C2 em (7.41), resulta, finalmente:

w = [q/(k4EIy)][(1 – coskL)senkx/senkL + coskx + (1/2)(k2x2 – Lk2x – 2)] (7.42)

Conforme (7.35) My = -EIyd2w/dx2, donde

My = (-q/k2)[(coskL – 1)senkx/senkL – coskx + 1] (7.43)

Particularmente, para x = L/2 obtêm-se a maior flecha w e o maior momento My:

wmax = [q/(k4EIy)][(1 – coskL)sen(kL/2)/senkL + cos(kL/2) + (1/2)(-k2L2/4 – 2)]

Prof. Gilson Queiroz 83

Mymax = (-q/k2)[(coskL – 1)sen(kL/2)/senkL – cos(kL/2) + 1]

Fazendo P = αPfl = απ2EIy/L2 (π2EIy/L

2 = carga de flambagem da barra bi-rotulada

simplesmente comprimida, no plano XZ), tem-se k2 = P/(EIy) = απ2/L2, donde k = (π/L)α1/2.

Por exemplo, para α = 0,7, os valores de wmax e Mymax seriam:

wmax = qL4/(23EIy), igual a 3,34 vezes a flecha devida à carga q, com P = 0 (5qL4/(384EIy))

Mymax = 0,426qL2, igual a 3,41 vezes o momento devido à carga q, com P = 0 (qL2/8)

Pode-se mostrar que quando a carga P tende para Pfl (α = 1) tanto a flecha quanto o momento

fletor tendem para infinito.

Existe uma expressão aproximada, devida a Timoshenko, que permite determinar a flecha ou o

momento, para P ≠ 0, em função dos valores correspondentes, para P = 0. Seja w* o

deslocamento de um ponto qualquer da barra da figura 7.11, para P = 0. De acordo com a

equação (6.15) tem-se:

d2w*/dx2 = -Mytr/(EIy) (7.44)

Eliminando Mytr entre as equações (7.35) e (7.44), obtem-se:

d2w/dx2 = d2w*/dx2 - Pw/(EIy) (7.45)

Admitindo-se que o eixo deformado da barra, tanto para P ≠ 0 quanto para P = 0, seja uma

meia onda senoidal, pode-se escrever:

w = wmaxsen(πx/L) e w* = w*maxsen(πx/L)

Substituindo estas expressões de w e w* em (7.45), obtem-se:

-wmax (π/L)2sen(πx/L) = -w*max (π/L)2sen(πx/L) – Pwmaxsen(πx/L)/(EIy), donde

wmax [1 - P/(π2EIy/L2)] = w*

max, ou wmax = w*max/(1 – P/Pfl) (7.46)

De maneira análoga obtem-se, para o momento máximo:

Mymax = M*ymax

/(1 – P/Pfl) (7.47)

(M*ymax = momento máximo para P = 0)

Aplicando-se as equações (7.46) e (7.47) ao exemplo anterior (barra bi-rotulada com carga

uniformemente distribuída, P/Pfl = 0,7), obtem-se:

wmax = 3,333w*max Mymax = 3,333M*

ymax

Observa-se que tais resultados são muito próximos dos exatos. As expressões (7.46) e (7.47)

podem ser aplicadas a outros casos de cargas e vinculações, com a devida correção da carga de

flambagem.

Prof. Gilson Queiroz 84

7.9 Flambagem de tubos de pequena espessura sujeitos a pressão externa (para ν = 0)

No tubo indeformado (fig. 7.12.a) tem-se uma tensão de compressão σo = pR/t, devida à

pressão externa, conforme cap. 3. Assim, em um elemento de tubo com dimensões L

(longitudinal) e ds (circunferencial), atua a força normal circunferencial de compressão (fig.

7.12.b):

No = σotL = pRL (7.48)

Quando a pressão p atinge determinado valor, o tubo flamba, perdendo sua forma circular (fig.

7.13.a) e surgem momento fletor e força cortante nas seções normais a ds (fig. 7.13.b); além

disto, a força normal não é mais constante (fig. 7.13.b). Equações de equilíbrio do elemento de

dimensões L, ds, após a flambagem (figs. 7.13.b e 7.13.c):

(I) pdsL + dQ – (No + N)dϕ = 0 (direção radial) (7.49)

(II) dN + Qdϕ = 0 (direção circunferencial) (7.50)

(III) Qds + dM = 0 (momentos em relação a o) (7.51)

t<<R

(a)

FIGURA 7.12 – TUBO INDEFORMADO

No No

p ds

(b)

(a)

No+ N+ dN dN

No + N

p ds

(b)

M M+dM

dϕ Q + dQ

o direção circunf.

direção radial

(c)

FIGURA 7.13 – TUBO DEFORMADO

Prof. Gilson Queiroz 85

Substituindo em (I) o valor de No dado por (7.48) e levando em conta que ds = ρdϕ, obtém-se

pdsL + dQ – (pRL + N)ds/ρ = 0

Dividindo-se esta equação por Rds:

-pL(1/ρ - 1/R) + (1/R)(dQ/ds) – N/(Rρ) = 0 (7.52)

Nesta equação, (1/ρ - 1/R) é a curvatura χ (ou o inverso do raio de curvatura) associada ao

momento fletor M.

Fazendo pL = q e considerando ρ ≅ R no início da flambagem, a eq (7.52) fica:

-qχ + (1/R)(dQ/ds) – N/R2 = 0 (7.53)

Da equação (III):

Q = -dM/ds ∴ dQ/ds = -d2M/ds2 (7.54)

Das equações (II) e (III):

dN = -Qdϕ = -Qds/ρ = dM/ρ

Considerando novamente ρ ≅ R no início da flambagem:

dN ≅ dM/R ∴ N = M/R + D (7.55)

onde D é uma constante de integração

Adicionalmente, de acordo com 6.13, como χ é o inverso do raio de curvatura:

M = EIχ com I = Lt3/12

Assim, (7.54) fica:

dQ/ds = - EI(d2χ/ds2) (7.56)

e (7.55) fica:

N= EIχ/R + D (7.57)

Substituindo dQ/ds e N dados pr (7.56) e (7.57), respectivamente, em (7.53):

-qχ - (EI/R)(d2χ/ds2) - EIχ/R3 – D/R2 = 0 (7.58)

Fazendo D/R2 = -C1 :

(q + EI/R3)χ + (EI/R)(d2χ/ds2) = C1 (7.59)

Dividindo os dois membros desta equação por EI/R, obtém-se:

d2χ/ds2 + k2χ = C1R/(EI), onde (7.60)

k2 = qR/(EI) + 1/R2 ( 7.61)

A solução de (7.60) é

χ = C1 R/(k2EI) + C2sen(ks) + C3cos(ks) (7.62)

A curvatura χ dada por (7.62) tem periodicidade, isto é, seu valor não se altera se s for

acrescido de 2πR. Para isto é necessário que:

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