PROGRESSÃO ARITMÉTICAP.A.
Matemática Discreta
Observe as seqüências numéricas:
2 4 6 8 ...
12 9 6 3 ...
5 5 5 5 ...
Essas seqüências foram construídasde forma que cada termo (número), a partirdo segundo, é a soma do anterior comuma constante.
Observe a construção da primeira seqüência:
Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência:
2Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o
segundo termo: Para obter os demais termos, vamos adicionando algebricamente sempre o mesmo valor ao número anterior:
+2 +2 +2
Seqüências desse tipo, nas quais cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante, são chamadas de Progressões Aritméticas.
Essa constante, que indicaremos por r, é denominada razão da P.A.
Assim na progressão aritmética,
(2,4,6,8,...) temos r = 2 e a P.A. é dita crescente.
(12,9,6,3,...) temos r = -3 e a P.A. é dita decrescente.
(5,5,5,5,...) temos r = 0 e a P.A. é dita constante.
Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um
termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo apenas o primeiro e a razão.
a2 = a1 + r
O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão:
a3 = a2 + r
Seja a1 o primeiro termo e r a razão da P.A.
O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão:
Como: a2 = a1 + r tem-se que :
Termo Geral da Progressão Aritmética
a3 = a1 + r + r logo, a3 = a1 + 2r
O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão:
a4 = a3 + r
Como a3 = a1 + 2r temos que :
a4 = a1 + 2r + r logo a4 = a1 + 3r
Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma:
an = a1 + (n – 1) . r
onde “n” indica a qual termo estamos nos referindo.
Essa “fórmula” poderá ser usada sempre que quisermos encontrar an, a1, n ou r. Veja alguns exemplos:
1) Sendo a1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. Como queremos o décimo termo temos que n = 10.
Substituindo na fórmula do termo geral teremos:
a10 =3 + (10–1).(-2)
a10 = 3 + 9.(-2)
a10 = 3 - 18
a10 = - 15
Aplicando na fórmula temos:
30 = a1 + (20–1).3
30 = a1 + 19.3
30 = a1 + 57
a1 = - 27
2) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e 200 termo igual a 30.
Substituindo os valores na fórmula temos:
- 21 = 5 + (14 – 1) . r
- 21 = 5 + 13 . r
- 21 – 5 = 13. r
- 26 = 13 . r
r = - 2
3) Calcule a razão da P.A. sabendo que a1 = 5 e a14 = - 21.
Primeiro calculamos a razão:
r = 47– 50
r = -3Substituindo na fórmula:
14 = 50 + (n – 1).(-3)
14 – 50 = (n -1).(-3)
-36 = (n – 1).(-3)
n - 1 = -36 / (-3)
12 = n - 1
Logo, n = 13
4) Calcule o número de termos da P.A. finita: (50,47,44,......,14).
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA
Observe a P.A. finita:
Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Portanto, Sn = (a1 + an) + ( a1 + an ) + ....+ ( a1 + an))
n/2 parcelas iguais a (a1 + an)
A soma dos seus termos pode ser escrita por:
Consideremos a P.A. finita de razão r: (a1,a2,a3,...,an-2,an-1,an)
em que:
* a1 é o primeiro termo;
* an é o enésimo termo;
* n é o número de termos;
* Sn é a soma dos n termos.
Então:
2
.1 naaS nn
Devemos calcular an ou seja a50:
a50 = 2 + 49 . 4 = 2 + 196 = 198
Aplicando a fórmula da soma temos:
2
50.198250S
Logo, S50 = 5000
Nessa P.A. infinita, os 50 primeiros termosformam uma P.A. finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n= 50
Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma dos termos de uma P.A.
1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2,6,....).
2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos.
A seqüência é (1,3,5,7,......) com r = 2.
Calculando a20 temos:
a20 = 1 + 19.2 = 1 + 38
Então, a20 = 39Assim:
2
20.39120S
Logo, S20 = 400
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