SucessõesProgressões aritméticas e geométricas
O essencial
Dados 𝑎, 𝑟 ∈ ℝ, designa-se por progressão aritmética de primeiro
termo 𝒂 e razão 𝒓 a sucessão 𝑢𝑛 definida por recorrência por:
𝒖𝟏 = 𝒂
𝒖𝒏+𝟏 = 𝒖𝒏 + 𝒓, ∀𝒏 ∈ ℕ
Progressão aritmética
O termo geral da progressão aritmética 𝑢𝑛 de primeiro termo
𝑎 ∈ ℝ e de razão 𝑟 ∈ ℝ é dado por:
𝒖𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒓
Termo geral de uma progressão aritmética
Dada uma progressão aritmética 𝑢𝑛 de razão 𝑟, em que se
sabe os termos 𝑢𝑝 e 𝑢𝑞 quaisquer, tem-se que:
𝒓 =𝒖𝒑 − 𝒖𝒒
𝒑 − 𝒒
Sendo 𝑢𝑛 uma progressão aritmética de razão 𝑟 ∈ ℝ:
• Se 𝑟 > 0, a progressão é estritamente crescente.
• Se 𝑟 < 0, a progressão é estritamente decrescente.
• Se 𝑟 = 0, a progressão é constante.
Razão de uma progressão aritmética
Dado 𝑁 ∈ ℕ, designa-se por progressão aritmética (finita) de
comprimento 𝑵 a sequência 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑁 dos 𝑵 primeiros termos
de uma progressão aritmética.
Progressão aritmética (finita) de comprimento N
Dado 𝑁 ∈ ℕ, a soma dos termos de uma progressão aritmética de
comprimento 𝑁, 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑁 é dada por:
𝑺 =
𝒊=𝟏
𝑵
𝒖𝒊 = 𝒖𝟏 + 𝒖𝑵 ×𝑵
𝟐=
𝒖𝟏 + 𝒖𝑵
𝟐×𝑵
Soma de um número finito de termos consecutivos de uma progressão aritmética
Dado 𝑁 ∈ ℕ, a soma dos N termos consecutivos de uma progressão
aritmética 𝑢𝑛 a partir do termo 𝑢𝑝 é dada por:
𝑺 =
𝒊=𝒑
𝑵+𝒑−𝟏
𝒖𝒊 =𝒖𝒑 + 𝒖𝑵+𝒑−𝟏
𝟐×𝑵
Soma de um número finito de termos consecutivos de uma progressão aritmética
Dados 𝑎, 𝑟 ∈ ℝ, designa-se por progressão geométrica de primeiro
termo 𝒂 e razão 𝒓 a sucessão 𝑢𝑛 definida por recorrência por:
𝒖𝟏 = 𝒂
𝒖𝒏+𝟏 = 𝒖𝒏 × 𝒓, ∀𝒏 ∈ ℕ
Progressão geométrica
O termo geral da progressão geométrica 𝑢𝑛 de primeiro termo
𝑎 ∈ ℝ e de razão 𝑟 ∈ ℝ é dado por:
𝒖𝒏 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏
Tem-se ainda que:
𝒖𝒏 = 𝒖𝒑 × 𝒓𝒏−𝒑
Termo geral de uma progressão geométrica
Dada uma progressão geométrica 𝑢𝑛 :
• Se 𝑢1 > 0 e 𝑟 > 1 (respetivamente, 0 < 𝑟 < 1), a progressão é
monótona crescente (respetivamente, monótona decrescente).
• Se 𝑢1 < 0 e 𝑟 > 1 (respetivamente, 0 < 𝑟 < 1), a progressão é
monótona decrescente (respetivamente, monótona crescente).
• Se 𝑟 = 1, a progressão é constante.
• Se 𝑟 < 0, a progressão é não monótona.
Monotonia de uma progressão geométrica
Dado 𝑁 ∈ ℕ, designa-se por progressão geométrica (finita) de
comprimento 𝑵 a sequência 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑁 dos 𝑵 primeiros termos
de uma progressão geométrica.
Progressão geométrica (finita) de comprimento N
Dado 𝑁 ∈ ℕ, a soma dos termos de uma progressão geométrica de
comprimento 𝑁, de primeiro termo 𝑢1 e de razão 𝑟 diferente de 1,
é dada por:
𝑺 = 𝒖𝟏
𝟏 − 𝒓𝑵
𝟏 − 𝒓
Soma dos N primeiros termos de uma progressão geométrica
Dado 𝑁 ∈ ℕ, a soma dos N termos consecutivos de uma progressão
geométrica 𝑢𝑛 a partir do termo 𝑢𝑝 é dada por:
𝒖𝒑 + 𝒖𝒑+𝟐 +⋯+ 𝒖𝒑+𝑵−𝟏 = 𝒖𝒑
𝟏 − 𝒓𝑵
𝟏 − 𝒓
Soma de um número finito de termos consecutivos de uma progressão geométrica
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