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PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 2010. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ. RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Questão 1. Numa progressão aritmética de 6 termos a soma dos termos de ordem ímpar é 6 e a soma dos termos de ordem par é 15. Calcule o sexto termo dessa PA. 01) 4 02) 8 03) 9 04) 10 05) 11 RESOLUÇÃO: Seja (a1, a2, a3, a4, a5, a6) PA em questão.
( ) ( )
( ) ( ) ( )⇒
=⇒−=
=⇒=⇒
=+
=+⇒
=+++++
=++++⇒
=++
=++
4a12a3
3r9r3
15r9a3
6r6a3
15r5ar3ara
6r4ar2aa
15aaa
6aaa
111
1
111
111
642
531
Sendo r = 3 e a1 = 4, tem-se: ( ) 11354a6 =×+−=
RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 2. Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja – ; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente:
01) cão, cobra, calopsita. 02) cão, calopsita, cobra. 03) calopsita, cão, cobra. 04) calopsita, cobra, cão. 05) cobra, cão, calopsita. RESOLUÇÃO: Analisando as informações dadas: 1) Zezé, Zozó e Zuzu moram na mesma rua, em três casas contíguas. 2) Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. 3) O cão mora em casa contígua a de Zozó, logo o cão não é de Zozó:
CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU
CALOPSITA CÃO Não
COBRA 4) A calopsita é amarela. 5) Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja, logo a calopsita não é de Zezé.
CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU
CALOPSITA Não CÃO Não
COBRA
2
6) A cobra vive na casa do meio, logo a cobra é de Zozó. 7) O cão e a calopsita vivem nas casas extremas. 8) Como o cão é vizinho de Zozó, este mora na casa do meio e portanto a cobra é de Zozó.
CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU
CALOPSITA Não Não CÃO Não
COBRA Não Sim Não
6) Pela tabela acima, o cão é de Zezé.
CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU
CALOPSITA Não Não CÃO Sim Não
COBRA Não Sim Não
Completando a tabela acima:
CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU
CALOPSITA N N SIM CÃO SIM N N
COBRA N SIM N
RESPOSTA: Alternativa 01 Questão 3. Certo homem, em 12 dias, com seu automóvel, percorreu 870 km. Em cada dia ele percorreu 5 km a mais que no dia anterior. Qual a distância percorrida por esse homem no sétimo dia? 01) 70km 02) 75km 03) 80km 04) 85km 05) 90km RESOLUÇÃO: 1o Dia: a km. 12o Dia: (a+5×11) km. Nos 12 dias percorreu 870km ⇒ ( )
755645a54a54012a87033012a8702
1255aa7 =×+=⇒=⇒=⇒=+⇒=
×++.
RESPOSTA: Alternativa 02
3
Questão 4.
Considere os seguintes argumentos:
Argumento I) Argumento II) Argumento III)
• Se o filho de Pedro joga futebol então ele bebe soda limonada.
• Ou Pedro vai ao parque ou Pedro vai a praia.
• Se Pedro vai ao parque então sua mulher fica feliz.
• Se Pedro vai a praia então seu filho joga futebol.
• Hoje, a mulher de Pedro está Infeliz.
• Logo hoje o filho de Pedro bebe soda limonada.
• Se João joga futebol então ele bebe soda limonada.
• Se João não bebe soda limonada então ele bebe fanta.
• Se não chove então João joga futebol.
• Hoje, não chove.
• Logo hoje João não bebe fanta.
• Quando chove, faz calor.
• Quando faz calor, eu ligo o ar condicionado.
• Hoje, eu liguei o ar condicionado.
• Logo hoje choveu.
Sobre os argumentos acima podemos afirmar que: 01) Todos são válidos
02) Todos são inválidos.
03) Apenas o argumento I é válido.
04) Apenas o argumento II é inválido.
05) Apenas o argumento III é inválido.
RESOLUÇÃO:
• Para o estudo de um argumento, considera-se cada premissa como verdadeira.
• O argumento somente será válido se for observada a cadeia seguinte (propriedade transitiva da
implicação):[(a ⇒ b) e (b ⇒ c) e (c ⇒ d) e ........e (m ⇒ n)] ⇒ [(a ⇒ n)]
ANÁLISE DO ARGUMENTO I)
(5) Hoje, a mulher de Pedro está Infeliz. ⇒ (3) Se a mulher de Pedro está infeliz, Pedro não foi ao parque. ⇒ (2) Como Pedro somente vai ao parque ou somente vai a praia, então Pedro foi a praia. ⇒ (4) Se Pedro foi a praia então seu filho joga futebol.⇒ (1) Se o filho de Pedro joga futebol então ele bebe soda limonada.⇒
Então o argumento “Logo hoje o filho de Pedro bebe soda limonada” é um ARGUMENTO VÁLIDO.
4
ANÁLISE DO ARGUMENTO II)
(4) Hoje, não chove. ⇒ (3) Se não chove então João joga futebol.⇒ Hoje João joga futebol. ⇒ (1) Se João joga futebol então ele bebe soda limonada.⇒ Hoje João bebe soda limonada. (2) Mas se hoje João bebe soda limonada, não implica em que hoje ele beba ou não FANTA.
Então o argumento: “Logo hoje João não bebe fanta” NÃO É VÁLIDO.
ANÁLISE DO ARGUMENTO III)
(1) Quando chove, faz calor. ⇒ (2) Quando faz calor, eu ligo o ar condicionado. (3) Hoje, eu liguei o ar condicionado. Mas eu posso ligar o ar condicionado fazendo calor ou não, logo hoje pode estar chovendo ou não.
Então o argumento: “Logo hoje choveu” NÃO É VÁLIDO..
RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 5. Considere a progressão geométrica (x, x + 4, 9x, ...); x < 0. Calcule o décimo termo dessa progressão. 01) 19683 02) 6561 03) 2187 04) 18423 05) 1782 RESOLUÇÃO:
Numa PG vale a relação: 312
2 aaa ×= , logo:
( ) 1ou x 2x16
248x
16
512648x0168x8x9x4x 222
−==⇒±
=⇒+±
=⇒=−−⇒=+ .
Como x < 0 ⇒ x = −1 ⇒ que a progressão geométrica é (−1, 3, −9, 27,...) ⇒ a razão
q = −3 ⇒ a10 = ( ) ( ) 1968331 9=−×− .
RESPOSTA: Alternativa 01 Questão 6.
01. Sobre Lógica considere as seguintes afirmativas:
I) A negação da sentença “Todos os professores trabalham muito e ganham mal” é “Algum professor não trabalha muito ou não ganha mal”.
II) A negação da sentença “Se não tenho caridade, sou como o bronze que soa, ou como o címbalo que retine” é “ Não tenho caridade e não sou como o bronze que soa, nem como o címbalo que retine”.
III) A sentença “Se chove ou neva então o chão fica molhado” é equivalente a sentença “Se o chão esta seco então não choveu e não nevou”.
Sobre as afirmativas acima podemos afirmar que:
5
01) Todas são verdadeiras.
02) Somente a afirmativa I é falsa.
03) Somente a afirmativa II é falsa.
04) Somente a afirmativa III é falsa.
05) Somente uma das afirmativas é verdadeira.
RESOLUÇÃO: (I) VERDADEIRA, pois, ~(∀p ∧q) ⇔ ∃~p ∨ ~q. (II) VERDADEIRA, pois, ~[p → (q ∨ r)] ⇔ p ∧ (~q ∨ ~r). (III) VERDADEIRA, pois, as sentenças “Se chove ou neva então o chão fica molhado” e “Se o chão esta seco então não choveu e não nevou” são contrapositivas, portanto equivalentes.
RESPOSTA: Alternativa 01.
Questão 7. O pagamento de uma dívida será feita em 10 parcelas, sendo a segunda igual a R$ 51,00. Cada parcela será igual a anterior acrescida de 2%. Calcule a soma, em reais, de todas as parcelas que serão pagas. (Considerar 1,029 = 1,2) 01) 420 02) 584 03) 560 04) 580 05) 600 RESOLUÇÃO: 1a parcela: x 2a parcela: 1,02x = 51 3a parcela: 1,022 x . . . 10a parcela: 1,029 x.
Sendo 5017
850
1,02
51,00x511,02x ===⇒=
A razão da PG é 1,02.
( ) ( ) ( ) ( )560
0,02
0,22405
0,02
11,21,0205
0,02
11,021,0205
0,02
11,0205
1q
1qaS
910101
10 =×
=−××
=−××
=−×
=−
−= .
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 8.
Um investidor estrangeiro tinha uma certa quantia em dólares no dia 10/01/2010. Neste dia ele trocou seus dólares por reais pela cotação do dia e em seguida, com estes reais, comprou ações da Petrobrás por R$36,00 cada ação. Na quarta-feira, dia 25/08, ele vendeu suas ações da Petrobrás por R$27,00 cada ação e em seguida trocou seus reais por dólares pela cotação do dia. Sabendo que a cotação do dólar, em reais, no dia 25/08 estava 10% superior a cotação do dia 10/01, determine, aproximadamente, a perda percentual que este investidor teve em dólares.
01) 16,7% 02) 29,6% 03) 31,8% 04) 33,4% 05) 37,5%
6
RESOLUÇÃO:
10/01/2010 25/08/2010 TROCOU COMPROU VENDEU TROCOU
1dólar por y reais 1 ação por 36 reais 1 ação por 27 reais 1dólar por 1,10y reais
y
36x
reais 36
dólaresx
reaisy
dólar 1=⇒=
1,10y
27x
reais 27
dólaresx
reais1,10y
dólar 1=⇒=
0,681840,4
3
36
1
10,1
27
y
36
y10,1
27==×=÷ ⇒ O valor do dólar em 25/08 era 68,18% do seu valor em
10/01/2010, logo a perda percentual foi de 100% - 68,18% = 31,82%. RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 9. A abóbada de um túnel tem a forma de um arco de parábola de equação y = ax² + bx + c.
P = (8, 2) é um ponto dessa abóbada, cuja altura máxima é igual a: 01) 2,40 02) 2,35 03) 2,30 04) 2,25 05) 2,15 RESOLUÇÃO: Sendo 4 e 10 raízes do polinômio y = ax² + bx + c, pode-se escrever: y = a(x – 4)(x – 10). Sendo P = (8, 2) um ponto do arco de parábola:
a(8 – 4)(8 – 10) = 2 ⇒ – 8a = 2 ⇒ a = 4
1− .
Assim y = ( ) 10)(x4x4
1−−− ⇒ y assume o valor máximo para x = 7
2
104=
+.
A altura máxima da abóbada é: ( ) ( ) 2,253)(34
110)(747
4
1ymax =−−=−−−= .
RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 10. Sendo x o maior número natural de 4 algarismos que dividido por 15 e por 21 deixa sempre resto 2, calcule a soma dos algarismos de x.
01) 28 02) 29 03) 30 04) 31 05) 32
7
RESOLUÇÃO:
Todo número, ao mesmo tempo divisível por 15 e 21, é também divisível por 105 que é o menor múltiplo comum entre 15 e 21.
Pode-se determinar, o maior múltiplo de 105 formado por quatro algarismos através da seguinte forma:
1) Dividindo-se 10.000 por 105, encontra-se quociente 95 e resto 25.
2) Logo 10.000 – 25 = 9975.
3) 9.975 = 95 × 105 = 475 × 21 = 665 × 15.
4) O número procurado é então: 9.975 + 2 = 9.977.
5) A soma dos algarismos de 9.977 é 32.
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 11.
Um ladrilho de 40 × 40 cm² tem a seguinte configuração ao lado:
O fabricante precisou saber qual a área da parte hachurada para determinar o consumo da tinta necessária para a pintura dessa parte.
Essa área, em cm², é igual a:
01) 352 02) 368 03) 428 04) 486 05) 512
RESOLUÇÃO:
A área da região hachurada será calculada da seguinte forma:
( )ABC triângulo10 raio círculoquadrado S4SSS +−= ⇒
486)800314(16002
2020410040S 2
=+−=
××+−= π
RESPOSTA: Alternativa 04.
8
Questão 12. Em uma fazenda produtora de soja duas colheitadeiras A e B são utilizadas para a colheita da produção. Quando trabalham juntas conseguem fazer toda a colheita em 72 horas. Porém, utilizando apenas a colheitadeira A, toda a colheita é feita em 120 horas. Se o produtor utilizar apenas a colheitadeira B, toda a colheita será feita em: 01) 180 horas 02) 165 horas 03)157 horas 04) 192 horas 05) NRA
RESOLUÇÃO:
Colheitadeira A Colheitadeira B Colheitadeiras A e B
Tempo (horas) 120 x 72
Produção por hora de trabalho 120
1
x
1
72
1
180x360x2x5360x372
1
x
1
120
1=⇒=⇒=+⇒=+ .
RESPOSTA: Alternativa 01.
Questão 13.
I)
ihg
ifhegd
i2ch2bg2a
ihg
fed
cba
−−−
+++
=
II)
cbc
aab
bca
cab
bac
cba
=
III)
fed
cba
ihg
ihg
fed
cba
=
IV)
ihg
fed
cba
64
i8h8g8
f4e4d4
c2b2a2
=
V) 0
caca
cbcb
baba
=
+
+
+
Dentre as proposições acima, o maior número de proposições verdadeiras, é:
01) um 02) dois 03) três 04) quatro 05) cinco.
9
RESOLUÇÃO:
I)
ihg
ifhegd
i2ch2bg2a
ihg
fed
cba
−−−
+++
= ⇒ É verdadeira, pois as duas primeiras linhas do segundo
determinante são, respectivamente, combinações lineares de duas linhas do primeiro determinante.
II)
cbc
aab
bca
cab
bac
cba
= ⇒ É verdadeira, pois são determinantes de matrizes transpostas.
III)
fed
cba
ihg
ihg
fed
cba
= ⇒ É verdadeira, pois, foram trocadas as posições das três linhas entre si.
IV) ( )
ihg
fed
cba
64
ihg
fed
cba
842
i8h8g8
f4e4d4
c2b2a2
=××= É verdadeira.
V) 0
caca
cbcb
baba
=
+
+
+
⇒ É verdadeira, pois, a primeira coluna é combinação linear das outras duas.
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 14.
O sistema
=−
=−
=+
my2x3
1yx
4y2x
é impossível para todo m diferente de:
01) 0 02) 1 03) 2 04) 3 05) 4
RESOLUÇÃO:
No sistema
=−
=−
=+
my2x3
1yx
4y2x
os valores de x e de y que satisfazem às duas primeiras equações, também
satisfazem à terceira equação:
( ) ( )
=−=−=
=+=
=⇒=
⇒
4261223m
211x
1y3y3
.
Para m = 4, o sistema é possível e determinado, sendo S = {(2, 1)} o seu conjunto solução.
10
Graficamente; m = 4
m = 6
Para qualquer valor de m diferente de 4 as três
retas se interceptarão duas a duas em três pontos diferentes, logo o sistema é impossível.
RESPOSTA: Alternativa 05
Questão 15.
Um cilindro de altura h = 6cm está inscrito numa esfera e tem volume igual a 6πcm³. Calcule a área lateral do cone com vértice no centro da esfera e base coincidente com uma das bases do cilindro.
01) 5π 02) 10 03) 10π 04) 102π 05) 2
10π
RESOLUÇÃO:
Sendo o volume do cilindro igual a 6πcm³, 1r6²r66h²r =⇒=⇒= ππ .
Da figura ao lado: R² = 1 + 9 ⇒ 10R = .
R é a geratriz do cone, então sua área lateral é: 10RrS ππ == . RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 16. A posição de um ponto da Terra é determinada por suas coordenadas geográficas, latitude e longitude. Considerando o meridiano que passa pelo ponto P da Terra, latitude é a medida do arco desse meridiano entre P e o Equador e longitude é a medida do ângulo desse meridiano com o meridiano que passa em Greenwich.
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PÔQ = latitude QÔS = longitude
As cidades A e B têm mesma latitude, 60°N, e suas longitudes são, respectivamente, 40°20’ oeste e 19°40’ leste. Se o raio da Terra, considerada esférica é igual a 6.000km, calcule a distância, em quilômetros, entre essas cidades.
Figura 1
Figura 2
Das duas imagens acima pode-se gerar as figuras abaixo:
Considerando o ponto O como centro da Terra (Figura 1), o ângulo central QÔR mede 40°20’ + 19°40’ = 60°. Da figura 3: .km300030senkm6000r =°×=
Da figura 5: 31406
300014,32
6
r2=
××==
πl .
RESPOSTA: A distância entre as cidades A e B é 3140km.
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