MATEMÁTICA1
volume 1
01. Se b é ímpar, então ele é da forma b = 2k + 1, k d N, ou seja, a = 1 + (2k + 1)2 = 1 + 4k2 + 4k +1 = 2 + 4k + 4k2 = 2(1 + 2k + 2k2), de forma que a é par, pois 1 + 2k + 2k2 d N.
02. Fazendo a Divisão Euclidiana de N por 1 994, temosN = 1 994 ⋅ q + 148, q d Z.Assim, N + 2 000 = 1 994q + 2 148 + N + 2 000 = 1 994q + 1994 + 154+ N + 2 000 = 1 994 (q + 1) + 154.Logo, a divisão de N + 2 000 por 1 994 tem quociente q + 1 e resto 154.
03. Uma maneira:Dentre quatro números inteiros consecutivos, apenas um é da forma 4k, isto é, apenas um é divisível por 4. Logo, como dois dentre esses números são ímpares, se um produto de dois deles é divisível por 4, o produto dos outros dois não é e, portanto, não existem quatro números inteiros consecutivos tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois.Outra maneira:Sejam x, x + 1, x + 2 e x + 3 os números inteiros positivos.Como x(x +1) < (x + 2)(x + 3) e x (x + 2) < (x + 1)(x + 3), devemos ter x(x + 3) = (x + 1)(x + 2) + x2 + 3x = x2 + 3x + 2 + 0x = 2, o que é im-possível.Logo não existem quatro inteiros positivos consecutivos tais que o produto de dois deles é igual ao produto dos outros dois.
04. Como n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1) n(n + 1) é o produto de três inteiros consecutivos, obrigatoriamente um deles será múltiplo de 3, ou seja, n3 – n será múltiplo de 3 para todo n inteiro.
05. Sejam a, b e c os números inteiros em questão, com a ≥ b.
Assim abca b
276
=+ =
.
Como o produto de a, b e c é 27, a, b e c são todos divisores de 27.Assim, a, b, e c d {–27, –9, –3, 1, 3, 9, 27}. Os únicos pares de diviso-res que somam 6 são 9; –3 e 3; 3.Logo a = 9 e b = –3, ou a = b = 3.a) Se a, b, e c são positivos, a = b = 3 e c =
3 327$
= 3, de modo que a soma dos três números é 3 + 3 + 3 = 9.
b) Se há dois negativos entre a, b e c, a = 9, b = –3, e ( )
1,c9 3
27$
=−
= −
de modo que a soma dos três números é 9 + (–3) + (–1) = 5.
Questões escritas
MATEMÁTICA2
06. Sejam p e k inteiros, tais que:
68 ( ) ( ) 68n pn k
k p k p k p100168
2
22 2+ + $
+ =+ =
− = − + =
Como (k – p) e (k + p) são ambos pares ou ímpares e tem-se que68 = 1 ⋅ 68 = 2 ⋅ 34 = 4 ⋅ 17, então:k pk p
kp
234
1816
+− =+ =
==
Portando, n = 162 – 100 + n = 156.
07. Foi dado que n (a; b) = (a – b)2 + 2ab = a2 – 2ab + b2 + 2ab = a2 + b2. Logo:a) n (3; 9) = 32 + 92 = 9 + 81 = 90b) n (a; 3a) = a2 + (3a)2 = a2 + 9a2 = 10a2. Logo n (a; 3a) é sempre múl-tiplo de 10 e, portanto, seu algarismo final é sempre zero.
08. a) Como (abba)10 pertence ao século 20, seus dois primeiros dígi-tos são 19, logo o número é 1 991. Analogamente o outro número é2 002.b) Temos que (abba)10 + (cddc)10 = 1 991 + 2 002 = 3 993. Portanto, esse número representa um ano que pertence ao século XL.
09. Seja (abcd)10 o número, temos:I. a2 + d2 = 58II. b2 + c2 = 52III. (abcd)10 – 3 816 = (dcba)10De I podemos concluir por tentativa e erro que a = 7 e d = 3 ou a = 3 e d = 7. De II, analogamente, b = 6 e c = 4 ou b = 4 e c = 6. Logo, as possibili-dades para o número de acordo com as condições I e II são 3 467, 3 647, 7 463, 7 643. A única delas que satisfaz também a condição III é 7 463.
10. a) Como os divisores de 3 600 são da forma 2α3β5γ e temos 5, 3 e 3 possibilidades para α, β, γ, respectivamente, então o número de divisores é 5 ⋅ 3 ⋅ 3 = 45, pelo Princípio Fundamental da Contagem.
Como 720 = 24 ⋅ 32 ⋅ 51 é um divisor de 3 600, então o número de diviso-res positivos de 3 600 que também são divisores de 720 é 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 30.b) Para que um dos divisores de 3 600 seja par, devemos ter α ≠ 0, isto é, temos 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 possibilidades. Para que um dos divisores de 3 600 seja quadrado perfeito, α d {0, 2, 4}, β d {0, 2} e γ d {0, 2}, ou seja, 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 possibilidades.
11. a) A quantidade de divisores de m que são múltiplos de 100 é igual
a quantidade de divisores de 2 3m100 2 5
2 3 52 2
6 3 24 3
$
$ $$= = , que é dada
por 2(4 + 1)(3 + 1) = 40.b) Para p ser um divisor comum de m e n, p deve ser um divisor do mdc (m, n) = 25 ⋅ 30 ⋅ 52.Assim, r, s e t d N e r ≤ 5, s = 0 e t ≤ 2, ou seja, r d {0, 1, 2, 3, 4, 5}, s = 0 e t d {0, 1, 2}.
MATEMÁTICA3
12. a) Fatorando 168 em fatores primos obtemos 23 ⋅ 3 ⋅ 7. Portantod(168) = (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 16.b) Para que um número tenha 15 divisores positivos, a fatoração des-se número em fatores primos deve ter um primo com expoente 2 e outro com expoente 4, de forma que, sendo n esse número, tenhamos d(n) = (2 + 1) (4 + 1) = 15, pois o 15 também tem fatoração única em fa-tores primos que é 3 ⋅ 5. Para que esse número seja o menor possível, devemos tomar os menores primos possíveis como fatores, que são 2 e 3. Há duas possibilidades dentro dessas restrições: 24 ⋅ 32 e 22 ⋅ 34.A menor delas é 24 ⋅ 32 = 144.
13. a) mdc (a, b) ⋅ mmc (a, b) = ab = 5 ⋅ 105 + 35b = 5 ⋅ 105 + b = 15.b) Como mdc (a, b) = 5, o único fator comum aos inteiros positivos a e b é 5. Sendo mmc (a, b) = 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7, temos duas possibilidades:• os fatores 3 e 7 pertencem a um único número, isto é,(a = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 e b = 5) ou (a = 5 e b = 3 ⋅ 5 ⋅ 7);• os fatores 3 e 7 pertencem a números distintos, isto é,(a = 3 ⋅ 5 e b = 5 ⋅ 7) ou (a = 5 ⋅ 7 e b = 3 ⋅ 5).Logo (a, b) d {(5; 105), (105; 5), (15; 35), (35; 15)}.
14. Sejam c o número de candidatos aprovados para a segunda fase do vestibular da Unicamp em 1991 e n o número de salas completas com 35 candidatos em cada. Como fi caram 18 candidatos em uma sala incompleta, temos que c = 35n + 18.Em 1992 o número de candidatos para a segunda fase, nessa cidade, foi de c + 42 = 35n + 18 + 42 = 35 ⋅ (n + 1) + 25.Portanto, nesse ano, o número de candidatos que fi caram em uma sala incompleta foi de 25.
15. Como o tecido deve ser vendido em retalhos iguais e deve ser usado todo o tecido, o comprimento de cada retalho deve ser um divisor comum de 48 = 24 ⋅ 31, 60 = 22 ⋅ 31 ⋅ 51 e 80 = 24 ⋅ 51.Logo, o maior comprimento do retalho é dado por mdc (48, 60, 80) = 22 = 4 m.Assim, o número de retalhos obtidos será de
448
460
480+ + = 12 + 15 + 20 = 47.
16. Seja x o valor da mesada de Ricardo. Logo, pelo enunciado, temos:
37 37x x x x x x x x8 7 5
3280
280 35 40 168+− − − = − − − =
37 10 360 280x x+ += =Como queremos o quanto foi gasto em livros, fazemos:
280 35x81
81
$ $= =
Portanto, foram gastos R$ 35,00 em livros.
17. a) Sejam:x – massa do corpo vazio em gramas;y – massa da água necessária para encher o copo em gramas.
MATEMÁTICA4
Pelo enunciado podemos representar a situação por um sistema de equações de tal forma que:
x y
x yx yy
x yy
305
32 270
305
335
305105
+ ++ =
+ =
+ =
== −=
xy
305 105 200105
+= − ==
Portanto, a massa do copo vazio é 200 gramas.b) Pelo item anterior, deduzimos que a massa da água necessária para encher o copo é 105 gramas. Como queremos a massa do copo
com 52 de água, fazemos:
200 + 52 105$d n = 200 + 42 = 242 gramas.
18. a) 0, 12, 100 100 12, 0, 99 12x x x x x12 12 12 12+ + += = − = − =
x9912
334
+ = =
b) 0,2 0,02 0,2 0,02 0,21x x x x x310
310
3 3109
+ + += = − = − =
,x9
219021
307
+ = = =
c) 5, 59, 10 10 59, 5, 9 54x x x x x9 9 9 9+ + += = − = − =
6x9
54+ = =
d) 0,1243 12,43 100 100 12,31 99 12,31x x x x x+ + += = − = =
,x99
12 3199001231
+ = =
19. a) Verdadeiro.Sejam:a d Q e b d R\QSuponhamos por absurdo que a soma de a e b seja um número racio-nal. Assim, temos:a + b = c d Q & b = c – a d Q. O que é um absurdo, pois por hipó-tese b d R\Q. Logo, a soma de um número racional com um irracional só pode ser um número irracional.b) Falso.Basta tomarmos como racional o número 0 e como irracional 2 . Assim temos:
0 ⋅ 2 = 0 d Q
c) Falso.Basta tomarmos como irracionais os números e1 3 1 3+ −_ _i i. Logo, a soma desses dois números irracionais será:
1 3 1 3+ + −_ _i i = 2 d Q
MATEMÁTICA5
d) Verdadeiro.Exemplo: 2 2$ = 2 d Q.e) Falso.Exemplo:
22 = 1 d Q.
20. 1 ( ( 7) )
( 3) ( 3) 7
( 3) ( ( 7) )
( 3)
3
1 73 2
0 4
3 2
4
$
$ $
$
$ $
− − −
− − − =− − −
− −−
d n
7 7A A
( 3) ( 7)
( 3) 7
( 3) 7
( 3) 7 ( 3)7 7
33 2
4
3 2
4
$
$
$
$=− −
− = −−
− = − = −
b) , 30 04 27 16 25100
4
2
1 53 1 244
44$ $ $ $ $ $=−
3102
25
23
$ $= =
21. a) Seja a = 2 , o qual sabemos que é irracional. Temos que
a4 2 42 24 4 2= = = =_ i é racional e a6 = 2 2 2 86 36 = = =_ i também é racional.b) Se a = 0, a d Q. Se a ≠ 0, sendo a7 d Q e a12 d Q, então:
a
a
a
a a12
7 22
12
14= =
_ i d Q. Assim,
a
a
a
a2 3 6
7 7= =
_ i
a d Q.
Outra maneira:
Como a7 e a12 são racionais, temos que ea a a a7 7 49 12 4 48= =_ _i i também o são.
Logo a
a48
49 = a é racional.
Nota: lembrar que operações de soma, subtração, multiplicação e divisão entre dois racionais não nulos resultam em números também racionais.
22. a) A metade de 222 é 2
2 2 222
22 1 21= =− .
b) 8 9 2 3 4 3 72 3,0 5 3 2 2/ / /2 3 2 3 1 2+ = + = + = + =_ _i i
23. 4 (0,5)4 + , 8 4 (2 ) 20 2521
41
164
214 3 2/ /2 3 2 3
$+ = + + = + + −− −d n
141
21
41
21
21= + + = + =
24. 3 3 2b a 27 64 3 2 3 2 3 24 3 64 3− = − = − = − = −
3 (1,73) 2 (1,41) 5,19 2,82 2,37$ $= − = − =
MATEMÁTICA6
25. e4 4 64 3 3 814 34 3 12 3 43 4 12= = = =$ $ .
Logo, como 81 64>12 12 , segue que 3 4>3 4 .
26. Seja:
A B A B17 12 2 17 12 22 2
++ = + + = +_ _i i
17 12 2 17A A B B A B AB2 4 2882 2 2+ + = + + = + + = +
( )A BAB
B AAB
B AA A
174 288
1772
1717 72
2
2
2
2
2+ ==
= −=
= −− =
+ + +
8 9B A
A AB AA A
B AA A
1717 72
1717 72 0
172
2
2
2
2
0
= −− =
= −− + =
= −= =
+ + +
Para:A = 8 & B2 = 17 – 8 = 9 + B = ±3
A = 9 & B2 = 17 – 9 = 8 + B = ±2 2Como queremos que A e B sejam inteiros positivos, então adotamos
A = 8 e B = 3. Logo, 317 12 2 8+ = + .
27. a) 1010
510 105 10 5 10
210
$
$= = =
b) 3
1
3 3
1 3381
39
26 26 46
46 6 3
$
$= = =
c) 2
6 2 6 25 26
5 26
55 2
5 45 1 5 1$
−=
− ++ =
−+ = +
d) 15( ) ( )5 3 3 5
155 3 3 5
155 3 3 55 3 3 5
25 3 9 55 3 3 5
$ $$ $+
=+ −
− =−
−
15 1575 45
5 3 3 530
5 3 3 52
5 3 3 5$ $=
−− = − = −
e) 3 5 2 2
33 5 2 2
33 5 2 23 5 2 2
$
+ −=
+ − + ++ +
_ _ _ _
_ _
i i i i
i i
3 33 5 2 2
3 5 2 23 2 15 5 8
3 5 2 22 2
$ $=+ −
+ + =+ + −
+ +
_ _
_ _ _ _
i i
i i i i
32 15
3 5 2 223
153
155
152 2
$ $= + + = + +f p
23
51
31 2
152
23
55
33 2
1530
$= + + = + +f dp n
23
153 5 5 3 2 30
103 5 5 3 2 30= + + = + +
d n
MATEMÁTICA7
f) 1 14
1
4
1
4 4 1
4 4 14 1
16 4 13 3 3 2 3
3 2 3 3 3$
−=
− + +
+ + =−
+ +
_
_
i
i
32 2 4 13 3
= + +
28. Temos:
a – b = 7 35 2
5 27 3
+− −
+−
7 3 5 25 2 5 2 7 3 7 3$ $=
+ +− + − − +
_ _
_ _ _ _
i i
i i i i
( ) 07 3 5 2
5 2 7 37 3 5 2
1 <=+ +− − − =
+ +−
_ _ _ _i i i i
Logo b > a.
29. Sabemos que x2 ≥ 0, para todo x d R.Sejam a e b dois números reais positivos.
Assim, 0 2 0a b a ab b a b ab2
2+ +$ $ $− − + +
_ i
30. Temos:
( )( )
( )a b
a bp p a ba b
a bp p a b> >a b2 0 2>, $
++ +
++ +
+ _ i
+ a + bp2 > p(a + b) + a + bp2 > ap + bp + bp2 – bp > ap – a
+ bp(p – 1) > a(p – 1) p 1 0>,−
bp > a pba
ba p> <
b 0>, +
31. Como x ≠ y, então (x – y)2 > 0. Logo:
(x – y)2 > 0 + x2 – 2xy + y2 > 0 + x2 – xy + y2 > xyx y 0>,+
(x + y)(x2 – xy + y2) > (x + y)(xy) + x3 + y3 > x2y + xy2
32. a) x = ( ) ( ) ( ) 22 2 222
2 2 2= = =$9 C
b) Sabemos que 2 é irracional e que ( )2 22
9 C é racional (pelo
item a). Ora, 2 2 é racional ou irracional. Se 2 2 é racional, então
existem dois irracionais α e β tais que αβ é racional (α = β = 2 ).
Se 2 2 é irracional, então existem dois irracionais α e β tais que αβ
é racional (α = 2 2 e β = 2 ).
33. a) 10x + 12y = (5x ⋅ 2) + (6y ⋅ 2) = 2 ⋅ (5x + 6y)b) 24xy2 – 18x3y4 + 15x2y3 = (3xy2 ⋅ 8) – (3xy2 ⋅ 6x2y2) + (3xy2 ⋅ 5xy)= 3xy2(8 – 6x2y2 + 5xy)
MATEMÁTICA8
c) (x – 2)(y + 3) + (x – 2)(z – 1) = (x – 2)[(y + 3) + (z – 1)] = (x – 2)(y + z + 2)d) xn + 1 – xn + 3 = xn + 1 – xn + 1 ⋅ x2 = xn + 1(1 – x2) = xn + 1(1 – x)(1 + x)e) x(a – b) + y(a – b) – 2a + 2b = x(a – b) + y(a – b) – 2(a – b) = (a – b)(x + y – 2)f) 4a + 8b + ax + 2bx = 4(a + 2b) + x(a + 2b) = (a + 2b)(4 + x)g) mp – mq – np + nq = m(p – q) – n(p – q) = (p – q)(m – n)h) 4x2 – 10xy – 8xy + 20y2 = 2x(2x – 5y) – 4y(2x – 5y) = 2[x(2x – 5y) – 2y(2x – 5y)] = 2(2x – 5y)(x – 2y)
34. a) x2 – ax – xy + ay – xz + az = x(x – a) – y(x – a) – z(x – a) = (x – a)(x – y – z)
b) 3a3 + 9a2b + 9ab2 + 3b3 = 3(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) = 3 ⋅ (a + b)3
c) a2 + 2ab + b2 – x2 = (a + b)2 – x2 = (a + b + x)(a + b – x)
d) m2 – y2 – x2 – 2xy = m2 – (x2 + 2xy + y2) = m2 – (x + y)2
= [m + (x + y)] ⋅ [m – (x + y)] = (m + x + y)(m – x – y)
e) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a2 – 2ab – b2 = (a + b)3 – (a2 + 2ab + b2)
= (a + b)3 – (a + b)2 = (a + b)2[(a + b) – 1] = (a + b)2 (a + b – 1)
f) b2 – a2 + 2ab – b2 = –a2 + 2ab = a(2b – a)
g) 81 – y4 = (32)2 – (y2)2 = (32 + y2)(32 – y2) = (9 + y2)(3 + y)(3 – y)
h) axn + bxn + ayn + byn = xn(a + b) + yn(a + b) = (a + b)(xn + yn)
i) a2bc – 4bc + a2b – 4b = bc(a2 – 4) + b(a2 – 4) = (a2 – 4) ⋅ b ⋅ (c + 1)
= b(a + 2)(a – 2)(c + 1)j) a2 – c2 + 4c2 + 4ac = (a + c)(a – c) + 4c(c + a) = (a + c)(a – c + 4c)= (a + c)(a + 3c)k) 8x3 – y3 = (2x)3 – y3 = (2x – y)[(2x)2 + (2x) ⋅ y + y2]= (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
35. a) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
xy x yxy x y
x y yx y y
x yx y
yy
2 23 2 6
1 2 13 2 3
2 12 3
13– – – – – –
+ + ++ =
+ + ++ =
+ ++ =
+
b) ( ) ( )a b
a ba b a b
a ba b
1
– – –2 2+ =
++ =
c) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
b
a b a bb b
a b bb bb a
9
3 33 33 3
3 33 1
–
– ––
–––
2
2 2 2 2+ =++ + =
++
( )( ) ( )
ba a
31 1
––= +
d) ( ) – ( – ) [( ) ( )] [( ) ( )] ( ) ( ) 1ab
a b a bab
a b a b a b a bab
a b4 4 4
2 2– – –2 2$ $+ = + + + = =
e) ( )
( ) ( )
a b
a b
a b
a b a b a b–
–
–
–2 2
4 4
2 2
2 2 2 22 2= + = +
f) ( – 1)
( ) ( )
( – 1)
( – 1) ( )
x x
x x x
x
x x x
x
x xxx
2 1
1 1 1 111
–
– – – ––2
3 2
2
2 2
2
2
+
+ = + = + = +
MATEMÁTICA9
g) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a b ab b
a b
a a b b a b
a b a b
a b a b
a b a b a b– – –3 2 2 3
4 4
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
+ + +=
+ + +
+ =+ +
+ +
= a – b
36. 232 – 1 = (216)2 – 1 = (216 + 1)(216 – 1) = (216 + 1)(28 + 1)(28 – 1)
= (216 + 1)(28 + 1)(24 + 1)(24 – 1) = (216 + 1)(28 + 1)(24 + 1)(22 + 1)(22 – 1)
= (216 + 1)(28 + 1) (24 + 1) (22 + 1)(2 + 1)(2 – 1) = (216 + 1)(28 + 1)17 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1
Logo (232 – 1) é divisível por 17, 5 e 3.
37. a) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
b) (4 – a)2 = 42 – 2 ⋅ 4a + a2 = 16 – 8a + a2
c) (x2 – 3)2 = (x2)2 – 2 ⋅ x2 ⋅ 3 + 32 = x4 – 6x2 + 9
d) (2m3 + n2)2 = (2m3)2 + 2 ⋅ 2m3 ⋅ n2 + (n2)2 = 4m6 + 4m3n2 + n4
e) ( – ) ( ) – 2 ( )3 2 3 3 2 2 3 2 6 2 5 2 6– –2 2 2$= + = + =
f) (a – b2 + c)2 = [(a – b2) + c]2 = (a – b2)2 + 2 ⋅ (a – b2) ⋅ c + c2
= a2 – 2ab2 + b4 + 2ac – 2b2c + c2 = a2 + b4 + c2 – 2ab2 + 2ac – 2b2c
38. a) a2 – 6a + 9 = a2 – 2 ⋅ 3a + 32 = (a – 3)2
b) x2 + 10x + 25 = x2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x + 52 = (x + 5)2
c) 3m2 – 12m + 12 = 3(m2 – 4m + 4) = 3(m – 2)2
d) x8 + 8x4 + 16 = (x4)2 + 2 ⋅ 4 ⋅ x4 + 42 = (x4 + 4)2
e) x4 + x2 + 41 = (x2)2 + 2 ⋅ x2 ⋅
21
21x
21 2 2 2
+ = +d dn n
f) a2 – 2ab + b2 – c2 = (a – b)2 – c2 = (a – b – c)(a – b + c)g) x2 – y2 + 2yz – z2 = x2 – (y2 – 2yz + z2) = x2 – (y – z)2
= [x – (y – z)][x + (y – z)] = (x – y + z)(x + y – z)h) x3 – 18x2 + 81x = x(x2 – 18x + 81) = x(x – 9)2
39. a ab ac b bc c4 6 4 12 92 2 2+ + + + +
(2 ) (3 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )a b c a b a c b c2 2 3 2 2 32 2 2$ $ $ $ $ $= + + + + +
( ) | |a b c a b c2 3 2 32= + + = + +
40. yx2 + xy2 + x + y = 63 + x ⋅ (xy) + y ⋅ (xy) + x + y = 63+ 6x + 6y + x + y = 63 + 6(x + y) + (x + y) = 63 + 7(x + y) = 63
+ x + y = 9 + x2 + 2xy + y2 = 81
+ x2 + y2 = 81 – 2 ⋅ xy = 81 – 2 ⋅ 6 = 81 – 12 = 69
41. a) a4 + a2b2 + b4 = a4 + 2a2b2 + b4 – a2b2 = (a2 + b2)2 – a2b2
= (a2 + b2)2 – (ab)2 = (a2 + b2 – ab)(a2 + b2 + ab)
b) a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a2 + 2)2 – (2a)2
= [(a2 + 2) – 2a][(a2 + 2) + 2a] = (a2 + 2 – 2a)(a2 + 2 + 2a)
MATEMÁTICA10
42. a) (a + 2)3 = a3 + 3 ⋅ (2a2) + 3 ⋅ (22a) + 23 = a3 + 6a2 + 12a + 8
b) (x – 4)3 = x3 – 3 ⋅ (4x2) + 3 ⋅ (42x) – 43 = x3 – 12x2 + 48x – 64
c) (m2 + 1)3 = m6 + 3 ⋅ (1m4) + 3 ⋅ (12m2) + 13 = m6 + 3m4 + 3m2 + 1
d) (x2 + y)3 = x6 + 3 ⋅ (x4y) + 3 ⋅ (x2y2) + y3 = x6 + 3x4y + 3x2y2 + y3
43. a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3 ⋅ (x)2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (x)1 + 13 = (x + 1)3
b) x6 + 3x4y + 3x2y2 + y3 = (x2)3 + 3 ⋅ (x2)2y + 3(x2)2(y)2 + y3 = (x2 + y)3
c) x3 – 12x2 + 48x – 64 = x3 – 3 ⋅ 4x2 + 3 ⋅ 42x – 43 = (x – 4)3
44. � 4 16 2 16 14xx
xx
xx
xx
1 1 1 12 22
22
& + ++ = + = + + = + =d n
• 4 64 3 3 64xx
xx
x xx
xx x
1 1 1 1 13 3 22 3
& ++ = + = + + + =d n
3 3 64 3 64x xx x
x xx x
1 1 1 133
33
+ ++ + + = + + + =d n
3 4 64 52xx
xx
1 133
33
& +$+ + = + =
45. a) B C A (B C)
A B
C
A B
C
b) A B A C
A B
C
A B
C
MATEMÁTICA11
A B
C
(A B) (A C)
c)
A B
C
A B
C
B C A (B C)
d)
A B A B
CC
A B A C
A B
C
(A B) (A C)
MATEMÁTICA12
46.
B
C
A B
C
A _ B B _ A
A
B
C
A B
C
A
A B (A B) (B
A)= (A B) _ C_ _
B
C
A
C
(A B)_
A B
C
A B C [(A B)
C] [C (A B)]__=
47. a)
BA A B B A
U U U
b) Temos:A , C = {x d R | 2 < x < 5 ou 6 ≤ x ≤ 10}C(AjC) = {x d R | x ≤ 2 ou 5 ≤ x < 6 ou x > 10}CB = {x d R | x > 3}
(A , C) * B = C(AjC) + CB = {x d R | 5 ≤ x < 6 ou x > 10}= [5; 6[ , ]10; +3 [
MATEMÁTICA13
48. Seja n o número de elementos de A. Então o conjunto P(A) tem 2n
elementos e P(P(A)) tem 22n elementos. Logo, 22n
= 256 = 28
+ 2n = 8 = 23 + n = 3.
49. Considere a representação no Diagrama de Venn a seguir:
esportista preguiçoso
marcianos
João
a) Falsa. Pode existir pelo menos 1 preguiçoso que não é marciano.b) Falsa. Como todos os marcianos são preguiçosos e nenhum espor-tista é preguiçoso, a afi rmação é falsa.c) Falsa, mesmo argumento de b.d) Verdadeira. Vide diagrama anterior.
50. Como na tentativa 1 houve dois resultados positivos, podemos ter esses dois resultados falsos, um falso e o outro verdadeiro ou os dois verdadeiros. Porém, note que não é possível ter os dois resultados falsos, pois ambos deveriam ser negativos na tentativa 2 e tal tentati-va apresentou somente um negativo. Sendo assim, obrigatoriamente um dos pacientes é portador da bactéria, eliminando a possibilidade de nenhum dos cinco ser portador.
51. a) :5 3 3 5– –< <F F
& verdadeira.
b) ~( ):2 2 4 3 6 6V F
V
0+ = + =1 2 344444 44444
falsa.
c) :2 2 4 3 3 6F V
/!+ + = falsa.
d) :3 5 3 5– –< <V F
& falsa.
e) :3 5 5 3< >V V
& verdadeira.
f) 3 2 5V
+ = Q :2 3 5V
+ = falsa.
g) ( ):N Z Q2 2 2V V V
V
& &d d d
1 2 34444 4444
verdadeira.
h) ~( ):N N2 2V V
F
0d d1 2 344 44
verdadeira.
MATEMÁTICA14
52. a)p q ~q p & ~q ~(p & ~q)
V V F F V
F V F V F
V F V V F
F F V V F
b) α é (p & q) e β é (~p ∨ q)
p q α ~p β α + β
V V V F V V
F V V V V V
V F F F F V
F F V V V V
c) α é (p ∨ q) e β é (p ∨ r)
p q r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) α β α ∧ β S + T
V V V V V V V V V
F V V V V V V V V
V F V F V V V V V
F F V F F F V F V
V V F F V V V V V
F V F F F V F F V
V F F F V V V V V
F F F F F F F F V
S T
53. a) Se a sentença: “O nariz de Pinóquio não vai crescer” é verdadeira, então Pinóquio diz a verdade e seu nariz, de fato, não crescerá. Se a sentença for falsa, será verdade que “O nariz de Pinóquio vai crescer”, e, de fato, o seu nariz crescerá. Logo as duas coisas podem aconte-cer, dependendo da veracidade da sentença “O nariz de Pinóquio não vai crescer”.b) Se Pinóquio disse “Meu nariz vai crescer” e essa frase for verda-deira, o seu nariz não poderá crescer, pois ele diz a verdade, logo isso é um absurdo. No caso contrário, ou seja, se a frase for falsa, então é verdade que “Meu nariz não vai crescer”, o que não condiz com o enunciado, já que quando Pinóquio diz uma frase falsa seu nariz deve crescer. Logo Pinóquio não pode dizer a frase do enunciado.
54. a) x d R ∧ x d Q + ~(x d Q’)b) x d R & ~(x d Q ∧ x d Q’)c) x d R & x d Q Q x d Q’d) x d R & x d Q ∨ x d Q’
MATEMÁTICA15
55. a) Verdadeira. 6x; x d Q & x d Rb) Falsa. 7x; x d R ∧ (x d Q ∧ x d Q’)c) Verdadeira. 6x; x d R & (x d Q ∨ x d Q’)
56. a) 2x – 1 = 5 + 2x = 6 + x = 3 V = {3}
b) –3x + 1 = 0 + –3x = –1 + x = 31 V =
31
( 2
c) x5
2 + 7 = 8 + x5
2 = 1 + 2x = 5 + x = 25 V =
25
( 2
d) 5(x – 3) + 7 = –2(4 – x) – 3x = –8 + 2x – 3x = –8 – x + 5x – 8 + x = –8 + 6x = 0 + x = 0 V = {0}
e) x x3
14
2 5–+ = + 4x + 4 = 6 – 15x + 19x = 2 + x V192
192= = ( 2
f) – –x x x x2
13
24
312
4– – – –=
12 – 12 – 12x x x2
13
24
3– – –+ $ $d d dn n n 12 x
124–
$= d n
+ 6(x – 1) – 4(x – 2) – 3(x – 3) = x – 4+ 6x – 6 – 4x + 8 – 3x + 9 – x = –4 + –2x = –15 + x = V
215
215= ( 2
g) ( ) 2(5 – ) ( )x x x x3
4 34
3 2 3– –+ = +
12 ( )x3
4 3–+ < F + 12[2(5 – x)] ( )x12
43 2 3–= < F + 12x
+ 16(x – 3) + 24(5 – x) = 9(2 – 3x) + 12x + 16x – 48 + 120 – 24x = 18 – 27x + 12x+ 16x – 24x + 27x – 12x = 18 + 48 – 120 + 7x = –54
+ x = – V7
547
54–= ( 2
h) (2x + 1)(4x + 5) = (2x + 1)(3x + 2) + (2x + 1)(4x + 5) – (2x + 1)(3x + 2) = 0 + (2x + 1)(4x + 5 – 3x – 2) = 0 + (2x + 1)(x + 3) = 0
+ ou oux
x
x
x
2 1 0
3 0
21
3+
+ =
+ =
=
= −
;V21 3– –= ( 2
57. a) 5x + 1 = –5x + 1 + 10x = 0 + x = 0 V = {0}b) 7x + 5 = 7x + 5 + 0x = 0 V = Rc) 2x – 4 = 2x – 1 + 0x = 3 V = 4
58. (m – 3)x = n + 5 + x = mn
35
–+ . Assim, teremos 3 possibilidades:
I. Se m ≠ 3 & V = – 35
mn +
( 2
MATEMÁTICA16
II. Se m = 3 e n = –5 & V = RIII. Se m = 3 e n ≠ –5 & V = 4
59. – 1 – – 1 0 ( )mxm
x mxm
xm
m x x m4
24
24
4 2 4– – – – –2+ += = = 0
( ) 0( ) ( ) ( )
em
m x mm m x m
m4
4 8 42 2 4 2 0
4 0
– –– – –
2+ +
!
+ =+ =
*
( ) ( ) ( )e
m m x m
m
2 2 4 2
0
– –+
!
+ =
*
a) A equação admite solução única ( 2) ( – 2)
( )2
xm m
mm
4 2 4–=+
=+
desde
que ( ) ( )
–2 0 2e e em m
mm m m
2 2 0
0
–+
!
!
! ! !
+
* .
b) A equação não admite solução se:
( ) ( )
( )e
ou
m m
m
m
2 2 0
4 2 0
0
–
– !
+ =
=
J
L
KKKK
N
P
OOOO
Z
[
\
]]]
]]]
+
e
oum
m
2
0
!
=
( )oum m2 2–= =J
L
KKK
N
P
OOO
Z
[
\
]]]
]]]
+ m = –2 ou m = 0
c) A equação admite infi nitas soluções se:
( ) ( )
( )e
e
m m
m
m
2 2 0
4 2 0
0
–
–
!
+ =
=
Z
[
\
]]]
]]]
+
( )oue
e
m m
m
m
2 2
2
0
–
!
= =
=
Z
[
\
]]]
]]]
+ m = 2
60. O discriminante da equação 3x2 – 6x + (k – 1) = 0 éΔ = (–6)2 – 4 ⋅ 3(k – 1) + Δ = –12k + 48, assim:a) a equação não admite raízes reais + Δ < 0 + –12k + 48 < 0 + k > 4.b) a equação admite duas raízes reais distintas + Δ > 0+ –12k + 48 > 0 + k < 4.c) a equação admite duas raízes reais iguais + Δ = 0 + –12k + 48 = 0 + k = 4.
61. Sejam a e 2a as raízes da equação. Então
m a aa a
a ma
a am m
28 2
34
2 26 62
$
0
0
= +=
==
= = −= = −
+ + . Portanto, m = 6 ou m = –6.
MATEMÁTICA17
62. a) 7x x x x
x x1 1
2127
1 2 1 2
1 2$
+ = + = =
b) x x12
22+ = (x1 + x2)2 – 2x1 ⋅ x2 =
27 2
d n – 2 ⋅ 21
445=
c) ( ) 1x x x x
x x
x x
1 1 445
2
445
4512
22
12
22
12
22
1 22 2
$ $
+ = + = = =
d n
d) ( )x x x x x x x x4
4521
162 021
14
12
22
24
12
22 2
12
22 2 2
+ + = + − = − =d dn n
63. Δ = 4 – 4(m – 2) = 4 – 4m + 8. Para que a equação tenha raízes reais e positivas, Δ ≥ 0 e (m – 2) > 0. Assim, –4m ≥ –12 + m ≤ 3 e m > 2. Portanto, 2 < m ≤ 3.
64. a) (x – 1)(x – 5) b) (x + 2)(x + 4)c) 2(x + 2)(x + 3) d) x(x + 2)(x – 3)
65. Temos x x12
22+ = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (3a)2 – 2 ⋅ a2 = 7a2.
Assim, 7a2 = 1,75 + a2 = 0,25 = 41 + a =
21 ou a = –
21
66. xx
xx2
22
221
22
22
21 0+
+ +−
=− + +−
+ =
( )( ) ( ) ( ) 0
( )0
xx x x
xx x
2 22 2 2 2 1 2
2 222
+ +$ $
−+ − + + − =
−+ − =
( )
( )2 1e
oue ou
x x
x
x x
xx x
2 0
2 2 0
2 1
2
2
+ + +
! !
+ − =
−
= − == − =
Z
[
\
]]
]]*
V = {–2, 1}
67. a) Se x + x1 = b, então 1x
x
2+d n = b2 + x2 + 2 ⋅ x ⋅
x1 + 1
x
2d n = b2
+ x2 + x
12
+ 2 = b2 + x2 + x
12
= b2 – 2.
b) x2 – 5x + 8 – x x
5 12
+ = 0 + x2 + x
12
– 5 xx1+d n + 8 = 0
Fazendo x + x1 = y, do item a temos que x2 +
x
12
= y2 – 2. Logo:
(y2 – 2) – 5 ⋅ y + 8 = 0 + y2 – 5y + 6 = 0 + y = 2 ou y = 3
MATEMÁTICA18
Assim:
ou ou ou
xx
xx
xx
xx
xx x
xx x
1 2
1 3
1 2 0
1 3 0
2 1 0
3 1 0
2
2+ +
+ =
+ =
+ − =
+ − =
− + =
− + =
Z
[
\
]]]
]]
Z
[
\
]]]
]]
Z
[
\
]]]
]]]
ou
ou
x
x x
1
23 5
23 5
+
=
= − = +d n
Z
[
\
]]
]]
V = , ,12
3 52
3 5− +( 2
68. A B C D
Seja AB = x. Então BCAB =
23 + BC =
32 x e CD = AD – AB – BC
= 24 – x – 32 x = 24 –
35 x.
Como ACCD
51= , então
x x
x
32
2435
51
35
+
+
−= x = 120 –
325 x
+ 3
30 x = 120 + x = 12.
Logo AB = 12, BC = 32 ⋅ 12 = 8 e CD = 24 –
35 ⋅ 12 = 4.
69. A B CM T N P
a) AM = MB = 4, AC = AB + BC = 12. Logo AN = 6, BP = PC = 2. Assim, MN = AN – AM = 2. Seja T o ponto médio de MN, então MT = TN = 1 e, portanto, AT = AM + MT = 5. Mas AP = AB + BP = 8 + 2 = 10, logo T é ponto médio de AP.b) TA = 5
70. A B CY
y
Xx 2x 2y
Seja AX = x e YC = y. Então BX = 2x e BC = 3y & BY = 3y – y = 2y. Temos:
AC = 10 + x + 2x + 2y + y = 10 + 3x + 3y = 10 + x + y = 3
10
Então XY = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 ⋅ 3
10 = 3
20 cm.
71. Temos:• (3x + 120o) + x = 180o + 4x = 60o + x = 15o
• 19y – 23o = x + 19y – 23o = 15o + 19y = 38o + y = 2o (alternos externos)
Logo x + y = 15o + 2o = 17o.
MATEMÁTICA19
72.
x
y
r
s
60°60°
30°
80°
Na fi gura, β + 60o + 30o = 180o + β = 90o. Então, o ângulo α entre as retas x e y é tal que α + β + 80o = 180o + α + 90o = 100o + α = 10o.
73. r
sx
100°
80°
60°
60°
Na fi gura, x + 60o + 100o = 180o + x = 20o.
74. a) D EB
A C s
r
Devemos provar que se α, β e γ são as medidas dos três ângulos internos de um triângulo, então α + β + γ = 180o.Tracemos pelo vértice B de um triângulo ABC uma reta r paralela à reta s = AC . Assim, α = m (BACt ) = m (ABDt ) (alternos internos) eγ = m (BCAt ) = m (CBEt ) (alternos internos).Portanto α + β + γ = m (ABDt ) + m (ABCt ) + m (CBEt ) = 180o.
b) Cada um dos outros ângulos mede 2
180 100o o− = 40o (são iguais pois o triângulo é isósceles).
75. Seja m (DBCt ) = x. Então m (BDAt ) = 4x. Ainda, m (ABDt ) = 60o + x= m (BADt ).Temos m (BADt ) + m (ABDt ) + m (BDAt ) = 180o
+ 60o + x + 60o + x + 4x = 180o + 6x = 60o
+ x = 10o e m (BDAt ) = 4x = 40o.
MATEMÁTICA20
76. Temos:
ab
f
c
de
• α + a + b = 180o
+ α = 180o – a – b• β + e + f = 180o
+ β = 180o – e – f • γ + c + d = 180o
+ γ = 180o – c – d Logo α + β + γ = 180o
+ 180o – a – b + 180o – e – f
+ 180o – c – d = 180o
+ a + b + c + d + e + f = 360o.
77. Como CD = AD, m (CADt ) = m (ACDt ) = 30o. Logom (ADBt ) = m (CADt ) + m (DCAt ) = 30o + 30o = 60o.
Como AD = BD, m (ABDt ) = m (ADBt ) = 2
180 60o o− = 60o. Logo o
ΔABD é equilátero. Se M é ponto médio de BD, AM é mediana e
também bissetriz do ΔABD. Logo α = ( )m BAD2 2
60o=
t = 30o.
78. No ΔABC, m (BACt ) = 180o – 30o – 60o = 90o > m (ACBt ) > m (ABCt ). Logo BC > AC e BC > AB.No ΔCBD, m (BCDt ) = 180o – 80o – 80o = 20o. Logo BC = DC > BD.No ΔCDE, m (CDEt ) = 180o – 70o – 60o = 50o. Como 70o > 60o e70o > 50o, então DE > DC e DE > CE. Logo o maior segmento é DE.
79. Como DE // BC, m (ADEt ) = m (ABCt )= m (ACBt ) = m (AEDt ) = α. Assim, pelo caso AA, temos ΔADE ~ ΔABC e sendo k a razão
de tal semelhança, temos k = BCDE
42
21= = .
Logo ACAE AE
21
6 21
+= = + AE = 3 = EC.
Sendo F e G as projeções ortogonais de D e E sobre BC, respectivamente, temos, pelo caso LAA0, ΔDFB , ΔEGC, onde
BF = GC = 2
4 2− = 1.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao ΔEGC, vem 32 = h2 + 1 + h2 = 8, de onde 3h2 = 3 ⋅ 8 = 24.
80. Sendo E d AC, tal que AE = AB, temos, pelo caso LAL,ΔABD , ΔAED. Como EC = AC – AE = AB + BD – AB = BD = DE, o triângulo CDE é isósceles e, sendo α = m ( )ECDt = m ( )EDCt , temos
m ( )ABDt = m ( )AEDt = m ( )ECDt + m ( )EDCt = α + α = 2α. Logo:
3
h h 3
B CF G1 12
3
3
A
D E2
4
MATEMÁTICA21
m ( )ACBt + m ( )ABCt + m ( )BACt = 180o
+ m ( )ECDt + m ( )ABDt + m ( )BACt = 180o + 3α = 120o
+ α = 40o. Portanto, m ( )ABCt = 2α = 80o e m ( )ACBt = α = 40o.
81. A seguir, temos uma fi gura ilustrativa da situação descrita, em queAP = PQ = x.Pelo Teorema de Pitágoras,
B
A C
Q
P3
3 _ x
x
x
4
5
BC2 = 32 + 42 + BC = 5.Como m ( )QBPt = m ( )ABCt e
m (BQPt ) = m (BACt ) = 90o, temos,
pelo caso AA, ΔBQP ~ ΔBAC
& ACPQ
BCBP x x
4 53
+= = −
5 12 4x x+ = − 9 12 .x x34
+ += =
82. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao ΔPQR, temos 152 = 122 + QR2 + QR = 9.
Como ( ) ( )( ) ( )
~m QRP m MRNm PQR m NMR
QRP MRNAA+ T T=
=
t t
t t* . Sendo N o ponto
médio de QR, vem que NM1529
12= + NM = 3,6 cm.
83. Consideremos a fi gura a seguir:
B
SP
D
0,90 m
Q
A
x
1,20 m
E
0,80 m 0,40 m
R
V,
C
0,40 m
V
Como os ângulos de incidência e refl exão em A são iguais e em C também são iguais, pelo caso AA, ΔAEV‘ ~ ΔABD. Logo:
,,
,,
xx
0 41 2
0 80 9
+− = + 9,6 – 8x = 9x + 3,6 + x =
176 m
MATEMÁTICA22
84. m (ADEt ) = m (DAEt ) = 2
180 108o o− = 36o (ΔADE é isósceles)
m (ABEt ) = m (DAEt ) = 36o (ΔADE , ΔBEA)m (BECt ) = 180o – 2 ⋅ m (EBCt ) = 180o – 2 ⋅ [m (ABCt ) – m ( )ABEt ] = 180o – 2 ⋅ (108o – 36o) = 36o m (AGEt ) = 180o – 36o – 72o = 72o e m (EFGt ) = 180o – 36o – 72o = 72o
Logo os triângulos AEG, AEF e EFG são isósceles com ΔAGE ~ ΔEFG
&AGEF
EGFG AF
EFAF AF
AFAF
11
11
+ += = − = − + AF 2 + AF – 1 = 0
+ AF = 2
5 1− .
85. Seja x a distância do pé da escada à parede; como a escada deslizou 1 m e parou no pé do muro, concluímos que a distância do muro à parede é igual a x + 1.
DepoisAntes
d
x 1
14x + 1
d
x + 1
45°
Seja d o comprimento da escada. Na situação inicial, a escada, a pa-rede e o muro formam um triângulo retângulo no qual, pelo Teorema de Pitágoras, temos:d2 = ( 14 )2 + x2 = 14 + x2 (I)Após o deslizamento, no triângulo retângulo formado temos:d2 = (x + 1)2 + (x + 1)2 = 2(x + 1)2 (II)a) Das igualdades I e II temos:14 + x2 = 2(x + 1)2 + 14 + x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 14 + x2 = 2x2 + 4x + 2 + x2 + 4x – 12 = 0 + x = –6 ou x = 2.Como x > 0, concluímos que x = 2, ou seja, a distância entre a parede da casa e o muro é igual a 2 + 1 = 3 metros.b) O comprimento da escada é igual a
d = ( ) ( )x2 1 2 2 12 2+ = + = 3 2 metros.
86.
60°
10 x _
10 x _
A 10 B
E
D F x C
10
60°
60°
x
MATEMÁTICA23
Seja , o lado do triângulo equilátero e x = AE = FC. Então, aplicando Teorema de Pitágoras nos triângulos ABE e DEF, temos:
( )2 (10 ) ( )
III
xx
102 2 2
2 2$
,
,
= += −
Substituindo I em II:100 + x2 = 200 – 40x + 2x2 + x2 – 40x + 100 = 00 cmx 10< <
, x = (20 – 10 3 ) cmEm II, , = (10 – x) 2 + , = (10 3 – 10) 2 cm + , = 10( 6 – 2 ) cm.
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