Se hoje Rafael tem 20 anos e Patrícia tem 18 anos, então ela terá 92% da idade dele daqui a quantos anos?

(18 + x) = 92%(20 + x)

(18 + x) = (92/100)*(20 + x)

100(18 + x) = 92(20 + x)

1800 + 100x = 1840 + 92x

100x - 92x = 1840 - 1800

8x = 40

x = 40/8

x = 5

Ela terá 92% daqui a 5 anos, ou seja, ela com 23 anos e ele com 25 anos

por ocasiao do natal uma empresa gratificara seus funcionários com um certo numero de cedulas de 50 reais. se cada funcionario receber 8 cedulas sobrarao 45 delas, se cada um receber 11 cedulas, faltarao 27. o montante a ser distribuido qual será?

Suponhamos que existem x funcionários para receberem este prêmio.se cada funcionário receber 8 cédulas, então 8x representa o total de cédulas distribuídas aos funcionários. Mas desta distribuição o problema diz que sobram 45 cédulas. Então podemos concluir que o número total de cédulas é: 8x + 45 se cada funcionário receber 11 cédulas, então 11x representa o total de cédulas distribuídas aos funcionários. Mas desta distribuição o problema diz que faltam 27 cédulas. Então podemos concluir que o número total de cédulas é: 11x – 27Igualando as expressões: 8x + 45 = 11x – 27resolvendo a equação temos que x = 24. Para descobrir o número de cédulas basta substituir o valor de x na 1 ou na 2 equação.8x + 45 = 8.24 + 45 = 192 + 45 = 237 cédulas. Montante = 237 x R$ 50,00 = R$ 11.850 OK?!

3- Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos?

Os angulos de um Triangulos somados tem que dar 180°.A + B + C = 180°100° +B+C = 180°80° = B + C

Como no caso é um triangulo isóceles, B e C vão ter o mesmo angulo. Você divide 80° por 2Resultado = 40°

4- Uma produtora pretende lançar um filme em fita de vídeo e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$ 150.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 20,00 (fita virgem, processo de copiar e embalagem). Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por fita, para não haver prejuízo?

O custo do filme foi R$150.000,00 e cada unidade teve custo de R$20,00. Como tivemos 20.000 cópias, o custo   pode ser expresso:

Logo, o gasto foi de R$550.000. Agora, precisamos que as 20.000 cópias cubram o valor gasto, logo, dividiremos 550.000 pelo número de cópias para que se tenha o valor de cada fita:

5- Ao redor de uma piscina retangular com 10 m de comprimento por 5 m de largura, será construído um revestimento de madeira com x metros de largura, representado na figura a seguir.link da figura:

Existe madeira para revestir 87,75 m². Qual deverá ser a medida x para que toda a madeira seja aproveitada?

A1 = Area da piscina = 10*5 = 50 m2A2 = area total = (10 + 2)*(5 + 2) = 4x2 + 30x + 50area de madeira = A2 - A1 = 4x2 + 30x

Como tenho 87,75 disponivel de area 4x2 + 30x = 87,75resulta x = 2, 25 m para x

Na figura a seguir está representada uma circunferência com centro no ponto C e raio medindo 1 unidade de comprimento.

A medida do segmento de reta AB nesta unidade de comprimento é igual a

a) 1/2b) √(3)/2c) 3/2d) 1 + √(3)/2e) √3

Vamos dizer que o terceiro vértice do triângulo é D.Vamos prolongar o segmento AB (x) para a direita até encontrar a circunferência no ponto E. Note que AD mede 2 unidades e BD mede (2 − x).

Observe que o segmento BC é altura (h) do triângulo ACD inscrito na circunferência e sua base AD é diâmetro. Assim podemos aplicar a relação da média geométrica,

também estudada nas relações métricas no triângulo retângulo:

h² = x·(2 − x)   ①

Aplicando as relações trigonométricas no triângulo retângulo ABC, temos que:

 h— = tg 30° x

Vamos calcular h² e substituir na equação ①.

h  √3— = ——x  3

  √3h = —— · x  3

   3h² = —— · x²   9

   x²h² = ——   ②   3

Substituindo ② em ①:h² = x·(2 − x)

 x²— = x·(2 − x) 3

x— = 2 − x3

  xx + — = 2  3

 4x— = 2 3

   6x = ——   4

   3x = ——   2

Questão 01 – Se x representa um número natural qualquer de dois algarismos distintos, escrevendo-se o algarismo 8 à esquerda de x, obtém-se um novo número que tem a mais do que x

(01) 8 unidades(02) x unidades(03) 8x unidades(04) 80 unidades(05) 800 unidades

SOLUÇÃO:Seja ab o número x, composto dos algarismos a e b, com a  b.O novo número, com a inserção à esquerda do algarismo 8 será: 8abUtilizando o princípio do valor posicional de um algarismo num número, poderemos escrever:ab = 10.a + b8ab = 8.100 + 10.a + bEfetuando a diferença, vem:8ab – ab = 8.100 + 10.a + b – (10.a + b) = 800Portanto, alternativa (05).

Questão 02 – Sendo A = {x  R *+ ; 2  8/x  20} e B = { x  R;  (x-1)2  2}, pode-se

afirmar:

(01) A = (1/4,2/5)(02) B = (- ,2)(03) A B = [3,4](04) A – B = (2/5,3)(05)  A = (- , 2/5]

SOLUÇÃO:Teremos:Para o conjunto A:2  8/x  20  2x  8  20xA passagem acima foi possível, devido ao fato de x ser positivo, conforme dado do problema. Lembrem-se que uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos os membros por um número positivo.Temos então: 2x  8 e 8  20xLogo, x  4 e 20x  8. Portanto, x  4 e x  2/5.Então o conjunto A é o intervalo aberto (2/5, 4) . Percebemos de imediato que as alternativas (01) e (05) são FALSAS.

Para o conjunto B:  (x-1)2  2   x – 1  2  x –1  2 ou x – 1  -2Nota: lembre-se que  a2 =  a , ou seja: a raiz quadrada de a2 é igual ao módulo de a . Reveja o capítulo sobre Módulo no Grupo 1 nesta página.Assim é que: x  3 ou x  - 1. Portanto, o conjunto B é igual a:B = (- , -1]  [3,  )Deste resultado, concluímos que a alternativa (02) é FALSA.Logo, a resposta correta será (03) ou (04). Prossigamos:Vamos determinar A B:A = (2/5, 4) e B = (- , -1]  [3,  )A B = (2/5, 4)  {(- , -1]  [3,  )} = [3,4)Veja a figura abaixo:

Portanto, a alternativa (03) é FALSA. Só nos restou a alternativa (04). Vejamos se realmente ela é a correta:

A – B = (2/5, 3). Veja a figura abaixo:Lembrem-se que a diferença entre dois conjuntos é um novo conjunto cujos elementos pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.

Portanto a alternativa correta é a (04).

Questão 03 – Um comerciante resolve fazer as seguintes promoções para as compras de Natal:

Pague 2 e leve 3 Pague 3 e leve 5 Pague 5 e leve 7

Se uma peça custa R$12,00, então o menor preço que uma pessoa pode pagar para levar 13 peças é

(01) R$84,00(02) R$93,60(03) R$96,00(04) R$104,00(05) R$108,00

SOLUÇÃO:Se a pessoa levou 13 peças, então:13 = 2.5 + 3; Portanto, 5 peças foram pagas ao preço de 3, duas vezes e três peças foram pagas ao preço de duas.Daí, teremos: O total a ser pago será igual a P = (2.3 + 2).12 = 96.Portanto, a resposta é R$96,00 – alternativa (03).Outras combinações dos tipos 13 = 7 + 5 + 1 ou 13 = 4.3 + 1, por exemplo, não levariam ao menor preço. Verifiquem.

Questão 04 – Um tanque, em forma de um cilindro circular reto, teve a sua capacidade aumentada, quando foi acrescida em 2m a sua altura e em 16 m3 o seu volume, mantendo-se o raio constante.Com base nessa informação, pode-se concluir que o raio do tanque é igual a

(01) 1m

(02)  2m(03) 2 2m(04) 3 2m(05) 8m

SOLUÇÃO:Seja V o volume do cilindro reto. Temos: V =  R2h. Dos dados do problema podemos escrever:V + 16 =  R2(h+2)   R2h +16 =  R2(h+2)   R2h +16 =  R2h + 2 R2 

Simplificando, vem:16 = 2 R2  R2 = 8  R =  8 =  (4.2) = 2 2, o que nos leva à alternativa (03).

Questão 05 – O valor numérico da expressão (x + y)/4 – (x2 – y2)/5 + (y – x)2, para x = -1 e y = -2 é igual a

(01) 0,35(02) 0,6(03) 0,85(04) 1,6(05) 2,3

SOLUÇÃO: solução imediata, por mera substituição dos valores. Vem:VN = valor numérico = (-1 – 2)/4 – [(-1)2 – (-2)2]/5 + [-2 – (-1)]2

Teremos: VN = -3/4 – (-3/5) + 1 = -3/4 + 3/5 + 1 = -0,75 + 0,6 + 1 = 0,85, o que nos leva à alternativa (03).

Questão 06 – Fazendo x biquínis por dia, uma costureira consegue entregar uma encomenda em 5 dias. Se fizesse x + 4 biquínis por dia, nas mesmas condições, a encomenda seria entregue em 3 dias. O valor de x está compreendido entre

(01) 5 e 8(02) 9 e 12(03) 14 e 17(04) 18 e 21(05) 22 e 24

SOLUÇÃO: Problema de regra de três simples.

Observe que aumentando a produção de biquínis por dia, o tempo de entrega se reduz. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.Logo:x + 4 = x(5/3)  x + 4 = (5x)/3  3(x + 4) = 5x  3x + 12 = 5x  x = 6Logo, a alternativa correta é a de número (01).

Questão 07 – Uma pessoa gasta 30% do seu salário com alimentação e 40% do que resta com saúde e educação. Se ainda lhe sobra R$1050,00, o seu salário é igual a

(01) R$1900,00(02) R$2050,00

(03) R$2500,00(04) R$3050,00(05) R$3500,00

SOLUÇÃO: Sendo S o salário, podemos escrever:0,30S = despesa com alimentaçãoRestaram 0,70S. Logo, o gasto com saúde e educação será 40% desse restante ou seja: 0,40.0,70S = 0,28SPortanto, podemos escrever agora: 0,28S + 1050 = 0,70S1050 = 0,70S - 0,28S = 0,42S  S = 1050/0,42 = 2500Portanto, S = R$2500,00, o que nos leva à alternativa (03).

Questão 08 – Se o resto da divisão do polinômio P(x) = 2xn + 5x – 30 por Q(x) = x – 2 é igual a 44, então n é igual a

(01) 2(02) 3(03) 4(04) 5(05) 6

SOLUÇÃO: Sabemos pelo teorema do resto, que o resto da divisão do polinômio P(x) por x – a é igual a P(a). Logo, com os dados do problema, podemos escrever:

P(2) = 44 = 2.2n + 5.2 – 30  64 = 2.2n  2n = 32 e, portanto, n = 5, o que nos leva à alternativa (04).

Questão 09 – Sabendo-se que   R e que a parte real do complexo z = (2+ i)/(-4-3i) é zero, o valor de  é

(01) –8/3(02) –3/8(03) 2/3(04) 3/2(05) 4

SOLUÇÃO: Teremos:Como a parte real do complexo é nula, teremos:

Logo: -8 - 3 = 0 de onde conclui-se:  = -8/3, o que nos leva à alternativa (01).Se necessário, reveja o capítulo sobre números complexos nesta página.

Questão 10 – A expressão   é igual a:

(01) 1(02) 2(03) 4(04) 6(05) 8

SOLUÇÃO: Efetuando o produto dos dois primeiros fatores indicados, lembrando que (a+b)(a-b) = a2 – b2, vem:[4 – (2 +  3)] . (4 + 2 3) = (2 -  3)(4 + 2 3) = 8 + 4 3 - 4 3 – 6 = 2, o que nos leva à alternativa (02).

Questão 11 – Sabendo-se que, entre os números 13 e 694, existem x múltiplos de 11, x é igual a:

(01) 64(02) 63(03) 62

(04) 61(05) 60

SOLUÇÃO: Ora, os múltiplos de 11, formam uma PA de razão 11. O primeiro múltiplo de 11 maior do que 13 é 22; Precisamos saber qual o maior múltiplo de 11, menor do que 694. Dividindo 694 por 11 obtemos quociente 63 e resto 1. Logo, o múltiplo procurado será igual a 63x11 = 693.Logo, temos a PA:(22, 33, 44, ... , 693)Usando a fórmula do termo geral da PA, ou seja: an = a1 + (n – 1) r e substituindo os valores conhecidos, vem:693 = 22 + (n – 1).11, onde n é o número de termos procurado e, portanto igual ao x do problema. Efetuando os cálculos, vem: n = 62, o que nos leva à alternativa (03).

Questão 12 – As medidas, em metros, dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 e estão em progressão geométrica, nessa ordem. O perímetro do triângulo, em metros, mede:

(01) 9(02) 9,5(03) 19(04) 28(05) 30

SOLUÇÃO: Temos a seguinte PG: (x + 1, 2x, x2). Usando o conceito de PG, podemos escrever:

2x/(x+1) = x2/(2x) [reveja PG nesta página, se necessário].Daí, vem, usando as propriedades de proporção: (produto dos meios = produto dos extremos). Lembram-se?4x2 = (x+1).(x2) ; para x  0, podemos simplificar a expressão anterior, dividindo ambos os membros por x2 , resultando: 4 = x + 1  x = 3.Sendo x = 3, os lados do triângulo serão:4, 6, 9 (uma PG de razão 3/2)Sendo o perímetro de um triângulo, igual à soma das medidas dos seus lados, vem:Perímetro = 4 + 6 + 9 = 19, o que nos leva à alternativa (03).

Questão 13 – Se f é uma função tal que f(x + 2) = x3 – 8, para todo x  R, então f(x) é igual a

(01) x3 + 2x2 + 2x(02) x3 – 6x2 + 12x – 16(03) x3 + 6x2 + 12x(04) x3 – 3x2 + 3x – 9(05) x3 + 3x2 + 3x – 7

SOLUÇÃO:Façamos x + 2 = t. Daí, vem: x = t – 2Substituindo, fica:f(t) = (t – 2)3 – 8f(t) = t3 – 3.t2.2 + 3.t.22 – 23 – 8 = t3 – 6t2 + 12t – 8 – 8 = t3 – 6t2 + 12t – 16Portanto, f(x) = x3 – 6x2 + 12x – 16, o que nos leva à alternativa (02).

Questão 14 – O domínio da função   é o conjunto

(01) (- , -1)  [3,  )(02) (-1, 3)  [4,  )(03) (-1, 3]  (4,  )(04) (- , -1)  (4,  )(05) (4,  )

SOLUÇÃO: Como só existe raiz quadrada real de número positivo ou nulo, deveremos ter:(2x – 8)/(x2 – 3x – 4)  0Esta é uma inequação quociente. Vamos resolve-la:Inicialmente, vamos determinar os zeros (ou raízes) do numerador e denominador.2x – 8  raiz = 3, pois 23 – 8 = 0x2 – 3x – 4  raízes: 4 e – 1Vamos então construir a seguinte tabela, observando os sinais do numerador e

denominador da desigualdade acima:

O sinal do quociente Q é positivo conforme tabela acima.Observe que os números –1 e 4 anulam o denominador x2 – 3x – 4, portanto não podem pertencer ao domínio da função.Portanto, o domínio da função dada será:D = (-1, 3]  (4,  ), o que nos leva a alternativa (03).

Questão 15 – Se   então f(-3) é igual a:

(01) –11(02) –7(03) 7(04) 11(05) 12

SOLUÇÃO:Observe que a expressão que define a função, pode ser escrita como:f(x) = x6/3 – 6/x = x2 – 6/x (Lembram-se de potências de expoentes fracionários?)Portanto, f(-3) = (-3)2 – 6/(-3) = 9 + 2 = 11, o que nos leva à alternativa (04).

Questão 16 – Duas irmãs possuem 4 saias e 3 blusas. O número de maneiras distintas que elas podem se vestir é:

(01) 12(02) 24(03) 72(04) 144(05) 144732

SOLUÇÃO:Sejam s1, s2, s3 e s4 as saias e b1, b2 e b3 as blusas.Sejam I1 e I2, as irmãs detentoras deste grande vestuário. (eh eh eh ...)Observe que podemos determinar as seguintes partições no conjunto das saias:

Portanto, relativo às saias, existem 12 possibilidades, obtido da contagem direta dos elementos acima.Já com relação ao conjunto das blusas, teremos:

Portanto, em relação às blusas, existem 6 possibilidades.Logo, pela regra do produto, o número total de possibilidades será:N = 12 x 6 = 72, o que nos leva à alternativa (03).

Questão 17 – Sendo   uma função real, pode-se afirmar que:

(01) f é injetora(02) f é crescente(03) f(2) = 16(04) f assume o seu valor máximo em x = 0(05) D(f) = R*

SOLUÇÃO:A função f não é injetora, pois f(x) = f(-x).f(2) = 1/16.O domínio de f(x) é R.A função f não é crescente, pois, por exemplo, f(2) = 1/16 e f(3) = 1/512.Resta a alternativa (04). Para provar que a função assume o valor máximo para x = 0, teríamos que recorrer à teoria dos máximos e mínimos, utilizando derivadas, assunto não constante do programa. Portanto, por exclusão, temos que a alternativa verdadeira é a de número (04).

Questão 18 – Os valores de x que satisfazem a equação logx(mx+n) = 3 são 2 e 3. Logo, o valor de m + n é:

(01) – 49(02) – 30

(03) – 11

(04) 0(05) 34

SOLUÇÃO:Teremos, pelo enunciado:x = 2 : log2(2m + n) = 3. Logo, 23 = 2m + n = 8 (eq. 1)x = 3 : log3(3m + n) = 3. Logo, 33 = 3m + n = 27 (eq. 2)Subtraindo membro a membro as igualdades acima, vem:(3m + n) – (2m + n) = 27 – 8m = 19Substituindo o valor de m na eq. 1, vem:2.19 + n = 8Logo, n = 8 – 38 = - 30Daí, vem finalmente que m + n = 19 + (- 30) = - 11.Portanto, a alternativa correta é a de número (03).

Questão 19 – Um curral retangular, com 600 metros quadrados de área, em que o comprimento é igual a dois terços da largura, tem o perímetro, em metros, igual a:

(01) 100(02) 120(03) 140(04) 200(05) 250

SOLUÇÃO:Sejam x e y as dimensões dos lados do retângulo.A área do retângulo será igual a x.y = 600Podemos escrever, tendo em vista o enunciado da questão:y = (2/3).xSubstituindo, vem: x[(2/3).x] = 600Portanto: x2 = 900 de onde conclui-se x = 30.Portanto, y = (2/3).30 = 20O perímetro do retângulo será então igual a P = 30 + 30 + 20 + 20 = 100, o que nos leva à alternativa (01).

Questão 20 -

Na figura, AB = BC, DE = BE e CF = CE.Se o ângulo A mede 50º, então a medida, em graus, do ângulo DEF é:

(01) 90 (02) 95 (03) 100 (04) 105 (05) 130.

SOLUÇÃO: Para resolver este simples problema, basta lembrar que os ângulos da base de um triângulo isósceles (aquele que possui dois lados com medidas iguais) , possuem a mesma medida.Nota: indicaremos o ângulo de lados OX e OY com vértice em O, como XÔY.Observe na figura dada no problema, que o triângulo ABC é isósceles, pois AB = BC. Daí vem que os ângulos da base são de mesma medida e, como  = 50º, vem que C = 50º.Como CF = CE, o triângulo CFE é isósceles e os ângulos da base são iguais. Portanto, F = E. Logo, 50 + 2F = 180  F = E = 65ºComo o triângulo EDB é isósceles com DE = BE, os ângulos da base B e D possuem a mesma medida. Além disso, A = 50º e C = 50º. Pela lei angular de Tales, vem que A+B+C = 180º  B = 80º.

Portanto, como B = D, vem que D = 80º.Novamente pelo teorema angular de Tales, no triângulo DEB, teremos:D + E + B = 180º  Ê = DÊB = 20ºTeremos então:CÊF + FÊD + DÊB = 180º65º + FÊD + 20º = 180º  FÊD = 95º Portanto, alternativa correta = (02).

Questão 21 - O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio circular, ao marcar 15 h e 24 min., é:

(01) 72º (02) 60º 

(03) 48º 

(04)42º 

(05) 30º

SOLUÇÃO:

Portanto, a alternativa correta é a de número (04).

Questão 22 -O maior valor de   com x  R, é(01) 1 (02) 2/3 (03) 3/5

(04) 2/5(05)1/3

SOLUÇÃO:A fração dada terá valor máximo, quando o denominador tiver valor mínimo. Portanto, deveremos ter cosx = 1(máximo valor do coseno), para que a diferença 4-cosx seja mínima. Substituindo, vem: 2/(4-1) = 2/3, o que nos leva à alternativa (02).

Questão 23 - A reta r passa pelo ponto C (1, 3) e é perpendicular à reta AB, em que A ( 0,0 ) e B é centro da circunferência x2 + y2 – 4x – 2y = 11.A equação de r é igual a:

(01)2y + x = 10 (02)y + 2x = 10 (03)y + 2x = 5(04)y – 2x = 5(05)2y – x = 10

SOLUÇÃO:Vamos determinar o ponto B (centro da circunferência):Revendo os capítulos de Geometria Analítica nesta página, não será difícil perceber que as coordenadas do centro da circunferencia, que é o ponto B serão:xo = -(-4)/2 = 2yo = -(-2)/2 = 1Vamos determinar a equação da reta AB, onde A(0,0) e B(2,1):Como a reta passa na origem, a sua equação será do tipo y = axPortanto, 1 = a . 2  a = ½Logo, a reta AB tem equação y = (1/2)xA reta r é perpendicular à reta AB; logo, o produto dos coeficientes angulares dessas duas retas será igual a (– 1) .Portanto, o coeficiente angular da reta r será: mr = -2. Daí, vem:y – y1 = mr (x – x1)y – 3 = -2 (x – 1)  y + 2x = 5, que é a equação da reta r procurada. Portanto, a alternativa correta é a de número (03).

Questão 24 - O comprimento de um arco AB definido em uma circunferência – de diâmetro 12 cm – por um ângulo central AOB de 3 radianos é igual a:

(01) 3cm(02) 4cm (03) 12cm(04) 18cm(05) 36cm

SOLUÇÃO: diâmetro = 12 cm  raio = 6 cm.Sabemos que neste caso, é válida a relação: L =  . RDaí, vem: L = 3.6 = 18 cm.Obs: a fórmula acima somente é válida para  expresso em radianos.Portanto, a alternativa correta é a de número (04).

Questão 25 - Um vaso tem a forma de um paralelepípedo retângulo com base quadrada de diagonal igual 15 2 cm e altura 8 cm.A capacidade desse vaso, em litros, é:

(01)1,2(02) 1,5(03) 1,8(04) 12(05) 18

SOLUÇÃO: O comprimento D da diagonal de um quadrado de lado L é dado por: D = L. 2 . Portanto, vem: 15 2 = L. 2  L = 15 cmO volume do paralelepípedo retângulo de base quadrada, será dado por:V = Sb . h Onde Sb = L2 = 152 = 225 cm2 (área da base quadrada).Portanto V = 225cm2 . 8cm = 1800 cm3

E como 1 litro = 1000 cm3, teremos V = 1,8 litros.A resposta correta é a de número (03).