Download - Questões Resolvidas Do Concurso EsPCEx

Transcript
  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    1/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 1/12

    Questes Resolvidas do ConcursoEsPCExTHIERES MACHADO 16 COMENTRIOS PROVAS E RESOLUES

    Para se tornar um Oficial do Exrcito Brasileiro, uma das formas de ingresso feita atravs da Escola Preparatria de Cadetes do Exrcito, EsPCEx. a formamais tradicional de se tornar Oficial. Atualmente o concurso feito em vriasetapas e uma delas a prova escrita, onde necessrio alm do maisconhecimentos de Matemtica de nvel fundamental e mdio.

    Iniciamos no blog uma srie de artigos com questes resolvidas dos ltimosconcursos no intuto de ajudar a todos que almejam uma vaga no Exrcito.

    Veja abaixo onde apresentamos um pouco sobre a escola, as questes e suaresolues. Lembre-se tambm de ler a concluso, pois fornecemos dicas parauma melhor aprendizagem.

    Sobre a EsPCEx

    A EsPCEx tem por misso selecionar e preparar o fututo cadete da AcademiaMilitar das Agulhas Negras (AMAN), dando incio a formao do futuro oficialdo Exrcito Brasileiro. A escola est localizada na cidade de Campinas, SP.

    A seleo feita anualmente. Algumas das principais condies para inscrio:

    ser brasileiro nato, do sexo masculino; possuir idade de no mnimo 17 e, nomximo 22 anos, completados at 31 de dezembro do ano da matrcula; terconcludo ou estar cursando a 3 srie do ensino mdio, no ano da inscrio.

    Verifique mais informaes junto ao site da EsPCEx.

    Sobre as Questes Resolvidas

    http://www.calculobasico.com.br/provas-e-resolucoes/http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/#comments
  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    2/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 2/12

    Os assuntos abordados nas questes abaixo so, geralmente, aprendidos noensino mdio. Claro, necessrio dominar tambm o contedo do ensinofundamental. A primeira questo aborda temas da geometria analtica,equao da circunferncia, retas e distncias.

    Na segunda questo, necessrio saber geometria espacialdo cone, emparticular e um pouco sobre semelhana de tringulos. A terceira questo sobre probabilidade, mas antes ter que aplicar o princpio fundamental dacontagem, isto , a base da anlise combinatria.

    Na quarta, voc precisar estudar sobre nmeros complexos e saber algumasdas diversas formas de se calcular a rea de um tringulo. A ltima questoaborda o tema logaritmos e suas propriedades, bem como mudana de base.

    Sugerimos que caso ainda no domine muito bem estes assuntos, procureaprend-los de forma eficaz antes. Veja logo abaixo as questes.

    Enunciados das Questes

    1. Considere a circunferncia (l) x + y 4x = 0 e o ponto P(1, ). Se a reta t tangente a l no ponto P, ento a abscissa do ponto de interseo de t com oeixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas

    A) 2

    B) 2 +

    C) 3

    D) 3 +

    E) 3 + 3

    2. Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h,est completamente cheio com gua e leo. Sabe-se que a superfcie decontato entre os lquidos est inicialmente na metade da altura do cone. O

    2 2

    http://www.calculobasico.com.br/vestibular-exercicios-de-analise-combinatoria/http://www.calculobasico.com.br/geometria-plana-e-geometria-espacial-para-concursos-material-de-estudo-gratuito/
  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    3/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 3/12

    recipiente dispe de uma torneira que permite escoar os lquidos de seuinterior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamenteat o instante em que toda gua e nenhum leo escoar, a altura do nvel doleo, medida a partir do vrtice ser

    3. A probabilidade de se obter um nmero divisvel por 2 na escolha ao acasode uma das permutaes dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5

    A) 1/5

    B) 2/5

    C) 3/4

    D) 1/4

    E) 1/2

    4. A figura geomtrica formada pelos afixos das razes complexas da equao

    x 8 = 0 tem rea igual a

    A) 7

    B) 6

    C) 5

    D) 4

    3

    http://www.calculobasico.com.br/wp-content/uploads/2013/06/image.png?c92995
  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    4/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 4/12

    E) 3

    5. Se [ (6 log m) / (1 + log m) ] = 2 com a > 0, a 0, ento o valor de

    A) 4

    B) 1/4

    C) 1

    D) 2

    E) 1/2

    Solues das QuestesQuesto 1

    Este problema aborda conceitos de geometria analtica na sua resoluo.Apresentaremos dois modos para chegar a resposta, pois nossa inteno aquino somente resolver o problema, mas tambm e principalmente ensinar.Vejamos!

    1 Modo:

    Vamos inicialmente determinar o centro e o raio da circunferncia, para issousaremos o processo de completar os quadrados, veja abaixo.

    (l) x + y 4x = 0x 2.x.2 + 2 2 + y = x 4x + 4 4 + y = 0

    (x 2) + y 4 = 0(x 2) + y = 4. Logo, a equao reduzida de l

    (l) (x 2) + y = 4.

    a a

    2 2 2 2 2 2 2 2

    2 2 2 2

    2 2

  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    5/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 5/12

    Centro (2,0) e (raio) = 4, ento raio = 2. Com este dados, j podemos fazer umesboo da situao.

    Neste esboo, temos que t a reta tangente a circunferncia no ponto P e x aabcissa procurada. No se preocupe com a reta s, ela no ser usada para este

    1 modo.

    Como P pertence a t, vamos determinar a equao de t utilizando a equao

    y y = m( x x ), onde x e y so as coordenadas do ponto pertencente a reta,

    no caso, P(1, ) e m o coeficiente angular de t. Substituindo os valores:

    (t) y = m( x 1) (t) mx y m + = 0 .

    Mas, observe que ainda precisamos saber o valor de m, certo? Ento vamos l!Como a distncia do centro at o ponto P pertencente a t 2 (veja que amedida do raio), vamos uitlizar a frmula da distncia entre ponto e reta.

    Na frmula acima, temos que d distncia entre o centro e a reta, a = m, b =

    1 e c = m + so os coeficientes da reta t e x , y so as cordenadas docentro (2,0).

    Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

    2

    0 0 0 0

    c,t

    c c

    http://www.calculobasico.com.br/wp-content/uploads/2013/06/image1.png?c92995
  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    6/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 6/12

    Resolvendo a equao do 2 grau.

    Agora que j sabemos o valor de m, vamos substituir na equao de t.

    Bem, o problema pede a abcissa (x) do ponto de interseo de t com o eixohorizontal, ento a ordenada deste ponto de interseo 0 (zero), isto , (x,0).Substituindo y = 0 na equao de t:

    Conclumos portanto, o 1 modo (ufa!). Vejamos o segundo! Tenha f!

    2 Modo:

    Acreditamos que a resoluo deste segundo modo, exige menos clculos,porm leia com bastante ateno a linha de raciocnio, caso fique comdvidas, comente. Vamos l!

    Sabemos da geometria plana(axiomas) que por dois pontos passa uma nicareta, ento pelo centro da circunferncia e pelo ponto P passa uma reta, queno caso, chamamos de s, veja o esboo acima.

    Agora, como t tangente a circunferncia no ponto P, tambm da geometriaplana, temos que s perpendicular a t em P (guarde est informao!).

    Desse modo, podemos encontrar a equao geral de s e j sabendo que asduas retas so perpendiculares, determinaremos o coeficiente angular de tatravs da retas s, pois se duas retas so perpendiculares, o produto de seus

    http://www.calculobasico.com.br/geometria-plana-e-geometria-espacial-para-concursos-material-de-estudo-gratuito/
  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    7/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 7/12

    coeficientes angulares deve ser igual a 1.

    Encontrando a equao geral de s utilizando a condio de alinhamento detrs pontos, isto ,

    Resolvendo o determinante:

    O coeficiente angular de s ms = .

    Como as retas so perpendiculares, o produto de seus coeficientes angularesdeve ser igual a 1.

    Substituindo mt na equao y y0 = mt( x x0) j usada no 1 modo.

    Agora, basta fazer y = 0, pois a ordenada do ponto de interseo da reta com o

    eixo horizontal 0 (zero) e encontraremos, novamente o valor de x. Veja:

    Esperamos que tenha percebido os conceitos envolvidos nos dois modosapresentados, caso encontre uma outra maneira de resolver mais simples,fique a vontade para comentar!

    Questo 2

  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    8/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 8/12

    Sabemos que o volume de leo (Vo) ser igual ao volume total (Vt) menos ovolume de gua (Va), concorda? Ok!

    Sabendo que o raio do cone R e a altura h, temos o volume total:

    A altura da gua est na metade da altura h, ento o raio do cone de guaser R/2. Logo, o volume de gua ser

    Assim podemos calcular o volume de leo!

    Vo = V V

    Determinamos o volume do leo, mas queremos saber a altura do cone deleo formado aps a gua escoar. Isto , aps a gua escoar, o leo assumira forma de um cone com uma nova altura (hn) e um novo raio (Rn), entotemos que descobrir hn.

    Observe a figura abaixo:

    Ela representa um corte vertical feito no cone passando pelo seu eixo,

    chamamos de seco meridiana. Veja que quando a gua sai, o leo assume aforma de um cone.

    Temos dois tringulos ABC e ADE (leo), observando que DE paralelo BC, da

    t a

    http://www.calculobasico.com.br/wp-content/uploads/2013/06/image2.png?c92995
  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    9/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 9/12

    geometria plana temos que os tringulos so semelhantes e da podemosescrever

    O que foi feito? Bem, usamos semelhana de tringulos (lados proporcionais)para encontrar um relao entre as medidas do raio e altura do cone com asmedidas do cone de leo. Alm do mais escrevemos o raio do cone de leoem funo das outras medidas.

    Voc pode verificar que o volume do cone de leo no mudou certo? Logo,podemos escrever este volume em funo de Rn e hn.

    Fazendo as devidas substituies.

    Questo 3

    Para obtermos a probabilidade pedida, devemos antes saber a quantidadetotal de nmeros formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5.

    Como so 5 algarismos, a quantidade de nmeros formada por eles ser dadapela permutao dos 5 algarismos.

    P5 = 5! = 120 nmeros.

    Agora, precisamos verificar a quantidade de nmeros para o evento desejado,

    isto , quantos nmeros pares poderemos formar. Sabemos que um nmeropara ser par, nas condies acima, dever terminar em 2 ou 4.

  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    10/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 10/12

    A quantidade de nmeros terminados em 2, isto , o quinto algarismo devernecessariamente ser 2, ser:

    o primeiro algarismo pode ser qualquer um dos outros 4. J o segundo,qualquer um dos 3 que sobraram, o terceiro, qualquer um dos dois e para o

    quarto s resta um opo, sendo o quinto o nmero 2. Pelo princpiomultiplicativo, temos:

    4 x 3 x 2 x 1 = 24 nmeros pares terminados em 2.

    Veja que tambm temos a mesma quantidade de nmeros pares terminadosem 4, o processo o mesmo, com o 4 no ltimo algarismo.

    Portanto, temos um total 24 + 24 = 48 nmeros pares.

    Probabilidade = 48/120 = 2/5.

    Questo 4

    O afixo o ponto correspondente ao nmero complexo, sua imagem

    geomtrica. Veja, a cada nmero complexo z = a + bi corresponde um nicoponto P(a,b) do plano Argand-gauss. P chamado de afixo ou imagemgeomtrica de z.

    Precisamos ento descobrir as razes complexas da equao dada. Mas antes,vamos relembrar sobre fatorao, isto , a b pode ser escrito como

    a b = (a b)(a + ab + b ). Da, vem que

    x 8 = x 2 = (x 2).(x + 2x + 4) = 0, ento

    x 2 = 0 ou x + 2x + 4 = 0.

    x 2 = 0, ento x = 2.

    x + 2x + 4 = 0, resolvendo esta equao no conjunto dos complexos,encontramos para razes

    3 3

    3 3 2 2

    3 3 3 2

    2

    2

  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    11/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/ 11/12

    Temos ento 3 nmeros complexos: x1 = 2, x2 = 1 + i e x3 = 1 i . Seus

    afixos, respectivamente, so (2,0), (-1, ) e (-1, ). Representando noplano:

    Repare que temos um tringulo e as coordenadas de seus vrtices, dageometria analtica, temos como obter a rea deste tringulo (utilizandodeterminante). Veja:

    Observao: h outra forma de se obter as razes fazendo uso do mdulo eargumento de um nmero complexo, bem como a rea do tringulo obtido.Verifique!

    Questo 5

    Para a resoluo deste problema, faremos uso das propriedades de logaritmose mudana de base, verifique antes, caso no saiba.

    Fazendo uma mudana de base no primeiro log, isto , vamos mudar parabase a, pois a que nos interessa.

    http://www.calculobasico.com.br/wp-content/uploads/2013/06/image3.png?c92995
  • 7/25/2019 Questes Resolvidas Do Concurso EsPCEx

    12/12

    11/01/2016 Questes Resolvidas do Concurso EsPCEx

    Agora, vamos substituir o valor de a.

    Concluso

    Com estas questes e suas resolues acreditamos estar contribundo parasua aprendizagem. Na questo 1, mostramos dois modos de resoluo, fica aseu critrio aplic-los, mas lembre-se que o fator tempo de prova importanteno momento da realizao.

    Para encarar um prova como esta necessrio ter um bom embasamentodos assuntos, no adianta querer aprender tudo na vspera da prova,

    necessrio dedicao com antecedncia!

    Reparou que uma nica questo pode abordar mais de um tema dentro daMatemtica? Ento, deve-se ter em mente dominar todo o programa deMatemtica.

    Bem, estas foram algumas dicas. Continue acompanhando o blog que embreve publicaremos novos artigos.