Equaes bsicas na forma integral para um volume de controle

Cap. 3: Relaes integrais para volume de controleO estudo de fluidos em movimento pode ser feito usando trs abordagens:1- abordagem diferencial SISTEMA2- anlise integral MTODO DO VOLUME DE CONTROLE3- Anlise Dimensional e Experimental

1- abordagem diferencial SISTEMA descrever detalhes do escoamento em cada ponto (x, y, z) de um campo

Exemplo: estudo de um campo de escoamento

2- anlise integral MTODO DO VOLUME DE CONTROLE estudar uma regio finita no espao, fazendo um balano dos escoamentos que entram e saem e determinando os efeitos globais de interao (Foras, Torques, Energia)

Exemplo: efeito de um escoamento sobre um p de turbina

3- Anlise Dimensional e Experimentalmtodo usado para reduzir o nmero e a complexidade das variveis experimentais que afetam um dado fenmeno fsicoEquaes bsicas na forma integral para um volume de controle*As leis fsicas so estabelecidas para uma quantidade de matria com identidade fixa (SISTEMA).Tudo que externo a esse sistema denominado vizinhana. O sistema separado da vizinhana pela fronteira.propriedade extensiva propriedade dependente da quantidade de matria.Ex.: massa, volume, energia (a quantidade total a soma das partes)

propriedade intensiva independe daquantidade de matriaEx.: presso, temperatura, propriedades especficasEquaes bsicas na forma integral para um volume de controleObjetivo: relacionar a taxa de variao de uma propriedade extensiva genrica N para um sistema, com as variaes temporais dessa propriedade associadas a um Volume de Controle

Leis bsicas para um sistemaConservao da Massa:

Leis bsicas para um sistemaSegunda Lei de Newton:

Conservao da quantidade de movimento linearLeis bsicas para um sistemaConservao da Quantidade de Movimento Angular:(Momento da quantidade de movimento)

xz10Leis bsicas para um sistemaConservao da Energia (Primeira Lei da Termodinmica):

Leis bsicas para um sistemaSegunda Lei da Termodinmica:

S a entropiaResumindo.....

Conservao da Massa:

Segunda Lei de Newton:

Quantidade de Movimento Angular:

Primeira Lei da Termodinmica:

Segunda Lei da Termodinmica:Definindo-se a propriedade extensiva genrica N e sua correspondente intensiva , tal que:Onde:O Volume de Controle (V.C.) envolve fluxo de massa atravs de sua fronteira, portanto as variaes com o tempo da propriedade N associadas ao V.C. envolvem fluxo de massa e as propriedades que a massa conduz por conveco.Deduo de uma formulao para volume de controle

Derivaoxyztempo, toLinhas de corrente no tempo, totempo, to+tSub-regio (3) da regio IIISub-regio (1) da regio IIIIIIISistemaVolume de controlePoro arbitrria do escoamento - Volume de controleDerivaoIIIIII

Analisando a propriedade extensiva arbitrria N. Sua taxa de variao para o sistema dada por:DerivaoIIIIII

123Derivao

1O termo simplificado para:

Derivao2Examinamos uma sub-regio da regio IIIPara avaliar o termo

Linha de corrente no tempo toSuperfcie de controle IIIFronteira do sistema no tempo to + t

IIIIIIDerivao

2Na forma de taxa o termo fica:

Derivao3Examinemos uma sub-regio da regio IPara avaliar o termo

Linha de corrente no tempo toSuperfcie de controle IFronteira do sistema no tempo to + t

O resultado o mesmo do termo 2, contudo, como o ngulo vai determinar um sinal negativo no produto escalar.

Derivao

123

mas:

Derivao

Teorema de Transporte de ReynoldsInterpretao Fsica

Taxa de variao total de qualquer propriedade extensiva do sistemaTaxa de variao com o tempo da propriedade extensiva N, dentro do volume de controleTaxa lquida de fluxo da propriedade extensiva N, atravs da superfcie de controleConservao da Massa

Teorema de Transporte de Reynolds

Conservao da MassaCasos especiais: = constante

volume constante

Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial

Teorema de Transporte de Reynolds

Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial

Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial

Equao vetorial pode ser escrita em componentes escalares

ExemploEscoamento atravs de um Cotovelo de 90: Uso de Presso Manomtrica gua escoa em regime permanente atravs do cotovelo redutor de 90 mostrado no diagrama. Na entrada do cotovelo, a presso absoluta 221 kPa e a rea da seo transversal 0,01 m2. Na sada, seo transversal 0,0025 m2 e a velocidade mdia 16 m/s. O cotovelo descarrega para a atmosfera. Determine a fora necessria para manter o cotovelo no lugar.

DADO: Escoamento permanente de gua atravs de um cotovelo

DETERMINAR: A fora requerida para manter o cotovelo no lugarSOLUO: Volume de controle

Equaes bsicas

Equaes bsicas

Consideraes:Escoamento uniforme em cada seoPresso atmosfrica, pa = 101 kPa (abs)Escoamento incompressvelEscoamento permanente (dado)Desprezar o peso do cotovelo e da gua contida no mesmo= 0 (4)= 0 (4)= 0 (5)

Para determinar V1

Componente x da eq. da quantidade de movimento

Rx atua para a esquerda

Componente y da eq. da quantidade de movimento

Ry atua para baixoO princpio do momento da quantidade de movimentoEquao para volume de controle fixo

vetor posio para cada elemento de massa ou volumeTeorema de transporte de Reynolds

- para um instante de anlise to

I II IIII torques que atuam sobre o volume de controle

II taxa de variao do momento da quantidade de movimento dentro do volume de controle

III taxa lquida de fluxo de momento da quantidade de movimento proveniente do volume de controle

Conservao da Energia(Primeira Lei da Termodinmica)

Teorema de Transporte de Reynolds

onde:

Conservao da Energia(Primeira Lei da Termodinmica)maslogoQ positivo quando calor adicionado ao sistema e W positivo quando trabalho realizado pelo sistema sobre o meioTaxa de trabalho realizado por um volume de controle

1. Trabalho de eixo:

Taxa de trabalho de eixo:

2. Trabalho realizado por tenses normais na superfcie de controle:

Conveno: trabalho que sai atravs das fronteiras do VC positivo trabalho que entra atravs das fronteiras do VC negativo

3. Trabalho realizado por tenses de cisalhamento na superfcie de controle:

normalmente esse termo nulo, pois escolhe-se SC perpendiculares aos escoamentos de modo a que paralelo a V e

4. Outros trabalhos:

trabalho eltrico trabalho eletromagnticoConservao da Energia(Primeira Lei da Termodinmica)

como:

Conservao da Energia(Primeira Lei da Termodinmica)

Para a maioria dos escoamentos de interesse da engenharia a tenso normal, snn , equivale ao negativo da presso termodinmica:

mas:

Regime permanente0 (1)0 (2)0 (3)0 (4)0 (4)Adiabticorea na entrada e sada perpendicular velocidadeSem trabalho de eixo e outros trabalhosVC com uma entrada e uma sadaIsotrmicosIncompressvelReversvel (sem perdas)

Equao de BernoulliRESUMO FINALEquaes bsicas na forma integral para um volume de controle so teis quando se est interessado em um comportamento genrico ou mdio de um campo de escoamento e nos seus efeitos sobre dispositivos externosno permitem obter detalhes ponto a ponto do campoA soluo para essa determinao de caractersticas locais dos campos de escoamento utilizar as equaes do movimento dos fluidos na forma diferencialPara isso so utilizados volumes de controle infinitesimais