Engenharia Biomédica
Termómetro de Gás a Volume Constante
Professor Yuri Nunes
Ricardo Filipe Henriques Ribeiro Nº25835
Turno P3 – Grupo 2
Física I B
2007/2008
Monte da Caparica, 5 de Junho de 2008
Professor Yuri Nunes
Física 1-B2007/2008 - 2º Semestre Relatório Individual
Ricardo Ribeiro
Termómetro de gás a volume constante
Termómetro de Gás a Volume Constante
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Termómetro de gás a volume constante
Índice
1 Objectivo.................................................................................................................................4
2 Introdução..............................................................................................................................4
3 Procedimento experimental...................................................................................................8
3.1 Material..........................................................................................................................8
3.2 Esquema de montagem..................................................................................................9
3.3 Procedimento.................................................................................................................9
5 Resultados............................................................................................................................11
6 Cálculos.................................................................................................................................12
6.1 Gráfico da pressão Pi, em função da temperatura ti.....................................................12
6.2 Parâmetros da recta através do método dos mínimos desvios quadrados...................13
6.3 Cálculo do coeficiente de expansão do ar e respectiva incerteza (por propagação de
incertezas)................................................................................................................................14
6.4 Cálculo da temperatura do zero absoluto, e respectiva incerteza (por propagação de
incertezas)................................................................................................................................15
7 Discussão de resultados e conclusões...................................................................................17
8 Bibliografia...........................................................................................................................18
ANEXO..........................................................................................................................................19
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Termómetro de gás a volume constante
1 Objectivo
O trabalho tem a finalidade de realizar o relatório da actividade experimental
“Termómetro de gás a volume constante” desenvolvida na aula prática da cadeira.
Pretende-se com a actividade realizar a:
Determinação da temperatura do zero absoluto;
Determinação do coeficiente de expansão do ar.
2 Introdução
No estudo do equilíbrio mecânico são precisas somente três grandezas:
dimensão, massa e tempo. No entanto existem outros fenómenos que não podem ser
expressos nas grandezas anteriormente referidas, fenómenos tais como efeitos
térmicos e de transporte de calor. Para o estudo destes e necessário conhecer bem
uma grandeza, a temperatura.
A temperatura pode ser considerada como um parâmetro físico que descreve um
sistema ao qual vulgarmente se associa as noções de frio e calor, bem como às
transferências de energia térmica. A nível físico e microscópico, a temperatura é a
medida da energia cinética associada ao movimento aleatório das partículas.
Na determinação da temperatura de vários sistemas, teremos de escolher um
sistema de referência, sistema esse que quanto em contacto com o sistema do qual
queremos encontrara a temperatura, se encontre em equilíbrio com os outros mesmo,
podendo-se registar a temperatura através da análise de coordenadas. O sistema mais
comum que se escolhe é o termómetro. O termómetro regista a temperatura de
equilíbrio deste com o sistema que se quer medir. Este método de análise está de
acordo com a Lei Zero da Termodinâmica, que nos diz que se dois corpos estão em
equilíbrio térmico com um terceiro, então eles estão em equilíbrio térmico entre si.
As principais características mais importantes de um termómetro são:
Sensibilidade – o termómetro tem que conseguir registar pequenas
variações da temperatura dos sistemas;
Precisão – tem que haver uma variação infinitesimal de resultados na
uma medição da temperatura de um mesmo sistema;
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Reprodutibilidade – se medirmos a temperatura do mesmo sistema
duas vezes, um termómetro ideal tem que conseguir reproduzir a
primeira medição;
Velocidade – o equilíbrio térmico do termómetro com os outros sistemas
é atingida a uma velocidade mensurável.
A pressão de um gás cujo volume se mantém
constante é uma coordenada de estado, ou como é por
vezes chamada, propriedade termodinâmica. Um bom
instrumento de medição através desta técnica é o
termómetro de gás a volume constante. O gás, em
geral hélio, está encerrado numa ampola P e a sua
pressão pode ser medida pelo manómetro de mercúrio.
Quando a temperatura do gás aumenta, o gás expande
forçando o mercúrio a descer no tubo A e a subir no tubo
B. Os tubos A e B comunicam através de um tubo de
borracha com um reservatório de mercúrio. Elevando o
mercúrio, o nível de mercúrio em A pode ser alinhado
novamente com a marca de referência 0. Mantendo o nível de referência fixo, mantém-
se o volume de gás constante. Assim, quando a temperatura do gás varia, a altura h
varia e a pressão do gás é proporcional a h.
À pressão atmosférica, todo o
material possui uma temperatura a que
um sólido e um líquido do mesmo material
coexistem em equilíbrio de fase, o ponto
de fusão, e possui uma outra
temperatura a que um liquido e o seu
vapor coexistem em equilíbrio de fase, o
ponto de ebulição. O ponto triplo e
característico por coexistir material nas
suas três fases, porém tal só acontece a
condições de pressão/temperatura
definidos. A pressão do ponto triplo da água é 4,58 mm de mercúrio.
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Figura 1: Termómetro de gás a volume constante
Figura 2: Gráfico de variação de estados consoante temperatura e pressão
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Os pontos de fusão, ebulição sublimação e triplo de um material podem servir de
referência para a criação de uma escala de temperaturas, designando-se a temperatura
escolhida por ponto fixo. Ao ponto triplo da água atribuiu-se o número fixo arbitrário
273,16 K.
A relação entre a pressão exercida por um
gás confinado e o seu volume é expressa pela lei
de Boyle. Esta lei relaciona linearmente a
pressão e o inverso do volume se a temperatura
se mantiver constante. Pode ser descrita como
PV=k .
Quando se faz variar a temperatura de um
gás este muda de volume se a sua pressão for
mantida constante, ou exercerá uma pressão diferente se o seu volume for mantido
constante.
A lei da variação da pressão de um gás a volume constante tem o seguinte
fundamento: a pressão de um gás mantido a um volume constante aumenta linearmente
à medida que a temperatura do gás aumenta. Assim, esta relação pode ser descrita
através de uma regressão linear, dando uma equação do tipo Pt=P0 (1+αt ), onde Pt é
a pressão à temperatura t e P0 é a pressão a uma determinada temperatura, em geral
0 ºC . A quantidade α chama-se coeficiente de expansão e é definida a partir da
seguinte expressãoα=
Pt−P0
P0 t ou seja, o coeficiente de expansão de um gás é a
variação relativa da pressão (relativa à pressão a 0 ºC ) por unidade de variação de
temperatura. A inclinação da curva
dividida por P0 é o coeficiente de
expansão.
A equação de Pt, representada
graficamente na figura 4, mostra que a
pressão varia linearmente com a
temperatura em graus Celsius, mas não
lhe é directamente proporcional. A
6
Figura 3: Lei de Boyle
Figura 4:Variação da pressão em função da temperatura, em graus Celsius e Kelvin, para o ar seco a volume constante.
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proporcionalidade directa apenas se verifica quando a temperatura está expressa em
Kelvin e para gases perfeitos.
O valor de α para a maioria dos gases é aproximadamente
1273
ºC. Isto significa
que para cada variação de um grau Celsius, acima ou abaixo de 0 °C, a pressão varia
1273 da pressão que o gás exerce a Po, isto tudo trabalhando a um volume constante
(mantendo-se o volume constante). Deste modo, se se baixasse a temperatura
de 273 °C, a variação de pressão seria 273× 1
273 de P0 , ou seja, a variação de
pressão seria igual à pressão inicial a 0°C e a pressão final zero. Este valor mínimo de
temperatura é o chamado zero absoluto. O zero absoluto é um conceito no qual um
corpo não conteria energia alguma. Todavia, as leis da Termodinâmica mostram que a
temperatura jamais pode ser exatamente igual a zero Kelvin; este é o mesmo princípio
que garante que nenhum sistema tem uma eficiência de 100%, apesar de ser possível
alcançarem-se temperaturas próximas de 0 K (t=−273 ºC ) . .
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3 Procedimento experimental
Antes do inicio do trabalho, convém primeiro
apresentar uma explicação de como se
determina a pressão do gás contido no balão. O
balão tem um prolongamento com um tubo em
U que contém mercúrio para isolar o ar contido
no balão e para medir a pressão a que o ar está
sujeito. Esta é igual à soma da pressão
atmosférica com a pressão exercida pela coluna
de mercúrio que se encontra acima do nível h0 .
A pressão que a coluna de mercúrio exerce
entre h0 e h1 sobre é igual ρgΔh , onde ρ é
a densidade do mercúrio, g a aceleração da
gravidade e Δh=h1−h0 . Como tal, expressando as pressões em unidades mmHg ,
conclui-se que a pressão do ar contido dentro do balão (Pgás ) é
Pgás=Patm+Δh .
3.1 Material
Agitador magnético;
Balão de vidro;
Barómetro;
Copo de vidro com água;
Gelo;
Manómetro em U com mercúrio;
Régua graduada;
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Figura 5: Esquema de leitura da variação da altura do mercúrio
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3.2 Esquema de montagem
3.3 Procedimento
1. Mediu-se a temperatura inicial da água. Dado esta se encontrar muito
elevada para a actividade, recorreu-se ao gelo para a reduzir. Com este
procedimento ajustou-se também o nível da água até cobrir o balão e o
reservatório do termómetro;
2. Registou-se a pressão atmosférica ambiente e a sua respectiva incerteza
(Pa ,mmHg );
3. Ajustou-se a altura do ramo esquerdo do tubo em U de modo a que a
superfície livre da coluna de mercúrio do ramo direito atinja o nível de
referência (marca vermelha). Mediu-se a altura do nível de referência, hr ;
4. Mediu-se de novo a temperatura da água (t ,º C ), e a altura da superfície
da coluna de mercúrio no ramo esquerdo do tubo, hi O ar contido no
balão estava submetido à pressãoPi=Pa+Δhi , em que
Pa é a pressão
atmosférica à temperatura ambiente, e Δhi=h1−h0 ;
5. Aqueceu-se a água do vaso, tendo o cuidado de manter o agitador
magnético ligado para uniformizar a temperatura. Este aquecimento foi
lento. De 10°C em 10°C e a partir dos 40,7ºC de 5ºC em 5ºC, suspendia-
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Figura 6: Esquema experimental
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se o aquecimento para se medir e registar a pressão do ar contido no
balão;
6. Devido ao aumento de temperatura, aumentou-se simultaneamente a
pressão e o volume ocupados pelo ar, pelo que para manter o volume
constante foi-se ajustando a altura do ramo esquerdo do tubo em U até o
nível de mercúrio inicial no ramo direito do tubo ser restabelecido;
7. Registou-se a temperatura t i da água e o nível
hi do mercúrio no ramo
esquerdo do tubo;
8. Retomou-se o aquecimento da água repetindo-se as operações 5, 6 e 7,
sete vezes respectivamente;
9. No final da experiência baixou-se o ramo esquerdo do tubo até à altura
inicial. Caso contrário, quando o ar dentro do balão arrefecesse, o
mercúrio seria sugado para o interior do balão;
4
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5 Resultados
1. Pressão atmosférica: Pa=758mmHg
Resolução da medição da pressão: δPa=1mmHg
2. Altura do nível de referência: hr=270mm
Resolução da medição do nível de referência: δhr=1mm
3. Temperatura da água e nível do mercúrio no ramo esquerdo do tubo:
Tabela 1: Registo de resultados.
Resolução da medição da temperatura: δt i=0,1 ºC
Resolução da medição do nível de mercúrio: δhi=1mm
11
ti/ºC 18,9 29,2 40,7 46,1 51,2 55,9 61,0 66,1
hi/mm 292 318 345 362 375 388 401 415
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6 Cálculos
6.1 Gráfico da pressão Pi, em função da temperatura ti
Para elaborar o gráfico desejado, em primeiro lugar começou-se por calcular os
valores de ∆ hi=hi−hr. Por sua vez sabemos também que Pi=Pa+∆hi. Logo, sabendo
isto tudo e com base nos resultados apresentados anteriormente, estamos nas
condições de realizar a
seguinte tabela com os valores
encontrados:
Tendo por base os valores anteriores, já se consegue traçar o gráfico pedido:
12
760
780
800
820
840
860
880
900
920
10 20 30 40 50 60 70
Gráfico de P em função de t
P/m
mH
g
t/ºC
y = m1 + m2 * M0
ErrorValue
1,4961729,4m1
0,0308382,6139m2
NA10,263Chisq
NA0,99958R
y = 729,4 + 2,6139x R= 0,99958
Tabela 2: Dados necessários à construção do gráfico da pressão Pgás , em função da temperatura t i
ti (ºC) hi / (mm) Δh / (mm) Pgás / (mmHg)18,9 292 22 78029,2 318 48 80640,7 345 75 83346,1 362 92 85051,2 375 105 86355,9 388 118 87661,0 401 131 88966,1 415 145 903
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6.2 Parâmetros da recta através do método dos mínimos desvios quadrados
Sabendo que a recta que melhor caracteriza os pontos do nosso gráfico é uma
recta do tipo y=mx+b , através dos pontos do nosso gráfico, conseguimos determinar os nossos parâmetros m e b da recta que melhor se ajusta aos nossos pontos experimentais. Temos que:
em que
Assim podemos construir a seguinte tabela que nos servirá de
auxílio ao cálculo dos parâmetros:
Tendo por base a tabela, chegamos a valores de m e b:
13
Gráfico 1: Gráfico de P em função de T KaleidaGraph®
Tabela 3: Dados necessários ao cálculo dos parâmetros da recta
ti (ºC) Pgás / (mmHg) ti. Pgás / s2.mmHg ti2/ s2
18,9 780 14742,000 357,21029,2 806 23535,200 852,64040,7 833 33903,100 1656,49046,1 850 39185,000 2125,21051,2 863 44185,600 2621,44055,9 876 48968,400 3124,81061,0 889 54229,000 3721,00066,1 903 59688,300 4369,210
∑ 369,1 6800 318436,600 18828,010
{m=n∑ x i y i−∑ x i∑ y id
¿ ¿¿¿
d=n∑ xi2−(∑ x i )
2
d=14389,270ºC2
{m=2,614 mmHg/ºC ¿ ¿¿¿
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Estes valores estão de acordo com os encontrados pelo programa informático
KaleidaGraph. Logo a recta que melhor caracteriza os nossos pontos é
P( t )=2 ,614 t+729 ,399 .
6.3 Cálculo do coeficiente de expansão do ar e respectiva incerteza (por propagação de incertezas)
A equação da recta obtida é P( t )=2 ,614 t+729 ,399 , uma recta do tipo
y=mx+b .
Desta forma, comparado esta recta com Pt=P0 (1+αt ), conclui-se que m=P0 α .
Dado que P0=b
, facilmente se deduz que α=m
b . Assim chega-se a um valor de α igual a:
α=mb
⇔α= 2,614729 ,399
⇔α=3 ,584×10−3 ºC−1
Segue-se o cálculo das incertezas através da lei da propagação das incertezas.
Para isso, primeiro tem que se calcular a incerteza associada ao parâmetro m e de b.
Em primeiro lugar temos de quantificar as distâncias de cada um dos pontos
medidos à recta pretendida, usando d i= y i−(mxi+b) , onde se obtém:
Através da tabela anterior calcula-se a variância das medições yi:
14
Tabela 4: Dados necessários das incertezas
di di2
1,197 1,4340,274 0,075-2,787 7,7650,098 0,010-0,233 0,0540,481 0,2320,150 0,0230,819 0,671
∑ 0,000 10,263
s y2=
∑ d i2
n−2⇔s y
2=1,711
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Os desvios padrões de m e b, são dados e calculados por:
Assim, tendo definidos cada um dos desvios padrões podemos calcular a
incerteza associada a α:
Assim, temos que α=(3 ,584±0 ,043 )×10−3 ºC−1.
6.4 Cálculo da temperatura do zero absoluto, e respectiva incerteza (por propagação de incertezas)
A temperatura do zero absoluto pode ser verificada experimentalmente
extrapolando a curva observada de variação de pressão com a temperatura até esta
intersectar o eixo de pressão P=0.
Sabendo que Pi=P0αt+P0 , e que Pi=0, então
t=−P0
P0 α⇔ t=−b
m .
Então, no nosso sistema a temperatura do zero absoluto, é dada por:
t=−bm
⇔ t=−729 ,3992 ,614
⇔t=−279 ,036 ºC
15
{sm=√ns y2d⇔ sm=0,031 mmHg/ºC ¿ ¿¿¿
μc (α )=√(dαdb )2
μc2 (b )+(dαdm )
2
μc2 (m) ⇔
⇔μc (α )=√(−m
b2 )2
μc2 (b )+(1b )
2
μc2 (m) ⇔
⇔μc (α )=√(−2 ,614
729 ,3992 )2
×1 ,4962+(1729 ,399 )2
×0 ,0312⇔
⇔μ( α )=4 ,313×10−5 ºC−1
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De seguida vamos proceder ao cálculo da incerteza da temperatura do zero absoluto:
μc ( t )=√(dtdb )2
μc
2 (b )+(dtdm )2
μc2 (m )⇔
⇔μc (t )=√(−1m )
2
μc2 (b )+(bm2 )
2
μc2 (m )⇔
⇔μc (t )=√(−12 ,614 )
2
×1 ,4962+(729 ,399
2 ,6142 )2
×0 ,0312⇔
⇔μc (t )=3 ,309 ºC
Assim, temos que t=(−279 ,399±3 ,309 ) ºC .
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7 Discussão de resultados e conclusões
Dados os nossos objectivos da actividade, o nosso principal objectivo prendia-se
em verificar a Lei de Charles e Gay-Lussac. Para tal, recorreu-se ao cálculo
experimental do coeficiente de expansão do ar, obtendo-se o valor de
α=(3 ,584±0 ,043 )×10−3 ºC−1
. Através dos nossos dados experimentais obteve-se um
valor de zero absoluto de t=(−279 ,399±3 ,309 ) ºC.
No cálculo do coeficiente de expansão do ar e respectiva incerteza (por
propagação de incertezas) o valor experimentalmente obtido corresponde a
α=(3 ,584±0 ,043 )×10−3 ºC−1
, obtendo-se valores entre [3 ,541×10−3 ;3 ,627×10−3 ] ºC−1
O valor teoricamente esperado para o mesmo seria
α teorico=1
273ºC−1=3 ,663×10−3 ºC−1
. Ao comparar os valores obtidos com o valor
teórico verifica-se que o valor teórico não se encontra dentro do intervalo prático. No
entanto, este estão bastante próximo dos valores experimentais, havendo uma variação
de 3,6×104 ºC . Este variância pode-se dever a erros cometidos tais como deixar o
volume de mercúrio subir ou descer do valor representado no termómetro como h0 e h1
à temperatura inicial.
No cálculo da temperatura do zero absoluto, mais uma vez se verifica que o
valor teórico não se encontra dentro dos valores experimentais. Com um intervalo entre
[−282 ,708 ;−276 ,09 ] ºC e um valor teórico igual a -273ºC, verifica-se que existe uma
discrepância de 3,09ºC entre o valor teórico e o valor prático. Este facto pode se dever
como foi visto anteriormente a erros no nível de mercúrio, originando valores práticos
onde o valor teórico não está contemplado.
Apesar de nenhum dos valores teóricos não se encontrar dentro da gama dos
práticos, a actividade pode-se considerar com um sucesso razoável, dado que a
discrepância entre valores teóricos/práticos não ser muito grande, tendo valores
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experimentalmente obtidos concordantes com os teoricamente esperados, dado a
grande proximidade teórico/prático.
O motivo para haver algumas variações de valores, pode dever-se a erros de
medição e principalmente a erros de regulação do nível de mercúrio.
8 Bibliografia
www.brasilescola.com/fisica/estudo-dos-gases.htm
http://courses.tagus.ist.utl.pt/df/fiii0/web/doc/Aula01.pdf
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_triplo
http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/temperatura/temperatura.html
http://www.fct.ualg.pt/fisica/PDFdoc/Leis_dos_Gases_Ideais.pdf
http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero_absoluto
Manual de elaboração de relatórios e tratamento de resultados experimentais,
Jorge Carvalho Silva, Versão 4.2, 2005
Protocolo experimental do trabalho prático nº 8 -- Termómetro de gás a volume
constante, 2007
Young, Hugh D.; Freedman, Roger A.; (2003), Sears and Zemansky’s University
Physics, São Paulo: Addison Wesley
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ANEXO
Folha de dados experimentais
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