7/23/2019 Resistencia Materiais - 5 Flexo

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Disciplina:

Resistncia dos MateriaisUnidade V - Flexo

Professor: Marcelino Vieira Lopes, Me.Eng.http://profmarcelino.webnode.com/blog/

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Referncia Bibliogrfica

Hibbeler, R. C. Resistncia de materiais. 5.ed. So Paulo:

Pearson, 2006.

Provenza, F. ; Souza, H. R. Resistncia dos Materiais. So Paulo:

Pro-tec, 1986.

Provenza, F. Projetista de Mquinas. So Paulo: Pro-tec, 1986.

Callister, Willian D. Jr. Cincia e Engenharia de Materiais: Uma

Introduo. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.

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UNIDADE 5 FLEXO

ResistnciadosMateriais

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Flexo

Vigas e eixos so elementos estruturais e mecnicos

importantes na engenharia. Nos prximos slides

determinaremos os esforos provocados por flexo

nesses elementos. Inicialmente sero vistos diagrama

de fora cortante e momento fletor para uma viga oueixo.

Uma vez determinado o momento interno em uma

seo, podemos calcular o esforo de flexo e fazer

assim o dimensionamento da viga ou do eixo.ResistnciadosMateriais

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Tipos de carregamentos

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Normalmente uma viga ( ou eixo) no est submetida

a apenas um tipo de esforo, como mostrado na figura

abaixo:

Como consequncia, a seo aa, por exemplo, estsubmetidas as foras de trao, foras cisalhantes e

momentos

ResistnciadosMateriais

6

a

a

F1 A BA

F2 F3

F5

F4

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Fora cortante: a seo aa, por exemplo, est

submetida a uma fora cortante V, cujo sinal positivo

convencionado abaixo:

ResistnciadosMateriais

7

A A V BA

V

a

a

A BA

Corte a-a:

Anlise do lado esquerdo, V para baixo Anlise do lado esquerdo, V para cima

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Momento Fletor: a seo aa, por exemplo, est

submetida a um momento fletor M, cujo sinal positivo

convencionado abaixo:

ResistnciadosMateriais

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A A

M

BA

M

a

a

A BA

Corte a-a:

Anlise do lado esquerdo, M: Anti-horrio Anlise do lado esquerdo, M: horrio

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Exemplo 1. Faa o diagrama de foras cortantes e

momento fletor da viga mostrada abaixo.

ResistnciadosMateriais

9

a

a

A EB

10N

b

b

DC

5N 5N1,0m 1,0m 1,0m 1,0m

10N

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Exemplo 1. Seo AA

ResistnciadosMateriais

10

a

a

A EB

10N

b

b

DC

5N 5N1,0m 1,0m 1,0m 1,0m

10N

a

a

A B

5N

1,0m V

N

M

Entre A e C:

SFx=0N=0

SFy=0V-5=0

V=5N

SM=0M-5*1=0

M=5Nm ou

M=5*x [Nm]

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Exemplo 1. Seo bb

ResistnciadosMateriais

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a

a

A EB

10N

b

b

DC

5N 5N1,0m 1,0m 1,0m 1,0m

10NA D

5N

b

b

V

N

M

Entre C e E:

SFx=0N=0

SFy=0V-5+10=0

V=-5N

SM=0M-5*3+10*1=0

M=5Nm ou

M=5*x10*(x-2) [Nm]

1,0m 1,0m 1,0m

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Diagrama de fora cortante e momento fletor Exemplo 1. Diagramas

ResistnciadosMateriais

12

a

a

10N

b

b

5N 5N1,0m 1,0m 1,0m 1,0m

V

M

5N

-5N

10Nm5Nm

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Diagrama de fora cortante e momento fletor Exemplo 2. Faa o diagrama de foras cortantes e momento

fletor da viga mostrada abaixo.

Resis

tnciadosMateriais

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Diagrama de fora cortante e momento fletor Exemplo 2. Clculo das reaes

Resis

tnciadosMateriais

14

SM=0M-M0=0

M=M0

Considerando as reaes como um binrio:M=Fxd

M=F*L

F=M/L ou

F=M0/L

M0/LM0/L

M0

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Diagrama de fora cortante e momento fletor Exemplo 2. Entre A e B

Resis

tnciadosMateriais

15

Entre A e B:

SFy=0V+M0/L=0

V=-M0/L

SM=0

M + (M0/L)*x =0M=-(M0/L)*x

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Diagrama de fora cortante e momento fletor Exemplo 2. Entre B e C

Resis

tnciadosMateriais

16

Entre B e C:

SFy=0V+M0/L=0

V=-M0/L

SM=0M + (M0/L)*xM0=0

M=M0(1 - x/L)

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Diagrama de fora cortante e momento fletor Exemplo 2. Diagrama

Resis

tnciadosMateriais

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M0/LM

0/L

M0

L/2 L/2

V

M

-M0/L

-M0/2

M0/2

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Exemplo 3. Faa o diagrama de foras cortantes e

momento fletor da viga mostrada abaixo.

Resis

tnciadosMateriais

18

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Exemplo 3. Clculo das reaes.

Resis

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SFy=0RA + RB = w*L

RA=RB

RA=RB=w*L/2

RA RB

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Exemplo 3.

Resis

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RA=W*L/2 RB

a

x V

N

M

Fora cortante

dV / dx = -wdV = -w . dx

dV = - w . dx

V = -w.x + C necessrio incluirRA

V = RAw.x V = wL/2wx

V = w (L/2

x)

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Exemplo 3.

Resis

tnciadosMateriais

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RA=W*L/2 RB

a

x V

N

M

Momento

dM / dx = V dM = V . dx

dM = V dx

M = (RAw.x)dx

M = RA.dx - w.x.dx

M =RA.xw.x2/2

M=wLx/2-wx2/2

M=w/2 * (xLx2)

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Diagrama de fora cortante e momento fletor

Exemplo 3. Diagramas

Resis

tnciadosMateriais

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V = w (L/2x)

M=w/2 * (xLx2)

V

M

wL/2

-wL/2

10NmwL2/8

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Mtodo Grfico: Diagrama de fora cortante emomento fletor

Resis

tnciadosMateriais

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Mtodo Grfico: Diagrama de fora cortante emomento fletor

Resis

tnciadosMateriais

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Deformao por flexo de um elemento reto

A seo transversal de uma viga reta permanece plana

quando a viga se deforma por flexo.

Isso provoca uma tenso de trao de um lado da viga

e uma tenso de compresso do outro lado.

Resis

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Deformao por flexo de um elemento reto

Resis

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Deformao por flexo de um elemento reto

A deformao longitudinal varia linearmente de zero no eixo

neutro a um valor mximo no ponto mais afastado deste.

A lei de Hookese aplica quando o material homogneo.

O eixo neutro passa pelo centroide da rea da seo transversal.

Resis

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Deformao por flexo de um elemento reto

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A frmula da flexo

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s= E . e

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A frmula da flexo

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I

= tenso normalM = momento interno

I = momento de inrcia

y = distncia perpendicular do eixo neutro

c=distncia perpendicular do eixo neutro a

um ponto mais afastado do eixo neutro

onde a tenso mxima

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Momento de Inrcia (I)

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Exerccio

1) Um elemento com as dimenses mostradas na fgura dever

ser usado para resistir a um momento fletor interno M=2kNm.

Determine a tenso mxima no elemento (13,9MPa)

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Exerccio

2) A pea de mrmore, que podemos considerar como um

material linear elstico frgil, tem peso especfico de 150lb/ft3

(2402,8 kg/m3) e espessura de 0,75in. Calcule a tenso de flexo

mxima na pea se ela estiver apoiada (a) em seu lado e (b) em

suas bordas. Se a tenso de ruptura for rup=200psi, explique as

consequncias de apoiar a pea em cada uma das posies.

ResistnciadosMateriais

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1 ft (p) = 0,3048 m

1 in (polegada) = 0,0254 m

1,00 lb (libra) = 0,4536 kg1 psi = 6894,757 Pa

SI: m, kg, N, Pa

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Exerccio

3) A viga simplesmente apoiada tem a rea de seo transversal

mostrada na figura abaixo. Determine a tenso de exo

mxima absoluta na viga e represente a distribuio de tenso

na seo transversal nessa localizao.

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Exerccio

3) A viga simplesmente apoiada tem a rea de seo transversal

mostrada na figura abaixo. Determine a tenso de exo

mxima absoluta na viga e represente a distribuio de tenso

na seo transversal nessa localizao.

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Flexo AssimtricaQuando flexo ocorre em

torno de um eixo arbitrrio,que no os eixos de inrciaprincipais ao longo do eixode simetria da seo;

Obtemos as componentesdo momento, a tenso serdada pela superposio das

tenses das componentes;Pela regra da mo direita;

Notando que o eixo neutro(N) tem Inclinao ,e o Mtem inclinao ;

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Vigas Compostas

Vigas com dois materiais so comumente chamadas

de vigas compostas e so projetadas de forma a

desenvolver maneiras mais eficientes para resistir s

cargas aplicadas.

Como a frmula da flexo em vigas foi desenvolvidapara o caso de materiais homogneos, esta frmula

no pode ser aplicada diretamente para determinar as

tenses de flexo em vigas compostas por diferentes

materiais. Para estudar estes casos de viga, considereuma viga composta de dois diferentes materiais. R

esistnciadosMateriais

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Vigas Compostas

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Vigas Compostas

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39 = Integral da rigidez equivalente

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Vigas Compostas

Exemplo: A viga composta abaixo sujeita um

momento fletor de M = 2 kN.m. Determine pelo

mtodo da rigidez equivalente as tenses nos pontos

B e C se Eao = 200 GPa e Emad = 12 GPa.

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Vigas Compostas

Exemplo: A viga composta abaixo sujeita um

momento fletor de M = 2 kN.m. Determine pelo

mtodo da rigidez equivalente as tenses nos pontos

B e C se Eao = 200 GPa e Emad = 12 GPa.

ResistnciadosMateriais

41

c - Determinar as tenses:

Ponto C:

12

33

caoC10.87,1

)38,36(10.2000.10.200y

EI

ME

C= 7,78 N/mm2= 7,78 Mpa

Ponto B:

12

33

BmadB10.87,1

)38,3620150(10.2000.10.12y

EI

ME

B= -1,71 Mpa

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Vigas de concreto armado

Todas as vigas submetidas a flexo pura devem resistir

aos esforos de trao e compresso. O concreto,

entretanto muito suscetvel a fraturas quando est

sob tenso e, portanto, por si s no seria adequado

para resistir a um momento fletor. A fim de contornaressa deficincia, os engenheiros colocam barras de

ao, conforme abaixo:

ResistnciadosMateriais

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Em uma viga macia curva, de raio menor que 5 vezes

a largura, a deformao normal no varia linearmente

com a largura.

Como consequncia o eixo neutro no passa pelo

centroide.

Vigas Curvas

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(Tenso e deformao

normal sero hiperblicos)

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A localizao R do eixo neutro dada por:

Existem valores tabelados para algumas geometrias:

Vigas Curvas

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Observando um elemento no segmento superior,

Vemos que este est sujeito um tenso circunferencial

equilibrada por componente tenso radial r (r

desprezvel).

A tenso normal circunferencial ento expressada por

uma das duas frmulas hiperblicas abaixo:

Vigas Curvas

ResistnciadosMateriais

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A tenso normal circunferencial ento expressada por

uma das duas frmulas hiperblicas abaixo:

Vigas Curvas

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Transformaes bruscas na seo transversal de uma viga,

fazem com que as tenses no sejam uniformemente

distribudas, conforme tem-se considerado at este ponto

da matria. Como consequncia, tem-se pontos da viga

com tenses muito superiores s tenses mdias, a isto dado o nome de concentraes de tenses:

Concentraes de Tenso

Resi

stnciadosMateriais

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Exemplos de descontinuidades na seo de uma vigaque causa concentraes de tenses:

Concentraes de Tenso

ResistnciadosMateriais

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A tenso mxima pode ser determinada utilizando-se

um fator k tabelado:

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Concentraes de Tenso: Fator K

ResistnciadosMateriais

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Concentraes de Tenso

ResistnciadosMateriais

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A tenso normal de flexo admissvel para a barra, mostradaabaixo, 175 MPa. Determinar o momento mximo M quepode ser aplicado.

1. Determinar K2. Determinar c, (direto c = 10/2 = 5mm)

3. Calcular I = bh3/12

4. M=s*I / (K.c)

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Concentraes de Tenso

ResistnciadosMateriais

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A tenso normal de flexo admissvel para a barra, mostrada abaixo, 175 MPa. Determinar o

momento mximo M que pode ser aplicado.

K

r/h = 1,5/10=0,15

w/h = 30/10 = 3

I = b.h3/12I = 0,005*0,0103/12

I= 4,1667x10-10m4

M=s*I / (K.c)M = 175*106*4,1667x10-10 / (1,6*0,005)

K =1,6