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7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento
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Resistncia dos Materiais
Aplicada a SaneamentoWildemberg Raiol de Assuno
2013Belm - PA
INSTITUTO FEDERAL DEEDUCAO,CINCIA E TECNOLOGIAPARCampus Belm
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O GRANDEO SUL
NSTITUTO
EDERAL
Presidncia da Repblica Federativa do Brasil
Ministrio da Educao
Secretaria de Educao Profissional e Tecnolgica
Equipe de Elaborao
Instituto Federal de Educao, Cincia e
Tecnologia do Par IFPA-Belm
Reitor
Edson Ary de O. Fontes/IFPA-Belm
Direo Geral
Darlindo Maria Pereira Veloso Filho/IFPA-Belm
Coordenao Institucional
Erick Alexandre de Oliveira Fontes/IFPA-Belm
Coordenao de Curso
Wuyllen Soares Pinheiro/IFPA-Belm
Professor-autor
Wildemberg Raiol de Assuno/IFPA-Belm
Equipe Tcnica
Carlos Lemos Barboza/IFPA-Belm
Fabiano Darlindo Veloso/IFPA-Belm
Gisely Regina Lima Rebelo/IFPA-Belm
Oscar Jesus Choque Fernandez/IFPA-Belm
Equipe de Acompanhamento e Validao
Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria CTISM
Coordenao Institucional
Paulo Roberto Colusso/CTISM
Coordenao Tcnica
Iza Neuza Teixeira Bohrer/CTISM
Coordenao de DesignErika Goellner/CTISM
Reviso Pedaggica
Andressa Rosemrie de Menezes Costa/CTISM
Francine Netto Martins Tadielo/CTISM
Marcia Migliore Freo/CTISM
Reviso Textual
Eduardo Lehnhart Vargas/CTISM
Lourdes Maria Grotto de Moura/CTISM
Vera da Silva Oliveira/CTISM
Reviso Tcnica
Marcos Vaghetti/CT - UFSM
IlustraoGabriel La Rocca Cser/CTISM
Marcel Santos Jacques/CTISM
Rafael Cavalli Viapiana/CTISM
Ricardo Antunes Machado/CTISM
Diagramao
Cssio Fernandes Lemos/CTISM
Leandro Felipe Aguilar Freitas/CTISM
Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia do ParEste caderno foi elaborado em parceria entre o Instituto Federal de Educao,
Cincia e Tecnologia do Par Campus Belm e a Universidade Federal de Santa
Maria para a Rede e-Tec Brasil.
A851r Assuno, Wildemberg Raiol de Resistncia dos materiais /Wildemberg Raiol de Assuno. Belm, PA : IFPA-Belm ;
Santa Maria : UFSM, Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria ;Rede e-Tec Brasil, 2013.
71 p. : il. ; 28 cm
1. Engenharia mecnica 2. Engenharia dos materiais 3.Resistncia dos materiais 4. Saneamento I. Ttulo.
CDU 620.1
Ficha catalogrfica elaborada por Maristela Eckhardt CRB 10/737Biblioteca Central da UFSM
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e-Tec Brasil3
Apresentao e-Tec Brasil
Prezado estudante,
Bem-vindo ao e-Tec Brasil!
Voc faz parte de uma rede nacional pblica de ensino, a Escola Tcnica
Aberta do Brasil, instituda pelo Decreto n 6.301, de 12 de dezembro de
2007, com o objetivo de democratizar o acesso ao ensino tcnico pblico,
na modalidade a distncia. O programa resultado de uma parceria do
Ministrio da Educao, por meio das Secretarias de Educao a Distncia
(SEED) e de Educao Profissional e Tecnolgica (SETEC), as universidades e
escolas tcnicas estaduais e federais.
A educao a distncia no nosso pas, de dimenses continentais e grande
diversidade regional e cultural, longe de distanciar, aproxima as pessoas ao
garantir acesso educao de qualidade e ao promover o fortalecimento
da formao de jovens moradores de regies distantes dos grandes centros
geogrfica e ou economicamente.
O e-Tec Brasil leva os cursos tcnicos a locais distantes das instituies de ensino
e para a periferia das grandes cidades, incentivando os jovens a concluir o
ensino mdio. Os cursos so ofertados pelas instituies pblicas de ensino,
e o atendimento ao estudante realizado em escolas-polo integrantes das
redes pblicas municipais e estaduais.
O Ministrio da Educao, as instituies pblicas de ensino tcnico, seus
servidores tcnicos e professores acreditam que uma educao profissional
qualificada integradora do ensino mdio e da educao tcnica, capaz
de promover o cidado com capacidades para produzir, mas tambm com
autonomia diante das diferentes dimenses da realidade: cultural, social,
familiar, esportiva, poltica e tica.
Ns acreditamos em voc!
Desejamos sucesso na sua formao profissional!Ministrio da Educao
Janeiro de 2010
Nosso contato
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Indicao de cones
Os cones so elementos grficos utilizados para ampliar as formas de
linguagem e facilitar a organizao e a leitura hipertextual.
Ateno:indica pontos de maior relevncia no texto.
Saiba mais: oferece novas informaes que enriquecem o
assunto ou curiosidades e notcias recentes relacionadas ao
tema estudado.
Glossrio: indica a definio de um termo, palavra ou expresso
utilizada no texto.
Mdias integradas: sempre que se desejar que os estudantes
desenvolvam atividades empregando diferentes mdias: vdeos,
filmes, jornais, ambiente AVEA e outras.
Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em diferentes
nveis de aprendizagem para que o estudante possa realiz-las e
conferir o seu domnio do tema estudado.
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Tecnologia da Informticae-Tec Brasil 6
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Sumrio
Palavra do professor-autor 9
Apresentao da disciplina 11
Projeto instrucional 13
Aula 1 Consideraes gerais 151.1 Conceito 15
1.2 Objeto de estudo 16
1.3 Sistemas de unidades 17
1.4 Correlao entre as vrias cincias 18
1.5 Esttica tcnica 18
1.6 Conceitos diversos 19
1.7 Leis de Newton 19
1.8 Estudo de foras coplanares 20
1.9 Momento 21
1.10 Princpios fundamentais 22
1.11 Equilbrio de foras 25
Aula 2 Equilbrio de corpos rgidos 352.1 Equilbrio de um corpo rgido 35
2.2 Objetivos da resistncia dos materiais 36
2.3 Definies bsicas 37
2.4 Esforos externos ativos 37
2.5 Tipos de apoios ou vnculos 38
2.6 Aes 39
2.7 Reaes de apoio 41
Aula 3 Trao e compresso 473.1 Materiais slidos x solicitaes 47
3.2 Solicitao 47
3.3 Tenso 47
3.4 Trelias isostticas 49
3.5 Estudo de trao no ao 54
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Referncias 70
Currculo do professor-autor 71
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Palavra do professor-autor
Ol!
Para poder transformar a natureza, o homem precisa de ferramentas e tecnolo-
gias. Para criar tecnologia, precisa de teorias que correspondam sistematizao
de conhecimentos e descoberta de leis naturais que orientam seu trabalho.
Depois de criar uma srie de teorias, algumas das quais superam e substituem
outras, o homem procura sistematiz-las dando-lhe nomes, delimitando suas
validades e estabelecendo um grau de hierarquia entre elas.
Do estudo das estruturas (casas, pontes, veculos, etc.) surge a resistnciados materiais.
Professor Wildemberg Raiol de Assuno
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Apresentao da disciplina
Desde a antiguidade, quando o homem iniciou a arte e a cincia de construir,
h a necessidade de se obterem conhecimentos da resistncia dos materiais.
Foi observado que apenas com tais conhecimentos haveria a possibilidade
de gerar regras, padres e procedimentos para determinar quais dimenses
seriam seguras para atuar como elementos em dispositivos e estruturas.
As civilizaes mais antigas da humanidade j haviam se lanado no estudo
dos materiais. Os egpcios inegavelmente j possuam grandes conhecimentos
dessa rea, pois sem eles seria impossvel serem construdas as pirmides do
Egito. Logo frente, os gregos trariam mais um avano na construo, criandoe utilizando princpios de esttica, a qual corresponde a base da resistncia
dos materiais. Arquimedes (287-212 a.C.) deu uma enorme prova a respeito
de condies de equilbrio, ao utilizar uma alavanca, esboando mtodos de
verificao de centro de gravidade dos corpos. Aplicou tambm sua teoria na
construo de grandes dispositivos, tais como guinchos e guindastes.
O dimensionamento de peas, que o maior objetivo de resistncia dos mate-
riais, se resume em analisar as foras atuantes na pea, para que a sua inrcia
continue existindo e para que ela suporte os esforos empregados. Para isso
preciso conhecer o limite do material. Isso pode ser obtido atravs de ensaios
que, basicamente, submetem a pea ao esforo que ela dever sofrer onde ser
empregada, a condies padro, para que se possa analisar o seu comporta-
mento. Esses dados so demonstrados em grficos de tenso x deformao. A
tenso em que nos baseamos o limite entre o regime elstico e o plstico. Mas
para fins de segurana utilizado um c.s. (coeficiente de segurana) que faz
com que dimensionemos a pea para suportar uma tenso maior que a tenso
limite mencionada. Tudo isso necessrio para que se obtenha total certeza
nos resultados, j que pequenos erros podem acarretar grandes problemas
mais adiante, isso se agrava mais ainda se estivermos falando de pessoas quepodem ter suas vidas colocadas em perigo por um clculo mal feito. A cincia
de resistncia dos materiais tambm muito importante para que no se tenha
prejuzos, gastando mais material do que o necessrio e acarretando tambm
outro problema que o excesso de peso.
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Palavra do professor-autor
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Disciplina: Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamento (carga horria: 60h).
Ementa: Esttica tcnica. Estudo de foras coplanares. Equilbrio de foras.
Equilbrio de corpos apoiados. Equilbrio de corpos suspensos. Trao e com-
presso. Tenso normal. Lei de Hooke. Estudo de trelias isostticas. Estudo
de trao no ao. Diagrama: tenso x deformao. Tipos de carregamento.
Vigas isostticas. Diagrama de esforo cortante e momento fletor. Tenso na
flexo. Cisalhamento na flexo.
AULA OBJETIVOS DEAPRENDIZAGEM MATERIAISCARGA
HORRIA(horas)
1. Consideraesgerais
Compreender a resistncia dos materiais.Identificar os principais conceitos
referentes resistncia dos materiais,desde a esttica tcnica e estudo de
foras coplanares.
Analisar o estudo do equilbrio de foras.
Ambiente virtual:
plataforma Moodle.
Apostila didtica.Recursos de apoio: links,
exerccios.
20
2. Equilbrio de
corpos rgidos
Compreender as estruturas do dia adia, da natureza, de concreto simples,
armado e outros.
Identificar os corpos rgidos.
Analisar o equilbrio de corpos apoiados,equilbrio de corpos suspensos eo equilbrio de corpos apoiados e
suspensos.
Ambiente virtual:
plataforma Moodle.Apostila didtica.
Recursos de apoio: links,exerccios.
20
3. Trao e
compresso
Compreender o comportamento
de materiais slidos submetidos asolicitaes mecnicas de trao e
compresso.Identificar as formas de combate s
solicitaes em peas estruturais atravs
da tenso normal, Lei de Hooke, estudode trelias isostticas.
Analisar o estudo de trao no ao,
diagrama: tenso x deformao, tipos de
carregamento, vigas isostticas, diagramade esforo cortante e momento fletor,tenso na flexo, cisalhamento na flexo.
Ambiente virtual:
plataforma Moodle.
Apostila didtica.Recursos de apoio: links,
exerccios.
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Projeto instrucional
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Aula 1 Consideraes gerais
Objetivos
Compreender a resistncia dos materiais.
Identificar os principais conceitos referentes resistncia dos mate-
riais, desde a esttica tcnica e estudo de foras coplanares.
Analisar o estudo do equilbriode foras.
1.1 ConceitoA resistncia dos materiais um ramo da mecnica que estuda as relaes
entre cargas externas aplicadas a um corpo deformvel e a intensidade das
foras internas que atuam dentro do corpo com abrangncia no clculo da
deformaodo corpo e no estudo da estabilidadedo corpo quando ele
est submetido a foras externas.
Exemplo
Vamos supor que se pretenda assentar uma pea de grande peso sobre uma
estruturade suporte (prancha) que, por sua vez, se assente sobre dois apoios,
A e B (Figura 1.1).
Figura 1.1: Estrutura biapoiadaFonte: Hibbeler, 2000
equilbrio
Estado ou condio de umsistema sob ao de duas oumais foras que se anulamentre si, o que resulta em suaestabilidade, se no houver aode novas foras; estabilidadede um corpo em sua posturanormal; iIgualdade entreduas ou mais foras opostas;equiparao; proporcionalidade.
deformaoAo ou resultado dedeformar-se, de mudar deforma; perda da forma original;
alterao.estabilidadeFirmeza, equilbrio, solidez,segurana; propriedade pela qualum sistema (mecnico, eltrico,aerodinmico) retorna ao estadode equilbrio depois de sofreralguma perturbao.
estruturaModo como se dispem ouarticulam as partes que formamum todo, seja concreto, sejaabstrato; a parte que constituio elemento de sustentao de
um todo e de sua resistnciaa cargas, presses, etc.; obraconstruda pela juno ouarticulao de partes; o conjuntode elementos bsicos que dosustentao a uma obra.
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A estrutura receber essa carga e sofrer com isso uma srie de esforos,
deformando-se. A resistncia dos materiais determinar tais esforos e a lei
da deformao dessa viga. Conhecendo o material com que se construiu a
estrutura-suporte, saberemos:
Se com o material usado no suporte e em face de suas dimenses, exem-
plo espessura, a estrutura ou resiste solicitao ou se rompe.
As deformaes que ocorrero.
1.2 Objeto de estudoA resistncia dos materiais procura estudar:
Estruturas que possam ser associadas a barras de eixo retilneo.
Estruturas que obedeam a uma lei, segundo a qual: se uma barra for
submetida a uma carga q ela se deformar x e se a carga for 2q
a deformao dever ser 2x. A importncia dessa lei, chamada Lei de
Hooke, ser demonstrada neste curso.
1.2.1 Situaes de pequenas deformaes
A resistncia dos materiais aqui estudada fornecer os fundamentos para a
compreenso e o estudo das seguintes estruturas:
Do dia a dia.
Da natureza.
De pedra, de taipa e de alvenaria.
De ao, de alumnio, etc.
De concreto simples e armado.
De equipamentos.
De outras.
esforoAplicao, mobilizao de fora
(fsica ou mental, ou moral),energia, empenho, pertincia,
etc., para realizar ou alcanarum objetivo.
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1.3 Sistemas de unidades
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1.4 Correlao entre as vrias cincias
Figura 1.2: Correlao entre as vrias cinciasFonte: CTISM, adapatado de autor
1.5 Esttica tcnicaO estudo da estticacompreende a ao de foras exteriores sobre um corpo
rgido, em posio de repouso.
As foras grupam-se em sistemas que recebem denominaes segundo a
posio relativa que guardam entre si.
Temos assim sistemas de foras concorrentes, paralelas e quaisquer direes.
Qualquer desses sistemas pode ser coplanar ou espacial.
Todo sistema pode ser substitudo pela ao de duas foras que, em relao
a um ponto qualquer, venham produzir o mesmo efeito que o sistema dado.
Esses efeitos so a resultante e o momento resultante.
rgidoQue resistente a presso,
flexo, toro; concebido e/oufeito com exatido e rigor; que
no flexvel, malevel, que exato.
A finalidade da esttica, comoj foi dito em outras palavras,
estudar os sistemas emequilbrio, isto , onde so nulosos movimentos de translao e
rotao.
A esttica trata do clculo dasforas externas que atuam em
corpos rgidos em equilbrio.A determinao das tenses edeformaes internas envolve
uma anlise das caractersticasdo material em questo. Essa
anlise feita no contextoda mecnica dos corpos
deformveis que deve seguiro estudo da esttica.
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A resultante a soma vetorialdas projees das foras do sistema, portanto,
capaz de produzir translao segundo a direo do seu suporte.
O momento a soma vetorial dos momentos das foras do sistema, portanto,
capaz de produzir rotao.
1.6 Conceitos diversos1.6.1 Mecnica o ramo das cincias fsicas associadas com o estado de repouso ou de
movimento de corpos submetidos ao de foras.
1.6.2 Massa a medida da inrcia de um corpo que, por sua vez, sua resistncia
mudana de velocidade. Massa tambm pode ser entendida como a quantidadede matria em um corpo. De maior importncia em esttica, massa tambm
uma propriedade de todos os corpos. Atravs dela eles experimentam atrao
mtua com outros corpos.
1.6.3 Fora uma consequncia da ao de um corpo sobre outro. Uma fora tende a
mover o corpo no qual ela est aplicada, na direo de sua linha de ao. A
ao de uma fora caracterizada por sua intensidade ou mdulo, sua direo
e por seu ponto de aplicao. Fora uma quantidade vetorial.
1.6.4 Corpo rgidoUm corpo considerado rgido, quando um movimento relativo entre suas
partes desprezvel. Por exemplo, o clculo das tenses em um cabo que
suporta a lana de um guindaste mvel submetida a um carregamento
no substancialmente afetado pelas pequenas deformaes que ocorrem
nos elementos estruturais da lana. Dessa forma, para a determinao das
foras externas que atuam na lana, considera-se, para todos os propsitos,
a lana um corpo rgido.
1.7 Leis de NewtonIsaac Newton foi o primeiro a estabelecer corretamente as leis bsicas que
governam o movimento de uma partcula, assim como a demonstrar sua
validade (Quadro 1.1). Adaptadas terminologia moderna, essas leis podem
ser enunciadas da seguinte forma:
lana de um guindasteA parte mais identificvel dequalquer guindaste a lana.Trata-se do brao de ao noguindaste que suporta a carga.Saindo de trs da cabine de
comando do operador, ela apea essencial de um guindaste,permitindo que a mquina elevecargas a grandes alturas.
vetorialSegmento de reta com mdulo,direo e sentido, que serelaciona aos vetores, diz-se,
tambm, da anlise que estudaas noes relativas aos camposde vetores (clculo vetorial),diz-se da funo que assumevalores em um espao vetorial;diz-se da grandeza fsica cujadefinio exige valor numrico,direo e sentido, diz-se doprocessador arritmtico dealto desempenho usado paraclculo vetorial.
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Primeira lei uma partcula permanece em repouso, ou continua a mover-se
em linha reta com uma velocidade constante, se no existir nenhuma fora
agindo sobre ela.
Segunda lei a acelerao de uma partcula proporcional fora resultanteque age sobre ela e possui a mesma direo.
Terceira lei as foras de ao e reao entre dois corpos que interagem
entre si so iguais em intensidade, colineares e de sentidos opostos.
Unidade a mecnica lida com quatro grandezas fundamentais: comprimento,
massa, fora e tempo.
Quadro 1.1: Grandeza, unidade e smbolo
Grandeza Smbolo dimensional Unidade Smbolo
Massa M quilograma kg
Comprimento L metro m
Tempo T segundo s
Fora F newton N
Fonte: autor
1.8 Estudo de foras coplanaresFora a ao exercida por um corpo sobre outro. Os efeitos de uma fora
sobre um corpo so:
a) Movimento ou alterao de movimento do corpo.
b) Deformao do corpo.
Uma fora representada por um vetor (Figura 1.3).
Figura 1.3: Representao de uma fora por vetorFonte: autor
Assista a vdeo aula Fsica Leis de Newton, que traz numa
abordagem em forma de aulasuma explicao das trs leis de
Newton. Acesse:http://www.youtube.com/watch?v=v1EVhAp49vI&feature=
related
Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 20
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As caractersticas de uma fora so:
a) Direo posio da linha de ao.
b) Intensidade o valor da fora. Exemplo: 3 kN, 800 N, 1250 kgf.
c) Sentido de A para B, indicado pela seta (Figura 1.3).
d) Ponto de aplicao local onde a fora atua.
1.9 MomentoO momento a intensidade de uma fora pela distncia do ponto linha de
ao da mesma.
O ponto O chamado centro de momento, e o eixo Y, em torno do qual o
momento atua, perpendicular ao plano (Figura 1.4).
Figura 1.4: MomentoFonte: autor
A representao do momento feita por uma flecha dupla, ou por uma flecha
circular orientada (Figura 1.5).
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Figura 1.5: Representao de um momentoFonte: autor
1.10 Princpios fundamentais
1.10.1 Princpio de igualdade da ao e da reaoA toda ao corresponde uma reao igual e contrria, 3 Lei de Newton
(Figura 1.6), Isaac Newton, 1687.
Figura 1.6: Ao e reaoFonte: autor
1.10.2 Princpio de StevinQuando duas foras atuam sobre um mesmo ponto, seus efeitos so os
mesmos como se atuasse uma fora nica, de intensidade, direo e sentido
definidos pela diagonal do paralelogramo construdo sobre as duas foras
(Figura 1.7). Lei de Stevin, Simon Stevin, final do sculo XVI.
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Figura 1.7: Princpio de StevinFonte: autor
O princpio de Stevin pode ser estendido a um nmero maior de foras (Figura 1.8).
Figura 1.8: Princpio de Stevin com maior nmero de forasFonte: autor
1.10.3 Teorema de VarignonEm um sistema de foras concorrentes em um ponto O, o momento resultante
dessas foras em relao a um ponto O, igual ao momento da resultante
do sistema (Figura 1.9). Tese de Varignon, Pierre Varignon, 1687.
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Figura 1.9: Teorema de VarignonFonte: autor
1.10.4 Conjugado binrio
O momento produzido por duas foras iguais, opostas e paralelas conhecidocomo conjugado ou binrio (Figura 1.10).
Figura 1.10: Conjugado binrioFonte: autor
O vetor momento perpendicular ao plano que contm as duas foras
(Figura 1.11).
Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 24
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Figura 1.11: Vetor momentoFonte: autor
1.11 Equilbrio de foras1.11.1 Sistemas planos de foras concorrentes1.11.1.1 Decomposio
A decomposio de uma fora ocorre em dois eixos ortogonais (Figura 1.12).
Figura 1.12: DecomposioFonte: autor
Para um sistema plano de foras concorrentes, decompem-se cada fora e,
por somatria, obtm-se a resultante das projees em cada eixo (Figura 1.13).
e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 25
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Figura 1.13: Decomposio de um sistema de foras concorrentesFonte: autor
1.11.1.2 Reduo
Um sistema plano de foras concorrentes num ponto nico redutvel a uma
resultante, passando pelo ponto de concorrncia (Figura 1.14).
Figura 1.14: ResultanteFonte: autor
Para se obter o valor da resultante do sistema, decompem-se as foras dadas
segundo um sistema de eixos ortogonais X e Y, em seguida fazem-se.
Posio da resultante (Figura 1.15).
Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 26
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Figura 1.15: Posio da resultanteFonte: autor
1.11.1.3 Condies de equilbrio
1.11.2 Sistemas planos de foras concorrentes1.11.2.1 Reduo
Este sistema de foras reduz-se a uma fora resultante R e, a um momento
resultante em relao a um ponto arbitrrio O (MRO) (Figura 1.16).
Figura 1.16: Sistema de foras no concorrentesFonte: autor
Assista aos vdeosNovo Telecurso Ensino Mdio Fsica Aula 07 (1 de 2) eNovo Telecurso Ensino Mdio
Fsica Aula 07 (2 de 2), quetraz numa abordagem em formade aulas com uma explicaosimples sobre fora, momento eequilbrio de foras. Acesse:http://www.youtube.com/watch?v=xXEupGV0-NM&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=c-un8qvL9aI&feature=related
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1.11.2.2 Condies de equilbrio
As condies de equilbrio dos sistemas planos de foras no concorrentes
expressam-se por trs equaes (duas de projeo e uma de momento).
Ou ainda por trs equaes de momentos, em relao a trs pontos no
colineares.
1.11.3 Sistemas planos de foras paralelas
Figura 1.17: Sistema de foras paralelasFonte: autor
1.11.3.1 Reduo
Reduz-se a uma fora resultante R e a um momento resultante M em relao
a um ponto arbitrrio O.
Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 28
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Figura 1.18: Fora resultante R e momento resultante MFonte: autor
1.11.3.2 Posio da resultante
Figura 1.19: Posio da resultanteFonte: autor
e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 29
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1.11.3.3 Condies de equilbrio
Figura 1.20: Condies de equilbrioFonte: autor
As equaes de equilbrio desses sistemas de foras podem ser expressas por
duas equaes de momentos.
ResumoO dimensionamento de peas, objetivo de maior relevncia na resistncia dos
materiais, se resume em analisar as foras atuantes na pea, para que a sua
inrcia continue existindo e para que ela suporte os esforos empregados.
As foras agrupam-se em sistemas que recebem denominaes segundo a
posio relativa que guardam entre si. As condies de equilbrio dos sistemas
planos de foras no concorrentes expressam-se por trs equaes (duas de
projeo e uma de momento), Fix = 0, Fiy = 0 e Mo = 0 ou ainda por trs
equaes de momentos, em relao a trs pontos no colineares, Mo1= 0,
Mo2= 0 e Mo3= 0.
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Atividades de aprendizagem1. Determinar Rx e Ry, para o sistema de foras concorrentes que segue:
F1 = 15 kN F2 = 20 kN
Exerccio 1.1: Sistema de foras concorrentes
Fonte: autor
2. O corpo sobre o plano inclinado est sujeito fora vertical mostrada na
figura. Determine os componentes da fora ao longo dos eixos X e Y.
Exerccio 2.1: Plano inclinadoFonte: autor
3. A chapa quadrada mostrada composta de quadrados de 1 m de lado.Uma fora F = 10 kN est em um ponto A na direo mostrada. Calcular
o momento MB de F em torno do ponto B. Adotar = 45.
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Exerccio 3.1: Chapa quadradaFonte: autor
4. Para erguer o mastro a partir da posio mostrada, a trao T no cabo deve
fornecer um momento de 72 kN m, em torno do ponto O. Determinar T.
Exerccio 4.1: Trao T no cabo de foraFonte: autor
5. Calcule os valores de Va, Vb e Ha, para que os sistemas de foras da figura
abaixo estejam em equilbrio.
Exerccio 5.1: Sistema de forasFonte: autor
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6. A trao T no cabo vertical igual ao peso do caixote. Calcular os com-
ponentes Tt e Tn, nas direes da lana e normal a ela, respectivamente,
da fora T aplicada pelo prprio caixote lana em A.
Exerccio 6.1: Trao T no cabo vertical
Fonte: autor
7. Calcule os valores de Ra e Rb, para que o sistema de foras se mantenha
em equilbrio nas figuras Exerccio 7.1 e 7.2.
Exerccio 7.1: Sistemas de forasFonte: autor
Exerccio 7.2: Sistemas de forasFonte: autor
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e-Tec Brasil
Aula 2 Equilbrio de corpos rgidos
Objetivos
Compreender as estruturas do dia a dia, da natureza, de concreto
simples, armado e outras.
Identificar os corpos rgidos.
Analisar o equilbrio de corpos apoiados, equilbrio de corpos sus-
pensos e o equilbrio de corpos apoiados e suspensos.
2.1 Equilbrio de um corpo rgidoNa aula anterior foi referido que as foras exteriores atuantes num corpo
rgido podem ser reduzidas a um sistema equivalente fora/binrio. Quando
a fora e o binrio so nulos, o corpo rgido est em equilbrio. Dessa forma
as condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corpo rgido
estando ele apoiado ou suspenso sero:
Onde: F = soma de todas as foras que atuam sobre o corpo
M = soma dos momentos de todas as foras em relao a um ponto
qualquer
Estabelecendo-se um sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto
O, os vetores fora e momento podem ser decompostos em componentes
ao longo dos eixos de coordenadas, e as duas equaes anteriores podem
ser escritas em forma escalar.
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Sistema coplanar de foras:
Se o ponto O for a origem das coordenadas, ento os momentos sero sempre
direcionados ao longo do eixo de z, que perpendicular ao plano que contm
as foras conforme a Figura 2.1.
Figura 2.1: Equilbrio de um corpo deformvelFonte: Beer; Johnston, 1995
A resistncia dos materiais um ramo da mecnica que estuda as relaes
entre cargas externas aplicadas a um corpo deformvel e a intensidade das
foras internas que atuam dentro do corpo, com abrangncia no clculo da
deformao do corpo e no estudo da estabilidade do corpo, quando ele est
submetido a foras externas.
2.2 Objetivos da resistncia dos materiaisA Resistncia dos materiais tem como objetivos bsicos, determinar os esfor-os internos de um corpo slido submetido a ao dos esforos externos
conhecidos (Quadro 2.1), e consequentemente verificar a sua estabilidade e
dimension-los.
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Quadro 2.1: Esforos externos conhecidos
Tenses internas Produzidas pelos esforos externos. (ESTADO DE TENSO).
Deformaes no corpo slidoDevido ao deslocamento dos ns provocados pelas tenses. (ESTADO DE
DEFORMAO).
Dimensionamento
Escolher a forma do slido, com base nos esforos internos resistentes
e/ou nas deformaes ocorridas, para que no ultrapassem os limitesadmissveis.
EstabilidadePara garantir que os estados de tenso e deformao provocados pelosesforos internos resistentes no ultrapassem limites admissveis.
Fonte: autor
2.3 Definies bsicas
Quadro 2.2: Definies bsicas
Viga ou barra todo slido que apresenta uma das dimenses (comprimento), bem
maior que qualquer outra.Seo transversal a figura plana cujo movimento de translao origina uma barra.
Eixo longitudinal o lugar geomtrico (linha) dos baricentros de todas as seestransversais da barra.
Barra prismtica o slido gerado pelo movimento de translao de uma figura plana,em trajetria retilnea. Caracteriza-se pelo eixo longitudinal reto, e pelas
sees transversais iguais.
Estrutura o sistema, formado por uma ou mais barras interligadas entre si e seus
apoios, destinado a suportar esforos.
EsforosSo as cargas que atuam diretamente sobre as barras de uma estrutura.
Podem ser externos ou internos, ativos ou reativos.
Fonte: autor
2.4 Esforos externos ativosSo as cargas concentradas, distribudas e momentos que agem sobre as
barras (estrutura) mostradas na Figura 2.2.
Figura 2.2: Tipos de carregamentosFonte: autor
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2.5 Tipos de apoios ou vnculos2.5.1 Apoio simplesImpede o movimento de translao na direo perpendicular base do apoio.
Por isso s aparece uma reao (Figura 2.3). chamado, tambm, de rolete.
Figura 2.3: Apoio simplesFonte: autor
2.5.2 Apoio duploImpede o movimento de translao na direo perpendicular e na paralela
base do apoio. Podem aparecer, por isso, at duas reaes (Figura 2.4).
Figura 2.4: Apoio duploFonte: autor
2.5.3 EngasteImpede dois tipos de movimento, dois de translao e um de rotao. Com
isso podem aparecer at trs reaes (Figura 2.5).
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Figura 2.5: EngasteFonte: autor
2.6 AesAes toda influncia exercida sobre um corpo capaz de produzir um estado
de tenso ou modificar o estado j existente. Carregamento o conjunto
de aes que atuam simultaneamente para a determinao dos esforossolicitantes num sistema estrutural.
Os carregamentos podem ocorrer devido s:
Aes ativas foras ou momentos aplicados na estrutura.
Aes reativas foras ou momentos devidos s reaes de apoio.
2.6.1 ClassificaoAs aes so classificadas em:
Foras.
Momentos.
Estticas ao esttica na estrutura.
Dinmicas ao varivel na estrutura.
Diretas cargas permanentes, cargas variveis e cargas acidentais.
Indiretas deformaes impostas, retrao, fluncia, protenso, deslo-
camento dos apoios.
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2.7 Reaes de apoioAs reaes de apoio so responsveis pelo vnculoda estrutura ao solo ou a
outras partes da mesma, de modo a ficar assegurada sua imobilidade, apesar
dos pequenos deslocamentos devidos s deformaes.
Nos sistemas planos, existem trs tipos de movimentos. A Figura 2.9 mostra
os trs movimentos em relao ao plano XY: o de translao no eixo X, o de
translao no eixo Y e o de rotao no eixo Z.
Figura 2.9: Sistema de plano (x, y e z)Fonte: autor
2.7.1 VnculosOs vnculos podem ser classificados em funo do nmero de movimentos
que impedem. Portanto temos apoios com trs graus de liberdade: vnculo
simples, vnculo duplo e vnculo triplo.
2.7.1.1 Vnculo simples
Apoio mvel impede apenas um movimento, normalmente o de translao,
no eixo y (Figura 2.10).
vnculoAquilo que liga ou ata duas oumais coisas; lao; liame.
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Figura 2.10: Vnculo simplesFonte: autor
2.7.1.2 Vnculo duplo
Apoio fixo impede dois movimentos de translaes nos eixos x e y,permitindo apenas o de rotao em torno do eixo z (Figura 2.11).
Figura 2.11: Vnculo duploFonte: autor
2.7.1.3 Vnculo triplo
Engastamento impede os trs movimentos, os dois de translao nos eixos
x e y e o de rotao em torno do eixo z (Figura 2.12).
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Figura 2.12: Vnculo triploFonte: autor
2.7.2 Apoios e conexes
Apoios e conexes so elementos de uma estrutura onde as foras de superfciese desenvolvem.
A Figura 2.13 ilustra os tipos de apoios mais encontrados em problemas
bidimensionais.
Figura 2.13: Tipos de apoiosFonte: Beer; Johnston, 1995
2.7.2.1 Apoio do 1 gnero
o apoio que impede o movimento na pea em apenas uma direo (vertical),
movimento de translao (Figura 2.14).
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Figura 2.14: Smbolo do apoio do 1 gneroFonte: autor
2.7.2.2 Apoio do 2 gnero
Impede o movimento de translao da pea em duas direes (Figura 2.15).
Figura 2.15: Smbolo do apoio do 2 gneroFonte: autor
2.7.2.3 Apoio do 3 gnero ou engastamento
Impede trs movimentos: dois movimentos de translao (HA e VA) e um
movimento de rotao da pea (MA), conforme Figura 2.16.
Figura 2.16: Smbolo do apoio do 3 gneroFonte: autor
Resumo
As condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corpo rgido,estando ele apoiado ou suspenso sero: F = 0 (soma de todas as foras que
atuam sobre o corpo); M = 0 (soma dos momentos de todas as foras em
relao a um ponto qualquer). Os carregamentos podem ocorrer devido: s
aes ativas foras ou momentos aplicados na estrutura, s aes reativas
foras ou momentos devido s reaes de apoio. As reaes de apoio so
responsveis pelo vnculo da estrutura ao solo ou a outras partes da mesma, de
Assista ao vdeo Esforos emvigas, que traz uma explicao
simples sobre como calcularreaes provenientes de
carregamentos em vigas. Acesse:http://www.youtube.com/watch?v=jrivGRgW28Q&feature=r
elatede
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modo a ficar assegurada sua imobilidade, apesar dos pequenos deslocamentos
devidos s deformaes. Os vnculos podem ser classificados em funo do
nmero de movimentos que impedem. Portanto, temos apoios com trs graus
de liberdade: vnculo simples, vnculo duplo e vnculo triplo.
Atividades de aprendizagem1. Para as vigas simplesmente apoiadas representadas nas figuras a seguir,
determine as reaes RVA e RVB nos apoios, de modo a respeitar as con-
dies de equilbrio da esttica.
Exerccio 1.1: Viga simplesmente apoiada 1Fonte: autor
Exerccio 1.2: Viga simplesmente apoiada 2Fonte: autor
Exerccio 1.3: Viga simplesmente apoiada 3Fonte: autor
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Exerccio 1.4: Viga simplesmente apoiada 4Fonte: autor
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e-Tec Brasil
Aula 3 Trao e compresso
Objetivos
Compreender o comportamento de materiais slidos submetidos a
solicitaes mecnicas de trao e compresso.
Identificar as formas de combate s solicitaes em peas estruturais
atravs da tenso normal, Lei de Hooke, estudo de trelias isostticas.
Analisar o estudo de trao no ao, diagrama: tenso x deformao,
tipos de carregamento, vigas isostticas, diagrama de esforo cortan-te e momento fletor, tenso na flexo, cisalhamento na flexo.
3.1 Materiais slidos x solicitaesMateriais slidos tendem a deformar-se (ou eventualmente se romper) quando
submetidos a solicitaes mecnicas. A resistncia dos materiais um ramo da
engenharia que tem como objetivo o estudo do comportamento de elementos
construtivos sujeitos a esforos, de forma que eles possam ser adequadamente
dimensionados para suport-los nas condies previstas de utilizao.
3.2 SolicitaoSolicitao todo esforo ou conjunto de esforos exercidos pelas aes sobre
uma ou mais sees de um elemento da estrutura. As solicitaes provocam
na estrutura tenses que podem ser:
Tenses normais podendo ser de trao ou de compresso.
Tenses de cisalhamento.
3.3 Tenso a grandeza fsica definida pela relao entre a fora atuante em uma superfcie
e a rea dessa superfcie, ou seja, tenso igual fora dividida pela rea.
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3.3.1 Classificao3.3.1.1 Tenso normal
ocasionada pela ao da fora normal (N) que representa a soma algbrica
de todas as foras contidas no plano YX, portanto, perpendicular seo
transversal, produzindo no plano YZ tenses normais. Consideramos a fora
normal como trao (+) (Figura 3.1), se esta dirigida para fora do corpo ou
compresso (-) (Figura 3.2), se esta dirigida para dentro do corpo.
Figura 3.1: TraoFonte: autor
Trao caracteriza-se pela tendncia de alongamento do elemento na
direo da fora atuante.
Figura 3.2: CompressoFonte: autor
perpendicularQue forma um ngulo reto com
outra linha ou plano.
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Compresso a tendncia uma reduo do elemento na direo da
fora atuante.
3.3.1.2 Tenso de cisalhamento ou de corte
ocasionada pela ao da fora cortante (V) que representa a soma algbricade todas as foras contidas no plano YZ, perpendicular ao eixo da pea,
produzindo esforo que tende a deslizar uma seo em relao outra,
provocando tenses de cisalhamento (Figura 3.3).
Figura 3.3: Cisalhamento ou corteFonte: autor
3.4 Trelias isostticas3.4.1 DefinioTrelia toda estrutura constituda de barras ligadas entre si nas extremidades.
O ponto de encontro das barras chamado n da trelia. Os esforos externos
so aplicados unicamente nos ns. Denomina-se trelia plana, quando todas
as barras de uma trelia esto em um mesmo plano.
Figura 3.4: Desenho genrico de uma trelia planaFonte: Mesquita, 2009
e-Tec BrasilAula 3 - Trao e compresso 49
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Para se calcular uma trelia deve-se:
a) Determinar as reaes de apoio.
b) Determinar as foras nas barras.
A condio para que uma trelia de malhas triangulares seja isosttica :
Onde: b = nmero de barras
n = nmero de ns
v = nmero de reaes de apoio
Adotam-se como conveno de sinais:
Barras tracionadas positivo (+)
Figura 3.5: Barra tracionadaFonte: CTISM, adaptado do autor
Barras comprimidas negativo (-)
Figura 3.6: Barra comprimidaFonte: CTISM, adaptado do autor
Os esforos nas barras das trelias podem ser resolvidos por mtodos grficos
e analticos.
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Um dos vrios processos analticos usuais o mtodo do equilbrio dos ns,
exemplificado a seguir.
3.4.2 Mtodo do equilbrio dos nsInicialmente devem-se identificar os ns e verificar os tipos de reaes de apoio.
Figura 3.7: Trelia isostticaFonte: Trautwein, 2005
No caso da trelia da Figura 3.7, no n A tem-se um apoio mvel e no n E,
um apoio fixo.
Como os apoios mveis restringem somente deslocamentos, nos perpendi-
culares ao plano do apoio, tem-se uma reao vertical RA.
Como os apoios fixos restringem deslocamentos paralelos e perpendiculares
ao plano do apoio, tm-se uma reao vertical RE e uma reao horizontal HE.
Verificao se a trelia uma estrutura isosttica:
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a) Clculo do ngulo de inclinao das barras
b) Clculo das reaes de apoio
Equao de equilbrio das foras na horizontal:
Equao de equilbrio das foras na vertical:
Equao de equilbrio de momentos:
Como a estrutura est em equilbrio, a somatria dos momentos em relao
a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se, por exemplo, o
n A como referncia, tem-se:
Substituindo o valor de REna equao de equilbrio das foras na vertical,
tem-se:
c) Clculo das foras nas barras
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Iniciar a resoluo pelo n que tiver no mximo duas foras incgnitas. As
foras devem estar tracionando o n (seta que sai). Como no se sabe a priori
se as foras nas barras so de trao ou de compresso, considera-se que elas
sejam tracionadas. Se o valor determinado for negativo, significa que a barra
est comprimida, portanto o sentido da seta deve ser mudado.
Figura 3.8: N AFonte: autor
Figura 3.9: N BFonte: autor
Figura 3.10: N CFonte: autor
Figura 3.11: N DFonte: autor
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Figura 3.12: N EFonte: autor
Figura 3.13: N F VerificaoFonte: autor
Como a trelia simtrica, com carregamentos simtricos, os resultados das
foras que agem nos ns D e E so iguais aos dos ns B e A, respectivamente.
Portanto, no h necessidade de se calcularem as foras nos ns D e E.
Quadro 3.1: Resultados da Figura 3.7
NAB= -100 kN Compresso
NAF= 0 kN
NBC= -50 kN Compresso
NBF= +70,7 kN Trao
NCF= -100 kN Compresso
NCD= -50 kN Compresso
NDF= +70,7 kN Trao
NDE= -100 kN Compresso
NFE= 0 kN
Fonte: Trautwein, 2005
3.5 Estudo de trao no ao3.5.1 Tenses e deformaesOs conceitos de tensoe deformaopodem ser ilustrados, de modo ele-
mentar, considerando-se o alongamento de uma barra prismtica (barra de
eixo reto e de seo constante em todo o comprimento) conforme Figura 3.14.
Considera-se uma barra prismtica carregada nas extremidades por foras axiais
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P (foras que atuam no eixo da barra) que produzem alongamento uniforme
ou trao na barra. Sob ao dessas foras originam-se esforos internos no
interior da barra. Para o estudo desses esforos internos, considere-se um corte
imaginrio na seo m-m, normal a seu eixo. Removendo-se, por exemplo,
a parte direita do corpo, os esforos internos na seo considerada (m-m)transformam-se em esforos externos. Supe-se que estes esforos estejam
distribudos uniformemente sobre toda a seo transversal.
Figura 3.14: Esforos em uma seo transversalFonte: Beer; Johnston,1995
Para que no se altere o equilbrio, esses esforos devem ser equivalentes
resultante tambm axial de intensidade P. Quando essas foras so distribudas
perpendicular e uniformemente sobre toda a seo transversal, recebem o
nome de tenso normal, sendo comumente designada pela letra grega
(sigma). Pode-se ver facilmente que a tenso normal, em qualquer parte da
seo transversal obtida dividindo-se o valor da fora P pela rea da seo
transversal, ou seja:
A tenso tem a mesma unidade de presso, que, no Sistema Internacional
de Unidades o Pascal (Pa) correspondente carga de 1 N atuando sobre
uma superfcie de 1 m, ou seja, Pa = N/m. Como a unidade Pascal muito
pequena, costuma-se utilizar com frequncia seus mltiplos: MPa = N/mm =(Pa 106), GPa = kN/mm = (Pa 109), etc. Em outros sistemas de unidades, a
tenso ainda pode ser expressa em quilograma fora por centmetro quadrado
(kgf/cm), libra por polegada quadrada (lb/in ou psi), etc. Quando a barra
alongada pela fora P, como indica a Figura 3.14, a tenso resultante uma
tenso de trao; se as foras tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra,
tem-se tenso de compresso.
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A condio necessria para validar a Equao 3.3 que a tenso seja
uniforme em toda a seo transversal da barra. O alongamento total de uma
barra submetida a uma fora axial designado pela letra grega (delta). O
alongamento por unidade de comprimento denominado deformao espe-
cfica, representado pela letra grega (psilon) dado pela Equao 3.4:
Onde: = deformao especfica
= alongamento ou encurtamento
L = comprimento total da barra
3.5.2 Diagrama tenso-deformao
As relaes entre tenses e deformaes para um determinado material soencontradas por meio de ensaios de trao. Nesses ensaios so medidos os
alongamentos , correspondentes aos acrscimos de carga axial P, que se
aplicam barra, at a ruptura do corpo-de-prova.
Obtm-se as tenses dividindo as foras pela rea da seo transversal do
escoamento e do material da barra e as deformaes especficas, dividindo o
alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformao medida.
Desse modo obtm-se um diagrama tenso-deformao do material em estudo.
Na Figura 3.15 ilustra-se um diagrama tenso-deformao tpico do ao.
Figura 3.15: Diagrama tenso-deformaoFonte: Nash,1990
Onde: r= tenso de ruptura
e= tenso de escoamento
p= tenso limite de proporcionalidade
Nota-se que a deformao uma quantidade adimensional.
de uso corrente no meiotcnico representar a
deformao por uma fraopercentual (%) multiplicando-se
o valor da deformao especficapor 102ou mesmo at
multiplicando-se por 103.
Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 56
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Regio elstica de 0 at A as tenses so diretamente proporcionais s
deformaes; o material obedece Lei de Hooke e o diagrama linear. O
ponto A chamado limite de proporcionalidade, pois a partir desse ponto
deixa de existir a proporcionalidade. Da em diante inicia-se uma curva que
se afasta da reta A, at que em B comea o chamado escoamento.
O escoamento caracteriza-se por um aumento considervel da deformao com
pequeno aumento da fora de trao. No ponto A inicia-se a regio plstica.
O ponto C o final do escoamento. O material comea a oferecer resistncia
adicional ao aumento de carga, atingindo o valor mximo ou tenso mxima
no ponto D denominado limite mximo de resistncia. Alm desse ponto,
maiores deformaes so acompanhadas por redues da carga, ocorrendo,
finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama.
A presena de um ponto de escoamento pronunciado seguido de grande
deformao plstica uma caracterstica do ao, que o mais comum dos
metais estruturais em uso atualmente. Tanto os aos quanto as ligas de alumnio
podem sofrer grandes deformaes antes da ruptura.
Materiais que apresentam grandes deformaes antes da ruptura so classi-
ficados de materiais dcteis. Outros materiais como o cobre, bronze, lato,
nquel, etc., tambm possuem comportamento dctil. Por outro lado, os
materiais frgeis ou quebradios so aqueles que se deformam pouco antes de
se romperem como, por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana,
cermica, gesso, entre outros.
3.5.3 Tenso admissvelPara certificar-se de que a estrutura projetada no corra risco de runa, levando
em conta algumas sobrecargas extras, bem como certas imprecises na constru-
o e possveis desconhecimentos de algumas variveis na anlise da estrutura,
normalmente se emprega um coeficiente de segurana (f), majorando-se
a carga calculada. Outra forma de aplicao do coeficiente de segurana utilizar uma tenso admissvel (ou adm), reduzindo a tenso calculada
(calc), dividindo-a por um coeficiente de segurana. A tenso admissvel
normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na
regio de deformao elstica do material.
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3.5.4 Lei de HookeOs diagramas tenso-deformao ilustram o comportamento de vrios mate-
riais, quando carregados por trao. Quando um corpo-de-prova do material
descarregado, isto , quando a carga gradualmente diminuda at zero, a
deformao sofrida durante o carregamento desaparecer parcial ou comple-tamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar forma
original denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente
forma original, diz-se que o material perfeitamente elstico; mas se o
retorno no for total, o material parcialmente elstico. Neste ltimo caso,
a deformao que permanece depois da retirada da carga denominada
deformao permanente.
A relao linear da funo tenso-deformao (Figura 3.16) foi apresentada
por Robert Hooke em 1678 e conhecida por Lei de Hooke, definida como:
Figura 3.16: Diagrama tenso-deformaoFonte: Nash,1990
Onde: = tenso normal (kgf/cm ou Mpa), T (trao) ou C (compresso)
= deformao unitria (admensional)
E = mdulo de elasticidade do material ou mdulo de young (kgf/cm
ou MPa)
Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 58
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O mdulo de elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do
diagrama tenso-deformao e diferente para cada material.
A Lei de Hooke vlida para a fase elstica dos materiais. Por esse motivo,
quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitaes sobre o material, valea superposio de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitao
sobre o material e depois som-los. Alguns valores de E so mostrados na
Tabela 3.1. Para a maioria dos materiais, o valor do mdulo de elasticidade
sob compresso ou sob trao so iguais.
Tabela 3.1: Propriedades mecnicas tpicas de alguns materiais
Material Peso especfico (kN/m) Mdulo de elasticidade (GPa)
Ao 78,5 200 a 210
Alumnio 26,9 70 a 80Bronze 83,2 98
Cobre 88,8 120
Ferro fundido 77,7 100
Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12
Concreto simples 24,0 25,5
Fonte: autor
Quando a barra carregada por trao simples, a tenso axial = P/A e a
deformao especfica = /L. Combinando esses resultados com a Lei de
Hooke, tem-se a seguinte expresso para o alongamento da barra:
A Equao 3.5 mostra que o alongamento de uma barra linearmente elstica
diretamente proporcional carga e ao comprimento e inversamente pro-
porcional ao mdulo de elasticidade e rea da seo transversal. O produto
EA conhecido como rigidez axial da barra.
3.5.5 Coeficiente de PoissonQuando uma barra tracionada, o alongamento axial acompanhado por
uma contrao lateral, isto , a largura da barra torna-se menor enquanto
cresce seu comprimento. Quando a barra comprimida, a largura da barra
aumenta. A Figura 3.17 ilustra essas deformaes.
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Figura 3.17: Deformaes longitudinais e laterais nas barrasFonte: Nash, 1990
A relao entre as deformaes transversal e longitudinal constante dentro
da regio elstica e conhecida como relao ou coeficiente de Poisson (v)
definido como:
Exemplos
a) Determinar a tenso de trao e a deformao especfica de uma barra
prismtica de comprimento L = 5,0 m, seo transversal circular com di-
metro = 5 cm e mdulo de elasticidade E = 20.000 kN/cm, submetida
a uma fora axial de trao P = 30 kN, conforme Figura 3.18.
Figura 3.18: Barra prismticaFonte: autor
Esse coeficiente assimconhecido em razo do famoso
matemtico francs S. D. Poisson(1781-1840). Para os materiais
que possuem as mesmaspropriedades elsticas em
todas as direes, denominadosisotrpicos, Poisson achou
v 0,25. Experincias commetais mostram que o valor dev usualmente se encontra entre
0,25 e 0,35.
v 0 a 0,50
Constante regime elstico:0,25 a 0,35.
Variado regime plstico:0,35 a 0,5.
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b) A barra da Figura 3.19 constituda de 3 trechos: trecho AB = 300 cm
e seo transversal com rea A = 10 cm; trecho BC = 200 cm e seo
transversal com rea A = 15 cm e trecho CD = 200 cm e seo trans-versal com rea A = 18 cm; solicitada pelo sistema de foras indicado
na Figura 3.19. Determinar as tenses e as deformaes em cada trecho,
bem como o alongamento total. Dado E = 21.000 kN/cm.
Figura 3.19: Barra prismticaFonte: autor
Figura 3.20: Barra prismtica trecho ABFonte: autor
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Figura 3.21: Barra prismtica trecho BCFonte: autor
Figura 3.22: Barra prismtica trecho CDFonte: autor
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Figura 3.23: Tenses trmicas
Fonte: autor
Igualando as Equaes 3.7 e 3.8, temos:
Onde: = tenso trmica
E = mdulo de elasticidade
= coeficiente de dilatao trmica
T = variao de temperatura (C)
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Tabela 3.2: Valores tpicos do coeficiente de dilatao trmica
Material Coeficiente de dilatao trmica (10-6C-1)
Ao 11,7
Alumnio 21,4 a 23,9
Magnsio 26,1
Cobre 16,7
Concreto 7,2 a 12,6
Fonte: autor
Exemplo
Uma barra prismtica (Figura 3.24) rigidamente presa nas extremidades
submetida a um aumento de temperatura de 20C, ao mesmo tempo em
que recebe uma carga P = 30 kN. Determinar as reaes de apoio. Dados:
A = 1,5 cm; E = 20.000 kN/cm; = 11,7 10-6C-1; T = +20C
Figura 3.24: Tenses trmicasFonte: autor
Soluo
a) Determinao das reaes RA e RB, devido ao aumento de temperatura.
Figura 3.25: Tenses trmicas soluoFonte: autor
b) Ao se aplicar a carga P = 30 kN no ponto C, o trecho AC sofrer um
alongamento exatamente igual ao encurtamento no trecho CB, portanto
AC = BC. Assim,
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Fazendo o equilbrio de foras, tem-se:
Logo:
Portanto:
Figura 3.26: Tenses trmicas soluoFonte: autor
Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elstico, vale a super-
posio de efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga P:
ResumoMateriais slidos tendem a deformar-se (ou eventualmente se romper) quando
submetidos a solicitaes mecnicas. Solicitao todo esforo ou conjunto
de esforos exercidos pelas aes sobre uma ou mais sees de um elemento
da estrutura. As solicitaes provocam na estrutura tenses normais, podendo
ser de trao ou de compresso e tenses de cisalhamento.
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As relaes entre tenses e deformaes para um determinado material so
encontradas por meio de ensaios de trao. Nesses ensaios so medidos os
alongamentos correspondentes aos acrscimos de carga axial P, que se
aplicam barra, at a ruptura do corpo-de-prova.
Obtm-se as tenses dividindo as foras pela rea da seo transversal da barra
e as deformaes especficas, dividindo o alongamento pelo comprimento ao
longo do qual a deformao medida. Desse modo obtm-se um diagrama
tenso-deformao do material.
Atividades de aprendizagem1. Determine a fora em cada barra da trelia ilustrada (Exerccio 1.1). Indique
se cada barra est tracionada ou comprimida.
Exerccio 1.1: TreliaFonte: autor
Respostas:
FAB= FDE= FBG= FDI= 0
FAF= FCH= FEJ= 400 N C (compresso)
FBC= FCD= 800 N C (compresso)
FBF= FDJ= 849 N C (compresso)FBH= FDH= 283 N T (trao)
FFG= FGH= FHI= FIJ= 600 N T (trao)
2. A um tubo de ao se aplica uma carga axial de 200 kN por meio de uma
placa rgida (Exerccio 2.1). A rea da seo transversal do cilindro de ao
20 cm2. Determinar o acrscimo de temperatura T para o qual a carga
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Referncias
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GORFIN, B.; OLIVEIRA, M. M. Estruturas isostticas. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1982.
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TRAUTWEIN, Leandro M. Resistncia dos materiais. 2005. Notas de aulas.
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Currculo do professor-autor
Wildemberg Raiol de Assuno Engenheiro Civil graduado pela UFPA
(2005), Especialista em Engenharia de Seguranca do Trabalho pela UFPA (2007),
Mestrando em Engenharia do Ambiente pela UTAD - PT (inicio, 2012). Professordo quadro permanente do Ensino Bsico, Tcnico e Tecnolgico, do Instituto
Federal de Educao, Cincia e Tecnologia (IFPA Campus Belm), atuando
na rea de saneamento urbano, agrimensura, construo civil e segurana
do trabalho. Tambm foi coordenador do Curso Tcnico em Edificaes do
Trabalho (2008-2009) e do Curso Tcnico em Segurana do Trabalho (2009-
2010) na mesma Instituio. Consultor tcnico na rea da construo civil e
segurana do trabalho. Coordenador de projetos de ensino e extenso na rea
do saneamento urbano, construo civil e segurana no trabalho. Autor de
projetos na rea de arquitetura, instalaes eltricas e hidrulicas, estruturas
e combates a incndio.
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