ALINE CRISTINA CYBIS
Resolução de Problemas Multiplicativos: análise de processos
heurísticos de alunos de 5º ano do Ensino Fundamental
Mestrado em Educação Matemática
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
2014
ALINE CRISTINA CYBIS
Resolução de Problemas Multiplicativos: análise de processos
heurísticos de alunos de 5º ano do Ensino Fundamental
Dissertação apresentada como exigência
parcial para obtenção do título de MESTRE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA à Universidade
Anhanguera de São Paulo, sob orientação da
Prof.ª Dr.ª Rosana Nogueira de Lima.
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
2014
BANCA EXAMINADORA
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“A pedagogia moderna está partindo cada vez mais em direção a
visão de que a criança deveria estar ciente de seus próprios
processos de pensamento e que é essencial, tanto para o teórico da
pedagogia quanto para o professor, ajudá-la a tornar-se mais
metacognitiva – a estar tão ciente de como realiza sua
aprendizagem e pensamento quanto da matéria que está
estudando.” (Jerome Bruner. A cultura da Educação, 1996)
AGRADECIMENTOS
À professora Doutora Rosana Nogueira de Lima, pelo trabalho de orientação
desenvolvido com dedicação e amizade.
À professora Doutora Gilda Lisbôa Guimarães e à professora Doutora Maria
Elisa Esteves Lopes Galvão pelas contribuições para a elaboração e o
enriquecimento deste trabalho.
Aos professores do Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática
da Universidade Anhanguera de São Paulo, pelo incentivo e aprendizado durante o
curso.
À Direção da escola na qual fizemos a coleta de dados, por autorizar a
aplicação dos encontros.
Às famílias dos alunos da escola, por terem autorizado a participação dos
estudantes nesta pesquisa.
Aos alunos da escola por terem participado ativamente das propostas dos
encontros.
Aos Colégios Santa Marcelina e Colégio Assunção, por terem cedido as aulas
de sexta-feira para que eu pudesse cumprir as disciplinas do curso.
Aos alunos do Mestrado, pelo companheirismo, auxílio e amizade.
À Capes, pela Bolsa de Estudos, que permitiu total dedicação ao curso de
Pós- Graduação.
Aos meus familiares, pelo apoio e pela compreensão.
Ao meu cachorro Jow, pelas horas que sentou ao meu lado enquanto eu
estudava.
Ao meu marido, pela compreensão, carinho e estímulo.
E principalmente a Deus, pois sem Ele nada disso seria possível.
RESUMO
Neste trabalho temos como objetivo investigar se a utilização de uma metodologia de resolução de problemas que valoriza a reflexão sobre este processo pode colaborar para a percepção dos processos heurísticos. Trabalhamos com 19 alunos de uma turma de 5º ano do Ensino Fundamental durante três encontros de 50 minutos cada. Em cada encontro foram aplicados cinco problemas multiplicativos, selecionados de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (2009). Esses problemas foram resolvidos pelos alunos por meio de uma ficha elaborada com base nas fases de resolução de problemas propostas por Mason, Burton e Stacey (1982). Os dados coletados foram analisados à luz do quadro teórico da Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, op.cit.). Analisamos a ficha de resolução de problemas e suas implicações, levamos os alunos a refletirem e interpretarem um tipo diferente de esquema, denominado diagrama de barras e analisamos se os estudantes continuaram utilizando a ficha de resolução de problemas ou o diagrama de barras para resolver os problemas multiplicativos. Em todos os encontros, também verificamos os procedimentos heurísticos que emergiram com ou sem o uso desses recursos. Os resultados obtidos indicam que foi possível trazer à tona os invariantes operatórios desses estudantes enquanto resolviam problemas multiplicativos com o uso da ficha de resolução de problemas e de diferentes maneiras de resolver um problema, incluindo o tipo de diagrama de barras utilizado. Verificamos que a ficha proposta em nossa pesquisa colaborou com o desenvolvimento da percepção dos processos heurísticos por parte dos alunos. Também revelou conhecimentos que estavam implícitos na ação dos estudantes,e, portanto, nos ajudou a compreender as facilidades e dificuldades que os alunos podem apresentar ao resolver determinado problema multiplicativo. Com relação ao diagrama de barras utilizado, observamos que este ajudou os estudantes a organizarem as informações relevantes do problema, bem como a esclarecer o cálculo relacional exposto por ele, indicando que este recurso pictórico pode ser uma ferramenta eficaz para que o individuo reflita mais profundamente sobre o problema. Por meio desse estudo concluímos que uma metodologia de resolução de problemas que valoriza a reflexão sobre o processo de resolver um problema e que incorpora diferentes esquemas de resolução colabora com o desenvolvimento da percepção dos processos heurísticos por parte dos alunos, o que pode influenciar na compreensão do cálculo relacional de problemas multiplicativos.
Palavras-chave: Resolução de Problemas Multiplicativos. Processos Heurísticos. Teoria dos Campos Conceituais. Diagrama de Barras. Ficha de Resolução de Problemas.
ABSTRACT
The aim of this study is to investigate whether the usage of a problem solving methodology that values the reflection over the problem solving process may contribute to the perception of heuristic processes. We have worked with 19 students from a fifth grade class from elementary school for three encounters of 50 minutes each. In each encounter the students were given five multiplication problems which were selected according to Vergnaud’s Conception Fields Theory (2009). The problems were solved by the students through an elaborated form based on the phases of problem solving proposed by Mason, Burton e Stacey (1982). The collected data was analyzed in light of the theoretical Conceptual Fields Theory boards (Vergnaud, 2009). We analyzed the problem solving form and its implications, we made the students reflect and interpret a different kind of model, called bar diagram and we analyzed whether the students kept on using the solving problem form or the bar diagram in order to solve multiplication problems. In all the encounters, we also checked the heuristic procedures which were emerging with or without the usage of such resources. The results obtained indicate that it was possible to bring out the operational invariables of these students while they were solving the multiplication problems using the problem solving form as well as different ways of solving a problem, including the bar diagram used. We observed that the proposed form in our research contributed to the development of the perception of the students concerning heuristic processes. It also revealed the knowledge that was embedded in the action of the students, therefore helping us understand both promptness and difficulties the students may present while solving some multiplication problems. As for the bar diagram used, we noticed that it helped the students to organize relevant information about the problem as well as to clarify the relational calculation exposed by it, indicating that such pictorial resource may be an effective tool in order to make the student reflect more deeply over a problem. Through this study, we concluded that a solving problem methodology that values the reflection over the problem solving process and that incorporates different models of resolutions contributes to the development of heuristic processes by the students, which may influence in the understanding of the relational calculation of multiplication problems.
Key-words: Multiplication problem solving. Heuristic Processes. Conceptual Fields Theory. Bar Diagram. Problem Solving Form.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: As três classes do campo multiplicativo ................................................... 46
Figura 2: Subclasses do campo multiplicativo. ........................................................ 47
Figura 3: Primeiro Exemplo da classe multiplicativa ................................................ 47
Figura 4: Segundo Exemplo da classe multiplicativa ............................................... 48
Figura 5: Terceiro Exemplo da classe multiplicativa ................................................ 48
Figura 6: Primeiro Exemplo de Caso de um único espaço de medidas ................... 49
Figura 7: Segundo exemplo de Caso de um único espaço de medidas .................. 50
Figura 8: Terceiro Exemplo de caso de um único espaço de medidas .................... 50
Figura 9: Fases de Resolução de Problemas .......................................................... 58
Figura 10: Diagrama: Modelo Parte-Todo ............................................................... 60
Figura 11: Diagrama: Modelo de Comparação ........................................................ 60
Figura 12: Ficha de Resolução de Problemas ......................................................... 64
Figura 13: Ficha de Resolução de Problema completa do aluno Kléber ................. 82
Figura 14: Rubrica do aluno Lúcio do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 1 do
Grupo G3 para o Problema 1 do Encontro 1 ............................................................ 83
Figura 15: Estratégia da aluna Silmara do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro
1 ............................................................................................................................... 89
Figura 16: Estratégia de Isabel do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 1 ..... 89
Figura 17: Resposta da aluna Tatiane do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro
1 ............................................................................................................................... 90
Figura 18: Estratégia do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro
1 ............................................................................................................................... 91
Figura 19: Convencimento do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 2 do
Encontro 1 ............................................................................................................... 91
Figura 20: Convencimento de Isabel do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 1
................................................................................................................................. 93
Figura 21: Estratégia do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 3 do Encontro
1 ............................................................................................................................... 95
Figura 22: Estratégia da aluna Kátia do Grupo G4 para o Problema 5 do Encontro 1
................................................................................................................................. 99
Figura 23: Ficha de Resolução de Problemas completa da aluna Gabriele para o
Problema 5 do Encontro 1...................................................................................... 100
Figura 24: Rubrica da aluna Maria do grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 2
............................................................................................................................... 106
Figura 25: Estratégia da aluna Maria do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2
............................................................................................................................... 106
Figura 26: Rubrica da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2
............................................................................................................................... 107
Figura 27: Estratégia da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro
2 ............................................................................................................................. 107
Figura 28: Rubrica da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2
............................................................................................................................... 108
Figura 29: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro
2 ............................................................................................................................. 108
Figura 30: Convencimento da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do
Encontro 2 ............................................................................................................. 108
Figura 31: Estratégia da aluna Isabel do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 2
............................................................................................................................... 112
Figura 32: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro
2 ............................................................................................................................. 112
Figura 33: Primeira Estratégia da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 2 do
Encontro 2 ............................................................................................................. 113
Figura 34: Segunda Estratégia da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 2 do
Encontro 2 ............................................................................................................. 113
Figura 35: Ficha de Resolução de Problemas completa da aluna Fátima do Grupo
G2 para o Problema 3 do Encontro 2 ..................................................................... 115
Figura 36: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 3 do Encontro
2 ............................................................................................................................. 116
Figura 37: Rubrica do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 2
............................................................................................................................... 118
Figura 38: Estratégia do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro
2 ............................................................................................................................. 118
Figura 39: Estratégia da aluna Gisele do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro
2 ............................................................................................................................. 119
Figura 40: Rubrica da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro 2
............................................................................................................................... 119
Figura 41: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro
2 ............................................................................................................................. 120
Figura 42: Rubrica da aluna Solange do Grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 2
............................................................................................................................... 121
Figura 43: Rubrica e estratégia do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 5 do
Encontro 2 ............................................................................................................. 122
Figura 44: Convencimento da aluna Silmara do Grupo G1 para o Problema 5 do
Encontro 2 ............................................................................................................. 122
Figura 45: Estratégia da aluna Isabel do Grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 2
............................................................................................................................... 123
Figura 46: Estratégia da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro
3 ............................................................................................................................. 127
Figura 47: Estratégia do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 3
............................................................................................................................... 127
Figura 48: Rubrica do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 3
............................................................................................................................... 128
Figura 49: Estratégia do aluno Lúcio do grupo G1 para o problema 1 do Encontro 3
............................................................................................................................... 128
Figura 50: Ficha de Resolução de Problemas completa do aluno Lúcio do Grupo G1
para o Problema 1 do Encontro 3........................................................................... 129
Figura 51: Rubrica da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 3
............................................................................................................................... 131
Figura 52: Estratégia da aluna Solange do Grupo G3 para o Problema 2 do
Encontro 3 ............................................................................................................. 132
Figura 53: Estratégia da aluna Gisele do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro
3 ............................................................................................................................. 133
Figura 54: Estratégia da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro
3 ............................................................................................................................. 133
Figura 55: Convencimento do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 2 do
Encontro 3 ............................................................................................................. 134
Figura 56: Estratégia da aluna Kátia do grupo G3 para o Problema 3 do Encontro 3
............................................................................................................................... 136
Figura 57: Estratégia do aluno Júnior do grupo G1 para o Problema 3 do Encontro 3
............................................................................................................................... 137
Figura 58: Estratégia da aluna Kátia do Grupo G3 para o Problema 4 do Encontro 3
............................................................................................................................... 138
Figura 59: Estratégia do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3
............................................................................................................................... 139
Figura 60: Estratégia do aluno Lúcio do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3
............................................................................................................................... 139
Figura 61: Estratégia da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro
3 ............................................................................................................................. 140
Figura 62: Estratégia da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro
3 ............................................................................................................................. 141
Figura 63: Convencimento do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 4 do
Encontro 3 ............................................................................................................. 141
Figura 64: Rubrica da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3
............................................................................................................................... 142
Figura 65: Rubrica do aluno Pablo do Grupo G3 para o Problema 4 do Encontro 3
............................................................................................................................... 144
Figura 66: Rubrica da aluna Solange do Grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 3
............................................................................................................................... 145
Figura 67: Rubrica do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 3
............................................................................................................................... 146
Figura 68: Rubrica da aluna Tatiane do grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 3
............................................................................................................................... 146
Figura 69: Estratégia do aluno Kléber do grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 3
............................................................................................................................... 147
Figura 70: Estratégia da aluna Gabriele do grupo G2 para o Problema 5 do Encontro
3 ............................................................................................................................. 148
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Primeiro exemplo da Categoria Produto de Medidas .............................. 51
Quadro 2: Segundo Exemplo: Organização Retangular .......................................... 51
Quadro 3: Enunciado do Problema 1 do Encontro 1 ............................................... 67
Quadro 4: Enunciado do Problema 2 do Encontro 1 ............................................... 67
Quadro 5: Enunciado do Problema 3 do Encontro 3 ............................................... 68
Quadro 6: Enunciado do Problema 4 do Encontro 1 ............................................... 69
Quadro 7: Enunciado do Problema 5 do Encontro 1 ............................................... 69
Quadro 8: Enunciado do Problema 1 do Encontro 2 ............................................... 71
Quadro 9: Enunciado do Problema 2 do Encontro 2 ............................................... 71
Quadro 10: Enunciado do Problema 3 do Encontro 2 ............................................. 72
Quadro 11: Enunciado do Problema 4 do Encontro 2 ............................................. 73
Quadro 12: Enunciado do Problema 5 do Encontro 2 ............................................. 73
Quadro 13: Enunciado do Problema 1 do Encontro 3 ............................................. 74
Quadro 14: Enunciado do Problema 2 do Encontro 3 ............................................. 75
Quadro 15: Enunciado do Problema 3 do Encontro 3 ............................................. 75
Quadro 16: Enunciado do Problema 4 do Encontro 3 ............................................. 75
Quadro 17: Enunciado do Problema 5 do Encontro 3 ............................................. 76
Quadro 18: Problema 1 do Encontro 1 .................................................................... 81
Quadro 19: Problema 2 do Encontro 1 .................................................................... 88
Quadro 20: Problema 3 do Encontro 1 .................................................................... 95
Quadro 21: Problema 4 do Encontro 1 .................................................................... 97
Quadro 22: Problema 5 do Encontro 1 .................................................................... 98
Quadro 23: Problema 1 do Encontro 2 .................................................................. 105
Quadro 24: Problema 2 do Encontro 2 .................................................................. 111
Quadro 25: Problema 3 do Encontro 2 .................................................................. 114
Quadro 26: Problema 4 do Encontro 2 .................................................................. 117
Quadro 27: Problema 5 do Encontro 2 .................................................................. 120
Quadro 28: Problema 1 do Encontro 3 .................................................................. 125
Quadro 29: Problema 2 do Encontro 3 .................................................................. 131
Quadro 30: Problema 3 do Encontro 3 .................................................................. 135
Quadro 31: Problema 4 do Encontro 3 .................................................................. 137
Quadro 32: Problema 5 do Encontro 3 .................................................................. 145
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Nomes fictícios e respectivas siglas ......................................................... 79
Tabela 2: Integrantes por Grupo do Encontro 1 ....................................................... 79
Tabela 3: Integrantes por Grupo dos Encontros 2 e 3 ............................................. 80
Tabela 4: Categorias de Estratégias para o Problema 1 do Encontro 1 ................... 82
Tabela 5: Categorias de Estratégias para o Problema 2 do Encontro 1 ................... 88
Tabela 6: Categorias de Estratégias para o Problema 5 do Encontro 1 ................... 99
Tabela 7: Categorias de Estratégias para o Problema 1 do Encontro 2 ................. 105
Tabela 8: Categorias de Estratégias para o Problema 2 do Encontro 2 ................. 111
Tabela 9: Categorias de Estratégias para o Problema 3 do Encontro 2 ................. 114
Tabela 10: Categorias de Estratégias para o Problema 4 do Encontro 2 ............... 117
Tabela 11: Categorias de Estratégias para o Problema 5 do Encontro 2 ............... 121
Tabela 12: Categorias de Estratégias para o Problema 1 do Encontro 3 ............... 125
Tabela 13: Categorias de Estratégias para o Problema 2 do Encontro 3 ............... 131
Tabela 14: Categorias de Estratégias para o Problema 3 do Encontro 3 ............... 135
Tabela 15: Categorias de Estratégias para o Problema 4 do Encontro 3 ............... 138
Tabela 16: Categorias de Estratégias para o Problema 5 do Encontro 3 ............... 145
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................ 16
CAPÍTULO I - RESULTADOS DE PESQUISAS EMPÍRICAS ........................ 19
1.1 Resolução de Problemas e Habilidades Heurísticas .............................. 19
1.2 Abordagens de Resolução de Problemas .............................................. 31
CAPÍTULO II - A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E AS ESTRUTURAS
MULTIPLICATIVAS ........................................................................................ 36
2.1 Conceito ................................................................................................ 37
2.2 Situação ................................................................................................. 38
2.3 Cálculo Relacional e Cálculo Numérico ................................................. 39
2.4 Significado e Significante ....................................................................... 39
2.5 Esquema ............................................................................................... 41
2.6 Invariantes Operatórios .......................................................................... 44
2.7 Estruturas Multiplicativas ....................................................................... 45
CAPÍTULO III - METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ......... 53
CAPÍTULO IV - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .............................. 62
4.1 Sujeitos da Pesquisa ............................................................................. 63
4.2 Instrumentos de Coleta de Dados .......................................................... 63
4.3 Os Encontros ......................................................................................... 65
4.4 Encontro 1 ............................................................................................. 67
4.5 Encontro 2 ............................................................................................. 69
4.6 Encontro 3 ............................................................................................. 73
CAPÍTULO V - APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ....................... 77
5.1 Sujeitos da Pesquisa ............................................................................. 78
5.2 Análise e Discussão dos Encontros ....................................................... 80
5.3 Encontro 1 ............................................................................................. 81
5.4 Discussão do Encontro 1 ......................................................................103
5.5 Encontro 2 ............................................................................................104
5.6 Discussão do Encontro 2 ......................................................................123
5.7 Encontro 3 ............................................................................................124
5.8 Discussão do Encontro 3 ......................................................................149
CONCLUSÃO ................................................................................................151
Discutindo as Questões de Pesquisa ..........................................................152
Limitações do Estudo e Sugestões para outras Pesquisas ..................... ....156
BIBLIOGRAFIA..................................................................................................155
APÊNDICE................................................................................................. ........157
ANEXOS.............................................................................................................160
16
INTRODUÇÃO
É vasta a literatura em Educação Matemática que trata de problemas que
envolvem o ensino e a aprendizagem da Resolução de Problemas, principalmente
relacionando a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 2009) às dificuldades
com as quais os alunos se deparam para resolver problemas, sejam eles aditivos ou
multiplicativos (PETRINA, 2012; JUSTO, 2009). Várias dessas pesquisas buscam
identificar erros cometidos pelos alunos ao resolverem problemas, apresentando
diferentes tipos de erros que surgem no trabalho por eles desenvolvido (RÊGO E
AZEREDO, 2006; MOLINARI, 2010). Outras buscam desenvolver processos que
desencadeiem habilidades heurísticas por parte dos alunos (CHAHON, 2006;
ALVARENGA, 2008).
Ao estudarmos essas pesquisas, vemos que vários diagnósticos dos
diferentes tipos de acertos e erros de estudantes frente a problemas matemáticos
foram realizados, mas pensamos que a aplicação de uma metodologia de resolução
de problemas cujo enfoque seja o emergir da percepção de invariantes operatórios
utilizados para desenvolver processos heurísticos poderá trazer contribuições para
essa área de pesquisa.
Encontramos o trabalho de Mason, Burton e Stacey (1982), cujo enfoque está
nas fases de resolução de problemas. Com base nesta metodologia, elaboramos o
instrumento de coleta de dados que foi utilizado nesta pesquisa; uma ficha que
auxilia o aluno a refletir sobre a resolução do problema proposto, considerada por
nós como um tipo de situação. Encontramos também um tipo diferente de esquema,
um diagrama de barras comumente utilizado em Cingapura, o qual também nos
pareceu adequado a essa pesquisa.
Assim, tendo em mente buscar entender melhor os processos heurísticos de
alunos enquanto resolvem problemas matemáticos multiplicativos, temos por
objetivo investigar se a utilização de uma metodologia de resolução de problemas
que valoriza a reflexão sobre o processo de resolver um problema pode colaborar
para a percepção dos processos heurísticos envolvidos.
17
Guiados por esse objetivo, levantamos as seguintes questões norteadoras:
“Qual a influência da ficha elaborada para a resolução de problemas e para a
percepção dos processos heurísticos envolvidos nessa resolução?”; “O diagrama de
barras utilizado auxiliou na compreensão e na resolução do problema?” e “Foi
possível aos alunos tomarem consciência dos processos heurísticos usados a partir
da utilização da ficha?”.
Participaram de nossa pesquisa 19 alunos de uma turma de 5º ano do Ensino
Fundamental de uma escola particular de São Paulo. A coleta de dados foi realizada
por meio de três encontros com duração aproximada de uma hora e meia cada. Em
cada encontro, foram aplicados cinco problemas matemáticos multiplicativos, que
foram resolvidos em grupos, com a utilização de uma ficha elaborada a partir das
ideias de Mason, Burton e Stacey (ibid.). Cada encontro teve um objetivo específico.
No Encontro 1, tivemos como objetivo analisar se a ficha de resolução de problemas
traria contribuições para que o aluno, e, no caso, a pesquisadora, pudessem
perceber os invariantes operatórios mobilizados para resolver os problemas
propostos. No Encontro 2, nosso objetivo foi levar os alunos a refletirem e
interpretarem um diagrama de barras e, assim, investigar se essa representação
pictórica permitiria que os estudantes visualizassem a estrutura do problema, a fim
de dar sentido à relação quantitativa envolvida nele. No Encontro 3, analisamos se
os estudantes continuariam utilizando a ficha de resolução de problemas ou o
diagrama de barras para resolver os problemas multiplicativos. A partir disso,
também verificamos os invariantes operatórios que emergiriam com ou sem o uso
desses recursos.
Os dados coletados foram analisados de acordo com a Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud (2009), tendo em vista as situações, os conceitos e os
invariantes operatórios apresentados nos problemas multiplicativos, e, também, com
base na revisão de literatura que mostra a importância dos processos heurísticos na
resolução de problemas.
Para apresentação de nossa pesquisa, este relatório foi dividido em alguns
capítulos. No Capítulo 1, fizemos um levantamento de pesquisas empíricas sobre
resolução de problemas que julgamos fundamentais para nosso estudo,
18
relacionadas ao desenvolvimento de processos heurísticos (POLYA, 2006). Essa
análise foi apresentada no Capítulo 1 – Resultados de Pesquisas Empíricas.
Em seguida, no Capítulo 2, apresentamos a Fundamentação Teórica utilizada
em nossa pesquisa, a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, op.cit.), mais
especificamente o campo conceitual multiplicativo. Esse referencial norteou a
escolha dos instrumentos de coleta de dados, bem como a análise dos dados desta
pesquisa.
No Capítulo 3, apresentamos a proposta de Metodologia de Resolução de
Problemas (MASON, el al. 1982), a qual baseou a construção da ficha que foi usada
pelos alunos para resolver os problemas. Ainda neste capítulo tecemos algumas
considerações sobre um tipo de esquema que foi apresentado aos estudantes para
resolver alguns dos problemas.
Temos, no Capítulo 4, os Procedimentos Metodológicos da Pesquisa.
Apresentamos os sujeitos desta pesquisa, alunos do 5º ano do Ensino Fundamental
e a organização dos três encontros nos quais os problemas e a metodologia de
resolução de problemas foram aplicados. Fizemos também uma descrição dos
instrumentos de coleta de dados.
A análise dos dados propriamente dita foi feita no Capítulo 5 – Apresentação
e Análise dos Dados. Neste Capítulo, fizemos uma categorização das estratégias
apresentadas nas fichas dos estudantes e destacamos outras informações que
também foram pertinentes para a tessitura dessa pesquisa. Buscamos relacionar
esses dados com os resultados das pesquisas apresentadas no Capítulo 1 e com o
referencial teórico da Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, op.cit.).
Por fim expomos nossas conclusões sobre a análise que fizemos no decorrer
deste trabalho, relacionando-as ao objetivo, ao quadro teórico e às questões de
pesquisa. Apresentamos também as limitações desta pesquisa, assim como novas
possibilidades de pesquisas para as quais essas limitações apontam.
19
CAPÍTULO I - RESULTADOS DE PESQUISAS EMPÍRICAS
Neste Capítulo, apresentamos as pesquisas realizadas com foco em
resolução de problemas, de forma a compreendermos como os autores percebem
esse tópico e que tipo de representações foram utilizadas por estudantes. Além
disso, também discorremos a respeito de diferentes abordagens sobre a resolução
de problemas e as reflexões feitas sobre processos heurísticos.
Durante a pesquisa e leitura das fontes bibliográficas, foi possível constatar
que havia muitas publicações disponíveis a respeito do tópico Resolução de
Problemas e, portanto, focamos o estudo somente naquelas que, de alguma forma,
também se relacionavam às estratégias que alunos apresentam ao resolver
problemas matemáticos, já que nosso objetivo é investigar se a utilização de uma
metodologia de resolução de problemas que valoriza a reflexão sobre o processo de
resolver um problema pode colaborar para a percepção dos processos heurísticos.
1.1 Resolução de Problemas e Habilidades Heurísticas
Várias pesquisas tratam da resolução de problemas relacionada às
habilidades heurísticas, entre elas a de Chahon (2006). O autor realizou um
levantamento acerca do que se entende por metacognição. A primeira hipótese
levanta a ideia de que, caso os alunos reflitam sobre as diferentes estruturas de
problemas aditivos, por meio da oralidade, do desenho e da escrita, a
problematização desses problemas terá como objetivo colocar os processos
cognitivos em jogo, e isso poderá favorecer a aprendizagem dos sujeitos.
Concordamos com Chahon, Ibid., quando ele diz que a reflexão sobre as estruturas
dos problemas por meio da oralidade, do desenho e da escrita favorece a
aprendizagem dos sujeitos. A segunda hipótese aponta que a exploração
(metacognitiva) do conhecimento relacional prévio, no que se refere à representação
20
e à resolução de problemas de multiplicação e divisão, pode conduzir a uma melhor
aprendizagem mesmo que o indivíduo ainda não domine o conhecimento formal de
efetuar um determinado cálculo numérico. Isto quer dizer que, mesmo que o sujeito
não domine um procedimento de cálculo numérico, por exemplo de multiplicação,
poderá resolver problemas de multiplicação por meio de outros tipos de
representação, pois isso envolve o cálculo relacional.Com o objetivo de verificar
suas hipóteses de pesquisa, o pesquisador pediu que professoras de 2º ao 4º ano
do Ensino Fundamental selecionassem 30 crianças entre classes de uma escola
pública do Rio de Janeiro para participarem da pesquisa, o que ocorreu no 2º
semestre de 2000. No ano seguinte, uma turma de 27 alunos do 3º ano foi escolhida
para dar prosseguimento à pesquisa de forma mais prolongada. Já em 2002, duas
outras turmas de 3º ano, em um total de 27 alunos, participaram também de forma
prolongada na pesquisa.
A investigação preliminar, no segundo semestre de 2000, consistiu na
realização de uma prova individual realizada pelas crianças. No ano seguinte, uma
turma de 3º ano realizou novas provas, e, a partir dos resultados obtidos com elas,
foram emparelhados dois grupos considerados equivalentes, com 10 (dez) crianças
cada (as variáveis sexo e idade mantidas em certo equilíbrio entre ambos). Em
seguida, um deles (grupo experimental) participou de atividades coletivas de
intervenção, ao final das quais todas as crianças dos dois grupos voltaram a realizar
provas semelhantes às primeiras.
Um planejamento similar foi reconduzido em 2002, após revisão do
instrumental, quando a opção por trabalhar com duas turmas (e, consequentemente,
dois grupos experimentais), deveu-se à oportunidade de efetuar observações mais
expressivas do ponto de vista qualitativo, e ainda tendo em vista a possibilidade do
uso de técnicas estatísticas inferenciais (por exemplo, teste de comparação de
médias) ao final do treinamento.
No total foram realizados treze encontros, sendo oito deles voltados à
resolução de problemas aditivos e cinco para problemas multiplicativos, sendo que
os instrumentos de coleta de dados oferecidos aos alunos foram selecionados de
acordo com as diferentes ideias das quatro operações, utilizando para tal as
contribuições da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (2009).
21
A base teórica da pesquisa gira em torno da noção de metacognição visando
a aprendizagem matemática para os anos iniciais de escolaridade. Por isso, o autor
destaca alguns trabalhos importantes referentes à metacognição. Flavell (1970,
apud CHAHON, 2006, p.25) define “metacognição” como “qualquer conhecimento ou
atividade cognitiva que toma como seu objeto, ou regula, qualquer aspecto de
qualquer iniciativa cognitiva.” Ainda afirma que as habilidades metacognitivas
infantis, envolvendo a capacidade de uma criança de monitorar (de saber localizar-
se em relação à sua meta) e auto-regular (planejar e avaliar) o próprio
comportamento, desenvolvem-se desde os 7 anos de idade e podem ser ensinadas
dentro do currículo escolar. Davidson et al. (1996, apud CHAHON, 2006) destacam
quatro processos metacognitivos: identificar e definir o problema; representar
mentalmente o problema; planejar como proceder e, por fim, avaliar o próprio
desempenho.
Percebemos que a fase de escolaridade dos alunos dos anos iniciais do
Ensino Fundamental é bastante propícia para desenvolver atividades nas quais o
aluno possa monitorar o próprio aprendizado. Em nossa pesquisa, buscamos
desenvolver uma metodologia que aponte fases de resolução de problemas que
possam ser úteis para o desenvolvimento desses processos heurísticos, assim como
Chahon (2006) apontou para essa necessidade em sua pesquisa.
Os resultados da pesquisa de Chahon (ibid.), apontaram progressos sutis dos
grupos experimentais, que permaneceram de forma prolongada na pesquisa em
relação aos grupos de comparação, justificando que novas pesquisas precisam ser
realizadas a fim de colaborar com os dados obtidos naquele trabalho. Portanto, a
partir da limitação da pesquisa de Chahon (ibid.) entendemos que nossa pesquisa
deve enfatizar também a capacidade do aluno de tomar para si todo o processo de
resolução de problemas.
Um dos pontos destacados no final da pesquisa foi que o recurso de registrar
por escrito, individualmente em uma folha de papel, a resolução do problema,
empobreceu as produções dos alunos do ponto de vista da criatividade. Em nossa
pesquisa, embora os estudantes tenham trabalhado em grupo, o registro da ficha foi
individual. Neste caso, poderíamos verificar se ocorreu em nosso trabalho o mesmo
que ocorreu na pesquisa de Chahon (ibid.), isto é, gostaríamos de saber se
22
realmente se deu esse empobrecimento dos registros dos alunos, conforme foi
citado pelo autor.
Chahon (ibid.) aborda a relação entre a metacognição e a compreensão
infantil dos conceitos de adição e subtração e reforça que esta se dá por meio do
domínio de um número cada vez maior de situações-problema, o qual deriva da
utilização de uma variedade de procedimentos, baseados em invariantes (ou
propriedades), diferentes “teoremas em ação”, e sustentados por múltiplos sistemas
de sinais (representações simbólicas). Assim como Chahon (ibid.), entendemos que
a compreensão de conceitos envolvidos em situações multiplicativas acontece por
meio de variados problemas (situações), nos quais o estudante precisa mobilizar
diferentes representações (esquemas). Sendo assim, em nossa pesquisa,
destacamos problemas variados de acordo com as categorias de problemas
multiplicativos de Vergnaud (2009), e analisamos os invariantes operatórios e as
representações apresentadas pelos alunos sujeitos dessa pesquisa.
Alvarenga (2008) apresenta como objetivo de pesquisa analisar as heurísticas
por meio das estratégias, isto é, a maneira pela qual jovens do Ensino Médio
resolvem situações-problema de Matemática. A questão de pesquisa apresentada
pela autora é: “quais são as heurísticas envolvidas no processo de resolução de
problemas matemáticos pelos alunos do Ensino Médio?” (id. Ibid., p.16).
Na pesquisa, clarifica-se a ideia de heurística como sendo, para Bruner (1968,
apud ALVARENGA, 2008, p.15), “uma abordagem feita por alguém para resolver um
problema”. Para Polya (1978), o objetivo da heurística “é o estudo dos métodos e
das regras da descoberta.” Em nossa pesquisa, tomaremos como conceito de
heurística a ideia de Polya (2006), que será mais bem explicitada no final deste
capítulo.
A pesquisa aconteceu em uma escola estadual de São Paulo, com duas
turmas de 1° ano, duas turmas de 2° ano e duas turmas de 3° ano, todas do Ensino
Médio, no período noturno. Esses alunos foram divididos em dois grupos, sendo um
deles o grupo que participou dos testes e o outro um grupo controle. O papel da
pesquisadora foi o de observadora-participante. Como fundamentação teórica, foi
23
utilizada a Teoria Histórico-Cultural de Vygotsky (1988, apud ALVARENGA 2008),
aliada às ideias de Polya (1978, apud id. Ibid.).
Inicialmente, foram aplicados oito problemas para os alunos. Os problemas
que compuseram os instrumentos de coleta de dados foram retirados do Banco de
Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas de 2005,
2006 e 2007, do livro “Ler, escrever e resolver problemas”, e também foi realizada
uma entrevista aberta com os estudantes sobre afinidade com a Matemática.
Passado algum tempo do término da aplicação desses instrumentos, foi aplicado
outro teste, chamado de “Pós Pós-Teste”, a fim de verificar os conceitos
matemáticos desenvolvidos na pesquisa que permaneceram ou que foram
esquecidos pelos alunos.
De acordo com Alvarenga (2008), a análise de dados se deu pela verificação
das diferentes maneiras de pensar sobre os problemas e as respectivas justificativas
dos alunos, a fim de analisar como chegaram a determinado resultado. A autora cita
que, quando se prioriza a maneira de pensar dos estudantes, prioriza-se também o
processo heurístico em sua concepção.
A partir da análise do Pós Pós-Teste, observou-se que os alunos não
compreendem significativamente os conceitos matemáticos, isto é, os conceitos
matemáticos por vezes são apenas decorados, e não são, de fato, assimilados pelos
alunos. Por meio das observações a respeito da postura e da interação dos
estudantes durante a aplicação da pesquisa, a autora inferiu que eles são marcados
por uma visão infantilizada e resistente a respeito da Matemática. De acordo com o
trabalho da autora, entendemos que essa visão infantilizada se refere à imaturidade
apresentada por alguns estudantes frente aos conhecimentos matemáticos, ao
mesmo tempo em que também resistente, pois entendemos que não houve tanta
participação e envolvimento dos alunos durante a pesquisa.
Nas conclusões de Alvarenga, ao contrário do que foi evidenciado por
Chahon (2006), a criatividade das respostas apresentadas pelos estudantes foi
relacionada à perspectiva metodológica de resolução de problemas. Ainda afirma
que essa perspectiva favorece a formação de novos conceitos matemáticos pelos
24
alunos e ressalta a importância da análise do caminho percorrido pelo aluno durante
a resolução de problemas e não apenas os acertos e os erros.
Justo (2009) realizou uma pesquisa com o objetivo de verificar que influência
uma formação continuada para professores, com base em programa de ensino a
respeito do campo conceitual aditivo, pode ter no desempenho de alunos ao resolver
problemas matemáticos. Para isso, elaborou, em colaboração com professores, um
programa de ensino que levou em conta a construção de significados de operações
de adição e subtração, a compreensão das relações semânticas encontradas nos
problemas matemáticos aditivos, o ensino de procedimentos e de representações e
de habilidades metacognitivas, que foi aplicado aos alunos dos professores
participantes, e em cujos resultados nos deteremos.
Essa pesquisa aconteceu no ano de 2008, em uma escola pública e em uma
particular. Para cada escola e cada série, foram escolhidas uma turma experimental
e uma turma- controle. As turmas- controle não participaram do programa de ensino,
assim como seus respectivos professores não participaram da formação continuada.
A pesquisa foi dividida em algumas partes. Em todas elas foram os
professores participantes que aplicaram o programa. No Pré-Teste, procurou-se
investigar o desempenho das crianças em relação aos problemas matemáticos
aditivos antes de iniciado o programa de ensino com os professores. No Pós-Teste,
ocorrido após a implementação do programa, foram aplicados vinte problemas
aditivos às turmas experimentais e controle das duas escolas, com o objetivo de
verificar se houve melhora no desempenho dos alunos. Por fim, no Pós-Teste 2,
buscou-se verificar a permanência da aprendizagem das crianças. Esse teste foi
aplicado seis meses após o término do programa.
Justo (ibid) observou que, nas turmas em que o professor realizou
intervenções que possibilitaram atividades de metacognição, isto é, que participaram
do programa, houve avanço na aprendizagem do campo aditivo. A autora também
relacionou em sua pesquisa o avanço dos alunos em relação às atividades
metacognitivas proporcionadas pelos professores com alguns grupos durante a
resolução de problemas aditivos. Dessa forma, Justo (ibid) sugere que o uso de
representações gráficas pode auxiliar na compreensão de relações semânticas e
25
numéricas existentes nos problemas aditivos aplicados que apareceram na
explicação do professor, o que nos incentiva a buscar subsídios para levar para os
estudantes um tipo de esquema ainda não conhecido e verificar como os alunos se
saem com o uso dele.
Por meio dos dados apresentados na pesquisa, Justo (ibid.) realizou
considerações a respeito do auxílio que as representações gráficas trouxeram para
os alunos no momento de resolver problemas. Sendo assim, decidimos investigar o
que vem sendo pesquisado sobre esse tipo de recurso visual, que pode auxiliar os
alunos no momento de resolver problemas matemáticos e, sobretudo, refletir sobre
esse processo heuristicamente.
Sob esta perspectiva, encontramos a pesquisa de Petrina (2012), que teve
como objetivo utilizar diagramas do Método- Modelo usado em Cingapura, como
recurso para auxiliar alunos a resolver problemas aditivos. A pesquisa da autora foi
embasada teoricamente pelos quatro passos de resolução de problemas de Pólya
(1957): compreensão, planejamento, execução do plano e revisão da solução; e nas
ideias de cálculo numérico e relacional de Vergnaud apresentadas em Nunes e
Bryant (1996, apud PETRINA, 2012). Segundo esses autores, os números podem
significar quantidades e relações. Com o objetivo de explicitar o entendimento do
cálculo relacional, Petrina utilizou como base teórica alguns autores como Bruner
(1964; 1990, apud id.ibid.) e Greeno (1989, apud id.ibid.), que trouxeram
contribuições a respeito de representações visuais para resolver problemas, por
acreditarem que a prática com modelos pictóricos pode favorecer o cálculo
relacional e, consequentemente, a resolução de problemas.
A metodologia de pesquisa aplicada foi denominada pela autora como um
projeto de intervenção experimental. O estudo foi realizado no Reino Unido, em três
escolas primárias estaduais, com 62 participantes, na faixa etária aproximada de 10
anos. O estudo foi aplicado a quatro diferentes grupos, um grupo- controle, que não
participou de nenhuma intervenção do pesquisador; um grupo de intervenção, que
resolveu problemas sem o auxílio dos diagramas; um grupo que utilizou o Método -
Modelo de Cingapura; e o último grupo, que utilizou diagramas de setas modificados
por Vergnaud (1998) e Willis e Fuson (1988, apud id.ibid.) para representar
quantidades e relações no raciocínio de problemas aditivos.
26
De acordo com currículo de Cingapura, o Método- Modelo é uma
representação pictórica, composta de diagramas de barras, que pode auxiliar os
alunos na visualização de relações matemáticas abstratas. Esse recurso também
pode ajudar os estudantes a planejarem os passos de resolução para o problema,
assim como motivá-los a resolver problemas mais complexos e desafiadores. Tal
diagrama de barras1 é classificado como um tipo de esquema, segundo o currículo
de Cingapura. Com base nos estudos de Vergnaud (2009), é uma representação
pictórica que ajuda os estudantes a visualizarem a estrutura do problema a fim de
estabelecer sentido com a relação quantitativa envolvida nele. A pesquisa foi
dividida em três fases: Pré- Teste, intervenções e Pós- Teste, e foi realizada uma
análise quantitativa dos dados referentes aos Pré- e Pós- Testes, bem como uma
análise qualitativa dos dados recolhidos nas sessões de intervenção.
O Pré-Teste abrangeu 32 problemas matemáticos do campo aditivo, os quais
os alunos responderam segundo os próprios conhecimentos, sem o auxílio do
pesquisador. Na fase de intervenção, os problemas usados na pesquisa foram
cuidadosamente escolhidos, e as sessões foram planejadas para estimular os
alunos a pensarem nos passos de resolução de problemas e não tomarem decisões
baseadas em recursos superficiais.
No primeiro conjunto de problemas, foi enfatizada a relação inversa entre a
adição e a subtração. O segundo conjunto de problemas, focou-se mais nas
comparações entre quantidades. Foi necessária a utilização de um modelo de
diagrama ainda não usado pelos alunos, o modelo de comparação, e as questões
envolveram números maiores e mais de uma operação aritmética. O terceiro
conjunto foi elaborado somente para o caso de eventual necessidade com exemplos
variados. No quarto e último conjunto de problemas, havia uma gama maior de
informações a respeito de quantidades e relações, e os alunos foram mais expostos
a pensar antes de escolher o modelo e o cálculo aritmético a ser feito para resolver o
problema proposto. O Pós-Teste foi composto de 27 problemas matemáticos do
campo aditivo, sendo que alguns deles foram os mesmos do Pré-Teste, com o
objetivo de verificar se o Método possibilitou avanços na habilidade de resolução de
1 Nos Capítulos III e V deste trabalho o diagrama será mais bem explicitado.
27
problemas. Em todos os conjuntos de problemas propostos aos estudantes, foi
utilizado o diagrama de barras do Método- Modelo.
Os resultados da pesquisa indicaram que o uso do diagrama beneficiou os
alunos em suas habilidades de resolução de problemas aditivos. Entretanto eles não
parecem ter dominado o modelo completamente, e não o utilizaram em sua
totalidade. Poucos alunos usaram o diagrama para resolver os problemas do Pós-
Teste. Desta forma, não foi possível verificar, na pesquisa, se o Método contribuiu
para melhorar o desempenho desses estudantes na resolução de problemas.
Observou-se, ainda, que os alunos do grupo que resolveram problemas sem o
auxílio dos diagramas obtiveram benefícios iguais aos daqueles que usaram os
diagramas.
Petrina (2012) faz inferências a respeito do fato da maioria dos alunos não ter
usado o Método no Pós-Teste: falta de apreciação e falta de domínio do Método. Ela
coloca que o Método precisa ser aprendido, porém, na pesquisa dela, não houve
tempo suficiente para desenvolver esse trabalho. Por outro lado, as construções do
modelo de barras feitas pelos participantes demonstraram falta de entendimento de
relações e quantidades, e que analisar as relações de um problema pode auxiliar
alunos a usar melhor os diagramas. Concluindo, o estudo mostrou que as
intervenções da pesquisadora para resolução de problemas, independentemente do
Método- Modelo de Cingapura, possibilitaram o desenvolvimento de habilidades
heurísticas. A partir do trabalho de Petrina (ibid), observamos a necessidade de
estimular os alunos a explorarem ferramentas que possibilitem maior interação do
sujeito com os problemas propostos, possibilitando, assim, uma análise mais crítica
de suas ações.
No trabalho da autora, vimos como se deu esse processo por meio do
Método- Modelo. Já Pydah (2012), usa, nos problemas desenvolvidos para a
pesquisa, diagramas de setas, operando com o campo multiplicativo, oriundo da
Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996a). Destacamos essa pesquisa,
com o objetivo de observar se, com esse auxílio visual, os alunos conseguiriam
melhorar e explorar o raciocínio durante a resolução de problemas.
28
Pydah (op.cit.) apresentou a utilização de uma representação esquemática
(diagrama) para melhorar a compreensão de relações funcionais do raciocínio
multiplicativo de 63 crianças de 10 anos de escolas de Oxford (Reino Unido). Dentro
do amplo campo multiplicativo, a autora focou problemas de proporção simples.
A coleta de dados foi realizada por meio de Pré-Teste, três semanas de
sessões de intervenção e, por fim, um Pós-Teste. As crianças foram divididas em
três grupos: o primeiro recebeu instruções para resolver problemas de proporção
com o uso do diagrama esquemático; o segundo grupo resolveu os mesmos
problemas sem o uso do diagrama (controle), com intervenção da pesquisadora; e,
por fim, o terceiro e último grupo resolveu os mesmos problemas sem o diagrama e
sem nenhuma intervenção adicional da pesquisadora.
Orientações explícitas foram fornecidas aos alunos para aprenderem a
configurar o diagrama como um procedimento, entretanto, os passos conceituais
para encontrar as relações e aplicá-lo corretamente aos valores desconhecidos
causaram grandes dificuldades na implementação do diagrama. Durante a aplicação
da pesquisa, surgiram algumas complicações no uso do esquema, como a própria
montagem dele, o estabelecimento de uma relação escalar e a compreensão da
relação inversa entre a multiplicação e divisão.
Os resultados da pesquisa mostram que as crianças que resolveram
problemas de proporção usando o diagrama melhoraram o raciocínio proporcional. A
pesquisa sugere que o uso do diagrama parece fornecer aos alunos um auxílio para
organizar informações relevantes do problema, antes de partir para uma
representação simbólica. Gostaríamos de verificar, em nossa pesquisa, se o tipo de
diagrama que escolhemos também pode favorecer a organização de informações
relevantes do problema.
Rêgo e Azeredo (2006) também enfocam as representações gráficas
utilizadas por alunos durante a resolução de problemas. O estudo teve como
objetivo discutir as diferentes estratégias utilizadas por 242 alunos da 4ª série de
cinco escolas da rede municipal de João Pessoa ao resolverem problemas
matemáticos. Segundo os autores, a investigação fez parte de um projeto de
capacitação de professores da rede local.
29
Para a pesquisa, foi aplicado um teste com seis questões envolvendo as
quatro operações básicas, para identificar os diferentes processos de resolução
utilizados pelos alunos, bem como o domínio que possuíam dos algoritmos
tradicionais e as maiores dificuldades apresentadas. As questões foram de
multiplicação, subtração com ideia de completar, adição com números decimais,
subtração com a ideia de comparar, divisão não exata e uma subtração com a ideia
de tirar.
Rêgo e Azeredo (ibid.) verificaram que os alunos utilizavam simultaneamente
o registro gráfico (esquemas e desenhos) e o algoritmo; este último para “validar” o
resultado, obtido com o apoio do primeiro, ou o uso do registro gráfico para conferir
a resposta obtida via algoritmo. Eles ainda apontam que utilizar formas não-
convencionais de registro pode fornecer indícios do nível de compreensão dos
alunos e do modo como organizam as informações, constituindo, assim, fortes
elementos para o trabalho do educador. Em nossa pesquisa, verificamos como os
alunos costumam utilizar o registro gráfico e o algoritmo convencional em suas
estratégias, e como se dá a relação entre eles.
Assim como Rêgo e Azeredo (ibid), Molinari (2010) apresenta a necessidade
de um trabalho com a resolução de problemas, de modo que possibilite uma
variabilidade de estratégias de resolução. Entretanto, a pesquisa deles nos mostra
que essa variabilidade apresentada pelos alunos pode estar relacionada à
quantidade de modelos fornecidos pelos professores. Em nossa pesquisa, nos
preocupamos também em apresentar modelos de estratégias, que podem ser
utilizados pelos alunos para resolver problemas, como o exemplo do diagrama de
barras que foi usado no Encontro 2.
O objetivo de Molinari (ibid.) foi verificar as representações gráficas de
solução de problemas de divisão aritmética (por quotas) por estudantes de quarto e
quinto anos do Ensino Fundamental. Para isso, foi realizado um estudo de caso com
vinte crianças de uma escola particular. Por meio do método de exame clínico de
Piaget (1989, apud MOLINARI, ibid.), os experimentos subdividiram-se em quatro
fases: solução de problemas; aplicação da prova de multiplicação e de divisão
aritmética e entrevista. A análise dos dados ocorreu de forma qualitativa e
quantitativa, a fim de verificar os procedimentos de solução, as representações
30
gráficas, a psicogênese da noção de multiplicação e divisão aritméticas e a
concepção de estudantes sobre a operação de divisão.
De acordo com Molinari (ibid.), à medida que os estudantes eram solicitados a
explicar outras maneiras de resolver o problema, eles eram confrontados com novas
formas de representação; alguns alunos variaram os grafismos durante a mesma
atividade, aproximando-se até mesmo do desenho.
A análise do referido estudo aponta que a representação gráfica constitui um
processo individual, no qual entram em jogo ideias e vivências sociais da criança.
Deste modo, a pesquisa deixa como contribuição para os educadores o
encorajamento de propor aos alunos que exponham suas ideias e busquem
alternativas próprias para a resolução de problemas. Esta visão se contrapõe, por
exemplo, ao que foi trazido pela autora Petrina (2012), cujo método de resolução de
problemas se baseou no ensino de uma representação gráfica para os alunos. Em
nossa pesquisa, ambas as abordagens foram implementadas, isto é, tanto os alunos
foram encorajados a utilizar estratégias próprias de resolução como também
oferecemos um tipo de representação gráfica que eles puderam utilizar, como o
diagrama.
Magina et al. (2010) buscaram analisar estratégias de 1021 estudantes das
séries iniciais do Ensino Fundamental de 26 escolas públicas do Sul da Bahia ao
resolverem problemas de estruturas aditivas. O referencial teórico que embasou a
pesquisa foi a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996). A coleta de
dados aconteceu por meio de um teste com doze problemas de estruturas aditivas.
Na análise dos dados, constatou-se que, quanto maior a complexidade dos
problemas, maior a taxa de erros. Observou-se que a ausência de palavras-chave
nos problemas, do tipo “mais”, “menor que” e “menos”, por exemplo, pareceu
dificultar a escolha da operação a ser efetuada pelos alunos.
Após a apreciação das respostas dos alunos, verificou-se que muitos deles
colocaram apenas o valor da resposta do problema e poucos registraram os passos
que seguiram para encontrar a solução. Tampouco utilizaram representações para
apoiar a resolução de problemas.
31
Para as autoras, a análise dos erros pode ser reveladora de dificuldades que
devem ser consideradas de forma a compreender melhor o processo cognitivo dos
alunos. Elas ainda afirmam que devemos saber quais são os procedimentos mais
naturalmente utilizados por alunos, ou os mais facilmente entendidos por eles,
quando ensinados. Esses estudos podem iluminar nossa visão para o lento
processo de aquisição do conhecimento e proporcionar um melhor entendimento
sobre o comportamento dos alunos. Por meio da pesquisa de Magina et al. (op.cit.),
entendemos que nosso trabalho procura contemplar uma visão apontada por essas
autoras de que precisamos conhecer os procedimentos mais utilizados e facilmente
entendidos pelos alunos, o que justifica a maneira como analisamos os dados
coletados.
Ao descrever os trabalhos de alguns pesquisadores, constatamos que alunos
resistiram ao uso de algumas ferramentas para a resolução de problemas,
apresentaram dificuldades no uso delas ou não apresentaram uma reflexão ao
resolvê-los. Esses fatores podem nos conduzir à necessidade de investir mais no
desenvolvimento de processos heurísticos pelos alunos no momento da resolução
de problemas.
1.2 Abordagens de Resolução de Problemas
Considerando nosso desejo de trabalhar uma metodologia que refletisse
sobre diferentes maneiras de resolver problemas multiplicativos, buscamos verificar
como a resolução de problemas pode ser trabalhada.
Allevato (2005) discute que há concepções diferenciadas dentro da resolução
de problemas. Ela aponta que é possível “ensinar sobre resolução de problemas”;
“ensinar para a resolução de problemas” e “ensinar através da resolução de
problemas”. (ALLEVATO, ibid., p.21 )
No caso da primeira concepção, o professor ensina seus alunos como
resolver problemas, valorizando e comentando o processo de resolução. Neste
caso, todas as estratégias, atitudes do aluno e fases que ele passou para responder
32
o problema devem ser evidenciadas. Ao ensinar para a resolução de problemas,
todo conceito matemático é ensinado pelo professor com o objetivo de que o aluno
possa aplicá-lo diante de certos problemas e transpô-lo para outros contextos. Já na
última concepção, ensinar através da resolução de problemas, o problema é visto
pelo professor como um elemento que pode disparar um processo de construção do
conhecimento; assim, os problemas podem anunciar ou favorecer o
desenvolvimento de um conceito matemático pelo aluno antes mesmo de ter sido
apresentado textualmente. Este terceiro caso compõe a Metodologia de Resolução
de Problemas, que consiste na construção autônoma do conhecimento por meio de
situações em que o aluno seja capaz de criar e ampliar sua capacidade de resolver
problemas.
Nossa pesquisa terá enfoque maior no “ensinar sobre a resolução de
problemas”, pois daremos ênfase a todo processo e às estratégias que poderão ser
utilizadas pelos alunos. No entanto, entendemos que todas essas três concepções
estão intimamente imbricadas.
Tendo em vista esse nosso desejo de ensinar sobre a resolução de
problemas, faz-se necessária uma reflexão a respeito do processo que a envolve.
Observamos, em grande parte das pesquisas que envolvem resolução de
problemas, referências aos estudos de Polya (1945, 2006) no que se refere aos
passos descritos pelo autor para se resolver um problema matemático. Procuramos
apresentar, neste trabalho, nosso entendimento sobre a concepção do autor a
respeito dos processos heurísticos envolvidos na resolução de problemas, além dos
passos por ele apresentados para resolvê-los. Já que a Metodologia de Resolução
de Problemas que usamos nesta pesquisa foi baseada nos passos de Polya (2006)
sobre como resolver um problema, julgamos pertinente que essas concepções
fossem apresentadas.
Para Polya (ibid., p.100), “heurístico” (adjetivo) significa “que serve para
descobrir”, enquanto a “heurística trata do comportamento humano em face de
problemas”. Polya (ibid.) destaca o estudo prático da heurística: conhecer melhor as
operações mentais típicas que se aplicam à resolução de problemas pode exercer
influência favorável sobre o ensino, particularmente sobre o ensino da Matemática.
O autor destaca que as bases da heurística devem ser as experiências com
33
resolução de problemas, e que o professor deve estar atento às atitudes tomadas
pelos alunos enquanto resolvem esses problemas.
O autor aponta que a Heurística, intitulada como Moderna, procura
“compreender o processo solucionador de problemas, particularmente as operações
mentais, típicas desse processo que tenham utilidade” (Polya, ibid., p. 99). Para ele,
todos os tipos de problemas, especialmente os práticos, incluindo os enigmas,
situam-se no campo da heurística.
Polya (ibid.) apresenta uma síntese dos passos sobre como resolver um
problema: compreensão do problema; plano para resolver o problema; execução do
plano e, por fim, exame da solução obtida. Para o autor, esses passos são de
grande importância, pois o professor deve ajudar o aluno em suas atividades, nem
demais nem de menos, mas de tal modo que ao estudante caiba uma parcela
razoável do trabalho.
Destacamos as fases propostas por Polya para se resolver um problema
matemático. Na fase correspondente à compreensão do problema, o autor levanta a
preocupação com a qualidade do enunciado verbal, bem como com a escolha
adequada do problema, sendo este nem tão fácil, nem tão difícil, e, principalmente,
prazeroso, afinal, se faz necessário que o estudante possa mobilizar conhecimentos
prévios, ao mesmo tempo em que é desafiado o bastante para seguir adiante.
Ele ainda destaca que o aluno deve estar apto a identificar as partes
principais do problema. Polya (ibid.) discute que, se houver uma figura relacionada
ao problema, o estudante deverá traçá-la e nela indicar a incógnita e os dados. Se
for necessário designar estes elementos, deverá adotar uma notação adequada,
pois, dedicando alguma atenção à escolha dos signos apropriados, o aluno será
obrigado a considerar os elementos para os quais estes signos devem ser
escolhidos. Percebemos a preocupação do autor com a representação gráfica a ser
feita pelo aluno, relacionada a processos heurísticos.
No que concerne ao estabelecimento de um plano para a resolução de
problemas, Polya (ibid.) considera que temos um plano quando conhecemos, pelo
menos de um modo geral, quais as contas, os cálculos ou os desenhos que
precisamos executar para obter a solução. Para o autor, o caminho que vai desde a
compreensão do problema até o estabelecimento de um plano pode ser longo e
tortuoso.
34
Para explicar a importância do exame da resposta dada a um problema, Polya
(ibid.) explica que, se o estudante fizer um retrospecto da resolução completa,
reconsiderando e reexaminado o resultado final e o caminho que levou até este,
poderá consolidar o próprio conhecimento e aperfeiçoar a capacidade de resolver
problemas. A partir das considerações feitas por Polya (ibid.) sobre as etapas de
resolução de problemas, verificamos a importância de ensinar procedimentos e
analisar aqueles que são próprios dos alunos.
Nesta pesquisa, trabalhamos a resolução de problemas, buscando os
processos heurísticos utilizados pelos alunos. Sendo assim, julgamos necessário
buscar algumas definições de Problema e Heurística. Se recorrermos ao dicionário
Aurélio (FERREIRA, 1986, p.150), verificamos que a palavra problema está
relacionada à dificuldade, pois ela significa “uma questão a ser resolvida por um
processo científico: problema de geometria. Tudo que é difícil de explicar, resolver,
tratar, lidar, etc.” Já na literatura, encontramos algumas definições diferentes para
“problema”. Para Hiebert et al. (1997, apud VAN DE WALLE, 2009 ), “um problema é
definido como qualquer tarefa ou atividade na qual os estudantes não tenham
nenhum método ou regra já receitados ou memorizados”. Na visão de Onuchic
(1999, p.215) “problema é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está
interessado em resolver”. Já para Dante (2005, p.10), “problema matemático é
qualquer situação que exija a maneira de pensar e conhecimentos matemáticos para
solucioná-la.” Percebemos, na definição do autor, que ele se refere à mobilização de
conhecimentos matemáticos prévios dos alunos a fim de resolver um problema. Para
Vergnaud (2009), problema é toda situação na qual é preciso desenvolver atividades
de exploração, de hipótese e de verificação para produzir uma solução. Nossa
pesquisa tem como referência o conceito de “problema” a partir das ideias de
Vergnaud (ibid.), por se tratar do referencial teórico dessa pesquisa.
Para esta pesquisa, tomaremos o conceito de heurística proposto por Polya
(2006), de que a “heurística trata do comportamento humano em face de problemas”
(id. Ibid. 2006, p.100), pois, se temos como objetivo investigar se a utilização de uma
metodologia de resolução de problemas que valoriza a reflexão sobre o processo de
resolver um problema pode colaborar para a percepção dos processos heurísticos
envolvidos, estamos tratando dos comportamentos desses sujeitos frente a
resolução de problemas.
35
Neste capítulo, apresentamos resultados de pesquisas empíricas.
Percebemos, nesta revisão de literatura, que muitas pesquisas tratam da resolução
de problemas e algumas discutem como Polya (2006) apresenta as etapas de
resolução. Vimos que grande parte dessas pesquisas estão relacionadas ao campo
aditivo, no entanto, estes trabalhos foram importantes para que pudéssemos
perceber a necessidade de desenvolver uma proposta na qual os estudantes
pudessem tomar consciência dos próprios processos heurísticos.
Nossa revisão aponta a necessidade de mais pesquisas sobre o campo
multiplicativo, que, aparentemente, possui menos pesquisas do que o campo aditivo,
e que apresenta dificuldades a serem estudadas. Por isso, em nossa pesquisa,
buscamos relacionar o campo multiplicativo ao desenvolvimento de processos
heurísticos, podendo contribuir para compreender as dificuldades e facilidades que
os alunos levantam ao resolver problemas.
No próximo capítulo, apresentaremos a fundamentação teórica que norteia
esta pesquisa, desde a elaboração dos instrumentos de coleta, até a análise dos
dados.
36
CAPÍTULO II - A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
E AS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS
Neste Capítulo, tecemos algumas considerações a respeito da Teoria dos
Campos Conceituais, dando ênfase às estruturas multiplicativas. Esta teoria foi
desenvolvida pelo professor, psicólogo e pesquisador Gérard Vergnaud,
considerado um dos pilares do movimento francês conhecido como movimento da
Didática da Matemática.
Justificamos a escolha deste referencial teórico pelo fato de, nesta teoria,
pretender-se que o sujeito seja o construtor do próprio conhecimento. Neste ponto,
encontramos consonância entre nosso objetivo de pesquisa que é investigar se a
utilização de uma metodologia de resolução de problemas multiplicativos que
valoriza a reflexão sobre o processo de resolver um problema pode colaborar para a
percepção dos processos heurísticos e a Teoria dos Campos Conceituais, pois, com
ela, podemos verificar como os estudantes mobilizam invariantes operatórios para
resolver cada tipo de situação multiplicativa. Como discutiremos adiante, esta é uma
teoria que nos permite identificar as situações e os invariantes operatórios
apresentados pelos alunos.
Vergnaud (1993) organiza o conhecimento por meio de campos conceituais.
O autor considera um campo conceitual como um conjunto de situações, problemas,
relações, estruturas, conceitos e teoremas inter-relacionados. Portanto, o domínio
que o sujeito terá de um conhecimento ocorre ao longo de um largo período de
tempo, por meio de sua experiência, maturidade e aprendizagem.
A Teoria dos Campos Conceituais parte do pressuposto de que a
conceituação é a essência do desenvolvimento cognitivo, isto é, a noção de
“conceito” adquire papel fundamental nesta teoria. Um “conceito” só fará sentido
para a criança por meio de “situações” e de problemas a serem resolvidos. Na
próxima seção, destacamos o papel do conceito dentro da Teoria dos Campos
Conceituais.
37
2.1 Conceito
Vergnaud (1996a) aponta que um conceito não se forma dentro de um só tipo
de situação, assim como uma situação não se analisa com um só conceito. Esse
processo é longo e repleto de mal-entendidos entre as situações, ou seja, a
conceituação é um processo extenso, que requer diversificação de situações.
Para estudar e entender como conceitos matemáticos se desenvolvem nas
mentes de crianças por meio de experiências na escola e fora dela, Vergnaud (ibid.)
considera que um conceito é formado pela seguinte tríade:
(S) conjunto das situações que dão significado ao conceito (referência); (I) conjunto dos invariantes nos quais se assenta a operacionalidade dos esquemas (o significado); (R) conjunto das formas pertencentes e não pertencentes à linguagem que permitem representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (o significante). (id.ibid. 1996a, p.166)
Logo, um conceito (C) é formado por um conjunto de situações (S), os
invariantes (I) e as representações (R). Para que os conceitos sejam aprendidos
pelos estudantes, o processo de aprendizagem deve considerar as diversas
situações que dão sentido a esses conceitos, bem como os invariantes e as
representações relacionados a eles.
Essa teoria considera que o desenvolvimento dos conceitos deve surgir
dentro de situações-problemas, isto é, deve-se ensinar por meio da resolução de
problemas. De acordo com Vergnaud (2009), um conceito só faz sentido para o
aluno por meio da linguagem e dos símbolos envolvidos. Portanto, um aluno pode
até saber a definição de um conceito, mas isso é muito diferente de saber transferir
esse conhecimento para uma situação distinta daquela em que o aprendeu.
Quando as situações-problema são contextualizadas de acordo com a
realidade do aluno, a construção do conhecimento se dá em uma relação direta com
as operações que o estudante faz sobre essa realidade, bem como com relações em
que é capaz de discernir, de compor e de transformar, através os conceitos que ele
aos poucos constrói.
38
De acordo com Vergnaud (1997, p. 6) “é na matemática que se encontra a
maior lacuna entre o conhecimento expresso pelos cientistas e o conhecimento
subjacente às competências comuns das crianças e dos adultos.” Ele ainda ressalta
que é dever da escola fazer essa conexão entre a teoria e a prática.
Nesse ponto, fica evidente a necessidade de trazer o contexto de fora da
escola para dentro das salas de aula, assim como levar conhecimentos e conceitos
adquiridos na escola para fora da vida escolar do estudante, fazendo-o mobilizar o
mesmo conceito para solucionar situações variadas.
2.2 Situação
Para Vergnaud (2009), o processo de desenvolvimento cognitivo ocorre por
meio das situações a serem enfrentadas pelo sujeito, e, como dito, tem como cerne
a construção dos conceitos. Dentro da Teoria dos Campos Conceituais, “situação”
possui o mesmo sentido de tarefa, e, sendo assim, toda situação complexa pode ser
analisada como uma combinação de tarefas.
Vergnaud (1990) coloca que a “situação” é qualquer tarefa teórica ou empírica
que será realizada pelo sujeito. O autor toma o conceito de “situação” como
comumente lhe atribuem os psicólogos, isto é, os processos cognitivos e as
respostas do sujeito são função das situações com que ele se confronta.
Situações diferentes para um mesmo conceito podem surgir por meio de
problemas. Sendo assim, “problema”, para Vergnaud, é toda situação na qual é
preciso desenvolver atividades de exploração, de hipótese e de verificação para se
produzir uma solução.
39
2.3 Cálculo Relacional e Cálculo Numérico
Desde muito pequenas, as crianças são confrontadas com situações e vão
aprendendo como responder a cada uma delas. Vergnaud (2009) aponta que as
primeiras dificuldades que crianças apresentam se referem a objetos e a relações
não-numéricas.
Partindo desse pressuposto, o autor foi levado a desenvolver uma visão das
estruturas aditivas e das estruturas multiplicativas que vai além das quatro
operações da aritmética, isto é, Vergnaud (ibid.) dedicou, em seus estudos, atenção
não só ao cálculo numérico, como também ao cálculo relacional.
Há uma distinção entre cálculo numérico e cálculo relacional. O cálculo numérico
se refere às operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão, isto é,
à conta, ao cálculo a ser efetuado. Já o cálculo relacional se refere ao pensamento
envolvendo as relações das situações, isto é, à lógica do problema.
Para Vergnaud (ibid.), o estudante precisa dominar ambos os cálculos, numérico
e relacional. Ele ainda aponta que é o cálculo relacional que fornece as
combinações e transformações das relações para o cálculo numérico.
2.4 Significado e Significante
De acordo com Vergnaud (2009), para compreender uma realidade e agir
sobre ela, a criança constrói representações mentais dessa realidade. Ao se
estabelecer relação entre conceito e significado, na perspectiva do autor, temos (S)
as situações referindo-se à realidade ou referente e (I,R) referindo-se à
representação.
A representação pode ser analisada como a interação entre significado (I) e
significante (R), isto é, segundo Vergnaud (ibid.), os significantes (símbolos ou
40
signos) representam os significados que são eles próprios de ordem cognitiva e
psicológica.
O autor exemplifica que, se perguntarmos a duas crianças quantos anos elas
têm, uma poderá mostrar os dez dedos da mão, enquanto outra pode desenhar o
numeral dez em uma folha. Neste caso, temos dois significantes, dez dedos da mão
e o registro por escrito do numeral 10, para representar o mesmo significado, a
mesma ideia do número dez.
O modo como uma criança resolverá um problema da tarefa escolar e os
meios pela qual ela passará para atingir o propósito dessa tarefa estão fortemente
relacionados à percepção que ela tem ou não das relações, das transformações e
das noções em jogo, com todas as suas propriedades. Nem sempre o aluno
conseguirá representar graficamente, por meio de esquemas, desenhos, tabelas
entre outros, o que entendeu ou o que pensa, pois a interação entre o significado e o
significante requer muito esforço.
Vergnaud (1996b) aponta como uma dificuldade da psicologia cognitiva
reconstruir conhecimentos implícitos na ação, afinal algumas crianças encontram
problemas para enunciar a compreensão deles e os conceitos envolvidos. Além
disso, um dos problemas do ensino é “desenvolver ao mesmo tempo a forma
operatória de conhecimento, isto é, o saber-fazer, e a forma predicativa do
conhecimento, isto é, saber explicitar os objetos e suas propriedades” (id. Ibid.,
1996b, p.13). Em nossa pesquisa, procuramos estabelecer meios para reconhecer
esses conhecimentos que estão implícitos na ação do estudante, e, ainda, levá-los a
refletir sobre a importância disso para eles próprios.
Com base nas ideias colocadas pelo autor, verificamos que se faz necessário
desenvolver com alunos atividades em que possam refletir sobre o próprio processo
de aprendizado, a fim de compreenderem quais foram os passos que os conduziram
às respostas obtidas, isto é, aos conhecimentos implícitos na ação.
41
2.5 Esquema
De acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, dada uma situação, o
aluno reage segundo as representações que dela faz (significados e significantes);
no entanto, o que liga essas representações e o procedimento é o esquema.
Vergnaud (1997, p.12) define esquema como “uma organização invariante do
comportamento para uma certa classe de situações”. Entendemos que isto quer
dizer que, para que a criança relacione representações que ela tem de uma situação
e o procedimento de resolução que adotará, ela precisará de um esquema.
Para Vergnaud (ibid.), a organização do comportamento deve ser considerada
como um todo e um esquema é uma combinação de diferentes tipos de elementos,
como objetivos e expectativas, regras para selecionar a informação relevante,
invariantes operatórios e, por fim, possibilidades de inferência, o que significa
deduzir por raciocínio:
1) Objetivos e expectativas; 2) Regras para gerar ações segundo a evolução de diferentes variáveis da situação e, portanto, regras para selecionar informações e checá-la; 3) Invariantes operatórios: para compreender e selecionar a informação relevante (conceitos-em-ação) e tratar esta informação (teoremas-em-ação); 4) Possibilidades de inferência (Sempre há inferências hic et nunc quando o sujeito enfrenta uma tarefa; um esquema não é um esteriótipo, mas uma organização universal; isto é relevante para uma classe de situações e não apenas para uma situação). (id. Ibid., p. 12-13, Tradução livre do autor
2)
Então, um esquema será composto das expectativas e dos objetivos do
sujeito, mas é com base nas informações e na forma como o indivíduo as mobiliza
que ele poderá selecionar conceitos-em-ação ou teoremas-em-ação relevantes para
determinada situação. Ao final, o sujeito poderá ser capaz de inferir que determinado
esquema pode ser relevante não só para aquela situação, mas também para uma
classe de situações.
2 1. Goals and expectations;
2. Rules to generate actions according to the evolution of the different variables of the situation and therefore rules to pick up information and check; 3. Operational invariants: to grasp and select the relevant information (concepts-in-action) and treat this information (theorems-in action); 4. Inferences possibilities (there are always hic et nunc inferences when the subjects is facing a task; a scheme is not a stereotype but a universal organization; it is relevant for a class of situations and not for one situation only).
42
Vergnaud (1993) apresenta duas classes de situações para os esquemas. Na
primeira classe de situações, o sujeito dispõe, no seu repertório, de competências
necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação, isto é, o aluno
consegue resolver determinado problema somente com seus conhecimentos
prévios.
Já na segunda classe de situações, o sujeito não dispõe de todas as
competências necessárias, e, por isso, será necessário que reflita, explore, realize
tentativas frustradas, que podem conduzi-lo tanto ao sucesso quanto ao fracasso.
Neste segundo caso, o aluno tentará mobilizar seus conhecimentos prévios, mas
estes poderão não ser suficientes para resolver o problema.
Verificamos na primeira classe de situações, “comportamentos amplamente
automatizados, organizados por um só esquema” (id. Ibid., p.2), nos quais não é
gerado desequilíbrio para o aluno, enquanto na segunda classe de situações,
“observa-se a sucessiva utilização de vários esquemas, que podem entrar em
competição e que, para atingir a solução desejada, devem ser acomodados,
descombinados e recombinados.” (id. Ibid., p.2). Este é um processo acompanhado
por descobertas.
Entendemos que o conhecimento a respeito de esquemas pode auxiliar a
escolha de problemas matemáticos a serem levados para a sala de aula por parte
do professor, pois, assim, é possível pensar em problemas que proponham
situações que mobilizem vários esquemas, a fim de desafiar e motivar os alunos.
A partir do que destacamos sobre as duas classes de situações, podemos
observar que o sujeito se ampara no conhecimento que possui, implícito ou explícito
diante das situações, e, por fim, podemos perceber que há uma interação entre
esquema-situação, ou seja, o esquema é o referente do sujeito do conhecimento e a
situação é a circunstância e o contexto em que o objeto a ele se apresenta.
Vergnaud (ibid, p.3) aponta que “quando uma criança utiliza um esquema
ineficaz para determinada situação, a experiência a leva, seja a mudar de esquema,
seja a modificar o esquema”, e muitos esquemas podem ser sucessivamente
evocados, ou mesmo simultaneamente, em uma situação nova para o sujeito (ou por
ele considerada nova).
43
Os esquemas podem ser algoritmos ou um processo heurístico. Os algoritmos
são casos especiais de esquemas. Para Vergnaud (1998):
Um algoritmo é uma regra efetiva ou um conjunto de regras efetivas para resolver uma certa classe de problemas. Este conjunto de regras faz com que seja possível encontrar uma solução para qualquer problema da classe em um número finito de passos, se tal solução existir, ou para mostrar que não há solução. (id. ibid, p.171, Tradução livre do autor
3)
Como esquema, os algoritmos também são compostos de objetivos,
expectativas, regras, invariantes operatórios e possibilidades de inferência. Os
algoritmos são funcionais e efetivos, apontando se há ou não solução em um
número finito de passos.
Para Vergnaud (1996a), é difícil e mesmo quase impossível as crianças
explicitarem o conjunto de regras que compõem o algoritmo da adição, por exemplo,
mas são capazes de executar a sequência dessa operação, havendo, assim, muito
de implícito nos esquemas.
Existem diversos tipos de exemplos de esquemas como sociais, verbais e
perceptivo-gestual; no entanto, neste trabalho, fixaremo-nos nos esquemas mais
intrinsecamente relacionados à Matemática, como os algoritmos de adição,
subtração, divisão e multiplicação. Vergnaud (1998, p. 172) aponta que4 “há muitos
esquemas perceptivos-gestuais na Matemática”, como “contar um conjunto de
objetos, desenhar um gráfico ou um diagrama e desenhar uma imagem simétrica de
qualquer figura plana apenas com régua e o compasso.”
Uma das maneiras de se verificar quais são os esquemas utilizados pelos
estudantes é pelo acompanhamento dos momentos em que eles são chamados a
dar respostas a problemas. É possível investigar, nas estratégias usadas em
resoluções de problemas, os esquemas utilizados pelos estudantes, e, assim, tentar
compreender melhor os avanços e as dificuldades dos alunos.
3 An algorithm is an effective rule or an effective set of rules to solve a certain class of problems. This
set of rules makes it possible to find a solution to any problem of the class in a finite number of steps, if such a solution exists, or to show that there is no solution. 4 “…There are many perceptive-gestural schemes in mathematics…” “counting a set of objects;
drawing a graph, or a diagram; drawing the symmetric image of any plane figure with the ruler and the compass only.”
44
É nos esquemas que devemos pesquisar os conhecimentos em ação do
sujeito, isto é, os conceitos-em-ação e os teoremas-em-ação (invariantes
operatórios), que permitem que a ação do sujeito seja operatória. Esses dois
conceitos se constroem em estreita relação. Em nossa pesquisa, pretendemos
evidenciar as respostas dadas pelos alunos aos problemas matemáticos com o
intuito de investigar nos esquemas os invariantes operatórios apresentados pelos
estudantes. É justamente o enfoque de nossa pesquisa propiciar diferentes
maneiras de resolver problemas, a fim de pesquisar conhecimentos implícitos dos
estudantes.
2.6 Invariantes Operatórios
Os invariantes operatórios são componentes essenciais dos esquemas, e são
designados pelas expressões “conceito-em-ação” e “teorema-em-ação”. Para
Vergnaud (1996a), “teorema-em-ação” é uma proposição tida como verdadeira
sobre o real, enquanto “conceito-em-ação” é um objeto, um predicado, ou uma
categoria de pensamento tida como pertinente, relevante.
São os invariantes operatórios que representam atitudes, escolhas
estratégicas que o sujeito utiliza diante de uma situação e variam de acordo com os
conhecimentos prévios que o sujeito possui.
O conhecimento prévio do estudante pode ser impeditivo, e, em certos casos,
será necessário romper com ele. Um exemplo que clarifica essa questão é a
transição da aritmética para a álgebra, na qual o aluno é colocado diante de uma
situação de desconstrução para reconstruir.
Um modelo sobre essa situação oferecido por Vergnaud (ibid.) é: dado um
problema de álgebra, a prática comum entre muitos estudantes é construir um
desenho para resolver este problema, o que acaba sendo equivalente a uma
equação algébrica. Depois, revertem para métodos aritméticos para avaliar a
incógnita, e, por isso, acabam dispensando a necessidade de transformar o
problema em equações para resolvê-lo.
45
Em geral, os estudantes possuem certa dificuldade em verbalizar teoremas-
em-ação e conceitos-em-ação que possuem e que são tidos como verdadeiros para
eles. Contudo, é de extrema importância que esse conhecimento seja explicitado,
pois progressivamente podem tornar-se verdadeiros conceitos e teoremas
científicos. Em nossa pesquisa, pretendemos verificar se os alunos terão também
dificuldade para expor teoremas-em-ação e conceitos-em-ação no momento de
resolver os problemas. Pretendemos investigar se a metodologia de resolução de
problemas que utilizaremos implicará na percepção dos alunos sobre os processos
heurísticos.
Verificamos a importância do papel mediador do professor frente à Teoria dos
Campos Conceituais, a fim de ajudar o aluno a construir conceitos e teoremas
explícitos e cientificamente aceitos, a partir do conhecimento implícito. Muitas vezes,
o que alunos apresentam são apenas regras de ação, e não teoremas, e sua
respectiva função é ser eficiente apenas para aquela situação. No entanto, essas
regras de ação poderão evocar teoremas-em-ação.
Deste modo, os teoremas-em-ação se manifestam durante a resolução de um
problema quando um aluno escolhe uma operação ou uma sequência de operações.
Cabe ao professor perceber as relações que estão por trás de cada ação do aluno, a
fim de propor novas situações-problema que ampliem o conhecimento do aluno.
Vergnaud (1997, p.27) ainda reforça que “a relevância dos conceitos-em-ação
e a verdade dos teoremas-em-ação são condições essenciais para a eficiência dos
esquemas”. Sendo assim, os conceitos-em-ação não são verdadeiros ou falsos, mas
apenas relevantes ou irrelevantes, e é função dos conceitos estarem envolvidos com
os teoremas.
2.7 Estruturas Multiplicativas
Dentro da Teoria dos Campos Conceituais, destacamos as estruturas
multiplicativas, que constituem duas grandes categorias: o Isomorfismo de Medidas
46
e o Produto de Medidas, podendo estas serem divididas em subclasses. Essas
relações podem comportar tanto uma multiplicação quanto uma divisão.
Isomorfismo de Medidas
A primeira grande forma de relação multiplicativa é uma relação quaternária,
isto é, envolve quatro quantidades, sendo que duas delas são de certo tipo e as
outras duas de outro. Neste caso, consiste em uma proporção direta entre duas
grandezas (quantidade e custo, pessoas e produtos, por exemplo).
Dentro do Isomorfismo de Medidas, há três grandes classes de problemas de
acordo com a incógnita, caso ela seja uma ou outras das três outras quantidades.
Na Figura 1, apresentamos uma ilustração feita por Vergnaud (2009) para elucidar
as três classes por meio de esquemas análogos de fácil compreensão (x representa
a incógnita).
Figura 1: As três classes do campo multiplicativo
Fonte: Vergnaud, 2009, p. 261
Cada uma dessas três classes subdivide-se em numerosas subclasses,
evidenciando, assim, dificuldades muito desiguais.
47
Figura 2: Subclasses do campo multiplicativo.
Fonte: id. Ibid., p. 261
Por exemplo, no caso dos números inteiros pequenos, pode-se pensar num
problema em que a cada 1 pulo que a mamãe canguru dá, o seu filhote precisa dar 3
pulos para acompanhá-la. Então, a cada 2 pulos da mamãe canguru, busca-se
saber quantos pulos o filhote terá que dar. Nesse primeiro caso, estamos lidando
com números inteiros e pequenos, diferente do segundo caso apresentado na Figura
3, do valor unitário decimal em que se acrescentaria o uso do cálculo com números
decimais, o que talvez possa dificultar a resolução do problema por parte do aluno.
Outros exemplos são apresentados por Vergnaud (ibid.) para diferenciar
problemas multiplicativos. É o caso dos dois exemplos a seguir:
Paguei R$ 12,00 por 3 garrafas de vinho. Quanto custa cada garrafa?
Figura 3: Primeiro Exemplo da classe multiplicativa
Fonte: id. ibid, p. 240
48
Pedro tem R$ 12,00 e quer comprar pacotes de bala a R$ 4,00 o pacote.
Quantos pacotes ele pode comprar?
Figura 4: Segundo Exemplo da classe multiplicativa
Fonte: id. ibid., p. 240
Para Vergnaud (ibid), entre estes exemplos a diferença é de outra natureza:
no Exemplo da Figura 3, é preciso encontrar o valor unitário, conhecendo-se o elo
de correspondência entre duas grandezas de naturezas diferentes, enquanto no
Exemplo da Figura 4, o valor unitário é fornecido e é preciso encontrar o número de
unidades da primeira espécie correspondente a uma grandeza dada de outra
espécie. Já o exemplo a seguir envolve outras dificuldades:
Vou comprar 12 garrafas de vinho a R$ 12,50 por três garrafas. Quanto vou
gastar?
Figura 5: Terceiro Exemplo da classe multiplicativa
Fonte: id., ibid., p. 240
Entendemos que todos os exemplos de problemas multiplicativos da categoria
de Isomorfismo de Medidas apresentam dificuldades diferentes. Mesmo que, para
resolver os problemas, o estudante necessite somente de divisões, esse fato não
coloca em jogo as mesmas noções, como vimos nos exemplos anteriores. Nos
Exemplos das Figuras 5 e 6, o procedimento empregável é uma multiplicação, nos
Exemplos das Figuras 3 e 4, é uma divisão.
49
Vejamos um novo exemplo que indica uma forma de relação multiplicativa
que ainda não foi examinada neste relato, que traz um único espaço de medida.
São necessários 2 metros de tecido para se fazer uma saia. São necessários
três vezes mais para fazer um conjunto. Quantos metros são necessários para se
fazer um conjunto?
Figura 6: Primeiro Exemplo de Caso de um único espaço de medidas
Fonte: id. ibid., p. 262
Este esquema apresenta uma correspondência estabelecida entre duas
quantidades de um lado e dois objetos (saia e conjunto) do outro. O número 2
representa uma medida em metros, assim como o número 6; já o número 3
representa o que o autor chama de operador-escalar, verbalmente indicado pela
palavra “vezes”.
Vergnaud (ibid.) diz que as expressões linguísticas “três vezes mais”, “três
vezes menos”, por exemplo, estão inevitavelmente presentes no enunciado dessa
forma de relação, o que permite a distinção em três classes de problemas: a
multiplicação, a divisão como busca de uma medida e a divisão como busca de um
escalar. A multiplicação já está exemplificada no caso das saias e conjuntos
apresentado na Figura 6.
A divisão como busca de uma medida pode ser exemplificada no caso da
Figura 7, enquanto um exemplo de divisão como busca de um escalar é
apresentado na Figura 8.
50
É necessário três vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma saia.
São necessários 6 metros para um conjunto. Quanto de tecido é necessário para se
fazer uma saia?
Figura 7: Segundo exemplo de Caso de um único espaço de medidas
Fonte: id. Ibid., p. 263
São necessários 2 metros de tecido para fazer uma saia, 6 metros para um
conjunto. Quantas vezes mais é necessário para se fazer um conjunto (em relação a
uma saia)?
Figura 8: Terceiro Exemplo de caso de um único espaço de medidas
Fonte: id. Ibid., p. 263
Produto de Medidas
Essa forma de relação multiplicativa consiste em uma relação ternária entre
três quantidades. Essa segunda forma de relação multiplicativa permite distinguir
duas classes de problemas: a multiplicação e a divisão.
51
Multiplicação: encontrar a medida-produto, conhecendo-se as medidas
elementares.
Divisão: encontrar as medidas elementares, conhecendo-se a outra e a
medida do produto.
Seguem dois exemplos extraídos de Vergnaud (ibid.) a respeito dessa
categoria:
Quadro 1: Primeiro exemplo da Categoria Produto de Medidas Fonte: id. Ibid., p. 252
Quadro 2: Segundo Exemplo: Organização Retangular
Fonte: id. Ibid., p. 255
Esse tipo de problema também é comumente conhecido como de combinação
ou organização retangular. Se o retângulo é composto por linhas e colunas de um
metro de comprimento, a medida da superfície é fruto do produto da medida do
Exemplo 1:
3 rapazes e 4 moças querem dançar. Cada rapaz quer dançar com cada
moça e cada moça, com cada rapaz. Quantos seriam os casais possíveis?
Exemplo 3:
Uma sala retangular tem 4 metros de comprimento e 3 metros de largura.
Qual é a sua área?
52
comprimento pela medida da largura, tanto no plano das dimensões como no plano
numérico. Segundo Vergnaud (2009), a noção de metro quadrado tem, assim, dois
sentidos que se complementam, um de quadrado de um metro de lado e outro de
produto de duas medidas de comprimento, isto é, metro X metro.
Neste capítulo, buscamos esclarecer os principais pontos da Teoria dos
Campos Conceituais de Vergnaud, como situações, esquemas, invariantes
operatórios, significados e significantes, cálculo relacional e cálculo numérico.
Para pensar em resolução de problemas, no sentido de que pretendemos
evidenciar diferentes situações, de acordo com Vergnaud (ibid.), pensamos em
trabalhar com uma metodologia de resolução de problemas que permita que o aluno
reflita sobre cada passo dado para resolver problemas, envolvendo conceitos e
representações dentro de uma situação. Então, para isso, utilizamos as ideias de
Mason, Burton e Stacey (1982) que são apresentadas no próximo Capítulo. O
diagrama de barras citado no Capítulo I também é discutido no Capítulo III.
53
CAPÍTULO III - METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Nos capítulos anteriores, discorremos sobre a Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud (2009), abrangendo os conceitos de situação, esquema e
invariantes operatórios, e vimos que Polya (2006) reconhece a importância de o
aluno perceber a necessidade de passar por diferentes fases para resolver
problemas.
Darsie e Leite (2011) apontam que as atividades de metacognição propostas
por professores de Matemática devem levar os alunos a refletirem sobre o modo
pelo qual executam algum procedimento ou resolvem determinado problema,
garantindo a interação entre o aluno e a situação, e, consequentemente, entre o
aluno e os seus próprios processos mentais. Além disso, professores devem
estimular a prática de registrar o que foi realizado durante a resolução de uma
atividade, para que, assim, esse aluno possa descrever todo o processo, e não só
os resultados obtidos. Entende-se que, desta maneira, outros possam percorrer os
caminhos que levaram à solução do problema em questão.Conforme apontado no
trabalho de Darsie e Leite (ibid.) sobre a importância de se “ensinar sobre a
resolução de problemas”, buscamos referências na proposta de fases de trabalho
para se resolver um problema, dos autores Mason, Stacey e Burton (1982).
Mason, Burton e Stacey (1982), inspirados pelos estudos de George Polya,
expõem sobre os processos matemáticos, visando o início da resolução de um
problema, como atacá-lo efetivamente e ainda como aprender com a experiência.
Diferentemente de Polya, esses autores colocam o estudante/sujeito no cerne dos
estudos, sendo a figura do professor não ressaltada nesse processo. Os autores,
por meio da própria experiência no trabalho com estudantes de várias idades,
apontam que o pensamento matemático pode ser desenvolvido com base em:
Combater as questões conscientemente; Refletir sobre essa experiência; Relacionar sentimentos com ação; Estudar o processo de resolver
54
problemas; Perceber como o que você aprendeu se encaixa com sua
própria experiência. (id. Ibid., p.ix, tradução nossa)5
A ideia central do trabalho dos autores é a de que todas as pessoas são
capazes de resolver problemas autonomamente, desde que sigam alguns passos e
procurem desenvolver o pensamento matemático. Ainda ressaltam que, desde os
primeiros anos, crianças podem desenvolver confiança durante a resolução de uma
questão, desafio e reflexão, mas elas precisam ser encorajadas e estimuladas a
isso.
Os autores apontam que há processos específicos que ajudam o pensamento
matemático, como, por exemplo, a especialização e a generalização. A
especialização significa voltar-se para exemplos anteriores para aprender sobre a
questão atual, e, neste caso, os exemplos que os estudantes escolhem são
especiais no sentido de que eles serão exemplos particulares de uma situação mais
geral no problema em questão. Alguns questionamentos que podem auxiliar os
alunos nesse processo são: “Você já tentou um exemplo?” “O que acontece neste
caso particular?”
Ao contrário do processo de especialização, no qual os estudantes podem se
mover em direção a alguns exemplos para fazer suposições a respeito do problema,
no processo de generalização, o movimento é o de articular uma noção de alguns
padrões subjacentes e transformá-la em uma conjectura, cuja validade deverá ser
investigada. Para Mason, Burton e Stacey (ibid.) generalizar significa detectar um
padrão levando em consideração:
O que parece provável de ser verdadeiro (uma conjectura); Por que isso é provável de ser verdadeiro (uma justificativa); Onde isso é provável de ser verdadeiro, isto é, uma definição mais geral da
questão (outra questão!). (id. Ibid., p.24, Tradução livre do autor)6
Para Mason, Burton e Stacey (ibid.) para resolver um problema, são
necessários três passos, chamados “Entrada”, “Ataque” e “Revisão”, e a passagem
entre essas fases corresponde a uma reflexão sobre o progresso do que foi ou não 5 Tackling questions conscientiously; reflecting on this experience; linking feelings with action;
studying the process of resolving problems; noticing how what you learn fits in with your own experience. 6 What seems likely to be true (a conjecture); Why it is likely to be true (a justification); Where it is
likely to be true, that is, a more general setting of the question (another question!)
55
realizado. Entendemos que o estudante precisa estar o tempo todo no comando da
situação de resolver um problema.
Em nossa pesquisa, daremos relevância a alguns pontos do trabalho de
Mason, Burton e Stacey (ibid.), como por exemplo, a proposta de que o aluno
precisa escrever suas próprias anotações enquanto procura por uma resolução para
determinada questão, pois acreditamos que esse aluno poderá se utilizar desses
registros em futuras resoluções de problemas.
Os autores apontam que os alunos deverão fazer anotações considerando os
seguintes comandos: registrar todas as ideias significantes que ocorrerem enquanto
estiverem procurando por uma resolução para a questão, anotar suas tentativas e os
seus sentimentos sobre isso. Realizando estes dois comandos, os estudantes
poderão registrar as suas primeiras impressões acerca do problema, e, se
necessário, consultar essas informações em outras circunstâncias.
Segundo os autores, essas anotações, chamadas por eles também de
rubricas, servem de ponto de partida para a resolução de um problema, que
inicialmente parecia sem solução, portanto, “escrever os sentimentos que você tem e
as ideias matemáticas que lhe ocorrem destruirá a brancura gritante do pedaço de
papel que você enfrenta quando você começa a responder uma pergunta” (id.
Ibid.,p. 11, tradução nossa7). Afinal, Mason, Burton e Stacey (ibid.) relatam que
algumas pessoas são tão ansiosas para resolver o problema que procuram resolver
logo na primeira ideia que tiveram, e, por isso, acabam errando.
A seguir, discutimos, de uma maneira mais detalhada, como esses autores
apontam as fases de trabalho com um problema matemático.
Entrada
Na fase denominada de Entrada, Mason, Burton e Stacey (1982) apontam
que a familiarização com o problema se dá por meio de dois caminhos: pela
absorção da informação dada, e encontrando qual a questão do problema. Com o
7 Writing down the fellings you have and the mathematical ideas that occur to you will destroy the stark
whiteness of the piece of paper that confronts you as you begin a question.
56
objetivo de auxiliar nessa etapa, é válido fazer a si próprio três questionamentos e
incorporá-los na rubrica.
O que eu sei? O que eu preciso?
O que eu posso introduzir? (id. Ibid., p.29, Tradução livre do autor)8
As ideias dos autores a respeito da rubrica nos mostram que é importante, assim
que ler algum problema, anotar o que já se entendeu e que já se sabe que pode ser
válido para a resolução do problema. Em seguida, tentar verificar o que não se sabe
ou não entendeu, observando, assim, a dificuldade da questão. Por fim, pensar em
uma maneira de encontrar aquilo que não se sabe e que precisa ser resolvido, e isso
pode ser feito com o uso de estratégias anteriores que deram certo, inclusive em
problemas anteriores.
Ataque
Na fase de ataque, o aluno passa a conjecturar, isto é, ele passa a
desenvolver ideias ainda não provadas como verdadeiras, baseadas em suposições
com fundamentos não verificados com o objetivo de resolver um problema.
Os autores apontam que uma conjectura é um palpite informal sobre um
possível padrão ou regularidade que pode explicar “o que” é intrigante na questão
particular. Uma vez formulada, a conjectura é investigada para ver se a mesma deve
ser modificada ou se pode ser convincentemente justificada. Isto é feito procurando
o “por quê”.
Deste modo, o aluno levanta conjecturas e as coloca em prática a fim de obter
sucesso na resolução do problema, o que nem sempre acontece, pois, no momento
em que o estudante aplica sua conjectura, ele pode perceber que ela não responde
o problema em questão. Assim, surgem algumas conjecturas por parte dos
estudantes que podem parecer razoáveis afirmações, mas cujas verdades não
foram estabelecidas. Nem todas as conjecturas tem importância; na verdade, muitas
podem ser falsas, e elas são modificadas tão logo passam a existir. Neste caso,
8 What do I know?; What do I want?; What can I introduce?
57
parte da arte de conjecturar é estar aberto para novas interpretações que surgem
inesperadamente de outro modo, e que podem parecer um contexto familiar.
Os autores apontam que explicar o “por quê” de suas conjecturas envolve
convencer-se a si próprio e, mais importante, convencer os outros que você pode
justificar seus argumentos, pois ser capaz de convencer outras pessoas é
geralmente ainda mais difícil. Explicar o “por quê” é largamente baseado na ideia da
estrutura matemática, uma importante noção do que está por detrás de tentativas
para explicar porque alguma coisa pode ser verdadeira, e o desenvolvimento de
conjectura.
Do ponto de vista de Mason, Burton e Stacey (1982), o estudante necessita
desenvolver um monitor interno, isto é, ele mesmo precisa ser capaz de se fazer
perguntas suficientemente adequadas que o conduzam a resolver o problema.
Quando isso não for suficiente, se faz necessário então o papel de um tutor que
realize questionamentos úteis que o façam seguir adiante.
Nesta fase, os autores destacam o papel do professor como mediador
intervindo com questionamentos pertinentes, de modo a conduzir os alunos à
reflexão de suas conjecturas. Entendemos que essa postura do professor pode ser
decisiva para desenvolver a capacidade no aluno de refletir sobre o próprio
pensamento enquanto resolve problemas matemáticos.
Revisão
Esta fase é bastante enfatizada pelos autores como sendo a mais educativa
de todas. Esse é o momento de verificar o que foi feito e se estruturar a partir das
três seguintes atividades: checar a resolução, refletir sobre as ideias e momentos
principais e estender esse conhecimento para um contexto maior, recorrendo, se
possível, às rubricas.
Com o objetivo de elucidar um pouco mais as ideias expostas pelos autores
sobre os processos, fases e rubricas destacamos o diagrama da Figura 9.
58
Figura 9: Fases de Resolução de Problemas Fonte: Adaptada e Traduzida de Mason, Burton e Stacey, 1982, p.47.
Na Figura 9, entendemos que o processo específico que ajuda a desenvolver
o pensamento matemático se inicia com a especialização, na qual o aluno passa
pelas fases de Entrada e Ataque. Em seguida, ele percorre o processo de
generalização, no qual o sujeito passa da fase do Ataque para a da Revisão.
Entendemos que os processos de especialização e generalização estão
amplamente conectados e um dá suporte ao outro. Na fase de Entrada,
encontramos um destaque para o uso da rubrica, seguida de questionamentos que
os estudantes podem se fazer, do tipo: “o que sei?”, “o que quero?” e “o que preciso
introduzir para que eu consiga resolver o problema?”. Para cada um desses
59
questionamentos há uma sugestão do procedimento que deve ser seguido. Na fase
de ataque, surgem as expressões “Bloqueio!” e “Aha!”, que na verdade se referem,
respectivamente, ao momento em que o estudante encontra-se sem saber como
resolver o problema, e, após levantar uma conjectura, dá início à resolução.
Entendemos essa situação como um bloqueio e uma possível solução para o
bloqueio. Por último, na fase de revisão, o aluno deverá checar se sua conjectura
respondeu ao problema, refletir sobre todo o processo que o conduziu à resposta do
problema e, se possível, estender esse resultado para um contexto maior ou
encontrar um novo caminho para a resolução do mesmo problema.
Entendemos que as fases de resolução de problemas de Mason, Burton e
Stacey (1982) podem ser úteis para nossa pesquisa por acreditarmos que alunos
precisam desenvolver processos heurísticos, mas, para que isso aconteça, eles
precisam ser ensinados, por meio de questionamentos do professor e colegas e
atividades selecionadas pelo educador que os conduzam a essa reflexão.
Entendemos que as fases de resolução de problemas de Mason, Burton e
Stacey (ibid.) são importantes para o nosso trabalho porque colocam o aluno no
centro do processo de resolução de problemas, de modo que ele tome consciência
dos próprios processos heurísticos. Além disso, entendemos que ela é adequada ao
uso da Teoria dos Campos Conceituais, pois compreendemos que o uso dessa
proposta nos remete a um tipo de situação no sentido exposto por Vergnaud
(1996a), sendo uma tarefa a ser realizada pelo sujeito, numa tentativa de que se
explicitem alguns dados de seus processos cognitivos. Além de introduzirmos um
tipo de situação diferente, que engloba reflexão sobre processos heurísticos
relacionados à resolução de problemas, achamos interessante introduzir também
outro tipo de esquema, diferente daquele de flechas apresentado por Vergnaud
(2009), a fim de provocar a explicitação de esquemas.
No primeiro capítulo, vimos, na pesquisa de Petrina (2012), o uso de um
diagrama de barras, que faz parte do currículo de Cingapura, e que é usado como
ferramenta para a resolução de problemas. A partir da nossa fundamentação teórica,
entendemos que esse diagrama é um tipo de esquema e queremos investigar se
esse recurso pode auxiliar estudantes a perceberem invariantes operatórios
utilizados para resolver problemas.
60
Esse diagrama depende de cinco componentes interligados: conceitos,
habilidades, processos, atitudes e metacognição, e foi baseado nos estudos de
Vergnaud (op. cit.) e Polya (2006).
De acordo com o currículo de Matemática de Cingapura, entende-se que o
uso do diagrama é uma estratégia efetiva para resolver problemas. Em nossa
pesquisa, estamos considerando apenas o diagrama de barras, e não todo o método
que o envolve, portanto não utilizamos as classificações apresentadas nele para
problemas matemáticos multiplicativos, tampouco a proposta metodológica que o
cerca. Este esquema é uma representação pictórica composta de diagramas de
barras que podem auxiliar alunos na visualização de relações matemáticas
abstratas. Nos exemplos a seguir, podemos verificar dois tipos de diagramas para
resolver problemas multiplicativos, denominados Modelo Parte-Todo e Modelo de
Comparação, ambos utilizados nessa pesquisa.
Figura 10: Diagrama: Modelo Parte-Todo
Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p.21
Este diagrama envolve um todo que é dividido em um número de partes
iguais. Há uma relação quantitativa entre as três quantidades: o todo, uma parte e o
número de partes.
Figura 11: Diagrama: Modelo de Comparação Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p.23
Neste segundo diagrama, duas quantidades são comparadas de tal modo que
uma quantidade é múltipla da outra. Há uma relação quantitativa entre as três
parte
todo
61
quantidades: quantidade maior, quantidade menor e o múltiplo. O múltiplo é obtido
pela divisão da quantidade maior pela quantidade menor. Apesar do diagrama ser
uma barra, e este tipo de “barra” geralmente representar grandezas contínuas, este
diagrama é usado para trabalhar com grandezas discretas. Em nossa pesquisa,
vemos se esta característica é um dificultador da utilização desse esquema.
Os autores afirmam que o Método- Modelo também pode ajudar os
estudantes a planejarem os passos de resolução para o problema, assim como
motivá-los a resolver problemas mais complexos e desafiadores.
Neste capítulo apresentamos a Metodologia de Resolução de Problemas
empregada nesta pesquisa, elaborada a partir do estudo das fases de Mason,
Burton e Stacey (1982), como sendo um tipo de situação. Também mostramos o
diagrama de barras como um tipo diferente de esquema, e esperamos que este
possa auxiliar os alunos a refletirem sobre as ideias multiplicativas.
No Capítulo IV, apresentamos os Procedimentos Metodológicos desta
pesquisa, bem como os instrumentos de coleta de dados selecionados para esse
estudo.
62
CAPÍTULO IV - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Neste Capítulo, apresentamos os procedimentos e instrumentos elaborados
para a coleta de dados de nossa pesquisa, bem como a caracterização dos
participantes deste estudo.
A fim de encontrar respostas para nossas questões de pesquisa: “Qual a
influência da ficha elaborada para a resolução de problemas e para a percepção dos
processos heurísticos envolvidos nessa resolução?”; “O diagrama de barras utilizado
auxiliou na compreensão e na resolução do problema?” e “Foi possível aos alunos
tomarem consciência dos processos heurísticos usados a partir da utilização da
ficha?”, utilizamos as fases de resolução de problemas proposta por Mason, Burton
e Stacey (1982) para elaborar o instrumento de coleta de dados.
A coleta de dados aconteceu durante o final do segundo semestre do ano
letivo de 2013, em um colégio particular no município de São Paulo. A escolha do
Colégio se justifica pelo fácil acesso da pesquisadora à instituição e conhecimento
do Projeto Político- Pedagógico lá empregado.
A fim de obtermos a aprovação e o acesso à instituição escolhida para
aplicação da pesquisa, nos reunimos com a direção do colégio, e apresentamos
nosso projeto. Nesta mesma reunião, ficaram combinados dias e horários dos
encontros a serem realizados com os alunos.
No decorrer de toda pesquisa, procuramos esclarecer, para a equipe diretiva
e para os alunos, que o foco do trabalho não foi dado aos erros e acertos aos
problemas, mas aos processos heurísticos que os alunos apresentariam ao resolver
os problemas propostos. A pesquisa foi aplicada pela própria pesquisadora, que já
conhecia os estudantes, por ser também a professora da classe.
63
4.1 Sujeitos da Pesquisa
Participaram deste estudo todos os 19 alunos de uma turma de 5º ano do
Ensino Fundamental de um colégio particular da cidade de São Paulo, com idade
média de 10 anos. A escolha dos candidatos para participarem da pesquisa ocorreu
mediante um convite feito aos alunos da turma do 5º ano que o colégio possui no
período matutino.
Por se tratar de sujeitos menores de idade, convocamos uma reunião com os
familiares dos estudantes. Durante a reunião, pedimos aos pais ou responsáveis que
assinassem o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido. Nessa data, foram
esclarecidos o objetivo da pesquisa, os procedimentos de coleta de dados e as
possíveis contribuições e implicações da pesquisa para a comunidade educativa.
4.2 Instrumentos de Coleta de Dados
A partir da revisão de literatura e dos textos referentes à fundamentação
teórica, foi possível encontrar referências e exemplos de situações-problema que
compõem os instrumentos de coleta de dados desta pesquisa. Desta forma, os
problemas matemáticos aplicados nesta foram selecionados por nós com base em
exemplos de outros pesquisadores e em livros didáticos, e seguindo as categorias
de base multiplicativa expostas na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud
(2009).
A principal referência sobre Metodologia de Resolução de Problemas foi de
Mason, Burton e Stacey (1982), como apresentado anteriormente. Então, a partir do
estudo mais aprofundado das fases de trabalho propostas por esses autores para se
resolver um problema matemático, concebemos a ficha apresentada na Figura 12,
utilizada pelos alunos para resolverem os problemas multiplicativos propostos nesta
pesquisa.
64
Figura 12: Ficha de Resolução de Problemas Fonte: Acervo Pessoal
Na primeira parte desta ficha, colocamos, já impresso, o problema a ser
resolvido pelos estudantes. Em seguida, na parte correspondente às rubricas, os
estudantes deveriam realizar as primeiras anotações sobre suas impressões
matemáticas a respeito do problema. Na estratégia, os alunos deveriam registrar, da
maneira que achassem mais conveniente, suas representações, isto é, os esquemas
que mobilizariam para resolver o problema. Na parte da resposta, pretendíamos que
eles escrevessem uma resposta condizente com a pergunta do problema. Por fim, a
65
etapa do convencimento sugere que o aluno escrevesse argumentos que
convencessem a si próprio e aos demais colegas de que a resolução dele seria
eficaz para resolver aquele determinado problema. Esperava-se que os alunos
pudessem compreender e aplicar as fases de resolução de problemas proposta na
ficha, seguindo as etapas. Também esperávamos, que, por meio dessa ficha, os
estudantes pudessem explicar com mais clareza esquemas e invariantes operatórios
enquanto resolvessem os problemas matemáticos propostos.
A ideia foi a de que todas as fichas pudessem ficar disponíveis para a
consulta dos alunos durante todos os encontros, assim, se achassem conveniente,
poderiam consultar registros anteriores em busca de auxílio para resolver o
problema atual. Cada aluno teria um saquinho para guardar suas atividades durante
os encontros.
4.3 Os Encontros
A turma de 5º ano escolhida já vinha desenvolvendo um trabalho de
Resolução de Problemas há um semestre, no qual se reunia para discutir problemas
matemáticos diversos em duas aulas por semana, cada uma com 50 minutos de
duração. Nessas aulas, o enfoque dado era o trabalho em grupo, envolvendo a troca
de diferentes estratégias para se resolver um dado problema e o sentido de
cooperação entre os alunos. No entanto, os alunos não estavam habituados a
pensar sobre a maneira como resolviam os problemas. Percebíamos que eles
precisavam desenvolver hábitos autônomos de resolução de problemas e que o
campo multiplicativo ainda era um desafio para a turma, isto é, eles apresentavam
dificuldades com diversas das categorias de problemas desse campo. Desta forma,
aproveitamos estes horários já estabelecidos pelo grupo para dar início à coleta de
dados.
A coleta de dados foi realizada por meio de três encontros no horário regular
das aulas. Cada encontro teve aproximadamente uma hora e meia de duração, com
a participação da pesquisadora. Tais encontros foram distribuídos em três semanas,
66
Vale dizer que, inicialmente, prevíamos a coleta de dados por meio de quatro
encontros, no entanto, dado o período de final de semestre letivo dos alunos e a
quantidade de dados obtidos dos encontros anteriores serem suficientes para
realizar a análise proposta, o último encontro não foi realizado.
Durante os três encontros, os alunos trabalharam em grupos para o
favorecimento da troca de ideias. Foi feito um sorteio dos alunos para a composição
de cada grupo de trabalho no início do Encontro 1. Os grupos de alunos foram
organizados em sala de aula em um semicírculo para que a pesquisadora pudesse
circular e observar com facilidade o andamento dos trabalhos nos diferentes grupos.
Quando pareceu necessário, a pesquisadora questionou os alunos a fim de
compreender melhor seus relatos ou reflexões.
Durante todos os encontros, os problemas foram entregues aos alunos
diretamente na ficha da Figura 12, que serviu para a resolução dos problemas pelos
alunos, exceto no Encontro 3, no qual a escolha de usar a ficha ou não foi feita pelos
alunos. Com isso, pretendíamos verificar se a ficha se tornaria um instrumento útil
para esses alunos durante o processo de resolução de problemas.
Caso em alguma das sessões, algum grupo ou a própria pesquisadora não
conseguisse concluir o que fosse proposto para aquele dia, na sessão seguinte,
retomaríamos o trabalho tendo como ponto de partida a situação não finalizada. Isso
foi esclarecido para os estudantes desde o início da pesquisa. O encontro foi sempre
iniciado com um retorno para os estudantes sobre os resultados obtidos na sessão
anterior.
Ao longo das intervenções, sugerimos aos alunos que refletissem sobre
diferentes esquemas de resolução dos problemas, bem como sobre a organização e
a aplicação de passos que poderiam levá-los a determinado resultado, por meio de
momentos de partilha de acertos e erros cometidos pelos alunos.
67
4.4 Encontro 1
No Encontro 1, apresentamos aos alunos cinco problemas. Eles foram escolhidos
com base nos tipos de problemas multiplicativos de Vergnaud (2009). Tivemos como
objetivo geral dessa sessão analisar se a ficha de resolução de problemas,
apresentada na Figura 12, trouxe contribuições para que o aluno, e, no caso, a
pesquisadora, pudessem perceber os invariantes operatórios mobilizados para
resolver os problemas.
Quadro 3: Enunciado do Problema 1 do Encontro 1
(Extraído de Smole, 2008)
Este problema foi selecionado, pois traz uma situação bastante comum ao dia
a dia escolar dos alunos, como a organização dos livros da biblioteca em prateleiras.
Verificamos, também, que este problema contempla a categoria de Isomorfismo de
Medidas, na classe de multiplicação Vergnaud (2009). Ele ainda se enquadra na
subclasse de números inteiros grandes.
Destacamos como objetivos específicos verificar a distinção feita pelos
estudantes sobre cálculo numérico e relacional, identificar significantes diferentes
para um mesmo significado e perceber os conhecimentos implícitos na ação dos
alunos.
Quadro 4: Enunciado do Problema 2 do Encontro 1
(Extraído de Vergnaud, 2009)
1) Josué trabalha em uma livraria e precisou organizar alguns livros em 12
prateleiras, colocando em cada uma 108 livros. Quantos livros Josué
organizou?
2) Três rapazes e 4 moças querem dançar. Cada rapaz quer dançar com cada
moça e cada moça, com cada rapaz. Quantos seriam os casais possíveis?
68
O Problema 2 se enquadra na categoria de Produto de Medidas (id. Ibid.). Para o
autor, um casal consiste na associação de um elemento do primeiro conjunto com
um elemento do segundo, desta maneira, o número de casais é o mesmo que o
produto do número de rapazes pelo número de moças.
Justificamos a escolha deste problema por acreditarmos que ele poderia
favorecer a mobilização de diferentes estratégias de resolução por parte dos alunos,
bem como, por sua resolução não resultar em um simples algoritmo da multiplicação
ou divisão, e sim em uma análise das relações entre o produto do número de
rapazes pelo número de moças.
Quadro 5: Enunciado do Problema 3 do Encontro 3
(Extraído de Smole, 2008)
Este problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medida
(VERGNAUD, 2009), envolve as ideias de multiplicação e divisão, e está de acordo
com a subclasse em que são colocados em evidência números inteiros pequenos. O
fator que nos chamou a atenção neste problema foi a necessidade de realizar duas
operações seguidas, primeiro uma multiplicação e depois uma divisão, para resolvê-
lo, além de que o aluno precisaria se atentar ao fato de que nenhuma das figurinhas
é repetida. Também verificamos uma situação recorrente no dia a dia das crianças.
3) Renato coleciona figurinhas e comprou 12 envelopes com 5 figurinhas em
cada um. Ao abrir os envelopes, ele descobriu que nenhuma delas era repetida e
colou as figurinhas em seu álbum colocando o mesmo número de figurinhas em cada
uma das 15 páginas. Quantas figurinhas ele pode colar em cada página do álbum?
4) Luís é um bom vendedor. De manhã cedo, armou a barraca na praça.
- Tenho 200 lenços para vender e vou acabar com eles já, já.
- Vamos lá, minha gente, que o lenço é bom e barato. O pacote com 6 custa 10
reais!
- Tá mal! Só vendi 12 pacotes!
a) Quantos lenços Luís vendeu pela manhã?
b) Quanto ele arrecadou nessa venda?
69
Quadro 6: Enunciado do Problema 4 do Encontro 1 (Fonte: Imenes, 2009)
Este problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medida, na classe da
multiplicação. Escolhemos esse problema pelo fato de apresentar a informação de
que há 200 lenços para vender, e esta ser desnecessária para a resolução do
problema. Vergnaud aponta que também é necessário “habituar a criança a receber
enunciados onde constam informações inúteis, as quais, consequentemente, ela
deverá deixar de lado” (id. Ibid. p.213).
Esse mesmo problema foi aplicado pela professora da classe no mês de
setembro, gerando desconforto entre os alunos. Somente três estudantes acertaram
o problema.
Quadro 7: Enunciado do Problema 5 do Encontro 1 (Extraído de Vergnaud, 2009)
Esse problema coloca em jogo uma correspondência, sem ser, no entanto,
um isomorfismo de medidas. Ele se enquadra na categoria de “caso de um único
espaço de medida” (id. Ibid. p. 262) e na classe da divisão em busca de uma
medida. Vergnaud mostra que há somente uma categoria de medidas, que são os
metros de tecidos, que se correspondem aos dois objetos, saia e conjunto.
Nessa categoria de problema, as expressões “vezes mais”, “vezes menos”
estão presentes nos enunciados. Pretendemos investigar se os alunos
apresentariam dificuldade para compreender a relação existente na expressão “três
vezes mais” do problema.
4.5 Encontro 2
5) São necessárias três vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma
saia. São necessários 6 metros para um conjunto. Quanto de tecido é necessário
para se fazer uma saia?
70
De acordo com Petrina (2012), o Método- Modelo de Cingapura utiliza uma
representação gráfica que pode ser ensinada aos alunos com o objetivo de levá-los
a refletir sobre a resolução de problemas. Considerando nosso desejo de que os
alunos possam se engajar nessa reflexão, utilizamos esse mesmo diagrama no
Encontro 2 como uma das maneiras de desenvolver habilidades heurísticas dos
alunos.
Os cinco problemas selecionados para esse encontro foram extraídos do
documento do Ministério da Educação de Cingapura. É importante salientar que
estamos dando ênfase ao diagrama como um dos variados tipos de representação
gráfica que podem ser utilizados em sala de aula para resolver problemas
matemáticos. Também destacamos que não estamos utilizando a classificação de
problemas multiplicativos proposta por esse documento, e, neste caso, classificamos
e analisamos os problemas e suas respectivas resoluções por parte dos estudantes
deste encontro a partir da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (2009).
Neste Encontro 2, optamos por levar para os alunos as cinco fichas contendo
problemas multiplicativos, no entanto com uma proposta diferente. Em cada ficha foi
colocado um problema multiplicativo, seguido de uma estratégia supostamente
registrada por outra criança baseada no diagrama de barras proposto pelo Método
Modelo de Cingapura. Neste caso, os alunos deveriam, primeiramente, interpretar o
esquema apresentado, e, se possível, terminar de resolver o problema a partir dessa
estratégia. Caso não conseguissem ou não quisessem, poderiam resolver o
problema à maneira deles.
Acreditamos que esse diagrama pode favorecer a percepção dos estudantes
acerca das relações multiplicativas presentes no problema. Os cinco problemas a
serem aplicados são:
1) Cinco crianças dividiram o custo de um presente igualmente. Cada uma delas pagou R$ 36,00. Qual foi o custo do presente?
Esquema correspondente:
R$ 36
71
Quadro 8: Enunciado do Problema 1 do Encontro 2
Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p. 85. (Problema adaptado para a moeda local.)
Entendemos que esse problema pode ser classificado como sendo
Isomorfismo de Medidas na classe de multiplicação de Vergnaud (2009), igualmente
ao Problema 1 do Encontro 1, com a única diferença de se enquadrar na subclasse
de números inteiros pequenos.
Os alunos precisariam perceber que os cinco quadradinhos correspondem às
crianças do problema e que, portanto, cada quadradinho (criança) pagou R$36,00. O
ponto de interrogação é a incógnita que representa o custo total do presente.
Pretendíamos, com este problema, verificar se os alunos realizariam alguma relação
com o primeiro problema do encontro anterior, já que fazem parte da mesma
categoria de problemas e trazem uma ideia multiplicativa muito semelhante.
2) Um fazendeiro tem 7 patos. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que
patos. Quantas galinhas ele tem?
Esquema correspondente:
Quadro 9: Enunciado do Problema 2 do Encontro 2
Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p. 86.
O problema se encaixa também na categoria do Isomorfismo de Medidas, na
classe da multiplicação. Vemos que são explicitados os papéis dos operadores
escalares, isto é, fica claro que são cinco vezes mais galinhas do que patos, e, neste
caso, podemos perceber as relações entre essas duas quantidades. Se retornarmos
ao Problema 5 do Encontro 1 a fim de comparamos, veremos que nele são “três
vezes mais tecido do que conjunto”, dificultando para o aluno ter que encontrar uma
Galinhas
Patos
72
medida por meio de uma divisão. A partir disso, podemos dizer que esses dois
problemas não são da mesma categoria.
Os estudantes precisarão perceber que para cada pato há cinco vezes mais
galinhas, e que a incógnita é o valor de galinhas. Observamos se o esquema
facilitaria ou complicaria a resolução desse tipo de problema.
3) Um grupo de crianças comprou um presente por R$ 30,00. Elas pagaram
R$ 6,00 cada. Quantas crianças estavam presentes nesse grupo?
Esquema correspondente:
Quadro 10: Enunciado do Problema 3 do Encontro 2
Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p. 86. (Problema adaptado para a moeda local)
O problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medidas, na classe
da divisão por uma busca da quantidade de unidades. Esse tipo de problema foi
escolhido por entendermos que o esquema proposto pode gerar certo desequilíbrio
para os alunos, uma vez que há uma ruptura na parte que corresponde à quantidade
de crianças presentes no grupo, que no caso é a incógnita.
4) Um fazendeiro tem 35 galinhas. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que
patos. Quantas galinhas e patos ele tem ao todo?
Esquema correspondente:
R$30
R$6
Galinhas
Patos
73
Quadro 11: Enunciado do Problema 4 do Encontro 2
Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p. 91.
Com base em Vergnaud (2009), entendemos que esse problema se trata de
um problema misto (multiplicativo e aditivo), pois coloca em evidência relações do
tipo multiplicativo e do tipo aditivo. Pretendíamos perceber se os alunos
compreenderiam a posição da incógnita, que engloba galinhas e patos.
5) Um fazendeiro tem 7 patos. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que patos.
Quantas galinhas a mais do que patos ele tem?
Esquema correspondente:
Quadro 12: Enunciado do Problema 5 do Encontro 2
Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p. 87.
Assim como o Problema 4 deste Encontro 2, o problema em questão pode ser
chamado de misto, de acordo com Vergnaud (ibid.), sendo a única diferença o fatp
de que, neste outro problema, temos uma multiplicação e uma subtração, a fim de
calcular a diferença entre galinhas e patos.
4.6 Encontro 3
No Encontro 3, os alunos receberam mais cinco problemas multiplicativos, e
foram encorajados a continuar usando as fases de trabalho de Mason, Burton e
Stacey (1982) para resolver os problemas por meio da ficha. Também comentamos
Galinhas
Patos
74
sobre a possibilidade de usarem, se achassem necessário, o esquema do Método-
Modelo apresentado no encontro anterior para resolver algum dos problemas.
Temos os seguintes problemas selecionados:
Quadro 13: Enunciado do Problema 1 do Encontro 3 (Extraído das atividades do Projeto “Children’s Understanding of Probability and Risk”,
desenvolvido em parceria entre Universidade de Oxford e Universidade Bandeirante de São Paulo, com autorização dos membros brasileiros do projeto)
Este problema apresenta a ideia de proporcionalidade da multiplicação, e, de
acordo com a minha experiência como professora, verifico que alguns alunos
possuem certa dificuldade em lidar com esse tipo de questão. Pretendemos verificar
se algum dos alunos utilizaria o diagrama de barras para resolvê-lo.
2) A tartaruga Mirtes e o coelho Afonso estão se preparando para uma corrida.
O percurso é de 15 quilômetros e deve ser feito em, no máximo, 5 dias.
- Vou andar 1 Km no 1º dia. A cada dia que passar andarei o dobro do dia
anterior e descansarei até o dia seguinte. (Plano da Mirtes)
- Dividirei o percurso em 5 etapas iguais, uma por dia. (Plano do Afonso)
Observe o desenho feito por uma aluna de 5º ano para representar o plano de
corrida da tartaruga.
1) Diana e a Sra. Elástico estão participando de uma corrida ao redor do
mundo. Diana precisa dar 10 passos para percorrer uma certa distância, a Sra.
Elástico precisa dar apenas 6 passos para percorrer a mesma distância. Se a Sra.
Elástico der 15 passos, quantos passos Diana tem que dar para alcançá-la?
75
Quadro 14: Enunciado do Problema 2 do Encontro 3
(Fonte: Reame et al. 2012, p.143)
Continue resolvendo o problema. Faça um esquema que represente o plano do
coelho Afonso. Quem vencerá a corrida?
Com este problema, objetivávamos apresentar novas ferramentas heurísticas
para os estudantes interpretarem, validando o uso de diferentes representações
durante a resolução de problemas. Também escolhemos esse problema por trazer
uma situação envolvendo as unidades de medida quilômetro e centímetro.
Quadro 15: Enunciado do Problema 3 do Encontro 3
(Extraído das atividades do Projeto “Children’s Understanding of Probability and Risk”, desenvolvido
em parceria entre Universidade de Oxford e Universidade Bandeirante de São Paulo, com autorização dos membros brasileiros do projeto)
Assim como o Problema 1 desse encontro, esse problema lida com a ideia
multiplicativa de proporcionalidade. Pretendíamos investigar quais facilidades e
dificuldades esse tipo de problema poderia trazer para os alunos e comparar com o
Problema 1, já citado.
Quadro 16: Enunciado do Problema 4 do Encontro 3
(Extraído de Vergnaud, 2009)
Esse problema se enquadra na categoria de Produto de Medidas e ilustra o fato
de que existe uma forma de divisão específica a essa forma de relação
multiplicativa. Os estudantes costumam variar suas estratégias de resolução, já que
4) Trocando somente de pulôver e de cachecol, Ana pode ter 15 trajes
diferentes. Ela tem três pulôveres; quantos cachecóis ela tem?
3) Um ladrão de banco tem que fugir da polícia e chegar à fronteira do México.
Por este motivo, ele tem que planejar quantos litros de gasolina ele tem que ter no
seu carro. Seu carro utiliza 12 litros de gasolina para percorrer 54 km. Quantos litros
ele tem que abastecer para percorrer 72 km?
76
esse tipo de problema multiplicativo apresenta várias possibilidades de uma dada
situação. Nosso objetivo é associar a multiplicação a situações combinatórias.
Quadro 17: Enunciado do Problema 5 do Encontro 3 (Extraído de Arquivo Pessoal)
Assim como o Problema 5 do Encontro 1, esse problema coloca em jogo uma
correspondência, sem ser, no entanto, um isomorfismo de medidas. Ele se enquadra
na categoria de “caso de um único espaço de medida” (VERGNAUD, 2009, p. 262) e
na classe da divisão em busca de uma medida.
Entendemos que esse tipo de problema seria bastante difícil para os estudantes,
então selecionamos esse que é semelhante ao Problema 5 do Encontro 1, com o
intuito de perceber se os alunos recorrerão às fichas anteriores no caso de dúvida
sobre como resolver esse problema.
Tendo apresentado nossos instrumentos de coleta de dados, passamos à
descrição e à análise dos dados coletados no próximo capítulo.
5) É necessário cinco vezes mais açúcar para fazer um bolo de casamento do
que um bolo de aniversário. São necessários 5 quilos de açúcar para fazer um bolo de
casamento. Quanto de açúcar é necessário para fazer um bolo de aniversário?
77
CAPÍTULO V - APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS
DADOS
No capítulo anterior, apresentamos nossos instrumentos de coleta de dados,
que foram inspirados nas estratégias de Mason, Burton e Stacey (1982) para
resolver problemas, na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (2009), e
também em pesquisas referentes ao campo multiplicativo. Tendo como objetivo
nesta pesquisa investigar se a utilização de uma metodologia de resolução de
problemas multiplicativos que valoriza a reflexão sobre o processo de resolver um
problema pode colaborar para a percepção dos processos heurísticos, neste
capítulo, apresentamos a descrição e a análise dos dados coletados durante os três
encontros que fizemos com os 19 alunos de uma turma de 5º ano de uma escola
particular da cidade de São Paulo. Com esta análise, buscamos respostas para
nossas questões de pesquisa “Qual a influência da ficha elaborada para a resolução
de problemas e para a percepção dos processos heurísticos envolvidos nessa
resolução?”; “O diagrama de barras utilizado auxiliou na compreensão e na
resolução do problema?” e “Foi possível aos alunos tomarem consciência dos
processos heurísticos usados a partir da utilização da ficha?”
Elencamos objetivos específicos para cada um dos encontros. No Encontro 1,
temos como foco analisar se a ficha de resolução de problemas, apresentada na
Figura 12, trouxe contribuições para que o aluno, e, no caso, a pesquisadora,
pudessem perceber os invariantes operatórios mobilizados para resolver os
problemas. No Encontro 2, temos como objetivo específico levar os alunos a
refletirem e interpretarem o diagrama de barras do Método- Modelo de Cingapura, e,
assim, investigar se essa representação pictórica torna os estudantes capazes de
visualizarem a estrutura do problema, a fim de dar sentido à relação quantitativa
envolvida nele. Finalmente, no Encontro 3, temos como objetivo específico analisar
se os estudantes continuaram utilizando a ficha de resolução de problemas ou o
diagrama de barras para resolver os problemas multiplicativos. A partir disso,
também pretendemos verificar os invariantes operatórios que emergiram com ou
sem o uso desses recursos.
78
Os alunos trabalharam em grupos. Os integrantes de cada grupo foram
escolhidos por meio de um sorteio, que aconteceu no início do primeiro encontro.
Um novo sorteio de grupos precisou ser realizado no começo do segundo encontro,
dada à ausência de alguns estudantes à aula. Justificamos essas ausências devido
ao término do período letivo de 2013. Isso quer dizer que no primeiro encontro
tivemos grupos diferentes do segundo e terceiro encontros.
Durante o trabalho nos grupos inicialmente, um integrante lia o problema em
voz alta para todos. Em seguida, todos os estudantes tinham um tempo para que,
individualmente, escrevessem suas rubricas. Depois, os estudantes liam suas
primeiras ideias sobre o problema e discutiam as possíveis estratégias de resolução.
Percebemos que, embora os estudantes estivessem trabalhando em parceria, as
estratégias variaram dentro dos próprios grupos. Na etapa do convencimento, os
estudantes procuraram justificativas e argumentos que validassem suas estratégias
e respostas ao problema.
Verificamos que, em geral, poucos foram os erros para as respostas aos
problemas. Atribuímos isso ao fato de os estudantes terem trabalhado em grupos, e,
assim, podido refletir sobre o próprio pensamento matemático com o auxílio de
colegas.
5.1 Sujeitos da Pesquisa
A fim de garantirmos a confidencialidade dos sujeitos participantes desta
pesquisa, estabelecemos nomes e siglas fictícios, os quais mostraremos a seguir.
79
Tabela 1: Nomes fictícios e respectivas siglas
NOMES FICTÍCIOS SIGLAS
Angela Na
Danilo Da
Fátima Fa
Gabriele Ga
Gisele Gi
Isabel Isa
Janice Já
Júnior Jú
Jomar Jo
Silmara Si
Kátia Ká
Kléber Kle
Lúcio Lu
Maria Ma
Pablo Pa
Selma Se
Solange So
Tatiane Ta
Vinicius Vi
No Encontro 1, os vinte alunos foram sorteados e organizados nos seguintes
grupos de resolução de problemas:
Tabela 2: Integrantes por Grupo do Encontro 1
Grupo Integrantes
G1 Maria, Júnior, Angela, Gisele e Jomar (Este aluno
não participou da resolução de todos os problemas,
pois chegou atrasado)
G2 Isabel, Selma, Danilo e Lúcio
G3 Kleber, Janice, Tatiane, Fátima e Silmara
G4 Pablo, Gabriele, Kátia, Solange e Vinicius
80
Nos Encontros 2 e 3, os grupos de trabalho se configuraram em apenas três,
que são os seguintes:
Tabela 3: Integrantes por Grupo dos Encontros 2 e 3
Grupos Integrantes
G1 Kléber, Júnior, Maria, Lúcio
G2 Gisele, Gabriele, Janice, Fátima
G3 Isabel, Tatiane, Pablo, Kátia, Vinicius e Solange
5.2 Análise e Discussão dos Encontros
Entendemos que a estratégia do estudante é o cerne da resolução de
problemas, e, por isso, damos início à análise de dados por meio da categorização
das estratégias apresentadas pelos alunos. Apresentamos os protocolos das
estratégias, rubricas e convencimentos quando trouxerem elementos essenciais
para a discussão da estratégia. A elaboração das respostas pouco interferiu no
processo de resolução de problemas. Para escrevê-las, os estudantes reliam o
enunciado, e em alguns momentos, verificamos que essa postura os beneficiou,
como vemos mais adiante, no Problema 2 do Encontro 1.
Sendo assim, trazemos exemplos de respostas dos estudantes, seguidos de
uma análise à luz do referencial teórico e da revisão bibliográfica expostos nesta
pesquisa. Selecionamos os exemplos de protocolos e trechos de áudio
apresentados na análise desta pesquisa com base nas questões de pesquisa, e
pretendendo contemplar uma análise das discussões e registros dos grupos
enquanto resolvem os problemas.
Vale salientar que os processos heurísticos a que nos referimos na questão
de pesquisa serão identificados dentro dos esquemas apresentados pelos
estudantes e, portanto, correspondem às escolhas estratégicas que os alunos farão
diante de uma situação, isto é, de cada problema.
81
5.3 Encontro 1
No Encontro 1, apresentamos aos alunos cinco problemas. Eles foram
escolhidos com base nos tipos de problemas multiplicativos de Vergnaud (2009).
Tivemos como objetivo geral dessa sessão analisar se a ficha de resolução de
problemas, apresentada na Figura 12, trouxe contribuições para que o aluno, e, no
caso, a pesquisadora, pudessem perceber os invariantes operatórios mobilizados
para resolver os problemas.
Problema 1
Este problema foi selecionado, por trazer uma situação bastante comum ao
dia a dia escolar dos alunos, como a organização dos livros da biblioteca em
prateleiras. Verificamos, também, que este problema contempla a categoria de
Isomorfismo de Medidas, na classe de multiplicação Vergnaud (2009). Ele ainda se
enquadra na subclasse de números inteiros grandes.
Destacamos como objetivos específicos verificar a distinção feita pelos
estudantes sobre cálculo numérico e relacional, identificar significantes diferentes
para um mesmo significado e perceber os conhecimentos implícitos na ação dos
alunos.
Quadro 18: Problema 1 do Encontro 1
(Fonte: Smole, 2008)
As estratégias foram organizadas em cinco categorias conforme a Tabela 4.
Josué trabalha em uma livraria e precisou organizar alguns livros em 12
prateleiras, colocando em cada uma 108 livros. Quantos livros Josué organizou?
82
Tabela 4: Categorias de Estratégias para o Problema 1 do Encontro 1
Categoria Grupo
Algoritmo da multiplicação com operação inversa G4
Algoritmo da multiplicação G2 e G3
Algoritmo da multiplicação e desenho G1
Desenho que apresenta a multiplicação como
uma sucessão de parcelas aditivas
Kléber (G3)
Estratégia incompreensível Júnior (G1)
Considerando que com este encontro tínhamos o objetivo de analisar a
utilização da ficha, apresentamos a ficha completa do aluno Kléber na Figura 13, a
fim de ilustrar a utilização dela durante o trabalho com este problema.
Figura 13: Ficha de Resolução de Problema completa do aluno Kléber.
83
Percebemos que a maioria dos estudantes resolveu este problema por meio
do algoritmo da multiplicação. No entanto, a primeira hipótese de grande parte dos
alunos, ao lerem o problema, foi efetuar uma divisão, o que pudemos perceber
consultando as rubricas.
Por exemplo, na Figura 14, mostramos um exemplo de rubrica produzida pelo
estudante Lúcio, na qual ele menciona a divisão: “Vamos fazer um divisão que eu
acho que vai ser fácil.”
Figura 14: Rubrica do aluno Lúcio do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 1 do Grupo G3 para
o Problema 1 do Encontro 1
Os alunos, assim como Lúcio, que anteriormente na rubrica tinham pensado
em realizar o algoritmo da divisão, apresentaram, no momento da estratégia, uma
multiplicação. Entendemos que a redação do problema pode ter influenciado os
estudantes a cogitarem, inicialmente, efetuar uma divisão, pois esse enunciado
inicia-se com a ideia de “organizar alguns livros em 12 prateleiras”, o que pode ter
sido entendido por esses alunos como uma distribuição em partes iguais, o que é
associado a uma divisão. Uma leitura mais cuidadosa do problema ou a discussão
em grupo podem ter influenciado a mudança de estratégia de resolução por esses
alunos.
Esse dado vai ao encontro da ideia de Vergnaud (1996b) de que reconstruir
conhecimentos implícitos na ação é muito difícil, afinal algumas crianças encontram
problemas para manifestar a compreensão delas sobre os conceitos envolvidos. Por
isso, evidenciamos que, por meio da ficha e gravação de áudio, foi possível explicitar
os conhecimentos que poderiam ter ficado implícitos na ação de Lúcio. Fazer esses
invariantes operatórios virem à tona permitiu que entendêssemos a maneira como
esse aluno (e também outros) pensa sobre determinada categoria de problema.
84
Pensando no exposto por Vergnaud (ibid.), verificamos a gravação de áudio e
percebemos como o estudante Lúcio muda de estratégia de resolução do problema,
passando da ideia de realizar uma divisão para uma de multiplicação. Ele expõe
para o grupo suas ideias de utilizar uma divisão e logo é confrontado pela colega
Isabel, que destaca as palavras “já” (passado) e “vai” (futuro) como determinantes
para o entendimento do problema.
A colega Isabel explica que ele “já” organizou os 108 livros, ele não “vai”
organizar. Ao falar que ele “já” organizou 108 livros, nos parece que Isabel pretende
destacar que os livros já estão dispostos nas 12 prateleiras, colocando a incógnita
na quantidade total dos livros, isto é, de todas as prateleiras. Quando ela diz que ele
“vai” organizar os 108 livros nas 12 prateleiras, fica para ela a impressão de que ele
ainda vai distribuir essa quantidade em 12 prateleiras, isto é, a incógnita passa a ser
a quantidade de livros de cada prateleira.
Entendemos que destacar as palavras “já” e “vai” foi uma maneira de Isabel
explicitar para Lúcio as diferentes relações multiplicativas, cujo cálculo numérico
poderia ser uma multiplicação ou divisão, dependendo da compreensão relacional
que o indivíduo teria dessa situação.
Isabel precisou argumentar para que Lúcio compreendesse que o cálculo
numérico estava incorreto, mas precisou esclarecer as relações que estavam por
trás da situação multiplicativa. Neste caso, podemos dizer que o estudante Lúcio
chegou à compreensão do cálculo relacional para resolver o problema, e não
apenas alterou o cálculo numérico sem compreendê-lo de verdade.
Ainda em relação ao que entendemos sobre cálculo relacional e cálculo
numérico, verificamos, no diálogo a seguir, que os próprios estudantes chegam a
realizar uma distinção entre realizar com eficácia o algoritmo da multiplicação e
compreender com eficiência o cálculo relacional (relações existentes na
multiplicação) no momento de redigir o convencimento:
Lu: “Convencimento: todas as contas deram o mesmo resultado.” Da: “Ah para, sem zoeira, vai.” [...] Isa: “É para concluir sobre o problema e não se todos os cálculos deram respostas iguais.” Lu: “Vamos fazer a operação inversa.” Isa: “Não, eu não vou fazer isso. [...] Não é preciso. [...] A conta inversa só prova que o cálculo está certo e não que o problema está certo.”
85
Lu: “É verdade.”
(Trecho de áudio do Grupo G2)
Para convencer sobre a resolução do problema, Lúcio diz que é só escrever
que todas as contas deram o mesmo resultado ou que basta fazer uma operação
inversa. Isabel desconsidera as ideias de Lúcio, com a justificativa de que o cálculo
efetuado pode estar correto, mas não assegura que o problema tenha sido resolvido
corretamente. A aluna Isabel destaca que precisam revisar o problema, isto é, o
cálculo relacional, e não se todos os cálculos deram respostas iguais, isto é, o
cálculo numérico.
Podemos ainda dizer que a etapa do convencimento suscitou discussão entre
os integrantes do grupo, na qual eles puderam esclarecer a diferença entre revisar o
problema (cálculo relacional) e revisar somente o cálculo (cálculo numérico),
percebendo a importância do cálculo relacional para a resolução de um problema.
Nas fases de Mason, Burton e Stacey (1982), fica claro que o estudante
precisa ser capaz de se fazer perguntas suficientemente boas para resolver um
problema. Podemos dizer que a fase do convencimento, de fato, propiciou a
elaboração de perguntas entre os alunos e discussão sobre o problema, sem que
houvesse a intervenção da pesquisadora.
No Grupo G3, vemos também a discussão que motivou a escolha do
algoritmo para resolver o problema. Na Figura 13, apresentamos a estratégia
realizada pelo estudante Kléber desse grupo. Kléber usou estratégias próprias para
resolver o problema. Observando a estratégia, vemos que ele utilizou desenhos e
resolveu o cálculo por meio da adição de parcelas sucessivas.
Buscando compreender as relações por trás da estratégia apresentada por
Kléber, isto é, os invariantes operatórios mobilizados pelo aluno, apresentamos o
trecho de gravação do áudio a seguir. Durante a discussão sobre a possibilidade do
problema ser resolvido por meio da multiplicação ou não, entre os estudantes
Tatiane, Kléber e Janice, encontramos a explicação que Kléber faz sobre o seu
próprio esquema:
Kle: “Olha eu fiz em desenho né, então na minha cabeça o que eu queria fazer com estes desenhos era primeiro eu fiz na minha cabeça, e
86
demonstrando com os desenhos 12 X 8 e depois o 12 X 100, que deu 1296.”
(Trecho de áudio do estudante Kle, do Grupo G3)
Observando a fala de Kléber, ficam claros os invariantes operatórios que ele
mobilizou para resolver o problema. Ele utilizou a decomposição do número 108 =
100 + 8, antes de multiplicá-los por 12 e efetuou todo o procedimento por meio de
cálculo mental.
Podemos dizer que, por meio do esquema apresentado por Kléber na Figura
13, não tinha sido possível perceber os invariantes operatórios que estavam por trás
do desenho. No entanto, quando o estudante explicita aos colegas seu esquema,
conseguimos perceber quais processos heurísticos o conduziram àquela resolução.
Vimos na pesquisa de Magina et al. (2010), que os estudantes geralmente
colocavam apenas as respostas dos problemas e não era possível identificar os
procedimentos mais naturalmente utilizados por eles. O exemplo de Kléber mostra
que o uso da ficha de resolução de problemas e das fases de Mason, Burton e
Stacey (op. cit.) possibilitaram a exploração, por parte do pesquisador, dos
processos heurísticos dos estudantes.
Verificamos neste estudante uma preocupação em representar por meio de
um “desenho” (esquema) suas ideias, a fim de que outros a compreendessem.
De acordo com Vergnaud (2009), para uma mesma situação é possível
utilizar representações distintas, que são compostas pela interação entre significado
e significante. No Problema 1, o significado do problema para Lúcio e para Kléber
era 1296, pois era o resultado oriundo de 12 X 108. A fim de representar o
significado 1296, Kléber apresenta o significante exposto na Figura 13, no qual ele
mostra um esquema de adição de parcelas sucessivas. Já para Lúcio, o significante
apresentado foi o algoritmo da multiplicação.
Entendemos, por meio deste exemplo, que o significado do problema era o
mesmo para todos os alunos, mas o significante que cada estudante apresentou foi
diferente, e a etapa do convencimento colaborou para que essa troca entre os
alunos acontecesse.
87
Assim como Lúcio, as estudantes Tatiane e Janice também haviam
conjecturado, na rubrica, sobre resolver esse problema por meio de uma divisão.
Durante a estratégia, perceberam a incoerência entre o resultado obtido na divisão e
a pergunta do problema. Nesse caso, as estudantes modificam sua estratégia e
realizam uma multiplicação.
Ja: Se dividíssemos 108 por 12 iria dar 9, mas no enunciado estava falando que ele precisou organizar alguns livros em 12 prateleiras cada uma com 108 livros, então nós devíamos multiplicar 108 por 12. Fa: Se em cada prateleira há 108 livros se forem 12 prateleiras seria 12
vezes mais a quantidade que há em uma prateleira, ou seja, 12 X 108 = 1296 livros. Ta: Se a gente dividisse não ia dar quantos livros Josué organizou.
(Trecho de áudio do Grupo G3)
Tatiane relata que efetuar uma divisão não responderia à pergunta do
problema, que queria saber quantos livros Josué organizou. Neste caso, a aluna
teve que abandonar a conjectura inicial e encontrar um novo caminho para resolver
o problema. Conforme mencionado por Mason, Burton e Stacey (1982), o aluno
checa sua conjectura e reflete sobre todo o processo que o conduziu a resposta do
problema, e se necessário, encontra um novo caminho para solucioná-lo.
Entendemos que o registro da rubrica facilitou esse processo heurístico, que
culminou na revisão do problema, pelo fato de os alunos terem conseguido perceber
a incoerência dos resultados.
No exemplo de Kléber, na Figura 13, pudemos verificar que, embora seja
difícil, é possível reconstruir conhecimentos implícitos na ação dos alunos.
Acreditamos que isso foi possível com o auxílio da ficha de resolução de problemas
e do trabalho em grupo.
Percebemos, com este primeiro problema do Encontro 1, que a ficha de
resolução de problemas e a discussão dentro do grupo se complementaram para a
análise dos invariantes operatórios que são colocados em ação pelos alunos para
resolver problemas multiplicativos, bem como para identificar e detalhar esquemas.
88
Problema 2
Justificamos a escolha deste problema por acreditarmos que ele poderia
favorecer a mobilização de diferentes estratégias de resolução por parte dos alunos,
bem como por sua resolução não resultar em um simples algoritmo da multiplicação
ou divisão, e sim em uma análise das relações entre o produto do número de
rapazes pelo número de moças.
Quadro 19: Problema 2 do Encontro 1
(Fonte: Vergnaud, 2009)
As estratégias foram organizadas em cinco categorias conforme a tabela a
seguir.
Tabela 5: Categorias de Estratégias para o Problema 2 do Encontro 1
Categoria Grupo
Algoritmo da multiplicação e desenho G1; Fátima e Janice (G3) ;
Pablo (G4),
Tabela G2
Tabela e algoritmo Kátia (G4)
Desenho G3
Estratégia incompreensível Júnior e Jomar (G1)
Os alunos do Grupo 4 apresentaram estratégias distintas, e, portanto, se
dividiram entre as categorias do quadro acima.
Na Figura 15, encontramos a estratégia de Silmara, de acordo com a
categoria Algoritmo da Multiplicação e desenho.
Três rapazes e quatro moças querem dançar. Cada rapaz quer dançar com
cada moça e cada moça, com cada rapaz. Quantos seriam os casais possíveis?
89
Figura 15: Estratégia da aluna Silmara do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 1
Neste esquema, Silmara distribui os três rapazes, intitulados como R1, R2 e
R3. Em seguida, distribui para cada um deles as quatro moças, intituladas por ela
como G1, G2, G3 e G4. Por último, efetua a multiplicação.
Na Figura 16, observamos a estratégia da aluna Isabel.
Figura 16: Estratégia de Isabel do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 1
Percebemos que Isabel dá nomes para as moças e os rapazes. Na tabela, ela
usa siglas para esses nomes. Primeiro, Isabel coloca os três rapazes e distribui as
moças entre eles. Diferentemente de Silmara, ela ainda coloca as quatro moças e
começa a distribuir os rapazes, só que colocando um traço nos casais que já
dançaram. Pareceu-nos que esse movimento foi uma espécie de conferência.
Na pesquisa de Chahon (2006) foi apresentado que o registro por escrito,
individual, em uma folha de papel, empobreceu as produções dos alunos do ponto
de vista da criatividade. Em nossa pesquisa, os estudantes trabalharam em grupo,
mas também foram incentivados a registrar, individualmente, por escrito, suas
estratégias. Neste problema, os alunos foram bastante criativos em suas resoluções,
como vimos nas Figuras 15 e 16. Ressaltamos que, em nossa pesquisa, o registro
por escrito colaborou para que os alunos pensassem sobre suas próprias ações.
Verificamos na Figura 17 a resposta da estudante Tatiane, que não
corresponde à pergunta do problema, embora, na estratégia, a aluna tenha
apresentado o resultado correto.
90
Figura 17: Resposta da aluna Tatiane do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 1
No problema, pergunta-se quantos seriam os casais possíveis, no entanto,
Tatiane responde que cada pessoa dançará 12 vezes.
Na etapa do convencimento, a resposta da estudante Tatiane chamou a
atenção do Grupo G3. Então, os estudantes expuseram as suas ideias para o
convencimento, que vieram acompanhadas do seguinte questionamento:
Ta: Então são 12 casais Janice? Ja: Sim, 12 casais! Kle: Ele quer saber os casais. Ta: Ah tá, entendi.
(Trecho de áudio do Grupo G3)
Nesse diálogo, entendemos que Kléber e Janice tentam mostrar para Tatiane
que perguntar pela quantidade de casais possíveis é diferente de perguntar pela
quantidade que cada um vai dançar. Apesar da estudante Tatiane ter dito que
entendeu, isso não foi apresentado na Figura 17.
O diálogo se segue, agora com uma pequena intervenção da pesquisadora,
que, percebendo a discussão anterior do grupo, decide lançar uma pergunta:
Pesquisadora: Todo mundo releu a pergunta do problema? Quantos seriam os casais possíveis?
(Trecho de áudio da pesquisadora no Grupo G3)
Todos os alunos do grupo disseram ter relido o problema, mas é a estudante
Janice que explica melhor:
Ja: Assim, no início, depois que a gente tinha feito a estratégia, a gente tinha esquecido que eram casais possíveis, que a Tatiane tinha falado que era vezes que cada um ia dançar. E ai depois eu lembrei não, são casais possíveis. E dai esse é um problema de possibilidades.
(Trecho de áudio da estudante Ja do Grupo G3)
91
Verificamos, na etapa de registrar a resposta do problema, que os estudantes
puderam retomar a pergunta, perceber a incoerência de suas respostas e alterá-las,
restando apenas a estudante Tatiane com a mesma resposta anterior, apesar de ter
dito ao grupo que entendeu a diferença entre casais possíveis e quantas vezes cada
um vai dançar.
De acordo com Mason, Burton e Stacey (1982), é na fase correspondente à
revisão que o estudante pode retomar e refletir sobre os procedimentos que o levou
à resolução do problema. Vimos que, para o Grupo G3, essa atitude possibilitou
retomar a questão do problema e verificar as estratégias realizadas.
Nas Figuras 18 e 19, são apresentadas, respectivamente, a estratégia e o
convencimento do estudante Kléber, que relata que, embora tenha feito um
desenho, registrará no convencimento sobre o algoritmo 3X4, que foi o que ele
resolveu primeiro. A estudante Tatiane concorda com ele.
Figura 18: Estratégia do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 1
Figura 19: Convencimento do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 1
Se olhássemos somente sua estratégia, e não tivéssemos a etapa do
convencimento, não teríamos descoberto que o aluno resolveu, de fato, o problema
92
por meio de uma multiplicação e não por meio de desenho. Esse exemplo nos revela
o quanto há de implícito nas representações escolhidas pelos estudantes. Neste
caso, o aluno teve necessidade de relacionar um desenho com o algoritmo.
Vergnaud (2009) nos indica que uma das maneiras de se verificar quais são
os esquemas utilizados pelos estudantes é pelo acompanhamento dos momentos
em que eles são chamados a dar respostas a problemas. Neste exemplo,
percebemos que só conseguimos verificar, de fato, os invariantes operatórios
mobilizados pelo aluno Kléber, quando este foi motivado a explicitar seu
convencimento na ficha de resolução de problemas.
Muitos alunos verbalizaram que nem sempre nos problemas de
“possiblidades”, basta uma multiplicação e que por isso decidiram confirmar por meio
de um desenho suas hipóteses. Notamos que diferentes invariantes operatórios
foram mobilizados a fim de obter garantias quanto à resposta correta, como, apesar
de efetuar o algoritmo da multiplicação, precisou do desenho para confirmar sua
conjectura.
Vergnaud (1996b) comenta que o conhecimento prévio do estudante pode ser
impeditivo em certos casos. Nesta situação, os alunos recorreram a experiências
anteriores, nas quais tinham aprendido que esse tipo de problema só se resolve por
meio de desenhos. Vemos que, nessa situação, os estudantes tiveram que romper
com o conhecimento prévio de que uma multiplicação apenas não bastava neste tipo
de problema, o qual segundo eles, era de “possibilidades”.
Nos trechos a seguir, veremos as heurísticas dos alunos Kléber e Isabel:
Kle: Vou falar que eu fiz três, que é o número de rapazes possíveis vezes
quatro que é o número de meninas, que no caso moças que querem dançar com os rapazes. Cada uma quer dançar com os três rapazes, então era só fazer as quatro moças vezes os três rapazes.
(Trecho de áudio do estudante Kle do Grupo G3)
Em oposição ao estudante Kléber, a estudante Isabel apresenta sua
heurística:
Isa: Sabe o que é mais fácil? Eu prefiro resolver por desenho este
problema. Eu acho mais fácil dar nome para as pessoas. (Trecho de áudio da estudante Isa do Grupo G2)
93
Na Figura 16, vimos a estratégia da estudante Isabel, cuja resolução foi por
meio de uma tabela. No momento de convencer os demais quanto à estratégia
realizada, teceu as considerações expostas na Figura 20 a seguir.
Figura 20: Convencimento de Isabel do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 1
Os dados apresentados pelos estudantes neste segundo problema se
relacionam com os resultados apresentados na pesquisa de Rêgo e Azeredo (2006)
sob o aspecto de que o registro gráfico (desenho e tabela) complementou o
algoritmo, ou vice-versa. Na fala de Isabel, notamos a preferência pelo registro
gráfico (desenho e tabela), no entanto, no registro do convencimento, percebemos
que ela recorre ao algoritmo, após a compreensão geral do problema. Supomos que,
para a aluna chegar a uma afirmação consistente sobre a resposta do problema, ela
teve que testar suas conjecturas, que passavam pelo registro gráfico e algoritmo.
No momento do convencimento do problema, surge a nova discussão abaixo,
e nos faz pensar na importância dos dois tipos de registros (oral e escrito) que se
complementam. Percebemos ainda, que a escrita demanda muito investimento e
esforço do aluno, mas possibilita pensar sobre o seu próprio pensamento.
Da: Que assim que, se você já contou esse “aqui”, tipo Sofia com Luís... Isa: Luís não, Daniel. Mas como é que eu vou explicar...você está falando pra eu começar a explicar “porque, não dá, não conta com os meninos” (impaciente) Como é que eu vou explicar assim? Não tem! Não dá pra fazer isso! Se: Tem aqui três meninas, é só você ir colocando cada menina em cada parte dos meninos e ai é só você contar as meninas porque aqui elas já vão ter dançado. Isa: É difícil escrever isso. [...] A gente está tentando escrever isso com palavras e não só dizendo, é mais difícil.
(Trecho de áudio do Grupo G2)
94
Neste trecho, podemos perceber a diferença entre a fala e o registro escrito.
Isabel aponta a dificuldade de transpor para a escrita sua compreensão e
justificativa sobre o problema.
No trecho a seguir, o aluno Júnior demonstrou insatisfação diante do fato de
ter realizado um desenho para descobrir a resposta do problema quando se deparou
com o resultado e percebeu que poderia ter realizado uma simples multiplicação.
Ju: Eu não acredito que eu cai nessa. Eu não acredito que eu fiz desenho
para descobrir isso. (Trecho de áudio do estudante Ju do Grupo G1)
Entendemos que Júnior dominava o conceito multiplicativo exposto no
problema, mas, naquela circunstância, não soube transferir esse conhecimento para
uma situação provavelmente distinta daquela em que a aprendeu, isto é, diante de
nova situação não foi capaz de aplicar os seus conceitos-em-ação.
Entendemos que o Problema 2 favoreceu a mobilização de diferentes
estratégias de resolução por parte dos alunos. Dadas as diferentes soluções
apresentadas, diferentemente do que ocorreu no trabalho do autor Chahon (2006),
verificamos que o registro por escrito das estratégias dos estudantes favoreceu o
desenvolvimento de processos heurísticos por esses estudantes. Atribuímos esse
fator ao trabalho com a ficha de resolução de problemas.
No exemplo exposto pela aluna Tatiane, ficou clara a importância da fase de
revisão do problema proposta por Mason, Burton e Stacey (1982), tendo em vista
que o Grupo 3 precisou retomar a pergunta do problema, para perceber a
incoerência das respostas e poder modificá-las.
Problema 3
Este problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medida
(VERGNAUD, 2009), envolve as ideias de multiplicação e divisão e o fato de que
nenhuma das figurinhas é repetida.
95
Quadro 20: Problema 3 do Encontro 1
(Extraído de Smole, 2008)
Para resolver este problema, todas as crianças de todos grupos efetuaram um
cálculo de multiplicação e divisão. Somente o estudante Júnior apresentou uma
estratégia incompreensível e não explicou seu raciocínio aos colegas.
De modo geral, esse problema pareceu bastante simples para os estudantes,
o que, acreditamos, se deve em parte pelo fato de o problema trazer uma situação
bem próxima ao cotidiano das crianças.
No trecho a seguir, vemos o exemplo do estudante Kléber na etapa do
convencimento, que relata que sua estratégia já está mostrando o tipo de cálculo
mental que ele realizou para descobrir o resultado da divisão.
Kle: Você explicar por escrito é muito mais difícil do que explicar oralmente,
mas eu acho legal o convencimento. A gente já descobriu que 12 X 5 é 60, e todo mundo sabe que 4 X 15 é 60, então a gente já saberia que 4 figurinhas ficariam em 15 páginas, em cada página do álbum, mas eu acho que a gente já mostrou isso na estratégia.
(Trecho do áudio do aluno Kle, do Grupo G3)
Na verdade, este estudante não mostra isso explicitamente, pois, no
protocolo, o aluno apresentou apenas o algoritmo da divisão, como podemos ver na
Figura 21, que não traduz o cálculo mental relatado por ele na gravação.
Figura 21: Estratégia do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 3 do Encontro 1
Renato coleciona figurinhas e comprou 12 envelopes com 5 figurinhas em cada
um. Ao abrir os envelopes, ele descobriu que nenhuma delas era repetida e colou as
figurinhas em seu álbum colocando o mesmo número de figurinhas em cada uma das
15 páginas. Quantas figurinhas ele pode colar em cada página do álbum?
96
Conseguimos verificar os conceitos-em-ação mobilizados pelo estudante para
a resolução da divisão somente por meio da gravação. O processo heurístico estava
subentendido pelo estudante como algo já expressado em seu esquema. Em geral,
os estudantes possuem certa dificuldade em verbalizar teoremas-em-ação e
conceitos-em-ação que são tidos como verdadeiros para eles. Contudo, entendemos
que é muito importante que esse conhecimento seja explicitado, pois
progressivamente podem tornar-se verdadeiros conceitos e teoremas científicos.
Lúcio apresentou a mesma estratégia de Kléber, que explicitamos na Figura
21. No trecho de diálogo a seguir, ele apresenta a resposta do problema, sem
efetuar o algoritmo, por meio de cálculo mental, apoiando-se na relação inversa
entre divisão e multiplicação.
Da: “Vamos dividir 60 por 15.” Lu: “É 4.” Da: “Por que 4?” Lu: “Porque 4 X 15 dá 60.” Da: “Nada a ver.” Lu: “É sim, pode ver.” Isa: “Ah, peraí eu já entendi o que ele está falando. Gente ele está falando da divisão que para chegar no 60 é 4, 15 X 4 dá 60.”
(Trecho do áudio do Grupo G2)
Por meio deste exemplo queremos mostrar que o esquema de cálculo mental
também pode ser efetivo e usado pelos estudantes, sem a necessidade de efetuar
um algoritmo, pois se o aluno, de fato, resolveu o problema mentalmente, não há
necessidade que se efetue o algoritmo. O registro do algoritmo não deve ser uma
obrigação e sim um meio essencial à resolução do problema.
Ao final do Problema 3, destacamos que é importante saber realizar boas
perguntas a si próprio que o conduzam à resolução do problema, e enquanto o
estudante não é capaz de realizar esse processo heurístico, o papel do professor é o
de apresentar bons modelos.
Vimos que o Problema 3 foi bastante fácil para a maioria dos alunos, no
entanto, nem sempre os registros escritos revelaram os conceitos-em-ação
mobilizados por eles. Pudemos observar isso na Figura 21 e na fala do aluno Kléber:
a dificuldade em verbalizar os teoremas-em-ação e a não- percepção do que
realmente a sua estratégia expressou para quem a vê.
97
Problema 4
Este problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medida, na
classe da multiplicação. Escolhemos esse problema pelo fato de apresentar uma
informação desnecessária para a resolução do problema.
Quadro 21: Problema 4 do Encontro 1 (Extraído de Imenes, 2009)
Todos os alunos utilizaram nas estratégias o algoritmo da multiplicação para
ambos os itens a) e b). Lúcio, além disso, também deixou o registro de uma tentativa
anterior.
Verificamos, por meio da categorização a seguir, que, diferente do ocorrido
em classe, os estudantes conseguiram compreender e responder o problema sem
dificuldades. Acreditamos que isso se deve ao fato do problema já ter sido utilizado
em sala de aula pela professora de classe, com um número elevado de erros.
Podemos dizer que os estudantes aprenderam com as falhas anteriores e a
explicação da professora.
Apresentamos um diálogo do Grupo G2 para este problema.
Isa: Vamos começar por 200 dividido por 6. Vai dar 33 e vai sobrar 2. Da: Mas não era para fazer 12 vezes “alguma coisa” antes? Isa: Tá então pera, ele vai ter 33 pacotes com 6 lenços e vão sobrar 2
lenços fora dos pacotes. Da: Não gente espera, a gente tem que fazer outra coisa. Por minha conta
eu vou fazer 12 vezes 6. Lu: Tá bem, faz o 12 vezes 6. Vamos ver quanto dá. Da: Deu 72. Agora eu vou fazer 12 vezes 10, que é óbvio que dá 120. Isa: Ai gente eu tô começando a achar que o 200 dividido por 6 num tá
pegando nada. Não vai resolver nada. Da: Então justamente.” [...] Gente, eu fiz 12 vezes 6 porque ele só vendeu
12 pacotes e cada uma vem com 6 lenços, ai quantos lenços Luís vendeu
Luís é um bom vendedor. De manhã cedo, armou a barraca na praça.
- Tenho 200 lenços para vender e vou acabar com eles já, já.
- Vamos lá, minha gente, que o lenço é bom e barato. O pacote com 6 custa 10
reais!
- Tá mal! Só vendi 12 pacotes!
a) Quantos lenços Luís vendeu pela manhã?
b) Quanto ele arrecadou nessa venda?
98
pela manhã? Então ele vendeu 72 lenços de manhã. Ai agora na B está perguntando quanto ele arrecadou na venda? Eu fiz 12 vezes 10 porque ele só vendeu 12 pacotes vezes 10 porque custa 10 reais cada um. Ele arrecadou 120. Isa: Ah, faz sentido.
(Trecho de áudio do Grupo G2)
Esse trecho mostra uma tentativa de resolver o problema que foi realizada
anteriormente à descoberta do resultado correto. Esses procedimentos não
apareceram nos protocolos dos alunos, no entanto, sabemos que esse processo
heurístico foi importante, e poderia ter sido determinante para que os estudantes
encontrassem o resultado correto de seus problemas. Vislumbramos então, por
parte dos estudantes, o levantamento de conjecturas para tentar resolver o
problema, seguido de uma revisão na qual estas hipóteses não foram validadas, de
modo que foi necessário elaborar novos esquemas de resolução para o mesmo
problema.
Mesmo não tendo registrado todos esses passos na ficha, a nós parece que
eles percebem a importância de passar por aqueles passos para resolver o
problema.
Problema 5
Esse problema coloca em jogo uma correspondência, sem ser, no entanto,
um isomorfismo de medidas, mas um “caso de um único espaço de medida”
(VERGNAUD, 2009, p. 262). Nele, estão presentes algumas “palavras-chave”, e
gostaríamos de ver a reação dos alunos frente a elas.
Quadro 22: Problema 5 do Encontro 1
(Extraído de Vergnaud, 2009)
É necessário três vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma saia.
São necessários 6 metros para um conjunto. Quanto de tecido é necessário para se
fazer uma saia?
99
Tabela 6: Categorias de Estratégias para o Problema 5 do Encontro 1
Categoria Grupo
Cálculo mental Fátima (G3)
Algoritmo da divisão G1, G2, G4
Algoritmo da divisão com operação inversa Isabel (G2) e Gabriele (G4)
Algoritmo da divisão e desenho Kátia (G4)
Resposta incorreta por meio de cálculo mental
ou subtração
G3
Na Tabela 6 vemos que os estudantes apresentaram estratégias variadas e
tivemos um grupo que não conseguiu resolver corretamente o problema. Mostramos
alguns exemplos de estratégias. Para este problema não foi possível analisar o
áudio do grupo G4, pois este ficou inaudível.
Na Figura 22, apresentamos um exemplo de estratégia de algoritmo da
divisão e desenho.
Figura 22: Estratégia da aluna Kátia do Grupo G4 para o Problema 5 do Encontro 1
Na Figura 23, temos um exemplo da estratégia de algoritmo da divisão com
operação inversa. Ainda nesta figura, percebemos que os alunos apresentaram em
suas rubricas a ideia de multiplicação para resolver o problema.
Observando as rubricas dos alunos em relação ao Problema 5, podemos
perceber que alguns apresentaram ideias arraigadas à expressão três vezes mais,
supondo assim que se tratava de uma multiplicação. Também se prenderam
demasiadamente ao algoritmo que registrariam no protocolo, o que ficará mais bem
100
explicitado adiante com os trechos extraídos da gravação, e com a apresentação, na
Figura 23 da ficha completa de um aluno que se comportou dessa maneira.
Figura 23: Ficha de Resolução de Problemas completa da aluna Gabriele para o Problema 5 do Encontro 1
Na escrita da estudante Gabriele, podemos perceber o destaque que ela dá à
expressão “três vezes mais”, que aparece no enunciado do problema.
Fini (2001, apud Chahon, 2006) faz uma crítica ao uso excessivo de cálculo
numérico e “palavras-chave”, em detrimento da compreensão das relações entre os
dados e da análise do problema. Encontramos, desta maneira, concordâncias entre
101
nossa pesquisa e os dados expostos por Chahon (2006) e ressaltamos a
necessidade de trabalhar com problemas matemáticos multiplicativos que
apresentem esses tipos de palavras-chave, mas em diferentes contextos, para que
os estudantes percebam que não há uma ação mecanizada a ser realizada.
Assim como na pesquisa de Rêgo e Azeredo (2006), alguns alunos em nossa
pesquisa utilizavam simultaneamente o registro gráfico (esquemas e desenhos) e o
algoritmo; este último para validar o resultado obtido com o apoio do primeiro, ou
ainda, o uso do registro gráfico para conferir a resposta obtida pelo algoritmo.
Parte dos alunos começou a demonstrar domínio do cálculo relacional desse
problema ao longo das discussões, mas estavam com dificuldade de registrar o
cálculo numérico referente à resolução. Vergnaud (2009) aponta que o estudante
precisa dominar ambos os tipos de cálculos:
Ju: Gente, vocês entenderam essa primeira frase? São necessários 3
vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma saia. [...] Eu não estou conseguindo entender isso. Gi: Eu já sei, me passou pela cabeça agora, mas eu não posso apagar minha rubrica. São 3 vezes mais, então eu tenho que fazer 3 mais 3 que dá 6, certo? Então eu tenho que fazer 3 vezes 2. Acho que é isso. Ju: Acho que é pra fazer 3 vezes 3. Ma: Então o 3 com 6 já são 3 vezes mais do que quanto é a saia. [...] 2 metros porque ó 2, 4, 6, dão 3 vezes. Ju: Gente, mas calma ai. Gi: O quê? Ma: São necessário 3 vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma saia. São necessários 6 metros para o conjunto. Então se o conjunto são 3 vezes mais, seria 6 dividido por 3 que daria...quanto...2. Ju: Eu só não entendi essa confusão: conjunto do que uma saia. Gi: Nossa, a minha rubrica está totalmente diferente. Ju: Agora eu entendi [...] Metade de um conjunto... na verdade um terço de
um conjunto é o que precisa de tecido para fazer uma saia e aqui está falando que são 6 metros que são necessários para um conjunto. Ma: Viu, eu falei. Ju: O convencimento vai ser difícil. Ma: Não vai não. Gi: Você (Ma) tinha falado um convencimento muito bom e eu completei. Depois o Ju também falou coisas muito boas.
(Trecho de áudio do Grupo G1)
No diálogo que se seguiu pudemos verificar que a estudante Gisele constata
que sua rubrica está totalmente diferente após todo procedimento de resolução do
problema. Esse movimento que a aluna fez é fundamental para que ela “tome
consciência e controle de seus próprios processos cognitivos”, conforme Dreher
(2009) conceitua metacognição.
102
Encontramos no trabalho de Molinari (2010), a preocupação em propiciar um
espaço para os alunos explicarem a maneira como pensaram e até discutirem sobre
outros jeitos de se resolver um mesmo problema. Ela aponta que os alunos
precisam ter contato com diferentes procedimentos de resolução de problemas.
Vemos, neste Problema 5, e também durante todo o primeiro encontro, que
conseguimos propiciar espaços e meios para os alunos pensarem sobre seus
próprios pensamentos.
Em todo momento em que os estudantes explicam seus processos
heurísticos para os demais do grupo, na verdade eles já estavam convencendo-os
sobre seus esquemas. No entanto, quando alguns estudantes registram por escrito
seus convencimentos, esta tarefa se torna difícil. Vemos na fala da aluna Gisele a
percepção de que durante a conversa do grupo já aconteceu a etapa do
convencimento, e que basta transpor o que foi discutido oralmente para a linguagem
escrita.
Conforme previmos na escolha dos problemas, a expressão três vezes mais,
ao invés de 3 vezes menos foi geradora de dificuldade para os estudantes, pois eles
se apegaram à expressão “três vezes mais” como sendo um problema de
multiplicação. Talvez eles tenham percebido que as “palavras-chave” podem levá-los
a uma interpretação errônea do problema. Percebemos que o uso inadequado de
palavras-chave pode induzir ou prejudicar o estudante durante a resolução de
problemas.
Dentro de todo o primeiro encontro, verificamos que este Problema 5 foi o que
mais gerou dificuldade para os alunos, seja pela compreensão do cálculo relacional,
dificultado pela expressão “três vezes mais”, seja pela escolha do cálculo numérico
ou de outro esquema para representá-lo.
Entendemos que os alunos precisam dominar tanto o cálculo numérico quanto
o cálculo relacional, mas vimos, neste problema, que a compreensão do primeiro
não resultou na realização do segundo, isto é, muitos alunos entenderam o
problema e chegaram ao resultado, mas não conseguiam expressá-lo por meio de
um cálculo numérico ou por meio de outro esquema.
103
5.4 Discussão do Encontro 1
Neste primeiro encontro, aplicamos cinco problemas do campo multiplicativo,
cujas categorias variaram de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud (2009). Para que os estudantes pudessem resolver esses problemas, nos
centramos nas fases de resolução de problemas propostas por Mason, Burton e
Stacey (1982). Utilizando a ficha de resolução de problemas destacando as fases da
rubrica, estratégia, resposta e convencimento, evidenciamos uma proposta
metodológica para e sobre a resolução de problemas, pois os alunos puderam
aprender e utilizar etapas de resolução de problemas.
Para Alvarenga (2008), a perspectiva metodológica de resolução de
problemas ressalta a importância de análise do caminho percorrido pelo aluno
durante a resolução de problemas e não apenas os acertos e erros. Concordamos
com o que foi levantado pela autora, pois com a valorização da exposição dos
esquemas e dos invariantes operatórios, o foco dos encontros definitivamente não
foi para os acertos e erros dos alunos, o que foi confirmado pelas gravações de
áudio que nos mostrou o prazer e interesse dos estudantes pela resolução dos
problemas.
Os estudantes demonstraram bastante facilidade para utilizar a ficha de
resolução de problemas proposta pela pesquisadora. Evidentemente, salientaram
certa dificuldade em redigir a etapa do convencimento, mas percebemos que
souberam valorizá-la.
Discutimos algumas estratégias próprias dos alunos para resolver problemas
que nos ajudaram a identificar os processos heurísticos mobilizados por eles. Dentro
de cada problema, isto é, de uma nova situação, os alunos apresentaram seus
esquemas, repletos de invariantes operatórios.
Percebemos que a ficha de resolução de problemas e a discussão em grupo
a qual tivemos acesso pela gravação de áudio se complementaram para a análise
dos invariantes operatórios que são colocados em ação pelos alunos para resolver
104
problemas multiplicativos, bem como para observar o uso de esquemas. Na ficha,
vimos que a etapa da rubrica pode mostrar algo que a estratégia não mostrou e,
portanto, por meio dela, podemos reconstruir os conhecimentos implícitos na ação.
Verificamos a importância de compreender o cálculo relacional e não só o
cálculo numérico para responder um problema, mostrando que todas as relações
que estão por trás da resolução de um problema podem ser explicitadas de
diferentes maneiras.
O registro por escrito das estratégias dos estudantes favoreceu o
desenvolvimento de processos heurísticos por parte dos alunos, assim como os
motivou. Verificamos também que o registro gráfico (desenho e tabela) apareceu
para validar as respostas obtidas via algoritmo, ou vice-versa.
Os alunos descobriram que, ao explicarem sua resolução do problema para
os demais colegas do grupo, na verdade estão convencendo os outros sobre seus
esquemas, mas ressaltam a dificuldade de transpor este diálogo para o registro
escrito.
5.5 Encontro 2
No Encontro 2, aplicamos cinco problemas matemáticos nos quais
apresentamos aos estudantes um diagrama composto por barras. Esse diagrama de
barras é apontado pelo Ministério da Educação de Cingapura como um tipo de
esquema. Estes problemas também foram selecionados com base na ideia de Polya
(2006) de que alunos devem ser encorajados a utilizar um mesmo resultado ou
procedimento em diferentes problemas, isto é, situações.
Nosso objetivo neste encontro foi levar os alunos a refletirem e interpretarem
o diagrama de barras do Método- Modelo de Cingapura, e, assim, investigar se essa
representação pictórica torna os estudantes capazes de visualizarem a estrutura do
problema, a fim de dar sentido à relação quantitativa envolvida nele.
105
Durante o Encontro 2, os alunos poderiam terminar de resolver o problema a
partir do diagrama apresentado como resolução parcial, somente interpretá-lo ou
poderiam resolver o problema da maneira que achassem mais conveniente sem o
uso do diagrama.
Problema 1
Entendemos que esse problema pode ser classificado como sendo
Isomorfismo de Medidas, na classe de multiplicação de Vergnaud (2009).
Pretendemos, com este problema, verificar se os alunos realizariam alguma
relação com o Problema 1 do Encontro 1, já que fazem parte da mesma categoria de
problemas e trazem uma ideia multiplicativa muito semelhante.
Quadro 23: Problema 1 do Encontro 2
(Extraído de Ministério da Educação de Cingapura, 2009)
Na Tabela 7, apresentaremos a categorização das estratégias de resolução
do Problema 1.
Tabela 7: Categorias de Estratégias para o Problema 1 do Encontro 2
Categoria Grupo
Algoritmo da multiplicação G1, Tatiane, Kátia e Pablo
Interpretou o método- modelo e realizou o
algoritmo da multiplicação
Isabel
Se apoiou no método- modelo para calcular e
efetuou algoritmo da multiplicação
Vinícius
Se apoiou no método- modelo para calcular e Solange
Cinco crianças dividiram o custo de um presente igualmente. Cada uma delas
pagou R$ 36,00. Qual foi o custo do presente?
R$ 36
106
efetuou algoritmo da adição
Interpretou o método- modelo, efetuou o
algoritmo da multiplicação e adição
Selma
Interpretou o método- modelo, efetuou o
algoritmo da multiplicação e efetuou
multiplicação por decomposição.
Gisele, Gabriele e Fátima
Algoritmo da multiplicação e multiplicação por
decomposição.
Angela e Janice
Estratégia incompreensível Júnior
Como exposto na Tabela 7, os alunos apresentaram esquemas diversificados
e resolveram o problema com certa facilidade. De acordo com o objetivo do
problema, procuramos fazer uma distinção entre os estudantes que somente
interpretaram o diagrama e aqueles que realmente se apoiaram no método- modelo
para resolver o problema.
Todos os alunos do Grupo 1 efetuaram o algoritmo da multiplicação para
resolver o problema. Logo que leu o problema, Maria (G1) registrou a rubrica a
respeito do diagrama:
Figura 24: Rubrica da aluna Maria do grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 2
Em seguida, ela efetua o algoritmo da multiplicação.
Figura 25: Estratégia da aluna Maria do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2
107
Na escrita da aluna, verificamos que a compreensão a respeito do problema
foi indiferente ao diagrama exposto, o que resultou na estratégia de efetuar o
algoritmo da multiplicação.
Em sua rubrica, a estudante aponta que o problema não apresenta dificuldade
na Figura 25. Diferentemente de Maria, Fátima apresenta estratégia em que
interpretou o diagrama, efetuou o algoritmo da multiplicação e ainda efetuou
multiplicação por decomposição na Figura 26.
Figura 26: Rubrica da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2
Figura 27: Estratégia da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2
Destacamos na interpretação do diagrama feita por Fátima, que ela
compreendeu que a “chave grande” queria representar o preço do presente, cada
“retângulo” mostrava uma criança e a “chave pequena” representava o preço que
cada criança ia pagar.
Desde o início, a estudante relatou que o problema era fácil, em seguida,
efetuou o algoritmo da multiplicação e a multiplicação por decomposição junto à
interpretação do diagrama. Entendemos que a aluna não precisou do diagrama para
resolver o problema, mas aproveitou para interpretar mais uma maneira diferente de
explorá-lo.
108
Assim como Fátima, Selma também interpretou o diagrama de barras. Selma
apresenta, na rubrica, a ideia de efetuar uma multiplicação para resolver o problema,
demonstrando que compreendeu o enunciado do problema.
Figura 28: Rubrica da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2
Na estratégia, deixa explícito que efetuou primeiro a multiplicação indicada
anteriormente, e, em seguida, utilizou o diagrama para apresentar a adição do preço
pago pelo presente por cada criança, isto é, foi somando 36 (valor pago por cada
criança) à soma do preço pago pelas crianças anteriores.
Figura 29: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2
Quando chegamos à etapa do convencimento, nos deparamos com a
explicação que apresenta a resolução do problema por meio da adição de parcelas
sucessivas. Apesar de ter efetuado, primeiramente, o algoritmo da multiplicação, no
momento de explicar seu entendimento sobre o problema, recorreu ao diagrama e
aos processos aditivos.
Figura 30: Convencimento da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2
109
Verificamos que o diagrama pode ser uma ferramenta visual para os
estudantes interpretarem e descreverem a compreensão sobre o problema. No
diálogo que se segue, entre as alunas Angela e Gabriele, destacamos mais um
exemplo sobre como esse diagrama pode favorecer o entendimento das relações
existentes no problema multiplicativo.
Ga: Eu já sei qual é o esquema do problema, peraí. Pra mim gente o esquema é mais ou menos assim... gente para mim dá 180, e pra vocês também? O esquema, que é um retângulo dividido em cinco partes, essas cinco partes são as crianças, e uma parte que está com a chave, uma parte corresponde a 36 reais, ou seja, uma criança vai pagar 36 reais e a chave que cobre tudo significa o preço do presente inteiro. [...] Angela, por que você não entendeu? An: Teria que fazer 36 dividido por 5? Ga: Não Angela, olha o esquema. Isso aqui não é um retângulo? Ele não está dividido em 5 partes iguais? Uma parte corresponde a uma criança, uma, uma, uma, uma, uma. Se somarmos todas dão cinco crianças. Essa parte está falando que as crianças dividiram o preço do presente, só que você não sabe. Cada uma pagou 36 reais, isso você já sabe. Essa chave significa o quê? Que uma criança vai pagar 36 reais, agora essa chave que você não sabe, você tem que descobrir do presente, quanto foi o custo do presente, porque... Na: Inaudível Ga: Então, cada criança pagou 36 reais, só que você quer saber quanto
todas elas juntas pagaram, então você faz 36 vezes 5, entendeu? Na: Depois que a Gabriele me explicou com o desenho, ficou mais fácil.
(Trecho de áudio do Grupo G2)
Percebemos, neste trecho de áudio do Grupo 2, que Angela apresentava
dificuldades para compreender e resolver o problema. Gabriele explicou-lhe o
problema por meio do diagrama apresentado. No final da explicação, Angela afirma
ter compreendido o problema com o auxílio do diagrama. Neste caso, podemos dizer
que o diagrama (do Método- Modelo) serviu como ferramenta visual para que Angela
pudesse entender o problema e como resolvê-lo. Além disso, percebemos que,
mesmo tendo a representação uma ideia de grandeza contínua, ela foi vista por
esses alunos como representação de variáveis discretas.
Para Gabriele, o diagrama não foi apenas simples de ser interpretado, mas
também foi utilizado para dar explicações sobre o problema à colega Angela. No
entanto, não observamos essa facilidade em todos os grupos. No diálogo do Grupo
3 a seguir, Tatiane, Isabel e Pablo discutem sobre a disposição das “chaves” no
diagrama.
Ta: Eu acho que eu descobri porque tem essa chave grandona. É que assim, eu acho que essa chave grandona representa todo mundo que está junto com o grupo.
110
Pa: E a chave pequena seria como cada pessoa. Isa: É cada pessoa que pagou 36 reais.
(Trecho de áudio do Grupo G3)
Na fala de Tatiane, percebemos que a aluna deu uma interpretação própria
para o significado da chave grande do diagrama, pois esta representa o valor total
do presente e não a quantidade de pessoas do grupo. Já no complemento da
estudante Isabel ao que havia sido dito por Pablo, verificamos que ela compreendeu,
de fato, o significado da chave pequena, isto é, o valor pago por cada pessoa, e não
só cada pessoa como havia sido interpretado por Pablo.
Com base neste exemplo, podemos dizer que o diagrama pode auxiliar os
alunos a compreenderem as relações que estão por trás de uma situação
multiplicativa. O uso de esquemas como esse pode favorecer o desenvolvimento de
processos heurísticos nos alunos.
De acordo com o objetivo deste Encontro 2, bem como com os expostos no
início deste Problema, percebemos que poucos alunos apresentaram dificuldade ou
não interpretaram o esquema de barras proposto pela pesquisadora. Entretanto,
somente dois alunos se apoiaram nesse diagrama para resolver o problema, apesar
de acreditarmos que o diagrama favoreceu a compreensão do problema,
principalmente das relações multiplicativas por trás do cálculo numérico.
Além disso, os estudantes não apresentaram nenhum dado baseado no qual
pudéssemos afirmar que eles perceberam a correlação existente entre o Problema 1
do Encontro 2 e o Problema 1 do Encontro 1.
Problema 2
O problema se encaixa também na categoria do Isomorfismo de Medidas, na
classe da multiplicação. Os estudantes precisariam perceber que, para cada pato,
há cinco vezes mais galinhas e que a incógnita é o valor de galinhas. Observamos
se o esquema facilitaria ou complicaria a resolução desse tipo de problema.
111
Quadro 24: Problema 2 do Encontro 2
(Extraído do Ministério da Educação de Cingapura, 2009)
Na Tabela 8, apresentamos os tipos de estratégias utilizadas pelos alunos.
Tabela 8: Categorias de Estratégias para o Problema 2 do Encontro 2
Categoria Grupo
Algoritmo da multiplicação Tatiane, Pablo, Vinicius,
Jomar, Lúcio, Silmara,
Angela
Interpretou o diagrama e realizou o algoritmo da
multiplicação
Kátia, Solange, Maria,
Fátima, Gisele, Gabriele
Desenvolveu seu esquema a partir do diagrama Isabel e Selma
Interpretou o diagrama e relatou ter feito cálculo
mental
Kléber
Interpretou o diagrama, realizou algoritmo da
multiplicação e adição de parcelas sucessivas
Janice
Estratégia incompreensível Júnior
Os Grupos G2 e G3 relatam, desde o início, a facilidade de resolver o
problema por meio do algoritmo 7X5, sem a necessidade de recorrer ao diagrama.
No entanto, verificamos, em ambos os grupos, discussões sobre o entendimento a
respeito do diagrama, como vemos na fala da aluna Isabel no Grupo G3:
Ta: [...] Eu achei que o esquema estava meio confuso. Pesquisadora: O que você achou confuso, Tatiane? Ta: É que eu não entendi. [...]
Um fazendeiro tem 7 patos. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que patos.
Quantas galinhas ele tem?
galinhas
patos
112
Pesquisadora: Quem é que pode ajudar a Tatiane a entender esse
diagrama? Isa: Bem, é como eu fiz aqui, tá vendo? Eu fiz a mesma coisa que o
problema, só que em cada quadradinho que tem cinco eu pus sete, porque como ele tem cinco vezes mais galinhas do que patos, então são sete em cada quadradinho. Ai sete vezes cinco, porque são cinco quadradinhos, sete galinhas em cada um, que dá trinta e cinco. Isso que eu entendi do problema, ops! Do esquema.
(Trecho de áudio do Grupo G3)
Sobre a categoria em que as estudantes desenvolveram esquemas a partir do
diagrama, apresentamos nas Figuras 31 e 32 as estratégias de Isabel, do Grupo G3,
cuja descrição do diagrama já foi mostrada acima e de Selma do Grupo G2,
respectivamente.
Figura 31: Estratégia da aluna Isabel do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 2
Figura 32: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 2
Ambas as alunas interpretaram o esquema e elaboraram as próprias
estratégias a partir do diagrama. Diferentemente de Isabel, Selma já efetua, no
próprio diagrama, a soma do sete a cada novo quadradinho, a fim de obter o total de
galinhas.
113
Na estratégia exposta por Maria, na Figura 333, ao mesmo tempo em que a
aluna diz que o “desenho” não auxiliou muito, ela também diz que o diagrama a
ajudou a esclarecer a conta apontando para a maneira como completou o diagrama.
Figura 33: Primeira Estratégia da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 2 do Encontro 2
Figura 34: Segunda Estratégia da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 2 do Encontro 2
Entendemos que Maria utilizou o diagrama para se certificar quanto ao seu
entendimento das relações multiplicativas do problema. De acordo com o enfoque
do Encontro 2 e os objetivos referentes a esse Problema, destacamos que o
diagrama em certos casos facilitou a resolução do problema, como no caso das
estudantes Isabel e Selma. Em contrapartida, como vimos no exemplo da aluna
Tatiane, o diagrama trouxe complicações. Como vimos na tabela de categorização
das estratégias, para muitos o diagrama não interferiu na resolução do problema,
pois efetuaram diretamente o algoritmo da multiplicação.
Problema 3
O problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medidas, na classe
da divisão por uma busca da quantidade de unidades. Pretendíamos ver o que a
figura acarretará para estes alunos.
114
Quadro 25: Problema 3 do Encontro 2
Percebemos, na categorização disposta na Tabela 9 a seguir, que a maioria
dos alunos resolveu o problema por meio do algoritmo da divisão. Dois estudantes
resolveram o problema utilizando o diagrama do Método- Modelo.
Tabela 9: Categorias de Estratégias para o Problema 3 do Encontro 2
Categoria Grupo
Algoritmo da divisão com operação inversa
Angela
Resolveu o problema por meio do diagrama e
algoritmo da multiplicação
Fátima
Resolveu o problema por meio do diagrama
Gisele e Selma
Interpretou o diagrama, algoritmo da divisão e
operação inversa
Janice, Gabriele
Algoritmo da divisão
G1, G3 (exceto Júnior)
Estratégia incompreensível Júnior
Na estratégia da estudante Fátima, na Figura 35, entendemos que ela viu que
“faltava” um retângulo no modelo de diagrama entregue na ficha e o acrescentou,
mas, mesmo assim, manteve a ruptura. Podemos perceber isso pela marca de
apagado da estratégia.
Um grupo de crianças comprou um presente por R$ 30,00. Elas pagaram R$
6,00 cada. Quantas crianças estavam presentes nesse grupo?
R$30
R$6
115
Figura 35: Ficha de Resolução de Problemas completa da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 3 do Encontro 2
Diferentemente de Fátima, porém no mesmo Grupo G2, Selma e Gisele
refizeram o diagrama de modo a acrescentar mais um quadradinho à figura sem
deixar ruptura, isto é, cinco quadradinhos. Ela ainda conta cada quadradinho como
sendo uma criança, demonstrando ter solucionado o problema por meio do esquema
proposto.
116
Figura 36: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 3 do Encontro 2
Os alunos que usaram o diagrama como esquema para resolver o problema
apresentaram uma multiplicação, em oposição aos alunos que não utilizaram o
diagrama e tentaram resolver o problema fazendo uma divisão.
Durante a leitura das rubricas, no Grupo G2, encontramos a seguinte
discussão:
Se: Eu acho que são quatro crianças, porque tem meio que uma fração aqui
e tá meio que quebrada. A Gisele mostrou que se a gente pintar o quadradinho inteiro vai ficar “consertado”...ai...acho que são quatro crianças. Ga: Pra mim não, eu discordo. Gi: Se juntar eu acho que forma um quadrado inteiro. Ga: Eu discordo. Porque pra mim é assim, se fossem quatro crianças, se
você fizer... tão falando que ao todo vai dar trinta reais, cada um vai pagar 6 reais, mas chegando aqui no meio, se você ver que “forem” (sic) quatro crianças, trinta dividido por quatro...não...falei tudo errado...trinta dividido por seis daria cinco, e se fossem quatro, 6,6,6,6 daria 24 e não trinta, então pra mim dão cinco.
(Trecho de áudio do Grupo G2)
Percebemos que o diagrama deste problema gerou dificuldade para o Grupo
G2, no entanto, observamos que esse “desequilíbrio” que o esquema criou serviu de
base para uma discussão muito rica e proveitosa a respeito da compreensão do
problema.
A parte “quebrada” do diagrama representa a incógnita do problema, isto é,
aquilo que se pretende descobrir, no caso a quantidade de crianças no grupo.
Verificamos que a maioria dos alunos não entendeu o porquê desse tracejado
rompido.
De acordo com a proposta deste Encontro 2 e o objetivo específico do
Problema 3, verificamos que foram poucos os alunos que identificaram a ruptura do
diagrama como sendo a incógnita do problema. Neste sentido, essa ruptura causou
desconforto entre os estudantes que cogitaram a resposta ser 4 crianças, em virtude
da quantidade de quadradinhos. Percebemos que toda essa discussão favoreceu
que os alunos pensassem a respeito do cálculo relacional presente no problema.
117
Problema 4
Com base em Vergnaud (2009), entendemos que esse problema se trata de
um problema misto (multiplicativo e aditivo), pois esse problema, relativamente
simples, coloca em evidência relações do tipo multiplicativo e do tipo aditivo.
Quadro 26: Problema 4 do Encontro 2
Tabela 10: Categorias de Estratégias para o Problema 4 do Encontro 2
Categoria Grupo
Resolveu por meio do diagrama Selma
Interpretou o diagrama, realizou uma divisão e
uma adição
Fátima, Pablo, Isabel,
Kátia, Solange, Gisele
Algoritmo da divisão e operação inversa Janice, Gabriele
Algoritmos da divisão e da adição G1, Tatiane (exceto Kléber
e Silmara)
Interpretou o diagrama e realizou adição de
parcelas sucessivas
Silmara
Interpretou o esquema e fez cálculo mental Kléber
Interpretou incorretamente o diagrama e realizou
algoritmos da divisão e adição
Lúcio
Vimos, na categorização deste problema, que a maioria dos estudantes
efetuou uma divisão para resolver o problema.
Neste problema, os alunos podiam se apoiar na resposta do Problema 2
deste mesmo encontro, que apresentava a ideia sobre ter 5 vezes mais galinhas do
Um fazendeiro tem 35 galinhas. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que patos.
Quantas galinhas e patos ele tem ao todo?
galinhas
patos
118
que patos. Os estudantes não precisavam efetuar o cálculo 35 dividido por 5 para
obter a quantidade de patos, pois esta resposta já era conhecida por eles do
Problema 2, se eles tivessem lembrado disso. Bastava somar o total de galinhas ao
total de patos, isto é 35 + 7. Assim como podemos perceber na rubrica e estratégia
do estudante Kléber, nas Figuras 39 e 40.
Figura 37: Rubrica do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 2
Figura 38: Estratégia do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 2
Nas Figuras 37 e 38, vemos que Kléber primeiro considerou a hipótese desse
problema ser o mesmo que o Problema 2, mas podemos dizer que ele percebeu que
a ideia não se confirmava e então efetuou mentalmente a adição que “faltava”, já
que do resultado da divisão ele já dispunha.
No entanto, a maioria dos estudantes registrou o algoritmo 35 : 5, ao invés de
partir do conhecimento que já tinham obtido no Problema 2 para concluir a resolução
deste problema. Alguns estudantes do Grupo G2, como Gisele e Janice, chegaram a
comentar sobre a relação deste Problema com o Problema 2, mas, mesmo assim,
efetuam o algoritmo da divisão:
Gi: Acho que tem que fazer 35 : 5, porque a gente teve um problema ao contrário. Ja: No problema 2 foi esse mesmo problema, só que dessa vez é a operação inversa. Eu penso que eu devo fazer uma divisão 35: 5...
(Trecho de áudio do Grupo G2)
119
Figura 39: Estratégia da aluna Gisele do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro 2
Então, Fátima se opõe ao que o Grupo G2 vinha argumentando lendo sua
rubrica:
Figura 40: Rubrica da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro 2
Na rubrica de Fátima, fica evidente que ela partiu do conhecimento que já
possuía, isto é, a quantidade de galinhas e a quantidade de patos, mas não
demonstra ter percebido que seria necessário efetuar uma adição entre a
quantidade de patos e a quantidade de galinhas.
De fato, na gravação, evidenciamos que, durante a rubrica e a estratégia, o
Grupo G2 não havia se atentando à pergunta do problema, que é relacionada ao
número total de patos e de galinhas, e não só à quantidade de patos. Quando Gisele
relê a pergunta do problema, o Grupo retoma:
Gi: Quantas galinhas e patos ele tem ao todo? Já sei qual vai ser a
resposta. Ga: Ele tem 35 galinhas e 7 patos. Gi: E ao todo dá 42. Se: Que aqui pergunta quantas galinhas e patos ele tem ao todo. Ga: Ah, é verdade. A Selma está certa. A gente tem que somar 35 mais 7,
que dá 42. Ja: 42 animais.
(Trecho de áudio do Grupo G2)
Verificando a estratégia de Selma, entendemos que ela resolveu o problema
por meio do diagrama, pois partiu do que já estava exposto no Problema 2 e no
diagrama, para realizar a soma do 35 com o 7, isto é, das galinhas com os patos já
apresentados no esquema.
120
Figura 41: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro 2
Com base nos objetivos do Encontro 2 e do Problema 4, constatamos, no Grupo
G2, que somente quando os alunos foram redigir a resposta e releram o enunciado
do problema é que se depararam com a situação aditiva e puderam retomar e
concluir a resolução.
Problema 5
Nosso objetivo foi apresentar um problema cuja resolução se dá por meio de
uma multiplicação e uma subtração, para calcular a diferença entre galinhas e patos.
Também foi observar o uso ou não do diagrama como apoio para resolver o
problema e perceber se os estudantes se apoiaram nos problemas anteriores para
resolvê-lo.
Quadro 27: Problema 5 do Encontro 2
Um fazendeiro tem 7 patos. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que patos.
Quantas galinhas a mais do que patos ele tem?
galinhas
patos
121
Tabela 11: Categorias de Estratégias para o Problema 5 do Encontro 2
Categoria Grupo
Interpretou o diagrama e realizou uma subtração Maria, Isabel,
Algoritmo da subtração Júnior, Jomar, Pablo
Interpretou em partes o diagrama e realizou uma
subtração
Silmara, Solange, Kátia
Interpretou em partes o diagrama e cálculo
mental
Kléber
Algoritmos da multiplicação e subtração Lúcio, Tatiane, G2
Por meio da categorização do Problema 5, percebemos que metade dos
alunos decidiu efetuar uma subtração, sem necessariamente efetuar uma
multiplicação. Como veremos nas discussões adiante, os alunos perceberam que
não havia necessidade de efetuar uma multiplicação, tendo em vista que já tinham
obtido essa informação nos problemas passados.
Quando observamos as rubricas dos estudantes, a de Solange nos chamou
mais a atenção, pois se referia a uma adição.
Figura 42: Rubrica da aluna Solange do Grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 2
Entendemos que a aluna possa ter tido esse pensamento em virtude da
expressão “a mais” aparente no enunciado do problema, que pode ter dado a
conotação de adicionar e somar. No entanto, no momento de elaborar a estratégia,
percebe o engano e realiza o procedimento pela subtração.
Na Figura 43, o estudante Kléber parte diretamente para a subtração 35 – 7 e
faz questão de demonstrar que resolveu esse cálculo mentalmente.
122
Figura 43: Rubrica e estratégia do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 2
Vemos a mesma relação estabelecida entre o problema anterior no
convencimento redigido pela estudante Silmara:
Figura 44: Convencimento da aluna Silmara do Grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 2
Ao contrário do que foi apresentado por Kléber, vemos na estratégia de Isabel
uma multiplicação, subtração e ainda a representação pictórica disso tudo por meio
do diagrama de barras, incluindo a parte correspondente à incógnita, isto é, a
quantidade de galinhas a mais do que patos.
123
Figura 45: Estratégia da aluna Isabel do Grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 2
A partir dos objetivos do Encontro 2 e do Problema 5, podemos dizer que
todos os estudantes compreenderam de imediato a necessidade de efetuar a
subtração, inclusive utilizando a expressão “calcular a diferença” entre patos e
galinhas.
A situação que o Problema 5 traz é bastante semelhante a do Problema 4, no
sentido de que os alunos já tinham uma informação e não precisavam efetuar uma
multiplicação, somente uma adição ou subtração. Percebemos que, diferentemente
do que ocorreu no Problema 4, os alunos, se atentaram mais a esse fato. Mas ainda
tivemos quatro estudantes que não recorreram às informações obtidas nos
problemas anteriores e realizaram novamente a multiplicação 5 X 7= 35.
Não houve estudante que utilizou o diagrama diretamente para resolver esse
problema. Atribuímos esse dado ao nível baixo de complexidade do problema e a
relação existente entre ele e os anteriores.
5.6 Discussão do Encontro 2
A fim de analisar os dados apresentados neste Encontro 2, retomamos
nossas questões de pesquisa. No Encontro 2, especificamente, tínhamos o objetivo
de levar os alunos a refletirem e interpretarem o diagrama de barras do Método-
Modelo de Cingapura, e, assim, investigar se essa representação pictórica colabora
com a visualização da estrutura do problema, a fim de dar sentido à relação
quantitativa envolvida nele.
Durante a resolução dos cinco problemas matemáticos, os estudantes se
interessaram por pensar e interpretar o diagrama, independente de o terem usado
para resolver o problema ou não.
Os dados coletados parecem evidenciar que o diagrama de barras
apresentado auxiliou os alunos a visualizarem a estrutura do problema, de forma a
estabelecer uma relação de quantidade. Como vimos, houve situação em que, para
124
o aluno explicar (convencer) seu entendimento sobre o problema, se apoiou no
diagrama. Também apresentamos um exemplo em que uma estudante realiza a
explicação do problema para outra que não o havia compreendido por meio do
diagrama.
Por isso, acreditamos que o diagrama do Método- Modelo colaborou para o
entendimento não só do cálculo numérico a ser efetuado, como também fez os
alunos discutirem a respeito do cálculo relacional dos problemas.
Neste sentido, queremos destacar que, diferentemente de Petrina (2012),
neste Encontro 2 não esperávamos que os alunos utilizassem o diagrama
autonomamente, e sim apresentamos o diagrama para que interpretassem e, se
possível, dessem continuidade ao mesmo. Em contraponto, também pudemos
observar que o uso desse diagrama gerou certas dificuldades para os alunos,
principalmente aquele que apresentava uma ruptura.
Com relação à percepção dos problemas similares anteriores para resolver
um determinado problema, acreditamos que a atitude de recorrer a processos
heurísticos desenvolvidos em outras circunstâncias para ajudar na resolução de
problemas atuais pode ser desenvolvida por meio da aplicação das fases de
resolução de problemas pelos alunos e pelo uso da ficha expostos nesta pesquisa.
De um encontro para outro percebemos que os alunos foram ficando mais atentos
aos próprios procedimentos de resolução.
Entendemos que o diagrama propiciou, em alguns casos, a compreensão dos
invariantes operatórios mobilizados pelos alunos, e mais, fez os alunos perceberem
outras maneiras de pensar a respeito de um mesmo problema. Os estudantes
recorreram pouco aos problemas anteriores para resolver um problema em questão,
mas não conseguimos, nesta pesquisa, compreender por quê.
5.7 Encontro 3
125
No Encontro 3, tivemos como objetivo específico analisar os procedimentos
que os alunos adotariam depois de trabalhar com a ficha e também com um
diagrama anteriormente desconhecido para resolver problemas multiplicativos. A
partir disso, também pretendíamos verificar os invariantes operatórios que
emergiriam com ou sem o uso desses recursos.
Problema 1
Este problema apresenta a ideia de proporcionalidade da multiplicação, que
nos parece difícil para os alunos nesse nível de escolaridade.
Quadro 28: Problema 1 do Encontro 3
(Extraído das atividade do Projeto ”Children’s Understanding of Probability and Risk”, desenvolvido em parceria entre Universidade de Oxford e Universidade Bandeirante de São Paulo, com
autorização dos membros brasileiros)
Tabela 12: Categorias de Estratégias para o Problema 1 do Encontro 3
Categoria Grupo
Algoritmos da adição e divisão Júnior (G1)
Algoritmo da adição e esquema Lúcio (G1)
Respostas incorretas por meio do campo aditivo Grupos G1,G2 e G3
Percebemos que este problema foi bastante difícil para a maioria dos alunos.
O Grupo G1 discutiu bastante a respeito desse problema. No trecho a seguir,
vemos como a aluna Maria explica para os demais suas hipóteses:
Ma: Eu estou pensando assim...tipo...a mulher Elástico, ela dá seis passos,
a outra dá dez, se ela dá doze, a outra dá vinte, e de doze para quinze faltam três...a gente tem que saber isso...e mais cinco.
(Trecho de áudio do Grupo G1)
Diana e a Sra. Elástico estão participando de uma corrida ao redor do mundo.
Diana precisa dar 10 passos para percorrer uma certa distância, a Sra. Elástico
precisa dar apenas 6 passos para percorrer a mesma distância. Se a Sra. Elástico der
15 passos, quantos passos Diana tem que dar para alcançá-la?
126
Na fala de Maria, verificamos que ela compreendeu a necessidade de
comparar as quantidades de passos, a cada 6 de Diana, 10 da Sra. Elástico. Em
seguida, ela aponta que, para 12 passos da Sra. Elástico, a Diana teria que dar 20,
pensando que ela “dobrou” a quantidade de passos. Maria ainda mostra que de 12
passos da Sra. Elástico faltam 3 para chegar a 15. No entanto, a aluna não explica a
que valor chegou para os passos de Diana. Nessa explicação da aluna ainda não
fica claro o que ela quis dizer com o “mais cinco”.
Apesar da explicação de Maria, o grupo parece ainda bastante confuso
acerca dessa conjectura. No diálogo a seguir, Gisele começa a acompanhar e
compreender o raciocínio de Maria:
Gi: Tipo, se quando a Diana dá dez passos, a Sra. Elástico dá seis, certo? Seis é equivalente a dez. Seis mais seis, doze, certo? Ma: Dez mais dez, vinte, pois são dez duas vezes. Gi: Tem que dobrar, porque seis mais seis dão doze, entendeu? Ma: De doze para quinze faltam três. O três seriam cinco passos. (Trecho de áudio do Grupo G1)
Nesta continuação do diálogo do Grupo 1, Maria diz que o 3 que falta dos 12
passos para chegar nos 15 da Sra. Elástico, são cinco passos que faltam para a
Diana. Mas, ainda não apresenta como chegou à compreensão disso, e tampouco
revela o total de passos de Diana. Entendemos que quando Maria se refere a “três
seriam cinco passos”, ela está indicando a proporcionalidade de passos entre Diana
e Sra. Elástico com base na ideia de metade, isto é, se a metade de seis é três, a
metade de dez é cinco.
Apesar de todas as discussões voltadas para a compreensão do Problema, o
Grupo G1, respondeu incorretamente, exceto Júnior e Lúcio. Nas estratégias
registradas nos protocolos, não aparecem estratégias similares com o que foi
discutido pelo grupo. Podemos verificar um exemplo de como os estudantes
resolveram esse problema na Figura 46.
127
Figura 46: Estratégia da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 3
Janice calculou a diferença de passos entre Sra. Elástico e Diana e obteve 4.
Em seguida, somou a quantidade de passos da Sra. Elástico a esse resultado,
obtendo 19 passos para Diana. Sendo assim, Janice tentou resolver o problema por
meio do campo aditivo. Todos os alunos que responderam incorretamente o
problema realizaram um procedimento semelhante ao de Janice. Atribuímos a esse
dado o fato de que essa categoria de problema, que envolve proporcionalidade, é
realmente bastante complexa para os alunos e indica que essa relação multiplicativa
precisa ser mais explorada ao longo da escolaridade.
No mesmo Grupo G1 de Janice, encontramos a estratégia de Júnior que
consegue apresentar ideias coerentes à resolução do problema nas Figuras 47 e 48,
respectivamente.
Figura 47: Estratégia do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 3
Júnior divide os seis passos da Sra. Elástico e os dez passos de Diana por 2.
Em seguida, vemos que ele dobra a quantidade de passos da Sra. Elástico e de
Diana, fazendo 6 + 6, obtendo 12 passos e 10 + 10, obtendo 20 passos
respectivamente. Para os 12 passos de Sra. Elástico, ele adiciona os 3 passos
restantes, e para o 20, ele adiciona os 5 passos restantes, fruto da divisão realizada
no início.
Em sua rubrica, o estudante Júnior já conseguiu realizar uma estimativa
quanto ao possível resultado do problema.
128
Figura 48: Rubrica do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 3
Outro aluno que conseguiu apresentar uma estratégia correta em relação ao
problema foi Lúcio. Vejamos nas Figuras 49 e 50, a estratégia e convencimento do
aluno.
Figura 49: Estratégia do aluno Lúcio do grupo G1 para o problema 1 do Encontro 3
Primeiramente, o aluno dobra a quantidade de passos da Sra. Elástico,
fazendo 6 + 6 = 12. Ele já marca ao lado que esse número 12 equivale a 20 passos
de Diana, utilizando o sinal de igualdade para mostrar essa relação. Em seguida,
adiciona 3 ao 12, obtendo 15, ao mesmo tempo que determina que 3 passos da
Sra. Elástico equivalem a 5 passos de Diana, e, portanto, aos 15 passos da Sra.
Elástico, Diana dará 25 para alcançá-la.
Queremos destacar que Lúcio utiliza o sinal de igualdade no esquema não
como igualdade de passos, mas como igualdade entre as distâncias percorridas com
tais quantidades de passos. Percebemos que o uso indevido do sinal de igualdade
se refere ao que Vergnaud (2009) chama de “regras de ação”, pois, para conseguir
expressar o modo como pensou o problema, o aluno utiliza um conhecimento que
não é adequado na matemática, mas que foi apropriado e eficiente para resolver
essa determinada situação.
Na etapa do convencimento, Lúcio aponta, a proporcionalidade de passos
entre Sra. Elástico e Diana: “Que se a Diana der 20 passos, a Sra. Elástico vai dar
129
12, então se a Sra. Elástico tiver 15, Diana vai dar 25, pois a metade de 6 é 3 e a de
10 é 5 (12 + 3 = 15; 12 = 20; 3 = 5; 20 + 5 = 25).
Figura 50: Ficha de Resolução de Problemas completa do aluno Lúcio do Grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 3
Vergnaud (ibid.) aponta que a noção de proporção está no limite da
capacidade dos melhores alunos ao final da escola elementar9. Ele ainda afirma que
essa noção permite esclarecer completamente as relações presentes em uma
multiplicação e mostrar que qualquer uma delas coloca em jogo um cálculo
relacional que envolve quatro quantidades e vários tipos de operações.
9 “Escola elementar” no sistema de ensino francês corresponde, aproximadamente, às cinco séries
iniciais do ensino fundamental brasileiro.
130
Com base no objetivo deste problema, verificamos que os estudantes
realmente apresentaram dificuldades para lidar com essa categoria, embora tenham
realizado discussões pertinentes.
Na tentativa de responder ao problema dos alunos, vimos o uso frequente de
diagramas, no entanto, os dois alunos que responderam corretamente, não
apresentaram esse tipo de esquema.
Todos os estudantes continuaram usando a ficha de resolução de problemas,
mesmo sabendo que poderiam utilizá-la ou não neste terceiro encontro. Também
observamos que os alunos mantiveram a aplicação das etapas de resolução de
problemas baseadas em Mason, Burton e Stacey (1982) e proposta por nós.
Problema 2
Com este problema, objetivamos apresentar novas ferramentas heurísticas
para os estudantes interpretarem, validando o uso de esquemas durante a resolução
de problemas. Também escolhemos esse problema por trazer uma situação
envolvendo as unidades de medida quilômetro e centímetro.
2) A tartaruga Mirtes e o coelho Afonso estão se preparando para uma corrida. O percurso é
de 15 quilômetros e deve ser feito em, no máximo, 5 dias.
- Vou andar 1 Km no 1º dia. A cada dia que passar andarei o dobro do dia anterior e
descansarei até o dia seguinte. (Plano da Mirtes)
- Dividirei o percurso em 5 etapas iguais, uma por dia. (Plano do Afonso)
Observe o desenho feito por uma aluna de 5º ano para representar o plano de corrida da
tartaruga.
131
Quadro 29: Problema 2 do Encontro 3
Tabela 13: Categorias de Estratégias para o Problema 2 do Encontro 3
Categoria Grupo
Apresentou o esquema e efetuou o algoritmo da
divisão
Kléber, Maria (G1);
Gabriele, Gisele (G2);
Isabel, Kátia (G3)
Apresentou um esquema Júnior (G1); Solange,
Tatiane, Pablo (G3);
Resolveu o problema, mas não apresentou o
esquema proposto
Lúcio (G1); Janice, Fátima
(G2); Vinícius (G3)
Neste problema, além de responder a questão proposta no enunciado, os
alunos deveriam elaborar um esquema de resolução para o plano do coelho Afonso.
Ao ler o problema, de imediato os estudantes, levantaram uma conjectura
semelhante a da aluna Janice:
Figura 51: Rubrica da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 3
Assim como Janice, os demais estudantes não tiveram dúvidas quanto ao
cálculo a ser efetuado.
No exemplo da Figura 52, temos o esquema apresentado pela estudante
Solange, no qual, com o uso da régua, ela divide o percurso total de 15 Km
igualmente, usando o centímetro como unidade de medida, e já vai somando a
quantidade de quilômetros percorridos a cada dia.
132
Figura 52: Estratégia da aluna Solange do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 3
Para apresentar o seu esquema, Solange precisou mobilizar diferentes
invariantes operatórios, tais como: uso adequado da régua, compondo um segmento
de reta de 15 centímetros, representar a unidade de medida quilômetro por meio da
unidade de medida centímetro, efetuar o procedimento de dividir os 15 Km em
partes iguais de 3 Km e ainda somar gradativamente a quantidade de quilômetros a
cada dia de corrida.
Podemos também dizer que Solange apresentou uma estratégia própria se
apoiando na estratégia do problema, pois se compararmos seu esquema com o do
enunciado do problema, veremos que a aluna trouxe elementos diferentes do
modelo proposto.
Assim como vimos na rubrica de Janice, o Grupo G2 também já havia definido
que teriam que dividir 15 por 5 para resolver o problema, no entanto, Gisele mostrou
dificuldade para representar isso por meio do esquema solicitado.
Gi: Rapidinho...como é que eu vou dividir isso? [...] Meu Deus...como é que
eu vou fazer isso? (Trecho de áudio do Grupo G2)
Nessa situação, percebemos que, por mais que Gisele já saiba como resolver
o problema, sente dificuldade em representar graficamente o esquema indicado. A
elaboração de invariantes é instrumento decisivo na construção da representação:
“são os invariantes que asseguram à representação sua eficácia, permitindo-lhe
preencher sua dupla função: de refletir a realidade; de prestar-se a um cálculo
relacional” (VERGNAUD, 2009, p. 308). Podemos dizer, então, que, para que Gisele
possa representar a resolução do problema graficamente, ela precisa recorrer aos
invariantes operatórios de que dispõe a fim de desenvolver um cálculo relacional e
refletir sobre isso. Além disso, podemos inferir que é possível apresentarmos mais
dificuldades para mobilizar alguns tipos de invariantes operatórios do que outros.
Vemos na Figura 53, que Gisele consegue resolver seu impasse. Ela
distribuiu 15 pequenos pontos, de acordo com o total de quilômetros a serem
percorridos, em seguida, os agrupou de três em três quilômetros, com base na
133
quantidade de quilômetros a serem percorridos por dia. Ela ainda reconhece que a
unidade de medida utilizada no desenho é centímetro, que representa quilômetros.
Figura 53: Estratégia da aluna Gisele do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 3
Para Gisele, a dificuldade estava em representar graficamente a parte
correspondente ao traçado da reta de 15 centímetros, e na divisão desta em partes
iguais. No próximo exemplo, vemos que Fátima apresentou ainda mais dificuldades
no momento de compor o esquema.
Na Figura 54, verificamos que Fátima começou a desenhar a partir do final do
primeiro dia, dando a impressão de que são quatro dias. A estudante também
utilizou a unidade de medida quilograma, ao invés de quilômetro, e o segmento de
reta que desenha não apresenta 15 centímetros. No entanto, Fátima garante na
representação dela a divisão em partes iguais considerando três em cada uma.
Figura 54: Estratégia da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 3
No trecho a seguir, podemos ver como o Grupo G1 foi comparando os
percursos de Mirtes e Afonso.
Lu: Posso explicar o que o Pedro está tentando? Então, o Pedro está
dizendo que o Afonso, cada dia ele vai percorrer três, então... a tartaruga vai percorrer um quilômetro. Ele vai percorrer três, ele vai estar na frente. Aí ele vai percorrer mais três quilômetros, vai ser seis, ela vai percorrer três.
134
Só que daí ela vai percorrer quatro quilômetros e ele vai percorrer três e vai ficar empatado. Ela vai percorrer oito e ele vai percorrer mais três. Então ela vai ganhar... a tartaruga Mirtes, entenderam?
(Trecho de áudio do Grupo G1)
Os esquemas dos percursos de Mirtes e Afonso permitiram que Lúcio
pudesse comparar até que momento da corrida Afonso esteve na frente ou
empatado com Mirtes, isto é, observar até que ponto determinada estratégia de
corrida foi eficaz. Essa análise de Lúcio pode ser entendida como uma relação
multiplicativa percebida por ele, e, de acordo com Vergnaud (ibid., p.32), “as
relações são, às vezes, simples constatações que podemos fazer sobre a realidade.”
Para que Lúcio pudesse constatar as relações existentes entre o esquema de Mirtes
e Afonso, ele teve que desenvolver uma atividade material e intelectual dentro de
suas possibilidades, e que se refere ao cálculo relacional.
Para explicitar ainda mais a heurística dos estudantes a respeito desse
problema, encontramos, na etapa do convencimento de Júnior, uma análise de que
o coelho Afonso perdeu a corrida, apesar de sua vantagem inicial.
Figura 55: Convencimento do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 2 do Encontro 3
O problema foi bastante interessante, pois, para os alunos cuja leitura do
enunciado e a análise do esquema da tartaruga Mirtes foi eficaz, foi tranquilo
perceber rapidamente que o coelho Afonso levaria um dia a mais para concluir a
corrida, portanto Mirtes seria a vencedora. Na verdade, quando Júnior escreve sobre
a vantagem do coelho no início da corrida, isso mostra, mais uma vez, a vantagem
do uso de representações como esquemas.
Assim como na pesquisa de Justo (2009), também o uso de representações
foi vantajoso para esses estudantes, principalmente para que pensem mais a fundo
sobre o problema. Com o Problema 2, pudemos discutir sobre os diferentes
135
invariantes operatórios que são mobilizados para resolver um único problema, isto é,
uma única situação. Vimos também que alguns invariantes operatórios são mais
difíceis de serem apresentados pelos estudantes.
Alguns alunos desenvolveram estratégias próprias de elaboração do
esquema, no entanto, o fizeram com base no modelo de esquema proposto no
enunciado do problema. Assim como no trabalho de Pydah (2012), entendemos que
o uso de representações, como o esquema proposto neste problema, permitiu que
os alunos realizassem comparações, identificassem relações e mobilizassem mais
invariantes operatórios.
Problema 3
Esse problema se enquadra na categoria de Produto de Medidas e ilustra o
fato de que existe uma forma de divisão específica a essa forma de relação
multiplicativa. Os estudantes costumam variar suas estratégias de resolução, já que
esse tipo de problema multiplicativo apresenta várias possibilidades de uma dada
situação. Nosso objetivo é associar a multiplicação à situações combinatórias.
Quadro 30: Problema 3 do Encontro 3
Tabela 14: Categorias de Estratégias para o Problema 3 do Encontro 3
Categoria Grupo
Algoritmos da adição, subtração e divisão Kátia (G3) e Lúcio (G1)
Algoritmos da multiplicação e divisão Júnior (G1) e Pablo (G3)
Estratégias incompletas G1, G2, G3
Um ladrão de banco tem que fugir da polícia e chegar à fronteira do México.
Por este motivo, ele tem que planejar quantos litros de gasolina ele tem que ter no
seu carro. Seu carro utiliza 12 litros de gasolina para percorrer 54 km. Quantos litros
ele tem que abastecer para percorrer 72 km?
136
Esse problema foi de grande complexidade para os alunos, o que podemos
ver pela grande quantidade de alunos que apresentaram respostas incorretas para o
problema.
Na Figura 56, vemos a estratégia de Kátia.
Figura 56: Estratégia da aluna Kátia do grupo G3 para o Problema 3 do Encontro 3
Entendemos que a estudante efetuou a subtração 72 – 54, a fim de descobrir
quantos quilômetros estavam faltando para serem percorridos. A resposta foi 18.
Vimos que ela efetuou 54 dividido por 6, cuja resposta foi 9, o que ela mostra que é
igual a dois. Entendemos que o 54 foi dividido por 6, e não por 12, para não ter que
lidar com um cálculo envolvendo números decimais. Quando ela coloca que 9 é
igual a 2, acreditamos que ela quis mostrar que é o mesmo que dividir esse 9 por 2,
cuja resposta seria 4,5 litros. Ela optou por esse cálculo, ao invés de efetuar 54 por
12, no qual ela deveria lidar com números decimais. Inferimos que, para essa aluna,
o cálculo com decimais poderia ter trazido dificuldades, então ela preferiu dividir o 54
pela metade do 12, isto é, 6. Ela então mostra que os 18 km se referem aos 4 litros.
Por último, ela soma os 12 litros aos 4 litros referentes aos 18 km que estavam
faltando, obtendo a resposta 16 litros.
Na Figura 57, temos a estratégia de Júnior.
137
Figura 57: Estratégia do aluno Júnior do grupo G1 para o Problema 3 do Encontro 3
Entendemos que o aluno Júnior dividiu o número 12 por 2, obtendo a sua
metade, isto é 6. Ele divide o 54 por 6, obtendo o número 9, também optando por
não dividir por 12, talvez porque resultaria em cálculo com números decimais.
Acreditamos que ele mostra que entendeu que são 18 km, pois ele calcula 54
dividido por 6, isto é, a metade de 12 litros, obtendo a resposta 9, que, se “dobrada”
representa os 18 Km que estão faltando. Para 9 km são 2,25 litros necessários, e
como são 18 km, logo serão 4,5 litros necessários. Ao invés de dividir os 72
quilômetros por 4,5 litros, o que também resultaria em um cálculo com números
decimais, Júnior efetua a multiplicação 9 X 8, cujo resultado é 72, apontando que
são necessários 16 litros de gasolina.
Por meio das duas estratégias apresentadas nos parece que ambos os
estudantes encontraram meios de obter a informação que necessitavam sem lidar
diretamente com números em notação decimal. Nesse caso, entendemos que eles
apresentaram domínio do cálculo relacional e o solucionaram da maneira que
conheciam.
Problema 4
De acordo com a minha experiência em sala de aula, entendemos que esse
problema é um dos prediletos dos alunos. Eles costumam variar suas estratégias de
resolução, já que esse tipo de problema multiplicativo apresenta várias
possibilidades de uma dada situação. Nosso objetivo é associar a multiplicação às
situações combinatórias.
Quadro 31: Problema 4 do Encontro 3
Trocando somente de pulôver e de cachecol, Ana pode ter 15 trajes
diferentes. Ela tem três pulôveres; quantos cachecóis ela tem?
138
Tabela 15: Categorias de Estratégias para o Problema 4 do Encontro 3
Categoria Grupo
Algoritmo da multiplicação e desenho Júnior (G1)
Algoritmo da multiplicação Pablo (G3)
Algoritmo da multiplicação com tabela Gabriele (G2)
Algoritmo da multiplicação com tentativa anterior Kléber (G1)
Algoritmo da divisão e multiplicação Tatiane e Kátia (G3)
Desenho Lúcio (G1)
Tabela, algoritmo da multiplicação e tentativa
anterior
Maria (G1); Fátima, Gisele,
Janice (G2); Solange e
Isabel (G3)
Por meio dessa categorização, podemos perceber que todos os estudantes
efetuaram uma multiplicação para resolver o problema. Vergnaud (2009) aponta
que, para encontrar o número de cachecóis, é necessário dividir o número de trajes
possíveis pelo número de pulôveres, isto é, 15 dividido por 3. Sendo assim, 15 trajes
são iguais a 3 pulôveres vezes a quantidade de cachecóis, que é a incógnita do
problema.
Observando a Figura 58, da estudante Kátia, identificamos que ela efetuou o
algoritmo da divisão para resolver o problema, restando à multiplicação o papel de
validação do cálculo anterior.
Figura 58: Estratégia da aluna Kátia do Grupo G3 para o Problema 4 do Encontro 3
Se pegarmos novamente a definição de classes de situações de Vergnaud
(ibid.), veremos que existem dois tipos de classes de situações. O primeiro se refere
a uma dada situação em que o aluno consegue resolver um determinado problema
139
utilizando somente os próprios conhecimentos prévios. Podemos dizer que o
esquema de Kátia se encontra nessa primeira classe, pois, a aluna dispunha em seu
repertório de competências necessárias ao tratamento imediato da situação.
Na Figura 59, o aluno Júnior explora a ideia da divisão por meio de um
desenho, no qual, para cada pulôver, ele distribui cinco cachecóis. Acreditamos que,
a partir do desenho, ele registra o algoritmo da multiplicação.
Figura 59: Estratégia do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3
Júnior precisou mobilizar procedimentos heurísticos de reflexão e exploração
para descobrir a resposta do problema.
Lúcio descobre a solução do problema utilizando somente o desenho
mostrado na Figura 60.
Figura 60: Estratégia do aluno Lúcio do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3
Constatamos que dada uma situação sobre a qual Lúcio não dispunha de
conhecimentos prévios suficientes para resolver, ele teve que recorrer a uma
representação em forma de desenho. O aluno explica que cada “círculo”
corresponde a um pulôver e cada “retângulo” corresponde a um cachecol.
140
Se recorrermos às classes de situações de Vergnaud (ibid.), veremos que o
exemplo de Lúcio se enquadra na segunda classe. Esta se refere a quando o
estudante não dispõe de todas as competências necessárias para resolver o
problema, isto é, ele vai precisar refletir, explorar e realizar tentativas. Vemos no
esquema produzido por Lúcio que ele foi “desequilibrado”, e, por isso, recorreu à
representação gráfica como forma de resolver o problema.
Como mostramos na Tabela 15, seis estudantes apresentaram a estratégia
de fazer uma tabela, efetuar o algoritmo da multiplicação e apresentar uma tentativa
anterior de resolução para o problema. Podemos verificar na Figura 61, no canto
esquerdo superior, qual foi a conjectura não confirmada realizada por um desses
alunos. Foram efetuados os cálculos de subtração e multiplicação.
Figura 61: Estratégia da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro 3
Na primeira tentativa de solucionar o problema, a aluna efetua a subtração 15
– 3, cujo resultado é 12. Entendemos que dos 15 trajes possíveis, a estudante
retirou a quantidade de pulôveres, a fim de descobrir a quantidade de cachecóis. Na
estratégia de Janice, vemos ainda o algoritmo da multiplicação, seguido de uma
tabela, na qual a aluna coloca cinco cores diferentes para os cachecóis e três cores
distintas para os pulôveres, a fim de distribui-los nas possíveis composições de
trajes.
Para Mason, Burton e Stacey (1982), toda conjectura, uma vez estabelecida,
precisa ser investigada para ver se a mesma deve ser modificada ou se pode ser
convincentemente justificada. No exemplo de Janice vemos que ela levantou uma
conjectura e a colocou em prática a fim de obter sucesso na resolução do problema,
porém isso não aconteceu, pois no momento em que a estudante aplicou sua
141
conjectura, ela percebeu que esta não respondia o problema em questão. Assim,
surgiu outra conjectura.
Fátima também se enquadra na mesma categoria de Janice, no entanto,
gostaríamos de destacar a maneira como a estudante organizou o problema. A
aluna colocou a sigla “P” para pulôver e “C” para cachecol. Em seguida, para cada
“P”, ela distribuiu cinco letras “C”.
Figura 62: Estratégia da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro 3
Nesta Figura 62, podemos ver que Fátima precisou dos conhecimentos sobre
como organizar uma tabela, utilização de siglas e perceber que o problema já trazia
a quantidade de trajes e por isso, era uma ideia inversa.
No exemplo da Figura 63, vemos o convencimento do aluno Júnior.
Figura 63: Convencimento do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3
Podemos inferir que, como o cálculo numérico a ser efetuado era bastante
simples para as crianças dessa faixa etária, foi possível partir da ideia de uma
multiplicação, pois a incógnita representa um número “baixo”, isto é, 3. Inferimos
também, que, talvez, se os números propostos no problema fossem mais “altos”, os
alunos tivessem que recorrer à divisão.
142
Na Figura 64, de Maria, observamos que ela diz que o problema é de
possibilidades. No primeiro encontro, já discutimos quanto ao conhecimento que os
estudantes possuem acerca dessa categoria de problemas multiplicativos. No
entanto, o que nos chamou a atenção foi o fato ela dizer que tem que saber quantas
possibilidades há de se vestir diferente.
Figura 64: Rubrica da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3
Na Figura 62 de Fátima, vemos que a aluna conjecturou subtrair três
pulôveres dos quinze trajes. Esta hipótese está “circulada” na imagem. Na Figura 64,
verificamos na rubrica de Maria que ela não conseguiu perceber que não se tratava
de descobrir a quantidade de possibilidades e sim a quantidade de cachecóis.
Ambas as alunas não perceberam que o problema trazia uma ideia inversa do
Problema 2 do Encontro 1, isto é, a posição da incógnita do problema gerou
desequilíbrio nessas estudantes.
Entendemos que a estudante possa ter ficado presa a um conhecimento
prévio, de certa forma, impeditivo à resolução do problema. Podemos inferir que o
trabalho com essa categoria de problemas que envolve a relação de diferentes
possibilidades precisa trazer situações diferenciadas, nas quais a posição da
incógnita varie.
Também podemos inferir que a falta de compreensão do enunciado
influenciou a conjectura não confirmada da aluna. De acordo com Vergnaud (2009),
a ordem pela qual as informações são organizadas pode incidir no grau de
complexidade do problema. Neste caso, quando invertemos a incógnita do
problema, passando da quantidade de possibilidades de trajes para a quantidade de
cachecóis, geramos desconforto para muitos estudantes. Podemos ver mais um
exemplo de como isso afetou os alunos no diálogo a seguir:
143
Ta: Eu acho que essa parte está confusa. [...] Ana pode ter quinze trajes
diferentes. Pa: Quinze tipos de troca de roupa. Ta: Mas, sem o pulôver? Pa: Não, com o pulôver. Ta: Ah. E com o cachecol também? Pa: Sim. Todos juntos. Ta: Ah, tá. Agora entendi melhor.
(Trecho de áudio do Grupo G3)
O Grupo G1 efetuou a subtração, conforme vimos na Figura 64, mas Kléber
buscou uma maneira de explicitar suas ideias para os demais colegas.
Kle: São quinze trajes, são 15 possibilidades de roupas usando os três pulôveres. Mas a gente tem que ver quantas vezes esse três vai dar o quinze. Entendeu? Porque dai a gente vai descobrir a quantidade dos cachecóis. Gi: Entendi. Você está falando que a gente tem que fazer 3 vezes alguma coisa para chegar no quinze. [...] Kle: Porque aqui não é a quantidade de roupas que ela tem e sim a
quantidade de trajes. Gi: Então, ela tem cinco cachecóis? Kle: Eu acho que é, agora é só a gente fazer aqui olha: pulôver, pulôver, pulôver, cachecol, cachecol, cachecol...cinco, dez, quinze. Quinze! [...] Kle: Eu disse que era um problema de possibilidades.
(Trecho de áudio do Grupo G1)
Desde o primeiro momento do diálogo entre os alunos, vemos que eles fazem
menção a multiplicar 3 vezes “alguma coisa”, a fim de obter o 15. Na fala de Pablo e
sua respectiva rubrica na Figura 65, vemos que a maneira como ele pensou foi
inversa a dos demais estudantes de todos os grupos:
Pa: Tipo, em um cachecol, você pode usar três pulôveres. Eu acho que são cinco cachecóis que ela tem.
(Trecho de áudio do Grupo G3)
Na fala de Pablo, percebemos que ele parte dos cinco cachecóis para
distribuir três pulôveres para cada um. Diferentemente do que vimos nas Figuras 61,
62, 63 e 64 anteriores, nas quais os estudantes partiram dos três pulôveres para
distribuir os cachecóis. Entendemos que isso aconteceu, em virtude de Pablo já ter
determinado, desde a leitura do problema, a quantidade de cachecóis, conforme
podemos ver em sua rubrica:
144
Figura 65: Rubrica do aluno Pablo do Grupo G3 para o Problema 4 do Encontro 3
Com a escolha deste Problema 4, pudemos elencar alguns exemplos para
discussão. De acordo com a categoria Produto de Medidas, vimos que o problema
está na classe da divisão, embora a maioria das resoluções apresentadas tenha sido
efetuada por meio de uma multiplicação.
Discutimos a respeito das classes de situações de Vergnaud (1996b)
apresentando com o exemplo de Kátia a primeira classe, na qual o estudante
consegue resolver o problema prontamente, somente com seus conhecimentos
prévios. E também o exemplo de Lúcio, relativo à segunda classe, no qual ele não
dispunha de conhecimentos prévios suficientes para resolver o problema, então
precisou recorrer à exploração e reflexão por meio de um desenho.
Destacamos, assim, que o uso de representações diferenciadas precisam ser
cada vez mais validadas e discutidas em sala de aula, em prol do desenvolvimento
de habilidades heurísticas. Também vale ressaltar que representações não precisam
ser precisas, mas devem ser explicadas pelos alunos.
Vimos que, para cada estratégia apresentada, diferentes invariantes
operatórios foram mobilizados. Verificamos o importante papel do levantamento de
conjecturas, e sua consecutiva revisão, e, nesse quesito, entendemos que a ficha de
resolução contribuiu muito.
Evidenciamos a heurística do aluno Pablo que apresentou um raciocínio
diferente de todos os demais. Ele partiu dos 5 cachecóis para distribuir entre os três
pulôveres. Justificamos este pensamento com base na estimativa feita pelo aluno
logo ao ler o problema. Salientamos, sobretudo, a riqueza de estratégias e
procedimentos heurísticos produzidos pelos estudantes, demonstrando que é
possível pensar sobre o próprio pensamento.
Problema 5
Esse problema foi escolhido para verificarmos a relação que os estudantes
poderão ou não estabelecer entre o problema número 5 do Encontro 1. Verificamos
145
também se a palavra-chave “cinco vezes mais” poderia influenciar na resolução
correta do problema.
Quadro 32: Problema 5 do Encontro 3
Tabela 16: Categorias de Estratégias para o Problema 5 do Encontro 3
Categoria Grupo
Algoritmo da divisão Grupo G1
Grupo G2
Grupo G3
Algoritmo da divisão transformando Kg para
gramas
Isabel (G3) e Gabriele (G2)
Cálculo mental Kléber (G1)
Com a observação da Tabela 16, verificamos que não houve nenhum aluno
que errou o problema. A rubrica a seguir apresenta a facilidade do problema para a
maioria dos alunos.
Figura 66: Rubrica da aluna Solange do Grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 3
Em contrapartida, o aluno Júnior, inicialmente, pensou em efetuar uma
multiplicação e a aluna Tatiane levantou a hipótese de efetuar um cálculo de adição
ou subtração, como vemos nas Figuras 67 e 68, respectivamente.
5) É necessário cinco vezes mais açúcar para fazer um bolo de casamento do
que um bolo de aniversário. São necessários 5 quilos de açúcar para fazer um bolo de
casamento. Quanto de açúcar é necessário para fazer um bolo de aniversário?
146
Figura 67: Rubrica do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 3
Figura 68: Rubrica da aluna Tatiane do grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 3
O enunciado do problema apresenta as palavras-chave “vezes” e “mais”.
Podemos inferir que o uso destas palavras pode ter influenciado os estudantes a
conjecturarem as possibilidades de resolução expostas acima.
Apesar desse problema ser similar ao Problema 5 do Encontro 1, vimos, nas
rubricas desses dois estudantes, a dificuldade que o tipo de categoria “Caso de um
único espaço de medidas” pode promover. A categoria do problema foi mantida,
apenas os valores numéricos e a situação em que o problema estava inserido foram
alterados. Essa correlação foi percebida por alguns estudantes, como no caso de
Kátia:
Ka: Eu pensei já o problema anterior, que a gente tinha feito com o outro grupo, ai eu pensei em fazer a mesma coisa.
(Trecho de áudio do Grupo G1)
No trecho de áudio da aluna Kátia, podemos verificar que a estudante se
referiu ao fato do Problema 5 do Encontro 1 ser parecido com o problema em
questão. Essa percepção aconteceu na etapa de revisão do problema, isto é, no
registro do convencimento.
147
De acordo com Mason, Burton e Stacey (1982), é na fase da revisão que
podemos verificar o que foi feito e se estruturar a partir das três seguintes atividades:
checar a resolução, refletir sobre as ideias e momentos principais, e estender para
um contexto maior, recorrendo, se possível, às rubricas. Quando Kátia diz que “vai
fazer a mesma coisa”, ela está provavelmente estendendo o aprendizado que ela
teve anteriormente para uma nova situação.
O mesmo aconteceu com Júnior, que, após registrar sua rubrica, solicitou o
saquinho no qual havia guardado os problemas de todos os encontros. Após
verificá-lo, retirou o Problema 5, do Encontro 1. A pesquisadora então questionou o
estudante:
Pesquisadora: Júnior, serviu consultar esse problema anterior? Júnior: Sim. Pesquisadora: Por quê? Júnior: É porque aqui eu lembro que aqui são necessários três vezes mais...eu não consigo pensar muito bem nisso. Só que nesse dia eu consegui pensar, mas aqui eu não consegui, então eu consultei esse e dai eu lembrei o que eu tinha feito para resolver. É quase a mesma coisa.
(Trecho de áudio do Grupo G1)
Após consultar o problema anterior, Júnior conseguiu desenvolver a
estratégia corretamente, mas sua fala mostra que a situação proposta no problema
“três vezes mais” é bastante desconfortável para ele.
O valor numérico escolhido para esse problema foi “baixo”, por isso, uma
simples divisão já resolvia o problema, e foi isto que a maioria dos alunos efetuou.
Na Figura 69, o aluno Kléber mostra, por meio do algoritmo da divisão, o
procedimento que realizou, e que na verdade foi mental.
Figura 69: Estratégia do aluno Kléber do grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 3
148
Para efetuar a divisão correspondente à resolução do Problema 5, as
estudantes Isabel e Gabriele transformaram a unidade de medida quilo para grama,
isto é, para 5 quilos, ficaram 5000 gramas, que foram divididas por 5 e resultaram
em 1000 gramas. Podemos ver essa estratégia na Figura 70.
Figura 70: Estratégia da aluna Gabriele do grupo G2 para o Problema 5 do Encontro 3
Destacamos, nessa estratégia, que as estudantes mobilizaram não só os
invariantes operatórios sobre como dividir a quantidade de açúcar entre os bolos,
como também sobre a transformação da unidade de medida de massa, de quilo para
gramas.
Como vimos, esse Problema 5 não gerou dificuldade para a maioria dos
alunos. No primeiro encontro, apresentamos um problema similar a esse, que foi
bastante complexo para os estudantes. Salientamos que a diferença entre esses
dois problemas foi apenas a situação que cada um trazia. O valor numérico foi
alterado, porém não para números mais “altos”.
Vimos que a relação entre os problemas foi percebida por alguns alunos e
serviu como uma maneira de refletirem sobre o próprio pensamento. No exemplo de
Kátia, percebemos que ela conseguiu estender o aprendizado que teve sobre essa
categoria de problema multiplicativo, no Encontro 1, para esse novo problema, do
Encontro 3. Esse movimento é parte da fase de revisão do problema apontada por
Mason, Burton e Stacey (ibid.). Já no exemplo de Júnior, o aluno conseguiu
perceber que é a expressão “três vezes mais” que o deixava com dúvidas.
Destacamos a influência que algumas palavras podem ter sobre o problema,
dando a conotação de que uma certa operação precisa ser realizada para resolvê-lo.
149
Entendemos que essas palavras não podem ser determinantes para a resolução do
problema.
Também verificamos que Isabel e Gabriele não só mobilizaram os invariantes
operatórios a respeito de dividir a quantidade de açúcar, mas apresentaram
conhecimentos sobre a unidade de medida de massa.
5.8 Discussão do Encontro 3
Verificamos que os estudantes, de modo geral, continuaram utilizando a ficha
de resolução de problemas no Encontro 3, mesmo sabendo que poderiam utilizá-la
ou não neste Encontro 3. Também observamos que os alunos mantiveram a
aplicação das etapas de resolução de problemas baseadas em Mason, Burton e
Stacey (ibid.) e proposta por nós.
Com relação ao diagrama de barras, não foi utilizado por nenhum dos alunos,
embora, no Problema 1, estudantes de todos os grupos tenham apresentado
esquemas de resolução nos quais tentaram esboçar uma ideia semelhante ao
diagrama.
Percebemos que os Problemas selecionados para este encontro envolveram
situações mais complexas para os alunos, em especial os Problemas 1 e 3, que
apresentam uma relação quaternária, e coloca em jogo diferentes relações
multiplicativas e vários tipos de operações.
Conseguimos identificar a mobilização de “regras de ação” pelo aluno Lúcio e
verificar como elas podem ser úteis e eficazes em determinado momento.
Com o Problema 2, pudemos discutir sobre os diferentes invariantes
operatórios que são mobilizados para resolver um único problema, isto é, uma única
situação. Vimos também que alguns invariantes operatórios podem ser mais difíceis
de serem apresentados pelos estudantes. Alguns alunos desenvolveram estratégias
próprias de elaboração do esquema, no entanto, o fizeram com base no modelo de
150
esquema proposto no enunciado do problema. O trabalho de Petrina (2012) também
faz uso dessa representação esquemática e reforça a ideia de que esse processo
heurístico pode auxiliar os estudantes na organização das informações relevantes
do problema e fazê-los compreender melhor a respeito do cálculo relacional.
Assim como no trabalho de Petrina (ibid.), entendemos que o uso de
representações, como o esquema proposto neste problema, favoreceu que os
alunos realizassem comparações, identificassem relações e mobilizassem mais
invariantes operatórios.
Discutimos a respeito das classes de situações de Vergnaud (1996b)
apresentando com o exemplo de Kátia, a primeira classe, na qual o estudante
consegue resolver o problema prontamente, somente com seus conhecimentos
prévios, e também o exemplo de Lúcio, relativo à segunda classe, na qual o
estudante não dispõe de conhecimentos prévios suficientes para resolver o
problema, então precisa recorrer a exploração e reflexão por meio de um desenho.
Destacamos, assim, que o uso de representações diferenciadas precisa ser
cada vez mais validado e discutido em sala de aula, em prol do desenvolvimento de
habilidades heurísticas. Também vale ressaltar novamente que representações não
precisam ser precisas, mas devem ser explicadas pelos alunos.
Para cada estratégia apresentada, diferentes invariantes operatórios foram
mobilizados. Verificamos o importante papel do levantamento de conjecturas e sua
consecutiva revisão, e, nesse quesito, entendemos que a ficha de resolução
contribuiu muito.
151
CONCLUSÃO
Nesta pesquisa, tivemos por objetivo investigar se a utilização de uma
metodologia de resolução de problemas multiplicativos que valoriza a reflexão sobre
o processo de resolver um problema pode colaborar para a percepção dos
processos heurísticos. Para alcançar este objetivo, buscamos na literatura o que
vinha sendo estudado a respeito da resolução de problemas relacionado ao
desenvolvimento de processos heurísticos. Durante essa revisão, encontramos, nos
estudos de Mason, Burton e Stacey (1982), subsídios para delimitar a metodologia
de resolução de problemas empregada nesta pesquisa, por meio da ficha utilizada
pelos estudantes. Ainda destacamos um tipo de diagrama de barras que foi
oferecido aos alunos como uma diferente categoria de representação. Também
verificamos que a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 2009) era
pertinente para a análise que pretendíamos desenvolver nesta pesquisa.
Participaram de nossa pesquisa 19 alunos de uma turma de 5º ano do Ensino
Fundamental de um colégio particular da cidade de São Paulo. A coleta de dados
aconteceu por meio de três encontros, com duração de uma hora e meia cada, nos
quais os estudantes resolveram em grupos cinco problemas multiplicativos,
totalizando 15 problemas apresentados nesse trabalho.
As questões de pesquisa levantadas foram: “Qual a influência da ficha
elaborada para a resolução de problemas e para a percepção dos processos
heurísticos envolvidos nessa resolução?”; “O diagrama de barras utilizado auxiliou
na compreensão e na resolução do problema?” e “Foi possível aos alunos tomarem
consciência dos processos heurísticos usados a partir da utilização da ficha?”. Estas
questões estão diretamente relacionadas aos objetivos específicos de cada encontro
aplicado.
152
Discutindo as Questões de Pesquisa
Ao analisarmos os dados coletados, obtivemos alguns resultados empíricos
que consideramos de grande relevância e que mostram os processos heurísticos
dos alunos ao resolver problemas matemáticos multiplicativos.
1. Qual a influência da ficha elaborada para a resolução de problemas e
para a percepção dos processos heurísticos envolvidos nessa
resolução?
Apresentamos, para o Encontro 1, o objetivo específico de analisar se a ficha de
resolução de problemas, elaborada para esta pesquisa, trouxe contribuições para
que pudéssemos perceber os processos heurísticos utilizados para resolver os
problemas. É importante ressaltar que a concepção dessa ficha é compatível com a
visão de Problema proposta por Vergnaud (2009), e mencionada nessa pesquisa.
Diante disso, queremos evidenciar que os alunos continuaram usando a ficha de
resolução de problemas no Encontro 3, apesar de poderem escolher se
continuariam utilizando ou não esse recurso. Acreditamos que este fato nos aponta
que os estudantes valorizaram o uso da ficha e da proposta de Metodologia de
Resolução de Problemas por nós empregada.
Nesta pesquisa, a ficha de resolução de problemas envolvia algumas etapas.
Com relação à primeira etapa, chamada de rubrica, verificamos que ela pode
apresentar elementos que a estratégia de resolução de cada problema empregada
por esses estudantes não mostrou. Isso é importante, pois assim conseguimos
reconstruir os conhecimentos dos alunos, que muitas vezes ficam implícitos na ação.
Esses conhecimentos que, antes da ficha talvez pudessem ficar implícitos na ação
dos sujeitos, podem colaborar para o entendimento, por parte dos alunos, e também
do professor, a respeito das facilidades e dificuldades que os estudantes têm em
resolver determinado problema multiplicativo, porque o uso da ficha permite refletir
sobre as conjecturas levantadas, as hipóteses não confirmadas e as validadas pelos
alunos.
153
O campo disponível para as estratégias deu margem para que os estudantes
pudessem resolver o problema à maneira deles. Percebemos que o uso dos
algoritmos convencionais foi amplamente utilizado pelos alunos, e, em alguns
momentos, ele apareceu para validar as respostas obtidas via representação gráfica,
ou vice-versa.
A etapa de redigir a resposta ao problema permitiu que o aluno relesse o
enunciado, e, consequentemente, revisse o problema. Verificamos que o registro da
etapa do convencimento foi o mais difícil para os alunos, tendo em vista que
envolvia diretamente o ato de pensar sobre o próprio pensamento. Os próprios
alunos relataram a dificuldade de transpor para o registro escrito aquilo que foi
discutido oralmente. Entendemos que essa etapa exige muito do estudante, mas foi
determinante para que eles refletissem a respeito do problema mais profundamente.
Acreditamos que o uso da ficha contemplou amplamente o objetivo de nossa
pesquisa, pois, por meio dela, conseguimos fazer com que os alunos percebessem
os próprios processos heurísticos, de uma maneira prazerosa e refletida em grupo.
Vale salientar que o trabalho realizado em grupos foi de grande importância para a
obtenção dos resultados dessa pesquisa. A discussão, reflexão e cooperação dos
alunos entre si foi fator fundamental para que eles pudessem compreender os
problemas, chegar a conclusões acertadas e refletir sobre os próprios pensamentos,
de forma a compreender maneiras de se resolver problemas.
2. O diagrama de barras utilizado auxiliou na compreensão e na resolução
do problema?
No Encontro 2, tínhamos como objetivo especifico levar os alunos a refletirem
e interpretarem o diagrama de barras do Método- Modelo, e, assim, investigar se
essa representação pictórica colaboraria com a visualização da estrutura do
problema, a fim de dar sentido à relação quantitativa envolvida nele.
Ressaltamos que os alunos mostraram interesse para entender o diagrama,
mesmo que nem todos os alunos tenham se apoiado nele para resolver os
problemas. De acordo com os dados obtidos nessa pesquisa, podemos afirmar que
o diagrama de barras auxiliou esses estudantes a pensarem a respeito do problema
154
em alguns sentidos. Primeiramente, verificamos que essa representação favoreceu
o entendimento de alunos acerca do problema, principalmente na organização das
informações relevantes. Entendemos, desse modo, que o diagrama pode contribuir
para o entendimento do cálculo relacional do problema. Esse diagrama foi usado
como recurso na explicação de uma colega para outra que não havia entendido
determinado problema, nos mostrando que a visualização das informações por meio
dele pode favorecer o entendimento sobre o problema.
Outra relevância do diagrama, que destacamos nessa pesquisa, se refere a
uma melhor percepção dos invariantes operatórios mobilizados pelos alunos para
resolver problemas, isto é, entendemos que essa ferramenta favorece a reflexão
mais profunda do indivíduo sobre o problema. Entretanto, também encontramos
limitações no uso dessa representação.
Petrina (2012) diz que o Método tem que ser ensinado, mas em nossa
pesquisa apenas introduzimos o diagrama como se fosse o início da resolução de
um problema. Deste modo, os alunos utilizaram ou se fundamentaram nele para
resolver os problemas, mas quando foi dada a chance de eles escolherem como
resolveriam os problemas no Encontro 3, os alunos quase não trabalharam com
esse diagrama. É claro que em nossa pesquisa não enfatizamos esse método e nem
o discutimos extensivamente, mas também percebemos que o diagrama não foi tão
interessante para os alunos a ponto de eles tomarem para si esse procedimento e
continuarem utilizando-o.
O diagrama que apresentava uma ruptura gerou dificuldade e discussão entre
os alunos. Talvez o problema dos alunos com a ruptura do diagrama seja o de que
cada parte em que o todo foi dividido representa uma “personalidade”, isto é, uma
galinha, ou um aluno, etc. Dessa forma, a ruptura do diagrama pode ter sido
interpretada como se essa “personalidade” estivesse “quebrada”, “dividida”, e esse
pode ter sido um fator de dificuldade para esses alunos. Talvez, por o problema
tratar de uma grandeza discreta, e o diagrama usado usualmente representar
grandezas contínuas, isso tenha causado estranheza nos alunos. Mesmo assim, nos
outros casos de uso do diagrama, esses alunos visualizaram cada “personalidade”
no esquema, não tendo dificuldades de usá-lo mesmo com grandezas discretas.
155
Embora os estudantes não tenham continuado a usar o diagrama de barras no
Encontro 3, verificamos a utilização de um esquema muito próximo, porém sem a
composição de “quadradinhos”. A nosso ver, a proposta do uso do diagrama
mobilizou nos estudantes uma vontade de apresentar uma representação pictórica
para resolver os problemas, mesmo que não idêntica ao original.
3. Foi possível aos alunos tomarem consciência dos processos heurísticos
usados a partir da utilização da ficha?
Especificamente no Encontro 3, analisamos os procedimentos que os alunos
adotariam depois de trabalhar com a ficha e também com o diagrama de barras.
Também verificamos se os alunos, de fato, tomaram consciência dos próprios
processos heurísticos.
Entendemos que os alunos tomaram consciência dos processos heurísticos
usados por eles à medida que tiveram que convencer os outros sobre os
procedimentos próprios de resolução. No Encontro 3, vimos ainda que alguns alunos
apresentaram representações diferenciadas para resolver os problemas, talvez
motivados pelo uso do diagrama no encontro anterior. Quando os alunos recorreram
a problemas anteriores para resolver problemas similares, podemos também
perceber que tomaram consciência dos próprios processos heurísticos, pois
precisaram reconhecer aquilo que não sabiam para então buscar a informação
necessária à resolução do problema.
Consideramos que o uso de representações e problemas multiplicativos
diferenciados favoreceram o desenvolvimento de habilidades heurísticas por parte
dos alunos. Deste modo, concluímos que a utilização de uma metodologia de
resolução de problemas multiplicativos que valoriza a reflexão sobre o processo de
resolver um problema pode, de fato, colaborar para a percepção dos processos
heurísticos, conforme o objetivo de nossa pesquisa.
156
Limitações do Estudo e Sugestões para outras Pesquisas
Toda pesquisa tem características próprias e, por isso, podem gerar
limitações ao estudo, no entanto, essas restrições podem favorecer o surgimento de
novas pesquisas. Nossa pesquisa tem aspectos que a restringem sugerindo, deste
modo, novos estudos que a ampliem.
Em nosso estudo, constatamos situações em que os estudantes, apesar de
efetuarem o cálculo mentalmente e já saberem a resposta do problema “de cabeça”,
registraram o algoritmo. Acreditamos que esse registro nem sempre se refere à
técnica de cálculo mental realizado pelo aluno. Vimos exemplos sobre isso, no
entanto, entendemos que novas pesquisas podem ser feitas a respeito da relação
entre o cálculo mental e o algoritmo.
Apesar dos estudantes registrarem individualmente as respostas na ficha de
resolução de problemas, eles trabalharam em grupos e puderam discutir os
problemas antes de registrar as conclusões (Somente a etapa da rubrica foi
registrada sem a interferência de um colega). Apesar de percebermos extrema
importância no trabalho em grupo ao utilizarmos esta ficha, sugerimos para novas
pesquisas a aplicação da ficha de resolução de problemas de maneira individual, a
fim de verificar se a proposta de metodologia de resolução de problemas empregada
também é eficaz com este diferencial.
O diagrama de barras do Método- Modelo foi explorado nesta pesquisa como
um tipo diferente de esquema que auxiliou esses estudantes a pensarem sobre o
cálculo relacional proposto nos problemas. Nosso enfoque não esteve no ensino,
propriamente dito desta representação e sim na análise que poderia ser feita do
problema a partir dele. Sugerimos que novas pesquisas possam ser desenvolvidas
com o intuito de ensinar o diagrama de barras aos estudantes, ou seja, toda
concepção do método que o circunda, e assim verificar se esse procedimento pode
colaborar para a resolução de problemas de crianças brasileiras, assim como ocorre
com os alunos de Cingapura, que já utilizam esse método e apresentam ótimo
desempenho ao resolver problemas, talvez pelas condições de ensino do próprio
país, já que ele é utilizado sistematicamente como parte do currículo de Matemática
desde os primeiros anos de escolaridade, o que não acontece em outros países.
157
Uma pesquisa que nos parece interessante seria verificar se os mesmos resultados
da Cingapura seriam encontrados no Brasil caso o método fosse empregado
também de maneira mais sistemática e em longo prazo.
Entendemos que as informações apresentadas nessa pesquisa são fruto de
uma localidade, tempo e sujeitos específicos, e, portanto, as conclusões obtidas não
devem ser generalizadas. Esperamos que este trabalho possa contribuir com novos
estudos a respeito do tópico de resolução de problemas. Também almejamos que
esse estudo possa contribuir para o entendimento sobre os diferentes processos
heurísticos apresentados pelos alunos ao resolver problemas, para que, a partir
dessa compreensão, os pesquisadores, e também os professores possam realizar
intervenções mais pontuais em auxílio aos estudantes.
Essa pesquisa também repercutiu em minha prática pedagógica, como
professora de classe da turma pesquisada, uma vez que, para esses estudantes, foi
muito importante terem participado da pesquisa. O trabalho com diferentes
categorias de problemas multiplicativos reverberou por toda a escola, desde as
famílias dos envolvidos até a coordenação pedagógica e a direção, que se
interessaram em conhecer mais a proposta. Posso dizer que o tema dessa pesquisa
sempre ressoou em minha cabeça, assim como nas ideias de colegas professores e,
por isso, espero ter colaborado para fazer crescer a vontade de pesquisar e colocar
em prática as ideias de desenvolvimento da heurística e a preocupação de
selecionar e trabalhar com diferenciadas categorias de problemas, sejam eles
aditivos ou multiplicativos.
158
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APÊNDICE – FICHA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
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