100
■ CAPÍTULO 2 – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Revendo as frações
1 412
515
618
= =
2 a) 18 b) 3
4 c) 58 d) 3
8
3 a) 110 b) 7
10 c) 1120
4 a) A = 5 b) B = 3 c) C = 2
5 Só é falsa a igualdade e.
6 110
17
15
1632
3216
, , , ,
7 − 14
de 13
é éigual a 112
.
Adição e subtração
8 16
14
212
312
512
+ = + =
9 a) Juntando 23 , que são mais que metade, com
15 , Fabiana obteve 3
8 , que são menos que
metade. Isso não pode estar correto!
b) 23
15
1015
315
1315
+ = + =
10 a) − 1377 b) − 1
4 c) − 130 d)−
16
11 Faltam 120 dos deputados e 1
4 dos senadores.
12 a) 19180 b) − 17
24 c) 2324
d) 9100
e) 112 f) 22
105
13 a) 715 b) 28 km
Multiplicação
14 a) − 635 b) − � −18
2434 c) 4
9 d) − 827
15 a) 28 b) 316 c) –1
16 A lição toda será feita em 2h30min; para completá-la, vou gastar 1h30min.
14
13de do retângulo
Problemas e exercícios complementares
■ CAPÍTULO 1 – NÚMEROS PRIMOS
Números Primos
1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19
2 a) 1 e 7; 1 e 23; 1 e 29 b) Só dois.
3 a) 28 = 4 ⋅ 7 = 22 ⋅ 7 b) 45 = 5 ⋅ 9 = 5 ⋅ 32
c) 135 = 9 ⋅ 15 = 32⋅ 3 ⋅ 5 = 33 ⋅ 5
4 a) 21 = 3 ⋅ 7 b) 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7
c) 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 d) 90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5
5 a) 12 = 5 + 7 b) 42 = 5 + 37
c) 58 = 5 + 53 d) 120 = 11 + 109Observação: os itens b, c e d admitem outrassoluções.
Decomposição em fatores primos
6 a) Sim. b) Não. 253 = 11 ⋅ 23
c) Não. 267 = 3 ⋅ 89
7 303 = 3 ⋅ 101
404 = 22 ⋅ 101
505 = 5 ⋅ 101
606 = 2 ⋅ 3 ⋅ 101
8 a) 111 = 3 ⋅ 37
b) 222 = 2 ⋅ 3 ⋅ 37 333 = 32 ⋅ 37
444 = 22 ⋅ 3 ⋅ 37 555 = 3 ⋅ 5 ⋅ 37666 = 2 ⋅ 32 ⋅ 37
9 a) 275 = 52 ⋅ 11 b) 420 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7
Cálculo do mmc
10 a) 210 b) 105 c) 150
11 mmc (A; B) = 24 ⋅ 32 ⋅ 52 = 3 600
12 a) Não. É 60.
b) Sim.
c) Sim, porque 24 é múltiplo de 8.
d) Não. É 70.
13 a) 550 b) 360
14 a) 325, que é o menor múltiplo comum de 25 e 65.
b) A seqüência dos números divisíveis por 25 e 65é infinita: 0, 325, 650, 975, 1 300, ... Não existe omaior múltiplo comum de 25 e 65.
15 O número procurado é da forma 12 ⋅ a + 10 e comoestá entre 150 e 200 pode ser: 154, 166, 178 ou190. Considerando as outras informações, chega-se à resposta: 190 moedas.
MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM100
101A S S E S S O R I A P E D A G Ó G I C A
C
AB
azul
vermelho
laranja
N
X222°
147°
100°
rota 100
rota 147
rota 222
N
R
S
Y
N
b) 300 km, aproximadamente.
c) 144, aproximadamente.
5 C = 25°, BC = 11,8 cm, AC = 10,1 cm (valoresaproximados).
6 a) No desenho pessoal, AB deve medir 40 mm,aproximadamente.
b) Infinitas soluções.
c) Impossível.
7 Em relação à construção pessoal, a figura seguinteestá reduzida em 25 %.
Construindo formas tridimensionais
8 a) b)
9 a) A e C; B e D; E e F b) A e L; R e S; O e C
10 O da alternativa c. (Não é a, porque a face comlistas deve ser oposta à face com “minhoquinhas”;não é b nem d, porque a face pontilhada deve seroposta à com listas diagonais.)
11 Construção pessoal.
■ CAPÍTULO 4 – APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA
Um pouco da matemática do dia-a-dia
1 R$ 72,00
2 6,5
3 140 L
4 A embalagem de 320 g sai mais em conta. Nesta,100 g de xampu custam menos de R$ 1,00.
Usando porcentagens
5 Fogão: 7,8 % aproximadamente; máquina de lavar:7,5 % aproximadamente.
17 15
18 Suponhamos que o vendedor tenha misturado,inicialmente, 1 L de concentrado com 2 L de água,
obtendo 3 L de uma mistura. Ao retirar 14 dessa
mistura, retirou 14 de 1 L de concentrado, isto é,
deixou lá 34 de litro de concentrado. Na mistura
final, que tem 3 L, estes 34 de litro representam
14 . Logo, a resposta é 1
4 .
Divisão
19 a) 5 b) 5 c) 20
20 a) − 65 b) 23
3 c) –2 d) 10
21 a) 14,8 b) 50 c) 16 d) 0,2
■ CAPÍTULO 3 – CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
Usando os instrumentos de desenho
1 No desenho pessoal, AB deve medir 3,6 cmaproximadamente.
2 Traça-se AB. Com centro em A, traça-se umacircunferência com raio de 4,5 cm; com centro emB, outra circunferência com 6,1 cm de raio. O vérticeC do triângulo é qualquer um dos pontos em queessas circunferências se intersectam. (Também sepode começar traçando BC ou AC.)
3 Desenha-se um triângulo eqüilátero. Depois, di-vide-se cada lado em três partes iguais.
4 a) Em relação à construção pessoal, a figuraseguinte está reduzida em 50 %.
MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM101
102
Bx
Bb
Ba Bd
B c
■ CAPÍTULO 6 – ÂNGULOS, PARALELAS E POLÍGONOS
Algumas propriedades dos ângulos
1 BOCˆ = 135° e CODˆ = 45°.
2 a) x = y = 42° b) x = 61° e y = 108°
3 a) 115° e 115° b) 130° e 50° c) 108° e 108°
4 a)
40°
xz
ym
n
ba
6 R$ 80,25
7 a) 35 % b) 60 %
8 R$ 1 004,15
9 A rede Big Cat está crescendo mais (12,5 % versus11,1 %, aproximadamente).
10 a) 57 cm × 51 cm, aproximadamente.
b) Aproximadamente 23 %.
11 Uma lâmpada incandescente de 20 watts deveproduzir 300 lumens. A comparação, portanto, é:
1600300 ≈ 5,33. Isso significa que a lâmpada
fluorescente é, aproximadamente, 433 % maiseconômica que a lâmpada incandescente.
■ CAPÍTULO 5 – RETOMANDO A ÁLGEBRA
Usando fórmulas e equações
1 a) 6 b) 3 c) 3,52 d) 1,32
2 b = 16 cm e a = 31 cm
3 a) x = 21353
b) x = 26
4 9,5
5 260,6 oF
O que é álgebra
6 2x – 1; 75m
7 a) 0,15x b) 23x c) 1,20 ⋅ x
d) 2 ⋅ x + 7 e) 2 ⋅ (x + 7) f) 2x + 2y
8 a) R$ 144,00 b) 1,20 g c) R = 1,50r + 1,20 g
9 a) 110425
b) 18
10 a) 1411
– b) –20
Resolvendo problemas
11 87,5 e 122,5
12 a) 23 b) 17
22
23x x x+ − = c) x = 14
13 x x3
1 49+ + = , donde x = 36.
14 –16
15 a) x x x x− − − = −13
14
12
200
b) R$ 2 400,00
16 700 veículos.
17 A receberá R$ 200 000,00; B receberá R$ 250 000,00;C receberá R$ 300 000,00.
b + x = 180º ˆx a= (ângulos correspondentes formados por retasparalelas)
Então a + b = 180º, isto é, a e b são suplementares.
b) Sim, pelo mesmo motivo.
c) 360°
5
a // b e m // n
Temos: y = 40º (ângulos correspondentes e a // b);y + z = 180o , logo z = 140o. Como ˆx z= (alternosinternos com m // n), resulta x = 140o.
6 A rota BA é: 77 + 180 = 257.
Soma das medidas dos ângulos internosde um triângulo
7 102°
8 A = 50° e M = 80°
9 135°
10 36°
Soma das medidas dos ângulos internosde um polígono
11 A soma das medidas dos ângulos internos dequalquer triângulo é igual a 180º. Por isso, dividoo polígono em triângulos, traçando as diagonaisque partem de um vértice. Multiplico o númerode triângulos obtidos por 180º e chego ao resultadoprocurado.
12 162º
13 Se a construção for feita com capricho, todas asdiagonais do pentágono medirão 8 cm,aproximadamente.
14 Sim. 18 lados.
MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM102
103A S S E S S O R I A P E D A G Ó G I C A
b) 1 milhão = 1 000 000 = 106
c) 1 bilhão = 1 000 000 000 = 109
d) 1 trilhão = 1 000 000 000 000 = 1012
3 a) 1 milésimo = 0,001 = 10–3
b) 1 centésimo de milésimo = 0,000 01 = 10–5
c) 1 milionésimo = 0,000 001 = 10–6
d) 1 décimo de milionésimo = 0,000 000 1 = 10–7
4 a) −120 b) 5 c) 1
36 d) 12
Notação científica
5 Mil bactérias formariam uma fila de comprimentoigual a 1 000 ⋅ 2 ⋅ 10–4 mm = 0,2 mm. Essa fila teria,portanto, menos de 1 milímetro.
6 1 000
7 50 g
8 a) 3 × 107 b) 3,5 × 107 c) 3 × 10–7 d) 3,5 × 10–7
9 1 femtossegundo = 0,000 000 000 000 001 s = 10–15 s
Propriedades das potências
10 a) 0,78 b) 711
5
11 a) 15–21 b) 158
12 a) 333 b) 360 c) 5–14 d) x20
13 a) 20 736 b) 144 c) 248 832 d) 1 728
14 a) 1023 = 108 = 100 000 000
b) 102 3( ) = 106 = 1 000 000
c) 108 : 106 = 102 = 100
Raízes
15 a) 7 b) –5 c) 54 d) 3
16 a) 1,9881 b) 1,41 ≈ 2
17 a) –8 b) –44 c) –57 d) –5
18 a) 2 b) 2512 c) –1 d) 0
Extraindo raízes
19 a) 99 3 11 3 3 3 9 9= = ⋅ =, ,
b) 12 2 3 2 1 7 3 4= = ⋅ =, ,
c) 80 4 5 4 2 2 8 8= = ⋅ =, ,
20 a) 5 2 b) 3 3 c) 2 23 d) 3
21 a) 7 2 b) 9,87 c) 10 3 d) 17,3
22 a) 3 b) 2 ⋅ 11 = 22
15 a) 5 b) No mínimo, 10.
c) Em qualquer polígono regular a medida doângulo interno é menor que 180o.
d) 3
e) Não existe um polígono regular nessas condições.
Classificação dos polígonos
16 O diagrama correto é II. As regiões A e B devemter uma parte comum, que é R.
17 Losango D, E
Retângulo B, D
Paralelogramo B, C, D, E
Quadrado D
Quadrilátero B, C, D, E, F
18 a) 60° b) 60° c) 60º, 60º,120º e 120º
d) Sim. e) Sim. f) Sim.
g) Não. h) Sim.
19 O diagrama correto é III, porque todos os triânguloseqüiláteros são isósceles e todos os triângulosisósceles estão incluídos no conjunto dostriângulos.
20
■ CAPÍTULO 7 – POTÊNCIAS E RAÍZES
Expoentes menores que 1
1 a) 64 b) 64 c) –32 d) 64
e) 18 f) 1
9 g) 127 h) − 1
27
2 a) 100 mil = 100 000 = 105
região dostriângulos isóscelesnão-eqüiláteros
região dostriângulos escalenos
A
B
T
P
BA
Polígonoseqüiângulos enão-eqüiláteros
Polígonos regulares(eqüiláteros e eqüiângulos)
Polígonos não-eqüiláterose não-eqüiângulos
Polígonos eqüiláterose não-eqüiângulos
R
Untitled-1 11/17/05, 4:36 PM103
104
rB
A
O C
s
D
O
P
Q
■ CAPÍTULO 8 – SIMETRIAS
Tipos de simetria
1 São verdadeiras somente as sentenças a e d.
2 Todas as afirmações são verdadeiras.
3 a)
b)
4 a) b)
5 a)
b)
c)
Simetrias e propriedades das figuras geométricas
6
a) Não necessariamente. ABCD é losango.
b) Sim. Foram marcadas distâncias iguais emrelação à r e à s (r e s são os eixos de simetria; Oé o centro de simetria).
c) Sim.
7 São verdadeiras as sentenças b e c.
8 110º
9 a) OÂB e OBAˆ medem 30o.
b) Os três ângulos medem 60o, cada um.
■ CAPÍTULO 9 – ESTATÍSTICA E POSSIBILIDADES
Possibilidades e chances
1 a) 436
19
= ≈ 0,11 = 11 %
b) 436
19
= ≈ 0,11 = 11 %
c) 0 d) 136
≈ 0,027 = 2,7 %
2 18 = 0,125 = 12,5 %
3 a)
b) 15 c) 115 ≈ 0,66 = 6,6 %
d) 515
13� ≈ 0,33 = 33 %
4 a) 45 b) 45
Tratamento de dados
5 a) 200 b) O canal TvC.
O
O
B C D E F
A
C D E F
B
D E F
C
E F
D
F
E
MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM104
105A S S E S S O R I A P E D A G Ó G I C A
45,45%
40,9%13,63%
contra
a favor
sem opinião
6
7 Distribuição das encomendas entregues pelaECT
8 a) 159,5
b)
Faixa de altura Freqüência
(cm)
Menos de 150 1
de 150 a 154 2
de 155 a 159 5
de 160 a 164 5
de 165 a 169 2
mais de 169 1
c)
9 a) Valores aproximados: 147° (a favor); 164° (contra);49° (sem opinião).
b)
Tirando conclusões com estatística
10 16
16
16
1216
⋅ ⋅ =
11 Sim. Porque com um dado honesto essa
possibilidade é de 16
16
16
16
11296
⋅ ⋅ ⋅ = .
12 a) 1 365 b) 54,6 % c) 18 %
d) Não. Porque as porcentagens dos três candida-tos não são muito diferentes e, além disso, maisda metade do eleitorado ainda está indecisa.
13 43,75 toneladas
■ CAPÍTULO 10 – DESENHANDO FIGURAS ESPACIAIS
Desenhando sobre malhas
1
ano
1997
6065707580
população (em milhares)
1998
1999
2000
altura (cm)
men
os d
e 15
0
de 1
50 a
154
de 1
55 a
159
de 1
60 a
164
de 1
65 a
169
mai
s de
169
12345
freqüência
2 Exemplos de respostas:
3 Exemplos de respostas (correspondentes às doexercício anterior):
B – BancosB
I – Indústrias
I
G – Governo
GP – Pessoas físicas
P
O – Outros
O
MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM105
106
48 a) 385 99
105113
3335
x y x y− = −
b) − −3 25
2 2x x y
9 100x + 10y + z
10 a) A = 6x2 – 48x b) A = 1 440 cm2
11 a) v = x2 (x – 12) = x3 – 12 x2
b) v = 3 200 cm3
Fatoração
12 a) (3 + 2 + 3 + 2) ⋅ 48 = 10 ⋅ 48 = 480
b) (5 + 2 + 5 + 3 + 2 + 3) ⋅ 79 = 20 ⋅ 79 = 1 580
13 a) ab(a + b) b) b(3b + 1)
c) 11ab(3a – 4b) d) 4(5x + 1)
14 23
15 a) y2(y + 12) b) 3x(4x2 + 5x + 6) c) 2x2y(2 – 3x)
16 a) 4x2 + 3x = x(4x + 3) b) y3
c) 1
17 a) 136a
b) − − = − −4 92
2 92
22a a a a
c) − − = − −24 7320
65
7320
a a
d) 85 39 4030
2a a+ −
Produtos de polinômios
18 a) x3 + 7x2 + x + 7
b) x2y2 + x2y – 3xy2 – 4xy – 4y2
c) x4 + x3 – x – 1
d) x2 + 2x + xy + 2y
19 a) 20 – x; 10 + x
b) 60. Sim.
c) A = –x2 + 10x + 200 ou A = (20 – x) (10 + x)
d) 221; 224; 225; 224; 221 (em metros quadrados).
e) x = 5; 15 e 15 (o retângulo é um quadrado).
20 a) 15a2 – 8a – 12
b) 15a3 – 14a2 – 3a + 2
c) x2 + 2xy + y2
d) 9x2 – 12x + 4
21 a) x = 1915 b) x = − 42
11
Desenhando em perspectiva
5 e 6 A figura mostra as respostas das duas questões.
Fh
7 Exemplo de resposta:
F
h
8 Desenho pessoal.
■ CAPÍTULO 11 – CÁLCULO ALGÉBRICO
Deduzindo fórmulas
1 F = – x – 6; F = – 11
2 a) R = 41 b) R = 25
c) R = 2x + 35 d) Sim.
3 a) P = 4x + 10 b) P = 24
4 Q = 5 + 2n
5 a) R$ 4,81
b) R$ 23,91
c) C = [1,94 + (t – 1) ⋅1,91] ⋅1,25 = 2,3875 t + 0,0375
Cálculos algébricos
6 a) A = xy y+32
2b) V = xy2
4
7 a) p 45
a 80 ou p 4a 4005
= − = −
b) p = 48 kg
MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM106
107A S S E S S O R I A P E D A G Ó G I C A
■ CAPÍTULO 12 – ÁREAS E VOLUMES
Idéias para o cálculo de áreas e volumes
1 a) x = 22 mm e y = 53 mm
b) 3 436 mm2 c) 330 mm
2 a) 12 cm2 b) 24 cm2
3 a) 28 u2 b) AB = CD = 5 u BC = AD = 7 uc) Não. (AB ⋅ AD = 35 u2 ≠ 28 u2)
4 a)
■ CAPÍTULO 13 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Sistemas e o método da adição
1 a) x = –5 e y = –7 b) x = 23 e y = 14
c) x = 4 e y = 1 d) x = e y = −4613
413
2 a) 3x + 6y = 180°; x + 10y = 180°
b) T = 90° e I = O = 45° ; B = 30° e M = U = 75°
3 a) x = 3 e y = 2 b) x = 73 e y =
512
4 6 moedas de 10 e 7 de 50.
Sistemas e o método da substituição
5 A lata de atum tem 115 g e a caixa de molho tem220 g.
6 a) x = 1 e y = 14 b) x = 2 e y = 1
2= 0,5
c) x = –8 e y = –13 d) x = 152 = 7,5 e y = 15
4 =
= 3,75
7 a) x = 25 e y = 35 b) x = y = 25
8 Substituindo x + y = 12 na equação x + y + 3y = 18concluímos que 3y = 6, donde y = 2.
Logo, x = 10
Problemas
9 a) x = 120 e y = 10 b) x = − 3511 e y = 30
11
c) x = 40 e y = 60
10 a) x = –4 e y = 3 b) x = –4 e y = 3
c) x = − 3415 e y = 2
5
11 Obtemos o sistema
x y
y x
− =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
5
34
, donde x = 20 e y = 15.
12 Obtemos o sistema x y
x y y x
=
+ − + =
⎧⎨⎩
2
10 10 36( )
donde x = 8 e y = 4. Portanto o número é 84.
■ CAPÍTULO 14 – GEOMETRIA EXPERIMENTAL
É ou não é proporcional?
1 a)
A B
3 8
6 16
9 24
F
B
C
G
AD
HE
b) 32 cm3
5 3 m3, aproximadamente.
6 100 cm3
7 1 000 bolinhas
Fórmulas para o cálculo de áreas
8 a)
Perímetro (u) Área (u2)
Paralelogramo 20 15
Retângulo 16 15
b) Sim. c) Não.
9 a) 18 cm2 b) 18 cm2 c) Qualquer lado.
d) Escolhida a base, deve-se considerar a altura per-pendicular a ela.
10 a) 18,2 cm2 b) 14,44 cm2 c) 1 248 mm2
d) 9,68 cm2 e) 1 460 mm2 f) 336 m2
11 a) 28,8 cm2 b) 25,35 m2
O teorema de Pitágoras
12 A área do quadrado maior é igual à soma das áreasdos dois quadrados menores (25 = 16 + 9).
13 10 2 cm ou 14,1 cm, aproximadamente.
14 a) x = 15 b) x = 10
15 a) 4 cm b) 12 cm2
16 a) 5 cm b) 5 2
17 x = 12
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
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108
Respostas da seção Um toque a mais
45
3 5 7 3153
9 15 21 35
105 63
b)
A 7 10 12 20
B 10,5 15 18 30
c)
A B
5 5 2
7 7 2
8 8 2
d)
A 2 1 12
B 12
14
18
e)
A B
2 6
13 39
x 3x
f)
A B
5 2
30 12
600 240
2 a)
AB = 2 A’B’= 3
BC = 1 B’C’= 1,5
b) Sim.
3 8,75 cm
4 a) Sim. b) 60 cm
Figuras semelhantes
5 x = 12 cm
6 a) 10,5 cm b) 16 vezes
7 a) 1 para 2 b) Sim.
c) 60 mm e 120 mm d) Sim.
e) 168 mm2 e 672 mm2, aproximadamente.
f) Não.
8 a) 150 cm b) 1 : 150
Perímetro da circunferência
9 62,8 cm
10 2,5 cm
11 5,2 cm, aproximadamente.
12 32 cm
■ CURIOSIDADES SOBRE OS NÚMEROS PRIMOS(APÓS O CAPÍTULO 1)
• O esquema exibe todos os divisores de 315, exceto 1.
■ MATEMÁTICA NA LINGUAGEM DO DIA-A-DIA(APÓS O CAPÍTULO 4)
1 R$ 5,00
2 300 %
3 (300 %)2 = 300100
2⎛⎝
⎞⎠ = 32 = 9 = 900
100 = 900 %
■ PEQUENA COLEÇÃO DE PROBLEMAS (APÓS OCAPÍTULO 5)
Problema 1
Temos: R é o preço à vista, R3 é valor do primeiro
pagamento e 23R é o valor do segundo pagamento
sem o acréscimo de 2 %. O valor do segundo
pagamento com o acréscimo de 2 % é 23R ⋅ 1,02 =
0,68R = 68 % de R.
• Temos: 1 800 = 23 ⋅ 32 ⋅ 52. Para obter o número de divisores de 1 800, fazemos:
(3 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (2 + 1) = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36.
Portanto, 1 800 tem 36 divisores.
• 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 3 + 9 = 5 + 7; 14 = 3 + 11 = 5 + 9 = 7 + 7; 16 = 3 + 13 = 5 + 11 = 7 + 9; 18 = 5 + 13 = 7 + 11 = 9 + 9
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