RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: DIAGRAMA DE NYQUIST
CCL
Profa. Mariana Cavalca
Retirado de: MAYA, Paulo Álvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. São Paulo: Pearson,
2011.
Definições
Definições • Seja o seguinte sistema em malha fechada com
realimentação negativa:
Definições
Definições
Análise de Estabilidade
Exemplos 1. Verifique pelo critério de
estabilidade de Nyquist, se a seguinte malha de controle é estável:
2. 𝑁 = −1 e 𝑃 = 1 𝑠1,2 = −1; 0,5
3. Portanto Z = 𝑁 + 𝑃 = 0 (Estável!)
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Exemplos 2. Verifique pelo critério de estabilidade
de Nyquist, se a seguinte malha de
controle é estável:
3. 𝑁 = 2 e 𝑃 = 0 𝑠1,2 = −0;−1;−0,5
4. Portanto Z = 𝑁 + 𝑃 = 2 (Instável !)
-5 -4 -3 -2 -1 0-5
0
5
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Estabilidade Relativa
• Seja o seguinte sistema 𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠 𝑠+1 (𝑠+5). O Diagrama de Nyquist e
a resposta ao degrau unitário da malha fechada com realimentação
unitária negativa para diversos valores de K são dados por:
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
K=0.1
K=0.5
K=0.75
K=1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
K=0.1
K=0.5
K=0.75
K=1
Estabilidade Relativa: Margem de Ganho
• Supondo a planta estável em malha aberta (P = 0), a
margem de ganho é dada por:
• O sistema é estável em malha fechada se 𝑀𝐺 > 1, ou
seja 𝐺 𝑗𝜔𝑐 𝐻(𝑗𝜔𝑐) < 1.
𝑀𝐺 =1
𝐺 𝑗𝜔𝑐 𝐻(𝑗𝜔𝑐)
Estabilidade Relativa: Margem de Fase
• Supondo a planta estável em malha aberta (P=0), a
margem de fase é dada por:
• O sistema é estável em malha fechada se 𝑀𝐹 > 1.
𝑀𝐹 = 180 − 𝐺 𝑗𝜔𝑐′ 𝐻(𝑗𝜔𝑐′)
Estabilidade Relativa: Diagrama de Bode Vale apenas para sistema de fase mínima. Obs. Verificamos as margens no
Bode de malha aberta! As margens nos mostram estabilidade de malha
fechada!
Robustez
• Se o sistema possui incertezas de modelo, devido ao
método de modelagem por exemplo, é possível utilizar as
margens de fase e ganho para avaliar a robustez da
malha de controle.
Nuvem de Incerteza
Exemplo
• Seja a seguinte malha de controle:
a) Obter os valores das margens de fase e de ganho para K=10 a partir
do diagrama de Bode. Tal sistema é estável em malha fechada?
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = 9.9 dB (at 2.5 rad/sec) , Pm = 36.7 deg (at 1.54 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: DIAGRAMA DE NYQUIST
Bom estudo!!!
Profa. Mariana Cavalca
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