Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc.
Chap 6-1
Revisão de distribuições de
probabilidades contínuas
(Capítulo 6 – Levine)
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Chap 6-2
Objetivos:
Neste capítulo, você aprenderá:
Calcular probabilidades a partir da distribuição
normal
Utilizar o gráfico da probabilidade normal para
determinar se um conjunto de dados está distribuído
aproximadamente nos moldes da distribuição normal
Calcular probabilidades a partir da distribuição
uniforme
Calcular probabilidades a partir da ditribuição
exponencial
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Chap 6-3
Distribuições de Probabilidades
Contínuas
Uma variável aleatória contínua é uma variável que
pode assumir qualquer valor em um continuum (pode
assumir um no. incontável de valores)
Espessura de um item
Tempo necessário para concluir uma tarefa
Temperatura de uma solução
Peso
As variáveis acima pode assumir qualquer valor,
dependendo apenas do nível de precisão com que serão
medidas.
Variável Aleatória Contínua
Para v.a. contínua não faz sentido estabeler um par entre xi e p(xi)
A probabilidade de ocorrer um xi específico é zero
A distribuição de probabilidades é denominada função densidade de probabilidade que é uma função não negativa
A probabilidade de ocorrer valores entre a e b é definida pela área sob a curva entre os valores a e b.
a b
f(X)
(Note que a
probabilidade de
qualquer valor individual
é zero)
P(a ≤ X ≤ b)
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Chap 6-5
Distribuição Normal
Propriedades
tem o formato de “sino”
Simétrica
Média, Mediana e Moda são iguais
a posição é caracterizada pela média, μ
a dispersão é caracterizada pelo desvio-padrão, σ
a variável aleatória possui amplitude infinita: - a +
caso limite para diversas outras distribuições
fundamental para a inferência estatística
definida por dois parâmetros (μ , σ)
Média
= Mediana
= Moda
f(X)
μ
σ
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Chap 6-6
Distribuição Normal
Função Densidade
2μ)(X
2
1
e2π
1f(X)
• A fórmula para a função densidade de probabilidade da
distribuição Normal é
Onde e = constante matemática aproximada para 2,71828
π = constante matemática aproximada para 3,14159
μ = média da população
σ = desvio padrão da população
X = qualquer valor da variável contínua, em que
- < X < +
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Chap 6-7
Distribuição Normal
Forma
Variando os parâmetros μ e σ, obtemos diferentes
distribuições normais
X
f(X)
CA
B
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Chap 6-8
Distribuição Normal
Forma
X
f(X)
μ
σ
Mudando μ a
distribuição move-se
para a direita ou
esquerda.
Mudando σ a dispersão é
aumentada ou diminuída.
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Chap 6-9
Distribuição Normal Padrão
• Qualquer distribuição normal (com qualquer combinação de média e desvio padrão) pode ser transformada em uma distribuição normal padrão (Z).
• Necessário transformar X unidades em Z unidades.
• A distribuição normal padrão tem média 0 e desvio padrão igual a 1.
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Chap 6-10
Distribuição Normal Padrão
σ
μXZ
Para converter qualquer variável aleatória normal,
X, em uma variável aleatória normal padronizada,
Z, subtrai-se a média de X e divide-se pelo desvio
padrão:
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Chap 6-11
Distribuição Normal Padrão: Função
Densidade de Probabilidade
2
Z2
e2π
1f(Z)
A fórmula da função densidade de probabilidade normal
padrão é:
Onde: e = constante matemática aproximada para 2,71828
π = constante matemática aproximada para 3,14159
Z = qualquer valor da distribuição normal padrão
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Chap 6-12
Distribuição Normal Padrão
Forma
Z
f(Z)
0
1
• Também conhecida como distribuição “Z”
• Media é 0
• Desvio Padrão é 1
Valores acima da média têm valores-Z positivos, valores
abaixo da média têm valores-Z negativos
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Chap 6-13
Distribuição Normal Padrão
Exemplo
2.050
100200
σ
μXZ
• Se X é uma variável aleatória normalmente distribuída
com média 100 e desvio padrão igual a 50, o valor-Z
para um valor X = 200 é
• Isto quer dizer que X = 200 está dois desvios-padrão (2
incrementos de 50 unidades) acima da média 100.
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Chap 6-14
Distribuição Normal Padrão
Exemplo
Z
100
2.0 0
200 X (μ = 100, σ = 50)
(μ = 0, σ = 1)
Observe que a distribuição é a mesma, somente a
escala é diferente. Nós podemos expressar o
problema na unidade original (X) ou em unidades
padronizadas (Z)
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Chap 6-15
Probabilidades na Distribuição
Normal
a b
f(X)
(Observe que a
probabilidade de
ocorrência de qualquer
valor individual é zero)
A probabilidade, como em qualquer distribuição
contínua, é medida pela área sob a curva
P(a ≤ X ≤ b)
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Chap 6-16
Normal Probabilities
A área total sob a curva é 1,0, e a curva é simétrica,
então, metade está acima da média e metade está
abaixo da média.
f(X)
0.5 0.5
1.0)XP(
0.5)XP(μ 0.5μ)XP(
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Chap 6-17
Tabelas da Distribuição Normal
Exemplo:
P(Z < 2.00) = .9772
As tabelas da Normal Padronizada costumam
dar a probabilidade de valores menores do que Z
(ou seja, do negativo infinito até Z)
Z 0 2.00
.9772
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Chap 6-18
Tabelas da Distribuição Normal
O valor da tabela dá a probabilidade de que Z esteja entre Z = e Z igual ao valor desejado.
.9772
2.0 P(Z < 2.00) = .9772
A linha mostra o
valor de Z para a
primeira casa
decimal
A coluna dá o valor de Z na segunda
casa decimal
2.0
.
.
.
Z 0.00 0.01 0.02 …
0.0
0.1
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Chap 6-19
Encontrando Probabilidades Normais
Procedimento
• Especifique a distribuição normal do seu problema em
termos da variável X.
• Transforme os valores-X em valores-Z.
• Use as tabelas da distribuição Normal padrão.
Para encontrar a P(a < X < b) quando
X é distribuído normalmente:
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Chap 6-20
Encontrando Probabilidades Normais
Exemplo
Seja X uma variável aleatória que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na internet.
Suponha que X tenha distribuição normal com média 8,0 e desvio-padrão 5,0
Encontre P(X < 8,6)
X
8.6
8.0
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Chap 6-21
Encontrando Probabilidades Normais
Exemplo
0.125.0
8.08.6
σ
μXZ
Supondo que X seja normal com média 8,0 e desvio-
padrão 5,0. Encontre a P(X < 8,6).
Z 0.12 0
X 8.6 8
μ = 8
σ = 10
μ = 0
σ = 1
P(X < 8.6) P(Z < 0.12)
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Chap 6-22
Encontrando Probabilidades Normais
Exemplo
Z .00 .01 .02
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Tabela da Distribuição Normal
Padronizada (Extrato)
Z 0.12 0
μ = 0
σ = 1
.5478
= P(Z < 0.12)
P(X < 8.6)
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Chap 6-23
Encontrando Probabilidades Normais
Exemplo
Encontrando P(X > 8.6)…
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - .5478 = .4522
Z
0.12
0
.5478
1.0 - .5478 = .4522
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Chap 6-24
Encontrando Probabilidades Normais
Entre dois valores
• Suponha X uma v.a. com distribuição normal com média
8,0 e desvio padrão 5,0. Encontre P(8 < X < 8,6)
P(8 < X < 8.6)
= P(0 < Z < 0.12)
05
88
σ
μXZ
0.125
88.6
σ
μXZ
Calcule os valores Z:
Z 0.12 0
X 8.6 8
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Chap 6-25
Encontrando Probabilidades Normais
Entre dois valores
Z .00 .01 .02
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Tabela da Distribuição Normal
Padronizada (Extrato)
Z
0.12
.0478
0.00
= P(0 < Z < 0.12)
P(8 < X < 8.6)
= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)
= .5478 - .5000 = .0478
.5000
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Chap 6-26
Dada a Probabilidade Normal,
Encontrar o valor X
Seja X uma v.a. que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na Internet.
Suponha que X siga uma distribuição Normal com média 8,0 e desvio padrão 5,0
Encontre X tal que 20% dos tempos para download sejam inferiores a X.
X ? 8.0
.2000
Z ? 0
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Chap 6-27
Dada a Probabilidade Normal,
Encontrar o valor X
Primeiro, encontre o valor-Z correspondente
à probabilidade conhecida usando a tabela.
Z …. .03 .04 .05
-0.9 …. .1762 .1736 .1711
-0.8 …. .2033 .2005 .1977
-0.7 …. .2327 .2296 .2266
X ? 8.0
.2000
Z -0.84 0
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Chap 6-28
Dada a Probabilidade Normal,
Encontrar o valor X
A seguir, converta o valor-Z em valor-X
usando a fórmula.
Então 20% dos tempos para fazer o download são
menores do que 3,80 segundos.
80,3
0,5)84,0(0,8
ZσμX
-X
-XZ
Z
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Chap 6-29
Avaliando a Normalidade
É importante saber avaliar o quão bem a distribuição dos dados pode ser aproximada por uma distribuição normal.
Dados normalmente distribuídos deveriam seguir as propriedades teóricas da distribuição Normal: A distribuição Normal é em forma de sino
(simétrica) sendo a média igual à mediana.
As regras empíricas aplicam-se à distribuição normal.
A amplitude interquartil é igual a 1,33 desvios-padrão.
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Chap 6-30
Avaliando a Normalidade
Construa gráficos
Para conjuntos de dados de tamanho pequeno ou moderado, construa uma disposição ramo e folha e um box-plot. Eles parecem simétricos?
Para conjuntos grandes de dados, construa um histograma. Ele tem a forma de sino?
Calcule as estatísticas descritivas
A média, mediana e moda têm valores semelhantes?
A amplitude interquartil é aproximadamente igual a 1.33 σ?
A amplitude é aproximadamente igual a 6 σ?
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Chap 6-31
Avaliando a Normalidade
Observe a distribuição do conjunto de dados
Aproximadamente 2/3 dos valores se posicionam entre a média aritmética e ± 1 desvio-padrão?
Aproximadamente 80% dos valores se posicionam entre a média aritmética e ± 1.28 desvio-padrão?
Aproximadamente 95% dos valores se posicionam entre a média aritmética e ± 2 desvios-padrão?
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Chap 6-32
Distribuição Uniforme
A distribuição uniforme é uma distribuição de
probabilidade que tem probabilidades iguais
para todos os possíveis resultados da variável
aleatória. Todos os valores do espaço amostral
têm a mesma probabilidade de ocorrer.
Por causa disso ela é também chamada de
distribuição retangular
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Chap 6-33
Distribuição Uniforme
A função densidade de probabilidade da Distribuição Uniforme :
contrário caso 0
bXaseab
1
Onde:
f(X) = valor da função densidade para qualquer valor de X
a = valor mínimo de X
b = valor máximo de X
f(X) =
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Chap 6-34
Distribuição Uniforme
2
baμ
12
a)-(bσ
2
A média, ou valor esperado, de uma variável
que segue a distribuição uniforme é :
O desvio-padrão é :
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Chap 6-35
Distribuição Uniforme
Exemplo: encontre os parâmetros (média e desvio
padrão) de uma v.a. que segue a distribuição
uniforme e assume valores entre 2 ≤ X ≤ 6 :
42
62
2
baμ
1547.112
2)-(6
12
a)-(bσ
22
f(X) = = .25 for 2 ≤ X ≤ 6 6 - 2 1
2 6
.25
X
f(X)
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Chap 6-36
Distribuição Exponencial
Usada para modelar o tempo entre duas ocorrências
de um evento
Muito utilizada em Teoria das Filas para estudar o
tempo entre duas chegadas
Exemplos:
Tempo entre a chegada de clientes a um supermercado
Tempo entre chamadas telefônicas
Tempo entre transações em um terminal ATM
É uma distribuição assimétrica à direita que se
extende de zero até o infinito positivo
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Chap 6-37
Distribuição Exponencial
Xe1X)chegada próxima da antes P(tempo λ
Definida por um único parâmetro, sua média λ
(lambda)
A probabilidade de que o tempo de chegada seja
menor que um tempo especificado X é
onde e = constante matemática aproximadamente igual a
2.71828
λ = a média aritmética do número de chegadas por
unidade
X = qualquer valor da variável contínua, em que
0 < X <
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Chap 6-38
Distribuição Exponencial
Exemplo: Clientes chegam a um balcão de atendimento a
uma taxa de 15 por hora. Qual a probabilidade de que o
tempo de chegada entre dois clientes consecutivos seja
menor do que 3 minutos?
A média do número de chegadas por hora é 15, então λ = 15
3 minutos é igual a 0,05 horas
P(tempo entre chegadas < .05) = 1 – e-λX = 1 – e-(15)(0,05) =
0,5276
Então há 52,76% de probabilidade de que o tempo entre
chegadas sucessivas de clientes seja menor do que 3 minutos
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