I - Estruturas Isost8ticas II - Deforrnatóes em estruturas. Metoda
das forcas
111 - Wtodo das DeformaçÍks. Roasso de Croo
FICHA CATALOGRAFICA [Preparada pelo Centro de
Catalogaq50-nsFonte,
Cimara Brasileira do Livra. SPI
Süsrekind. Jose Carlos. 1947- S963c Curso de analise ertrutuial /
Jose Carlos Si iwkind.- v. 1-2 4. ed. - Pona Alegre : Giabo.
1980.
v. ilust. IEnciciopWia thcnica universal Globol
Bibliografia. Cante8jdo. - v. 1. Estruturas isost6ticar. - v. 2.
De-
formações em estruturas. MBtado dar forças.
1: Deformwões IMecinicaI 2. Estruturas - Andlire (Engenharia) 3.
Forcas e Tensões. I. Titulo. II. Titu- I0 : Deformaç6es em
estruturas. IiI. Estruturas isostiticar.
inl ices paa málogo sinam6tica
-- -
EDITORA GLOBO Porto Alegre
Apresentacão
Planeiamento gr8fim:Tacnimtor Produçdn G d f i u ~ Ltda.
. .-
h O r! . , ,i, .., . , :: C ~ ! L , j? --.-32E.2-
Direitos excluiivor de edi*, em ttngua da Edftom Globo S. A.
Porto Alegre - Rio Grande do Sul B m i l
A idéia de escrever este Curso de Análise Estrutural nasceu da
necessidade encontrada de um texto que nos servisse de suporte para
o ensino da Isostática e da Hiperestática aos futuros engenheiros
civis, idéia esta que cresceu com.0 estfmulo recebido da parte de
diversos colegas de magisl6ri0, que se vèm deparando com o mesmo
problema. e cuja concretização se tor- nou possível a partir do
interesse demonstrado pela Editora Globo em edita-lo.
O Curso de Análise Estrutural será dividido em très volumes. no
primeiro dos quais estudaremos os esforços nas estruturas
isostáticas. ficando o estudo dos esforços nas estruturas
hiperestáticas e das deformações em estruturas em geral para ser
feito nos segundo e terceiro volumes. Nestes últimos, incluiremos
também, o estudo de alguns tópicos especiais, cujo conhecimento
julgamos indispensavel ao engenheiro civil.
Na apresentação deste Curso. é dever de gratidão mencionar o nome
do extraordinário professor que é o Dr. Domicio Falcão Moreira e
Silva, a quem devemos nossos conhecimentos de Mecânica Racional e
de Mecãnica das Estruturas, e por iniciativa de quem fomos lançados
no magistério supe- "01, na Pontificia Univenidade Católica do Rio
de Janeiro.
gradec cem os antecipadamente aos nossos leitores e colegas
quaisquer comentários, sugestóes ou críticas que nos venham a
enviar através da Editora Globo, Pois, a partir deles, estaremos em
condiçks de tentar sempre melhorar este trabalho, no sentido de
torná-lo cada vez mais útil ao nosso estudante - objetivo final de
nossos esforços.
Ri0 de Janeiro, 1.0 de abril de 1974 . José Carlos Susekind
Sumario
CAPITULO I - CALCULO DE DEFORMAÇ~ES EM ESTRUTURAS ISOSTATICAS
I - Aplicaqão do teorenia dos trahallios virtuais aos corpos
el6sticos I
1.1 - O priiicípio de d'Aleniberl e os conceitos de deslocanieiito
e traballio virtual I
I.? - Cálculo de defornidfóes devidas 5 atuação de carregamento
externo - F6rmula de Mohr 3
I . . - Aplicaçtíes imeiiiatas 7
1.2.2 - Uso de tabelas para calculo de /",J& 11
1.23 - Aplicações As estruturas usuais da pr8tica I6 1.2.4 - Casos
de barras com inercia variável 24 1.2.4.1 - Barras cuwas com
inircia variando segundo a lei Jml~cos = 1 24 1.2.4.2 - Inircia
variando em mísula 26 'P
1.2.4.3 - Caso de variação aleatória da in6rcia 45 1.3 - Cáiculo de
deformações devidas à variação de temperatura 47 L
1.3.1 - Caso particular: variação uniforme de temperatura ( ~ ~ 5 0
) 52 1.4 - Cálcu!o de deformaçGes devidas a movimentos
(recalques)
dos amios 55 - .
2 - Cálculc de deformações em vigas retas - Processo de Mohr 57 2 1
- AplicqXo d o processo de Mohr is vigas hipereststieas 64
3 - Cálculo de deformaçües em treliças planas - Processo de Williot
70
4 - Teoremas complementares 78 4.1 - Teorema de Betti 78 4.2 -
Teorema de Mêxwell 79 4.3 - Teoremas de Castigliano 80
i 4.4 - Regra de MüUer-Breslau 86
5 - Problemas propostos 89 6 - Respostas dos problemas propostos
100
1 - Introdução - Determinação d o grau hiperestitico 104 1.1 -
Hiperestaticidade externa 104 1.2 - Hiperestaticidade interna 104
1.3 - Hiperestaticidade total 104 1.4 - Aplicações 105 .
2 - O mbtodo das forças 106
2.1 - As bases d o método 106 ' - Obse~a$õcs 109 ... - 2.3 -
Roteiro p.ara o niétodo das forças 112 2.4 - Aplicações 113 2.5 -
Artifícios hiperestáticos para estmtura elástica e geometri-
camente simétrica 152 2.5.1 - Artifício do arranio de careas
153
1.5.1.2 - O artifício 157 2.5.1.3 - Caso de existência de dupla
simetria (elástica e geomktrica)
na estrutura 166 2.5.1.4 - Aplicai;áo i s grelhas 172 . 7.5.2 -
Artifício dos grupos de incógnitas (ou artifício das matrizes
simE!ricas) 182
3 - Estudo dos sistemas reticulados enrijecidos por vigas 196
- Estudo das linhas de influência em estruturas hipereststicas 203
4.1 -- Base teórica do método de resolução 203 4.2 - Roteiro de
cálculo 206 4.3 - Aplicaqões 208
5 - O teorema de Menabrea 220
6 6 - Cálculo de deformação em estruturas hiperestáticas -
Verificação de diagramas 222 6.1 - Caso de carregamento externo 222
6.2 - Caso de variação de temperatura 228 6.3 - Caso de recalques
de apoio 233
7 - Problemas propostos 236 8 - Respostas dos problemas propostos
253
CAPITULO I11 - ESTRüTURAS SOBRE APOIOS ELASTICOS
1 - Apoios elásticos discretos 264 1.1 - Definição dos apoios
elásticos 264 1.2 - Trabalho virtual de deformação dos apoios
elkticoS 266 1.3 - C~lculo de deformações em estruturas isost6ticas
267 1.4 - Resolução de estruturas hiperestáticas 269
2 - Apoios elásticos contínuos 272 2.1 - Introdução 272 2.2 - Vigas
de comprimento infinito 274 2.2.1 - Atuaçáo de uma carga
concentrada 274 2 2 2 - Atuaçáo de uma carga-momento 282 2.2.3 -
Atuaçáo de carga uniformemente distribuída 284 22.4 - Atuaçao de
carregamento distribuido qualquer 286
- Vigas semi-infinitas 287 - Vigas semi-infinitas com bordo livre
287 - Vigas semi-infinitas com bordo articulado 290 - Vigas
semi4nfinitas com bordo engastado 292 - Viga finita - Processo de
Hetenyi 294 - Caso de bordos livres 294
2.4.2 - Caso de bordos articulados 298 2.4.3 - Caso de bordos
engastados 299 2.4.4 - Exemplo de aplicação 3M) 2.4.5 - Observações
301
3 - Problemas propostos 307 4 - Respostas dos problemas pmpostos 3
11
Introducáo - ao segundo volume
O segundo volume de nosso Curso, onde são estudados os esforços eni
estruturas hiperestáticas, as deformações em estruturas isostáticas
e hiperestiiticas, e as estruturas sobre apoios elásticos, foi
subdividido em três capftulos, comentados a seguir:
O capítulo I estuda as deformações sofridas pelas estruturas
isostáticas devidas a cada um dos agentes deformantes a que podem
estar submetidas, quais sejam: carregamento externo, variação de
temperatura, movimentos (recalques) de seus apoios e modificações
de comprimento impostas durante a sua montagem. Todo esse estudo é
feito utilizandese o teorema dos trabalhos virtuais.
Enfase especial mereceram, devido A sua grande incidência na
prática, os casos de vigas e treliças, para os quais apresentamos,
além do processo geral de c&lculo (baseado no teorema dos
trabalhos virtuais), os processos particulares de Mohr e
Williot.
Finalmente, são estudados diversos teoremas clásicos na Mecâ- nica
das Estruturas, que encontram aplicação neste capítulo ou nos
capítulos subsequentes de nosso Curso.
O capítulo I1 estuda a resolução das estruturas hiperestáticas elo
primeiro dos dois grandes métodos da Hiperestática, que é o método
das forças. São feitas aplicações para Os tipos estruturais usuais,
sendo apresen- tados, a seguir, os artifícios visando i
simplificação d o trabalho de resolução das estruturas elástica e
geometricamente simétricas (que são as que ocorrem com maior
frequência).
Ainda neste capítulo, são estudadas as linhas de influência e é
apresentado o cálculo de deformações para as estruturas
hiperestáticas.
O capítulo 111 estuda os esforços e deformações de estruturas
(isostáticas ou hiperestáticas) sobre apoios elásticos discretos e
introduz o estudo dos mesmos problemas para o caso de apoios
elásticos contínuos, sendo abordadas, neste caso, as vigas de
inércia constante sobre base elástica com coeficiente de recalque
constante (que é o caso de esttutura sobre apoio elástico continuo
que mais @corre na prática).
Repetindo o que fizemos na introdução ao Volume I, queremos chamar
a atenção do leitor para a necessidade do trabalho individual de
reso- lução das Listas de problemas propostos ao fim de cada
capítulo, como única forma de realmente sedimentar os conceitos
apresentados durante a exposi- ção do capitulo.
Na oportunidade, queremos deixar registrados nossos agradcci-
mentos ao amigo José de Moura Villas Boas, pelo trabalho de revisão
deste \ volume, e aos demais amigos que, com suas sugestões e
estimulo, colabo- raram na preparação deste trabalho.
Rio de Janeiro, 8 de agosto de 1974 José Carlos Sussekind
CAPTTULO I - CALCULO DE DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTATICAS
1 - ApIieaq.50 do teorema dos trabalhos Wtuais aos corpos
elãstim
1.1 - O de d'brlembert e os conceitos de deslocamento e trabalho
Wtual
i; ]ean d'Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de
deslocamento e trabalho virtual, estudando o seguinte caso:
P. I p2
Seja um ponto material m em equilibrio, isto é, submetido a um
conjunto de forgas Pi tais'qiiè sua resuitante $ 6 nula, conforme
indica a Fig. 1-1. Imaginemos seja dado a este ponto um
deslocamento 8 sem a introdução de nenhuma nova força no sistema,
isto é, mantendo = O. Este desloca- mento não pode ser atribuído a
nenhuma causa física real, pois, para haver deslocamento real do
ponto, seria necessária a introdução de uma nova força ao sistema,
que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m. Tratemos,
entáo, este deslocamento ,), dado nestas condicões. (isto é. . .
.
= O), como uma entidade puramente matemática, â qual chamaremos
deslocamento virtyl:
O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças Pi ( r e e )
que amam s$re 0 ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual 6
vale W = 2. 6 =O. Dizemos, então. que, "pm um ponto material em
equilí- brio (2 = 01. O nobalho wml r ~ l i r a d o pelo sistemn de
forcas reais em equilíbrio que atua sobre o,yn*o, w n d o este
sofre um deslouimento wtuol arbih$rio quaiquer, 6 nulo , o que
constitui o princfpio de d'Alembeh
Isso garante a aeitaçzo do novo conceito (trabalho virtual), pois
preserva, para O ponto que sofreu um deslocamento virtual, as suas
duas condições de equilíbrio: a estática (traduzida pela resultante
nula) e a energhtica (traduzida pelo trabaiho virtual realizado
nulo).
A pariir destas consideraçóes, poderemos extrapojar os
teoremas
I gerais da Mecânica sobre trabalhos reais para teoremas sobre
trabalhos
Cálculo de deformações em estruturas isostáticas 3
virtuais, senão vejamos: Para um ponto material em equilíbrio,
sabemos que o "trabalho
real realizado pelo sistema de forças que atua sobre ele é nulo";
para este mesmo ponto, o princípio de d'Aiembert nos diz que "o
trabalho virtual realizado pelo sistema de forças que atua sobre
ele 6 nulo para um desloca- mento virtual arbitrário qualquer que
ihe imponhamos". Bastou, portanto, substituir a palavra "real" do
enunciado da proposição da Mecinica sobre trabalho (real) realizado
por um ponto em equilíbrio, por "virtual" para obtermos a
proposição sobre trabalho virtual realizado por um ponto material
em equilíbrio, quando ele sofre um deslocamento virtual arbitrário
qualquer.
Como os corpos rígidos e elásticos nada mais são que um somatbrio
ao infinito de pontos materiais, podemos, imediatamente, enun- ciar
os teoremas sobre trabalhos virtuais a eles aplicáveis,
substituindo a palavra "real" dos enunciados dos teoremas de
trabalhos reais relativos a estes dois tipos de corpos pela palavra
"virtual" e, então, teremos:
a) Corpos rígidos: "Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma
algébrica dos
trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que sobre ele a t u m
é nula, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários
(compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos."
b) Corpos elásticos: "Para um corpo elástico, que atingiu sua
configuração de
equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre
ele a t u m é igual ao trabalho virtual das forças internas
(esforços simples) nele atuantes, para todos os deslocamentos
virtuais' arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que
lhe imponhamos"
Obsmagões:
a) Diversos autores costumam intitular de princípios aos teoremas
de tia- balhos virtuais relativos a corpos rígidos e elásticos, por
estarem eles baseados no princípio de d'Aiembert. Como, a partir
deste principio, podem ser demonstrados estes teoremas de trabalhos
virtuais, em tudo que se seguir manteremos a denominação de teorema
dos trabalhos virtuais.
b) Diversos livros, também, apresentam deduções muito mais
sofisticadas e elegantes, sob o ponto de vista matemático, para os
teoremas dos traba- lhos virtuais; não o fizemos, neste trabalho,
por ser nosso objetivo aPre.Sen- ti-10s sob a feição mais
eminentemente física e ~rát ica possível, que facilite ao leitor a
compreensão do conceito de trabalho virtual, a partir qual
resolveremos o problema do cálculo de deformações nas estruturas
(corpos elásticos), o que está feito nos itens a seguir.
c) Não somos pioneiros nesta forma de apresentação do assunto;
adotamos,
I Os dedacamentor virtuais arbitrários quaisquer devem ser Pequenos
dedocamentos, pela razão expasta na abrerva@og do item 1.2 deste
capitulo.
neste caso, a metodologia utilizada pelo prof. Leopoldo de Castro
Moreira em seu trabalho "Curso de Estática das Construçóes"
publicado pelo Dire- tório Acadèmico da Pontificia Universidade
Católica do Rio de Janeiro no ano de 1953, por nos parecer a ideal,
didaticamente falando.
1.2 - Cálculo de deformaçóes devidas à atuaeo de carregamento
externo - Fórmula de Mohr
Seja a estrutura da Fig. 1-2, submetida ao carregamento indicado.
Em se tratando de um corpo elástico, ela se deformará devido a
estas cargas, adquirindo a configuraçáo esquematizada em pontilhado
na Fig. 1-2.
Fig. 1-2 Fig. 1-3
6 evidente que duas seções vizinhas, distantes de ds, terão
deformações relativas devidas aos esforços simples M, N, Q nelas
atuantes, deformaçks estas que denominamnos d9 (rotação relativa de
duas seções distantes de ds, devida a M),A ds (deslocamento axial
relativo de duas seçóes distantes de ds. devido a N), dh
(deslizamento relativo de duas seçoes distantes de ds. devido a Q).
Os valores destas defonnaçóes relativas sáo objeto de estudo na
Resisténcia de Materiais, e são dados por:
Mds d,# = - - Nds x Qds , A d s = - . < ~ h = - ES ' CS '
sendo E: módulo de elasticidade longitudinal do material;
G: módulo de elasticidade transversal;
J: momento de inercia de seção transversal em relação a seu eixo
neutro;
S: área de seção transversal:
X: coeficiente de redução, resultante da distribuição não uniforme
das tensões cisalhantes, cujo valor varia com o tipo de
seçao.
>I
~uponhamos, para fms de raciocínio, que queiramos cdcuiar o
deslocamento do ponto rn na direção A , ao qual chamaremos o
:
Seja, agora, a Fig. E3, onde a configuraçáo da estrutura, apbs
a
4 Curso de análise estrutural
- aplicação do carga P = I , 6 a indicada em traço cheio e quc
coincidc com o eixo da estrutura da Fig. 1-2 quando descarregada.
Dandc-se a todos os pontos da estrutura com o carregamento indicado
em 1.3 deslocamentos virtuais exatamente iguais aos provocados pelo
carregamento indicado em 1-2, esta assumirá a configuração
deformada (virtual) indicada em pontilhado (idêntica à configuração
deformada real indicada em 7-2).
Apliquemos, então, à estrutura com as cargas e esforqos indicados
em 1-3, e sob os deslocamentos virtuais impostos, o teorema de
trabalhos virtuais aplicado aos corpos el5sticos. que diz ser o
trabalho virtual das forças externas igual ao trabalho virtual das
forças internas, para quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis
com os vínculos da estrutura. Temos:
Trabalho virtual das forças externas (cargas e reações):
Wext = P 6 (as reações não dão trabalho)
Trabalho virtual das forças internas (Wint):
Será igual à soma dos trabalhos virtuais de deformação de todos os
elementos de comprimento ds ao longo da estrutura e, como estamos
no regime linear e vale o princípio da superposição de efeitos,
será a soma dos trabalhos virtuais de deformação devidos a cada um
dos esforços simples atuantes na estrutura.
Teremos, então, no caso:
Wint = @dP + 1, FMS + Il ~ d h , ou, levandoem conta as
expressões da Resistência dos Materiais:
Igualandese, obtemos
expressão esta que resolve o problema.
a) Chegand*se à expressão final, verificamos que, para fm de
cáiculo dos trabalhos virtuais, tudo se passou como se a ~ i g .
1-3 nos fornecesse cargas e esforços e a Fig. 1-2 as deformações.
Por esta rafio, elas são denomi- nadas, respectivamente, estado de
carregamento e estado de deformação.
b) A escolha d o estado de carregamento deve ser tal que a carga P
associada à deformação 6 , que se deseja calcular, nos forneça um
trabalho Wtual
I 1 Cálculo de de fomqües em estruturas isostáticas
de forças externas igual a PE . Ele é, pois, funqão da deformação a
calcular e pode ser, comodamente, tabelado para OS Casos práticos
usuais. o que está feito na tabela I.
C) O estado de deformação pode ser provocado por: - carregamento
exterior - variação de temperatura - movimentos (recalques) de
apoios - modificações impostas na montagem Neste item, estudamos a
primeira das causas; as outras serão analisadas, de. forma
inteiramente análoga, nos próximos.
d) NO caso mais geral (estruturas no espaço), teríamos a
acrescentar ao tra- balho virtual das forças internas aquele do
momento de torção, que vale:
I I Jt o momento de inércia à torç%o da seção da peça e que está
tabelado,
I para as seções mais usuais, na tabela XVI. Notar bem que Jt + J
(mo- mento de inércia polar), para as seções mais gerais; só temos
Jt =.f, para
I algumas seçóes especiais, tais como círculos, anéis circulares.
etc.
Desta maneira, sob forma mais geral, o cálculo de. deformaçóes em
estruturas devidas a carregamento exterior atuante, é resolvido
pela expressão (Ll), instituída por Mohr,
I d o o estado de carregamento definido pela tabela I.
I e) Para as estruturas com que lidamos usualmente na prática,
podemos acrescentar as Seguintes informações, de grande valia na
simplificação do trabalho numérico d o engenheiro:
\ - A parcela a :
pode ser, usualmente, desprezada em presença das demais, com erro
minimo (somente em caso de vãos muito curtos e cargas muito
elevadas, a influência do esforço Cortante apresenta valor
considerável). - Também com erro tolerável, podemos desprezar a
parcela
para peças de estruturas que não trabalhem fundamentalmente ao
esforço normal. (E evidente que não o podemos fazer, pois, nosca-
sos de arcos, escoras, tirantes, barras de treliça, pilares
esbeltos e peças protendidas em geral.)
TABELA I - Esmlha do Estado de Carregamento
Deformacão 6 a calcular Estado de Carregamento
1. Deslocamento linear de um ponto rn numa direção A
G = 1
2 Rotação da tangente B elástica numa seção S
3. Rotação relativa das tangentes à elástica numa rótula,de 2
barras i e j
4. Rotação relativa das tarqentes à elástica em 2 secíies S e S' de
uma barra
p = - 5. Rotagão absoluta de uma
corda AB (ÃB= II
(nii = I ; CD = I2l
7. Variação do comprimento da corda que une 2 pontos A e B
- P= 1
-
C á i d o de deformqíks em estruturas isostátieas 7
0 uso destas sVnpIiifi&es deve ser feito, enfretanto. com muito
cri- tério e somente m casos induvidososS a fim de se evitar
possiveir mos grossebos Em caso de dúvida, devem ser computadas
numericamente todas as parcelas, a fim de ser possível a avaliação
de sua importância relativa.
f ) Conforme veremos mais adiante, para estruturas compostas por
barras retas de in6rcia constante, a resolução da
11 " se obterrl por um simples uso de tabela (V. tabela 11), em
função dos aspectos dos diagramas M e IÜ, o que simplificará
enormemente o trabalho num6nco dos problenqs a solucionar.
g) Queremos chamar a atenção para o fato de que os esforços foram
calcula- dos para o eixo indefomdo da estrutura. Quando atuar o
carregamento, este eixo se modificará, evidentemente, e os esforços
sofrerão uma variação que poderá ser desprezada, caso a deformação
sofrida pela estrutura seja pequena (o que, de fato, ocorre para as
estruturas usuais). É o que fmmos no caso e, portanto, em tudo que
se segue (bem como em tudo que se viu até aqui) estaremos estudando
a Análise EStniturd das pequenas defomaç6es.
1.2.1 - Apiiqóes imediatas
Ex. I-I - Calcular o deslocamento horizontal de D, para o quadro da
Fig. 14, que tem E3 = 2x 104 tm2 para todas as bar- ras. Em se
tratando de quadro plano, que trabalha fun- damentalmente à flexão,
teremos:
a) Da tabela I, obtemos o estado de carregamento da fig. 1-5:
b) Wtado de deformação
Curso de d i s e e s t n i t d I CXInilo de deformações em esmthuas
isost5ticm
c) Cálculo de 6: Sendo EJ constante, temos:
EJ6 = . M-ds = MMMMds + MM-ds + M-ds b b b b Como, para a barra QI
, M = O, a expressão se simplifica para
EJ6 = + b M M d S
Lembrando que cada uma destas integrais representa trabalho de
deformação na barra correspondente e, lembrando ainda que trabalho
independe do sistema de coordenadas adotado, podemos escolher
livremente, para cada barra, um sistema de coordenadas para fms de
cálculo das inte- grais. (E evidente que devemos nos guiar, nesta
escoiha, pelo critdrio de obtenção de funções de fácil integração.)
Escolhidas as abscissas indicadas nos diagramas, obtemos
finalmente:
(Os sinais negativos se devem ao fato dos diagramas M e tracionarem
fibras opostas, nas barras @ e @ .)
Interpretemos o resultado: sabemos que o valor 6 encontrado
simboliza o trabalho virtual pij = 1 x fj . Sendo seu sinal
negativo, indica que os sentidos de P e de 6 se opõem e o
deslocamento vale, portanto. 7,88mm, para a direita de D.
E r I-2 - Calcular a rotação relativa das tangente a ebt ica na
rótula C, desprezando o trabalho da barra curva ao esforço normal,
para a estmtura da Fig. 1-7.
(ES) tirante = 10%
Fig. 1-8
Sáo dados: (EJ) barra curva = 2 x I@&
(O sinal positivo indica que a rotação relativa 6 no sentido r ) .)
Ex 1-3 - Calcular a rotaçgo da corda BC da grelha & Fig.
1-10.
cujas barras têm
6 = 7,875 x 10.3 rad
(O sinal positivo indica que o sentido arbitrado para o estado de
carrega- mento corresponde ao da deformação.)
(Caso de compostas par barras retas com inercia constante.)
Seja o quadro da Fig. 1-13, cujas barras tEm as inercias constantes
1' indicadas na figura. A defornacão 6 devida ao trabalho i b ~ ã o
V&:
Temos:
a) Estado de carregamento: conforme o tabela I, vem:
Sendo Jc uma indrcia arbitrária, chamada inbrcia de compa- raça0
(que usualmente 6 arbitrada igual à menor das in6rcias das barras),
temos:
Em hinçáo dos diagramas M e M em cada barra, tabelaremos os valores
de:
Jc Ibarra
M M ~ S barra
que, somados para todas as barras das estruturas, nos darão o valar
EJc 6, a partir do qual se obtdm, imediatamente, o valor da
deformação s des?j&
Vejamos o caso geral a considerar, para estruturas compostas .por
barras retas:
Conforme a tabela I, vemos que os diagramas no 'estado de
carregamento serão sempre compostos de trechos retilíneos para
estmturas compostas por barras retas. Os diagramas M no estado de
deformação podem ser quaisquer (função do carregamento atuante). O
caso geral será, portanto, o cálculo do valor
sendo M retiiíneo e M qualquer. Temos, para uma barra de inbrcia Ji
e comprimento li, conforme indica a Fig. 1-14:
a + li Mxdx 6 o Da Geometria das Massas, sabemos que
a
momento eststico da rea M .em relação a0 eixo y, numericamente
igual ao produto da hrea A do diagrama M pela distância i de seu
centro de M gravidade ao eixo y. Ficamos, entáo, com:
Jc que desejamos tabelar C igual ao produto de - pela área d o
diagrama J;
qualquer e pela ordenada, na posição de seu ientro de gravidade,
lida no diagrama retilíneo.
A expressão 1-3 C atribuida ao nisso Vereschaguin. A partir dela,
podemos instituir os valores para os diversos casos
particulares apresentados na tabela 11.
A título de apiicaçZo imediata, estudemos os casos seguintes: a)
Combinação de M e retilíneos:
Fig. 1-16
Chamando-se I'Je = I : , de compiimento elástico da barra i
J:
e que é o compkmento fictício de uma barra de inércia J, que nos dá
a
mesma defonnaçáo da barra de comprimento l i e in6rcia J , ,
temos:
Os casos de diagramas triangulares e retangulares saem. eviden-
i
temente, como casos particulares deste.
b) Combinação de retilineo com M parábola d o 2P grau:
16 . Curso de anáiise estmtural Cáicuio de defotmaç&s em
estruturas isostáticas 17
1.2.3 - Aplicações às estnihuas usuais da prática
@I-?- Calcular a rotaçzo da tangente à elistica em E, para 1 a
estrutura da Fig. 1-17.
> L , ,., - Dado: EJ, = 2 x 104 tml
4m Fig. 1-17
Temos:
C) Cálculo de 6 :
- Para barra @
Fig. 1-18
18 a n o de análise eshtural
6 = - 1,4 x 104 rad (O sentido correto é, pois o
anti-horário.)
Observação:
No caso deste exemplo, a combinação dos diagramas poderia ter sido
feita diretamente, pois as parabolas terminam com tangente
horizontal que o esforço cortante é nulo), e este caso está
tabelado; não o fizemos, entre- tanto, para ilustrar o procedimento
a adotar no caso de tal não ocorrer.
Ex. 1-5'- Calcular a rotação da corda CD para a grelha da Fig.
1-20. São dados:
-- EJ - 2; ; H = 2 x 105 tm2 =-'t (todas as barras) ,
Fip. 1-20
Fig. 1-21
b) Estado de defornação
1"
:. 8 = 1,005 x l u 3 rad (O sentido arbitrado no estado do
carregamento está cometo.)
Ex. 1-6 - Calcular a rotação da tangente i elástica em A para a
estrutura da Fig. 1-23, que tem EJ = 104 tm2, constante para todas
as banas do quadro e cujo tirante tem ES = 0.5 x 104t.
. - Devido à simetria existente, escolheremos o estado de carre- g
e = gamento indicado na Fig. 1-24 e que nos fornecer8 como resposta
a soma da h, I' rotação em A com a rotação em B. igual ao dobro de
cada uma delas
L
a) Estado de carregamento:
Fig. 1-24 M = lmt M- lmt
Não importa o aparecimento de um esforço de compressão no tirante
no estado de carregamento, pois este não tem existéncia física
real.
b) Estado de defomlação:
Temos:
= -20 - 42,66 = - 62,66
6 A = -3.13 x 103 rad (sentido correto I? n)
1-7 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto C provo- ~ d o
por um encurtamento de 2 cm imposto ao tirante & Fig.
1-26.
a) Estado de carregamento l t E F
b) Estado de deformação: Dado pelo encurtamento de 2 cm n o tirante
(M.yN= Q=O, pois trata-se de uma estrutura i~o~thtica, que 6 livre
à deformação).
c) Cálculo de 6 : Trabalho virtual das forcas extemas:PS = (11 6 2
Trabalho virtual das forças internas: Ntir. ncUtamento =
= fl t (-2 cm) - Igualando, vem: = - 2 4 2 cm (sentido correto:
)
Ex. I-8 - Para a treliça da Fig. 1-28, cujas barras têm, todas, ES
= 104t, pedem-se:
I?) Calcular o deslocamento vertical de A para o canegamento
indicado. \
20) Calcular que modificação de comprimento deve ser dada i barra a
durante a montagem para que, quando atuar o carregamento, o pontoA
fique no mesmo nível de B.
3m Fig. 1.28
a) Estado de deformação b) Estado de carregamento
F i g C29
NF~S r. ES 6A = X (NS Ib,) bana
Organizando um quadro de valores, temos:
1 NO ta: , I Se cada barra tivesse área diferente teríamos,
evidentemente
1 2P) Cálculo da variação de comprimento da barra a : Nosso
objetivo com esta variação de comprimento é fazer com que o ponto A
tenha uma deformação de ( - 6 A ) para que, quando for somada i
defor-
I mação 6 A devida ao carregamento, a deformação final seja nula e
t e nhamos 0 ponto A no mesmo nível de E.
Formulemos o problema em termos de teorema de trabalhos
virtuais:
Empregand- o mesmo estado de carregamento do item ante- rior, vamos
dar uma variaçzo virtual 6' de comprimento 3i barra @ tal que o
ponto A tenha um deslocamento (tambCm virtual) de (dA) .
Teremos:
Trabaho virtual das forças externas: = -(1t)(1,05 cm) Trabalho
virtual das forças internas: B56' = (- f l ) 6'
Igualando, obtemos: 6' = m= 0,74 cm \rr
24 Curso de análise estrutural
A barra 5 deve ser montada, pois, com um comprimento 0,74 em
superior ao seu comprimento teórico.
a) Este exemplo visou mostrar a forma pela qual podemos dar
contra-flechas em treliças, que consiste em montar alguma(s) de
suas barras com uma variação adequada de comprimento.
b) O problema pode ser resolvido variandc-se o comprimento de
qualquer (quaisquer) bana@) da treliça, desde que seu esforço
normal N seja diferente de zero.
1.2.4 - Casos de barras com inércia variável
Para calcular fl?
para barras de inércia variável, dividiremos nosso estudo em 3
casos:
1.2.4.1 - Barras curvas com inércia variando segundo a lei I J
m
J cos V = I (conforme a Fig. 1.31):
Fig. 1-31 -. f-
Jm Temos J =- sendo I,,, a inércia na seção de tangente hori- cos
V
I
zontal. Dai vem:
dr COS '4 = MMdx (1-4) EJc 6 = Jc md~ - jC 1: " - i. - J m J
m
cos 'P
I.' Tudo se passará, portanto, como se a barra tivesse
comprimento
I, inércia constante igual a J , e, para fins de combinação dos
diagramas,
eles deverão ser traçados a partir de uma reta horizontal, podendo
ser aplicada a tabela I1 (pois a integração dos mesmos se fará ao
longo do eixo dos x, conforme 14, e não ao longo do comprimento da
barra curva).
Ex 1-9 - Calcular a variação da corda CD para a estrutura da Fig.
1-32,
Sáo dados:
J~ . sendo JM = 2 Jc Barra curva: J =- tos P
4m
I
Temos, desenhando os diagramas na barra curva a partir da reta
horizontal de substituição:
a) Estado de carregamento:
b) Estado de deformação:
c) Cálculo de 6 : As combinaçóes de diagramas nos fornecem:
Paraasbarras a e 0: 2 ~ ' ~ 4 x 2 ~ 16 = 85,3 3
curva (l"8 rn)
6 = 1.37cm (a corda aumenta).
1.2.4.2 - inércia variando em mfsula
Emprego das tabelas III a X V p m cilculo de Jc
Para barras cuja altura varia segundo as leis esquematizadas na Fig
E35 (mantendo-se constante a outra dimensão). divenos autores tabe-
laram os coeficientes necessários i obtenção de deformações
(tabelas 1V a XV) provocadas pelos carregamentos usuais (cargas
concentradas e uni- formemente distribuídas).
Não nos deteremos aqui apresentando justificativas para o
roteiro
Cglculo de deformap" em estruturas isost8ticas 27
a adotar quando do emprego dessas tabelas, pois o problema
(tebrico) já está bem definido e o caso em questão 6 , apenas. o
cátculo nu-
mds que ser8 feito dentro do roteiro de eálculo mbrieo de .i,
-;-I
J * instituído por estes autores, resumido na tabela 111, para as
leis de variação de altura da barra indicadas na Fig. 1-35 (que são
as leis de variação de altura mais usuais para pontes com inCrcia
variável).
As leis de variação de altura tabeladas2 sxo: I a) Misula reta
assimétrica
I 1 .
+ a -4 I
. ar.- $ - 3 "*.a
0 g.5: : S E i z g E $ ? E;! g E E C;? gsz $65 c R * 23- *"- m * z
e 9 3
o :,a - a * --"?--a ... --- - 8 - 8:s m m - --. .-L- 0"- " W
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- "" n -.-- --- $;r zzn ~ $ 5 gsz ; + ? I K ~ C 22- e? - e 3 5 8 -
3 :;E ;s+ ~ ~ 3 s D -
T A B E U XII
-*h- 4,. .h
J A ' ~ ' 9.n
aplicaçóes seguintes esclarecerão: 1-10 - Calcular o deslocamento
vertical de A para a viga de
Fig. 1-36. Todas as banas são mísulas retas com /,,,in = e = 5
J,.
E dado EJc = 2 x 104 tml.
B C Fig. 1-36
42 CURO de análise estrutural
Para a barra a 3 Jc (mls reta assimdtrica): A = - = 1. n = -- 3 ' -
0,2; 1' = I -- =
5 Jc J~ 3 m
Jm,
Tab. IV - 3 x 3 ~ 4 . 5 x O,W8 = +4,0 al=o,098
Tab. VI11 - -3xlx9r3x0,0153 al=o,ol 53
Obsemçóo:
Note o leitor que basta conhecer a linha de fechamento do diagrama
M para o cáiculo de S.
Para a barra a (mis. reta simdtrica): X =
/ 3mt
Tab. VI --r 1 2 ~ 3 ~ 4 . 5 ~ 0 . 2 4 1 =+39.1 a=0,241
-, S 4 + + + + )
I tlm Tab. X - -3 x 1 x 12' x 12 x 0,038 = -197.2 ai -0,038
A 3mt A
EJ, 6 =4,0 - 1,2 + 39,l - 197,Z - 126,2 = -281,s ' & = - 1,4cm
(o ponto A sobe). . .
EX 1-11 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto A para o
quadro da Fig. 1-39. Todas as banas têm a inércia máxima igual ao
quíntuplo da mínima, sendo que as barras verticais têm Jmín = Jc e
a horizontal
Jmín = 2 J,. 6 dado EJc = 104 tm2.
Fig. 1-39
(ObserwçZo preliminur: Para se definir o valor extremo da inércia
de uma barra, devemos prolongar sua lei de variação até o eixo da
próxima barra, definind-se a altura extrema por esta interseção,
conforme está feito na Fig. 1-39.)
Temos:
a) Estado de carregamento
44 Cuiso de anáiise e s t~ tu r a i
b) Estado de deformação
Para a bana , @ :
(mís reta simétrica): 81 = 2 = 0,2; = 0 , ~ ; 1. = 5 1 o
Para a barra @ :
nc 6 = 197 + 49 = 246
.'. 6 = 2,46 im (para a esquerda)
1.2.4.3 - Caso de variação aleatória da inércia
NO caso da inércia náo variar segundo nenhuma das leis estudadas
anteriormente, teremos que calcular
por integraçáo aproximada.
O problema será, pois, calcular - Jc 1, qdx sendo q = h@f -.
J
Uma das maneiras de resolvê-lo será através do emprego da regra de
Sipson: Dividindo-se o v%o 1 da barra num número n (par) de
intervalos
Ax. temos:
A aplicação seguinte esclarecer.5.
Ex l-12- Caldar a rotação da tangente à elástica em A para a viga
da Fig. 1-42. submetida ao carregamento indicado. A seção é
retangular, com base de 40cm e altura variável conforme a figura. É
dado: E = 2,l x 106 t1m2.
4 i I r A i 6 0 4 x 1 ~ - Adotando EJc = 2.1 x 10 x - L - 12
< . I . , . , . - 4 = 7 x 10 tm*. , , I ' . '
. . . . - . . . . , temos:
106
18 Fig. 1-42 0121
Vem, en t~o: E J ~ 6 = 387,4 x&= 2 387.4 = 258 2 = 387.4 3 3 :.
6 = 3,68 x 1 0 - ~ rad
TABELA XVI - CÁLCULO DA I N ~ R C I A J ~ A TORÇÃO
O b s e ~ f l o : Para peças de concreto armado, dependendo d o
grau de fissuraçá0, a inércia Jt torção pode cair para at6 15% dos
valores indicados nesta tabela.
1.3 - Cálculo de deformações devidas à variaç-Sode
temperatura
Seja a estrutura isostática da Fig. 143, cujas fibras externas so-
frem uma variação de temperatura te e cujas fibras internas uma
variação ti em relação à temperatura d o dia de execução da
estrutura. Ao lon- go da altura das barras da estrutura, a variação
de temperatura entre as fibras externas e internas pode ser
considerada linear (os ensaios em labo- A t- h '.
Fig. 1-43
Estado de ddoimaqão: Erforto. nulos Defornafim relativsr J d p = a
6. - te) ds
I d h = O h
ratório assim o autorizam), de modo que, no estado de deformação,
duas seções distantes de ds tendem a assumir a configuração
deformada de Fig. 1-44.
Vemos então, que duas seções distantes de ds sofrem um mo- vimento
relativo composto de .duas partes:
a) deslocamento axial relativo de Ads = arg ,ds, sendo tg a
variação de temperatura no centro de gravidade em relaçáo ao dia de
execução.
Fig. 1.44
-
b) uma rotação relativa dip = i t e c r ~ t h ds =-- h ds,
sendo or o coeficiente de dilataçzo linear do material.
Suponhamos, para fm de raciocínio, que desejemos calcular O
deslocamento do ponto m da direção A : O estado de carregamento
seri o da Fi& 1-45 e o teorema dos trabalhos virtuais se
escreverá, então, quan- do dermos a todos os pontos da Fig. 1-45
deslocamentos virtuais exata- mente iguais aos provocados pela
variação de temperatura:
Fis 1.45 - Estado de mrmmsnm:
Supondo as barras com seção constante, temos:
se identificam com as áreas dos diagramas de esforço normal e de
momento fletor no estado de carregamento e temos. então: - n P S =
a t g A - + % N h AR (Sendo as barras de seçzo constante)
(1-5)
A Observações: I
I?) Se as barras não tiverem seção constante, teremos eviden-
temente:
F6=oi \ / N t g d s t a A t k (1-6)
2.O) Para emprego das expresses (1-5) ou (M), a d o t a r e m
m
seguintes convenções de sinal:
fi $erii positivo quando de tração - j@ serh positivo quando
tracionar as fibras internas da estru-
tura - As variações de temperatura ti, t , tg serão positivas
quando
se tratar de aumento de temperatura (notar que Ar = (ti -
te).
3.0) O valor de 6 não 6, evidentemente, afetado pela existêc- cia
de esforços cortantes ou momentos torçores no esta- do de
carregamento.
As aplicaçües seguintes esclarecerão:
O 1-13 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto B se a
estmtura da Fig. 146, cujo material tem
a = 10.5 /OC
e cujas barras têm seção retangular de 0,s m de altura, sofrer a
variação de temperatura indicada na figura, em relação ao dia da
sua execução. e:.-"II
"O." +... . rg-+3O0C
Fig. 148 Fíg. 1.47
Sendo diagramas IÜ e N no estado de carregamento, os in- dicados na
Fig. 1-48, teremos, levando em conta a expressáo 1-5, e o esque ma
da Fig. 1-47:
O ponto B se deslocará, pois, de 6,58 cm, para a direita.
Ex 1-14 - Calcular as defomaçCks seguintes, para a grelha de Fig.
149, cujas barras têm seção retangulir de 0,s m de altura e cujo
material possui
a = l o - S / ~ c ,
se suas fibras superiores forem aquecidas de 20 OC e as inferiores
tiverem mantida a sua temperatura em relação à do dia de sua
execução.
A Fig. 1-49 + 4m -+' 1.O) Rotação da corda BC perpendicular ao
plano ABC.
2.0) Deslocamento do ponto C na direção BC.
Temos:
1.O) Cálculo da rotação de BC perpendicular ao plano ABC Sendo o
estado de carregamento o de Fig. 1-50, obtemos:
2.') Cálculo do deslocamento de C na direção BC: Trata-se do
cálculo de uma deformação numa estrubira plana devida a
("O plano da estrutura náo h& variação relativa de
temperatura). ~ ~ m ~ ~ , a partir do estado de carregamento de
Fig. 1-51: /
Fig. 1-52
A
Devido à simetria, sabemos que as m t a ç b em A e em B S o iguais
e tmios, entxo, a .partir do estado de carregamento da Fig.
1-53:
N - O M= l m t
l m t M= l m t l m t -
A rotação da tangente à elistica em A vale, então a n R t ,
h-
no sentido horário.
( A, = 0)
Seja calcular o deslocamento do ponto m na direção A , devi- do a
uma variação uniforme de temperatura tg atuante, para a estmtum de
Fig 1-54:
Temos, a partir de 1.6:
sendo r$ o hgulo formado por RA com a tangente ao eixo d a
estrutura numa seção genérica do trecho A - rn e y o ãngulo entre R
g e a tangen. te ao eixo da wtruiura numa seção genérica no trecho
B - m.
Ora, as integrais acima podem ser reescritas sob a forma
-, = Trabalho realizado por RA ao percorrer a trajetóna A - m
-+ = Trabalho realizado por RB ao percorrer a trajetória B -
m
ado de ,jefotmaç&s em estruturas isoststicas 53 I se tratando
do regime elástico, estamos diante dc um cam .~
po conservativo, para o qual sabemos, da Mecinica Racional, que o
traba- lho independe da trajetória, dependendo apenas de seus
pontos extremos. L ~ ~ ~ , as integrais ser calculadas para
qualquer trajetória que cm. tivesse os oontos A, B, rn Tal nos
permite concluir:
pma o cólmlo de deformação numa estrutura isostórica devida
o ,, wnnyóo de temperatura. podemos substituir a eshutura
e por oum desde que contenha os mesmos vínculos e pon- tos de
aplicgcão de cargo do estado de crnregomento.
1-16 - Cdcular o deslocamento horizontal de B devido a um aumento
uniforme de 20 OC, para o quadro de Fig. 1-55.
I n-B i mo: oi = 1o-s/oc
A
7 10m Fia. 1-55
0 s pontos indiinsáveis de passagem da estrutura de substitui- ç%o
S o os v i n d o s (A e 8) e pontos de aplicação de carga no estado
de carregamento (E, no caso). Ficamos, então, com:
6 = a t g A ~ = 1 0 - 5 X ~ O X 10 = 2 mm
(para a direita)
E* 1-1 7 - Caldar a variaçXo de comprimento da wrda AC devida a m a
diminuiçáo de 3 0 0 ~ . para a es- trutura de Fig. 1-57.
I 54 Curso de análise estmtural
Fig. 1-57
A estrutura de substituição mais conveniente no caso seri a de Fig.
1-58. a partir de qual obtemos:
ado & defOnneqõcs em estruturas isostáticas 55
A de substituição mais conveniente será a de Fig. 1-60.
a partir de qual obtemos:
Fig. 1-60
6 = 10-5 (-301 (-1 x 51 = 1.5 mm de encurtamento I
1.4 - Cáicuio de deformações devidas a movimentos (recalques) 6 = 1
0 . ~ (-30) (-1 x -@) = =,o2 mm dos apoios
(encurtamento) seja a estrutura de Fig, 1-61 cujos apoios sofrem os
re~dques
co&ecidos3, nela indicados. Se quisemos calcular deformações
provocadas J P = l t por esses recalques, já sabemos como instituir
o estado de carregamento e
já sabemos que daremos, neste estado de carregamento, deformações
vir. A tuais a todos os pontos da estrutura exatamente iguais às
existentes noes- tado de deformação.
- - - - I
Fia. 1.68 - I r- I A jTIB '' '18 - c d ~ d a r a r u i a ~ l o de
comprimenm da mrda BD
devida a uma diminuição uniforme de30 OC, para a ' -)PAV r*,, o--+
4" estrutura de Fig. 1-59: Dado: ct = I O - ~ / O C Fie. 1.61 -
Estado dedeiwmsqio lh foyra a d d o r m w õ ~ nditivas nula) 1 Fig.
1.59
+ 2m X 2m +-
Aplicando, então, o teorema dos trabalhos virtuais, teremos
qualquer que seja o estado de carregamento:
Trabalho virtual das forças externas: P6 t Z RP, sendo R as mações
de apoio no estado de carregamento e P os recalques a elas cor-
"SPondentes no estado de deformação.
Trabalho virtual das forças internas: nulo, visto que as
defor-
3 Calculados p l a Mecânica dos Solos
56 Cum de mase estrutural
mações relativas no estado de deformação são nulas.
Igualando o trabalho virtual das forças externas ao das forças
internas, obtemos
P6 = - Z R p (1-7). expressão que resolve o problema.
Ex. 1-19 - Calcular a rotação relativa das tangentes 'a elástica em
E devida aos recalques indicados, para a estru- tura de Fig.
1-62.
Fig. 1.62
Temos as reações R no estado de carregamento indicadas na Fig.
1-63, a partir das quais obtemos, pelo emprego da expressão
1-7:
(O sentido arbitrado foi correto.)
Ex. 1-20 - Calcular o deslocamento vertical do ponto A da grelha da
Fig. 1-64 devido a recalques verticais de cima para baixo de 2 cm
em i3 e F e de 4 cm em D.
Aproveitando a simetria, as reações de apoio no estado de car-
~sgamento são as indicadas na Fig. 1-65, a partir das quais
obtemos:
2 a A = - E R p = - 2 x 1 ( - 2 x 1 0 - 2 ) = 4 x 1 0 - 2 m
O ponto A descera, então, de 2 cm.
ibserwçâò: Os recaiques de apoio ocorrem, evidentemente, devido ao
carre- gmento atuante; para calcular as deformações que o conjunto
karregamen- o + recalques)-provoca na estrutura, preferimos usar o
principio da super- msição de efeitos, calculando inicialmente,
pela expressão (I-I), as defor- nações devidas somente ao
carregamento e, a seguir, pela expressão (1-7), iquelas devidas aos
recalques. somando finalmente os dois resultados obtidos.
1 - Cálcdo de defomsçks em vigs retas - Rocem de Mohr
Embora se tratando de um caso particular, desemiolveremosnes te
tópico um processo, idealizado por Mohr, que nos permite obter,
sem
aplica~ão do teorema dos trabalhos virtuais, a elástica de uma viga
reta .A ênfase especial que atamos dando a este caso particular se
justifica pe- la grande incidência com que ocorrem, na prática, as
vigas retas e pela pos- Qbilidade que este processo oferece de
obtermos, de uma sb vez, a elástica.
Sabemos, da Resistência dos Materiais, que a rotação relativa
devida flexão, de duas seções de uma viga distantes de ds é dada
por "P=& conforme indica a Fig. 1-66, E J '
58 Curso de análise estrutural
V I Fig. 166
Por outro lado, do Cálculo Intinitesimal, sabemos que a
d9 curvatura de uma curva plana y = y(x) igual, por definição à
relação - ds para a curva - referida a um sistema xy como o de Fig.
1 6 6 6 dada por
dP - = - Y" ds ( 1 + ~ ' = ) ~ / 2
A elâstica y = y(x) de uma viga fletida seri, então, obtida
da
equação diferencial - Y" = -. M Como estamos tratando da (1 +
y'2)312 EJ
Análise Estmtural no âmbito das pequenas deformaç&s, o valor y
g pode ser desprezado em presença de unidade e teremos, ünalmente,
a equa- ção diferencial da elástica para vigas retas dada por
-
Observando a analogia matemática entre a equação diferencial
da elástica (1-8) e a equação diferencial fundamental da Estática
$.$ = - 0 ,
dxL Mohr teve a genial idtia de encarar y como sendo o momento
fletor numa viga (a que chamaremos viga conjugada, e cuja
determinação d e p e n d e da análise das condições de contorno do
problema), carregada com uma car- ga distribuída cuja taxa de
distribuição t M , sendo M o momento fletor atuante na viga dada.
EJ
Empregando-se o processo de Mohr, estaremos fazendo as seguintes
analogias:
Resumindo, temos: Rotação na viga dada = Esforço cortante na viga
conjugada Deslocamento vertical da viga dada=Momento Fletor na
viga
conjugada
A determinação da viga wnjugada será guiada pelo respeito às
wndiç&s de contorno d o problema dado, em função da formulação
adota- da para sua resolução (encarar a elástica como um diagrama
de momentos fletores na viga conjugada) e resultará de uma simples
transformação dos vinculos da estrutura dada conforme indicam os
exemplos a seguir:
a) Seja, por exemplo, um apoio extremo do l? gênero A exis- t en te
na viga dada conforme indica a Fig. 1-67. Sabemos que a seção da
viga situada sobre o apoio d o l?gênero terá deslocamento vertical
nulo (y = O) e rotação livre (9 # O), já que este apoio só impede
deslocamento vertical. Assim, devemos ter na viga conjugada em A um
vínculo tal que t e nha momento fletor nulo (pois este representará
o deslocs
Ae-$ Fig. 1-67
mento vertical de A) e esforço cortante diferente de zero (pois
este representará a rotação que sofrerá a seção); este vínculo
será, então, outro apoio extremo do 1P gênero.
b) Seja, agora, .uma rótula intermediária B existente na viga da-
da, conforme indica a Fig. 1-68, A seção B poderá sofrer um
deslocamento vertical (já que não existe apoio do I? gênero sob
ela) e terá rotações das tangentes à elástica diferentes à
B Fig. 1-68
esquerda e à direita da rótula (pois que a mesma libera as rotações
de um lado da viga em relação ao outro). Assim, devemos ter em B,
na viga conjugada, um vínculo tal que apresente momento fletor
diferente de zero e esforços cor- tantes diferentes à sua esquerda
e direita; este vinculo será, então, um apoio intermediário do l'?
gênero.
Raciocinando de maneira inteiramente análoga para todos os outros
tipos de vínculos que podem aparecer numa viga reta, teremos ins-
tituída a tabela XVII, através da qual passaremos da viga dada à
viga w n - jugada. (Nesta tabela indicamos na coluna extrema da
direita, a titulo de explicação, as condições de contorno que
guiaram esta transformação de
- . vinculo.)
Ficando determinada a viga conjugada o problema está, então,
resolvido.
Obsemções: a) A viga wnjugada de uma viga isostática será sempre
isos- tática Os exemplos das Figs. 1-69 a 1-71 esclarecem.
60 Cuiso de análise estmtural U(lculo & deformaç&s em e s t
m t u m isostáticas 61 - 6----7 .e,h. ,,,,, ,,,, , ,,I,,
b) A viga conjugada de uma viga hiperestática será hipostática (a
não ser L ,.,., ,~,.~.. Fip. 1-69 em alguns casos de vigas
hiperestáticas, submetidas a determinados recal-
ques de apoio, conforme os exemplos 1-26 e 1-28 deste capitulo),
mas seu - v,,,8 ,,,,,c,, nipi 1-70 canegamento MJEJ será sempre tal
que a viga conjugada fique em equili. ",,/I I"I.IU,.,<I., brio
(impondose esta condição às vigas conjugadas das vigas
hiperestáticas
n lI1lI., ãig. 1.71 - u,+n co,,,n,e., restáticas, conforme
ilustrarão as aplicações feitas no item 2.1 deste tópi-
ficaremos,até.emcondiçóes de obter diagramas solicitantes em vigas
hipe-
co), pois, como existe uma deformada real, estável, para uma viga
dada hi- perestática, e w m o esta deformada é obtida a partir de
sua viga conjugada, esta última terá que estar submetida sempre a
um carregamento em equi- líbrio.
Tabela XVii - Transformação de vínculos para obtenFo da viga
conjugada
N~~ ~ i g s . 1-72 e 1-73 apresentamos exemplos deste tipo de vi-
gas wnjugadas. -
viga dada viga conjugada
Fig 1-73
c) Quando formos carregar a viga conjugada com o carregamento cuja
taxa de distribuiçáo é = - M , sendo M o momento fletor atuante na
viga da-
EJ da, a um momento fletor M positivo na viga dada (tracionando as
fibras inferiores da viga) conesponderá, evidentemente, uma carga
distribuída 9 Positiva (de cima para baixo) na viga conjugada. d) O
metodo de Mohr se aplica integralmente, às vigas com inkrcia
variá-
vel. Neste caso, apenas, as funçóes q = serão mais complexas.
EJ
Ex-1-21 - Fazer um esboço da elástica para a viga da Fig. 1-74 que
tem EJ = 104 tm2, cotando seus valores extre- mos:
A partir da viga conjugada, carregada com E . o b t e m o s a
EJ
62 Curso de anáiise estrutural
I I I I
I I 1 I
I I 'Mviga dada
I I I
I I
1 I
I I I I I I I
M 1 9 = -
I I
I I
I I
3,6mm p,u~ 3,6mm
elástica pedida, representada na própria Fig. 1-74.
Notar que os trechos AB e DE da elástica são retilineos; en- quanto
que os. trechos BC e CD são parábolas do 3.O grau, simétricas uma
da outra e que concordam em C.
Os valores extremos pedidos são:
2.0) Calcular os deslocamentos verticais de A e E;
3.0) Calcular a rotação da seção B;
4.0) Calcular a rotação relativa das tangentes ê elas- tica em
C.
I ! ~ ~ i g s dada
1.O) Aspecto da elistica:
Ex. 1-22 - Para a viga da Fig 1-75, que tem EJ =103 tm2,
pedem-se:
Encontra-se esbqado na própria Fig. 1-75, onde indica- mos tamMrn a
viga conjugada carrezada com q = .!!! . Chamamos a
~ - - 1.O) Esboçar o aspecto da elástica; LI
64 Curso de anáüse estrutural
atenção para a simplicidade e conveniencia da obtenção prévia do
aspec- to da elástica, pois que ele nos fornece todos os sentidos
corretos de deformação, restando-nos calcular apenas seus
aódulos.
2.0) Deslocamentos verticais de A e E: A 3 1 3 y ~ = M ~ ~ ~ ~ ~ ~
j = 4 ~ 1 0 ~ ~ 3 + ~ ~ 3 x l O . x 2 = 1 5 x 1 0 - ~ = 1 ~ m
m
E - 4 ~ . 1 0 - ~ ~ 3 + 1 0 - 3 X-=16,Smm 3* YE ="viga conj -
2
3.O) Rotação em B:
VB = conj = 4 x 10.3 rad (o sentido está indicado na figura; no
caso, é o anti-horário)
4.O) Rotação relativa em C:
- Vesq CeSq Cdir C - C + @$r = 1 Qviga conj I + I Qviga conj
= 8 x i r 3 rad ( o sentido está indicado na figura).
2.1. - Aplicação do processode Mohr h vigas hiperestáticas
(Obtenção de diagramas solicitantes e deformaçües)
Ex 1-23 - Obter o diagrama de momentos fletores para a viga
biengastada da Fig. 1-76, que tem inércia constante.
mq A-B Fig. 1-76
I I
O aspecto do diagrama de momentos fletores, levando em con. ta a
simetria da viga deverá ser o da Fig. 1-77, bastando, pois,
conhecer o valor de M para ficar determinado.
Mh$4~ Fig. 1-77 - Aspecto do diipmna daaido.
Passando à viga conjugada, que será a haste livre da Fig. 1-78.1.
para que a mesma esteja em equilíbrio (O que nos possibilitará
escrever. para a viga conjugada, que MA = MB = O e QA = Qg = O, o
que deve
ocorrer, pois sabemos que y ~ = y ~ = O e VA = ' 4 ~ = O, para a
viga
dada), o carregamento deverá estar auto-equilibrado. A condiçgo XY
= O,
M
a partir da decomposição indicada em 1.78.2, nos fornece: " -
O diagrama de momentos fletores pedido ser& então, o da Fig.
1-79.
(i-
Fio. 1-79
E r 1-24 - Obter os diagramas solicitantes para a viga hiperes-
tática da Fig. 1-80. que possui indrcia constante:
A Fig. 1-00
I
O aspecto do diagrama de momentos fletores sendo o da Ffk 1-81, a
determinação de M se fará impondo condições de equilíbrio 3 viga
conjugada carregada ccm M/EJ, indicada na Fig. 1-82.1.
Fig. 1-81 - Aspano do diignma de momantm flammi daaido. "8'
--
Q,: ~-
1-82.1 F i g . 1-82
A partir da decomposição do carregamento atuante na viga con-
jugada feita em 1-82.2, a condiçáo de momento fletor nulo na rótula
B (pois em B devemos ter M = O na viga conjugada, já que y~ = O
para a viga dada), nos fornecerá: -
4IL donde obtemos M = -.
8
A partir desse valor, os diagramas solicitantes e reações de apoio
para a viga dada são os indicados na Fig. 1-83.
E* 1-25 - Para a viga da Fig. 1-80, obter a rotação da tangen. te à
elástica em A. Imediatamente, podemos escrever, a partir da Fie. -
1-82.2:
13 conjugada = 2 -g3 - & =L, 'PA = QA 3 8EJ 48 /3
no sentido horário .
Ex. 1-26 - Obter o diagrama de momentos fletores para a viga de
Fig. 1-84; que tem vão / e rigidez EJ, devido ao recalque angular 8
nela indicado (EJ = constante).
ti - Fig. 1.84
O aspecto do diagrama de momentos fletores desejado na viga :stá
indicado na própria Fig. 1-84 ( MB deve ter, evidentemente, o
sentido i0 recalque 8).
A B A A Viga conjugada
Passemos, agora, à viga conjugada, para a qual iremos igualar o
?sfor~o Cortante em B ao valor de 8 (rotação da seçáo). O apoio do
1.' 3ênero existente em A (como não sofre recaiques) será
transformado em 'P io do 1.' gênero, de acordo com nossa tabela
XVII de transformação de vínculos. Já o apoio B, como sofre
recalque, não pode ser transforma- i0 P r emprego da tabela XVII e
deve ser analisado para o caso.
NO ponto B (viga dada), temos:
Sendo assim, devemos ter na viga conjugada um vínculo q u e nos dê
cortante e não dê momento. Será, então, um apoio do 1.0 géneros
também. Ficamos, portanto, com o esquema da Fig. 1-84 para' o
qual,im. pondese as equações de equilíbrio, temos, por Z: MA
=O:
O problema está, então, resolvido, e o diagrama de momentos
fletores na viga devido ao recaique angular e é o indicado na Fig.
1-85.
E x 1-27 - Obter os diagramas solicitantes na viga biengastada de
vão 1 e rigidez EJ, submetida ao recalque verti- cal p em 6 ,
indicado na Fig. 1-86 (EJ = constante).
Fig. 186
EJ
O aspecto d o diagrama de momentos fletores na viga dada e s 6
indicado na Fig. 1-86, Determinemos, então, a viga conjugada: O en-
gaste A (que não sofre recalque) se transformará numa extremidade
livre; 0 engaste E, que sofre um recalque vertical (e para o qual
temos, portan- to, yg = P e V6 = O) deve se transformar num vínculo
que nos dê mo- mento (o qual valer5 P ) sem nos dar cortante e
deverá ser o indicado na Fig. 1-86.
Impondo as equações de equilíbrio A viga wnjugada, temos:
Cdldo de defonnaçócs em estruturas isostátiess 69
2 Y = O . . . MA = M6 (visto não existir cortante em 6, o próprio
car- regamento tem que fornecer resultante nula).
EM = O . . . . P = x 3 x 1 x 2 1 (ou seja, o carregamento 2 E J 2
3
nos dá um binário, que deve ser absorvido em B. devendo o momento
fletor em B ser igual a'p).
EJp e os diagramas solicitantes serão os da Dai obtemos: MA = M6
=---
F i a 1-87. I'
6 E J p 6 E J p - 4 / ) I'
- l2
l 3 I" Fig. 1.87
Obse7vação: Os resultados destes dois Últimos exemplos serão de
grande importância no estudo do m6todo das deformações, conforme
verá o leitor no Vol. 111 deste Curso.
Ex. 1-28 - Obter o diagrama de momentos fletores provocado pelos
recaiques verticais indicados, para a viga da Fig. 1-88, que tem
rigidez EJ, constante .
c 1 -+ 31 -t I + A A.
E C O
2MBl
70 CURO de anáiise estrutural
Devido à simetria existente, o aspecto do diagrama de momen- tos
fletores na viga dada será o indicado na Fig. 1-88, Para a viga
conju. gada, os apoios A e D se mantêm e os apoios B e C, que
sofrem recal- ques, e para os quais temos
devem ser substituídos por um vinculo tal que nos d6 momento (igual
a p )
e que nos dê Qesq = Qdir , obtendo-se, entxo, o esquema indicado
na
Fig. 1-88.
Impondo-se a condição de momento íietor igual a p em B e C na viga
conjugada, obtemos:
O diagrama de momentos fletores pedido6,entãoodaFig. 1-89.
Fig. 1.89
6 E J p - 11 lZ
Ex 1-29 - Para a estrutura do exemplo anterior, calcular a ro-
tação da tangente à elástica em A.
Temos. evidentemente:
3 - Cálculo de defomqóes em trrliças planas - Rooesso de
Wiiiiot
Assim como apresentamos, no tópico 2 deste capítulo, um processo
particular visando à determinação da elistica de vigas retas (pro-
cesso de Mohr), apresentaremos neste tópico, um processo ideaiizadb
pelo engenheiro franc6s WiUiot, que permite a determinação dos
deslocamentos de todos os nós de uma treliça plana.
de defornações em estruturas isostiticas 71
Os fundamentos do processo de Wüiiot podem ser compreendi- dos
wnsiderandese a treliça ABC representada na Fig. 1-90 que, para
O
carregamento indicado, ter5 suas barras AC e BC comprimidas e a
barra AB tracionada. Cada uma destas barras sofrerá, em função do
aforço nor- md Ni nela atuante (proia.ado pelo carregamento
indicado), uma variação
Ni li de comprimento Ai = -- (no caso, A, e 4 serão
encurtamentos
E Si e A3 será um alongamento). Conhecidas estas variaçóes de
wmprimento A i , a configuração deformada da treliça pode ser
determinada da seguin- te maneira, conforme indica a Fig.
1-90:
Inicialmente, removeremos o pino (rbtula) do nó C e permiti- remos
a variação A 3 de comprimento da barra AB; isto provocari um
mo-
i vimento da barra BC (agora desligada da barra AO, que se
deslocará para- lelamente a si própria, passando a ocupar a posição
B'C. Permitindo, ag* ta, às barras AC e B'E suas variaçaes de
comprimento A1 e A2, respecti- vamente, as extremidades C e C
passarão a ocupar as pmiçDes C1 e C2
I indicadas na Fig. L90. Para podermos rewlocar o pino (rótula)
ligando as barras 1 e 2, é necessário fazer com que as extremidades
C1 e C2 dasbar- ras 1 e 2 coincidam novamente, o que é obtido
girando AC1 em tomo de A e B'C2 em tomo de B' até que os arcos se
interceptem em C', posição deformada final do n$ C da treliça. AB'C
é, então, a deformada da treli- Ça da Figa 1-90 submetida ao
carregamento indicado e, a partir dela, pode- mos dizer que o nó ü
sofreu um deslocamento hodzontal Sg- BB' e o nó C um deslocamento
6C= CC' , definidos na ~ i g . 1-90, Este processo máfico seria
perfeito não fosse o problema das deformaçües serem muito
Curso de análise estrutural a n d o de deformações em estruturas
isostáticas
pequenas em presenca das dimensões da treliça, o que nos obrigaria
ao liot para chegarmos a cada novo ponto. Nos casos em que isto não
ocorrer emprego de escalas enormes para desenho, a fim de se ter
alguma precigo (ver exemplo 1-33). calcularemos previamente alguma
(s) deformação, apli- lios resultados, o que é impraticável. (No
caso da Fig. 1-90. indicamos as ,.,,do o teorema dos trabalhos
virtuais de modo a poder iniciar e (ou) deformacões em escala
niuito exagerada eni presença das dimensões da trelica.
no traçado do williot.
Justimeote porque as defomaçóes sofridas pela treliça são pe-
quenas em presença de suas dimensões, a rotação de qualquer barra
será pequena, de modo que podemos considerar que, durante a rotação
de uma barra, sua extremidade se desloque ao longo da normal B
direção primitiva da barra, ao inv6s de considerarnios o
deslocamento ao longo do arco de circulo verdadeiro. Introduundo-se
esta simplificação, válida no âmbito das pequenas deformaçóes
(lupótese fundamental na nossa Análise Estrutural), toma-se
possivel obtcr os deslocamentos dos nós da treliçasem termosque
desenhar seus comprimentos totais, pois não mais será necessário
desenhar os arcos de circulo em torno de seus centros de rotação; é
o que está feito na Fig. 1-91, chamada diagrama de Wiliiot ou, mais
simplesmente, williot da treliça dada, em homenagem ao lançador do
processo:
Como anteriormente, imaginamos que o pino (rótula) em C é
tempordamente removido e permitinios que se realizem as mudanças de
coniprimento das barras, uma de cada vez. Assim, sendo o a origem
esco- lhida para marcação dos deslocamentos (e que, no caso.
coincidirá com o ponto a, rep-sentando o deslocamento nulo do apoio
do 2.O gcnero A), marcamos 03 = n3, representando a variação de
comprimento da barra 3 (barra AB). Como a barra AB se conservará
horizontal após sua deforma- ção, o segmento Õ3 já simbolizará o
deslocamento final do nó 3 da treli- ça (apenas para respeitar a
notaçào que adotaremos no williot e que con- siste em representar a
posicão final do nó pela letra que o simboliza, em minúsculo,
diremos que o ponto 3 coincide com o ponto b no williot e que o
deslocamento do nó B é dado por ob). Devido a suas
diminuições
AI e de comprimento, respectivamente, a extremidade C da barra AC
se move para baixo, paralelamente a AC, e a extremidade C da barra
BC se move para baixo, paralelamente a Bs. o-aue está rep. 'esen-
tado, no wiüiot da Fig. 1-91 pelos segmentos a1 e b2,
respectivamente. Para ligamos; novamente, as barras ACe BC pelo
pino em C, a primeira deve girar em torno de A e a segunda em tomo
de B, até se interceptarem; durante estas rotaçóes, admitimos que
elas se movam nas direçóes normais a cada uma delas. No williot
estas rotações estão simbolizadas, respectiva- mente, pelas retas
perpendiculares a AC e BC tiradas por 1 e 2, que se interceptam em
c, ponto que simboliza a posição deformada final do nó C em relação
à sua posição primitiva.
%. -. Os vetores ou, ob e oc)representam, então, os deslocamentos
ab- Sol~itos dos nós A. B e C da treliça de Fig. 1-90 devidos ao
carregamento ne- la indicado.
A wnstruçxo dos wüiiots para treliças mais complicadas é feita da
mesma forma, sendo apenas necessário conhecermos dois pontos no w
S
As aplicaç5es seguintes esclarecerão.
E r 1-30 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça da
Fig. 1-92, cujas barras possuem, todas e l a s , ~ ~ = 1 0 ~ t
.
Fig. 1-92
Devemos, inicialmente, calcular as varia~&% de comprimento ai
de cada uma das barras da treliça devidas aos esforços normais Ni
nelas atuantes, o que esiá feito na tabela seguinte, a partir da
qual 6 imediata a obtenção do-williot desenhado na ~ i~ . -1 -93
.
&ira Nj( t ) li lml I ~;=N;li/ES(mml I
74 CUBO de anáiise estrutural - d o de deformações em estruturas
isostáticas 75
EX 1-31 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça Os
deslocamentos dos nós A. B, C . . .. H da treliça sáo da. &
Fig. 1-94, se ela for submetida a uma diminui-
+ -* + + dos em direção, sentido e módulo pelos vetores ou, ob. oc,
. . . , oh do ção uniforme de temperatura de 30 OC. É dado o
williot, valendo estes mbduios, respectivamente, 0; 1,6 mm; 3
,,,,,,; 6.5 mm; coeficiente de dilatação linear do material, igual
a 13.9 mm; 7,2 mm; 4.4 mm; e 3,l mm. 10.5/0C.
Fig. 1-94
As variações de comprimento Ai de cada uma das barras, de- vidas A
variação de temperatura, sáo dadas por Ai = Lu Al li =-30~10.5 li
valendo. então:
A1=A4=-12 mm; A2=A3=-12 J?lmm; A 5 = A 6 = - 6 a m m
A partir desses valores, obtemos, pelo williot da Fig. 1-95, que os
deslocamentos dos nós+c D e _E da treliça, dados em diieção, mádulo
e sentido pelos vetores oc, ode oe d3 williot têm seus mádulos
iguais a 1 2 6 mm, 1 2 ~ 5 mm e 12 mm.
1-32 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça da Fig.
1-94, caso seu apoio B sofra os recalques in- dicados na Fig. 1-96,
passando a ocupar a posição B:
PBV = lcm B' Fig. 1-96
PBH = 2cm ?Y.Ii
Neste caso, os Ai de todas as barras são nulos e podemos pas. sar
imediatamente ao traçado do wiiiiot, feito na Fig. 1.97, a partir
do qual obtemos que os ~esl~cam+entos d y nós A. B, C, D e E da
treliça, dados pelos vetores oa. ob, oc, o b e oe, têm módulos de
0; 2.24 cm; 3 cm; 1.41 cm e 2,54 cm.
C
Fig. 1-97 - Escala do williol: 1 : 1
Ex. I-33 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça da
Fig. 1-98, cujas barras tèm, todas elas ES=IO~ t.
Fig. 1-98
A
No caso, alem de calcularmos as deformações Ai de todas as barras,
devidas aos esforços normais Ni nelas atuantes, precisamos calcular
previamente o deslocamento do nó B (ou do n6 E) para termos
conheci- dos os deslocamentos de dois nós A e B (ou A e E),
condição necessária para podermos iniciar o traçado do williot.
Temos, então:
~ g l d e de d~f~nnsções em estruturas isost~ticas
a) Cglculo dos Ai
b) Cálculo do deslocamento do ponto B:
Para conhecermos o deslocamento resultante do nó B, basta co-
nhecermos suas componentes horizontal e vertical. A componente
horimn- tal 6 dada por A7, ou seja, vale 6 BH = 16 mm, da esquerda
para direita
A componente vertical 6 obtida a partir do estado de carrega mento
da Fig. 1-99 e vale:
Fig. 1-99
2 f l t 6 s v = \ 9 = ' [ 4 x 4 ( ~ t 2 x j ) t 4 y r i - x 4 \ ~ i
? ~ 1 O" 3
6 t- ) + 3 2 x 4 Y. 41 = 77.2 mm (de cima para baixo)
78 CWO & x3lUíb estmhiral
c) Traçado do williot
Conhecidos os deslocamentos dos nós A e B, obtemos o williot da
Fin. 1.100, que resolve o problema.
Fig. 1-100 - Erala do.williot: 1:l
Os deslocamentos dos nós B, C. D. E,. F, da treliça, dados em
direção, sentido e mbdulo pelos vetores o$ ocf o e e do williot,
têm estes módulos iguais a 7.9 cm; 8,4 cm; 4,8 cm; 8,4 cm e 7,9 cm.
.
Como ve"fícaçXo do wiUiot, vemos que o vetor od é horizontal, o que
tem que ocorrer, levando em conta que o apoio do 1.0 genero
existente em D impede qualquer deslocamento vertical deste ponto. A
pos- sibilidade de efetuarmos esta verificação é devida,
evidentemente, ao fato de termos feito o cálculo prévio do
deslocamento de um nó da treliça (para podermos iniciar o traçado d
o williot).
4 - Teoremas complementares
4.1 - Teorema de Betti
Seja uma estrutura qualquer, para a qual um grupo de cargas P;
constitui o estado de deformação e outro grupo de cargas Pk
constitui O estado de carregamento.
Aplicando o teorema dos trabalhos virtuais, temos, indexando as
deformaçóes com dois índices, o primeiro indicando o local da
defor-
Cglculo de defornações em estruturas isostdticas 79
mação e o segundo a causa que a provocou:
I (?jk;.conforme a indexação adotada, indica a deformação. na
direção da carga Pk devida ao carregamento Pi).
Tomando, agora, para a mesma estrutura, Pk como estado de
deformação e P; como estado de carregamento,, temos:
( tjik indica a deformação, na direção da carga Pi,devida ao
carregame* to Pk ).
Igualando as duas expressóes, obtemos:
zP;G;k = ZPk 6ki (1-9), que é a expressáo do teorema de Betti, que
nos diz:
"O trabalho virtual produzido por um sistema de forças em
equilíbrio, quando se desloca devido às deformaçõespoduzidas por um
outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao tra- balho
virtual produzido por este segundo sistema de forças quando se
desloca devido As deformaçóes produzidas pelo pri- meiro
sistema".
4.2 - Teorema de MaxweU
Fazendo, no caso do Teorema de Betti, com queP; e Pk sejam uma
única força (ou momento) unitária, teremos:
expressão do teorema de Maxwell, que nos diz:
"O deslocamento de um ponto na direção de um esforço uni- tário,
provocado por um segundo esforço unitário, é igual ao deslocamento
do ponto de aplicação do segundo esforço. em sua direção, devido à
aplicação do primeiro esforço unitário".
O esf01~0 a que se refere o teorema pode ser, evidentemente, uma
força ou um momento.
. ,
Fig. 1-101
1-102.1 1-1022
Fig. 1-102
Pelo teorema de Maxwell: hik = 6 ki
Observação: A aplicação d o teorema de Maxwell será de importância
fun- damental no estudo das linhas de influencia em estruturas
hiperestáti- cas, bem como para provar a simetria da matriz de
flexibilidade das estru- turas hiperestáticas, conforme se verá no
cap. I1 deste volume.
4.3 - Teoremas de Castigliano (Trabalho real de deformação)
Seja a estmtura da Fig. 1-103, carregada com as cargas estãti. Cas
Pi (cargas cujos valores crescem uniformemente desde zero até os
valores maximos P i ) Em se tratando de uma estrutura elistica, ela
se defor- mará, adquirindo a wnfiguraçáo indicada em tracejado na
figura. Como estamos no regime elástico, a wndição de equilíbrio
energitico do sis- tema implicará na igualdade dos trabaihos das
forças externas (cargas e
a d o de deformações em estruturas isostáticas 81
reaç6es) e das forças internas (esforços simples). Calculemos estes
tra- balhos.
a) Trabalho das forças externas:
O trabalho realizado por uma carga Pi que, por ser está- tica,
apresenta um diagrama (carga x deformação) w m o o da Fig. 1-104,
vale:
Fig. 1-104
I OU seja:
O tmbalho realizado por um esforp que cresce miformemenfe desde
zero até seu valor final (o mesmo acontecendo com a deform@o Por
ele prOwcada) vale a metade do produto dos valores f[nnis do
esforço Pelo deformação que ele provocou. Esta conclusão 6
atribuida a Clapeyron ,
I costumando a igualdade 1-1 1 ser conhecida como teorema de
Clapeyron.
Como estamos no regime linear e vale o principio da superposi- de
efeitos, o trabalho das cargas externas P1, ..., 5, ..., P,
valerá:
I n
82 Curso de anãlise estmtural
b) Trabalho das forças internas (energia real de deformação da
estrutura).
Conforme sabemos, será o trabalho realizado pelos esforços simples.
No caso (estrutura plana), os esforços simples M. N, Q acarretam
deformações relativas em suas direções, de duas seções distantes de
ds iguais a
Como as cargas são estáticas, também os esforços que elas provocam
o são e podemos escrever que a energia (ou trabalho) real de
deformaçãõ de um elemento de comprimento ds de estrutura
vale:
I I dW = 2 MdV + - N Ads + L Q dh (pelo teorema de Clapey ron) 2
2
A energia real da deformação da estrutura será, entáo:
No caso de uma estrutura no espaço, teriamos também o tra- balho da
torção, e a expressão da energia real de deformação, em sua for- ma
mais geral, se escreverá:
De posse das expresshs (1-12) e (I-13), podemos instituir os dois
teoremas de Castigliano, que são enunciados da maneira
seguinte:
1.O Teorema: 'X derivada parcial da energia real de deformação em
relação a uma das cargas aplicadas é igual a d e f o r m o eiústica
segundo a direção desta auga':
A demonstração C imediata: Temos:
2.O Teorema: "A deriva& parcial da enegio real de deformapio em
relação a deformação elástica segundo a direp-o de uma das cagas
aplicadas é igual ao d o r desta caga':
I A demonstração é tamb6m imediata:
Observaç5es:
1.a) Nos casos práticos, quando da avaliação da energia real de
deforma- ção, podem ser feitas as mesmas simplificações mencionadas
na ob- servação 1-2 deste capitulo a respeito da aplicação d o
teorema dos trabalhos virtuais:
2.a) O 1 .O teorema de Castigliano, convenientemente explorado,
permite o cáiculo de deformações em estruturas devidas a
carregamento ex- terno, conforme ilustrarão as aplicações a seguir.
Não permite, entre-
tanto, o cálculo de deformações devidas a variações térnucas,
recalques de apoio ou niodificações impostas a barras da estrutura
durante a montagem Por esta razáo é que apresentamos este capítulo
dando êrifase maior ao teorema dos trabalhos virtuais, por ser ele
inteiramente geral.
Ex. 1-34 - Calcular o deslocamento vertical do ponto R da viga da
Figl 1-105 que teni rigidez t'/ constante.
A energia real de deformação: desprezandese a influência do
trabalho devido ao esforço cortante vale:
I' 7
Temos, então:
84 Cum de an5ise estrutural
Ex. 1-35 - Calcular o deslocamento vertical do ponto C da grelha da
Fig. 1-106, que tem rigidez à flexáo A7 e rigidez à torção GJ
t' .
Fig. 1-106
A energia real, de deformação, desprezando-se a influência d o
trabalho devido ao esforço cortante, vale:
Temos: aw P I ~ ( 2 + 3 - ) EJ
3EJ
CBlcnio de defornações em estruturas isostáticas 85
Ex. 1-36 - Calcular a rotação da tangente à elástica em B para a
viga da Fig. 1-107.
Fig. 1.107
Não havendo carga aplicada na direção da deformação que de- sejamos
calcular (o que é indispensável, caso desejemos empregar o 1.0
teorema de Castigliano), aplicaremos uma carga moniento fictícia M
emB, desenvolveremos todos os cálculos e, no fim do'probleina (após
termosde- rivado a energia real de deformação em relação a M),
igualaremos a zero a carga M acrescentada. Temos, então:
Fazendo, agora M = 0, obtemos finalmente:
O tipo de procedimento adotado neste exemplo é geral, isto é,
sempre que desejamos calcular, mediante o emprego d o 1 .O Teorema
de Castigliano, uma deformação que não seja na direção de uma dai
cargas aplicadas à estmtura, criaremos uma carga fictícia,
correspondendo ao ponto e à direção em que desejamos calcular a
deformação, efetuaremos todos os cálculos e, após termos feito a
derivação parcial, igualaremos esta carga fictícia a zero, obtendo
a solução d o problema.
86 Cuno de análise estmtural
4.4 - Regra de Mdler - Bwslau (Metodo cineniático para o traçado dc
linlias de influência)
Enunciaremos, inicialmente, a regra, demonstrando-a a seguir.
"Para se traçar a linha de influencia de uin efeito estático E
(esforço ou reação), procede-se da seguinte forma:
a) rompe-se o vinculo capaz de transmitir o efeito I.:, cuja linlia
de influencia se deseja determinar;
b) na secção onde atua E, atribui-se à estrutura, no sen- tido
oposto ao de E positivo, uma deformação (absoluta, no caso de
reação de apoio ou relativa, no caso de esforço sim- ples)
unitária, que seri tratada como pequena deformação;
c ) a elástica obtida é a linha de influência de E.''
Demonstraremos para um caso particular, embora a demonstra. ção
seja absolutanlente idêntica para qualquer outro caso: I
Seja a viga da Fig. 1-108, para a qual desejamos conhecer a linha
de influencia de reação de apoio em A.
Rompen