Objetivos desta aula n Controle de de Robs manipuladores:
Relembrando controle Controle por Linear por Posio Controle no
linear Controle por Fora. n Captulos 7, 9 e 11 do Livro do
Craig.
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Introduo
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Controle de Manipuladores n Com o que j foi visto, agora temos
os meios para calcular o histrico das posies de juntas que
correspondem a movimentos desejados do manipulador. n Comeamos
agora a discutir como fazer com que o manipulador realmente
executar esses movimentos desejados.
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Controle Linear de Manipuladores n Controle Linear = o mais
simples. A utilizao de tcnicas de controle linear vlida somente
quando o sistema em estudo pode ser modelado por equaes
diferenciais lineares. n Mas a dinmica dos manipuladores no linear
Controle linear uma aproximao Muito usada na prtica
industrial.
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Controle por realimentao Controlando um manipulador por
feedback.
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Controle por realimentao n Um manipulador pode ser modelado
como um mecanismo: com sensores em cada junta para medir o ngulo e
um atuador em cada junta para aplicar um torque sobre o elo vizinho
(prximo superior). n Corresponde maioria dos manipuladores
industriais.
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Controle por realimentao n Visto que desejamos que as
articulaes sigam uma trajetria prescrita, mas os atuadores so
comandados em termos de torque, temos de utilizar algum tipo de
sistema controIe para calcular os comandos que vo realizar o
movimento desejado: Feedback control!
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Definindo o controle n O rob tem como entrada um vetor de
torques das juntas,, vindo do sistema de controle. n Os sensores do
manipulador permitem ao controlador ler um vetor de posies de
juntas,, e de velocidades,. n Todos os sinais na figura representam
vetores N x 1 (onde N o nmero de juntas).
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Sistema de controle
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Bloco de controle n Que algoritmo pode ser implementado no
bloco control system? n Podemos utilizar as equaes do movimento,
tratadas na aula de dinmica, para relacionar posio, velocidades e
aceleraes com o torque:
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Basta isso? n Basta utilizar a equao do movimento para
controlar o manipulador? Infelizmente no n Ento, precisamos
relembrar teoria de controle
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Relembrar viver
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Sistemas Lineares de segunda ordem n Antes de considerar o
problema de controle manipulador, vamos relembrar um sistema
mecnico de simpIes: Sistema massa-mola n A figura a seguir mostra
um bloco de massa m, ligado a uma mola de rigidez k e sujeitas ao
atrito de coeficiente b.
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Sistema massa-mola
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n Um diagrama das foras agindo sobre o bloco conduz diretamente
equao de movimento: n A soluo para a equao diferencial acima uma
funo de tempo, x(t), que especifica o movimento do bloco Esta soluo
depender das condies iniciais do sistema (posio e vel
inicial).
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Soluo da equao n Do estudo de equaes diferenciais, sabemos que
a soluo para uma equao desta forma depende das razes da sua equao
caracterstica:
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Raizes da equao caracterstica n As raizes so: Onde s 1 e s 2 so
os polos do sistema
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Polos n O local dos plos do sistema no plano real-imaginrio ira
ditar a natureza do movimento no sistema: Real e diferentes:
sistema superamortecido, frico domina. Real e iguais: sistema
criticamente amortecido Raizes Complexas: sistema subamortecido,
comportamento oscilatrio
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Solues para os sistemas n Cada um destes tipos possui uma soluo
para a equae do movimento diferente. n A soluo desejada geralmente
o sistema criticamente amortecido, pois o que leva a posio estvel
mais rapidamente. n As 3 solues so descritas a seguir.
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Sistema com raizes reais e diferentes n A soluo dada pela
equao: n Onde: s1 e s2 so dadas pelas equaes das raizes c1 e c2 so
determinados a partir das condies iniciais.
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Sistema com raizes reais e diferentes
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Sistema com raizes complexas n A soluo se transforma (usando a
formula de Euler para nmeros complexos) em: n Onde: a parte real, e
a parte imaginria da soluo s1 e s2, e c1 e c2 so determinados a
partir das condies iniciais.
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Sistema com raizes complexas
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n Outra forma comum de descrever sistemas de segunda ordem
oscilatrios em termos de taxa de amortecimento e frequncia natural:
n onde: a taxa de amortecimento e n a frequncia natural do
sistema
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Sistema com raizes complexas n e n possuem relao com os
componentes reais e imaginrios dos polos, sendo: n Em um sistema
sem amortecimento, zero, e em um criticamente amortecido igual a
1
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Raizes reais e iguais n No caso onde n A equao fica: n E o
resto continua igual.
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Raizes reais e iguais
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Sistema superamortecido
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Sistema criticamente amortecido
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Sistema subamortecido
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Controle de sistemas lineares de segunda ordem n Imaginem que o
comportamento do sistema massa mola no o que desejamos n Por meio
do uso de sensores, um atuador e um sistema de controle podemos
modificar o comportamento de sistemas conforme o desejado.
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Controle de sistemas lineares de segunda ordem n Se temos um
atuador, a equao de movimento fica: n Podemos propor uma lei de
controle: onde a posio e velocidade so dadas por sensores, e kp e
kv so os ganhos do sistema. Sistema regulador de posio.
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O sistema
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O controle
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A dinmica do sistema n Juntando as duas equaes, podemos derivar
a equao de movimento do sistema: n ou n onde: b= b + k v e k = k +
k p Amortecimento crtico obtido usando
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Fim do relembrar viver Voces j tiveram tudo isso, certo?
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Sistemas de Controle Particionado
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Particionamento da lei de controle n Podemos particionar um
controlador em uma parte baseada em modelo e uma poro servo. n O
resultado que os parmetros de sistemas (ou seja, m, b e k) aparecem
apenas na parte baseada no modelo, e a parte de servo independente
desses parmetros.
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Particionamento n Queremos decompor a lei de controle em duas
partes. n Para tanto, usamos a fora como: n onde:
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Particionamento n Substituindo os valores de e , a nova lei de
controle fica: n Mas como A lei de controle fica sendo: n Usendo
esta metodologia, o ganho dado sempre por
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Sistema particionado
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Controle de posio seguindo uma trajetria
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Seguindo trajetrias n Ao invs de apenas manter o bloco em um
local desejado, podemos projetar um controlador para que o bloco
siga uma trajetria. A trajetria uma posio em funo do tempo, x d
(t). O erro entre a trajetria atual e a desejada e(t) = x d (t) -
x.
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Controle para seguir trajetrias n Uma lei de controle que faz o
sistema seguir uma trajetria dada por: n Mas se usarmos um sistema
particionado, fica: n ou
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Controlador seguidor de trajetria
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Controle de uma junta 1R
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Modelando e controlando uma junta. n Desenvolveremos um modelo
simplificado de uma nica junta rotativa de um manipulador. Motor
eltrico DC com engrenagem Inercia constante Baixa ressonncia
Indutncia do motor pode ser discartada n Restries compatveis com
robs industriais reais.
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Para modelar o Manipulador 1R n necessrio modelar diversos
aspectos: Torque do motor Inrcia do sistema Oscilao do
sistema.
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Torque de um motor DC n Geralmente, o torque produzido por
motor indicado por meio de uma constante que relaciona a corrente
no motor com o torque de sada: n Isto uma simplificao que ignora
que o motor tem uma indutncia, que existem efeitos de gerao de
energia com a velocidade, etc
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Inrcia de uma junta rotacional Em uma junta rotacional com
engrenagem existe uma relao de transmisso ( ) que provoca um
aumento no torque e a reduo da velocidade da junta:
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Junta com motor e reduo
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Equao de torque-inrcia n Uma relao entre os torques existentes,
considerando o torque do motor, : n Onde: I m a inrcia do motor I a
inrica da carga b m o coeficiente de frico viscoso do motor e b o
da carga.
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Equao de torque-inrcia n Substituindo os valores de torque do
motor e velocidade nesta equao, temos: O primeiro termo chamado de
inrcia efetiva, e o segundo de amortecimento efetivo. Em um
conjunto altamente reduzido ( >> 1) a inrcia do rotor do
motor domina.
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Oscilao e ressonncia n Visto que decidimos no modeIar as
flexibilidades estruturais do sistema, ns deve ter cuidadosos para
no excitar estas ressonncias. Regra: se a mais baixa frequncia
estrutural res, a frequncia mxima do sistema de controle deve
ser:
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Finalmente n Para controlar uma junta 1R, utilizamos um Sistema
de Controle Particionado, controlando torque em vez de fora. n
Assim, temos: n e
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A equao de controle dinmico n A equao de controle dinmico em
lao fechado fica: n E os ganhos so:
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Entenderam alguma coisa?
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E levando em conta alguma no linearidade?
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Atrito de Coulomb n Para a maioria dos manipuladores de hoje, o
atrito da articulao modelado com mais preciso utilizando o modelo
de Atrito de Coulomb: A frico linear descrita por A frico de
Coulomb dada por
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Atrito de Coulomb
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Sistema no linear n A equao dinmica no linear fica: n E as
equaes de controle:
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Exemplo: Pndulo Invertido (1R) n Considere um manipulador 1R: A
massa est localizada em um ponto na extremidade do link. O momento
de inrcia ento ml 2, O atrito da junta dada por atrito de Coulomb E
h uma carga devido a fora da gravidade.
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Exemplo: Pndulo Invertido (1R)
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Soluo no linear para 1R n O modelo do manipulador n E a soluo
de controle : n onde n E o controle
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E o controle do manipulador todo? Faltam poucos slides
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O Problema de controle de manipuladores genricos n Vimos que as
equaes de Newton- Euler so solucionadas simbolicamente para um
manipulador, elas geram ur resultado que pode ser escrito como: n
Esta a equao de espao-estado do manipulador.
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Relembrando: Equaes de movimento M uma ( n x n ) matriz de
massas do manipulador, com termos dependentes da acelerao. V um (
nx1 ) vetor de foras centrfugas e de Coriolis, dependentes da
velocidade. G uma ( nx1 ) vetor que contm todos os termos
dependentes da gravidade.
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Relembrando: Exemplo 5: manipulador 2R se torna
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Adicionando Atrito de Coulomb n Podemos adicionar um termo de
frio nesta equao, tornando o sistema no linear: n Esta a equao de
espao-estado do manipulador.
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O Problema de controle dos manipuladores n O Problema de
controle dos manipuladores resolvido da mesma maneira, utilizando
controle particionado como visto n Neste caso: n onde
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Controle dos manipuladores n A lei de controle servo : n Onde n
E o sistema caracterizado pela equao: Onde os ganhos so calculados
como sempre
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Controle do manipulador.
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E se quisermos controlar a fora que o manipulador aplica?
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Controle de fora n O controle de posio como visto at aqu pode
ser extendido para controlar a fora que o rob aplica em alguma
direo. n Controle hbrido: Um controlador para posio. Um para a fora
aplicada.
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Controle de fora
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Controle hbrido posio/fora
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Concluso do Controle n Vimos que em certos casos simples, no
dificil projetar um sistema de controle. n O controle de um
manipulador conseguido usando esses metodos. n Regra: Reduza o
problema a um sistema linear que pode ser controlado usando o servo
linear com controle particionado.