SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO–OESTE – UNICENTRO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
UNIDADE DIDÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA
GUARAPUAVA
2011
KELI CRISTINA MINOSSO ZOCCHI
UNIDADE DIDÁTICA
Produção Didático Pedagógica de acordo com as atividades previstas no Plano
Integrado de Formação Continuada – 2010, em conformidade com as orientações da Coordenação do Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE/SEED, sob a orientação do professor UNICENTRO – Universidade do Centro- Oeste,
Guarapuava – Pr. Orientador: Prof. Ms. Carlos Roberto Ferreira
GUARAPUAVA
2011
UNIDADE DIDÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
1. APRESENTAÇÃO
A unidade didática proposta é parte integrante das atividades do Programa
de Desenvolvimento Educacional – PDE da Secretaria de Estado da Educação do
Paraná, é construído com o acompanhamento do orientador da Instituição de Ensino
Superior – IES e com a colaboração de Grupos de trabalho em Rede – GTR.
Apresenta, portanto, a organização das estratégias de ação de forma descritiva e
seqüencial, que serão utilizadas na implementação do Projeto de Intervenção
Pedagógica na Escola sobre o tema: Modelagem Matemática.
Nos últimos anos a Educação Matemática vem dando especial atenção à
Educação Básica, com estudos e pesquisas visando desenvolver diversas
tendências metodológicas para amenizar o atual quadro crítico que se encontra o
ensino e aprendizagem da matemática. Uma das tendências é a Modelagem
Matemática que é objeto desta unidade didática.
Segundo as Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica
do Paraná (2006, p 64, 65) a modelagem matemática tem como pressuposto a
problematização de situações do cotidiano, ao mesmo tempo em que propõe a
valorização do aluno no contexto social, procura levantar problemas que sugerem
questionamentos sobre situações de vida.
Por meio da modelagem matemática, fenômenos diários, sejam eles físicos,
biológicos e sociais, constituem elementos para análises críticas e compreensões
matemática diversas de mundo e o trabalho pedagógico com a modelagem
matemática possibilita a intervenção do estudante nos problemas reais do meio
social e cultural em que vive, por isso, contribui para sua formação crítica. Considera
ainda que o modelo matemático buscado deva ser compatível com o conhecimento
do aluno, possibilitando novas oportunidades de aprendizagem.
Para fins de organização didática, o material encontra-se dividido em três
partes, sendo a 1ª parte referente à definição do que é Modelagem, a 2ª parte a
descrição das etapas da concepção de modelagem assumida e a terceira parte, um
exemplo para que os professores da rede tenham uma idéia de como trabalhar com
modelagem. Está proposta será desenvolvida com educandos da sexta série A da
Escola Estadual Irmão Isidoro Dumont – EF e será desenvolvido no segundo
semestre de 2011.
2. OBJETO DA UNIDADE DIDÁTICA
Apresentar aos professores e alunos de matemática da educação básica a
Modelagem Matemática como uma alternativa metodológica para amenizar o atual
quadro crítico em que se encontra o ensino e a aprendizagem da matemática.
3. MODELAGEM MATEMÁTICA
Escolhemos a Modelagem Matemática por acreditarmos que ela representa
uma alternativa viável para uma melhora significativa no ensino e aprendizagem da
matemática. Porém, pelas especificidades da metodologia, temos que ter uma
mudança na postura do professor e dos alunos que deixam de ser passivos ao
interagir com os problemas propostos por eles no decorrer do processo. A
Modelagem Matemática pode favorecer a integração com outras áreas do
conhecimento, a ruptura com a linearidade do currículo e ainda a socialização entre
educador e educando, educando e educando, escola e educando, entre outras
relações.
Atualmente, vários autores desenvolvem pesquisa em Modelagem
Matemática com concepções distintas, sendo de várias maneiras de conceber e
materializar a Modelagem Matemática em sala de aula. Um estudo desenvolvido por
KLÜBER (2007) aponta que as concepções de Modelagem Matemática dos
pesquisadores Rodney Carlos Bassanezi, Dionísio Burak, Maria Salete Biembengut,
Jonei Cerqueira Barbosa e Ademir Donizeti Caldeira mantêm alguma intercessão no
que concerne à área e às discussões sobre Modelagem Matemática, porém, com
algumas diferenças que apresentamos seguir.
Segundo Rodney Carlos Bassanezi1 (2002), a Modelagem Matemática
“consiste na arte de transformar problemas reais com os problemas matemáticos e
resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (BASSANEZI,
1
Prof. Dr. Rodney Carlos Bassanezi, professor titular do Instituto de Matemática, Estatística e Computação
Científica (IMECC) da Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, Campinas – SP. Coordenou inúmeros
cursos sobre modelagem em diversas instituições no país. (BASSANEZI, 2002).
2006, P. 16). Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um
modelo, este, sob certa óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto
que para se elaborar um modelo, além de conhecimento de matemática, o
modelador precisa ter uma dose significativa de intuição e criatividade para
interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e
também ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas (BIEMBENGUT &
HEIN, 2005, p.12).
Para Maria Salett Biembengut2 (1999) define modelagem como “um
processo que envolve a obtenção de um modelo”. (p.20). Nesse processo a
modelagem é uma forma de interligar matemática e realidade, que, na visão da
autora, são disjuntas. Biembengut (1997) trata a modelagem em uma perspectiva
motivacional, onde o “O importante é não perder a motivação.” (p.105), solicitando
segurança por parte do professor para a realização da proposta. Para ela as etapas
são: 1) interação: reconhecimento da situação-problema e familiarização com o
assunto a ser modelado (pesquisa),2) matematização, formulação (hipótese) e
resolução do problema em termos matemáticos. 3 ) modelo matemático:
interpretação da solução e validação do modelo (uso). Com isso a autora visa e
acredita que Modelagem Matemática é “traduzir a linguagem do mundo real para o
mundo matemático.” (BIEMBENGUT, 1990, p. 10).
Para Jonei Cerqueira Barbosa3 (2001) afirma: “À medida que não
compreendo as atividades de Modelagem contendo encaminhamentos e fins a priori,
sustento que os alunos podem investigar matematicamente uma dada situação, sem
necessariamente construir um modelo matemático”, (p. 36). Nesse sentido, assume
que a Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são
convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas
de outras áreas da realidade.” (BARBOSA, 2001, p. 6, grifos do autor).
2 Prof. Dr. Maria Salett Biembengut. Professora da Universidade Regional de Blumenau, FURB. Possui mestrado
em Educação Matemática pela UNESP – Rio Claro – SP, em 1990. Doutorado em Engenharia de Produção e
Sistemas, pela Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC – SC, em 1997, e pós-doutorado em
Metodologia de Ensino e Pesquisa pela Universidade de São Paulo – USP, em 2003.
3 Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa. Professor do Departamento de Ciências Exatas da Universidade Estadual de
Feira de Santana – UEFS - BA. Coordena o Núcleo de Pesquisas em Modelagem Matemática (NUPEMM) e atua
no Programa de Pós-Graduação em Ensino. Possui doutorado em Educação Matemática pela Universidade
Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho – UNESP – Rio Claro, no ano de 2001.
Ademir Donizeti Caldeira4 concebe a Modelagem pensando-a como advinda
de projetos, sem a preocupação de reproduzir os conteúdos apresentados no
currículo, enfatizando, contudo, que não se podem perder os conceitos universais da
Matemática. Ele acredita na eficácia da Modelagem, uma vez que ela, enquanto
concepção de Educação Matemática pode “oferecer aos professores e alunos um
sistema de aprendizagem como uma nova forma de entendimento das questões
educacionais da Matemática.” (CALDEIRA, 2005, p. 3).
Para o pesquisador a Modelagem pode ser um forte instrumento de
criticidade, oportunizando a clareza da importância da matemática na vida das
pessoas, porque as aplicações feitas através da Modelagem Matemática “dão luz”
aos conteúdos matemáticos. ”O conteúdo deixa de ser totalmente previsível
dependendo da direção tomada pelos alunos na solução de problemas propostos e
da capacidade do professor em direcionar a discussão. Portanto é flexível e poderá
não seguir rigorosamente a ordem em que aparece nos livros-textos, como também
pode aparecer algum conteúdo não programado para a série em que o professor
estiver trabalhando.” (Caldeira, 2004, p. 4).
Dionísio Burak5 (1987) afirma que a Modelagem Matemática é um “conjunto
de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar
matematicamente os fenômenos do qual o homem vive o seu cotidiano, ajudando-o
a fazer predições e a tomar decisões.” O desenvolvimento de uma atividade de
Modelagem Matemática, na perspectiva de BURAK (1998 e 2004), sugere cinco
etapas que devem ocorrer a partir do interesse do grupo e das informações colhidas
do meio onde ele está inserido: As etapas a ser seguidas sugeridas pelo autor são:
1. Escolha do tema. 2. Pesquisa Exploratória. 3. Levantamento dos problemas. 4.
Resolução dos problemas e desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto
do tema. 5. Análise crítica das soluções.
4 Prof. Dr. Ademir Donizeti Caldeira. Professor colaborador da Universidade de Uberaba, professor adjunto „i‟ da
Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC, e colaborador da Universidade Federal do Paraná - UFPR.
Possui mestrado em Educação Matemática pela Universidade Estadual de São Paulo – UNESP, em 1992.
Doutor em Educação pela UNICAMP, no ano de 1998.
5Prof. Dr. Dionísio Burak. Professor titular na Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO – PR.
Primeira dissertação de mestrado na área de Educação Matemática, sobre Modelagem Matemática, na UNESP
– Rio Claro, 1987, e tese de doutorado na área de Educação, também sobre Modelagem Matemática, no ano de
1992, na Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP - SP.
4. ETAPAS DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Nesta Unidade Didática estamos assumindo a proposta por BURAK, a
escolha desta concepção dá-se pelo fato de que nela a Modelagem Matemática vem
ao encontro das expectativas do educando, dá sentido ao que ele estuda, satisfaz
suas necessidades de aprendizagem partindo de seus interesses o que lhe
possibilitará realizar alguns de seus objetivos.
1. Escolha do tema - Na escolha do tema o educador como mediador, vai instigar,
estimulando os alunos a falarem sobre os temas, é a etapa em que o professor
discute com os estudantes alguns temas que possam gerar interesse ou deixa que
eles sejam escolhidos ou sugeridos pelos próprios alunos. Os temas podem ser dos
mais variados, uma vez que não é necessário que tenham nenhuma ligação
imediata com a Matemática ou com conteúdos matemáticos, e sim com o que os
estudantes manifestem interesse em desenvolver atividades de modelagem. O
educador neste momento é o facilitador da aprendizagem, pois deverá dar o melhor
encaminhamento para que a opção dos alunos seja respeitada.
2. Pesquisa exploratória - Na pesquisa exploratória, com o tema a ser pesquisado
já escolhido, orienta-se e discute-se com os alunos formas de conhecer mais e
melhor sobre o assunto. Aspectos teóricos, curiosidades, conteúdos técnicos,
materiais dos mais diversos, que contenham informações e noções prévias sobre o
que se quer desenvolver/pesquisar, favorecem a formação de atitudes de
investigação. Os sites, a pesquisa bibliográfica e as pesquisas de campo sobre o
assunto são fontes ricas de informações e estímulo, bem como se constituem como
meios de se conhecer o objeto de estudo.
3. Levantamento dos problemas - No levantamento dos problemas, de posse dos
materiais e informações coletadas na pesquisa exploratória, os alunos são
incentivados a conjeturar sobre tudo que pode ter relação com o tema. Essas podem
ensejar questões, sejam elas matemáticas, econômicas, ambientais, entre outras,
que decorrem do tema e possibilitam elaborar problemas ou indagar sobre situações
simples ou complexas que os permitam vislumbrar a possibilidade de aplicar ou
aprender conteúdos matemáticos. Isso com a ajuda do professor, que não se isenta
do processo, mas se torna o „mediador‟ das atividades.
4. Resolução dos problemas e desenvolvimento do conteúdo matemático no
contexto do tema - o importante nesta etapa é levar os alunos a encontrarem as
respostas para as questões levantadas e perceber qual o nível de compreensão dos
alunos para então tentar resolvê-las a partir da matemática formal. Os conteúdos
serão compreendidos no momento em que os alunos perceberem que estes são
possíveis em situações do seu cotidiano e que suas possíveis soluções originam os
modelos matemáticos. Na resolução de problemas, estaremos seguindo as etapas
propostas por POLYA (2006) e nem sempre essas etapas são fixas, são sugestões
que orientam durante o processo.
5. Análise crítica das soluções: ao refletir sobre os resultados obtidos no
desenvolvimento da atividade verão se esses contribuíram na tomada de decisões e
nas ações do grupo, pois a modelagem permite a formação de alunos que serão
cidadãos participativos, autônomos e críticos e capazes de transformar a
comunidade onde se inserem.
Nesse sentido, entendemos que o detalhamento das etapas propostas por
BURAK (1998 e 2004) é muito esclarecedora para encaminhamentos das atividades
de Modelagem em sala de aula. Vale destacar que a preocupação do autor está
centrada no processo de ensino e de aprendizagem da Matemática, principalmente
no âmbito Educação Básica.
Essas etapas propostas por Burak devem-se sempre levar em conta:
1. O interesse do grupo;
2. A obtenção de informações e dados do ambiente, onde se encontra o
interesse do grupo. Sendo assim o professor é o mediador, orientador e
problematizador.
5. EXEMPLO DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA
O professor pode sugerir vários temas para os alunos e também incentivar
que eles façam sugestões e depois, em comum acordo, definam apenas um tema
para trabalhar, sendo que o importante é que todos fiquem motivados para trabalhar
com o tema escolhido. Como exemplos de temas podem citar: produção de leite,
construção de uma casa, plantação de batatas, construção de uma piscina, criações
em geral, consumo de água entre outros.
Nesta Unidade Didática vamos apresentar como exemplo o trabalho da
professora Karin Regina Minosso Gnoatto, projeto desenvolvido para o programa do
PDE/turma 2009 tendo como título: Modelagem Matemática na Educação
Matemática: uma experiência no ensino fundamental – o aproveitamento da
água da chuva.
Aliando a Modelagem Matemática as questões ambientais, o projeto seguiu
as etapas propostas. Iniciou-se apresentando a nova proposta metodológica que iria
ser desenvolvida na próxima atividade, observando qual o conhecimento ou
experiência que os alunos tinham sobre MM e verificou-se que eles nunca tinham
participado de nenhuma experiência com esta metodologia. O procedimento
metodológico e o desenvolvimento do trabalho seguiram os passos já descritos
anteriormente:
Escolha do tema
Iniciou-se com a escolha do tema, sendo esse de interesse dos alunos.
Durante as discussões foram propostos temas como seca, chuva, drogas e eleições.
Mas o tema que prevaleceu foi AGUA DA CHUVA e a questão principal a ser
respondida foi “Quanto à escola economizaria de água utilizando a água da
chuva?”
Como parte da motivação para o tema realizou-se uma palestra com um
professor da UTFPr6 campus Dois Vizinhos, cujo tema era, “De quem é a
responsabilidade em cuidar do meio ambiente?”, fez-se uma exposição sobre o
que é o meio ambiente, o desafio do mundo, biodiversidade, a situação da água em
nosso planeta. Ainda nessa fase foi realizado visita técnica a dois locais, uma escola
estadual da zona rural e a UTFPr Campus de Dois Vizinhos, com intenção de
conhecer o sistema de captação, armazenamento e utilização da água da chuva
(sistema cisterna), como e quem construiu, o sistema de mutirão utilizado na
construção, foram feitos registros através de fotos, viram onde era utilizada a água
coletada: horta, horto, banheiros, etc e todo o sistema de encanamento.
6 Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
Coleta de dados e elaboração dos problemas
Definido o tema passou-se à formação e organização dos grupos, para
elaboração dos problemas auxiliares e coletas de dados. Para responder a questão
proposta listaram quais procedimentos seriam necessários:
a. Definir onde a água seria coletada, pois temos o pátio e o telhado. Pelas
informações técnicas anotadas, o telhado seria mais adequado;
b. Onde seria armazenado? Ficou decidida a construção de uma cisterna;
c. Onde será utilizada a água armazenada? Como não podemos utilizar para
consumo humano, pois não é tratada, a água armazenada da chuva será
utilizada nos banheiros, limpeza e irrigação do campo de futebol.
Definido estas questões passaram a elaboração dos problemas auxiliares:
1. Qual o índice pluviométrico da região?
2. Qual a área do telhado que irá captar a água da chuva?
3. Qual o tamanho da calha?
4. Qual a forma da cisterna com menor custo esférica ou cilíndrica?
5. Qual o custo para construção da cisterna?
6. Qual a capacidade da cisterna a ser construída?
7. Qual o consumo de água na escola anualmente?
8. Quanto à escola vai economizar se utilizar a água da chuva?
Com as questões elaboradas, os alunos passaram a coletar os dados, como:
qual a media anual de chuva da nossa região, qual a área do telhado, tamanho da
calha necessária, custo de material de construção, o consumo de água da escola,
quanto de água da chuva será utilizada (vasos sanitários, limpeza geral, lavanderia,
irrigação de jardim).
Resolução dos problemas
Com os dados em mãos os alunos foram reunidos em grupos de três para a
fase de Resolução dos Problemas, em que professor colocou o primeiro problema
no quadro e ai seguindo as etapas propostas por Polya, fez-se a leitura,
interpretação, pergunta, discutiu-se quais dados seriam necessários para resolver
esse problema, como resolver (plano de ação) e após a análise e verificação da
resposta, assim prosseguiram em todas as atividades seguintes.
Para resolver as questões foram trabalhados os conteúdos matemáticos
envolvidos: áreas de figuras planas, unidades de medidas de superfície e de
capacidade, volume de sólidos geométricos, porcentagem e regra de três.
Análise crítica das soluções
Finalmente fez-se uma análise crítica de todos os resultados encontrados,
houve uma grande participação, todos queriam opinar. O professor voltou à questão
central: Quanto à escola economizaria de água utilizando a água da chuva?
Ao observar a pergunta central, alguns alunos falaram que pelo custo da
cisterna não valia apenas construir e que esse valor daria para pagar a conta da
água por muito tempo e a escola não economizaria nada. Falou-se que a economia
seria de R$ 67,75 ao mês e que a cisterna custaria R$ 5.320,29, mais o custo da
calha, o que daria para pagar 78 meses de água, mais ou menos, 6 anos. Instigando
e motivados pelo professor, refletiram sobre o depois da cisterna paga, quanto seria
a economia da escola em um ano, calculou-se que seria de R$ 813,00 ao ano, o que
daria em dez anos, sem contar os juros, R$ 8.130,00.
Colocaram que para obter-se um resultado econômico demoraria muito,
mesmo aplicando a economia em uma caderneta de poupança, mas como na fase
de motivação tiveram uma palestra que falava sobre a importância de proteger os
recursos naturais e sobre a água e sua importância, alguns alunos já se
manifestaram defendendo e disseram que não, pois precisamos cuidar do meio
ambiente e que se armazenássemos a água ela não cairia no solo de uma só vez,
então conforme ela ia sendo gasta ia infiltrando e chegando ao lençol freático e que
se não poderia ocorrer erosão, ela iria toda para as sangas, rios e
conseqüentemente cairia no mar transformando-se em água salgada, então mesmo
com um custo elevado concluiu-se que, a economia financeira a curto prazo não
seria muita, mas em questões ambientais, preservação e conservação do meio seria
muito importante a construção da cisterna.
Por fim, ao trabalhar com a Modelagem Matemática verificou-se que o aluno
apresentou criatividade, interesse e motivação nas aulas de matemática. O modo de
agir dos alunos durante o trabalho e seus depoimentos levaram a crer que, além do
aprendizado de alguns conteúdos matemáticos, desenvolveram a capacidade
comunicativa, de decisão e a capacidade critica sobre diversos fenômenos, em que
a temática ambiental integrada a diversas disciplinas, no aspecto social, cultural e
econômico levando-o a ser um cidadão participativo, atuante e consciente dos
problemas da sociedade.
REFERÊNCIAS:
BARBOSA, J. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico, 2001.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-Aprendizagem com Modelagem
Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, Maria Salete. Modelagem Matemática & Implicações no Ensino-
Aprendizagem de Matemática. Blumenau: Ed. FURB, 1999.
BURAK, D. Modelagem matemática: uma alternativa para o ensino de
matemática na 5ª série. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –
Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1987.
__________ A Modelagem Matemática e a sala de aula. In: Encontro Paranaense
de Modelagem em Educação Matemática - I EPMEM, 1, 2004, Londrina. Anais...
Londrina P. 1-10, UEL, 2004.
__________ Formação dos pensamentos algébricos e geométricos: uma
experiência com modelagem matemática. Pró-Mat. – Paraná. Curitiba, v.1, n.1,
p.32-41, 1998.
__________ Modelagem matemática: ações e interações no processo de
ensino-aprendizagem. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Estadual de
Campinas, Campinas, 1992.
__________ Modelagem Matemática: avanços, problemas e desafios. In:
Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, – II EPMEM, 2,
2006, Apucarana, PR. Anais... Modelagem Matemática: Práticas, Críticas e
Perspectivas de Modelagem na Educação Matemática, p.1-9. Apucarana: FAP,
2006.
KLÜBER, T. E. Modelagem Matemática e Etnomatemática no contexto da
Educação Matemática: Aspectos Filosóficos e Epistemológicos. Ponta Grossa,
2007, 151 p. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-graduação em
Educação. Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG, 2007.
PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná. Curitiba:
SEED, 2008.
POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
Secretaria de Estado da Educação Departamento de Matemática, São Paulo.
Projeto TEIA DO SABER 2006- Programa de Formação Continuada de
Professores. Disponível em: http://educarparacrescer.abril.com.br/indicadores/ideb-
. Acessado em 06/12/2010.
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