José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 1
Sinais e Sistemas Mecatrónicos
José Sá da Costa
Modelação de Sistemas Físicos Variáveis e Elementos
do Sistema
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Modelação de Sistemas Físicos Sinais
Vimos anteriormente que para o estudo de sinais necessitávamos de uma representação matemática dos mesmos, isto é, um modelo matemático que traduzisse inequivocamente as características dos sinais função das suas coordenadas independentes (ex. tempo, coordenadas espaciais, frequência).
Essa representação pode tomar várias formas:
• expressão analítica fechada (ex. A sen ωt) • expressão analítica não fechada (ex. série de Fourier) • sequência discreta (ex. sinal amostrado) • tabela, com as colunas para as variáveis independentes e uma outra com o valor do sinal • gráfico (abcissas para as coordenadas independentes, e nas ordenadas o valor do sinal)
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Modelação de Sistemas Físicos Sistemas
Verificámos anteriormente que um sistema é um mero proces-sador de sinais, com entradas, saídas e perturbações.
No caso de sistemas lineares contínuos, invariantes no tempo (LIT) com uma só entrada e uma só saída (SISO) temos
A representação do modelo do sistema pode tomar várias formas: • expressão analítica fechada • expressão analítica não fechada • tabela • gráfico • diagrama de blocos
y(t) = g(τ )x(t −−∞
∞∫ τ )dτ
Y (s) = L y(t){ } = L g(τ )x(t −−∞
∞∫ τ )dτ{ } = G(s)X (s)
⎫⎬⎭modelo paramétrico
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
modelo não paramétrico
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Modelação de Sistemas Físicos
g(t) resposta impulsional contínua
G(s) = Y(s)/X(s) = L[g(t)] função de transferência contínua
Sistema g(t)
x(t) y(t)
Sistema LIT-SISO Parâmetros concentrados
Modelo do Sistema – descrição matemática do sistema função de grandezas físicas
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Modelação de Sistemas Físicos Como obter o modelo físico do Sistema ?
1 - Através das leis físicas (primeiros princípios) e estimação dos parâmetros do modelo (modelação), por exemplo a lei de Ohm
I entrada V = R.I V saída
R parâmetro a estimar
Notar que I ser a entrada ou a saída (e vice-versa com V) é arbitrário, ou então, as condições físicas reais o determinam, i.e. se I for devido a uma fonte de corrente (entrada) então V é o resultado da corrente a passar pela resistência (saída).
2 - Através de identificação do sistema, i.e. identificação da estrutura do modelo (família de funções matemáticas a que o comportamento obedece), seguido da estimação dos parâmetros da estrutura.
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Modelação de Sistemas Físicos Procedimento a seguir para obter o modelo
1 – Saber qual o objectivo para que se quer o modelo.
2 – Estabelecer a fronteira entre o que é relevante para o objecto em estudo e o que não é relevante.
3 – Definir o que é entrada (causa), o que é saída (efeito) e eventualmente o que é perturbação.
4 – Definir sob o ponto de vista físico quais os fenómenos elementares que estão presentes. Normalmente, associados a estes estão elementos ideais de acumulação e de dissipação de energia, com relações constitutivas e relações dinâmicas próprias.
5 – Estabelecer o encadeamento entre os elementos ideais, i.e. as relações de interligação entre estes elementos.
6 – Com base nas relações constitutivas, relações dinâmicas e relações de interligação, eliminam-se as variáveis que não são a entrada e a saída, obtendo-se a equação diferencial que rela-ciona a entrada com a saída (representação externa).
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Modelação de Sistemas Físicos Procedimento a seguir para obter o modelo (cont.)
7 - Aplicando a transformada de Laplace, com condições iniciais nulas, obtém-se a função de transferência G(s) = Y(s)/X(s). Fazendo X(s) = δ(t) e calculando a transformada de Laplace inversa, obtém-se g(t) a resposta impulsional do sistema.
8 – Após a obtenção do modelo (eq. diferencial, função de tranferência, resposta impulsional, etc.) deve-se estimar os parâmetros do modelo por via experimental, caso não sejam conhecidos. Isso faz-se comparando a resposta no tempo (ou na frequência) da saída y(t), do modelo e dos dados experimen-tais, para uma mesma entrada, ajustando os parâmetros de forma a minimizar o erro existente entre estas.
9 – Caso o modelo não seja linear deve-se linearizá-lo em torno do ponto (ou pontos) de operação adequado(s).
10 – Quando o modelo está completo deve-se validá-lo, i.e. com-parar o comportamento observado no sistema real com o obtido pelo modelo e verificar se é adequado para o estudo.
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Modelação de Sistemas Físicos Procedimento de modelação
Relações
constitutivas
Relações
dinâmicas
Relações
interligação
Representação Interna Espaço de Estados
Representação Externa Eq. Diferencial Função de Transferência Resposta impulsional
Relações básicas
Modelo Matemático
Elementos (componentes)
Restrições na interligação
dos elementos
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Modelação de Sistemas Físicos Tipo de entidades nos sistemas
Matéria – em repouso: •corpo – rígido - flexível • fluido – líquido - gás, vapor – em movimento: •corpo – rígido - flexível • fluido – líquido - gás, vapor
Energia – mecânica (translação e rotação), fluídica, acústica - térmica
- eléctrica, magnética - química
- nuclear
Informação
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Modelação de Sistemas Físicos Interacção entre energia, matéria e informação
Processos com fluxo energético sem fluxo de matéria - sistemas mecânico, eléctrico e térmicos
Processos com fluxo energético e fluxo de matéria - sistemas de potência, hidráulicos, pneumáticos e termodinâmicos
fluxo de energia
Fluxo de energia
Fluxo de matéria
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Modelação de Sistemas Físicos Interacção entre energia, matéria e informação (cont.)
Processos com fluxo de matéria e fluxo energético - sistemas de transporte de matéria (tapetes rolantes), processos químicos Processos com fluxo de informação e fluxo de energia - instrumentos de medida, telecomunicações
Fluxo de matéria
Fluxo de energia
Fluxo de informação
Fluxo de energia
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Modelação de Sistemas Físicos Qual o grau de detalhe do modelo ?
Exemplo: Estudo da suspensão de um automóvel
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Elementos Básicos Caracterização dos elementos básicos
fonte poço Sistema
ou elemento
Ligações energéticas ou portos energéticos
Elementos dum Sistema Manipuladores de energia ⇔
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Elementos Básicos Variáveis do Sistema
2
1
,
t
t
Q pP pQ
E pQ dt
=
= ∫
Sistema mecânico
Fonte de energia
V
i Sistema eléctrico Variáveis
Potência
Energia
Sistema fluídico
2
1
,
t
t
F vP vF
E vF dt
=
= ∫
2
1
,
t
t
i VP Vi
E Vi dt
=
= ∫
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Elementos Básicos Variáveis generalizadas do Sistema
2
1
. t
tE f e dt= ∫
Fluxo Potencial
. P f e=
Porto energético
Fonte de energia
Receptor de energia
f
e
f e
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Elementos Básicos
Mecânicos Eléctricos Fluídicos Térmicos* Translação Rotação
Potencial velocidade velocidade tensão V pressão p temperatura T linear v angular ω
Fluxo força F binário τ corrente i caudal fluxo de
volumétrico Q de calor q
Nota:* o fluxo de calor é uma variável de energia, sendo uma excepção à caracterização energética das variáveis de fluxo e potencial, cujo produto dá a potência instantânea. Por esse motivo se designam sistemas pseudo-tér-micos. O mais correcto seria considerar a variação da entropia como variável de fluxo.
Variáveis dos diversos sistemas energéticos
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Elementos Básicos Mecânicos Eléctricos Fluídicos Térmicos Translação Rotação
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Elementos Básicos Caracterização dos elementos básicos Acumuladores de energia Acumuladores de energia potencial Acumuladores de energia de fluxo Dissipadores de energia Fontes de energia Fontes de energia potencial Fontes de energia de fluxo
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Elementos Básicos Acumuladores de energia de Potencial Variável de potencial acumulado Energia Co-energia
( )ae fϕ= =
0 ou
t aa
dee edt edt
= =∫
1
0 0 0 ( ) a at e e
a a aT ef dt f de e deϕ−= = = =∫ ∫ ∫
Lf
ae
f
( )fϕ
Lf
1 Lf 2 2
*aT fe T= − = 1 Lf 2
2
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Elementos Básicos Acumuladores de Potencial (lineares e ideais)
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Elementos Básicos Acumuladores de energia de Fluxo Variável de fluxo acumulado Energia Co-energia
( )af eϕ= =
0 ou
t aa
dff fdt fdt
= =∫
1
0 0 0 ( ) a at f f
a a aU ef dt e df f dfϕ−= = = =∫ ∫ ∫
Ce
af
e
( )eϕ
Ce
1 Ce 2 2
*aU ef U= − = 1 Ce 2
2
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Elementos Básicos Acumuladores de Fluxo (lineares e ideais)
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Elementos Básicos Dissipadores de energia G – conteúdo energético J – co-conteúdo energético
Potência dissipada
( )e fϕ= =
e
f
( )fϕ
Rf
G Je ff e∂ ∂
= =∂ ∂
ef G J= +
Rf
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Elementos Básicos Dissipadores de Energia (lineares e ideais)
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Elementos Básicos Fontes de energia de potencial Fontes de energia de fluxo
e
f
e1
e
f1
Fornece energia
absorve energia
absorve energia Fornece energia
f
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