Disciplina: Sistemas Digitais e Arquitecturas de Computadores
Professor: Amilcar Guimares [email protected]
Estrutura Modular
Sistemas de NumeraoEstrutura de um sistema de Numerao. Noo de smbolo e noo de nmero como uma sequncia de smbolos, onde os smbolos tm significncia posicional. 2. Frmula geral de significncia posicional num sistema de base B: 3. Principais Sistemas de Numerao utilizados: binrio, octal, hexadecimal.
Sistemas de Numerao4. Converso de nmeros representados em qualquer base, para a base decimal, usando a frmula geral de significncia posicional. 5. Converso de nmeros em decimal para outras bases de numerao atravs do mtodo das divises sucessivas.
Sistemas de Numerao6. A importncia da base binria como um sistema de numerao com dois smbolos 0 e 1, de fcil manipulao no contexto da arquitectura de um computador. 7. Operaes aritmticas (adio e subtraco) em qualquer base (base binria em particular).
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8. Representao de nmeros relativos (positivos e negativos), usando cdigo de complementos. Adio e subtraco de nmeros em cdigo de complementos.
Sistemas de Numerao
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Conceitos bsicos A quantidade de algarismos disponiveis num sistema chamado de Base Exemplo Base dcimal 10 Algarismos 0,1,2 , 9
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Histria Sistema Egpcio (300 a.c) Um dos primeiros sistemas de numerao que temos conhecimento o egpcio, desenvolvido pelas civilizaes que viviam no vale do rio Nilo, no nordeste de frica
Sistema Babilnio (200 a.c) Na escrita dos nmeros de 1 a 59, o sistema de numerao dos babilonios paresia-se com o sistema de numerao desenvolvida pelos egipcios; ambos eram aditivos.
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Histria Sistema Romano
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Histria Sistema Dcimal (india 600 a.c) Os dez simbolos utilizados para representar os nmeros denominam-se algarismos indoarbicos. So eles 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
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Notao Posicional Cada algarismo tem um valor absoluto e um valor relativo
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Notao Posicional (Cont)
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Notao Posicional (Cont) O valor do nmero pode ser obtido atravs do seguinte somatrio.
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Notao Posicional (Cont)
Sistemas de NumeraoExistiram e existem diversos sistemas de numerao. No computador, serve para questes de endereamento, armazenamento, contedo de tabelas e representaes grficas. Bases diferentes usadas nos mais diversos computadores.
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Bases Binria 0, 1
Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
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Representao nas bases 1011012 - 101101 na base 2 (binria) 7528 - 752 na base 8 (octal) 651 - 651 na base 10 (decimal) Quando no indicada a base, a base decimal. Mas poderia ser representado assim: 65110
42316 - 423 na base 16 (hexadecimal)
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Representao nas bases Base decimal 7484 7484 = 7 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 4 7484 = 7 X 103 + 4 X 102 + 8 X 101 + 4 X 100
Representao em polinmio genrico Nmero = dn10n + dn-110n-1 + ... d1101 + d0100
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Representao de binrio na base 10 11010012 11010012 = 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 11010012 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 11010012 = 10510 Nmero = bn2n + bn-12n-1 + ... b121 + b020
Representao em polinmio genrico
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Representao de octal na base 10 546218 546218 = 5 x 84 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 + 1 x 80 546218 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1 546218 = 2292910 Nmero = on8n + on-18n-1 + ... o181 + o080
Representao em polinmio genrico
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Representao de hexadecimal na base 10 3974116 3974116 = 3 x 164 + 9 x 163 + 7 x 162 + 4 x 161 + 1 x 160 3974116 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 1 3974116 = 23532910 Nmero = hn16n + hn-116n-1 + ... h1161 + h0160
Representao em polinmio genrico
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Mudana da base 10 para binrio 714
714 |_2_ 0 357 |_2_ 1 178 |_2_ 0 89 |_2_ 1 44 |_2_ 0 22 |_2_ 0 11 |_2_ 1 5 |_2_ 1 2 |_2_ 0 1
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Mudana da base 10 para binrio 714
714 |_2_ 714 = 10110010102 0 357 |_2_ 1 178 |_2_ 0 89 |_2_ 1 44 |_2_ 0 22 |_2_ 0 11 |_2_ 1 5 |_2_ 1 2 |_2_ 0 1
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Mudana da base 10 para octal 714
714 |_8_ 2 89 |_8_ 1 11 |_8_ 3 1
714 = 13128
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Mudana da base 10 para hexadecimal 714
714 |_16_ 10 44 |_16_ 12 2Hexadecimal
714 = 2CA16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F A=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15
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10110010102
Mudana da base binria para decimal (10) = 0+2+0+8+0+0+64+128+0+512 = 7141 0 1 0 0 1 1 0 1 x x x x x x x x x0 x 20 = 0 21 = 2 22 = 0 23 = 8 24 = 0 25 = 0 26 = 64 27 = 128 28 = 0 29 = 512
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Mudana da base octal para decimal (10) = 2+8+192+512 = 71413128 2 x 80 = 2 1 x 81 = 8 3 x 82 = 192 1 x 83 = 512
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Mudana da base hexadecimal para decimal = 10+192+512 = 7142CA16
= 10192
A x 160 = 10 x 160 C x 161 = 12 x 161 = 2 x 162 = 512
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= 10+192+512 = 714
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Converso do sistema Octal para binrio
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Converso do sistema Binrio para o Octal Utiliza-se o processo inverso do anterior. Separamos o nmero binrio em grupos de trs bits partir da direita. Depois, convertemos cada grupo de bits para o sistema octal.
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Converso do sistema Binrio para o Octal
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Converso do sistema hexadecimal para o binrio. anloga converso do sistema octal para o binrio. Desta vez, precisamos de quatro bits para representar cada dgito hexadecimal.
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Converso do sistema hexadecimal para o binrio.
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Converso do sistema binrio para o sistema hexadecimal. Novamente anloga converso do sistema octal para o binrio. Desta vez agrupamos os bits de 4 em 4 partir da direita.
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Converso do sistema binrio para o sistema hexadecimal.
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Exerccios:
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Exerccios:
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Exerccios:
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Exerccios:
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Nmeros Negativos: Os computadores lidam com nmeros positivos e nmeros negativos, sendo necessrio encontrar uma representao para nmeros com sinal negativo. Existe uma grande variedade de opes, das quais apenas se destacam 4, sendo apenas 3 as actualmente usadas para representar valores negativos:
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Nmeros Negativos: sinal e amplitude/magnitude (S+M) complemento para 1 complemento para 2 notao em excesso (ou biased)
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Sinal e amplitude Como o prprio nome indica, a representao sinal e amplitude utiliza um bit para representar o sinal, o bit mais esquerda: 0 para indicar um valor positivo, 1 para indicar um valor negativo.
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Complemento para 1 Na representao em complemento para 1 invertem-se todos os bits de um nmero para representar o seu complementar: assim se converte um valor positivo para um negativo, e vice-versa.
Quando o bit mais esquerda 0, esse valor positivo; se for 1, ento negativo
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Complemento para 1
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Complemento para 1
O problema desta representao que existem 2 padres de bits para o 0. Nomeadamente 010 = 000000002 = 111111112. A soluo encontrada consiste em representar os nmeros em complemento para 2 .
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Complemento para 1 Exerccios 1. Usando complemento para 1 represente em binrio de 8bits os negativos dos seguintes nmeros. 1. 8910 2. 11210 2. Usando complemento para 1 represente em binrio de 8bits os positivos dos seguintes nmeros. 1. -5210 = 110010112 2. -9110= 101001002
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Complemento para 1 Exerccios Resoluo 1. Usando complemento para 1 represente em binrio de 8bits os negativos dos seguintes nmeros. 1. 8910 = 010110012 101001102= -8910 2. 11210 = 011100002 1 00011112= -11210 2. Usando complemento para 1 represente em binrio de 8bits os positivos dos seguintes nmeros. 1. -5210= 0010112 001101002= 5210 2. -9110= 01001002 010110112= -11210
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Complemento para 2 Para determinar o negativo de um nmero negam-se todos os seus bits e soma-se uma unidade.
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A representao em complemento para 2 tem as seguintes caractersticas: o bit da esquerda indica o sinal; o processo indicado no pargrafo anterior serve para converter um nmero de positivo para negativo e de negativo para positivo; o 0 tem uma representao nica: todos os bits a 0; a gama de valores que possvel representar com n bits -2 ... 2 -1.n-1 n-1
Sistemas de NumeraoComplemento para 2
Sistemas de NumeraoComplemento para 2Exerccios 1. Usando complemento para 2 represente em binrio de 8bits os negativos dos seguintes nmeros. 1. 9310 2. 5510 2. Usando complemento para 2 indique qual o nmero decimal representado. 1. 010010112 2. 101001002
Sistemas de NumeraoComplemento para 2Exerccios Resoluo
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Notao em excesso o valor em binrio com todos os bits a 0 representa o menor valor inteiro, quer este tenha sinal ou no, e o mesmo se aplica ao maior valor em binrio, i.e., com todos os bits a 1: representa o maior inteiro, com ou sem sinal.
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Notao em excesso
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Notao em excesso Como o prprio nome sugere, esta codificao de um inteiro (negativo ou positivo) em binrio com n bits feita sempre em excesso (de 2n-1 ou 2n-1 -1). Neste exemplo com 8 bits, o valor +1 representado em binrio, em notao por excesso de 2n-1, pelo valor (+1 + excesso) = (+1 + 128 ) = (0000 00001 + 1000 00000 ) = 1000 0000110 10 10 10 2
2
2
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Notao em excesso para codificar um nmero em excesso, primeiro soma-se-lhe o excesso, codificando-se depois em binrio puro. Se o excesso 2n-1, ento a gama de valores representveis de [-excesso .. excesso 1].
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Notao em excesso
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Exercicios Notao em excesso Represente em excesso de 64 o valor -13, usando 7bits Represente em excesso de 128 o valor -113, usando 8bits Represente em excesso de 256 o valor -195, usando 9bits
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Exercicios Notao em excesso Diga qual o valor representado por 01101011, sabendo que est representado em excesso de 128 Diga qual o valor representado por 011100011, sabendo que est representado em excesso de 256 Diga qual o valor representado por 011111101, sabendo que est representado em excesso de 256
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Operaes aritmticas em binrio: adio e subtrao A adio em binrio segue exatamente o mesmo conjunto de regras que a adio em qualquer outra base de representao. A nica diferena que o transporte ocorre quando a soma de duas ou mais parcelas ultrapassa o valor 1.
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Operaes aritmticas em binrio: adio e subtrao
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Operaes aritmticas em binrio: adio
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Operaes aritmticas em binrio: Subtrao Para subtrair basta calcular o complemento para 2 do subtrator e adicionar as duas parcelas.
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Operaes aritmticas em binrio: Subtrao
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Operaes aritmticas em binrio: Subtrao
Efetue os seguintes clculos usando aritmtica binria de 8-bits em complemento para 2: a) 4 + 120 b) 70 + 80 c) 100 + (60) d) 100 27
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