Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
Transformada de Fourier de sinais discretos não periódicos
Transformada e série de Fourier de sinais discretos periódicos
Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais discretos
Função resposta de frequência e resposta impulsional
Amostragem de sinais
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nhTF
Motivação
njenx nh ?ny
SLIT
nj
k
kj
k
knj
k
eekh
ekh
knxkh
nxnhny
njjnj eeHnyenx
Espectro de frequência
n
njj enxeX
deeXnx njnj
221 jeH
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Definição
n
njj enxeXnx
0
01
n
nj
n
njn
n
njnj
ae
eaenuaeX
j
n
aeanua
111;1
Exponencial direita
1;1 anuanx n
1 nx
n0
Série geométrica:
1;
1;1
1
r
rr
rrN
Nn
n
jae1
1
r
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Espectro de frequência da exponencial real
sincos11
111;1 jaaae
anua jn
cos21
1sincos1
11
1
2
222
aa
aaaeeX
jj
cos1sinarctanargaaeX j
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Transformada de Fourier Discreta
é sempre periódica em com período jeX 2
Demonstração
n
nkjkj enxeX 22
n
knjnj eenx 2
1
j
n
nj eXenx
Exponenciais complexas discretas com frequências separadas de um múltiplo de representam a mesma exponencial
2
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Definição
221 deeXnxeX njjj
jeXjjj eeXeX arg
jeX
2
1
22
2
jeXarg
21 2
2
2
1
2arg
1:22
j
j
eX
eX
2
2
2
21
deenx njj
2
2
2
21
de
nj
2
2
2
221
nj
enj
22
22
22
1 njnjee
nj
22
sin2 nj 2
12
sin
n
nnx
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Convergência da Transformada de Fourier Discreta
Condição suficiente para a existência de transformada de Fourier:
é absolutamente somável, i.e., nx
n
nx
ou
é de energia finita, i.e., nx
n
nx 2
Vários sinais não periódicos, como o escalão unitário, e os sinais periódicos, não satisfazem estas condições.
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Sinais periódicos
njnjnjj ededeeXnx 00
2
221
21
Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é periódica de período
e que para é ?
nx 02 jeX
2
jeX
0
2
20 20 40 40
22 0
TF0nje
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Sinais periódicos
Ex. 1
22TF1 0njj eeXnnx
22 0
TF0nje
jeX
2
22 44 0
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22
222221
2TFcosTF
00
00
0
00 njnj eenEx. 2
Sinais periódicos
22 0
TF0nje
jeX
22 44 00
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Sinais periódicos
Nk
knNj
keanx2
é periódico com período fundamental e, portanto, com frequência fundamental
N nx
N2
kk
j kN
aeX 22
TF
Série de Fourier do sinal periódico nx
Coeficientes da série de Fourier:
Nn
knNj
k enxN
a21
Combinação linear de exponenciais complexas de frequências Nkk 2
N
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periódico com períodoka 12N
21;
21:65 4433 jaaaak
Série de Fourier
Ex. 1
nnnx
23cos
32sin
32
10
2
320
124,3mmc4
43
2
331
2
2
2
1
1
00
00
NN
N
22
23
23
32
32 njnjnjnj
eejee
Nk
knNj
keanx2
Nn
knNj
k enxN
a21
62
N
Mas
pelo que ...... 153921 aaaa
...... 25
223
27
njnjnjnj
eeee
4a9a 9a4a
njnjnjnjee
je
je 2
33
23
22
3
21
21
21
21
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Série de Fourier
2
1
42
414n
knj
k enxaN
2222 0100
41 kjkjkj
eee kj
e 2
41
2
1
12
2
1
22
41
41
k
knj
k
knjkjeeenx
Nk
knNj
keanx2
Nn
knNj
k enxN
a21
Ex. 2 nx
n
1
4 0 4 8812
… …
12 11411
2cos
21
41
nkj
k nnxea
11
21
2 141 njnjnj
eee
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k
kkXoutros;0
3;21
2
k
kj
kj
kX
outros;0
4;21
4;21
1
Ex.
nnnx
23cos
32sin
6212
N
N
k
kj
kj
k
kX
k
outros;0
4;21
4;21
3;21
:65 Para
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P1. Linearidade jj ebXeaXnbxnax 21
TF
21
kbXkaXnbxnaxN
21
2SF,
21
23
2sin3
23
2
1 jeennx
njnj
223cos
23
23
2
njnjeennx
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Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P2. Translação no Tempo jnj eXennx 0
TF
0
kXennxnk
NjN 02
2SF,
0
Ex.
2
2cos nny
k
kkX
kN
nnx
outros;0
1;21
:21 Para2
22
cos
224
41
22
20
N
N
njjnjjnjnj
eeeeee 22
22
22
222
k
ke
ke
kY
k
j
j
outros;0
1;2
1;2
:21 Para
kXekYnxny kjN
2
2
2
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Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P3. Translação na Frequência 00
TF jnj eXnxe
0
2SF,20 kkXnxe
NnN
jk
Ex.
neny
nj
2cos2
224
41
22
20
N
N
21
21
21
21
20
222
njnjnj
njnjnj
eeeeee
k
k
k
kY
k
outros;0
0;21
2;21
:21 Para
k
kkX
kN
nnx
outros;0
1;21
:21 Para2
22
cos
12
2
2
kXkYnxenyNnj
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P4. Inversão Temporal jeXnxTF
kXnxN
2SF,
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
Ex.
nny
2sin
224
41
22
20
N
N
njnjnjnj
ejejjee 22
22
21
21
2
k
kj
kj
kY
k
outros;0
1;21
1;21
:21 Para
k
kj
kj
kX
kN
nnx
outros;0
1;21
1;21
:21 Para2
22
sin
kXkYnxnyN
22
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Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P5. Convolução jj eXeXnxnx 21
TF
21
kXkNXnxnxN
21
2SF,
21
N
nxxnxnx
2121 Convolução circular:
Ex.
nx2 periódico com período 32 N
31 N nx1
n0 3 63
1
6
… …
322,3),mmc( 21
N
NNN
kenxkXnjk
n
3
131 3
21
111
kXkXkXkNX 2221 313
Propriedade da convolução
nxnxxnxnx 2
1
12121
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Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P6. Diferenciação na Frequência
dedXjnnxjTF
P7. Soma no Tempo
k
jjj
n
keXeXe
x 21
1 0TF
P8. Simetria Se nx é uma função real, então
jj eXeX *TF: kXkX *SF:
jj eXeX * jeX jj eXeX argarg * jeXarg
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Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P9. Modulação jjj ePeSeRnpnsnr
21TF
kPkSkRnpnsnrN
2SF,
3223
2
3
2
kkPkP
kPSkR
Ex. njens 3
2
nj
enp 3
njnj
eenpnsnr 332
31
23 0
1
N 661
2 20
N
3
26,mmc 21
N
NNN
22;02;1
:32 Para
kkkkS
k
11;01;1
kkkkP
njenr
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2sin2 j
0Para é 2
Exemplo
111 NnuNnu
jjNjNjjNjjNjj eUeeeeUeeUeeX 111
1
21
11
TF
1 jj
eeUnu
Tabela:
21sin2 Nj
2sin
21sin N
eX j
Linearidade + Translação no TemponN N
nx1
… …
j
NjNjjjjNjjNjjeUeeeeUeeeee 1
21
21
21
222
221sin2
121sin2 2
2
NjeeeNj
j
j
j
22
121sin2
jjee
Nj
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Resposta Impulsional Resposta em Frequência
nxnhny nx nh jjj eXeHeY jeX jeH
jeHnhTF
Baixa Frequência:
Alta Frequência:
...4,2,0
...5,3,
jeH
2 2
… …
0
Filtro passa-baixo
jeH
2 2
… …0
Filtro passa-alto
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Resposta em Frequência
jeX jeH1 jeH 2 jeY jj eHeH 21
jeX jeY
SLITs em série
jeH1
jeH 2
jeX jeY jj eHeH 21 jeX jeY
SLITs em paralelo
jeX jeY jeH1
jeH 2
jj
jj
eHeHeHeH
21
1
1
Realimentação
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Equação às Diferenças Resposta em Frequência
nySLIT
nx
M
kk
N
kk knxbknya
00
M
kk
N
kk knxbknya
00
TFTF
M
kk
N
kk knxbknya
00
TFTFLinearidade
Translação no tempo
jkjM
kk
N
k
jkjk eXebeYea
00
jkjM
kk
jN
k
kjk eXebeYea
00
N
k
kjk
kjM
kk
j
jj
ea
eb
eXeYeH
0
0
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Amostragem de sinais
t
x(t)
0 T 2T 3T-T-2T-3T 4T-8T -6T -5T -4T 5T-7T-8 n0 1 2 3-1-2-3
xd(n)=x(nT)
-7 -6 -5 -4 54
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modelo matemático
tp
txp tx
n
nTttp
n
p
nTtnTx
tptxtx
Amostragem de sinais
t
xp(t)
-2T -T 0 T 2T 3T 4T 5T
t
x(t)
0
p(t)
t0 T 2T 4T 5T-T 3T-2T
1
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Relação entre os espectros de e tx txp
jPjXjXtptxtx pTF
p 21
k
k
Tk
TjP
kTttp
22
Tabela
djX
Tk
TdjXjPjX
kp
2221
21
k
djXTk
T 21
k TkjX
T 21
k
sp kjXT
jX 1
- frequência de amostragemTs 2
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Relação entre os espectros de e tx txp
k
sp kjXT
jX 1 jX
M M
1
Ms T 22
jX p
T1
2s
ss2s
… …
Ms T 22
jX p
ss
T1
… …
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Teorema da Amostragem
0, jXM
Ms T 22
Seja um sinal contínuo de banda limitada tal que
Então é univocamente determinado pelas suas amostras sse a frequência de amostragem
tx
tx
M2 - ritmo de Nyquist
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Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto nTxnxd
txp
n
njnj
nd
jd enTxenxeX
n
Tnj
np enTxnTtnTxjX TF
nTtnTxtxn
p
Tjdp eXjX
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Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto nTxnxd
txp
Tjdp eXjX Mudança de escala: T jX p
T1
2s
ss2s
……
T1
jd eX
2 2
……
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Amostragem e Reconstrução jX
M M
1
jX r
M M
1
T
ttth
TjH s
s
s
2sin2;02;
dthxthtxtx ppr
nn
nTthnTxdthnTnTx
tnTtnTxtx s
nr
2sin
fórmula de interpolação
jX p
T1
2s
ss2s
tp
tx
n
p nTtnTxtx
… …
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Amostragem de uma sinusoide ttx 50cos)(
)( jX
5050Ms 2100150
txttxr 50cos)(
T
)( jX p
5050 100200 150 200100150
T
T
……
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