Sistemas linearesAula 4 – Respostas de um SLIT
Cronograma
Introdução
Características de um SLIT
Resposta ao degrau unitário
Resposta a entrada nula
Resposta total
Introdução
A convolução entre dois sinais de tempo contínuo 𝑥(𝑡) e ℎ(𝑡) é
dada pela integral:
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = −∞
∞
𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
ℎ(𝑡)𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)
Introdução
Propriedades:
Comutativa:
ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)
Associativa:𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ {ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡 }
Distributiva:
𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + 𝑥 𝑡 ∗ ℎ2(𝑡)
Deslocamento:
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 − 𝑇 = 𝑦(𝑡 − 𝑇)
Elemento Neutro:
𝑥 𝑡 ∗ 𝛿 𝑡 = 𝑥(𝑡)
Introdução
Causalidade:
Se 𝑥(𝑡) e ℎ(𝑡) são sinais causais, então 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) também será
causal
Largura:
Características de um SLIT
Em relação à memória:
Sem memória:
A saída 𝑦(𝑡) só depende da entrada 𝑥(𝑡) em tempo corrente:
𝑦 𝑡 = 𝐾𝑥 𝑡ℎ 𝑡 = 𝐾𝛿 𝑡
Com memória:
A saída 𝑦(𝑡) depende de entradas ou saídas em tempos diferentes
do corrente:
ℎ 𝑡0 ≠ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡0 ≠ 0
Causalidade
𝒉 𝒕 = 𝟎, 𝒕 < 𝟎
𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = 𝟎
∞
ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
Características de um SLIT
Estabilidade:
Um SLIT é considerado estável (BIBO) se sua resposta impulsiva
for integrável em módulo
𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = −∞
∞
ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
𝑦 𝑡 ≤ −∞
∞
|ℎ 𝜏 ||𝑥 𝑡 − 𝜏 |𝑑𝜏
Considerando uma entrada limitada |𝑥 𝑡 − 𝜏 | ≤ 𝐾 < ∞
|𝑦 𝑡 | ≤ −∞
∞
𝐾. |ℎ 𝜏 |𝑑𝜏 = 𝐾 −∞
∞
|ℎ 𝜏 |𝑑𝜏
Logo, para estabilidade BIBO
−∞
∞
ℎ 𝜏 𝑑𝜏 < ∞
Resposta ao degrau unitário
Resposta ao degrau unitário: 𝒔(𝒕)
Caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas
na entrada.
Expressada considerando 𝑥 𝑡 = 𝑢(𝑡) e aplicando a convolução:
𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑢 𝑡 = −∞
𝑡
ℎ 𝜏 𝑑𝜏
Analogamente, podemos expressar 𝒉 𝒕 em função de 𝒔(𝒕):
𝒉 𝒕 =𝒅
𝒅𝒕𝒔(𝒕)
Resposta ao degrau unitário
Exemplo:
Encontre a resposta ao degrau unitário do circuito RC que tem
a resposta ao impulso:
ℎ 𝑡 =1
𝑅𝐶𝑒−𝑡/𝑅𝐶 . 𝑢(𝑡)
Resolução:
𝑠 𝑡 = −∞
𝑡 1
𝑅𝐶𝑒−𝜏/𝑅𝐶 . 𝑢 𝜏 𝑑𝜏 =
0
𝑡 1
𝑅𝐶𝑒−𝜏/𝑅𝐶𝑑𝜏
𝑠 𝑡 = 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 0
1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0
Função própria de um sistema
Recordando:
𝒑(𝒕) será uma função própria (autofunção) de um sitema
caracterizado pela transformação linear 𝐓 ∙ se:
𝐓 𝒑(𝒕) = 𝑷. 𝒑(𝒕)
A transformação linear da função resulta na própria
função
Neste caso, 𝑷 é valor próprio (autovalor) associado à
função própria 𝒑(𝒕)
Função própria de um SLIT
As sequências Exponenciais Complexas são funções
próprias dos SLIT’s
𝐓 𝒆𝒔.𝒕 = 𝝀. 𝒆𝒔.𝒕
𝝀 é o valor próprio (autovalor) de 𝐓 associado à função
própria 𝒆𝒔.𝒕
Equações Diferenciais Lineares com
Coeficientes Constantes - EDLCC
Relembrando:
Equação diferencial geral que descreve um sistema:
𝑑𝑁𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑁+ 𝑎1
𝑑𝑁−1𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑁−1+⋯+ 𝑎𝑁−1
𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑎𝑁𝑦(𝑡)
= 𝑏𝑁−𝑀
𝑑𝑀𝑥 𝑡
𝑑𝑡𝑀+ 𝑏𝑁−𝑀+1
𝑑𝑀−1𝑥 𝑡
𝑑𝑡𝑀−1+⋯+ 𝑏𝑁−1
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑏𝑁𝑥(𝑡)
M e N podem assumir qualquer valor (na prática deve-se ter M ≤ N)
Fazendo-se 𝐷 = 𝑑/𝑑𝑡
𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑁−𝑀𝐷
𝑀 + 𝑏𝑁−𝑀+1𝐷𝑀−1 +⋯+ 𝑏𝑁−1𝐷 + 𝑏𝑁 𝑥 𝑡
𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥(𝑡)
Resposta a entrada nula
𝑥(𝑡) = 0
Logo,
𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥 𝑡 = 0
𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 0
Solução:
𝑦0 𝑡 = 𝑐. 𝑒𝜆𝑡
Resposta a entrada nula
Substituindo 𝑦(𝑡) = 𝑦0(𝑡):
𝐷𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆𝑒𝜆𝑡
𝐷2𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝐷3𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆3𝑒𝜆𝑡
⋮
𝐷𝑁𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆𝑁𝑒𝜆𝑡
Logo,
𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 0
𝑐 𝜆𝑁 + 𝑎1𝜆𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝜆 + 𝑎𝑁 𝑒𝜆𝑡 = 0
𝜆𝑁 + 𝑎1𝜆𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝜆 + 𝑎𝑁 = 0
𝑄 𝜆 = 0Polinômio Característico do SLIT
Resposta a entrada nula
Com N raízes distintas:
𝑄 𝜆 = 0
𝜆 − 𝜆1 𝜆 − 𝜆2 … 𝜆 − 𝜆𝑁 = 0
Daí,
𝑦0 𝑡 = 𝑐1. 𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2. 𝑒
𝜆2𝑡 +⋯+ 𝑐𝑁. 𝑒𝜆𝑁𝑡
Resposta a entrada nula
𝑸 𝝀 é chamado de polinômio característico do sistema, e não
depende da entrada 𝒙(𝒕);
A equação 𝑸 𝝀 = 𝟎 é chamada de equação característica;
As raízes 𝝀𝟏, 𝝀𝟐, … , 𝝀𝑵 são chamadas de raízes características do
sistema. Também chamados de valores característicos, autovalores
e frequências naturais;
Resposta a entrada nula
As exponenciais 𝒆𝝀𝟏𝒕, 𝒆𝝀𝟐𝒕, … , 𝒆𝝀𝑵𝒕 são chamadas de modos
característicos. Também chamados de modos naturais;
Todo comportamento de um sistema é ditado principalmente
pelos modos característicos;
Modos característicos são etapa determinante da resposta ao
estado nulo;
A resposta de entrada nula é a combinação linear dos modos
característicos do sistema;
Resposta a entrada nula
Exemplo:
Seja um sistema linear invariante no tempo contínuo descrito
pela EDLCC abaixo. Determine o polinômio característico, as
raízes e os modos característicos do sistema. Determine também
a resposta de entrada nula quando 𝑦0 0 = 2 e 𝑑𝑦0 0
𝑑𝑡= −1.
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2+ 5
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡+ 6𝑦(𝑡) =
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑥(𝑡)
Resposta a entrada nula
Exemplo:
Solução:
Considerando 𝐷 = 𝑑/𝑑𝑡: 𝐷2 + 5𝐷 + 6 𝑦 𝑡 = 𝐷 + 1 𝑥 𝑡𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥 𝑡
Polinômio característico: 𝑄 𝜆 = 𝜆2 + 5𝜆 + 6
Solucionando a equação característica 𝑄 𝜆 = 0, encontram-se as raízes
características:
𝜆1 = −2 , 𝜆2 = −3
Desta forma, os modos característicos são: 𝑒−2𝑡 e 𝑒−3𝑡
A resposta a entrada nula é: 𝑦0 𝑡 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒
−3𝑡
Resposta a entrada nula
Exemplo:
Solução:
A resposta a entrada nula é: 𝑦0 𝑡 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒
−3𝑡 e𝑑𝑦0(𝑡)
𝑑𝑡= −2𝑐1𝑒
−2𝑡 − 3𝑐2𝑒−3𝑡
Considerando os valores iniciais:
𝑦0 0 = 2 = 𝑐1𝑒−2.0 + 𝑐2𝑒
−3.0
𝑑𝑦0(0)
𝑑𝑡= −1 = −2𝑐1𝑒
−2.0 − 3𝑐2𝑒−3.0
Solucionando este sistema de equações, temos: 𝑐1 = 5 e 𝑐2 = −3
Portanto,
𝑦0 𝑡 = 5𝑒−2𝑡 − 3𝑒−3𝑡
Resposta Total
A resposta completa de um SLIT é:
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜 + 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑘=1
𝑁
𝑐𝑘𝑒𝜆𝑘𝑡
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎
+ 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜
Considerando raízes distintas. Caso o sistema avaliado possua raízes
repetidas, deve-se modificar a equação acima;
Resposta total
Para determinar a resposta ao impulso de um sistema descrito por uma
EDLCC, pode-se utilizar da relação:
ℎ 𝑡 = 𝑏0𝛿 𝑡 + 𝑃 𝐷 𝑦𝑁 𝑡 𝑢 𝑡 , 𝑏0 = 0 𝑠𝑒 𝑀 < 𝑁
Onde 𝑦𝑁(𝑡) é a combinação linear dos modos característicos e sujeitos às
condições iniciais:
𝑦 0 =𝑑𝑦(0)
𝑑𝑡=
𝑑2𝑦(0)
𝑑𝑡2= ⋯ =
𝑑𝑁−2𝑦 0
𝑑𝑡𝑁−2 = 0 e 𝑑𝑁−1𝑦 0
𝑑𝑡𝑁−1 = 1
Resposta total
Exemplo:
Seja um SLIT descrito por sua EDLCC abaixo. Determine a resposta ao
impulso quando 𝑦0 0 = 0 e 𝑑𝑦0(0)
𝑑𝑡= 1.
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2+ 3
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡+ 2𝑦(𝑡) =
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
Solução:
𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0𝜆1 = −1 , 𝜆2 = −2
𝑦𝑁 𝑡 = 𝑐1𝑒−𝑡 + 𝑐2𝑒
−2𝑡
𝑑𝑦𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= −𝑐1𝑒
−𝑡 − 2𝑐2𝑒−2𝑡
Resposta total
Solução:
Aplicando condições inicias nulas:
𝑦𝑁 0 = 0 = 𝑐1𝑒0 + 𝑐2𝑒
0
𝑑𝑦𝑁(0)
𝑑𝑡= 1 = −𝑐1𝑒
0 − 2𝑐2𝑒0
Logo, 𝑐1 = 1 , 𝑐2 = −1
Então,
𝑦𝑁 𝑡 = 𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡
Para determinar a resposta ao impulso:
ℎ 𝑡 = 𝑏0𝛿 𝑡 + 𝑃 𝐷 𝑦𝑁 𝑡 𝑢 𝑡ℎ 𝑡 = 0𝛿 𝑡 + 𝐷(𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡) 𝑢 𝑡
ℎ 𝑡 = 2𝑒−2𝑡 − 𝑒−𝑡 𝑢(𝑡)
Bibliografia
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
856 p. ISBN 9788560031139
HAYKIN, Simon S. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p.
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