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Cálculo Numérico
Andrey Dione Ferreira
Volta Redonda, RJ.
e-mail: [email protected]
IFRJ
17 de novembro de 2015
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 1 / 87
Sumário
1. Informações sobre o curso
2. Introdução
Conceitos Básicos
Noções de erros
Conversão de base: aritmética de ponto �utuante
Polinômios de Taylor
3. Raízes de Funções
Método Interativo Linear (MIL)
Método de Newton-Raphson (MNR)
4. Solução de Sistemas Lineares
Métodos DiretosMétodo da Eliminação de Gauss
Métodos InterativosMétodo de Gauss Jacobi
Método de Gauss-Seidel
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Objetivo
Conhecer e aplicar métodos numéricos para solucionar problemas matemáticos queenvolvam funções polinomiais, algébricas, transcendentais, sistemas lineares, integrais,bem como desenvolver, compreender e analisar os resultados obtidos a partir de algorit-mos computacionais que implementam métodos numéricos.
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Ementa
1. Parte 1:• Introdução: Natureza e objetivo do cálculo numérico.• Construção de algoritmos.• Aritmética de ponto �utuante.• Aproximação por arredondamento e truncamento.• Estudos de erros: erro absoluto e relativo.• Métodos numéricos diretos e iterativos para solucionar sistemas lineares, Fatoração
LU.
2. Parte 2• Resolução numérica de equações polinomiais, algébricas e transcendentais.• Interpolação polinomial.• Integração numérica.
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Ementa
1. Parte 1:• Introdução: Natureza e objetivo do cálculo numérico.• Construção de algoritmos.• Aritmética de ponto �utuante.• Aproximação por arredondamento e truncamento.• Estudos de erros: erro absoluto e relativo.• Métodos numéricos diretos e iterativos para solucionar sistemas lineares, Fatoração
LU.
2. Parte 2• Resolução numérica de equações polinomiais, algébricas e transcendentais.• Interpolação polinomial.• Integração numérica.
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Referências
Básica:
1. SPERANDIO, Décio. SILVA, Luiz Henry M. e MENDES, Joãoo Teixeira. CÁL-CULO NUMÉRICO: Características matemáticas e computacionais dos métodosnuméricos. 1a Edição, São Paulo, Brasil: Pearson Prentice Hall, 2003.
2. BURDEN, Richard L., FAIRES, J. Douglas. Análise Numérica. 8 ed. São Paulo,Brasil: Cengage Learning, 2008.
3. RUGGIERO, Márcia A G. LOPES, Vera Lúcia R.. Cálculo Numérico: Aspectosteóricos e computacionais . 2. São Paulo, Brasil: Makron Books , 2005.
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AvaliaçõesParte 1
Uma avaliação escrita E1 = 10 e uma avaliação prática P1 = 10, gerando umamédia
N1 = 0, 6× E1 + 0, 4× P1
Parte 2
Uma avaliação escrita E2 = 10 e uma avaliação prática P2 = 10 com média
N2 = 0, 5× E2 + 0, 5× P2
Média M:
M =N1 +N2
2.
Condições de aprovação direta:
• Se M > 6.0 : Aprovado e com direito de Avaliação Suplementar (AS)• Se 4.0 6M : Direito a Avaliação Suplementar• Se M < 4.0: Reprovado
Media F inal (MF ) =
{ M +AS
2, se fez AS
M, se não fez AS
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AvaliaçõesParte 1
Uma avaliação escrita E1 = 10 e uma avaliação prática P1 = 10, gerando umamédia
N1 = 0, 6× E1 + 0, 4× P1
Parte 2
Uma avaliação escrita E2 = 10 e uma avaliação prática P2 = 10 com média
N2 = 0, 5× E2 + 0, 5× P2
Média M:
M =N1 +N2
2.
Condições de aprovação direta:
• Se M > 6.0 : Aprovado e com direito de Avaliação Suplementar (AS)• Se 4.0 6M : Direito a Avaliação Suplementar• Se M < 4.0: Reprovado
Media F inal (MF ) =
{ M +AS
2, se fez AS
M, se não fez AS
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AvaliaçõesParte 1
Uma avaliação escrita E1 = 10 e uma avaliação prática P1 = 10, gerando umamédia
N1 = 0, 6× E1 + 0, 4× P1
Parte 2
Uma avaliação escrita E2 = 10 e uma avaliação prática P2 = 10 com média
N2 = 0, 5× E2 + 0, 5× P2
Média M:
M =N1 +N2
2.
Condições de aprovação direta:
• Se M > 6.0 : Aprovado e com direito de Avaliação Suplementar (AS)• Se 4.0 6M : Direito a Avaliação Suplementar• Se M < 4.0: Reprovado
Media F inal (MF ) =
{ M +AS
2, se fez AS
M, se não fez AS
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Outras informações
Para
• Material complementar (apostilas, vídeos e outros);
• Calendário;
• Ficar menos perdido;
Acesse: https://sites.google.com/a/ifrj.edu.br/andrey-ferreira/
O link se encontra em:Site do Campus > Informações Acadêmicas: Corpo docente - Andrey Dione Ferreira
- site
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Outras informações
Para
• Material complementar (apostilas, vídeos e outros);
• Calendário;
• Ficar menos perdido;
Acesse: https://sites.google.com/a/ifrj.edu.br/andrey-ferreira/
O link se encontra em:Site do Campus > Informações Acadêmicas: Corpo docente - Andrey Dione Ferreira
- site
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IntroduçãoFases de resolução de problemas físicos
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Conceitos Básicos:
• Problema Numérico;
• Método Numérico;
• Algoritmo; e
• Interações.
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Conceitos BásicosProblema Numérico
Problema 1
Determinar as soluções da equação
x6 − 20x5 − 110x4 + 50x3 − 5x2 + 70x− 100 = 0 (1)
é um problema numérico, uma vez que os dados de entrada e saída do problema sãoconjuntos numéricos.
Problema 2
Determinar a solução de d2y
dx2= x2 + y2, x ∈ (0, 5)
y(0) = 0y(5) = 1.
(2)
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Conceitos BásicosProblema Numérico
Problema 1
Determinar as soluções da equação
x6 − 20x5 − 110x4 + 50x3 − 5x2 + 70x− 100 = 0 (1)
é um problema numérico, uma vez que os dados de entrada e saída do problema sãoconjuntos numéricos.
Problema 2
Determinar a solução de d2y
dx2= x2 + y2, x ∈ (0, 5)
y(0) = 0y(5) = 1.
(2)
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Podemos transformar o problema 2 em um problema numérico via, por exemplo, ummétodo de diferenças �nitas. Nesse caso, podemos ter
Problema 3
Determinar yi, i = 1, · · · ,m− 1 tal que yi+1 − 2yi + yi − 1 = h2(x2i + y2i ), i = 1, · · · ,m− 1y0 = 0ym = 1,
(3)
onde yi ≈ y(xi), h = 5/m e xi = ih.
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Conceitos BásicosMétodo Numérico
De�nição 1 (Método Numérico)
Método numérico é um conjunto de procedimentos utilizados para transformar ummodelo matemático num problema numérico ou um conjunto de procedimentos usadospara resolver um problema numérico.
Na escolha ou construção de um método numérico, devemos avaliar os seguinte as-pectos
1. precisão e capacidade desejada para os resultados;
2. capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de conver-gência); e
3. esforço computacional despendido (tempo de processamento, economia de memórianecessária para a resolução).
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Conceitos BásicosMétodo Numérico
De�nição 1 (Método Numérico)
Método numérico é um conjunto de procedimentos utilizados para transformar ummodelo matemático num problema numérico ou um conjunto de procedimentos usadospara resolver um problema numérico.
Na escolha ou construção de um método numérico, devemos avaliar os seguinte as-pectos
1. precisão e capacidade desejada para os resultados;
2. capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de conver-gência); e
3. esforço computacional despendido (tempo de processamento, economia de memórianecessária para a resolução).
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Conceitos BásicosMétodo Numérico
De�nição 1 (Método Numérico)
Método numérico é um conjunto de procedimentos utilizados para transformar ummodelo matemático num problema numérico ou um conjunto de procedimentos usadospara resolver um problema numérico.
Na escolha ou construção de um método numérico, devemos avaliar os seguinte as-pectos
1. precisão e capacidade desejada para os resultados;
2. capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de conver-gência); e
3. esforço computacional despendido (tempo de processamento, economia de memórianecessária para a resolução).
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Conceitos BásicosMétodo Numérico
De�nição 1 (Método Numérico)
Método numérico é um conjunto de procedimentos utilizados para transformar ummodelo matemático num problema numérico ou um conjunto de procedimentos usadospara resolver um problema numérico.
Na escolha ou construção de um método numérico, devemos avaliar os seguinte as-pectos
1. precisão e capacidade desejada para os resultados;
2. capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de conver-gência); e
3. esforço computacional despendido (tempo de processamento, economia de memórianecessária para a resolução).
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Conceitos BásicosAlgoritmo
De�nição 2 (Algoritmo)
Um algoritmo é uma sequência �nita (digamos de tamanho n) de regras, raciocíniosou operações que, aplicada a um número �nito de dados, permite solucionar classessemelhantes de problemas.
Observação:
• Cada passo de um algoritmo envolve um número �nito de operações;
• Ao �m dos n passos, um algoritmo deve fornecer valores ao menos "próximos"dasolução do problema matemático;
• O valor de n não precisa ser conhecido (algoritmos interativos).
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Conceitos BásicosMétodos interativos
Envolvem:
• Interação (repetição do processo) ou aproximações sucessivas;
• Tentativa inicial: Primeira aproximação para a solução do problema numérico;
• Equação de recorrência: Equação por meio da qual, são realizadas as interações;
• Teste de parada: Instrumento por meio do qual �naliza-se o processo interativo.
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Conceitos BásicosMétodos interativos
Envolvem:
• Interação (repetição do processo) ou aproximações sucessivas;
• Tentativa inicial: Primeira aproximação para a solução do problema numérico;
• Equação de recorrência: Equação por meio da qual, são realizadas as interações;
• Teste de parada: Instrumento por meio do qual �naliza-se o processo interativo.
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Conceitos BásicosMétodos interativos
Envolvem:
• Interação (repetição do processo) ou aproximações sucessivas;
• Tentativa inicial: Primeira aproximação para a solução do problema numérico;
• Equação de recorrência: Equação por meio da qual, são realizadas as interações;
• Teste de parada: Instrumento por meio do qual �naliza-se o processo interativo.
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Conceitos BásicosMétodos interativos
Envolvem:
• Interação (repetição do processo) ou aproximações sucessivas;
• Tentativa inicial: Primeira aproximação para a solução do problema numérico;
• Equação de recorrência: Equação por meio da qual, são realizadas as interações;
• Teste de parada: Instrumento por meio do qual �naliza-se o processo interativo.
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Noções de erros
Principais fontes de erros:
1. erro nos dados de entrada;
2. erros no estabelecimento do modelo matemático;
3. erros de arredondamento durante a computação (dependem de como os númerossão representados na máquina);
4. erros de truncamento; e
5. erros humanos e de máquinas.
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Noções de erros
Principais fontes de erros:
1. erro nos dados de entrada;
2. erros no estabelecimento do modelo matemático;
3. erros de arredondamento durante a computação (dependem de como os númerossão representados na máquina);
4. erros de truncamento; e
5. erros humanos e de máquinas.
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Noções de erros
Principais fontes de erros:
1. erro nos dados de entrada;
2. erros no estabelecimento do modelo matemático;
3. erros de arredondamento durante a computação (dependem de como os númerossão representados na máquina);
4. erros de truncamento; e
5. erros humanos e de máquinas.
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Noções de erros
Principais fontes de erros:
1. erro nos dados de entrada;
2. erros no estabelecimento do modelo matemático;
3. erros de arredondamento durante a computação (dependem de como os númerossão representados na máquina);
4. erros de truncamento; e
5. erros humanos e de máquinas.
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Noções de erros
Principais fontes de erros:
1. erro nos dados de entrada;
2. erros no estabelecimento do modelo matemático;
3. erros de arredondamento durante a computação (dependem de como os númerossão representados na máquina);
4. erros de truncamento; e
5. erros humanos e de máquinas.
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Conversão de base: aritmética de ponto �utuanteBase decimal e binária
De forma geral, um número x ∈ R na base β é representado por
x = (amam−1 . . . a1a0, b1b2 . . . bn)β ,
isto é,
x = amβm + am−1β
m−1 + · · ·+ a1β1 + a0β
0 + b1β−1 + b2β
−2 + · · ·+ bnβ−n, (4)
ondeai, i = 0, 1, 2, . . . , e bj , j = 1, 2, . . . , n
pertencem ao conjuntoA = {k ∈ N; 0 6 k 6 β − 1} .
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Exemplos:
Sistema decimal (β = 10): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};Sistema octal (β = 80): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};Sistema binário (β = 2): A = {0, 1}.
Exercício: Dado o número real x na base indicada, escreva-o na forma da expressão(4).
a) (1995)10
b) (19, 95)10
c) (10111)2
d) (1011, 101)2
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Exemplos:
Sistema decimal (β = 10): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};Sistema octal (β = 80): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};Sistema binário (β = 2): A = {0, 1}.Exercício: Dado o número real x na base indicada, escreva-o na forma da expressão
(4).
a) (1995)10
b) (19, 95)10
c) (10111)2
d) (1011, 101)2
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Exemplos:
Sistema decimal (β = 10): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};Sistema octal (β = 80): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};Sistema binário (β = 2): A = {0, 1}.Exercício: Dado o número real x na base indicada, escreva-o na forma da expressão
(4).
a) (1995)10
b) (19, 95)10
c) (10111)2
d) (1011, 101)2
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Exemplos:
Sistema decimal (β = 10): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};Sistema octal (β = 80): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};Sistema binário (β = 2): A = {0, 1}.Exercício: Dado o número real x na base indicada, escreva-o na forma da expressão
(4).
a) (1995)10
b) (19, 95)10
c) (10111)2
d) (1011, 101)2
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Exemplos:
Sistema decimal (β = 10): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};Sistema octal (β = 80): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};Sistema binário (β = 2): A = {0, 1}.Exercício: Dado o número real x na base indicada, escreva-o na forma da expressão
(4).
a) (1995)10
b) (19, 95)10
c) (10111)2
d) (1011, 101)2
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Mudança de base: Decimal para binária
Passo 1: Divide-se sucessivamente a parte inteira de x na base 10 por 2, até que oúltimo quociente seja igual a 1.
amam−1 . . . a1a0 2r0 q1 2
r1 q2 2
r2 q3
. . .qe 2re 1
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Mudança de base: Decimal para binária
Passo 2: Compõe-se i que representará a parte inteira do número na base bináriada seguinte forma:
i = 1re . . . r1r0.
Passo 3: Multiplica-se a parte fracionária de x na base 10 por 2. Desse resultadotomasse a parte inteira como sendo o primeiro dígito de f , que representará a partefracionária, desse número na base binária. Repete-se esse procedimento até que a partefracionária do último produto seja igual a zero ou apareça uma dízima.
0, b1b2 . . . bn×2
f1, b11b
12 . . . b
1n
0, b11b12 . . . b
1n
×2
f1, b21b
22 . . . b
2n
· · ·
0, bk−11 bk−1
2 . . . bk−1n
×2
fk, 00 . . . 0
f = 0, f1f2 . . . fk.
Finalmente:
x = (amam−1 . . . a1a0, b1b2 . . . bn)10 = (1re . . . r1r0, f1f2, . . . , fk)2.
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Mudança de base: Decimal para binária
Passo 2: Compõe-se i que representará a parte inteira do número na base bináriada seguinte forma:
i = 1re . . . r1r0.
Passo 3: Multiplica-se a parte fracionária de x na base 10 por 2. Desse resultadotomasse a parte inteira como sendo o primeiro dígito de f , que representará a partefracionária, desse número na base binária. Repete-se esse procedimento até que a partefracionária do último produto seja igual a zero ou apareça uma dízima.
0, b1b2 . . . bn×2
f1, b11b
12 . . . b
1n
0, b11b12 . . . b
1n
×2
f1, b21b
22 . . . b
2n
· · ·
0, bk−11 bk−1
2 . . . bk−1n
×2
fk, 00 . . . 0
f = 0, f1f2 . . . fk.
Finalmente:
x = (amam−1 . . . a1a0, b1b2 . . . bn)10 = (1re . . . r1r0, f1f2, . . . , fk)2.
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Mudança de base: Decimal para binária
Passo 2: Compõe-se i que representará a parte inteira do número na base bináriada seguinte forma:
i = 1re . . . r1r0.
Passo 3: Multiplica-se a parte fracionária de x na base 10 por 2. Desse resultadotomasse a parte inteira como sendo o primeiro dígito de f , que representará a partefracionária, desse número na base binária. Repete-se esse procedimento até que a partefracionária do último produto seja igual a zero ou apareça uma dízima.
0, b1b2 . . . bn×2
f1, b11b
12 . . . b
1n
0, b11b12 . . . b
1n
×2
f1, b21b
22 . . . b
2n
· · ·
0, bk−11 bk−1
2 . . . bk−1n
×2
fk, 00 . . . 0
f = 0, f1f2 . . . fk.
Finalmente:
x = (amam−1 . . . a1a0, b1b2 . . . bn)10 = (1re . . . r1r0, f1f2, . . . , fk)2.
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Mudança de base: Binária para decimal
Seja x = (1re . . . r1r0, f1f2 . . . fk)2. Para converter este número para a base binária,basta
1. Representá-lo conforme (4)
x = amβm + am−1β
m−1 + · · ·+ a1β1 + a0β
0 + b1β−1 + b2β
−2 + · · ·+ bnβ−n,
e
2. efetuar as operações.
Exemplo:
x Representação na base 10
(10111)2 1× 24 + 0× 23 + 1× 22 + 1× 21 +×20 = (23)10
(10111, 101)2 (23)10 + 1× 2−1 + 0× 2−2 + 1× 2−3 = (23, 625)10
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Mudança de base: Binária para decimal
Seja x = (1re . . . r1r0, f1f2 . . . fk)2. Para converter este número para a base binária,basta
1. Representá-lo conforme (4)
x = amβm + am−1β
m−1 + · · ·+ a1β1 + a0β
0 + b1β−1 + b2β
−2 + · · ·+ bnβ−n,
e
2. efetuar as operações.
Exemplo:
x Representação na base 10
(10111)2 1× 24 + 0× 23 + 1× 22 + 1× 21 +×20 = (23)10
(10111, 101)2 (23)10 + 1× 2−1 + 0× 2−2 + 1× 2−3 = (23, 625)10
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Aritmética de ponto �utuante
Dois tipos de erros por arredondamento podem surgir:
1. No processo de conversão de base:
Ex :(0, 6)10 = (0, 10011001 . . . )2;
2. Na representação �nita de dígitos que as máquinas utilizam.
Como os números são representados na aritmética de ponto �utuante?Considere uma aritmética de ponto �utuante de t dígitos. Um números real na base
β nessa aritmética tem a forma geral
±(.d1d2 . . . dt)× βE (5)
onde (.d1d2 . . . dt) é uma fração de β, que chamamos de mantissa, 0 6 dj 6 β − 1,j = 1, . . . , t; E ∈ (m,M), com os valores de m e M dependendo da máquina utilizada.(Em geral m = −M)
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Aritmética de ponto �utuante
Dois tipos de erros por arredondamento podem surgir:
1. No processo de conversão de base:
Ex :(0, 6)10 = (0, 10011001 . . . )2;
2. Na representação �nita de dígitos que as máquinas utilizam.
Como os números são representados na aritmética de ponto �utuante?Considere uma aritmética de ponto �utuante de t dígitos. Um números real na base
β nessa aritmética tem a forma geral
±(.d1d2 . . . dt)× βE (5)
onde (.d1d2 . . . dt) é uma fração de β, que chamamos de mantissa, 0 6 dj 6 β − 1,j = 1, . . . , t; E ∈ (m,M), com os valores de m e M dependendo da máquina utilizada.(Em geral m = −M)
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Aritmética de ponto �utuante
• O número máximo de dígitos t é determinado pelo comprimento da palavra nocomputador;
• Um bit é um digito da mantissa, quando é empregado a base 2;
• Considerando β = 10, na aritmética de ponto �utuante adota-se o arredondamentousual (por falta ou por excesso);
• Um número não poderá ser representado na máquina com sistema de aritmética deponto �utuante se o expoente E estiver fora dos limites m e M :
• Erro de under�ow se resultar E < m;• Erro de over�ow se resultar E > M .
Um sistema de ponto �utuante depende, portanto, das variáveis β, t,m,M e podeser representado pela função
F = F (β, t,m,M).
A precisão da máquina com o sistema F �ca de�nido pelo número de dígitos damantissa.
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Aritmética de ponto �utuante
• O número máximo de dígitos t é determinado pelo comprimento da palavra nocomputador;
• Um bit é um digito da mantissa, quando é empregado a base 2;
• Considerando β = 10, na aritmética de ponto �utuante adota-se o arredondamentousual (por falta ou por excesso);
• Um número não poderá ser representado na máquina com sistema de aritmética deponto �utuante se o expoente E estiver fora dos limites m e M :
• Erro de under�ow se resultar E < m;• Erro de over�ow se resultar E > M .
Um sistema de ponto �utuante depende, portanto, das variáveis β, t,m,M e podeser representado pela função
F = F (β, t,m,M).
A precisão da máquina com o sistema F �ca de�nido pelo número de dígitos damantissa.
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Aritmética de ponto �utuante
• O número máximo de dígitos t é determinado pelo comprimento da palavra nocomputador;
• Um bit é um digito da mantissa, quando é empregado a base 2;
• Considerando β = 10, na aritmética de ponto �utuante adota-se o arredondamentousual (por falta ou por excesso);
• Um número não poderá ser representado na máquina com sistema de aritmética deponto �utuante se o expoente E estiver fora dos limites m e M :
• Erro de under�ow se resultar E < m;• Erro de over�ow se resultar E > M .
Um sistema de ponto �utuante depende, portanto, das variáveis β, t,m,M e podeser representado pela função
F = F (β, t,m,M).
A precisão da máquina com o sistema F �ca de�nido pelo número de dígitos damantissa.
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Aritmética de ponto �utuante
• O número máximo de dígitos t é determinado pelo comprimento da palavra nocomputador;
• Um bit é um digito da mantissa, quando é empregado a base 2;
• Considerando β = 10, na aritmética de ponto �utuante adota-se o arredondamentousual (por falta ou por excesso);
• Um número não poderá ser representado na máquina com sistema de aritmética deponto �utuante se o expoente E estiver fora dos limites m e M :
• Erro de under�ow se resultar E < m;• Erro de over�ow se resultar E > M .
Um sistema de ponto �utuante depende, portanto, das variáveis β, t,m,M e podeser representado pela função
F = F (β, t,m,M).
A precisão da máquina com o sistema F �ca de�nido pelo número de dígitos damantissa.
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Aritmética de ponto �utuante
• O número máximo de dígitos t é determinado pelo comprimento da palavra nocomputador;
• Um bit é um digito da mantissa, quando é empregado a base 2;
• Considerando β = 10, na aritmética de ponto �utuante adota-se o arredondamentousual (por falta ou por excesso);
• Um número não poderá ser representado na máquina com sistema de aritmética deponto �utuante se o expoente E estiver fora dos limites m e M :
• Erro de under�ow se resultar E < m;• Erro de over�ow se resultar E > M .
Um sistema de ponto �utuante depende, portanto, das variáveis β, t,m,M e podeser representado pela função
F = F (β, t,m,M).
A precisão da máquina com o sistema F �ca de�nido pelo número de dígitos damantissa.
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Exemplos:
1. Considerando o sistema de aritmética de ponto �utuante F (10, 3,−4, 4), temos aseguinte representação nesse sistema para o número x
x Representação
−279, 15 −0, 279× 103
1, 35 0, 135× 103
0, 024712 0, 247× 10−1
10.093 0, 101× 102
2. Considerando o sistema de aritmética de ponto �utuante F (2, 10,−15, 15)
x Representação
(23)10 0, 10111000000× 2101
(−7, 125)10 −0, 1110010000× 211
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Exemplos:
1. Considerando o sistema de aritmética de ponto �utuante F (10, 3,−4, 4), temos aseguinte representação nesse sistema para o número x
x Representação
−279, 15 −0, 279× 103
1, 35 0, 135× 103
0, 024712 0, 247× 10−1
10.093 0, 101× 102
2. Considerando o sistema de aritmética de ponto �utuante F (2, 10,−15, 15)
x Representação
(23)10 0, 10111000000× 2101
(−7, 125)10 −0, 1110010000× 211
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Representação no computador
No sistema F (2, 10,−15, 15), a representação de (23)10 �ca assim:
0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
Sinal
daMantissa
Valor da Mantissa Sinal
doexpoente
Valor
doexpoente
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Representação no computador
Já para (−7, 125)10 = −0, 1110010000× 211 tem-se:
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Sinal
daMantissa
Valor da Mantissa Sinal
doexpoente
Valor
doexpoente
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Erro de truncamento
É o erro inerente ao método numérico. este erro surge quando substituimos umpricedimento matemático in�nito por um �nito.
Exemplo 1
A série de Taylor da função f de�nida por f(x) = ex em torno de x = 0 é expressapor:
ex = 1 + x+x2
2!+x3
3!+x4
4!+ · · · ,
então
e = 1 + 1 +1
2!+
1
3!+
1
4!+ · · · .
Desejando-se calculara o valor de e utilizando-se os cincos primeiros terms da série,tem-se:
e ≈ 2, 708.
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Erro Absoluto e Erro Relativo
Seja x o valor aproximado para uma quatidade cujo valor exato é x. Então de�nimos:
Erro absoluto em x : |x− x|
Erro relativo em x :
∣∣∣∣x− xx∣∣∣∣
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Propagação de Erro: Instabilidade numérica
Como o erro se propaga em uma seqência de operações?
Estabilidade numérica: Caso a propagação do erro não seja signi�cativa, dizemosque o problema (método) é estável numéricamente. Caso contrário, se pequenas per-turbações afetam de forma signi�cativa o resultado, dizemos que o problema é instávelnumericamente.
Exemplo 2
Calcular os termos da sequência {yi}i∈N, onde
yn =
∫ 1
0
xn
x+ 5dx. (6)
Note que {yn} é decrescente (y0 > y1 > y2 > y3 > · · · ) e yi > 0, i = 1, 2, 3, · · · .
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Propagação de Erro: Instabilidade numérica
Como o erro se propaga em uma seqência de operações?
Estabilidade numérica: Caso a propagação do erro não seja signi�cativa, dizemosque o problema (método) é estável numéricamente. Caso contrário, se pequenas per-turbações afetam de forma signi�cativa o resultado, dizemos que o problema é instávelnumericamente.
Exemplo 2
Calcular os termos da sequência {yi}i∈N, onde
yn =
∫ 1
0
xn
x+ 5dx. (6)
Note que {yn} é decrescente (y0 > y1 > y2 > y3 > · · · ) e yi > 0, i = 1, 2, 3, · · · .
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Propagação de Erro: Instabilidade numérica
Como o erro se propaga em uma seqência de operações?
Estabilidade numérica: Caso a propagação do erro não seja signi�cativa, dizemosque o problema (método) é estável numéricamente. Caso contrário, se pequenas per-turbações afetam de forma signi�cativa o resultado, dizemos que o problema é instávelnumericamente.
Exemplo 2
Calcular os termos da sequência {yi}i∈N, onde
yn =
∫ 1
0
xn
x+ 5dx. (6)
Note que {yn} é decrescente (y0 > y1 > y2 > y3 > · · · ) e yi > 0, i = 1, 2, 3, · · · .
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Propagação de Erro: Instabilidade numérica
Como o erro se propaga em uma seqência de operações?
Estabilidade numérica: Caso a propagação do erro não seja signi�cativa, dizemosque o problema (método) é estável numéricamente. Caso contrário, se pequenas per-turbações afetam de forma signi�cativa o resultado, dizemos que o problema é instávelnumericamente.
Exemplo 2
Calcular os termos da sequência {yi}i∈N, onde
yn =
∫ 1
0
xn
x+ 5dx. (6)
Note que {yn} é decrescente (y0 > y1 > y2 > y3 > · · · ) e yi > 0, i = 1, 2, 3, · · · .
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Propagação de Erro: Instabilidade numérica
Note que, de (6) podemos escrever a seguinte equação de recorrência
yn =1
n− 5yn−1, n > 1. (7)
y0 =
∫ 1
0
1
x+ 5= ln(6)− ln(5) ≈ 0, 18232156. (8)
Tomando y0 ≈ 0, 182 e usando a equação de recorrência (7) temos
y1 ≈ 0, 090
y2 ≈ 0, 050
y3 ≈ 0, 083 (y3 > y2)
y4 ≈ −0, 165 (y4 < 0).
Isso signi�ca que a fórmula de recorrência (7) fornece um método instável.
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Propagação de Erro: Instabilidade numérica
Note que, de (6) podemos escrever a seguinte equação de recorrência
yn =1
n− 5yn−1, n > 1. (7)
y0 =
∫ 1
0
1
x+ 5= ln(6)− ln(5) ≈ 0, 18232156. (8)
Tomando y0 ≈ 0, 182 e usando a equação de recorrência (7) temos
y1 ≈ 0, 090
y2 ≈ 0, 050
y3 ≈ 0, 083 (y3 > y2)
y4 ≈ −0, 165 (y4 < 0).
Isso signi�ca que a fórmula de recorrência (7) fornece um método instável.
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Propagação de Erro: Instabilidade numérica
Note que, de (6) podemos escrever a seguinte equação de recorrência
yn =1
n− 5yn−1, n > 1. (7)
y0 =
∫ 1
0
1
x+ 5= ln(6)− ln(5) ≈ 0, 18232156. (8)
Tomando y0 ≈ 0, 182 e usando a equação de recorrência (7) temos
y1 ≈ 0, 090
y2 ≈ 0, 050
y3 ≈ 0, 083 (y3 > y2)
y4 ≈ −0, 165 (y4 < 0).
Isso signi�ca que a fórmula de recorrência (7) fornece um método instável.
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Propagação de Erro: Instabilidade numérica
Porém, rescrevendo (7) como
yn−1 =1
5n−yn
5, n = k, k − 1, · · · , 1, 0 (9)
Se for fornecido yk, podemos calcular yi, i < k. Considerando, por exemplo, y8 ≈ 0, 019temos
y7 ≈ 0, 021
y6 ≈ 0, 025
y5 ≈ 0, 028
y4 ≈ 0, 034
y3 ≈ 0, 043
y2 ≈ 0, 058
y1 ≈ 0, 088
y0 ≈ 0, 182
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Propagação de Erro: Instabilidade numérica
Porém, rescrevendo (7) como
yn−1 =1
5n−yn
5, n = k, k − 1, · · · , 1, 0 (9)
Se for fornecido yk, podemos calcular yi, i < k. Considerando, por exemplo, y8 ≈ 0, 019temos
y7 ≈ 0, 021
y6 ≈ 0, 025
y5 ≈ 0, 028
y4 ≈ 0, 034
y3 ≈ 0, 043
y2 ≈ 0, 058
y1 ≈ 0, 088
y0 ≈ 0, 182
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Polinômios de Taylor
Teorema 1
Se n ∈ N∗ e f é uma função que derivável n vezes no intervalo fechado [a− δ, a+ δ] en+ 1 vezes no intervalo aberto (a− δ, a+ δ), onde δ > 0, então para todox ∈ (a− δ, a+ δ), têm-se
f(x) = f(a)+f ′(a)
1!(x−a)+
f (2)(a)
2!(x−a)2+· · ·+
f (n−1)(a)
(n− 1)!(x−a)(n−1)+Rn(x), (10)
onde
Rn(x) =f (n)(ξx)(x− a)
n!
e ξ é um ponto intermediário entre x e a.
Observação:
•
f(x) =∞∑k=0
f (k)(a)
k!(x− a)k
• Raio de convergência para séries de potência?
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Polinômios de Taylor
Teorema 1
Se n ∈ N∗ e f é uma função que derivável n vezes no intervalo fechado [a− δ, a+ δ] en+ 1 vezes no intervalo aberto (a− δ, a+ δ), onde δ > 0, então para todox ∈ (a− δ, a+ δ), têm-se
f(x) = f(a)+f ′(a)
1!(x−a)+
f (2)(a)
2!(x−a)2+· · ·+
f (n−1)(a)
(n− 1)!(x−a)(n−1)+Rn(x), (10)
onde
Rn(x) =f (n)(ξx)(x− a)
n!
e ξ é um ponto intermediário entre x e a.
Observação:
•
f(x) =∞∑k=0
f (k)(a)
k!(x− a)k
• Raio de convergência para séries de potência?
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Polinômios de Taylor
Teorema 1
Se n ∈ N∗ e f é uma função que derivável n vezes no intervalo fechado [a− δ, a+ δ] en+ 1 vezes no intervalo aberto (a− δ, a+ δ), onde δ > 0, então para todox ∈ (a− δ, a+ δ), têm-se
f(x) = f(a)+f ′(a)
1!(x−a)+
f (2)(a)
2!(x−a)2+· · ·+
f (n−1)(a)
(n− 1)!(x−a)(n−1)+Rn(x), (10)
onde
Rn(x) =f (n)(ξx)(x− a)
n!
e ξ é um ponto intermediário entre x e a.
Observação:
•
f(x) =∞∑k=0
f (k)(a)
k!(x− a)k
• Raio de convergência para séries de potência?
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IntroduçãoObservações
• Note que se h = x− a, podemos escrever
f(a+ h) = f(a) +f ′(a)
1!h+
f (2)(a)
2!h2 + · · ·+
f (n−1)(a)
(n− 1)!hn−1 +Rn(x),
• Truncando a expressão (10) podemos escrever
f(x) ≈ f(a) +f ′(a)
1!(x− a) +
f (2)(a)
2!(x− a)2 + · · ·+
f (n−1)(a)
(n− 1)!(x− a)(n−1),
com um erro de truncamento estimado por
|Rn(x)| 6M
n!(x− a)n,
onde M = maxa6t6x
|f (n)(t)|.
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IntroduçãoObservações
• Note que se h = x− a, podemos escrever
f(a+ h) = f(a) +f ′(a)
1!h+
f (2)(a)
2!h2 + · · ·+
f (n−1)(a)
(n− 1)!hn−1 +Rn(x),
• Truncando a expressão (10) podemos escrever
f(x) ≈ f(a) +f ′(a)
1!(x− a) +
f (2)(a)
2!(x− a)2 + · · ·+
f (n−1)(a)
(n− 1)!(x− a)(n−1),
com um erro de truncamento estimado por
|Rn(x)| 6M
n!(x− a)n,
onde M = maxa6t6x
|f (n)(t)|.
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Introdução
Exemplo 3
Seja f de�nida por f(x) = ex. Vamos desenvolver a série de Taylor para f em tornode a = 0, calcular e−1 com os cinco primeiros termos dessa série e estimar o errocometido.
Solução: Para f(x) = ex e a = 0 temos que
f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = · · · = f (n)(0) = · · · = 1.
Temos
ex = 1 + x+x2
2!+x3
3!+ · · ·
e o raio de convergência é in�nito.
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Introdução
Exemplo 3
Seja f de�nida por f(x) = ex. Vamos desenvolver a série de Taylor para f em tornode a = 0, calcular e−1 com os cinco primeiros termos dessa série e estimar o errocometido.
Solução: Para f(x) = ex e a = 0 temos que
f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = · · · = f (n)(0) = · · · = 1.
Temos
ex = 1 + x+x2
2!+x3
3!+ · · ·
e o raio de convergência é in�nito.
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Introdução
Exemplo 3
Seja f de�nida por f(x) = ex. Vamos desenvolver a série de Taylor para f em tornode a = 0, calcular e−1 com os cinco primeiros termos dessa série e estimar o errocometido.
Solução: Para f(x) = ex e a = 0 temos que
f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = · · · = f (n)(0) = · · · = 1.
Temos
ex = 1 + x+x2
2!+x3
3!+ · · ·
e o raio de convergência é in�nito.
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Então, para os cinco primeiros termos temos
e−1 ≈ 1− 1 +1
2!−
1
3!+
1
4!= 0, 375. (11)
Com estimativa para o erro de truncamento dada por
|R5(−1)| 6M
5!|(−1)|.
Sendo M = max|et|,−1 6 t 6 0, então M = 1, assim:
|R5(−1)| 6 0, 008333 < 10−2.
Ou seja, a aproximação para e−1 dada por (11) tem pelo menos uma casa decimalcorreta.
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Então, para os cinco primeiros termos temos
e−1 ≈ 1− 1 +1
2!−
1
3!+
1
4!= 0, 375. (11)
Com estimativa para o erro de truncamento dada por
|R5(−1)| 6M
5!|(−1)|.
Sendo M = max|et|,−1 6 t 6 0, então M = 1, assim:
|R5(−1)| 6 0, 008333 < 10−2.
Ou seja, a aproximação para e−1 dada por (11) tem pelo menos uma casa decimalcorreta.
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Raízes de Funções
Objetivo: Buscar solução de equações do tipo
f(x) = 0.
Existem basicamente duas etapas nesses métodos:
• Isolamento das raízes: Consiste em achar um intervalo fechado [a; b] que contéma raiz.
• Re�namento: Partindo de uma aproximaçãoo inicial re�namos a solução até quecertos critérios sejam satisfeitos.
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Raízes de Funções
Objetivo: Buscar solução de equações do tipo
f(x) = 0.
Existem basicamente duas etapas nesses métodos:
• Isolamento das raízes: Consiste em achar um intervalo fechado [a; b] que contéma raiz.
• Re�namento: Partindo de uma aproximaçãoo inicial re�namos a solução até quecertos critérios sejam satisfeitos.
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Raízes de Funções
Objetivo: Buscar solução de equações do tipo
f(x) = 0.
Existem basicamente duas etapas nesses métodos:
• Isolamento das raízes: Consiste em achar um intervalo fechado [a; b] que contéma raiz.
• Re�namento: Partindo de uma aproximaçãoo inicial re�namos a solução até quecertos critérios sejam satisfeitos.
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Fase I: Isolamento das Raízes
Objetivo: Encontrar um intervalo [a; b] com amplitude pequena que contenha umaraiz de f . Para isso, utilizaremos duas estratégias: Análise grá�ca e Tabelamentoda função.
A análise grá�ca é baseada na ideia de que, a partir da equação f(x) = 0, podemosobter uma equaçãoao equivalente g(x)−h(x) = 0, onde g e h sejam funções mais simplese de fácil análise grá�ca.
f(ξ) = 0⇔ g(ξ) = h(ξ).
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Fase I: Isolamento das Raízes
Objetivo: Encontrar um intervalo [a; b] com amplitude pequena que contenha umaraiz de f . Para isso, utilizaremos duas estratégias: Análise grá�ca e Tabelamentoda função.
A análise grá�ca é baseada na ideia de que, a partir da equação f(x) = 0, podemosobter uma equaçãoao equivalente g(x)−h(x) = 0, onde g e h sejam funções mais simplese de fácil análise grá�ca.
f(ξ) = 0⇔ g(ξ) = h(ξ).
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ExemploSeja f(x) = e−x − x. Então f(x) = g(x)− h(x) com g(x) = e−x e h(x) = x.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y = e−x
y = x
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Teorema 2
Seja f : [a, b]→ R uma função contínua em [a, b]. Se f(a)f(b) < 0 então existe pelomenos um ξ ∈ (a, b) tal que f(ξ) = 0.
Da análise grá�ca, vemos que f(x) = e−x − x tem uma raiz no intervalo [0, 1].Tabelando alguns valores para pontos espaçados por 0.25 de f temos
x 0 0.25 0.5 0.75 1.0f(x) 1 0.528 0.106 -0.277 -0.632
Observação: Note que, sendo f ′(x) = −e−x−1 < 0, podemos garantir a unicidadeda raiz.
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Teorema 2
Seja f : [a, b]→ R uma função contínua em [a, b]. Se f(a)f(b) < 0 então existe pelomenos um ξ ∈ (a, b) tal que f(ξ) = 0.
Da análise grá�ca, vemos que f(x) = e−x − x tem uma raiz no intervalo [0, 1].Tabelando alguns valores para pontos espaçados por 0.25 de f temos
x 0 0.25 0.5 0.75 1.0f(x) 1 0.528 0.106 -0.277 -0.632
Observação: Note que, sendo f ′(x) = −e−x−1 < 0, podemos garantir a unicidadeda raiz.
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Teorema 2
Seja f : [a, b]→ R uma função contínua em [a, b]. Se f(a)f(b) < 0 então existe pelomenos um ξ ∈ (a, b) tal que f(ξ) = 0.
Da análise grá�ca, vemos que f(x) = e−x − x tem uma raiz no intervalo [0, 1].Tabelando alguns valores para pontos espaçados por 0.25 de f temos
x 0 0.25 0.5 0.75 1.0f(x) 1 0.528 0.106 -0.277 -0.632
Observação: Note que, sendo f ′(x) = −e−x−1 < 0, podemos garantir a unicidadeda raiz.
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0 1 2 3−4
−2
0
2
4
0 1 2 3−4
−2
0
2
4
0 1 2 3−4
−2
0
2
4
0 1 2 3−4
−2
0
2
4
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Fase II: Re�namento
Nesta etapa, partiremos de uma solução inicial x0 e formaremos uma sequência{xk}, k ∈ N tal que lim
k→∞xk = ξ.
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Método da BissecçãoÉ baseado no Teorema 2.
A ideia é reduzir a amplitude do intervalo até atingir uma precisão requerida b−a < ε.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−15
−10
−5
0
5
10
15
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Método da Bissecção
Algoritmo 1: Método da Bissecção
Dados: ε, a,b, fResultado: ξ
1 Inicialização: [a0, b0]← [a, b];2 enquanto b0 − a0 > ε faça
3 ξ =a0 + b0
24 se f(ξ) ∗ f(a0) > 0 então5 a0 = x6 �m7 senão8 b0 = ξ9 �m
10 �m11 retorna ξ
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Análise da convergênciaTeorema 3
Seja f uma função contínua em [a; b], onde f(a)f(b) < 0. Então o método daBissecção gera uma sequência {xk} que converge para a raiz ξ quando k →∞.
Demonstração. O método gera três sequências, a saber {ak}k∈N, {bk}k∈N e{xk}k∈N.
a0 6 a1 6 a2 6 · · · b0 ⇒ ∃M ∈ R tal que limk→∞
ak = M
b0 > b1 > b2 > · · · a0 ⇒ ∃m ∈ R tal que limn→∞
ak = m
ak 6 xk 6 bk.
bk − ak =b0 − a0
2⇒ lim
n→∞bk − ak = 0⇒ m = M.
Como ak 6 xk 6 bk, temos quelimn→∞
xk = m.
Além disso, para cada interação f(ak)f(bk) < 0
0 > limn→∞
f(ak)f(bk) = limn→∞
f(ak) limn→∞
f(bk) = f(
limn→∞
ak
)f(
limn→∞
bk
)= f2(m) > 0.
�
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Análise da convergênciaTeorema 3
Seja f uma função contínua em [a; b], onde f(a)f(b) < 0. Então o método daBissecção gera uma sequência {xk} que converge para a raiz ξ quando k →∞.
Demonstração. O método gera três sequências, a saber {ak}k∈N, {bk}k∈N e{xk}k∈N.
a0 6 a1 6 a2 6 · · · b0 ⇒ ∃M ∈ R tal que limk→∞
ak = M
b0 > b1 > b2 > · · · a0 ⇒ ∃m ∈ R tal que limn→∞
ak = m
ak 6 xk 6 bk.
bk − ak =b0 − a0
2⇒ lim
n→∞bk − ak = 0⇒ m = M.
Como ak 6 xk 6 bk, temos quelimn→∞
xk = m.
Além disso, para cada interação f(ak)f(bk) < 0
0 > limn→∞
f(ak)f(bk) = limn→∞
f(ak) limn→∞
f(bk) = f(
limn→∞
ak
)f(
limn→∞
bk
)= f2(m) > 0.
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Análise da convergênciaTeorema 3
Seja f uma função contínua em [a; b], onde f(a)f(b) < 0. Então o método daBissecção gera uma sequência {xk} que converge para a raiz ξ quando k →∞.
Demonstração. O método gera três sequências, a saber {ak}k∈N, {bk}k∈N e{xk}k∈N.
a0 6 a1 6 a2 6 · · · b0 ⇒ ∃M ∈ R tal que limk→∞
ak = M
b0 > b1 > b2 > · · · a0 ⇒ ∃m ∈ R tal que limn→∞
ak = m
ak 6 xk 6 bk.
bk − ak =b0 − a0
2⇒ lim
n→∞bk − ak = 0⇒ m = M.
Como ak 6 xk 6 bk, temos quelimn→∞
xk = m.
Além disso, para cada interação f(ak)f(bk) < 0
0 > limn→∞
f(ak)f(bk) = limn→∞
f(ak) limn→∞
f(bk) = f(
limn→∞
ak
)f(
limn→∞
bk
)= f2(m) > 0.
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Análise da convergênciaTeorema 3
Seja f uma função contínua em [a; b], onde f(a)f(b) < 0. Então o método daBissecção gera uma sequência {xk} que converge para a raiz ξ quando k →∞.
Demonstração. O método gera três sequências, a saber {ak}k∈N, {bk}k∈N e{xk}k∈N.
a0 6 a1 6 a2 6 · · · b0 ⇒ ∃M ∈ R tal que limk→∞
ak = M
b0 > b1 > b2 > · · · a0 ⇒ ∃m ∈ R tal que limn→∞
ak = m
ak 6 xk 6 bk.
bk − ak =b0 − a0
2⇒ lim
n→∞bk − ak = 0⇒ m = M.
Como ak 6 xk 6 bk, temos quelimn→∞
xk = m.
Além disso, para cada interação f(ak)f(bk) < 0
0 > limn→∞
f(ak)f(bk) = limn→∞
f(ak) limn→∞
f(bk) = f(
limn→∞
ak
)f(
limn→∞
bk
)= f2(m) > 0.
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Estimativa do Número de interações
bk − ak < ε⇔b0 − a0
2k< ε
⇒ 2k >b0 − a0
ε
⇒ k >log(b0 − a0)− log(ε)
log(2).
Exemplo 4
Para a função f(x) = e−x − x considerada anteriormente, isolamos uma raiz nointervalo [0.5, 0.75]. Considerando uma precisão ε = 10−8, temos
k >log(0.75− 0.5)− log(10−8)
log(2)= 24.575.
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Estimativa do Número de interações
bk − ak < ε⇔b0 − a0
2k< ε
⇒ 2k >b0 − a0
ε
⇒ k >log(b0 − a0)− log(ε)
log(2).
Exemplo 4
Para a função f(x) = e−x − x considerada anteriormente, isolamos uma raiz nointervalo [0.5, 0.75]. Considerando uma precisão ε = 10−8, temos
k >log(0.75− 0.5)− log(10−8)
log(2)= 24.575.
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Método Interativo Linear (MIL)
Seja f uma função real contínua em um intervalo [a, b] onde esta possui uma raiz. Aideia deste método é escrever f(x) = x− φ(x), ∀x ∈ [a, b].
⇒ f(x) = 0⇔ x = φ(x). (achar um ponto �xo de φ) (12)
A função φ é chamada função de interação do método.
Através da equação (12) montamos um método interativo, ou seja, dado x0 ∈ [a, b]
xk+1 = φ(xk). (13)
Observação: A função de interação φ não é única e a convergência do métododepende de sua escolha e regularidade.
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Método Interativo Linear (MIL)
Seja f uma função real contínua em um intervalo [a, b] onde esta possui uma raiz. Aideia deste método é escrever f(x) = x− φ(x), ∀x ∈ [a, b].
⇒ f(x) = 0⇔ x = φ(x). (achar um ponto �xo de φ) (12)
A função φ é chamada função de interação do método.
Através da equação (12) montamos um método interativo, ou seja, dado x0 ∈ [a, b]
xk+1 = φ(xk). (13)
Observação: A função de interação φ não é única e a convergência do métododepende de sua escolha e regularidade.
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Raízes de Funções
Teorema 4 (Critério de convergência para o MIL)
Seja ξ uma raiz ξ da função f isolada no intervalo [a, b]. Seja φ uma função deinteração da função f tal que:
i) φ e φ′ são contínuas em [a, b];
ii) |φ′(x)| 6M < 1,∀x ∈ [a, b];
iii) x0 ∈ [a, b].
Então a sequência {xk}k∈N gerada pelo método interativo xk+1 = φ(xk) convergepara ξ.
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Raízes de FunçõesDemonstração. Seja ξ ∈ [a, b] tal que f(ξ) = 0⇔ ξ = φ(ξ).
xk+1 = φ(xk)⇔ xk+1 − ξ = φ(xk)− φ(ξ).
Pelo Teorema do Valor Médio, existe ck entre xk e ξ tal que
φ(xk)− φ(ξ) = φ′(ck)(xk − ξ) (14)
⇒ |xk+1 − ξ| = |φ′(ck)||xk − ξ| 6M |xk − ξ|. (15)
Aplicando essa relação para k− 1, k− 2, · · · , 0 e usando o fato que x0 ∈ [a, b] tem-se
|xk+1 − ξ| 6Mk+1|x0 − ξ|. (16)
Como M < 1 tem-se
0 6 limk→+∞
|xk+1 − ξ| 6 limk→+∞
Mk+1|x0 − ξ| = 0
Logo,lim
k→+∞xk+1 = ξ.
�
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 47 / 87
Raízes de FunçõesDemonstração. Seja ξ ∈ [a, b] tal que f(ξ) = 0⇔ ξ = φ(ξ).
xk+1 = φ(xk)⇔ xk+1 − ξ = φ(xk)− φ(ξ).
Pelo Teorema do Valor Médio, existe ck entre xk e ξ tal que
φ(xk)− φ(ξ) = φ′(ck)(xk − ξ) (14)
⇒ |xk+1 − ξ| = |φ′(ck)||xk − ξ| 6M |xk − ξ|. (15)
Aplicando essa relação para k− 1, k− 2, · · · , 0 e usando o fato que x0 ∈ [a, b] tem-se
|xk+1 − ξ| 6Mk+1|x0 − ξ|. (16)
Como M < 1 tem-se
0 6 limk→+∞
|xk+1 − ξ| 6 limk→+∞
Mk+1|x0 − ξ| = 0
Logo,lim
k→+∞xk+1 = ξ.
�
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ExemploConforme já vimos, f(x) = e−x − x possui uma raiz no intervalo [0.5, 0.75]. Uma
forma de escrever f(x) = x − φ(x) é escolher φ(x) = e−x. Veri�cando as condições deconvergência
i) Claramente φ(x) = e−x e φ′(x) = −e−x são contínuas em [a, b];ii) A função φ′ satisfaz máx
x∈[0.5,0.75]|φ′(x)| 6 0.6065. (Por que?)
iii) Tomando x0 ∈ [0.5, 0.75] temos a garantia da convergência. Podemos, por exemplo,tomar
x0 =0.5 + 0.75
2= 0.625.
Assim, obtemos a sequência
x1 = φ(x0) = φ(0.625) = 0.53526... (17)
x2 = φ(x1) = φ(53526) = 0.58551... (18)
x3 = φ(x2) = φ(0.58551) = 0.55681... (19)
x4 = φ(x3) = φ(0.55681) = 0.57302... (20)
x5 = φ(x4) = φ(0.57302) = 0.56381... (21)
x6 = φ(x5) = φ(0.56903) = 0.56903... (22)
... (23)
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ExemploConforme já vimos, f(x) = e−x − x possui uma raiz no intervalo [0.5, 0.75]. Uma
forma de escrever f(x) = x − φ(x) é escolher φ(x) = e−x. Veri�cando as condições deconvergência
i) Claramente φ(x) = e−x e φ′(x) = −e−x são contínuas em [a, b];
ii) A função φ′ satisfaz máxx∈[0.5,0.75]
|φ′(x)| 6 0.6065. (Por que?)
iii) Tomando x0 ∈ [0.5, 0.75] temos a garantia da convergência. Podemos, por exemplo,tomar
x0 =0.5 + 0.75
2= 0.625.
Assim, obtemos a sequência
x1 = φ(x0) = φ(0.625) = 0.53526... (17)
x2 = φ(x1) = φ(53526) = 0.58551... (18)
x3 = φ(x2) = φ(0.58551) = 0.55681... (19)
x4 = φ(x3) = φ(0.55681) = 0.57302... (20)
x5 = φ(x4) = φ(0.57302) = 0.56381... (21)
x6 = φ(x5) = φ(0.56903) = 0.56903... (22)
... (23)
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ExemploConforme já vimos, f(x) = e−x − x possui uma raiz no intervalo [0.5, 0.75]. Uma
forma de escrever f(x) = x − φ(x) é escolher φ(x) = e−x. Veri�cando as condições deconvergência
i) Claramente φ(x) = e−x e φ′(x) = −e−x são contínuas em [a, b];ii) A função φ′ satisfaz máx
x∈[0.5,0.75]|φ′(x)| 6 0.6065. (Por que?)
iii) Tomando x0 ∈ [0.5, 0.75] temos a garantia da convergência. Podemos, por exemplo,tomar
x0 =0.5 + 0.75
2= 0.625.
Assim, obtemos a sequência
x1 = φ(x0) = φ(0.625) = 0.53526... (17)
x2 = φ(x1) = φ(53526) = 0.58551... (18)
x3 = φ(x2) = φ(0.58551) = 0.55681... (19)
x4 = φ(x3) = φ(0.55681) = 0.57302... (20)
x5 = φ(x4) = φ(0.57302) = 0.56381... (21)
x6 = φ(x5) = φ(0.56903) = 0.56903... (22)
... (23)
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ExemploConforme já vimos, f(x) = e−x − x possui uma raiz no intervalo [0.5, 0.75]. Uma
forma de escrever f(x) = x − φ(x) é escolher φ(x) = e−x. Veri�cando as condições deconvergência
i) Claramente φ(x) = e−x e φ′(x) = −e−x são contínuas em [a, b];ii) A função φ′ satisfaz máx
x∈[0.5,0.75]|φ′(x)| 6 0.6065. (Por que?)
iii) Tomando x0 ∈ [0.5, 0.75] temos a garantia da convergência. Podemos, por exemplo,tomar
x0 =0.5 + 0.75
2= 0.625.
Assim, obtemos a sequência
x1 = φ(x0) = φ(0.625) = 0.53526... (17)
x2 = φ(x1) = φ(53526) = 0.58551... (18)
x3 = φ(x2) = φ(0.58551) = 0.55681... (19)
x4 = φ(x3) = φ(0.55681) = 0.57302... (20)
x5 = φ(x4) = φ(0.57302) = 0.56381... (21)
x6 = φ(x5) = φ(0.56903) = 0.56903... (22)
... (23)
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ExemploConforme já vimos, f(x) = e−x − x possui uma raiz no intervalo [0.5, 0.75]. Uma
forma de escrever f(x) = x − φ(x) é escolher φ(x) = e−x. Veri�cando as condições deconvergência
i) Claramente φ(x) = e−x e φ′(x) = −e−x são contínuas em [a, b];ii) A função φ′ satisfaz máx
x∈[0.5,0.75]|φ′(x)| 6 0.6065. (Por que?)
iii) Tomando x0 ∈ [0.5, 0.75] temos a garantia da convergência. Podemos, por exemplo,tomar
x0 =0.5 + 0.75
2= 0.625.
Assim, obtemos a sequência
x1 = φ(x0) = φ(0.625) = 0.53526... (17)
x2 = φ(x1) = φ(53526) = 0.58551... (18)
x3 = φ(x2) = φ(0.58551) = 0.55681... (19)
x4 = φ(x3) = φ(0.55681) = 0.57302... (20)
x5 = φ(x4) = φ(0.57302) = 0.56381... (21)
x6 = φ(x5) = φ(0.56903) = 0.56903... (22)
... (23)
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Exemplo
Figura 1: Exemplo de aplicação do MIL para f(x) = e−x − x
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Um critério de parada para o MILQual xk oferece uma boa aproximação para a raiz ξ de acordo com uma dada tole-
rância ε?
Podemos, por exemplo, usar como critério de parada as seguintes condições
Erro absoluto: |xk+1 − xk| 6 ε
Erro relativo:|xk+1 − xk||xk+1|
6 ε
Para o nosso exemplo, considerando ε = 0, 006 e o erro absoluto, teríamos
|x1 − x0| = |0.53526− 0.62500| = 0.08974 > ε (24)
|x2 − x1| = |0.58551− 0.53526| = 0.05025 > ε (25)
|x3 − x2| = |0.55681− 0.58551| = 0.02870 > ε (26)
|x4 − x3| = |0.57302− 0.55681| = 0.01621 > ε (27)
|x5 − x4| = |0.56381− 0.57302| = 0.00921 > ε (28)
|x6 − x5| = |0.56903− 0.56381| = 0.00522 < ε (29)
e consideraríamos a seguinte aproximação para ξ
ξ ≈ 0.56903.
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Um critério de parada para o MILQual xk oferece uma boa aproximação para a raiz ξ de acordo com uma dada tole-
rância ε?
Podemos, por exemplo, usar como critério de parada as seguintes condições
Erro absoluto: |xk+1 − xk| 6 ε
Erro relativo:|xk+1 − xk||xk+1|
6 ε
Para o nosso exemplo, considerando ε = 0, 006 e o erro absoluto, teríamos
|x1 − x0| = |0.53526− 0.62500| = 0.08974 > ε (24)
|x2 − x1| = |0.58551− 0.53526| = 0.05025 > ε (25)
|x3 − x2| = |0.55681− 0.58551| = 0.02870 > ε (26)
|x4 − x3| = |0.57302− 0.55681| = 0.01621 > ε (27)
|x5 − x4| = |0.56381− 0.57302| = 0.00921 > ε (28)
|x6 − x5| = |0.56903− 0.56381| = 0.00522 < ε (29)
e consideraríamos a seguinte aproximação para ξ
ξ ≈ 0.56903.
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Um critério de parada para o MILQual xk oferece uma boa aproximação para a raiz ξ de acordo com uma dada tole-
rância ε?
Podemos, por exemplo, usar como critério de parada as seguintes condições
Erro absoluto: |xk+1 − xk| 6 ε
Erro relativo:|xk+1 − xk||xk+1|
6 ε
Para o nosso exemplo, considerando ε = 0, 006 e o erro absoluto, teríamos
|x1 − x0| = |0.53526− 0.62500| = 0.08974 > ε (24)
|x2 − x1| = |0.58551− 0.53526| = 0.05025 > ε (25)
|x3 − x2| = |0.55681− 0.58551| = 0.02870 > ε (26)
|x4 − x3| = |0.57302− 0.55681| = 0.01621 > ε (27)
|x5 − x4| = |0.56381− 0.57302| = 0.00921 > ε (28)
|x6 − x5| = |0.56903− 0.56381| = 0.00522 < ε (29)
e consideraríamos a seguinte aproximação para ξ
ξ ≈ 0.56903.
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Um critério de parada para o MILQual xk oferece uma boa aproximação para a raiz ξ de acordo com uma dada tole-
rância ε?
Podemos, por exemplo, usar como critério de parada as seguintes condições
Erro absoluto: |xk+1 − xk| 6 ε
Erro relativo:|xk+1 − xk||xk+1|
6 ε
Para o nosso exemplo, considerando ε = 0, 006 e o erro absoluto, teríamos
|x1 − x0| = |0.53526− 0.62500| = 0.08974 > ε (24)
|x2 − x1| = |0.58551− 0.53526| = 0.05025 > ε (25)
|x3 − x2| = |0.55681− 0.58551| = 0.02870 > ε (26)
|x4 − x3| = |0.57302− 0.55681| = 0.01621 > ε (27)
|x5 − x4| = |0.56381− 0.57302| = 0.00921 > ε (28)
|x6 − x5| = |0.56903− 0.56381| = 0.00522 < ε (29)
e consideraríamos a seguinte aproximação para ξ
ξ ≈ 0.56903.
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Método de Newton-Raphson (MNR)
A ideia é construir a função de interação φ com φ′(ξ) = 0 e garantir um intervalo quecontenha uma raiz para uma função f , além disso que φ′(x)� 1 o que faz a convergênciaser muito mais rápida.
Para determinarmos tal função φ, seja A(x) uma função contínua diferenciável e talque A(x) 6= 0, ∀x. Assim, temos
f(x) = 0⇒ A(x)f(x) = 0⇒ x = x+A(x)f(x) = φ(x).
Calculando a derivada de φ na raiz ξ temos
φ′(ξ) = 1 +A′(ξ)f(ξ) +A(ξ)f ′(ξ) = 0.
Como f(ξ) = 0 e considerando que f ′(ξ) 6= 0, segue que
A(ξ) = −1
f ′(ξ).
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Método de Newton-Raphson (MNR)
A ideia é construir a função de interação φ com φ′(ξ) = 0 e garantir um intervalo quecontenha uma raiz para uma função f , além disso que φ′(x)� 1 o que faz a convergênciaser muito mais rápida.
Para determinarmos tal função φ, seja A(x) uma função contínua diferenciável e talque A(x) 6= 0, ∀x. Assim, temos
f(x) = 0⇒ A(x)f(x) = 0⇒ x = x+A(x)f(x) = φ(x).
Calculando a derivada de φ na raiz ξ temos
φ′(ξ) = 1 +A′(ξ)f(ξ) +A(ξ)f ′(ξ) = 0.
Como f(ξ) = 0 e considerando que f ′(ξ) 6= 0, segue que
A(ξ) = −1
f ′(ξ).
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Portanto, teremos a função de interação φ dada por
φ(x) = x−f(x)
f ′(x)
e o processo de interação conhecido como Método de Newton-Raphson dado por
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk), k = 0, 1, 2, · · · .
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MNR - Interpretação Geométrica
f ′(xn) = tg(α) =f(xn)
xn − xn+1
⇒ xn+1 = xn −f(xn)
f ′(xn).
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 53 / 87
Critério de convergência para o MNR
Teorema 5
Sejam f, f ′, f ′′, funções contínuas num intervalo [a, b], onde existe uma raiz ξ.Suponha que f ′(ξ) 6= 0. então existe um intervalo [a, b] ⊂ [a, b], contendo a raiz ξ, talque se x0 ∈ [a, b], a sequência gerada pelo processo interativo
xn+1 = xn −f(xn)
f ′(xn)
converge para a raiz ξ.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 54 / 87
Exemplo
Considere f(x) = e−x − x, que possui uma raiz no intervalo [0.5, 0.75]. Vamos acharuma aproximação para a raiz ξ de f nesse intervalo considerando x0 = 0.625 e precisãoε = 0.006. Como
f ′(x) = −e−x − 1
teremos
xn+1 = xn −f(xn)
f ′(xn)= xn +
e−xn − xe−xn + 1
.
Assim,
x1 = x0 +e−x0 − xe−x0 + 1
= 0.56654, |x1 − x0| = 0.0584 > ε
x2 = x1 +e−x1 − xe−x1 + 1
= 0.56714, |x2 − x1| = 0.0006 < ε
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Observação:
A condição de que x0 ∈ [a, b] não é uma condição de fácil veri�cação, visto que oTeorema 5 garante a existência do intervalo, mas não como determiná-lo.
Figura 2: Não converge
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Observação:
A condição de que x0 ∈ [a, b] não é uma condição de fácil veri�cação, visto que oTeorema 5 garante a existência do intervalo, mas não como determiná-lo.
Figura 2: Não converge
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 56 / 87
Observação:
A condição de que x0 ∈ [a, b] não é uma condição de fácil veri�cação, visto que oTeorema 5 garante a existência do intervalo, mas não como determiná-lo.
Figura 3: Converge para outra raiz
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Ordem de convergência
Vimos que o método de Newton-Raphson é um caso particular do Método InterativoLinear, construído com o objetivo de acelerar a convergência do método.
Mas como medir qual método converge mais rápido?
De�nição 3
Seja {xn} uma sequência que converge para um número ξ e seja ek = xk − ξ o erro nainteração k. Se existe p > 1 e C > 0 tal que
limk→∞
|ek+1||ek|p
= C,
dizemos que a sequência converge com ordem p e com constante assintótica C.
Note que sendo a sequência convergente, para valores su�cientemente grandes de k,
|ek+1| ≈ |ek|p
com |ek| < 1.
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Ordem de convergência
Vimos que o método de Newton-Raphson é um caso particular do Método InterativoLinear, construído com o objetivo de acelerar a convergência do método.
Mas como medir qual método converge mais rápido?
De�nição 3
Seja {xn} uma sequência que converge para um número ξ e seja ek = xk − ξ o erro nainteração k. Se existe p > 1 e C > 0 tal que
limk→∞
|ek+1||ek|p
= C,
dizemos que a sequência converge com ordem p e com constante assintótica C.
Note que sendo a sequência convergente, para valores su�cientemente grandes de k,
|ek+1| ≈ |ek|p
com |ek| < 1.
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Ordem de convergência
Vimos que o método de Newton-Raphson é um caso particular do Método InterativoLinear, construído com o objetivo de acelerar a convergência do método.
Mas como medir qual método converge mais rápido?
De�nição 3
Seja {xn} uma sequência que converge para um número ξ e seja ek = xk − ξ o erro nainteração k. Se existe p > 1 e C > 0 tal que
limk→∞
|ek+1||ek|p
= C,
dizemos que a sequência converge com ordem p e com constante assintótica C.
Note que sendo a sequência convergente, para valores su�cientemente grandes de k,
|ek+1| ≈ |ek|p
com |ek| < 1.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 58 / 87
Ordem de convergência
Vimos que o método de Newton-Raphson é um caso particular do Método InterativoLinear, construído com o objetivo de acelerar a convergência do método.
Mas como medir qual método converge mais rápido?
De�nição 3
Seja {xn} uma sequência que converge para um número ξ e seja ek = xk − ξ o erro nainteração k. Se existe p > 1 e C > 0 tal que
limk→∞
|ek+1||ek|p
= C,
dizemos que a sequência converge com ordem p e com constante assintótica C.
Note que sendo a sequência convergente, para valores su�cientemente grandes de k,
|ek+1| ≈ |ek|p
com |ek| < 1.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 58 / 87
Determinemos a ordem de convergência do MIL e do MNR.
• Para o MIL temos
xk+1 − ξ = φ(xk)− φ(ξ) = φ′(ck)(xk − ξ).
Logo,xk+1 − ξxk − ξ
= φ′(ck)⇒|ek+1||ek|
= |φ′(ck)|.
limk→∞
|ek+1||ek|
= limk→∞
|φ′(ck)| = |φ′(ξ)| = C.
Portanto, o MIL tem ordem de convergência p = 1 (convergência linear).
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 59 / 87
Determinemos a ordem de convergência do MIL e do MNR.
• Para o MIL temos
xk+1 − ξ = φ(xk)− φ(ξ) = φ′(ck)(xk − ξ).
Logo,xk+1 − ξxk − ξ
= φ′(ck)⇒|ek+1||ek|
= |φ′(ck)|.
limk→∞
|ek+1||ek|
= limk→∞
|φ′(ck)| = |φ′(ξ)| = C.
Portanto, o MIL tem ordem de convergência p = 1 (convergência linear).
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 59 / 87
• Para o MNR temos
xn+1 − ξ = xn − ξ −f(xn)
f ′(xn). (30)
Pela fórmula de Taylor da função f em torno do ponto xn temos
f(x) = f(xn) + f ′(xn)(x− xn) +f ′′(cn)
2(x− xn)2 cn ∈ [x, xn]
⇒ 0 = f(xn) + f ′(xn)(ξ − xn) +f ′′(cn)
2(ξ − xn)2.
Dividindo por f ′(xn) e fazendo en = xn − ξ segue que
f(xn)
f ′(xn)= en −
f ′′(cn)
2f ′(xn)e2n. (31)
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 60 / 87
• Para o MNR temos
xn+1 − ξ = xn − ξ −f(xn)
f ′(xn). (30)
Pela fórmula de Taylor da função f em torno do ponto xn temos
f(x) = f(xn) + f ′(xn)(x− xn) +f ′′(cn)
2(x− xn)2 cn ∈ [x, xn]
⇒ 0 = f(xn) + f ′(xn)(ξ − xn) +f ′′(cn)
2(ξ − xn)2.
Dividindo por f ′(xn) e fazendo en = xn − ξ segue que
f(xn)
f ′(xn)= en −
f ′′(cn)
2f ′(xn)e2n. (31)
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 60 / 87
• Para o MNR temos
xn+1 − ξ = xn − ξ −f(xn)
f ′(xn). (30)
Pela fórmula de Taylor da função f em torno do ponto xn temos
f(x) = f(xn) + f ′(xn)(x− xn) +f ′′(cn)
2(x− xn)2 cn ∈ [x, xn]
⇒ 0 = f(xn) + f ′(xn)(ξ − xn) +f ′′(cn)
2(ξ − xn)2.
Dividindo por f ′(xn) e fazendo en = xn − ξ segue que
f(xn)
f ′(xn)= en −
f ′′(cn)
2f ′(xn)e2n. (31)
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 60 / 87
Substituindo (31) em (30) temos
en+1
e2n=
f ′′(cn)
2f ′(xn)
Finalmente, tomando o módulo e passando o limite quando k →∞ temos
limn→∞
|en+1||en|2
= limn→∞
∣∣∣∣ f ′′(cn)
2f ′(xn)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ f ′′(ξ)2f ′(ξ)
∣∣∣∣ =1
2|φ′′(ξ)| = C.
Ou seja, o método de Newton-Raphson tem convergência quadrática.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 61 / 87
Solução de Sistemas Lineares
a11x1 + a12x2 · · · a1nxn = b1a21x1 + a22x2 · · · a2nxn = b2
......
. . ....
...am1x1 + am2x2 · · · amnxn = bm
(32)
Na forma matricialAx = b
com A ∈ Rm×n e x, b ∈ Rm.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 62 / 87
Métodos Diretos
São aqueles que após um número �nito de operações fornecem a solução exata dosistema. São métodos baseados em escalonamento da matriz A.
De�nição 4 (Sistema Triangular Superior)
Um sistema é dito triangular superior quando a matriz associada é uma matriztriangular superior, ou seja, aij = 0 para i > j.
a11x1 + a12x2 + a13x3 · · · a1nxn = b1
0 + a22x2 + a13x3 · · · a2nxn = b2...
......
. . ....
...0 + 0 + 0 · · · annxn = bn
(33)
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 63 / 87
Métodos Diretos
São aqueles que após um número �nito de operações fornecem a solução exata dosistema. São métodos baseados em escalonamento da matriz A.
De�nição 4 (Sistema Triangular Superior)
Um sistema é dito triangular superior quando a matriz associada é uma matriztriangular superior, ou seja, aij = 0 para i > j.
a11x1 + a12x2 + a13x3 · · · a1nxn = b1
0 + a22x2 + a13x3 · · · a2nxn = b2...
......
. . ....
...0 + 0 + 0 · · · annxn = bn
(33)
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 63 / 87
Se aij 6= 0 para i = 1, 2, · · · , n então o sistema admite uma única solução, a saber
xn =bn
ann
xn−1 =1
an−1n−1(bn−1 − an−1xn)
...
xk =1
akk
bk − n∑j=k+1
akjxn
...
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Algoritmo 2: Retro-Solução
Dados: A ∈ Rn×n e b ∈ RnResultado: x ∈ Rn
1 xn ←bn
ann;
2 para k = n− 1, · · · , 1 faça
3 xk ←1
akk
bk − n∑j=k+1
akjxn
4 �m5 retorna x
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Método da Eliminação de Gauss
De�nição 5
Dois sistemas lineares são ditos equivalentes se eles tem a mesma solução.
A ideia do método de eliminação de Gauss transformar um sistema linear Ax = bem um sistema equivalente Sx = b, porém triangular superior. Dessa forma, a soluçãodo sistema Sx = b (que é a mesma de Ax = b) pode ser obtida por retro-substituição.
Revisão: Operações elementares para encontrar um sistema equivalente:
• Trocar duas equações (duas linhas);
• Multiplicar uma equação por uma constante não nula;
• Somar duas equações;
• Qualquer combinação das operações anteriores;
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 66 / 87
Método da Eliminação de Gauss
De�nição 5
Dois sistemas lineares são ditos equivalentes se eles tem a mesma solução.
A ideia do método de eliminação de Gauss transformar um sistema linear Ax = bem um sistema equivalente Sx = b, porém triangular superior. Dessa forma, a soluçãodo sistema Sx = b (que é a mesma de Ax = b) pode ser obtida por retro-substituição.
Revisão: Operações elementares para encontrar um sistema equivalente:
• Trocar duas equações (duas linhas);
• Multiplicar uma equação por uma constante não nula;
• Somar duas equações;
• Qualquer combinação das operações anteriores;
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 66 / 87
Considere um sistema linear Ax = b tal que det(A) 6= 0, ou seja, este sistema admiteuma única solução.
Podemos representar esse sistema na forma estendida (A0|b0), ou seja
a(0)11 a
(0)12 a
(0)13 · · · a
(0)1n b
(0)1
a(0)21 a
(0)22 a
(0)23 · · · a
(0)2n b
(0)2
a(0)31 a
(0)32 a
(0)33 · · · a
(0)3n b
(0)3
......
.... . .
......
a(0)n1 a
(0)n2 a
(0)n3 · · · a
(0)nn b
(0)n
(34)
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 67 / 87
Etapa 1: Eliminar a incógnita x1 das equações k = 2, 3, · · · , n.Seja
mk1 =a(0)k1
a(0)11
.
Então, nesta etapa fazemos
L(1)1 = L
(0)1
L(1)k = L
(0)k −mk1L
(0)1 , k = 2, 3, · · · , n
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 68 / 87
Com isso, teremos a matriz
a(1)11 a
(1)12 a
(1)13 · · · a
(1)1n b
(1)1
0 a(1)22 a
(1)23 · · · a
(1)2n b
(1)2
0 a(1)32 a
(1)33 · · · a
(1)3n b
(1)3
......
.... . .
......
0 a(1)n2 a
(1)n3 · · · a
(1)nn b
(1)n
(35)
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 69 / 87
Etapa 2: Eliminar a incógnita x2 das equações k = 3, 4, · · · , n.Seja
mk1 =a(1)k2
a(1)22
.
Então, nesta etapa fazemos
L(2)1 = L
(1)1
L(2)2 = L
(1)2
L(2)k = L
(1)k −mk2L
(1)2 , k = 3, 4, · · · , n
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Obtendo, no �nal da etapa 2, o sistema
a(2)11 a
(2)12 a
(2)13 · · · a
(2)1n b
(2)1
0 a(2)22 a
(2)23 · · · a
(2)2n b
(2)2
0 0 a(2)33 · · · a
(2)3n b
(2)3
......
.... . .
......
0 0 a(2)n3 · · · a
(2)nn b
(2)n
(36)
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 71 / 87
Com procedimentos análogos das etapas 1 e 2, podemos eliminar as incógnitas xkdas equações k + 1, k + 2, · · · , n e ao �nal de n− 1 etapas termos a matriz
a(n−1)11 a
(n−1)12 a
(n−1)13 · · · a
(n−1)1n b
(n−1)1
0 a(n−1)22 a
(n−1)23 · · · a
(n−1)2n b
(n−1)2
0 0 a(n−1)33 · · · a
(n−1)3n b
(n−1)3
......
.... . .
......
0 0 0 · · · a(n−1)nn b
(n−1)n
(37)
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Algoritmo 3: Eliminação de Gauss
Dados: A ∈ Rn×n e b ∈ RnResultado: x ∈ Rn
Eliminação:1 para k = 1, 2, · · ·n− 1 faça2 para i = k + 1, · · · , n faça
3 m←aij
akk4 para j = k + 1, · · · , n faça5 aij ← aij −m ∗ akj6 �m7 bi ← bi −m ∗ bk8 �m
9 �mRetro-Solução:
10 xn ←bn
ann11 para k = n− 1, · · · , 1 faça
12 xk ←1
akk
bk − n∑j=k+1
akjxn
13 �m14 retorna x
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 73 / 87
Exercício: Estudar o código em Matlab com a implementação do método de elimi-nação de Gauss.
Observação: Outros métodos diretos podem ser estudados:
• Pivotamento parcial;
• Cálculo da matriz inversa.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 74 / 87
Exercício: Estudar o código em Matlab com a implementação do método de elimi-nação de Gauss.
Observação: Outros métodos diretos podem ser estudados:
• Pivotamento parcial;
• Cálculo da matriz inversa.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 74 / 87
Métodos Interativos
Ideia: Segue a ideia dos métodos para o cálculo de raizes de funções reais, isto é,considerando um sistema Ax = b, o reescrevemos na forma
x = Cx+ g,
onde g ∈ Rn e C ∈ Rn×n é a matriz de interação do método.
Assim, montamos o processo interativo:
Dado x0
xk+1 = Cxk + g.
Como estabelecer um critério de parada de método interativo para solução de siste-mas?
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 75 / 87
Métodos Interativos
Ideia: Segue a ideia dos métodos para o cálculo de raizes de funções reais, isto é,considerando um sistema Ax = b, o reescrevemos na forma
x = Cx+ g,
onde g ∈ Rn e C ∈ Rn×n é a matriz de interação do método.
Assim, montamos o processo interativo:
Dado x0
xk+1 = Cxk + g.
Como estabelecer um critério de parada de método interativo para solução de siste-mas?
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 75 / 87
De�nição 6
Seja V um espaço vetorial. Uma norma em V é uma aplicação ‖ · ‖ : V → R tal que
i) ‖v‖ > 0, ∀v ∈ V e ‖v‖ = 0 se, e somente se, v = 0;
ii) ‖αv‖ = |α|‖v‖, ∀v ∈ V e α ∈ R;iii) ‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖,∀u, v ∈ V .
Observação: Quando V é um espaço vetorial de dimensão �nita, todas as normassão equivalentes, isto é, se ‖ · ‖a e ‖ · ‖b são duas normas para V , então existem m > 0e M > 0 tal que
m‖v‖a 6 ‖v‖b 6M‖v‖a.
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No caso de V = Rn×m, comumente são utilizadas
‖A‖1 = max1<j<m
{n∑i=1
|aij |}
Norma do máximo das colunas.
‖A‖∞ = max1<i<m
m∑j=1
|aij |
Norma do máximo das linhas
‖A‖2 =
n∑i=1
n∑j=1
|a2ij |
12
Norma Euclidiana
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 77 / 87
No caso particular em que V = Rn, temos
‖x‖1 =n∑i=1
|xi| Norma da soma.
‖x‖∞ = max1<i<n
|xi| Norma do máximo
‖x‖2 =
(n∑i=1
|x2i |) 1
2
Norma Euclidiana
Vale ressaltar que as normas ‖ · ‖1, ‖ · ‖∞ e ‖ · ‖2 satisfazem
‖Ax‖ 6 ‖x‖ · ‖A‖‖AB‖ 6 ‖A‖ · ‖B‖
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 78 / 87
No caso particular em que V = Rn, temos
‖x‖1 =n∑i=1
|xi| Norma da soma.
‖x‖∞ = max1<i<n
|xi| Norma do máximo
‖x‖2 =
(n∑i=1
|x2i |) 1
2
Norma Euclidiana
Vale ressaltar que as normas ‖ · ‖1, ‖ · ‖∞ e ‖ · ‖2 satisfazem
‖Ax‖ 6 ‖x‖ · ‖A‖‖AB‖ 6 ‖A‖ · ‖B‖
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Sendo x a solução de Ax = b, queremos que
limn→∞
‖xn − x‖ = 0.
Assim, dado um erro admissível ε > 0 podemos admitir os seguintes critérios deparada
‖xk+1 − xk‖ 6 ε Erro Absoluto
‖xk+1 − xk‖‖xk‖
6 ε Erro Relativo
‖b−Axk‖ 6 ε Teste do Resíduo.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 79 / 87
Sendo x a solução de Ax = b, queremos que
limn→∞
‖xn − x‖ = 0.
Assim, dado um erro admissível ε > 0 podemos admitir os seguintes critérios deparada
‖xk+1 − xk‖ 6 ε Erro Absoluto
‖xk+1 − xk‖‖xk‖
6 ε Erro Relativo
‖b−Axk‖ 6 ε Teste do Resíduo.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 79 / 87
Critério de ConvergênciaTeorema 6
Sejam C ∈ Rn×n uma matriz de interação para a resolução de um sistema linear e‖ · ‖ uma norma qualquer para Rn×n. Então, se ‖C‖ < 1 o método interativo geradopela equação
x(k+1) = Cx(k) + g
é convergente.
Demonstração. Seja x a solução do sistema Ax = b. Então x satisfaz
x = Cx + g ⇔ x(k) − x = C(x(k−1) − x
)
De�nindo o erro em cada interação por e(k) = x(k) − x temos
‖e(k)‖ 6 ‖C‖ · ‖e(k−1)‖6 ‖C‖2 · ‖e(k−2)‖...
‖e(k)‖ 6 ‖C‖k · ‖e(0)‖
Ou seja, se ‖C‖ < 1, a sequência {x(k)}, k = 0, 1, 2, · · · , converge para a solução x.
�
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 80 / 87
Critério de ConvergênciaTeorema 6
Sejam C ∈ Rn×n uma matriz de interação para a resolução de um sistema linear e‖ · ‖ uma norma qualquer para Rn×n. Então, se ‖C‖ < 1 o método interativo geradopela equação
x(k+1) = Cx(k) + g
é convergente.
Demonstração. Seja x a solução do sistema Ax = b. Então x satisfaz
x = Cx + g ⇔ x(k) − x = C(x(k−1) − x
)De�nindo o erro em cada interação por e(k) = x(k) − x temos
‖e(k)‖ 6 ‖C‖ · ‖e(k−1)‖6 ‖C‖2 · ‖e(k−2)‖...
‖e(k)‖ 6 ‖C‖k · ‖e(0)‖
Ou seja, se ‖C‖ < 1, a sequência {x(k)}, k = 0, 1, 2, · · · , converge para a solução x.
�
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Método de Gauss Jacobi
Considerando o sistema linear Ax = ba11x1 + a12x2 · · · a1nxn = b1a21x1 + a22x2 · · · a2nxn = b2
......
. . ....
...an1x1 + am2x2 · · · annxn = bn
(38)
onde aii 6= 0 para i = 1, · · · , n. Então, em cada equação podemos isolara a variável xiescrevendo
xi =1
aii
bi − n∑j=1,j 6=i
aijxj
(39)
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 81 / 87
Em forma matricial, as equações em (39) são equivalentes à
x1
x2...
xn
︸ ︷︷ ︸
x
=
0 −a12
a11· · · −
a1n
a11
−a21
a220 · · · −
a2n
a22...
.... . .
...
−an1
ann−an2
ann· · · 0
︸ ︷︷ ︸
C
x1x2...xn
︸ ︷︷ ︸
x
+
b1
a11
b2
a22...
bn
ann
︸ ︷︷ ︸
g
(40)
Assim, temos o método interativo de Gauss Jacobi
Dado x0
x(k+1)i =
1
aii
bi − n∑j=1,j 6=i
aijx(k)j
.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 82 / 87
Em forma matricial, as equações em (39) são equivalentes à
x1
x2...
xn
︸ ︷︷ ︸
x
=
0 −a12
a11· · · −
a1n
a11
−a21
a220 · · · −
a2n
a22...
.... . .
...
−an1
ann−an2
ann· · · 0
︸ ︷︷ ︸
C
x1x2...xn
︸ ︷︷ ︸
x
+
b1
a11
b2
a22...
bn
ann
︸ ︷︷ ︸
g
(40)
Assim, temos o método interativo de Gauss Jacobi
Dado x0
x(k+1)i =
1
aii
bi − n∑j=1,j 6=i
aijx(k)j
.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 82 / 87
Algoritmo 4: Método de Gauss Jacobi
Dados: A ∈ Rn×n, b,x0 ∈ Rn e ε > 0Resultado: x ∈ Rn solução do sistema
1 Inicialização: x(1)i =
1
aii
bi − n∑j=1,j 6=i
aijx(0)i
.
2 enquanto ‖x(k+1) − x(k)‖ > ε faça
3 x(k+1)i =
1
aii
bi − n∑j=1,j 6=i
aijx(k)j
4 �m5 retorna x
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Um Critério de Convergência
Teorema 7 (Critério das Linhas)
Dado um sistema Ax = b, sejam αi tais que
αi =1
|aii|
n∑j=1,j 6=i
aij < 1, i = 1, · · · , n.
Então o método de Gauss-Jacobi gera uma sequência {xk} que converge para asolução do sistema.
Observação: Já vimos que para um método interativo convergir, sua matriz deinteração C deve satisfazer
‖C‖ < 1.
No critério acima, apenas aplicamos essa restrição usando a norma do máximo daslinhas.
Cálculo Numérico Andrey Dione Ferreira - [email protected] 84 / 87
Um Critério de Convergência
Teorema 7 (Critério das Linhas)
Dado um sistema Ax = b, sejam αi tais que
αi =1
|aii|
n∑j=1,j 6=i
aij < 1, i = 1, · · · , n.
Então o método de Gauss-Jacobi gera uma sequência {xk} que converge para asolução do sistema.
Observação: Já vimos que para um método interativo convergir, sua matriz deinteração C deve satisfazer
‖C‖ < 1.
No critério acima, apenas aplicamos essa restrição usando a norma do máximo daslinhas.
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Método de Gauss-Seidel
A ideia do método é já utilizar de informações atualizadas e acelerar o método deGauus Jacobi. Numa interação k+ 1 o método de Gauss-Jacobi calcula um elmento ifazendo
x(k+1)i =
1
aii
bi − i−1∑j=1
aijx(k)j −
n∑j=i+1
aijx(k)j
Neste ponto, os elementos xk+11 , · · · , xk+1
i−1 já foram calculados e espera-se que essas
entradas estejam mais próximas da solução x do que os valores xk1 , · · · , xki−1. Assim, ométodo de Gauss-Siedel é desenvolvido fazendo
x(k+1)i =
1
aii
bi − i−1∑j=1
aijx(k+1)j −
n∑j=i+1
aijx(k)j
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Método de Gauss-Seidel
A ideia do método é já utilizar de informações atualizadas e acelerar o método deGauus Jacobi. Numa interação k+ 1 o método de Gauss-Jacobi calcula um elmento ifazendo
x(k+1)i =
1
aii
bi − i−1∑j=1
aijx(k)j −
n∑j=i+1
aijx(k)j
Neste ponto, os elementos xk+1
1 , · · · , xk+1i−1 já foram calculados e espera-se que essas
entradas estejam mais próximas da solução x do que os valores xk1 , · · · , xki−1. Assim, ométodo de Gauss-Siedel é desenvolvido fazendo
x(k+1)i =
1
aii
bi − i−1∑j=1
aijx(k+1)j −
n∑j=i+1
aijx(k)j
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Algoritmo 5: Método de Gauss-Siedel
Dados: A ∈ Rn×n, b,x0 ∈ Rn e ε > 0Resultado: x ∈ Rn solução do sistema
1 Inicialização: x(1)i =
1
aii
bk − n∑j=1,j 6=i
aijx(0)j
.
2 enquanto ‖x(k+1) − x(k)‖ > ε faça
3 x(k+1)i =
1
aii
bi − i−1∑j=1
aijx(k+1)j −
n∑j=i+1
aijx(k)j
4 �m5 retorna x
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Teorema 8 (Critério de Sassenfeld)
Dado um sistema Ax = b, sejam βi tais que
βi =1
|aii|
i−1∑j=1
|aij |βj +n∑
j=i+1
|aij |βj
< 1, i = 1, · · · , n.
Então o método de Gauss-Siedel gera uma sequência {xk} que converge para a soluçãodo sistema.
Demonstração. Basta aplicar a Norma do Máximo das Linhas e o Teorema 6.
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