Universidade de BrasliaDepartamento de Matematica
Calculo 2Lista de Exerccios Modulo 1 Lista 1 Solucao
1) O objetivo desse exerccio e mostrar que limn!
nn= 0.
a) Verifique quen!
nn=n
n
n 1n
n 2n 3
n
2
n
1
n
b) Usando o item anterior, mostre que 0 1, mostre que
|rn ||rn1 | 1, segue entao que
|rn | = rn1rn1
=
1
rn1| rn1|
1, temos que ax =1
xpe positiva e decrescente. Pelo teste da integral, a serie
p-harmonican=1
1
npconverge se
1
an dn 0. Portanto a serie p-harmonica converge para qualquer p > 1.c) Se 0 < p < 1, temos que ax =
1
xpe positiva e decrescente. Pelo teste da integral, a
serie p-harmonican=1
1
npdiverge se
1
an dn =.
Temos que 1
an dn =
1
np dn =[n1p
1 p]1
= limn
(n1p
1 p 1
1 p)
=,
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onde usamos quelimn
n1p =,uma vez que 1 p > 0. Por outro lado, se p = 1, temos que
1
an dn =
1
1
ndn = [log(n)]1 = limn
log(n) =.
Portanto a serie p-harmonica diverge para qualquer 0 < p 1.
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3) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.
a) Se a serie de termos nao-negativosn=0
(an)2 converge, entao
n=0
an tambem converge.
b) Se an bn e a serien=0
bn diverge, entao a serien=0
an diverge.
c) Se lim n|an| < 1, entao lim an = 0.
d) Para cada x R, temos que lim xn
n!= 0.
e) Se lim
an+1an = 1, entao
n=0
an converge.
f) Se lim
an+1an = 1, entao
n=0
an diverge.
Solucao:
a) Falsa. Basta pensar na serie 2-harmonican=1
(1
n
)2, que converge, enquanto a serie
harmonican=1
1
ndiverge.
b) Falsa. Temos que1
n2 1n
e que a serie harmonican=1
1
ndiverge, enquanto a serie
2-harmonican=1
1
n2converge.
c) Verdadeira. Se lim n|an| < 1, pelo teste da raiz, a serie
n=0
|an| converge, de modoque |an| 0 e, portanto, que an 0.
d) Verdadeira. Temos que
lim
1(n+1)!
|x|n+11n!|x|n = lim
|x|n+ 1
= 0,
Pelo teste da razao,n=0
|x|nn!
converge, de modo que|x|nn! 0 e, portanto, que x
n
n! 0.
e) Falsa. Basta pensar na serie harmonican=1
1
n, que diverge, enquanto
lim1
n+11n
= limn
n+ 1= 1.
f) Falsa. Basta pensar na serie 2-harmonican=1
1
n2, que converge, enquanto
lim
1(n+1)2
1n2
= lim
(n
n+ 1
)2= 1.
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Calculo 2Lista de Exerccios Modulo 1 Lista 4 Solucao
1) O objetivo desse exerccio e descobrir para que valores de x R as series dadas abaixoconvergem, convergem absolutamente ou divergem.
a) A serien=0
1
n!xn.
b) A seriek=0
(1)k(2k)!
x2k.
c) A seriek=0
(1)k(2k + 1)!
x2k+1.
Solucao:
a) Aplicando o teste da razao, temos que
lim
1
(n+1)!xn+1
1n!xn
= lim n!(n+ 1)!x
= lim |x|n+ 1 = 0,onde usamos que (n+ 1)! = (n+ 1)n!. Segue que a serie converge absolutamente paratodo x R.
b) Aplicando o teste da razao, temos que
lim
(1)k+1(2(k+1))!
x2(k+1)
(1)k(2k)!
x2k
= lim (2k)!(2k + 2)!x2
= lim |x|2(2k + 2)(2k + 1) = 0,onde usamos que (2k + 2)! = (2k + 2)(2k + 1)(2k)!. Segue que a serie convergeabsolutamente para todo x R.
c) Aplicando o teste da razao, temos que
lim
(1)k+1
(2(k+1)+1)!x2(k+1)+1
(1)k(2k+1)!
x2k+1
= lim(2k + 1)!(2k + 3)!x2
= lim |x|2(2k + 3)(2k + 2) = 0,onde usamos que (2k + 3)! = (2k + 3)(2k + 2)(2k + 1)!. Segue que a serie convergeabsolutamente para todo x R.
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2) O objetivo desse exerccio e apresentar series de potencias que possuem o mesmo raiode convergencia, mas cuja convergencia nos pontos de fronteira do intervalo ocorre demaneira distinta. Verifique as seguintes afirmacoes.
a) O domnio da serie de potenciasn=0
xn
e o intervalo aberto (1, 1) e ela converge absolutamente em todo intervalo aberto(1, 1).
b) O domnio da serie de potenciasn=1
1
nxn
e o intervalo [1, 1), mas ela converge absolutamente apenas no intervalo aberto(1, 1).
c) O domnio da serie de potencias
n=1
(1)nn
xn
e o intervalo (1, 1], mas ela converge absolutamente apenas no intervalo aberto(1, 1).
d) O domnio da serie de potencias
k=1
(1)kk
x2k
e o intervalo fechado [1, 1], mas ela converge absolutamente apenas no intervaloaberto (1, 1).
e) O domnio da serie de potenciasn=1
1
n2xn
e o intervalo fechado [1, 1] e ela converge absolutamente em todo intervalo fechado[1, 1].
Solucao:
a) Como
lim
xn+1xn = lim |x| = |x|,
pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando |x| = 1 a serie tambem diverge, uma vez que, nessecaso, o termo geral nao vai pra zero, pois |xn| = |x|n = 1. Portanto o domnio dessaserie de potencias e o intervalo aberto (1, 1) e ela converge absolutamente em todointervalo aberto (1, 1).
b) Como
lim
1n+1xn+11nxn
=(
limn
n+ 1
)|x| = |x|,
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pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando x = 1 a serie tambem diverge, uma vez que, nessecaso
n=1
1
n(1)n =
n=1
1
n=.
Quando x = 1 a serie converge, uma vez que, nesse cason=1
1
n(1)n
e alternada e 1n 0. Mas nao converge absolutamente em x = 1, pois
n=1
1n(1)n =
n=1
1
n=.
Portanto o domnio dessa serie de potencias e o intervalo [1, 1), mas ela convergeabsolutamente apenas no intervalo aberto (1, 1).
c) Como
lim
(1)n+1n+1
xn+1
(1)nnxn
=(
limn
n+ 1
)|x| = |x|,
pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando x = 1 a serie converge, uma vez que, nesse caso
n=1
(1)nn
e alternada e 1n 0. Mas nao converge absolutamente em x = 1, pois
n=1
(1)nn =
n=1
1
n=.
Quando x = 1 a serie diverge, uma vez que, nesse cason=1
(1)nn
(1)n =n=1
1
n=.
Portanto o domnio dessa serie de potencias e o intervalo (1, 1], mas ela convergeabsolutamente apenas no intervalo aberto (1, 1).
d) Como
lim
(1)k+1k+1
x2(k+1)
(1)kkx2k
=(
limk
k + 1
)|x|2 = |x|2,
pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x|2 < 1e diverge quando |x|2 > 1. Portanto a serie de potencias converge absolutamentequando |x| < 1 e diverge quando |x| > 1. Quando |x| = 1 a serie tambem converge,uma vez que, nesse caso
k=1
(1)kk
x2k =k=1
(1)k 1k
e alternada e 1k 0. Mas nao converge absolutamente quando |x| = 1, pois
k=1
(1)kk x2k =
n=1
1
k=.
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Portanto o domnio dessa serie de potencias e o intervalo fechado [1, 1], mas elaconverge absolutamente apenas no intervalo aberto (1, 1).
e) Como
lim
1
(n+1)2xn+1
1n2xn
=(
limn2
(n+ 1)2
)|x| = |x|,
pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando |x| = 1 a serie tambem converge absolutamente,uma vez que, nesse caso
n=1
1n2xn =
n=1
1
n2
3) O objetivo desse exerccio e apresentar algumas series de potencias que naturalmentepossuem raio de convergencia diferente de zero, de um e de infinito.
a) Considere an a sequencia de Fibonacci. Utilizando o teste da raao, mostre que o raiode convergencia de
n=1
anxn
e igual dado por R = 1/, onde e a razao aurea.
b) Utilizando o teste da raiz, mostre que o raio de convergencia de
n=1
(1 +
1
n
)n2xn
e igual dado por R = 1/e.
c) Utilizando o teste da razao, mostre que o raio de convergencia den=1
nn
n!xn
e igual dado por R = 1/e.
Solucao:
a) Temos que
lim
an+1xn+1anxn = lim an+1an |x| = |x|
onde usamos que
liman+1an
=
Pelo teste da razao, temos que a serie de potencias converge quando |x| < 1 e divergequando |x| > 1. Ou seja, a serie de potencias converge quando |x| < 1/ e divergequando |x| > 1/, de modo que o raio de convergencia e dado por R = 1/.
b) Temos que
lim n
(
1 +1
n
)n2xn
= lim((
1 +1
n
)n2|x|n
) 1n
= lim
(1 +
1
n
)n|x| = e|x|
onde usamos que
lim
(1 +
1
n
)n= e
Pelo teste da razao, temos que a serie de potencias converge quando e|x| < 1 e divergequando e|x| > 1. Ou seja, a serie de potencias converge quando |x| < 1/e e divergequando |x| > 1/e, de modo que o raio de convergencia e dado por R = 1/e.
c) Temos que
lim
(n+1)n+1
(n+1)!xn+1
nn
n!xn
= lim (n+ 1)n
nn|x| = lim
(1 +
1
n
)n|x| = e|x|
onde usamos que
lim
(1 +
1
n
)n= e
Pelo teste da razao, temos que a serie de potencias converge quando e|x| < 1 e divergequando e|x| > 1. Ou seja, a serie de potencias converge quando |x| < 1/e e divergequando |x| > 1/e, de modo que o raio de convergencia e dado por R = 1/e.
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4) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.
a) Se an e positiva e decrescente e a serien=0
an converge, entao a serien=0
(1)nanconverge.
b) Se a serien=0
|an| diverge, entao a serien=0
an diverge.
c) Toda serie alternada converge.
d) Toda serie alternada convergente nao converge absolutamente.
Solucao:
a) Verdadeira. De fato, ja sabemos que an e positiva e decrescente e, uma vez quen=0
an
converge, segue que an 0. Podemos entao aplicar o teste da serie alternada paraconcluir que
n=0
(1)nan converge, como afirmado.
b) Falsa. Por exemplo, tome an =(1)nn
. Temos quen=0
|an| =n=0
1
ndiverge, pois e a
serie harmonica e, no entanto,n=0
an converge, pelo teste da serie alternada.
c) Falsa. Por exemplo, a serie alternadan=0
(1)n diverge, uma vez que seu termo geral(1)n nao tende a zero.
d) Falsa. Por exemplo, tome an =(1)nn2
. Temos quen=0
an converge, pelo teste da
serie alternada, e tambem quen=0
|an| =n=0
1
n2converge, pois e serie p-harmonica
com p > 1. Segue quen=0
an e alternada e absolutamente convergente.
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Calculo 2Lista de Exerccios Modulo 1 Lista 5 Solucao
1) O objetivo desse exerccio e utilizar a derivada e a integral de series de potencias paraobter a expressao de certas series de potencias.
a) Usando quen=0
xn =1
1 x
no intervalo (1, 1), obtenha a serie de 1(1 x)2 , derivando a expressao acima, e
obtenha a serie de log(1 x), integrando a expressao acima. Quais os raios deconvergencia das series encontradas?
b) Usando o item anterior, mostre que
n=1
1
nxn = log(1 x)
no intervalo (1, 1). Obtenha a serie de 11 x , derivando a expressao acima, e obte-
nha a serie de (1 x) log(1 x) + x, integrando a expressao acima. Quais os raios deconvergencia das series encontradas?
c) Usando o item anterior, mostre que
n=1
(1)nn
xn = log(1 + x)
no intervalo (1, 1). Obtenha a serie de 11 + x
, derivando a expressao acima, e obte-
nha a serie de (1 + x) log(1 + x) + x, integrando a expressao acima. Quais os raiosde convergencia das series encontradas?
d) Usando o item anterior, mostre que
k=1
(1)kk
x2k = log(1 + x2)
no intervalo (1, 1). Obtenha a serie de 2x1 + x2
, derivando a expressao acima. Qual
o raio de convergencia das serie encontrada?
e) Usando o segundo item, mostre que( n=1
1
n2xn
)= log(1 x)
x
no intervalo (1, 1).
Solucao:
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a) Temos quen=0
xn =1
1 xno intervalo (1, 1). Por um lado, derivando o lado esquerdo, obtemos(
n=0
xn
)=n=1
nxn1 =n=0
(n+ 1)xn
e derivando o lado direito, obtemos(1
1 x)
=1
(1 x)2
de modo que1
(1 x)2 =n=0
(n+ 1)xn
Por outro lado, integrando o lado esquerdo, obtemos ( n=0
xn
)dx =
n=0
xn+1
n+ 1+ A =
n=1
1
nxn + A
e integrando o lado direito, obtemos1
1 x dx = log(1 x) +B
de modo que
log(1 x) =n=1
1
nxn + C
onde C = AB. Substituindo x = 0, obtemos que C = log(1) = 0, de modo que
log(1 x) =n=1
1
nxn
Os raios de convergencia de ambas as series e R = 1, iguais ao raio original.
b) Pelo item anterior, temos que
n=1
1
nxn = log(1 x)
no intervalo (1, 1). Por um lado, derivando o lado esquerdo, obtemos( n=1
1
nxn
)=n=1
1
nnxn1 =
n=0
xn
e derivando o lado direito, obtemos
( log(1 x)) = 11 x
de modo que1
1 x =n=0
xn
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Por outro lado, integrando o lado esquerdo, obtemos ( n=1
1
nxn
)dx =
n=1
1
n
xn+1
n+ 1+ A =
n=2
1
(n 1)nxn + A
e integrando o lado direito, obtemos log(1 x) dx = (1 x) log(1 x) + x+B
de modo que
(1 x) log(1 x) + x =n=2
1
(n 1)nxn + C
onde C = AB. Substituindo x = 0, obtemos que C = log(1) = 0, de modo que
(1 x) log(1 x) + x =n=2
1
(n 1)nxn
Os raios de convergencia de ambas as series e R = 1, iguais ao raio original.
c) Pelo item anterior, temos que
n=1
1
nxn = log(1 x)
no intervalo (1, 1). Substituindo x por x em ambos os lados, obtemosn=1
1
n(x)n = log(1 (x))
de modo quen=1
(1)nn
xn = log(1 + x)
no intervalo (1, 1). Por um lado, derivando o lado esquerdo, obtemos( n=1
(1)nn
xn
)=n=1
(1)nn
nxn1 =n=0
(1)n+1xn
e derivando o lado direito, obtemos
( log(1 + x)) = 11 + x
de modo que1
1 + x=n=0
(1)n+1xn
Por outro lado, integrando o lado esquerdo, obtemos ( n=1
(1)nn
xn
)dx =
n=1
(1)nn
xn+1
n+ 1+ A =
n=2
(1)n1(n 1)nx
n + A
e integrando o lado direito, obtemos log(1 + x) dx = (1 + x) log(1 + x) + x+B
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de modo que
(1 + x) log(1 + x) + x =n=2
(1)n1(n 1)nx
n + C
onde C = AB. Substituindo x = 0, obtemos que C = log(1) = 0, de modo que
(1 + x) log(1 + x) + x =n=2
(1)n1(n 1)nx
n
Os raios de convergencia de ambas as series e R = 1, iguais ao raio original.
d) Pelo item anterior, temos que
n=1
(1)nn
xn = log(1 + x)
no intervalo (1, 1). Substituindo x por x2 em ambos os lados, obtemosn=1
(1)nn
(x2)n = log(1 + x2)
de modo quek=1
(1)kk
x2k = log(1 + x2)
no intervalo (1, 1). Derivando o lado esquerdo, obtemos( k=1
(1)kk
x2k
)=k=1
(1)kk
2kx2k1 = 2k=1
(1)kx2k1
e derivando o lado direito, obtemos( log(1 + x2)) = 2x1 + x2
de modo que2x
1 + x2= 2
k=1
(1)kx2k1
O raio de convergencia de e R = 1, igual ao raio original.
e) Temos que ( n=1
1
n2xn
)=n=1
1
n2nxn1 =
1
x
n=1
1
nxn
Usando quen=1
1
nxn = log(1 x)
no intervalo (1, 1), segue que( n=1
1
n2xn
)= log(1 x)
x
no intervalo (1, 1).
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2) O objetivo desse exerccio e obter a serie de Taylor da funcao seno.
a) Mostre que
sen(n)(x) =
sen(x), n = 4lcos(x), n = 4l + 1 sen(x), n = 4l + 2 cos(x), n = 4l + 3
b) Use o item anterior para concluir que | sen(n)(x)| 1 para cada n 0 e todo x R.Conclua que a funcao seno e igual a` sua serie de Taylor, para todo x R.
c) Use o primeiro item para concluir que
sen(2k)(0) = 0 e sen(2k+1)(0) = (1)kpara todo k 0.
d) Use os itens anteriores para concluir que
sen(x) =k=0
(1)k(2k + 1)!
x2k+1,
para todo x R.Solucao:
a) Temos quesen(0) = sen(x), sen(4) = sen(x), sen(1) = cos(x), sen(5) = cos(x), sen(2) = sen(x), sen(6) = sen(x), sen(3) = cos(x), sen(7) = cos(x),
b) Pelo item anterior, segue que| sen(n)(x)| 1,
para cada n 0 e todo x R, uma vez que | sen(x)|, | cos(x)| 1. Para todo c > 0,segue que
| sen(x) pn1(x)| cn
n!para todo x [c, c], onde pn1(x) e o polinomio de Taylor de grau n 1 da funcaoseno. Como lim c
n
n!= 0, pelo teorema do Sanduche, segue que os polinomios de Taylor
de seno se aproximam do seno, para todo x [c, c]. Como c e arbitrario, segue quesen(x) e igual a` sua serie de Taylor para todo x R.
c) Pelo primeiro item, segue que
sen(n)(0) =
sen(0) = 0, n = 4lcos(0) = 1, n = 4l + 1 sen(0) = 0, n = 4l + 2 cos(0) = 1, n = 4l + 3
de modo que sen(n)(0) = 0, quando n e par, e sen(n)(0) alterna entre 1 e 1,comecando do 1, quando n e mpar. Logo
sen(2k)(0) = 0 e sen(2k+1)(0) = (1)kpara todo k 0.
d) Pelos itens anteriores segue que
sen(x) =n=0
sen(n)(0)
n!xn =
k=0
(1)k(2k + 1)!
x2k+1,
para todo x R.
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3) O objetivo desse exerccio e obter a serie de Taylor da funcao cosseno.
a) Mostre que
cos(n)(x) =
cos(x), n = 4l sen(x), n = 4l + 1 cos(x), n = 4l + 2
sen(x), n = 4l + 3
b) Use o item anterior para concluir que | cos(n)(x)| 1 para cada n 0 e todo x R.Conclua que a funcao cosseno e igual a` sua serie de Taylor, para todo x R.
c) Use o primeiro item para concluir que
cos(2k)(0) = (1)k e sen(2k+1)(0) = 0para todo k 0.
d) Use os itens anteriores para concluir que
cos(x) =k=0
(1)k(2k)!
x2k,
para todo x R.Solucao:
a) Temos quecos(0) = cos(x), cos(4) = cos(x), cos(1) = sen(x), cos(5) = sen(x), cos(2) = cos(x), cos(6) = cos(x), cos(3) = sen(x), cos(7) = sen(x),
b) Pelo item anterior, segue que| cos(n)(x)| 1,
para cada n 0 e todo x R, uma vez que | sen(x)|, | cos(x)| 1. Para todo c > 0,segue que
| cos(x) pn1(x)| cn
n!para todo x [c, c], onde pn1(x) e o polinomio de Taylor de grau n 1 da funcaocosseno. Como lim c
n
n!= 0, pelo teorema do Sanduche, segue que os polinomios
de Taylor de cosseno se aproximam do cosseno, para todo x [c, c]. Como c earbitrario, segue que cos(x) e igual a` sua serie de Taylor para todo x R.
c) Pelo primeiro item, segue que
cos(n)(0) =
cos(0) = 1, n = 4l sen(0) = 0, n = 4l + 1 cos(0) = 1, n = 4l + 2
sen(0) = 0, n = 4l + 3
de modo que cos(n)(0) alterna entre 1 e 1, comecando do 1, quando n e par, ecos(n)(0) = 0, quando n e mpar. Logo
cos(2k)(0) = (1)k e cos(2k+1)(0) = 0para todo k 0.
d) Pelos itens anteriores segue que
cos(x) =n=0
cos(n)(0)
n!xn =
k=0
(1)k(2k)!
x2k,
para todo x R.
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4) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.
a) Se o domnio den=0
anxn e (1, 1], entao o domnio de
n=0
an2nxn e (2, 2].
b) Sen=0
anxn converge para x = 2, entao tambem converge para x = 2.
c) Sen=0
anxn converge para x = 2, entao tambem converge para x = 1.
d) Sen=0
anxn converge para x = c, onde c > 0, mas nao converge absolutamente para
x = c, entao o raio de convergencia dessa serie e R = c.
e) Se o limite limxc
n=0
anxn existe, entao ele e igual a
n=0
ancn.
f) Se a derivada den=0
anxn em x = c existe, entao ela e igual a
n=0
anncn1.
Solucao:
a) Verdadeira. De fato, se f(x) =n=0
anxn tem domnio (1, 1], entao
g(x) =n=0
an2nxn =
n=0
an
(x2
)n= f
(x2
),
tem domnio (2, 2], pois quando x percorre (2, 2], temos que x/2 percorre (1, 1].b) Falsa. Considere, por exemplo, a serie de potencias
n=1
(1)nn2n
xn.
Para x = 2, obtemos a serie harmonica alternada
n=1
(1)nn2n
2n =n=0
(1)nn
,
que converge. Para x = 2, usando que (2)n = (1)n2n, obtemos a serie harmonican=1
(1)nn2n
(2)n =n=0
1
n,
que diverge.
c) Verdadeira. De fato, se essa serie converge para x = 2, entao seu raio de convergenciaR e maior ou igual a 2. Segue que x = 1 (R,R), de modo que a serie tambemconverge para x = 1.
d) Verdadeira. De fato, se essa serie converge para x = c, entao seu raio de convergenciaR e maior ou igual a c. Por outro lado, se R fosse maior que c, entao x = c (R,R),de modo que a serie convergiria absolutamente para x = c. Como isso nao ocorre,temos que R = c.
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e) Falsa. Basta considerar c = 1 e a serie geometrican=0
xn =1
1 x
cujo domnio e o intervalo aberto (1, 1). Temos que o limite
limx1
n=0
xn = limx1
1
1 x =1
1 (1) =1
2.
Por outro lado,n=0
(1)n
sequer converge.
f) Falsa. Basta considerar c = 1 e a a serien=1
1
nxn = log(1 x)
cujo domnio e o intervalo aberto [1, 1). Temos a derivada da serie em x = 1 existee e igual a (
n=1
1
nxn
)x=1
= ( log(1 x))x=1 =(
1
1 x)
x=1=
1
2.
Por outro lado,n=1
1
nn(1)n1 =
n=1
(1)n1
sequer converge.
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