Universidade de BrasliaDepartamento de Matematica

Calculo 2Lista de Exerccios Modulo 1 Lista 1 Solucao

1) O objetivo desse exerccio e mostrar que limn!

nn= 0.

a) Verifique quen!

nn=n

n

n 1n

n 2n 3

n

2

n

1

n

b) Usando o item anterior, mostre que 0 1, mostre que

|rn ||rn1 | 1, segue entao que

|rn | = rn1rn1

=

1

rn1| rn1|

1, temos que ax =1

xpe positiva e decrescente. Pelo teste da integral, a serie

p-harmonican=1

1

npconverge se

1

an dn 0. Portanto a serie p-harmonica converge para qualquer p > 1.c) Se 0 < p < 1, temos que ax =

1

xpe positiva e decrescente. Pelo teste da integral, a

serie p-harmonican=1

1

npdiverge se

1

an dn =.

Temos que 1

an dn =

1

np dn =[n1p

1 p]1

= limn

(n1p

1 p 1

1 p)

=,

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onde usamos quelimn

n1p =,uma vez que 1 p > 0. Por outro lado, se p = 1, temos que

1

an dn =

1

1

ndn = [log(n)]1 = limn

log(n) =.

Portanto a serie p-harmonica diverge para qualquer 0 < p 1.

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3) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.

a) Se a serie de termos nao-negativosn=0

(an)2 converge, entao

n=0

an tambem converge.

b) Se an bn e a serien=0

bn diverge, entao a serien=0

an diverge.

c) Se lim n|an| < 1, entao lim an = 0.

d) Para cada x R, temos que lim xn

n!= 0.

e) Se lim

an+1an = 1, entao

n=0

an converge.

f) Se lim

an+1an = 1, entao

n=0

an diverge.

Solucao:

a) Falsa. Basta pensar na serie 2-harmonican=1

(1

n

)2, que converge, enquanto a serie

harmonican=1

1

ndiverge.

b) Falsa. Temos que1

n2 1n

e que a serie harmonican=1

1

ndiverge, enquanto a serie

2-harmonican=1

1

n2converge.

c) Verdadeira. Se lim n|an| < 1, pelo teste da raiz, a serie

n=0

|an| converge, de modoque |an| 0 e, portanto, que an 0.

d) Verdadeira. Temos que

lim

1(n+1)!

|x|n+11n!|x|n = lim

|x|n+ 1

= 0,

Pelo teste da razao,n=0

|x|nn!

converge, de modo que|x|nn! 0 e, portanto, que x

n

n! 0.

e) Falsa. Basta pensar na serie harmonican=1

1

n, que diverge, enquanto

lim1

n+11n

= limn

n+ 1= 1.

f) Falsa. Basta pensar na serie 2-harmonican=1

1

n2, que converge, enquanto

lim

1(n+1)2

1n2

= lim

(n

n+ 1

)2= 1.

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Calculo 2Lista de Exerccios Modulo 1 Lista 4 Solucao

1) O objetivo desse exerccio e descobrir para que valores de x R as series dadas abaixoconvergem, convergem absolutamente ou divergem.

a) A serien=0

1

n!xn.

b) A seriek=0

(1)k(2k)!

x2k.

c) A seriek=0

(1)k(2k + 1)!

x2k+1.

Solucao:

a) Aplicando o teste da razao, temos que

lim

1

(n+1)!xn+1

1n!xn

= lim n!(n+ 1)!x

= lim |x|n+ 1 = 0,onde usamos que (n+ 1)! = (n+ 1)n!. Segue que a serie converge absolutamente paratodo x R.

b) Aplicando o teste da razao, temos que

lim

(1)k+1(2(k+1))!

x2(k+1)

(1)k(2k)!

x2k

= lim (2k)!(2k + 2)!x2

= lim |x|2(2k + 2)(2k + 1) = 0,onde usamos que (2k + 2)! = (2k + 2)(2k + 1)(2k)!. Segue que a serie convergeabsolutamente para todo x R.

c) Aplicando o teste da razao, temos que

lim

(1)k+1

(2(k+1)+1)!x2(k+1)+1

(1)k(2k+1)!

x2k+1

= lim(2k + 1)!(2k + 3)!x2

= lim |x|2(2k + 3)(2k + 2) = 0,onde usamos que (2k + 3)! = (2k + 3)(2k + 2)(2k + 1)!. Segue que a serie convergeabsolutamente para todo x R.

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2) O objetivo desse exerccio e apresentar series de potencias que possuem o mesmo raiode convergencia, mas cuja convergencia nos pontos de fronteira do intervalo ocorre demaneira distinta. Verifique as seguintes afirmacoes.

a) O domnio da serie de potenciasn=0

xn

e o intervalo aberto (1, 1) e ela converge absolutamente em todo intervalo aberto(1, 1).

b) O domnio da serie de potenciasn=1

1

nxn

e o intervalo [1, 1), mas ela converge absolutamente apenas no intervalo aberto(1, 1).

c) O domnio da serie de potencias

n=1

(1)nn

xn

e o intervalo (1, 1], mas ela converge absolutamente apenas no intervalo aberto(1, 1).

d) O domnio da serie de potencias

k=1

(1)kk

x2k

e o intervalo fechado [1, 1], mas ela converge absolutamente apenas no intervaloaberto (1, 1).

e) O domnio da serie de potenciasn=1

1

n2xn

e o intervalo fechado [1, 1] e ela converge absolutamente em todo intervalo fechado[1, 1].

Solucao:

a) Como

lim

xn+1xn = lim |x| = |x|,

pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando |x| = 1 a serie tambem diverge, uma vez que, nessecaso, o termo geral nao vai pra zero, pois |xn| = |x|n = 1. Portanto o domnio dessaserie de potencias e o intervalo aberto (1, 1) e ela converge absolutamente em todointervalo aberto (1, 1).

b) Como

lim

1n+1xn+11nxn

=(

limn

n+ 1

)|x| = |x|,

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pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando x = 1 a serie tambem diverge, uma vez que, nessecaso

n=1

1

n(1)n =

n=1

1

n=.

Quando x = 1 a serie converge, uma vez que, nesse cason=1

1

n(1)n

e alternada e 1n 0. Mas nao converge absolutamente em x = 1, pois

n=1

1n(1)n =

n=1

1

n=.

Portanto o domnio dessa serie de potencias e o intervalo [1, 1), mas ela convergeabsolutamente apenas no intervalo aberto (1, 1).

c) Como

lim

(1)n+1n+1

xn+1

(1)nnxn

=(

limn

n+ 1

)|x| = |x|,

pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando x = 1 a serie converge, uma vez que, nesse caso

n=1

(1)nn

e alternada e 1n 0. Mas nao converge absolutamente em x = 1, pois

n=1

(1)nn =

n=1

1

n=.

Quando x = 1 a serie diverge, uma vez que, nesse cason=1

(1)nn

(1)n =n=1

1

n=.

Portanto o domnio dessa serie de potencias e o intervalo (1, 1], mas ela convergeabsolutamente apenas no intervalo aberto (1, 1).

d) Como

lim

(1)k+1k+1

x2(k+1)

(1)kkx2k

=(

limk

k + 1

)|x|2 = |x|2,

pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x|2 < 1e diverge quando |x|2 > 1. Portanto a serie de potencias converge absolutamentequando |x| < 1 e diverge quando |x| > 1. Quando |x| = 1 a serie tambem converge,uma vez que, nesse caso

k=1

(1)kk

x2k =k=1

(1)k 1k

e alternada e 1k 0. Mas nao converge absolutamente quando |x| = 1, pois

k=1

(1)kk x2k =

n=1

1

k=.

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Portanto o domnio dessa serie de potencias e o intervalo fechado [1, 1], mas elaconverge absolutamente apenas no intervalo aberto (1, 1).

e) Como

lim

1

(n+1)2xn+1

1n2xn

=(

limn2

(n+ 1)2

)|x| = |x|,

pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando |x| = 1 a serie tambem converge absolutamente,uma vez que, nesse caso

n=1

1n2xn =

n=1

1

n2

3) O objetivo desse exerccio e apresentar algumas series de potencias que naturalmentepossuem raio de convergencia diferente de zero, de um e de infinito.

a) Considere an a sequencia de Fibonacci. Utilizando o teste da raao, mostre que o raiode convergencia de

n=1

anxn

e igual dado por R = 1/, onde e a razao aurea.

b) Utilizando o teste da raiz, mostre que o raio de convergencia de

n=1

(1 +

1

n

)n2xn

e igual dado por R = 1/e.

c) Utilizando o teste da razao, mostre que o raio de convergencia den=1

nn

n!xn

e igual dado por R = 1/e.

Solucao:

a) Temos que

lim

an+1xn+1anxn = lim an+1an |x| = |x|

onde usamos que

liman+1an

=

Pelo teste da razao, temos que a serie de potencias converge quando |x| < 1 e divergequando |x| > 1. Ou seja, a serie de potencias converge quando |x| < 1/ e divergequando |x| > 1/, de modo que o raio de convergencia e dado por R = 1/.

b) Temos que

lim n

(

1 +1

n

)n2xn

= lim((

1 +1

n

)n2|x|n

) 1n

= lim

(1 +

1

n

)n|x| = e|x|

onde usamos que

lim

(1 +

1

n

)n= e

Pelo teste da razao, temos que a serie de potencias converge quando e|x| < 1 e divergequando e|x| > 1. Ou seja, a serie de potencias converge quando |x| < 1/e e divergequando |x| > 1/e, de modo que o raio de convergencia e dado por R = 1/e.

c) Temos que

lim

(n+1)n+1

(n+1)!xn+1

nn

n!xn

= lim (n+ 1)n

nn|x| = lim

(1 +

1

n

)n|x| = e|x|

onde usamos que

lim

(1 +

1

n

)n= e

Pelo teste da razao, temos que a serie de potencias converge quando e|x| < 1 e divergequando e|x| > 1. Ou seja, a serie de potencias converge quando |x| < 1/e e divergequando |x| > 1/e, de modo que o raio de convergencia e dado por R = 1/e.

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4) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.

a) Se an e positiva e decrescente e a serien=0

an converge, entao a serien=0

(1)nanconverge.

b) Se a serien=0

|an| diverge, entao a serien=0

an diverge.

c) Toda serie alternada converge.

d) Toda serie alternada convergente nao converge absolutamente.

Solucao:

a) Verdadeira. De fato, ja sabemos que an e positiva e decrescente e, uma vez quen=0

an

converge, segue que an 0. Podemos entao aplicar o teste da serie alternada paraconcluir que

n=0

(1)nan converge, como afirmado.

b) Falsa. Por exemplo, tome an =(1)nn

. Temos quen=0

|an| =n=0

1

ndiverge, pois e a

serie harmonica e, no entanto,n=0

an converge, pelo teste da serie alternada.

c) Falsa. Por exemplo, a serie alternadan=0

(1)n diverge, uma vez que seu termo geral(1)n nao tende a zero.

d) Falsa. Por exemplo, tome an =(1)nn2

. Temos quen=0

an converge, pelo teste da

serie alternada, e tambem quen=0

|an| =n=0

1

n2converge, pois e serie p-harmonica

com p > 1. Segue quen=0

an e alternada e absolutamente convergente.

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Calculo 2Lista de Exerccios Modulo 1 Lista 5 Solucao

1) O objetivo desse exerccio e utilizar a derivada e a integral de series de potencias paraobter a expressao de certas series de potencias.

a) Usando quen=0

xn =1

1 x

no intervalo (1, 1), obtenha a serie de 1(1 x)2 , derivando a expressao acima, e

obtenha a serie de log(1 x), integrando a expressao acima. Quais os raios deconvergencia das series encontradas?

b) Usando o item anterior, mostre que

n=1

1

nxn = log(1 x)

no intervalo (1, 1). Obtenha a serie de 11 x , derivando a expressao acima, e obte-

nha a serie de (1 x) log(1 x) + x, integrando a expressao acima. Quais os raios deconvergencia das series encontradas?

c) Usando o item anterior, mostre que

n=1

(1)nn

xn = log(1 + x)

no intervalo (1, 1). Obtenha a serie de 11 + x

, derivando a expressao acima, e obte-

nha a serie de (1 + x) log(1 + x) + x, integrando a expressao acima. Quais os raiosde convergencia das series encontradas?

d) Usando o item anterior, mostre que

k=1

(1)kk

x2k = log(1 + x2)

no intervalo (1, 1). Obtenha a serie de 2x1 + x2

, derivando a expressao acima. Qual

o raio de convergencia das serie encontrada?

e) Usando o segundo item, mostre que( n=1

1

n2xn

)= log(1 x)

x

no intervalo (1, 1).

Solucao:

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a) Temos quen=0

xn =1

1 xno intervalo (1, 1). Por um lado, derivando o lado esquerdo, obtemos(

n=0

xn

)=n=1

nxn1 =n=0

(n+ 1)xn

e derivando o lado direito, obtemos(1

1 x)

=1

(1 x)2

de modo que1

(1 x)2 =n=0

(n+ 1)xn

Por outro lado, integrando o lado esquerdo, obtemos ( n=0

xn

)dx =

n=0

xn+1

n+ 1+ A =

n=1

1

nxn + A

e integrando o lado direito, obtemos1

1 x dx = log(1 x) +B

de modo que

log(1 x) =n=1

1

nxn + C

onde C = AB. Substituindo x = 0, obtemos que C = log(1) = 0, de modo que

log(1 x) =n=1

1

nxn

Os raios de convergencia de ambas as series e R = 1, iguais ao raio original.

b) Pelo item anterior, temos que

n=1

1

nxn = log(1 x)

no intervalo (1, 1). Por um lado, derivando o lado esquerdo, obtemos( n=1

1

nxn

)=n=1

1

nnxn1 =

n=0

xn

e derivando o lado direito, obtemos

( log(1 x)) = 11 x

de modo que1

1 x =n=0

xn

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Por outro lado, integrando o lado esquerdo, obtemos ( n=1

1

nxn

)dx =

n=1

1

n

xn+1

n+ 1+ A =

n=2

1

(n 1)nxn + A

e integrando o lado direito, obtemos log(1 x) dx = (1 x) log(1 x) + x+B

de modo que

(1 x) log(1 x) + x =n=2

1

(n 1)nxn + C

onde C = AB. Substituindo x = 0, obtemos que C = log(1) = 0, de modo que

(1 x) log(1 x) + x =n=2

1

(n 1)nxn

Os raios de convergencia de ambas as series e R = 1, iguais ao raio original.

c) Pelo item anterior, temos que

n=1

1

nxn = log(1 x)

no intervalo (1, 1). Substituindo x por x em ambos os lados, obtemosn=1

1

n(x)n = log(1 (x))

de modo quen=1

(1)nn

xn = log(1 + x)

no intervalo (1, 1). Por um lado, derivando o lado esquerdo, obtemos( n=1

(1)nn

xn

)=n=1

(1)nn

nxn1 =n=0

(1)n+1xn

e derivando o lado direito, obtemos

( log(1 + x)) = 11 + x

de modo que1

1 + x=n=0

(1)n+1xn

Por outro lado, integrando o lado esquerdo, obtemos ( n=1

(1)nn

xn

)dx =

n=1

(1)nn

xn+1

n+ 1+ A =

n=2

(1)n1(n 1)nx

n + A

e integrando o lado direito, obtemos log(1 + x) dx = (1 + x) log(1 + x) + x+B

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de modo que

(1 + x) log(1 + x) + x =n=2

(1)n1(n 1)nx

n + C

onde C = AB. Substituindo x = 0, obtemos que C = log(1) = 0, de modo que

(1 + x) log(1 + x) + x =n=2

(1)n1(n 1)nx

n

Os raios de convergencia de ambas as series e R = 1, iguais ao raio original.

d) Pelo item anterior, temos que

n=1

(1)nn

xn = log(1 + x)

no intervalo (1, 1). Substituindo x por x2 em ambos os lados, obtemosn=1

(1)nn

(x2)n = log(1 + x2)

de modo quek=1

(1)kk

x2k = log(1 + x2)

no intervalo (1, 1). Derivando o lado esquerdo, obtemos( k=1

(1)kk

x2k

)=k=1

(1)kk

2kx2k1 = 2k=1

(1)kx2k1

e derivando o lado direito, obtemos( log(1 + x2)) = 2x1 + x2

de modo que2x

1 + x2= 2

k=1

(1)kx2k1

O raio de convergencia de e R = 1, igual ao raio original.

e) Temos que ( n=1

1

n2xn

)=n=1

1

n2nxn1 =

1

x

n=1

1

nxn

Usando quen=1

1

nxn = log(1 x)

no intervalo (1, 1), segue que( n=1

1

n2xn

)= log(1 x)

x

no intervalo (1, 1).

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2) O objetivo desse exerccio e obter a serie de Taylor da funcao seno.

a) Mostre que

sen(n)(x) =

sen(x), n = 4lcos(x), n = 4l + 1 sen(x), n = 4l + 2 cos(x), n = 4l + 3

b) Use o item anterior para concluir que | sen(n)(x)| 1 para cada n 0 e todo x R.Conclua que a funcao seno e igual a` sua serie de Taylor, para todo x R.

c) Use o primeiro item para concluir que

sen(2k)(0) = 0 e sen(2k+1)(0) = (1)kpara todo k 0.

d) Use os itens anteriores para concluir que

sen(x) =k=0

(1)k(2k + 1)!

x2k+1,

para todo x R.Solucao:

a) Temos quesen(0) = sen(x), sen(4) = sen(x), sen(1) = cos(x), sen(5) = cos(x), sen(2) = sen(x), sen(6) = sen(x), sen(3) = cos(x), sen(7) = cos(x),

b) Pelo item anterior, segue que| sen(n)(x)| 1,

para cada n 0 e todo x R, uma vez que | sen(x)|, | cos(x)| 1. Para todo c > 0,segue que

| sen(x) pn1(x)| cn

n!para todo x [c, c], onde pn1(x) e o polinomio de Taylor de grau n 1 da funcaoseno. Como lim c

n

n!= 0, pelo teorema do Sanduche, segue que os polinomios de Taylor

de seno se aproximam do seno, para todo x [c, c]. Como c e arbitrario, segue quesen(x) e igual a` sua serie de Taylor para todo x R.

c) Pelo primeiro item, segue que

sen(n)(0) =

sen(0) = 0, n = 4lcos(0) = 1, n = 4l + 1 sen(0) = 0, n = 4l + 2 cos(0) = 1, n = 4l + 3

de modo que sen(n)(0) = 0, quando n e par, e sen(n)(0) alterna entre 1 e 1,comecando do 1, quando n e mpar. Logo

sen(2k)(0) = 0 e sen(2k+1)(0) = (1)kpara todo k 0.

d) Pelos itens anteriores segue que

sen(x) =n=0

sen(n)(0)

n!xn =

k=0

(1)k(2k + 1)!

x2k+1,

para todo x R.

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3) O objetivo desse exerccio e obter a serie de Taylor da funcao cosseno.

a) Mostre que

cos(n)(x) =

cos(x), n = 4l sen(x), n = 4l + 1 cos(x), n = 4l + 2

sen(x), n = 4l + 3

b) Use o item anterior para concluir que | cos(n)(x)| 1 para cada n 0 e todo x R.Conclua que a funcao cosseno e igual a` sua serie de Taylor, para todo x R.

c) Use o primeiro item para concluir que

cos(2k)(0) = (1)k e sen(2k+1)(0) = 0para todo k 0.

d) Use os itens anteriores para concluir que

cos(x) =k=0

(1)k(2k)!

x2k,

para todo x R.Solucao:

a) Temos quecos(0) = cos(x), cos(4) = cos(x), cos(1) = sen(x), cos(5) = sen(x), cos(2) = cos(x), cos(6) = cos(x), cos(3) = sen(x), cos(7) = sen(x),

b) Pelo item anterior, segue que| cos(n)(x)| 1,

para cada n 0 e todo x R, uma vez que | sen(x)|, | cos(x)| 1. Para todo c > 0,segue que

| cos(x) pn1(x)| cn

n!para todo x [c, c], onde pn1(x) e o polinomio de Taylor de grau n 1 da funcaocosseno. Como lim c

n

n!= 0, pelo teorema do Sanduche, segue que os polinomios

de Taylor de cosseno se aproximam do cosseno, para todo x [c, c]. Como c earbitrario, segue que cos(x) e igual a` sua serie de Taylor para todo x R.

c) Pelo primeiro item, segue que

cos(n)(0) =

cos(0) = 1, n = 4l sen(0) = 0, n = 4l + 1 cos(0) = 1, n = 4l + 2

sen(0) = 0, n = 4l + 3

de modo que cos(n)(0) alterna entre 1 e 1, comecando do 1, quando n e par, ecos(n)(0) = 0, quando n e mpar. Logo

cos(2k)(0) = (1)k e cos(2k+1)(0) = 0para todo k 0.

d) Pelos itens anteriores segue que

cos(x) =n=0

cos(n)(0)

n!xn =

k=0

(1)k(2k)!

x2k,

para todo x R.

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4) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.

a) Se o domnio den=0

anxn e (1, 1], entao o domnio de

n=0

an2nxn e (2, 2].

b) Sen=0

anxn converge para x = 2, entao tambem converge para x = 2.

c) Sen=0

anxn converge para x = 2, entao tambem converge para x = 1.

d) Sen=0

anxn converge para x = c, onde c > 0, mas nao converge absolutamente para

x = c, entao o raio de convergencia dessa serie e R = c.

e) Se o limite limxc

n=0

anxn existe, entao ele e igual a

n=0

ancn.

f) Se a derivada den=0

anxn em x = c existe, entao ela e igual a

n=0

anncn1.

Solucao:

a) Verdadeira. De fato, se f(x) =n=0

anxn tem domnio (1, 1], entao

g(x) =n=0

an2nxn =

n=0

an

(x2

)n= f

(x2

),

tem domnio (2, 2], pois quando x percorre (2, 2], temos que x/2 percorre (1, 1].b) Falsa. Considere, por exemplo, a serie de potencias

n=1

(1)nn2n

xn.

Para x = 2, obtemos a serie harmonica alternada

n=1

(1)nn2n

2n =n=0

(1)nn

,

que converge. Para x = 2, usando que (2)n = (1)n2n, obtemos a serie harmonican=1

(1)nn2n

(2)n =n=0

1

n,

que diverge.

c) Verdadeira. De fato, se essa serie converge para x = 2, entao seu raio de convergenciaR e maior ou igual a 2. Segue que x = 1 (R,R), de modo que a serie tambemconverge para x = 1.

d) Verdadeira. De fato, se essa serie converge para x = c, entao seu raio de convergenciaR e maior ou igual a c. Por outro lado, se R fosse maior que c, entao x = c (R,R),de modo que a serie convergiria absolutamente para x = c. Como isso nao ocorre,temos que R = c.

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e) Falsa. Basta considerar c = 1 e a serie geometrican=0

xn =1

1 x

cujo domnio e o intervalo aberto (1, 1). Temos que o limite

limx1

n=0

xn = limx1

1

1 x =1

1 (1) =1

2.

Por outro lado,n=0

(1)n

sequer converge.

f) Falsa. Basta considerar c = 1 e a a serien=1

1

nxn = log(1 x)

cujo domnio e o intervalo aberto [1, 1). Temos a derivada da serie em x = 1 existee e igual a (

n=1

1

nxn

)x=1

= ( log(1 x))x=1 =(

1

1 x)

x=1=

1

2.

Por outro lado,n=1

1

nn(1)n1 =

n=1

(1)n1

sequer converge.

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