SPI5814 Física atômica e molecular - Equações de Bloch ópticas
Rafael Bruno Barbosa Lima
Instituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, Brasil
(Dated: Novembro de 2015)
1
I. INTRODUÇÃO
Procuramos uma equação para descrever a evolução temporal de átomos integarentes com
um campo de radiação. Entretanto para retratar sistemas que contém processos de excitação
e relaxação acontecendo simultâneamente, a formulação usual da mecânica quântica usando
a equação de Schrodinger, já não é mais sufuiente, pois a mesma somente é capaz de explicar
processos estimulados como absorção e uma onda monocromática. Desta forma, processos
mais complexos como a emissão espontânea ou qualquer outro processo dissipativo devem
ser incluídos na evolução temporal do sistema, gerando um caráter mais geral no processo
de evoluçção do sistema.
Assim, já não é suficiente representar esta situação usando somente uma função de onda,
mas sim por um esemble delas, onde somos capazes de medir as probabilidades associadas
a cada estado do sistema. Para realizar esta tarefa devemos construir um formalismo mais
abrangente, capaz de englobar casos mais complexos como descritos acima, denominado
de formalismo de operador densidade ou simplesmente matriz densidade. Dentro deste
contexto, se inseres as equações de Bloch ópticas, capaz de descrever a evolução temporal
dos elementos de matriz do operador densidade, em outras palavras, a evolução temporal
das populações, descrito pelos termos diagonais da matriz, e das coerências do sistema,
representado pelos termos não diagonais, conforme veremos a seguir.
A maioria dos resultados apresentados nesta monografia foram baseados na referência
[1]. Além disso, pode-se consultar o artigo original publicado em 1946 pelo físico Suíço Felix
Bloch na referência [2]. Vale mencionar que Bloch recebeu o prêmio Nobel de 1952 pelo
desenvolvimento de novos métodos de medição precisa do magnetismo nuclear e descobertas
afins, comumente chamada de ressonância magnética nuclear (RMN).
II. O OPERADOR DENSIDADE
O operador densidade ou matriz densidade, é uma formulação usada para descrever esta-
dos quânticos mistos, onde cada estado possui uma probabilidade associada de ser medido.
Sua grande vantagem vem do fato dela ser mais geral do que a formulação usando funções
de ondas, pois esta somente descreve estados puros. A matriz densidade se torna então o
análogo quântico da mecânica estatística clássica. Sendo assim, podemos definir o operador
2
densidade da seguinte forma
ρ =∑k
pk |ψk〉 〈ψk| , (1)
onde |ψk〉 representa um conjunto completo de estados ortonormais, pk é a probabilidade
de encontrarmos o estado |ψk〉. Logicamente temos que pk ≥ 0 e sua a condição de normali-
zação∑
k pk = 1. Um caso interesante a ser ressaltado são os estdos puros, no qual temmos
pk = 1, e o operador densidade se torna simplesmente
ρ = |ψ〉 〈ψ| . (2)
Calculando os elementos de matriz da equação (1) encontramos
〈ψk| ρ |ψk〉 = pk, (3)
onde usamos o fato dos estados serem ortonormais 〈ψk|ψn〉 = δk,n. A equação (3) representa
a probabilidade de encontrar o sistema no estado |ψk〉. Além disso, expandindo os estados
|ψk〉 no espaço de Fock |n〉, definindo 〈n|ψk〉 = cn e inserindo a completeza∑
n |n〉 〈n| = 1
na equação (1), temos
ρ =∑k
pk∑n
|n〉 〈n|ψk〉∑m
〈ψk|m〉 〈m| =∑k
∑m,n
pkcnc∗m |n〉 〈m| . (4)
Com isso podemos calcular novamente os elementos de matriz
1. termos diagonais: 〈n| ρ |n〉 =∑
k|cn|2 → representa as populações.
2. termos não diagonais: 〈n| ρ |m〉 =∑
k cnc∗m → representa as coerências ∗.
Com isso podemos mostrar que o operador densidade é hermitiano, basta calcular o con-
jugado do elemento de matriz e ver que 〈n| ρ |m〉∗ = 〈m| ρ |n〉. Vamos agora mencionar
algumas propriedades do operador densidade
(a) Hermitiano: ρ = ρ†.
(b) Normmalização: Tr (ρ) = 1.
(c) Tr (ρ2) =
= 1, estados puros,
> 1, estados mistos.
∗ As coerências são responsáveis pelas perdas das características quânticas do sistema
3
(d) 〈ψ| ρ |ψ〉 ≥ 0
(e) ρ pode ser diagonalizado: ρ =∑
n pn |n〉 〈n|
(f) a média de um operador A é: 〈A〉 = Tr (ρA) =∑
n 〈n|Aρ |n〉.
(g) o traço possui propriedade cíclica: Tr (ABC) = Tr (CAB) = Tr (BCA)
III. EVOLUÇÃO TEMPORAL DO OPERADOR DENSIDADE
Podemos ainda calcular a evolução temporal da equação (1)
dρ (t)
dt=∑n
pn
[(d
dt|ψn〉
)〈ψn|+ |ψn〉
(d
dt〈ψn|
)]. (5)
Usando a equação de Schrodinger i~ ∂∂t|ψ(t)〉 = H |ψ(t)〉 e substituindo a equação (5), temos
dρ (t)
dt=i
~
[ρ (t) , H
], (6)
e é chamada de equação de Lioville - von Neumann. Se o Hamiltoniano da equação (6) for
independente do tempo, a solução se escreve sa seguinte maneira
ρ (t) = U (t− t0) ρ (t0)U † (t− t0) , com U (t− t0) = eiH(t−t0)/~. (7)
A equação de Lioville - von Neumann descreve a evolução temporal do operador densi-
dade sujeito ao Hamiltoniano H, que no caso está escrita na representação de Schrodinger.
Além disto, podemos escrever a equação (6) na representação de interação, bastanto apenas
aplicarmos a transformação
ρ (t) = eiH0(t−t0)/~ρS (t0) e−iH(t−t0)~. (8)
Fazendo o processo análogo ao que foi feito para equação (6)
dρ (t)
dt=i
~
[ρ (t) , V (t)
], (9)
onde a evolução do operador densidade depende somente da parte temporal do Hamiltoniano.
A representação de interação é mais aconselhável para sistemas que possuem um termo livre
mais outro responsável pela parte temporal, como H = H0 + V (t).
4
IV. EQUAÇÕES DE BLOCH ÓPTICAS
Nesta seção faremos a dedução das equações de Bloch para a representação de Schrodin-
ger, pois esta é mais frequentemente encontrada na literatura. Outro ponto que deve ser
destacado é o fato dessa primeira abordagem não incluir o termo de emissão espontânea, que
será tratado posteriormente. Calculando os elementos de matriz da equação (6), obtemos
〈m| dρ (t)
dt|n〉 =
i
~〈m|
[ρ (t) , H
]|n〉 =
i
~
[〈m| ρ (t) , H0 + V (t) |n〉
]=i
~(En − Em) 〈m| ρ (t) |n〉+
i
~〈m|
[ρ (t) , V (t)
]|n〉
=i
~(En − Em) 〈m| ρ (t) |n〉+
i
~∑k
[〈m| ρ (t) |k〉 〈k|V (t) |n〉 − 〈m| ρ (t) |k〉 〈k|V (t) |n〉
],
(10)
em que usamos a relação de completeza∑
k |k〉 〈k| = 1 e definindo o elemento de matriz
〈m|A |n〉 = Amn, podemos reescrever a equação (10) da seguinte maneira
ρmn (t) =i
~(En − Em) ρmn (t) +
i
~∑k
[ρmk (t)Vkn (t)− Vkn (t) ρmk (t)
], (11)
que são conhecidas como as equações de Bloch ópticas. Um fato importante a ser destacado
é que o acoplamento da interação V (t) é somente não diagonal †.
V. EQUAÇÕES DE BLOCH PARA ÁTOMOS DE DOIS NÍVEIS
Faremos agora a aplicação da equação (11) para um sistema de dois níveis acoplado a um
campo sem o termo de emissão espontânea . Desta forma, vamos calcular os elementos
1. Para m = n = 1:
dρ11
dt=i
~
2∑k=1
(ρ1kVk1 − V1kρk1) =i
~(ρ12V21 − V12ρ21) , (12)
2. m = n = 2:
dρ22
dt=i
~
2∑k=1
(ρ2kVk2 − V2kρk2) =i
~(ρ21V12 − V21ρ12) = −dρ11
dt, (13)
† Considere como exemplo a interação elétron-elétron Coulombiana e a interação de dois corpos, que pode
ser escrita como Vint = 12
∫dr1dr2V (r1 − r2)ψ†σ1
(r1)ψ†σ2(r2)ψσ′
2(r2)ψσ′
1(r1).
5
3. m = 1, n = 2:
dρ12
dt=i
~(E2 − E1) ρ12 +
i
~
2∑k=1
(ρ1kVk2 − V1kρk2)
= iω0ρ12 +i
~V12 (ρ11 − ρ22) , (14)
4. m = 2, n = 1:
dρ21
dt=i
~(E1 − E2) ρ21 +
i
~
2∑k=1
(ρ2kVk1 − V2kρk1)
= −iω0ρ21 +i
~V21 (ρ22 − ρ11) =
ρ∗12
dt(15)
5. ou escrevendo matricialmente:
d
dt
ρ11
ρ22
ρ12
ρ21
=i
~
M11 M12
M21 M22
ρ11
ρ22
ρ12
ρ21
=⇒ ~ρ = Mρ, (16)
onde os termos Mij representam os elementos de matriz calculados acima. Pode-se ainda
calcular as equações de Bloch para a representação de interação,
dρ22
dt=i
~(ρ21V12 − V21ρ12) ,
dρ12
dt=i
~V12 (ρ11 − ρ22) , (17)
onde os elementos ρ11 = −ρ22 e ρ21 = ρ∗12 estão vinculados conforme as equações acima. Ou-
tra maneira de calcular as equações na representação de interação é utilizar a transformação
ρ12 = ρ12eiω0t. Observe que a representação de interação simplifica a dependência temporal
das coerências do sistema.
Fazendo a aproximação de onda girante (RWA), que considera somente ondas com
frequência ∆ω = ω − ω0, temos que a interações ficam V12 = 12~Ωeiωt e V21 = 1
2~Ωe−iωt.
Aplicando estas trasformações nas equações de Bloch
dρ22
dt=iΩ
~(ρ21 − ρ12) ,
dρ12
dt= −i∆ωρ12 +
iΩ
2(ρ11 − ρ22) . (18)
Considerando condições de contorno arbitrárias, as soluções se tornam complexas. En-
tretanto ainda podemos resolver essa condição, sendo que para isto vamos fazer uso da
6
representação matricial, conforme visto na equação (16). Considerando o caso do átomo de
dois níveis, temos
d
dt
ρ11
ρ22
ρ12
ρ21
=i
2
0 0 Ω −Ω
0 0 −Ω Ω
Ω −Ω −2∆ 0
−Ω Ω 0 2∆
ρ11
ρ22
ρ12
ρ21
. (19)
Aplicando o ansatz ρi,j (t) = ρi,j (0) eλt, onde λ é o autovalor da matriz. Então basta
diagonalizarmos nossa matriz presente na equação (19) para encontrarmos nossa solução.
Assim, primeiramente será feito considerando condições de contorno gerais
det (A− λ1) =⇒ λ2[λ2 − 4
(∆2 + Ω2
)]= 0
λ =
0
i√
∆2 + Ω2 = iG
−i√
∆2 + Ω2 = −iG,
(20)
onde o termo G é definido como a frequência de Rabi generalizada. Um aspecto importante
a ser salientado é que devido as termos diagonais ρnn e não diagonais ρmn possuírem um
vínculo conforme visto nas equações (13) e (15), por simplicidade vamos somente calcular
os termos ρ22 e ρ12. Então nossa solução assume a seguinte forma
ρ22 (t) = ρ(1)22 (0) + ρ
(2)22 (0) eiGt + ρ
(3)22 (0) e−iGt
ρ12 (t) = ρ(1)12 (0) + ρ
(2)12 (0) eiGt + ρ
(3)12 (0) e−iGt (21)
onde os termos ρk22 (0) são dados por
ρ(1)22 (0) = ρ22 (0) +
1
2G2
|Ω|2 [1− 2ρ22 (0)]−∆ω [Ωρ∗12 (0) + Ω∗ρ12 (0)]
ρ
(2)22 (0) =
1
4G2
−|Ω|2 [1− 2ρ22 (0)] + (∆ω +G) Ωρ∗12 (0) + (∆ω −G) Ω∗ρ12 (0)
ρ
(3)22 (0) =
1
4G2
−|Ω|2 [1− 2ρ22 (0)] + (∆ω −G) Ωρ∗12 (0) + (∆ω +G) Ω∗ρ12 (0)
, (22)
e analogamente para o termo não diagonal ρk12 (0)
ρ(1)12 (0) =
1
2G2
∆ωΩ [1− 2ρ22 (0)] + Ω
[Ω ˜rho∗12 (0) + Ω∗ρ12 (0)
]ρ
(2)12 (0) =
(∆ω −G)
4G2
−Ω [1− 2ρ22 (0)] + (∆ω +G)
Ω
Ω∗ρ∗12 (0) + (∆ω −G) ρ12 (0)
ρ
(3)12 (0) =
(∆ω +G)
4G2
−Ω [1− 2ρ22 (0)] + (∆ω −G)
Ω
Ω∗ρ∗12 (0) + (∆ω +G) ρ12 (0)
(23)
7
Entretanto, podemos simplificar as condições iniciais considerando por exemplo que o átomo
esteja no estado fundamental quando o campo de radiação está ligado no tempo t = 0
ρ11 (0) = 1, ρ22 (0) = 0, ρ12 (0) = 0, ρ11 (0) = 0. (24)
Aplicando estas condições nas equações (22) e (23), temos
ρ(1)22 (0) =
|Ω|2
2G2, ρ
(1)12 (0) =
∆ωΩ
2G2
ρ(2)22 (0) = −|Ω|
2
4G2, ρ
(2)12 (0) =
(G−∆ω) Ω
4G2
ρ(3)22 (0) = −|Ω|
2
4G2, ρ
(3)12 (0) = −(G+ ∆ω) Ω
4G2. (25)
Substituindo as equações acimas na equação (21),
ρ22 (t) =|Ω|2
4G2
(2− eiGt − e−iGt
)=|Ω|2
G2sin2
(Gt
2
)ρ12 (t) =
[∆ωΩ
2G2− (∆ω −G)
4G2ΩeiGt − (∆ω +G)
4G2Ωe−iGt
]ei∆ωt
=2Ω
4G2[∆ω −∆ω cos (Gt) + iG sin (Gt)] ei∆ωt
=Ω
G2sin
(Gt
2
)[∆ω sin
(Gt
2
)+ iG cos
(Gt
2
)]ei∆ωt, (26)
onde usamos as propriedades trigonométricas cosx = 1−2 sin2 (x/2) e sinx = 2 sin (x/2) cos (x/2).
Na figura (1-a), temos a evolução temporal da população, ρ2(t) para diversos valores de Ω
e ∆ω. É possível observar que para o instante inicial, t = 0, o átomo se encontra no estado
fundamental (ρ11(0) = 1, ρ22(0) = 1). Para t > 0, a probabilidade de encontrar o átomo no
estado excitado (|2〉) oscila, ou seja, ocorrem inversões da população entre os estados |1〉
e |2〉 ao longo do tempo. Na figura (1-b), foi fixado um valor de tempo, t = π/2, e feito
o gráfico da população em função da frequência ∆ω. Podemos notar que para Ω = 1 a
população está distribuída de maneira igual entre os estados |1〉 e |2〉. Considerando o caso
que Ω = 2, esta simetria é quebrada, fazendo com que toda a população seja transferida
para o estado excitado |2〉. Por fim, no caso em que Ω = 3, temos o retorno da simetria
populacional do sistema.
8
Ω=1 ,Δω=1
Ω=2 ,Δω=1
Ω=1 ,Δω=2Ω=1
Ω=2
Ω=3
t=π2
(a) (b)
Figura 1. (a) Evolução temporal da população do estado ρ22(t) para diversos valores das frequências
Ω e ∆ω . (b) Gráfico da população ρ22 em função da frequência ∆ω considerando um tempo t = π/2.
VI. O VETOR DE BLOCH ATÔMICO
Nesta seção apresentaremos uma notação alternativa para a equação de movimento. As-
sim, para um sistema de dois níveis podemos definir uma base utilizando as matrizes de
Pauli da seguinte maneira
1
0
= |1〉 ,
0 1
0 0
= |1〉 〈2| = σ− ,
0 1
1 0
= σ+ + σ− = σx,
0
1
= |2〉 ,
0 0
1 0
= |2〉 〈1| = σ+ ,
0 −i
i 0
=1
i
(σ+ − σ−
)= σy,
1 0
0 0
= σ+σ− ,
0 0
0 1
= σ+σ− ,
1 0
0 −1
=[σ−, σ+
]= σz, (27)
9
onde o vetor σ = (σx, σy, σz) é chamado de vetor de Bloch. Desta maneira, a matriz
densidade pode ser expandida utilizando esta baseρ11 ρ12
ρ21 ρ22
= ρ11 |1〉 〈1|+ ρ12 |1〉 〈2|+ ρ21 |2〉 〈1|+ ρ22 |2〉 〈2|
= ρ11σ−σ+ + ρ12σ
− + ρ21σ+ + ρ22σ
+σ−
=
〈σ−σ+〉 〈σ−〉
〈σ+〉 〈σ+σ−〉
. (28)
Então, podemos definir o vetor de Bloch atômico da seguinte forma
β ≡
2Re (ρ12)
2Im (ρ12)
ρ22 − ρ11
=
〈σ−〉+ 〈σ+〉
i (〈σ−〉 − 〈σ+〉)
〈σ+σ−〉 − 〈σ−σ+〉
=
〈σx〉
〈σy〉
〈σz〉
(29)
onde ρ12 = 〈σ−〉, 2Re (ρ12) = ρ12 + ρ∗12 e 2Im (ρ12) = ρ12 − ρ∗12. Além disso, temos que
as quantidades ρ12 descreve a polarização e ρ11 − ρ22 a inversão de população do átomo.
Podemos então definimos o vetor G como
G =
Ω
0
∆ω
, (30)
no qual a norma do vetor é simplesmente a frequência de Rabi generalizada ‖G2‖ = G =√
Ω2 + ∆ω2. Com isto, podemos formalizar as equações de Bloch utilizando esta represen-
tação vetorialdβ
dt= G× β. (31)
Considerando condições iniciais mais simples como
βx (0) = 0, βy (0) = 0 e βz (0) = −β, (32)
a solução da equação de movimento (31) se dá por
βx = |β|Ω∆ω
G2[cos (Ωt)− 1] ,
βy = |β|ΩG
sin (ωt) ,
βz = −|β|[1 +
Ω2
G2cos (Ωt− 1)
]. (33)
10
A partir da equação (33) vemos que para o instante inicial t = 0, o vetor de Bloch aponta
para a direção −z, ou seja, toda a população está presente no estado fundamental do sistema.
Para t > 0, o vetor gira no plano x−y no sentido anti-horário. Especificamente para o tempo
t = π/(2Ω), o vetor de Bloch aponta para a direção y e considerando t = π/Ω, vemos que ele
aponta para z. Com isso, temos que toda a população foi transferida para o estado excitado
e o vetor de Bloch continua a girar em torno de G com frequência proporcional a força Ω
da interação do átomo com o campo.
VII. EQUAÇÕES DE BLOCH COM EMISSÃO ESPONTÂNEA
Nesta seção, trataremos o problema equivalente da seção (V) adicionando o termo de
emissão espontânea na matriz da evolução temporal dos estados. Um aspecto importante
a ser ressaltado é o fato que o termo proporcional a emissão espontânea, no contexto das
equações ópticas de Bloch, é adicionado a mão. Para o mesmo aparacer naturalmente na
derivação das equações, temos que fazer uso de um formalismo mais complexo, onde utiliza-
se sistemas quânticos abertos. Desta forma, podemos escrever a matriz presente na equação
(19) da forma
d
dt
ρ11
ρ22
ρ12
ρ21
=1
2
−4γ 0 iΩ −iΩ
4γ 0 iΩ iΩ
iΩ −iΩ −2 (i∆ω − γ) 0
−iΩ iΩ 0 2 (i∆ω − γ)
ρ11
ρ22
ρ12
ρ21
. (34)
Considerando as condições de contorno da seguinte forma ρ11(0) = 1, ρ22(0) = 0, ρ12(0) = 0
e ρ21(0) = 0, a solução da equação (34) é
ρ22 (t) =1
2
|Ω|2
|Ω|2 + 2γ2
1−
[cos (Gt) +
3γ
sGsin (Gt)
]e
3γ2G
, (35)
em que G =√
Ω2 + γ2. A equação (35) nos fornece a população do estado ρ22(t) em
função do tempo. Assim, podemos considerar um caso mais simples, no qual vamos impor a
condição de solução estacionário, ou seja, ρi,j(t) = 0. Desta maneira, as soluções da equação
(34) ficam da seguinte forma
ρ22 (0) =1
4
|Ω|2(∆ω2 + 1
2|Ω|2 + γ2
) ,ρ12 (0) =
ei∆ωt
2
Ω (∆ω − iγ)
∆ω2 + 12|Ω|2 + γ2
, (36)
11
onde tanto as populações e as coerências dependem da frequência Ω e podemos definir uma
largura efetiva, tal que
Γef = 2
√|Ω|2
2+
Γ2
4. (37)
Podemos observar na figura (2) o espectro da população ρ22(0) da equação (36). Anali-
sando a figura, podemos notar que conforme aumentamos o parâmetro γ, responsável pelo
termo de emissão espontânea, ocorre um alargamento da linha. Na figura (3) temos os
gráficos da parte real e imaginária da coerência, ρ12(0), do sistema.
Como a frequência Ω depende do campo elétrico aplicado, tal que Ω = d12 ·E0/~, então a
largura efetiva, Γef, depende da intensidade do campo de luz aplicado. A este processo é dado
o nome de alargamento por potência. Além dele, existem outros processos de alargamento,
como o causado por colisões, efeito Doppler, que não serão tratados nesta monografia.
ρ12
Δ ω
Ω=1 ,γ=0
Ω=1 ,γ=0.5
Ω=2 ,γ=1
Figura 2. Gráfico da população ρ22(0) em função da frequência ∆ω no estado estacionário.
12
Ω=1 ,γ=1
Ω=0.4 ,γ=1
Ω=1 ,γ=0.3
Ω=1 ,γ=1
Ω=0.4 ,γ=1
Ω=1 ,γ=0.3
ℜ(ρ
12)
ℑ(ρ
12)
Δ ω Δ ω
(a) (b)
Figura 3. Gráfico da coerência ρ12(0) em função da frequência ∆ω no estado estacionário. (a) parte
real, Re [ρ12(0)] e (b) parte imaginária, Im [ρ12(0)].
[1] P. W. Courteille, Disponível em: <http://www.ifsc.usp.br/ stron-
tium/Publication/Scripts/LuzMateriaScript.pdf>.
[2] F. Bloch, Physical Review 70, 460 (1946).
13
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