Cnicas Caracterizao Geomtrica

(y k)2 = 4p(x h) Parbola com eixo de simetria paralelo ao eixo x

(x h)2 = 4p(y k) Parbola com eixo de simetria paralelo ao eixo y

(x h)2a2

+(y k)2

b2= 1

Elipse com eixo maior paralelo ao eixo x

(y k)2a2

+(x h)2

b2= 1

Elipse com eixo maior paralelo ao eixo y

(x h)2a2

(y k)2

b2= 1

Hiprbole com eixo focal paralelo ao eixo x

(y k)2a2

(x h)2

b2= 1

Hiprbole com eixo focal paralelo ao eixo y

Cnicas com excentricidade e > 0, em coorde-nadas polares, com foco F no polo e correspon-dente reta diretriz s onde d = dist(s, F ).

r =de

1 + e cos s perpendicular ao eixo polar e est direita dopolo

r =de

1 e cos s perpendicular ao eixo polar e est esquerdado polo

r =de

1 + e sen s paralela ao eixo polar e est acima do polo

r =de

1 e sen s paralela ao eixo polar e est abaixo do polo

Circunferncia de raio=a que passa pelo polo ecujo centro est no eixo polar.

r = 2a cos ou r = 2a cos o centro est direita ou esquerda do polo.

r = 2a sen ou r = 2a sen o centro est acima ou abaixo do polo.

Qudricas Caracterizao Geomtrica

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 Elipside

x2

a2+y2

b2 z

2

c2= 1

x2

a2 y

2

b2+z2

c2= 1

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

Hiperbolide de uma folha

x2

a2 y

2

b2+z2

c2= 1

x2

a2 y

2

b2 z

2

c2= 1

x2

a2+y2

b2 z

2

c2= 1

Hiperbolide de duas folhas

cz =x2

a2+y2

b2

ax =y2

b2+z2

c2

by =x2

a2+z2

c2

Parabolide Elptico

cz =x2

a2 y

2

b2

ax =y2

b2 z

2

c2

by =x2

a2 z

2

c2

Parabolide Hiperblico

z2 =x2

a2+y2

b2

x2 =y2

b2+z2

c2

y2 =x2

a2+z2

c2

Cone Elptico

Superfcies Caracterizao Geomtrica

f(cx

z,cy

z) = 0

Superfcie cnica com curva diretriz no planoz = c com equao f(x, y) = 0

f(ay

x,az

x) = 0

Superfcie cnica com curva diretriz no planox = a com equao f(y, z) = 0

f(bx

y,bz

y) = 0

Superfcie cnica com curva diretriz no planoy = b com equao f(x, z) = 0

f(x,y2 + z2) = 0

Superfcie de revoluo com eixo de revoluo xe curva geratriz dada por f(x, z) = 0 ouf(x, y) = 0.

f(y,x2 + z2) = 0 ou f(

x2 + z2, y) = 0

Superfcie de revoluo com eixo de revoluo ye curva geratriz dada por f(y, z) = 0 ouf(x, y) = 0.

f(x2 + y2, z) = 0

Superfcie de revoluo com eixo de revoluo ze curva geratriz dada por f(x, z) = 0 ouf(y, z) = 0.