Módulo de um número real 1
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
É o capítulo da Matemática que estuda as diversas maneiras de designar
distâncias e propriedades algébricas entre elas.
Total de aulas previstas: 16
OJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
No final de módulo o estudante deve ser capaz de:
. Explicar a correspondência existente entre o conjunto R e o eixo numérico (
recta graduada)
. Situar distâncias no eixo real com auxílio de números reais.
. Resolver equações e inequações modulares e fazer a devida interpretação
em relação a marcação de distâncias.
Neste capítulo falaremos de:
1. Conceito de número.
1.1. Revisão sobre Conjuntos numéricos.
1.1.1. Conjunto de números naturais (N).
1.1.2. Conjunto de números inteiros relativos.
1.1.3. Conjuntos de números racionais fraccionários (Q).
1.1.4. Conjuntos de números Irracionais ( Irrac).
1.1.5. Conjuntos de números Reais ( R).
2. Noção de módulo de um número.
2.1. Propriedades sobre módulos.
3. Expressões com módulos e suas simplificações.
4. Equações modulares.
5. Inequações modulares.
6. Ficha de exercícios.
1. Conceito de número
Na vida prática encontramos várias situações que precisamos de quantificar por
forma a dar carácter ou sentido.
Definição: chama-se número a qualquer designação quantitativa.
Ex1: A Escola Secundária Francisco Manyanga tem um universo de 7349 alunos
Módulo de um número real 2
Ex2: A carpintaria da escola encontra-se na cave ou a um andar do rés-do-chão
(-1º andar)
Ex3: Quase metade do barco fica submersa ( 1
2 )
Ex4: A distância entre Beira e Maputo é de 1250 km
1.1. Revisão sobre Conjuntos numéricos
Lembre-se que no estudo à Teoria de Conjuntos, se debruçou em volta dos
conjuntos numéricos mas faltou a sua caracterização e surgimento.
1.1.1. Conjunto de números naturais ( N)
IN – conjunto dos números inteiros e positivos (naturais)
Representação: IN=
Caso particular: IN – Conjunto de números naturais incluindo zero
IN=
Operações em IN
As operações em IN são maioritariamente limitadas, visto que só se envolve
números inteiros e positivos.
Falaremos das operações tais como: adição, subtracção, multiplicação e divisão.
Adição
A adição em IN é sempre possível tal que pode-se dizer que é fechada sempre
que adicionarmos dois elementos ou números em IN o resultado também é de IN
Ex1:
5 ;11
5 11 16;16
1; 2;3;4;5;...
1 2 3 4 5
0;1; 2;3;4;5;...
1 2 3 4 5 0
Módulo de um número real 3
Generalizando:
;
;
a b
a b c c
Subtracção
A subtracção em IN não é sempre possível porque há casos em que o resultado
não pertence a IN, quando há subtracção de um número menor com o número
maior.
Ex1: 13 6 7;13 ;6 ;7
Ex2.: 5 9 4;5 ;9 ; 4
Generalizando
; : ;a b a b c c
Com este pormenor, a subtracção passa a não ser fechada e IN, daí a
necessidade de resolver este problema, surge o conjunto de números relativos e
inteiros
1.1.2. Conjunto de números inteiros relativos ( ):
– o conjunto de números inteiros relativos, inteiros positivos e negativos.
5 9 4;5 ;9 ; 4e
Obs.: Este conjunto surge para dar respostas às quantidades retiradas, divididas,
défices, etc.
Multiplicação: ; : . ;a b a b c c
Divisão:
1
2
14: 7;14;2;7
2
12: 2,4
5
Q
Q
Módulo de um número real 4
Generalizando
; :a
a bb
Este impasse no conjunto gera a necessidade de encontrar um conjunto que
resolve o problema obtido, daí o conjunto .
1.1.3. Conjunto de números racionais fraccionários ( )
– Conjunto de números racionais fraccionários: todos números inteiros,
fraccionários de dízima finita e infinita periódica.
Números de dízima finita – são aqueles que as casas decimais terminam.
Ex1.: 1
0,254
Ex2.: 12
2, 45
Números de dízima infinita periódica – são aqueles que os casos decimais
são repetitivas e não têm fim
Ex1.: 10
3,3333 e escreve-se geralmente 3,(3); onde o período é 1
Ex2.: 5,212121.... e escreve-se geralmente 5,(21); onde o período é de 2
Generalizando
; : ; 0a
a b bb
Módulo de um número real 5
Neste conjunto houve impasses como no cálculo da diagonal de um quadrado que
tinha de lado uma unidade.
Pelo Teorema de Pitágoras teremos: 2 2 21 1 d
2d – este número é de dízima infinita não
periódica e ao conjunto de números com estas
características deu-se o nome de números irracionais
(Irrac.)
1.1.4. Conjunto de números Irracionais ( Irrac.)
Irrac. – conjunto de números de dízima infinita não periódica, ou conjunto de
números ou conjunto de todos radicais imperfeitos.
Irrac. ... 3; 2; 2; 3...
1.1.5. Conjunto de números reais ( ):
Com o surgimento dos números irracionais a recta real ficou totalmente
preenchida, facto que a chamassem de recta sólida ou densa. Assim, foram
chamados ao todo de números reais porque reflectem a realidade, como mostram
os exemplos acima.
– conjunto de todos números já estudados ( Irrac ).
Existem também impasses em operações neste conjunto, facto que culminou com
o aparecimento do conjunto para responder casos impossíveis em (raízes
de índice par de números negativos).
– conjunto de números complexos (a estudar na faculdade).
Este aparece para resolver problemas que o conjunto tem, como por exemplo
a determinação de raízes de índices pares de números negativos. É habitual
dizer-se que estas operações não existem mas é correcto dizer que não é possível
em .
Descobriram também que é comum encontrar pontos equidistantes da origem do
sistema Cartesiano Ortogonal. E para definir distâncias iguais a vários sentidos ou
melhor, em sentidos opostos, introduziu-se módulo ou valor absoluto de números
que significa (distância), afinal, a distância é sempre positiva, portanto, o módulo
é sempre positivo
1
1
1
1 ?
Módulo de um número real 6
Ora vejamos:
Ex1.:
2 2 ; 2 2 , a distância da origem do Sistema Cartesiano Ortogonal até 2
é igual a da origem até ao número (-2). Em suma os números simétricos
encontram-se a mesma distância (equidistantes) da origem do Sistema
Cartesiano Ortogonal. Veja os exemplos que se seguem:
3 3; 3 3
102 102
102 102
Em suma, algebricamente, escreva-se: 0
; 0
x sexx
x sex
2. Noção de módulo de um número
Módulo de um número desconhecido x é o próprio x se ele for positivo e (-x) se
ele for negativo. O sinal negativo na segunda parte da definição é um factor de
correcção para que o módulo de um número tratando-se de distâncias, seja
sempre positivo. Algebricamente escreve-se:
; 0
; 0
x sexx
x sex
2.1. Propriedades sobre Módulos
1. 0
; 0
x sexx
x sex
2. 22 2x x x
3. 2x x
4. x y x y
5. x y x y
6. . .x y x y
Condição
Definição propriamente dita
Módulo de um número real 7
7. xx
y y
8. x a x a x a
9. x a x a x a
10. x a x a x a
11.1 2
; 1:
; 2
a x x a x a sola x b sol sol sol
b x x b x b sol
Atenção: Estas propriedades devem ser usadas para resolver e em separado
equações e inequações e, usadas para resolver inequações duplas.
Quando for o caso das expressões só se efectua as simplificações
Lembre-se: Sobre expressões só se pode fazer transformações idênticas.
Sobre as equações e inequações pode haver a resolução, isto é, a extracção de
situação.
3. Expressões com módulos e sua simplificação
A simplificação de expressões modulares consiste em associar parcelas da mesma
natureza ou ainda expressões idênticas, expressões do mesmo nome. Há que ter
cuidado com aplicação da fórmula da definição. Importa salientar que a definição
comporta dois ramos fundamentais, há que ter cuidado com o sinal negativo que
só precede o que está dentro do módulo e no ramo onde a condição é menor. Se
a expressão modular tiver acompanhante há que ter cuidado porque o
acompanhante não é colocado nas condições ele termina nas definições
propriamente ditas.
Exemplos de consolidação
1. Simplifique as seguintes expressões
a) 7; 7
77; 7
x sexx
x sex
veja neste exercício que tudo está dentro do módulo ou seja, nada está fora do
módulo o que favorece bastante a aplicação da definição. A expressão x+7 vai
totalmente ao primeiro ramo sem nenhuma mudança e toda sem restrição para
sua condição com o sinal maior ou igual a zero. No segundo ramo vemos que a
Módulo de um número real 8
expressão está precedida de um sinal negativo para justificar o segundo ramo e
totalmente atingido por não possuir acompanhante, veja também que o sinal
negativo não se transporta à condição e nunca será possível fazê-lo.
b) 2 3; 2 0 5 ; 2
2 32 3; 2 0 1; 2
x se x x sexx
x se x x sex
Nesta alínea, a expressão 2-x dentro do módulo tem acompanhante que é o
número 3 que está fora do módulo. O tratamento das definições é diferente. Veja
que o número 3 acompanha as particularidades das definições efectuadas na
alínea anterior mas não vai às condições e estas têm como base a partícula que
está dentro do módulo 2-x. No segundo ramo nota-se que o sinal negativo não
afecta o número três e como sempre não se transporta à condição. Espera-se que
esta ilustração teórica o ajude a resolver todos exercícios.
c) 3 ; 3 0 2 6; 3
3 33 3; 3 0 0; 3
x x x sex x sexx x
x x sex sex
d)
5 10 2; 5 10 0 4 8; 5 105 10 2
10 5 2; 5 10 10 6 12; 5 10
4 8; 2
6 12; 2
x x se x x se xx x
x x x se x x se x
x sex
x sex
e)
2; 2 0 2 0
1; 22 2
2 1; 22; 2 3 0
2
xsex x
sexx x
x sexxse x
x
f)
310 15 11;
5(2 3) 11; 2 3 0 25 2 3 11
5(2 3) 11; 2 3 0 310 15 11;
2
310 4;
2
310 26;
2
x sexx se x
xx se x
x sex
x sex
x sex
Módulo de um número real 9
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Simplifique as expressões modulares abaixo:
a) 3 5x b) 2 6x x c) 3 5 6x x d) 5
5x
x
e)
2 16x f) 4 1
1
x
x
g) 3
3
x
x
h)
2 4 5x x i)
2 2 1
1
x x
x
j)
2
2
4 4
4
x x
x
k)
3 1x l) 1
2 8
x
x
m) 3 9 3x x n) 3 5 2 3x x
2. Indique a condição que falta para que as igualdades abaixo sejam verdadeiras:
a) 3 15 15 3x x b) 2 8 3 8x x x c) 6 1 11 12 6x x
d) 2
2 1
4 2
x
x x
e)
2
31
6 9
x
x x
f) 5 10 2 12 5x x x g) 1 1
2 2
x xx
h) 2 3 3x x x .
3. Indique a definição correspondente:
a) 1
6 2 ;3
x se x b) 12 3 ; 4x se x c) 2
3 2 4 ;3
x x se x
d) 3 11 2 ; 3x x se x e) 3 6
; 2;22
xse x
x
f)
2 8 16; 4
4
x xse x
x
Módulo de um número real 10
TESTE DE AFERIÇÃO
1. Uma expressão diz-se modular se:
A. Tiver o símbolo de módulo.
B. O módulo estiver sobre pelo menos uma variável.
C. Após a simplificação surge o símbolo de módulo.
D. Somente tiver toda combinação sobre módulo.
2. A expressão 2
5 27 é igual a:
A. -4 B. -2 C. 5 27 D. 27 5
3. A distância entre as abcissas -4,8 e -1,3 é:
A. -6,1 B. 6,1 C. 3,5 D. -3,5
4. Escrevendo a expressão 6 2x sem o símbolo de módulo teremos:
A. 6 2 ; 3
2 6; 3
x se x
x se x
B.
6 2 ; 3
2 6; 3
x se x
x se x
C. 6 2 ; 3
6 2 ; 3
x se x
x se x
D.
6 2 ; 3
2 6; 3
x se x
x se x
5. Aplicando a definição sobre a expressão 1 5x x teremos:
A. 6 1; 1
5 1; 1
x se x
x se x
B.
16 1;
6
15 1;
5
x se x
x se x
C. 6 1; 1
6 1; 1
x se x
x se x
D.
6 1; 0
5 1; 0
x se x
x se x
6. Simplificando a expressão 2 10 25
5
x x
x
teremos:
A. 5x B.1 C. 1; 1
1; 1
se x
se x
D.
1 ; 5
1 ; 5
se x
se x
7. A condição para que a igualdade 3 6 2 8 4x x x seja verdadeira é:
A. 2x B. 2x C. 0x D. 0x
Módulo de um número real 11
8. A definição correspondente para que a igualdade na condição dada,
2 1 1; 3;
3 2
xx se x
x
seja verdadeira é:
A. 1 2
3
x
x
B.
1 2
3
x
x
C.
2 1
3
x
x
D.
2 1
3
x
x
4. Equações modulares
Para resolver qualquer equação modular há que escolher dentre as propriedades
indicadas na página 5 que facilitem encontrar o resultado rapidamente. É preciso
ter cuidado com o empregue da disjunção inclusiva, aliás, neste caso de
resolução de equações modulares sé se emprega a disjunção inclusiva.
Definição: chama-se equação modular à semelhança de outras equações a toda
igualdade em que a variável aparece sobre símbolo de módulo.
Ex1.:
7 12 3 4 2 4 2 3 4 2 7 2 1
2 2
1 7.: ;
2 2
x x x x x x x x
sol
Mera explicação do sucedido: veja que a equação acima foi resolvida usando o
caminho mais curto, uma das propriedades, x a x a x a
Resolução geométrica da equação:
32 3 4 2
2x x
-2 -1 0 1 2 3 4 5
2 unidades 2 unidades
solução solução
Módulo de um número real 12
* Leitura : A partir do número 3
2 na recta real podemos marcar 2 unidades de
duas maneiras: para a esquerda que termina em 1
2
e para a direita que
termina em 7
2
Ex2.:
3 5 3 5 3 5 8 2 .: 2;8x x x x x sol
ou pode-se resolver aplicando a propriedade 22 2x x x
2 2 22 2 23 5 3 5 3 5 0 3 5 3 5 0 8 2 0
8 0 2 0 8 2 .: 2;8
x x x x x x x
x x x x sol
Ex3.:
5 3 5 3 5 32 2 2
2 6 10 2 6 10
3 4 16
416
3
x x xx x x
x x x x
x x
x x
De: 3 0 3x x
4
;3 ; . :3
x sol x
Mera explicação do sucedido: quando tivermos na equação uma variável que
não esteja sobre o módulo obrigatoriamente temos que determinar o domínio de
existência para confirmar se os resultados obtidos na resolução da equação são
x 0 3
Módulo de um número real 13
soluções. Neste caso concreto, nota-se que dos resultados obtidos só um é
solução.
Ex4.:
2 2 2 2 24 3 4 3 4 3 4 3 0 4 3 0
2 7 2 7 1 3 .: 2 7;2 7;1;3
x x x x x x x x x x
x x x sol
Veja que nesta equação modular foi possível resolvê-la não só pelos
conhecimentos agora adquiridos mas também conhecimentos de equações
quadráticas.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Resolva as seguintes equações aplicando o método geométrico:
a) 1 3x b) 2 4x c) 2 4 6x d) 3 3 6x e) 2 1 5x
2. Resolva as equações aplicando a definição:
a) 3 1 5x b) 4 5 3x x c) 4 2 6x d) 3 3 12x
e) 2 1 5x x f) 5 3 2x x g) 8 1 6x h) 4 12x x
i) 2 5 0x j) 2 1
53
x
x
k)
12
3 1
xx
x
l)
2 5 4x x
m) 2 5 4 0x x n)
2 4 4 2 1x x x o) 6 32
xx
3. Nos exercícios abaixo, resolva aplicando a propriedade:
a) 3 2x b) 3 2 4x c) 4 6x d) 3 1 2x e) 2 5 7x
4. Determine o valor do parâmetro m para que a equação 1 7mx tenha como
solução 3
;22
.
5. Qual deve ser o valor de k+12 para que a equação 3 1 14x k tenha
como solução 16
;43
.
6. Determine os valores de a e b para que 2x a b tenha como solução
2;3 .
7. Indique o valor que o k deve tomar para que a equação 3 1 2 1x k tenha
solução impossível.
8. Determine os valores que se encontram a 3 unidades do número -7.
Módulo de um número real 14
TESTE DE AFERIÇÃO
1. Chama-se equação modular a qualquer igualdade:
A. Com membros positivos. B. Com coeficientes positivos.
C. Com pelo menos uma incógnita. D. Com incógnita sobre módulo.
2. A solução da equação 3 2 4x é:
A. 3 1x x B. 2 1x x C. 2
23
x x D. 2
23
x x
3. O valore de x para o qual a equação 2 12 4x x tem sentido é:
A. 2 2
7 5x x B. C.
2
7x D.
2
5x
4. A equação 3 2 1 0x x tem como solução:
A. B. 1 3
4 2x x C.
1
4x D.
3
2x
5. Os valores que o k pode tomar para que a equação 3 2 4x k não tenha
solução são:
A. ;4x B. ; 4x C. ;4x D. 4;x
6. A solução de equação 2 6 9 2 1x x x é:
A. 4
2;3
B. 2 C. 4
3
D.
7. O valor de k para que a 2 1 14k x tenha como solução 13 15
;4 4
é:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. A solução da equação 2 4 6 3x x em é:
A. 0;3 B. 1;3 C. 3 D.
Fim
Módulo de um número real 15
5. Inequações Modulares
Chama-se inequação modular a qualquer desigualdade em que a variável figura
sobre o símbolo de módulo.
Para resolver qualquer equação modular recorre-se às propriedades acima
aplicadas em equações a diferença encontra-se na extracção de soluções.
Ora vejamos:
Ex1.:
2 3x
1. Pelo método da definição
2 3 2 3 5 1x x x x
Veja que neste caso a preferência foi necessariamente a definição mas
observou-se a no segundo ramo a inversão da desigualdade e o negativo no
segundo membro como a lei manda. Encontram-se imediatamente, por
simplicidade da inequação as desigualdades reduzidas. Para extracção de
solução basta representá-los na recta real. Veja abaixo:
Porque o conector de ligação é “ou”, simbolicamente ( ) a solução total ou
final é obtida pela reunião das soluções parciais.
A observância destes pequenos detalhes é fundamental para que a solução
seja verdadeira.
x -1 5 0
Sol.: ; 1 5;x
Módulo de um número real 16
2. Pela propriedade
2 22 22 3 2 3 2 3 0
2 3 2 3 0 5 1 0
x x x
x x x x
3. Pelo método geométrico:
2 3x
A solução desta inequação é o conjunto de números que se encontram
depois de três unidades de número dois.
Ilustração geométrica
Então: sol.: ; 1 5;x
Ex2.:
1 4
1 4 1 4 5 3
x
x x x x
X
X-5
X+1
P
-1 5
— — +
+ + —
—
+
+
-1 0 2 5
3 unidades 3 unidades
x
Sol.2 Sol.1
x -3 5 0
Sol.: 1 2. :Sol f sol sol
Sol.: 3;5x
Sol.: ; 1 5;X
Módulo de um número real 17
Lembre-se que quando se trata de inequações há que ter cuidado com o tipo de
desigualdade, visto que quando for maior (>) ou maior ou igual (≥), usa-se a
reunião para chegar a solução final, e quando for menor (<) ou menor ou igual
(≤), usa-se a intersecção para chegar à solução final.
Agora veja as inequações duplas:
Ex1.:
1
2
2 2 3 6
3 9 9 32 3 6 2 3 6 2 3 6 ; . : ;
2 2 2 2
1 5 5 12 3 2 2 3 2 2 3 2 ; . : ; ;
2 2 2 2
x
x x x x x sol x
x x x x x sol x
9 5 1 3Solf.: sol sol : x ; ;1 2
2 2 2 2
Veja que para resolver as inequações duplas há que considerar a relação de duas
a duas de acordo com as posições das desigualdades.
Neste caso concreto a expressão intermédia 2 3x é maior que 6 e menor que 2
e em separado resolvem-se as inequações específicas e depois a intersecção das
soluções específicas para a solução final.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Resolva as seguintes inequações aplicando o método geométrico:
a) 1 2x b) 3 4x c) 2 6 8x d) 3 6 9x e) 2 1 5x
2. Resolva as equações aplicando a definição:
a) 3 1 5x b) 4 5 3x x c) 4 2 6x d) 3 3 12x
e) 2 1 5x x f) 5 3 2x x g) 8 1 6x h) 4 12x x
i) 2 5 0x j) 2 1
53
x
x
k)
12
3 1
xx
x
l)
2 5 4x x
m) 2 5 4 0x x n)
2 4 4 2 1x x x o) 6 32
xx
3. Nos exercícios abaixo, resolva aplicando a propriedade:
a) 2 3x b) 2 3 4x c) 4 6x d) 3 1 2x e) 2 5 7x
4. Resolva as seguintes inequações duplas:
a) 3 4 1 9x b) 0 6 3 12x c) 3 5 10 15x
Módulo de um número real 18
TESTE DE AFERIÇÃO
1. Chama-se inequação modular a qualquer desigualdade em que:
A. Com membros positivos. B. Com coeficientes positivos.
C. Com pelo menos uma incógnita. D. Com incógnita sobre módulo.
2. A solução da inequação 3 1 4x é:
A. 5
; 1 ;3
B.
5; 1 ;
3
C.
5; 1 ;
3
D. ; 1
3. Seria solução da inequação 6 2 5x :
A. 1 7
; ;2 6
B. 1 7
;2 6
C. 1 7
;2 6
D. 1 7
;2 6
4. A inequação dupla 2 3 1 8x tem como solução:
A. 7
; 1 1;33
B. 7
; 1 1;33
C. 7
;33
D.
Fim
Módulo de um número real 19
Ficha de exercícios
Tema: O número Real e o seu módulo
1. Indique o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
a) 1
4
b) 033,2
c) 3
d) 0
2
9
e) 0
f) 0453
g) 01,34
h) 1
8
i) 0 0
j) 0
l)
m)
n)
2. Complete com os sinais ; ; ; ; de modo a obter proposições verdadeiras
a) 03_____
b) 0 _____
c) 0 _____
d) 2,56 _____
e) 4
_____3
f) _____
g) 0 _____
h) 0 _____
i) 0 _____
3. Represente no eixo número os números seguintes:
a) -2
b) 1
3
c) 5
4
d) 0,5
e) 4
3
f) 3
g) 10
h) 6 2
i) 1 7
j) 1,33
k) 2,111...
l) 1
12
4. Complete com os símbolos ; ; ; de modo a obter proposições verdadeiras
a) 1_______ 2;15
b) 2 _______ ; 2
c) 0,75_______ ;0,89
d) _______ 3,13;7
e) 2; 1 _______ 0;
f) 2;5 _______ 2;5
Módulo de um número real 20
5. Represente os seguintes conjuntos na forma de intervalos
a) 1
: 45
A x X
b) : 0,76B x X
c) : 19 0C x x
d) : 4 3D x x x
e) 1
:3 174
E x x
6. Indique o valor lógico das seguintes proposições:
a) A subtracção é sempre possível no conjunto
b) A divisão nem sempre é possível no conjunto
c) 00
d) 0\
e) ( \ )
f)
g) 2 2;5
h) 2x x
i) 2;3 2;3
j) 3,001 3;4
k) 2 1;2
7. Calcule:
a) 5 8
b) 3 5
c) 3 5
d) 3 5
e) 25 25
f) 3 72 3
8. Escreva as expressões equivalentes aos seguintes módulos
a) 2a
b) 2a
c) 2x , se 2x
d) 2x , se 2x
e) 1 4x , se 1
4x
f) 2 5x ; se 5
2x
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Página 21
9. Tomando em conta que 2x x , calcule
a) 225b
b) 2 4 236p q r
c) 2 22a ab b
d) 2 26 9p pq q
10. Indique as condições necessárias para verificar as seguintes
igualdades:
a) 2
2
xB
x
b) 3 ( 3)A x x
c)
2
2
( 1)
2 1
xC
x x
11. Indique as condições necessárias para verificar as igualdades:
a) 2 2x x
b) 3 3x x
c) 2 5 5 2x x
d) 1 3 3 1x x
12. Resolva
a) 1 2x
b) 3 2 5x
c) 2 5 8x
d) 3 2 3 0x x
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Página 22
13. Resolva
a) 5 7x b) 3 14
x c) 6 2 3x d) 3 0x
14. Resolva as inequações
a) 3 4x
b) 2 5 19x
c) 2 3 4x
d) 4 52
x
15. Resolva as seguintes inequações duplas:
a) 1 1 2,5x
b) 2 6 1x
16. Resolva
a) 3 5
32 2
x b) 7 1
32 4 2
x
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Página 23
Soluções da ficha
1. a) V b) F c) V d) F e) V f) V g) F h) V i) V j) F l) V m) v
2.
0 0 0
0 0
4) 3 ) ) ) 2,56 ) )
3
) ) ) 0
a Q b Q Q c Q Q d Q e Q f Z Q
g Z Q h Q Z i Z
3.
)1 2;15 ) 2 ; 2 ) 0,75 ;0.89 ) 3,13;7
) 2; 1 0; ) 2;5 2;5
a b c d
e f
4.
21 13
) ; ) ; 0,76 ) 19;0 ) ) ; 175 4
a A b B c C d D e E
5. a) F b) v c) v d) F e) V f) F g) F h) V i) F j) V K) V
6.
) 5 8 13 ) 3 5 8 ) 3 5 8 ) 3 5 2 ) 25 25 0
) 3 72 3 72
a b c d e
f
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Teste
1. simplifique:
a) 3
3
xA
x
2. Indique o valor lógico da seguinte expressão proposicionais:
a) )x y x y b 2x x
3. Indique a distância do ponto de abcissa -2 até -11.
4. Indique a condição para a igualdade:
a) 3 6 6 3x x
5. Resolva a equação modular:
) 4 8 16 ) 2 1a x b x x
6. Resolva em R a seguinte inequação dupla: 2 2 6 8x
Fim
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Soluções do teste
1.
3; 3
1; 33 3
3 1; 33; 3
3
xse x
se xx xA
x se xxse x
x
2. a) V b) v
3. 11 2 9 9 a distância é de 9 unidades.
4. 3 6 6 3 ; 2x x se x
5. 1
) 2;6 ) ;13
a b
6. 7; 4 2;1
Fim
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