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TEOREMAS DE CIRCUITOS - Exemplos

III.1 Teorema da Superposição Em um circuito linear contendo várias fontes independentes, a corrente ou tensão de um elemento do circuito é igual a soma algébrica das correntes ou tensões dos componentes produzidas por cada fonte independente operando isoladamente.

Este teorema só se aplica no cálculo de correntes ou tensões e não pode ser utilizado no cálculo da potência.

Para que se possa operar cada fonte isoladamente, as outras devem ser eliminadas. O procedimento que deve ser adotado nesta eliminação, das fontes de tensão e fontes de corrente, é apresentado seguir.

E = 0

I = 0

Curto-Circuito EAB = 0

RAB = 0

Circuito-Aberto I = 0

RAB = ∞

Exemplo 1: Determinar para o circuito abaixo os valores E1, I1, P2, E2, I2 e I3.

+6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ

20 ΩΩΩΩ

I1I2 I3

18 A140 V 2E

Passo 1: Devido à fonte de 140V, abrindo a fonte de corrente tem-se:

+´

´´

6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ

20 ΩΩΩΩ

I1I2 I3

140 V 2E

E1’ = 20 I1

’

E2’ = 6 I2

’= 5 I3’

LTK ! 140 = E1’ + E2

’

LCK ! I1’ = I2

’ + I3’

Fazendo as substituições tem-se: E20

= +

Teoremas de Circuitos

3E 10E 12E1'

2'= +

3E E1'

2'= 22 ! ´

2´1 .

322 EE =

LKT ! ´2.1

322140 E

Tem-se então:

E2’ = 16,8V

E1’ = 123,2V

I1’ = 6,16A

I2’ = 2,8A

I3’ = 3,36A

Passo 2: Devido à fonte de 18A, curto-circuitando a fonte de tensão tem-se:

´´

´´ ´´

6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ

20 ΩΩΩΩ

I1I2 I3

18 A2E

E1”= 20 I1

”

E2”= 6 I2

” = 5 I3”

LTK ! -E1” - E2

” = 0

LCK ! I1” + 18 = I2

” + I3”

Fazendo as substituições tem-se: E20

18 E6

+ = +

3E1” + 1080 = - 10E1

” - 12E1”

E1” = - 43,2V

E2” = 43,2V

I1”= − = −43,2

202,16A

I2” = 43,2

67,20A=

I3” = 8,64A

543,2 =

Passo 3: Devido à superposição tem-se:

E1 = E1’ + E1

” = 112,2 - 43,2 = 80V

E2 = E2’ + E2

’’ = 60V

I1 = I1’ + I1

” = 4,0A

I2 = 10A

I3 = 12A

P2 = 6 (2,8)2 + 6 (7,2)2 = 358W

Levando em consideração este valor de P2, pode-se observar que o Teorema da Superposição não é válido em relação a potência. Para tanto se deve calcular a potência dissipada utilizando as fórmulas usuais. Tem-se então:

Teoremas de Circuitos

3/13

WPouWP

RVPouIRP

6006

6060010.6

22222

====

Pode-se observar que a potência dissipada calculada pela fórmula usual não é igual ao valor encontrado aplicando-se o teorema da superposição comprovando a afirmação feita anteriormente.

Exercício: resolver o exemplo utilizando o teorema da superposição e os conceitos de divisor de tensão e corrente que foram apresentados no capítulo anterior.

III.2 Teoremas de Thévenin e Norton Para que se aplique estes teoremas a uma rede qualquer esta deve ser dividida em duas

partes: X e Y. A rede X deve ser linear e bilateral (2 terminais) e a rede Y deve ser composta por uma resistência e/ou uma fonte e/ou qualquer ramo. O teorema especifica que a parte X pode ser substituída por um circuito equivalente de Thévenin ou de Norton. Após o cálculo deste circuito equivalente, a parte Y deve ser novamente agregada a este circuito equivalente para a solução final.

ThRYX

+VTh

Circuito Equivalente de Thévenin

Eth : Tensão de Thévenin

Rth : Resistência de Thévenin

Circuito Equivalente de Norton

IN : corrente de Norton

GN: condutância de Norton

A seguir apresenta-se como calcular os valores dos circuitos equivalentes de Thévenin e Norton.

• Eth é a tensão em circuito aberto, medida nos terminais AB. É calculada resolvendo-se o circuito correspondente considerando as fontes ativas e as resistências do circuito em relação a estes terminais;

• RTh é a resistência vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas são anuladas (fonte de tensão = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto);

• IN é a corrente através do curto-circuito aplicado aos terminais AB no sentido A!B;

• GN é a condutância vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas são anuladas (fonte de tensão = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto).

Teoremas de Circuitos

4/13

O conceito de Equivalência de Fontes, apresentado abaixo pode ser utilizado na resolução de circuitos utilizando-se os teoremas de Thévenin e Norton.

GI 00 E E≡≡≡≡I

circuito a circuito b

A seguir se apresenta os cálculos que revelam as relações que devem existir para que as fontes acima sejam equivalentes.

Se EAB = 0 (curto-circuito) Circuito a:

I ER

Circuito b:

I = I0 ⇒ E0 = R . I0

Se I = 0 (circuito aberto) Circuito a:

E = E0

Circuito b:

E IG

0= ⇒ E IG0

Então: R 1G

= e I ER

Exemplo 2: Calcular a fonte equivalente à fonte de tensão apresentada.

A10 ΩΩΩΩ

B B

≡≡≡≡30 V 3 A 0,1 S

Como o circuito de Norton e o de Thévenin são representações para a mesma fonte física, para que suas características terminais sejam as mesmas, deve-se ter:

E R . ITh Th N= R 1GTh

Exemplo 3: Determinar a corrente I no circuito abaixo usando o Teorema de Thévenin.

Teoremas de Circuitos

5/13

+6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ

20 ΩΩΩΩ

18 A140 V I

Para este exemplo considera-se a resistência de 6 Ω como sendo o circuito Y. Para calcular o circuito equivalente de Thévenin segundo a metodologia apresentada deve-se retirar o circuito Y (a resistência de 6Ω).

140 V

+5 ΩΩΩΩ

20 ΩΩΩΩ

18 A 6 ΩΩΩΩ

Cálculo do Equivalente de Thévenin:

ThR

Por superposição calcula-se ETh:

ETh = E’ + E”

E 525

.140 28V' = =

I1” = 5 18

25185

. = A

E” = 185

.20 72V=

ETh = 100 V

Solução alternativa por Kirchoff: LTK ! 140 - 20I1 - 5I2 = 0

LCK ! I1 - I2 + 18 = 0

ETh = 140 - 20I1

140 - 20 I1 - 5 (I1 + 18) = 0 140 - 25 I1 - 90 = 0

I1 = 2A

ETh = 140 - 40 = 100 V

Calculando agora RTh:

RTh = 20//5 ! Ω= 425

20x5

Após ter-se calculado VTh e RTh pode-se finalmente calcular a corrente no resistor de 6 Ω:

6 ΩΩΩΩE = 100VTh

R = 4 ΩΩΩΩTh

I 10010

= − ! I 10A= −

III.3 Análise por Correntes de Malha Este tipo de análise resulta da aplicação das leis de Kirchhoff a circuitos com várias

malhas. As leis de Kirchhoff são aplicadas às correntes das diversas malhas respeitando sentidos arbitrados (preferencialmente o sentido horário).

Teoremas de Circuitos

6/13

Para exemplificar este procedimento será utilizado o circuito apresentado na figura abaixo.

-2R1 +

+Ea

EcR4

R R3

R5I1 I2

Aplicando-se as leis de Kirchhoff tem-se:

Ea - R1I1 - R4 (I1 - I2) = 0

-R2I2 + Eb - R5 (I2 - I3) - R4 (I2 - I1) = 0

-R3I3 - EC - R5 (I3 - I2) = 0

Reescrevendo a primeira equação tem-se:

Ea = (R1 + R4) I1- R4I2

Pode-se observar que R1 e R4 são as resistências que pertencem a malha 1 (resistência própria) e que -R4 (o coeficiente de I2) é o negativo da resistência existente entre a malha 1 e a malha 2 (resistência mútua).

Estendendo o mesmo raciocínio para as outras malhas tem-se:

Eb = (R2 + R4 + R5) I2 - R4I1 - R5I3

-Ec = (R3 + R5) I3 - R5I2

Escrevendo os resultados na forma matricial tem-se:

+−−++−

−+=

535

55424

441

III

RRR0RRRRR0RRR

E-EE

ou seja: IRE .=

A seguir apresenta-se como, extrapolando os resultados apresentados acima, e baseando-se na teoria matemática, pode-se montar diretamente as matrizes E , R e I :

♦ Montagem direta de E :

Ei : é dada pela soma algébrica das fontes de tensão ao se percorrer a malha no sentido arbitrado para a corrente. A tensão será positiva se a corrente sair pelo terminal positivo da fonte.

♦ Montagem direta de R :

• Os elementos da diagonal principal – Rii – são obtidos pela soma das resistências dos ramos da malha i;

• Os elementos fora da diagonal principal – Rij – tem o valor da resistência equivalente do ramo comum à malha i e j com sinal (-).

♦ Montagem direta de I : A matriz I é o Vetor de corrente de malhas a serem determinadas, arbitradas num mesmo sentido.

Teoremas de Circuitos

7/13

Exemplo 4: Determinar as correntes de malha para o circuito abaixo:

+1 Ω

I1 2I56 V 8 V

10 Ω

2 Ω-

I 3

2 Ω 4 Ω

5 Ω

Utilizando-se as regras apresentadas acima, se obtém a seguinte equação matricial:

5680

9 5 25 10 12 1 13

=− −

− −− −

III

Calculando o determinante tem-se: ∆ = det 9 5 25 10 12 1 13

775− −

− −− −

Para o cálculo de I1, deve-se substituir a primeira coluna da matriz ∆ pelo vetor das tensões (analogamente para o cálculo de I2 e I3). Desta maneira tem-se:

∆1= det 77601310

11082556

−−−−

Considerando calculadas ∆1 e ∆2, pode-se calcular as correntes utilizando a Regra de Cramer:

I11= ∆

∆ I2

2= ∆∆

I33= ∆

∆

I1 = 10A I2 = 6A I3 = 2A

Casos Particulares:

• Existência de fontes de corrente em paralelo com uma condutância (resistência) ! efetuar a conversão de fontes

1 Ω

5 Ω 4 Ω 2 A

1 Ω

5 Ω

4 Ω

8 V ≡≡≡≡

• Corrente arbitradas em qualquer sentido ! aplica-se as mesmas regras só que na montagem de R , os elementos fora da diagonal principal terão sinais positivos se as correntes nestes elementos estiverem no mesmo sentido.

Teoremas de Circuitos

8/13

+ -

3 Ω

I1 2I

4 Ω

2 Ω

2 Ω+

1 Ω 2 Ω

I 3

−

−=

934372427

• Fontes de corrente sem possibilidade de conversão: considera-se que existe uma tensão a ser determinada nas extremidades das fontes.

I2I1

- +

4 Ω 10 V

3 Ω2 Ω

2 Ω4 Ω

3 Ω20 V

E 2 A

−−−−−−

− 3

II2

9949724210

2010E

• Fontes controladas ! monta-se as equações diretamente:

3 Ω

4 Ω 10 ΩI

2.I1

30 V

30E

I-2I

1−

−−

7 44 14

30 = 7I1 + 8I1 ! I1 = 2A

logo ! I2 = -4A

-E = -4I1 - 28I1 ! E = 64V

III.4 Análise pelas Tensões nos Nós (Nodal) Este método permite que se determine a tensão em 2 ou mais nós, em relação a um nó de

referência. Para tanto, as equações decorrentes da LCK são escritas implicitamente, de tal modo que somente as equações LTK precisem ser resolvidas.

O circuito da figura abaixo é utilizado para demonstrar a análise de um circuito utilizando-se o método das tensões nos nós.

Teoremas de Circuitos

9/13

ABI

I A

BEAG 3

G 2

G 1

Nó de referência

I 1 I 2

LTK ! EAB - EA + EB = 0 ⇒ EAB = EA - EB

LCK Nós A e B !

−−=⇒−=⇒=+−−+=⇒+=⇒=−−

)E(EGEGIIII0III)E(EGEGIIII0III

BA2B32ABB2ABB2

BA2A11ABA1ABA1

Reescrevendo convenientemente tem-se:

++−=−+=

B32A22

B2A211

)EG(GEGIEG)EG(GI

Escrevendo na forma matricial: I G.E= !

−

−+=

322

221

G+GGGGG

A seguir apresenta-se como, extrapolando os resultados apresentados acima, e baseando-se na teoria matemática, pode-se montar diretamente as matrizes I , E e G :

♦ Montagem direta de I :

Ii: soma algébrica das fontes de corrente ligadas ao nó i, sendo positivas as que entram no nó em questão.

♦ Montagem direta de G :

• Elementos da diagonal principal – Gii – soma de todas as condutâncias ligadas ao nó i;

• Elementos fora da diagonal principal – Gij – condutância equivalente conectada entre os nós i e j, com sinal negativo.

♦ Montagem direta de E :

Ei :faz referência a tensão do nó i em relação ao nó de referência. Exemplo 5: Determinar para o circuito abaixo as tensões EA e EB utilizando-se o método da

tensão nos nós.

10 V

20 V+ -

Ref.A

3 Ω

2 Ω5 Ω

4 Ω 2 Ω

O circuito equivalente, transformando as fontes é dado por:

0,25 S 0,5 S0,5 S0,2 S2 A

0,33 S

A Ref.

20/3 A

Teoremas de Circuitos

10/13

Tem-se que: I G.E= , e desta maneira:

+++−−

−−++=

−

.214121512131

21513121512

3202

Resolvendo a equação matricial tem-se: EA = 11,2 V e EB = 4V.

Casos Particulares:

• Existência de fontes de tensão em série com uma resistência: efetuar a conversão de fontes. Exemplo: calcular as correntes IA e IB da figura a seguir.

1/2 S

4 ΩΩΩΩ

I A

I B

2 A-

+8 V 4 ΩΩΩΩ4 ΩΩΩΩ

2 ΩΩΩΩ

2 A2 A 4 ΩΩΩΩ4 ΩΩΩΩ

Nó de referência

I A

1/4 S

I B

4 ΩΩΩΩ

1/2 S2 A 2 A

2 ΩΩΩΩ

Matrizes I G.E= :

1 2 1 2 1 21 2 1 4 1 2−

+ −− +

/ / // / /

Resolvendo para as tensões tem-se: 2 = EA – 1/2 EB -2 = -1/2 EA +0,75 EB

EA = 1V EB = -2V

Calculando agora as correntes tem-se:

IA = 14

x 1 = 14

IB = −2 14

x = - 12

• Fontes de tensão sem possibilidade de conversão: considera-se que existe uma corrente a ser determinada para cada fonte.

2 AI

BEAE

4 Ω

E 0

10 V 4 A2 Ω5 Ω

A B

Matrizes I G.E= :

+−

−+=

−+

BE10

4/12/14/14/14/15/1

242I

Resolvendo para o segundo elemento da matriz I tem-se:

2 = -0,25 . 10 + 0,75 EB

0,75 EB = 2 + 2,5

E VB = =4 50 75

6,,

EA = 10V (dado)

Para o primeiro elemento tem-se: I + 2 = 0,45 . 10 - 0,25 EB

I = 4,5 - 1,5 - 2 ! I = 1A

III.5 Teorema de Millman O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de

fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. A seguir, a partir de um exemplo este método é apresentado.

Teoremas de Circuitos

11/13

E 1+

+E 2 E 3

R1 R2 R3

E M-

O primeiro passo é transformar os ramos “fonte de tensão/resistência em série” em

“fontes de corrente/condutâncias em paralelo”. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira:

iii

GEIR

= 1

G11I

33G GII

A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única condutância. Para tanto os seguintes cálculos devem ser realizados:

I = I1 + I2 - I3

G = G1 + G2 + G3

A seguir apresenta-se este circuito assim como o equivalente de Millman.

E M-

I G

A transformação do circuito fonte de corrente/condutância em fonte de tensão/resistência deve ser realizada da seguinte maneira:

E E IG

I I IG G GM AB

1 2 3

= = = + −+ +

321M GGG

1G1

++==R

A tensão entre os pontos AB pode também ser dada da seguinte maneira:

E E G E G E GG G GAB

1 1 2 2 3 3

1 2 3

= + −+ +

Teoremas de Circuitos

12/13

Exemplo 6: Determinar a corrente na resistência de 5Ω utilizando o Teorema de Millmam. Resolver também utilizando o teorema de Thévenin para efetuar uma comparação.

10 Ω

ABE-

+8 V

4 V

5 Ω2 Ω

4 Ω

Usando Millman:

E VAB = +

+ + +=8 1 10 4 1 2

110

2 667( / ) ( / ) ,

I 2,6675

0,533A= − = −

Usando Thévenin:

10 Ω10 Ω

+8 V

2 Ω

4 V

2 Ω

4 Ω4 Ω

Eth será calculada utilizando-se o teorema da superposição.

V29,386,443,11

33,1167,10

2720

4720

3410

834

=+=

×+

×==

ABTh

10 Ω 2 Ω 4 Ω

Rth será calculada utilizando-se o procedimento padrão descrito.

1 110

14R Th

= + +

1R Th

= 0 85, R Th =11765, Ω

Tendo calculado ETh e RTh pode-se finalmente calcular a corrente I.

5 Ω

R = 1,1765 Ω

E = 3,29 V

ThI

CTh

RREI+

I 3,2931.1765 5

0,533A= −+

= −

III.6 Teorema da Máxima Transferência de Potência Este teorema é utilizado quando em uma rede elétrica deseja-se obter a máxima

transferência de potência da rede para uma carga resistiva RL.

Para se calcular esta máxima transferência de potência utiliza-se o equivalente de Thévenin da rede para determinar a corrente I que passa pela carga RL. O circuito apresentado a seguir mostra um exemplo.

Teoremas de Circuitos

13/13

RTh

ETh

I ER R

Th L

A potência absorvida pela carga será:

( )P R I

R ER R

E4R

1R RR RL L

2 L Th2

Th L2

Th2

Th L

= =+

= − −+

A potência transferida PL será máxima quando RL = RTh, ou seja, quando a carga for igual ao valor da resistência equivalente de Thévenin do circuito. Neste caso a potência em RTh será

2Th

R4E e assim pode-se afirmar que quando a potência transferida é a máxima, a eficiência do

circuito é de 50%.

COTUCA - www.corradi.junior.nom.br ELETRICIDADE BÀSICA

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 1

ELETRICIDADE BÁSICA

TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS

INTRODUÇÃO Serão apresentados os teoremas fundamentais da análise de circuitos. Isto inclui

os teoremas da superposição, de Thévenin e de Norton.

TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO O teorema da superposição, bem como os métodos vistos anteriormente, pode ser

usado para encontrar a solução para circuitos contendo uma ou mais fontes que não estejam em série nem em paralelo. A vantagem mais evidente deste método é dispensar o uso de ferramentas matemáticas, como os determinantes, para calcular as tensões e correntes solicitadas. Em vez disso, o efeito de cada fonte é levado em conta separadamente e o valor da incógnita é obtido efetuando a soma algébrica desses efeitos individuais.

O enunciado do teorema da superposição é o seguinte: A corrente através de um elemento, ou a tensão entre seus terminais, em um circuito linear bilateral é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões

produzidas independentemente por cada uma das fontes. Ao se aplicar o teorema, é possível considerar os efeitos de duas fontes ao

mesmo tempo e reduzir o número de circuitos a serem analisados. Mas, em geral: Números de circuitos a serem analisados = Números de fontes

independentes Para considerar os efeitos de cada fonte independentemente, é necessário que

estas sejam removidas e substituídas sem afetar o resultado final. Uma fonte de tensão, na aplicação do teorema, deve ser substituída por um curto-circuito e uma fonte de corrente deve ser substituída por um circuito aberto.

A corrente total em qualquer parte do circuito é a igual à soma algébrica das correntes que seriam produzidas separadamente por cada uma das fontes

O princípio da superposição não pode ser usado para calcular a potência dissipada em um circuito, já que a dissipação de potência em um resistor varia com o quadrado da corrente ou da tensão, sendo, portanto um efeito não-linear.

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Determinar a corrente I1 para o circuito da Figura 1.

Figura 1 – Circuito do exemplo 1.

Solução:

Fazendo E = 0 V no circuito visto na Figura 1, obtém-se o circuito mostrado na Figura 2. Notar que toda a corrente fornecida pela fonte de 3 A irá passar pelo ramo onde está o curto-circuito e assim I’1 = 0.

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 2

Figura 2 – Contribuição de I para I1.

Substituindo-se a fonte de corrente por um circuito aberto, obtém-se o circuito mostrado na Figura 3. Aplicando a lei de Ohm:

A5I4

126

30REI ''

''1

Como I’1 e I”1 têm o mesmo sentido, a corrente I1 é dada pela soma dessas duas correntes:

Figura 3 – Contribuição de E para I1.

A5I50III 1''

1'11

Note que neste caso a fonte de corrente não afeta a corrente no resistor. A tensão entre os terminais do resistor é 30 V, pois ele está em paralelo com a fonte de tensão.

EXEMPLO NUMÉRICO 2. Usando o teorema da superposi-

ção, determinar a corrente no re-sistor de 4 Ω na Figura 4.

Solução: Considerando os efeitos da fonte de 54 V (ver Figura 5):

27R3244||1224R||RRR

321T Figura 4 – Circuito do exemplo 2.

Figura 5 – Efeito de E1 sobre a corrente I3.

A2I2754

REI

Usando a regra dos divisores de corrente: ' '23 3

2 3

R I 12 2 24I I 1,5AR R 12 4 16

Considerando agora os efeitos da fonte de 48 V (ver Figura 6):

NOTAS DE AULA - TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 3

12R8412||244R||RRR T213T

Figura 6 – Efeito de E2 sobre a corrente I3.

A4I1248

REI

2''3

A corrente resultante no resistor de 4 Ω é: A5,2I5,14III 3

''33 no sentido de I”3.

EXEMPLO NUMÉRICO 3. Usando o teorema da superposição,

determinar a corrente I2 no resistor de 12 kΩ na Figura 7.

Solução: Considerando o efeito da fonte de corrente de 6 mA (ver Figura 8) e aplicando a regra dos divisores de corrente:

Figura 7 – Exemplo 3.

mA2I120006000

1066000RRIRI '

1'2

Considerando o efeito da fonte de 9 V (ver Figura 9):

Figura 8 – Efeito da fonte de tensão sobre a

corrente I2.

mA5,0I120006000

9RR

EI ''2

''2

Figura 9 – Efeito da fonte de corrente sobre a corrente I2.

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 4

Como I’2 e I”2 têm o mesmo sentido em R2, a corrente desejada é dada pela soma dessas duas correntes:

mA5,2ImA5,0mA2III 2''2

'22

TEOREMA DE THÉVENIN O teorema de Thévenin afirma que:

Qualquer circuito de corrente contínua bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente constituído por

uma fonte de tensão e um resistor em série. Na Figura 10(a) o circuito no interior da caixa só está ligado o exterior por dois

terminais, que denominamos a e b. Usando o teorema de Thévenin, é possível substituir tudo o que existe no interior da caixa por uma fonte e um resistor, como mostrado na Figura 10(b), sem mudar as características do circuito entre os terminais a e b. Ou seja, qualquer carga conectada aos terminais a e b se comportará da mesma maneira se estiver conectada ao circuito da Figura 10(a). Nos dois casos a carga receberá a mesma corrente, tensão e potência.

Figura 10 – Efeito da aplicação do teorema de Thévenin.

Para o circuito mostrado na Figura 10(a), o circuito equivalente de Thévenin pode ser determinado diretamente combinando as baterias e resistores em série. Mas, na maioria dos casos, existem outros elementos conectados à direita ou à esquerda dos terminais a e b. Entretanto, para aplicar o teorema, o circuito a ser reduzido à sua forma equivalente de Thévenin tem de ser isolado como mostra a Figura 10, e os terminais ‘de conexão’ identificados.

A aplicação desse teorema permite determinar qualquer valor particular de tensão ou corrente num circuito linear com uma, duas ou qualquer outro número de fontes. É possível também separar uma parte de um circuito, substituindo-o pelo equivalente de Thévenin. Por exemplo, na Figura 11, após se obter o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada, pode-se calcular facilmente a corrente no resistor variável RL e a tensão entre seus terminais para qualquer valor que RL possa assumir.

Na Figura 11, todo o circuito, com exceção de RL, deve ser substituído por uma bateria e um resistor em série. Os valores desses dois componentes do circuito equivalente têm de ser escolhidos de modos a garantir que o resistor RL se comporte, no circuito visto na Figura 11(a), da mesma forma que no circuito mostrado na Figura 11(b). Em outras palavras, a corrente e tensão no resistor RL devem ser as mesmas para os dois circuitos para qualquer valor de RL.

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 5

Figura 11 – Substituição de um circuito complexo pelo circuito equivalente de Thévenin.

Os passos do método são os seguintes: 1. Remove-se a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente Thévenin.

No caso da Figura 11(a), é necessário remover temporariamente o resistor RL. 2. Assinalam-se os terminais do circuito remanescente. 3. Calcula-se RTh, colocando primeiro todas as fontes em zero (substituindo as

fontes de tensão por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois terminais escolhidos.

4. Calcula-se ETh retornando primeiro todas as fontes às suas posições originais no circuito e em seguida determinando a tensão entre os dois terminais escolhidos, mantendo o circuito aberto entre os terminais a e b.

5. Desenha-se o circuito equivalente de Thévenin e recoloca-se entre os terminais do circuito equivalente a parte que foi previamente removida.

EXEMPLO NUMÉRICO 4. Determinar o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito da

Figura 12. Em seguida, determinar a corrente em RL considerando que essa resistência tenha valores de 2 Ω, 10 Ω e 100 Ω.

Figura 12 – Circuito do exemplo 4.

Solução: Os passos 1 e 2 levam ao circuito da Figura 13.

Figura 13 – Circuito após a aplicação dos

passos 1 e 2.

Passo 3: Substituindo-se a fonte de tensão E1 por um curto-circuito, obtém-se o circuito da Figura 14(a), onde:

2R6363R||RR Th21Th

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 6

Passo 4: Introduz-se novamente a fonte de tensão (ver Figura 15). Neste exemplo, a tensão de circuito aberto ETh é a mesma que a queda de tensão entre os terminais da resistência de 6 Ω. Aplicando a regra dos divisores de tensão:

V6954

3696

RRERE

2Th

Figura 14 – Determinação de RTh.

Passo 5, ver Figura 16:

LTh

ThL RR

A5,122

6I2R LL

L L6R 10 I 0,5A

2 10

Figura 15 – Determinação de ETh.

L L6R 100 I 0,059A

2 100

Se não fosse possível a aplicação do teorema de Thévenin, cada mudança no valor de RL necessitaria de que todo o circuito mostrado na Figura 12 fosse anali- sado para se determinar os valores de tensão e corrente em RL.

Figura 16 – Substituição do circuito externo a RL

pelo circuito equivalente de Thévenin.

EXEMPLO NUMÉRICO 5. Determinar o circuito equivalente de

Thévenin para a parte sombreada do circuito da Figura 17.

Figura 17 – Circuito do exemplo 5.

Solução: Os passos 1 e 2 levam ao circuito da Figura 18.

Figura 18 – Circuitos após os passos 01 e 02..

Passo 3 (ver Figura 19): Neste caso, a substituição da fonte de tensão E por um curto-circuito estabelece uma conexão direta entre os pontos c e c’ na Figura 19(a), o que permite ‘dobrar’ o circuito, tendo como eixo a reta horizontal que liga a e b, resultando no circuito mostrado na Figura 19(b).

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 7

Figura 19 – Determinação de RTh.

Então:

5R3212||43||6

R||RR||RRR

4231

baTh

Passo 4: O circuito redese-nhado é mostrado na Figura 20. A ausência de uma cone-xão direta entre a e b resulta em um circuito com três ra-mos em paralelo. Portanto as tensões V1 e V2 podem ser determinadas usando a regra dos divisores de tensão:

Figura 20 – Determinação de ETh.

11 1

1 3

22 2

2 4

R E 6 72 432V V 48 VR R 6 3 9

R E 12 72 864V V 54 VR R 12 4 16

Considerando a polaridade indicada na Figura 20 para ETh e aplicando a LKT à malha superior no sentido horário, obtém-se:

V6E4854VVE0VVEV Th12Th21Th

Passo 5: Ver Figura 21

Figura 21 – Circuito equivalente de Thévenin.

A aplicação do teorema de Thévenin não

se restringe a apenas um elemento passivo, como mostrado nos exemplos anteriores, pois ele pode ser aplicado em fontes, ramos inteiros, partes dos circuitos ou qualquer configuração de circuito. Pode acontecer também que seja necessário utilizar um dos métodos anteriores, como o das malhas ou da superposição para determinar o circuito equivalente de Thévenin.

EXEMPLO NUMÉRICO 6. Determinar o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito da

Figura 22. Solução:

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 8

O circuito é redesenhado e os passos 1 e 2 são aplicados como mostra a Figura 23.

Passo 3: Ver Figura 24.

2000R6001400R

2400||8001400R6000||4000||8001400R

R||R||RRR

3214Th

Passo 4: Aplicando o teorema da superposição, serão conside-rados primeiro os efeitos da fonte de tensão E1 (ver Figura 25). O circuito aberto faz com que V4 = I4∙R4 = 0∙R4 = 0 V e:

3'Th VE e

6000||4000R||RR 32'T

Figura 22 – Circuito do exemplo 6.

Figura 23 – Circuito da Figura 22 redesenhado.

2400R 'T

Aplicando a regra dos divisores de tensão:

800240062400

ERV

1'T

'Th33 EV5,4V

320014400V

Figura 24 – Determinação de RTh.

A aplicação do método da superposição para a fonte E2 resulta no circuito mostrado na Figura 26. Novamente tem-se V4 = I4∙R4 = 0∙R4 = 0 V e:

3''Th VE

706R

6000||800R||RR''T

31''T

Figura 25 – Contribuição da tensão E1 para ETh.

Aplicando a regra dos divisores de tensão:

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 9

''Th3

2''T

3 EV5,1V47067060

400070610706

ERV

Como E’Th e E”Th têm polaridades opostas: V3E5,15,4EEE Th

''Th

'ThTh

Figura 26 – Contribuição da tensão E2 para ETh.

Passo 5: Ver Figura 27.

Figura 27 – Circuito equivalente de Thévenin.

TEOREMA DE NORTON Já foi visto que para qualquer fonte de

tensão em série com uma resistência interna é possível se determinar uma fonte de corrente equivalente. O circuito com fonte de corrente equivalente ao circuito de Thévenin, como mostra a Figura 28, pode ser obtido com o auxílio do teorema de Norton.

O teorema de Norton afirma que:

Figura 28 – O circuito equivalente de Norton.

Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente formado por

uma fonte de corrente e um resistor em paralelo Os passos do método são os seguintes: 1. Remove-se a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente de

Norton. 2. Assinalam-se os terminais do circuito remanescente. 3. Calcula-se RN, colocando primeiro todas as fontes em zero (substituindo as

fontes de tensão por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois terminais escolhidos. Nota-se que este passo é idêntico ao que foi descrito para o teorema de Thévenin.

4. Calcula-se IN retornando primeiro todas as fontes às suas posições originais no circuito e em seguida determinando a corrente de curto-circuito entre os dois terminais escolhidos. Esta corrente é a mesma que seria medida por um amperímetro conectado entre os terminais assinalados.

5. Desenha-se o circuito equivalente de Norton e recoloca-se entre os terminais

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 10

do circuito equivalente a parte que foi previamente removida. Pode-se obter o circuito equivalente de Norton a partir do circuito equivalente de

Thévenin e vice-versa utilizando as técnicas de transformação de fontes, discutidas anteriormente e reproduzidas na Figura 29.

Figura 29 – Determinação de RTh.

EXEMPLO NUMÉRICO 7. Determinar o circuito equivalente de

Norton para a parte sombreada do circuito da Figura 30.

Solução: Os passos 01 e 02 são mostrados na Figura 31.

O passo 3 é mostrado na Figura 32

N 1 23 6R R || R 23 6

Figura 30 – Circuito do exemplo 7.

Figura 31 – Identificação dos terminais de interesse.

Figura 32 – Determinação de RN.

O passo 4 é mostrado na Figura 33, indicando claramente que o curto-circuito entre os terminais a e b está em paralelo com R2, eliminando qualquer efeito dessa resistência. Portanto IN é a corrente que atravessa R1, já que:

V0V60RIV 2222

Portanto: A3I39

REI N

1N Figura 33 – Determinação de IN.

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 11

Passo 5: Ver Figura 34. Este circuito é o mesmo no qual foi aplicado o teorema de thévenin inicialmente. Uma simples conversão indica que os circuitos de Thévenin e Norton são, de fato, os mesmos (ver Figura 35).

Figura 34 – Determinação de RTh.

Figura 35 – Conversão entre os circuitos equivalentes de Norton e de Thévenin.

EXEMPLO NUMÉRICO 8. Determine o circuito equivalente de Norton para a parte do circuito à esquerda dos

pontos a e b vistos na Figura 36.

Figura 36 – Circuito do exemplo 8.

Solução: Passos 1 e 2 ver Figura 37.

Figura 37 – identificação dos terminais de saída.

O passo 3 é mostrado na Figura 38 e:

N 1 24 6R R || R 2,44 6

Figura 38 – Determinação de RN.

NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 12

Passo 4: (Usando o teorema da superposição). Para a bateria de 7 V (ver Figura 39):

' '1N N

E 7I I 1,75AR 4

No caso da fonte de 8 A (ver Figura 40), tem-se que tanto R1 quanto R2 foram curto-circuitadas pela ligação direta entre a e b e: Figura 39 – Contribuição da fonte de tensão E1.

''NI I 8A

'' '

N N N

I I I 8 1,75I 6,25A

Passo 5: ver Figura 41.

Figura 40 – Contribuição da fonte de corrente I.

Figura 41 – Circuito equivalente de Norton.

BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Capítulo 9. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.

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