1
A TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
Uma Introduç
cQ
o
Departamento de Fé
i
ao
ALFREDO BARBOSA HENRIQUES
Instituto Superior Tée
c
si
c
a
ni
c
sicos da relatividade geral
.1
oes
1 .4 As ideias de M
h
2 - C
ao
3. .4
tor
3. .3
ao e transporte para l e l o
3.2.2
as so b re tensores
E xer
c
é
ic
ur v os
1 .3 Prin
c
é
i
tor
3.2 Cone
Q
O prin
c
ndice das mat ¡erias
bl io g ra fi
1 - Princ¡
ip
oordenadas Tensores
2.3 Operaç
cQ
é
i
a a fi
3.3 Tensor de Riemann
3.4 A m éetri
c
oes de K i ll in g
3.8 q ua ç
cQ
ia
1 .2 l era ç
cQ
o v ariante
3.2. Cone
Q
ao
3.4.2 Cone
Q
a
3.4. finiç
cQ
ur v atura
3.5 Densidades tensoriais
3.5. finiç
cQ
a
3.5.3Inte g rais
3.6 eodéesi
c
o v ariante
3.2.3 Geodéesi
c
Deri v ada
c
¡alculo tensorial: ¡algebra
2. Variedades
2.2 Trans formaç
cQ
a
3.4.3 Tensor de
c
ios f¡
i
ao m éetri
c
oes a lg b ri
c
a m éetri
c
a
3.7Isometrias e e q ua ç
cQ
oes de
c
ao , g ra v ita ç
cQ
pio de e qui v a laen
c
ao a fi Deri v ada
c
ao
3.5.2 O determinante da m éetri
c
Deri v ada de Lie de um v e
c
ao de des v io g eodéesi
c
ao e espaç
c
o
ao
3. .2 Transporte de Lie de um v e
c
Deri v ada de Lie de uma funç
cQ
os
c
ios
3 - C ¡alculo tensorial: an ¡alise
3.1 Deri v ada de Lie
3. .1 Transporte de Lie de uma funç
cQ
pio da re l ati v idade g era l. C v ari aan
c
ia das e quaç
cQ
oes de Einstein
4.3
l d
5. 2
o
6. 2
o da relatividade geral
4. 1
ao
4.3.3
er
c
iona l
er
c
iona l
er
c
ia l uminosa
6.3.3 Conta g em de fontes uminosas
Eer
c
é
ic
é
ic
é
ic
é
ic
sicos e observa ç coes
6. 1 Prin
c
Espaç
c
é
i
os
5.2. Pre
c
o
4.4 O prin
c
ios
- s testes cl ¡assicos da relatividade geral
5. 1 A so l uç
cQ
é
i
éurio
5.2.2 fl
Q
O imite ne w toniano
4. 2 q ua ç
cQ
ao
6. .2 Cosmo l o g ia ne w toniana
6. .3 O prin
c
Os testes
c
ess
Q
é
i
osmo l o g ia re l ati v ista
6. .1 Introduç
cQ
pios é
i
ios
- Cosmologia: o modelo standard da cosmologia
7. 1 Os mode l os de Friedmann - bertson -W l k er
7. . quaç
cQ
os de
c
O tensor de ener ia - momento
4.3.at éeria in
c
si
c
pio
c
éassi
c
ios
- Cosmologia:
p
ao de S
c h
pio aria
c
oes
6.3.1 Des v io para o v erme l
h
6.3.2 z ersus dist aan
c
oerente ou poeira
4.3.2 uido per feito
c
os da
c
rinc ¡
ip
ur v atura
c
as
6.3 Cosmo l o g ia e o b ser v a ç
cQ
ios
-s e qua ç coes de cam
p
ar z s
c h
ao dos raios uminosos
5.2.3 Des v io para o v erme l
h
osmo l g i
c
onstante
6.2. l emento de l in
6.2.2 Propriedades eom éetri
c
om press
Q
ios f¡
i
ao do peri ée l io de Mer
c
oes de Einstein
7. .2 Mode l os de Einstein -De Sitter
O tensor de ener ia -momento do
c
o de ori g em g ra v ita
c
ampo e l e
c
troma g néeti
c
imentos
7.4 Pro bl emas dos mode l os de Friedmann - b ertson -W l er O mode l o
in fla
c
ao de De Sitter
7.3
ion éario
7.5
iona l
8.2 Coordenadas de K rus k a l e eres
8.3
ionais
.4
ao q uadripo lar
.5
ios
A
4u las
7.3.2
O pro bl ema da p l anaridade e o pro bl ema doori z onte
7.4.2
Hori ontes
7.3.1
ion éario
7.4.1
as
E xer
c
a
E xer
c
ionais
E xer
c
é
ic
é
ic
é
ic
Bura
c
Emiss
Q
a
.7 A dete
c
om к/=07.2 A so l uç
cQ
ç
cQ
ionais
.3 P lari z a ç
cQ
O mode l o do b i g -an g
7.5.1 A radiaç
cQ
ao (p = / 3 p)7. .3 Mode l os
c
ios
- ndas gravitacionais
. imite de
c
os
.2 Ondas ra v ita
c
ionais
.6 Ondas ra v ita
c
Hori z onte de a
c
l d
8. . Corpos emueda i v re radia l
8. .2 Hori z onte de a
c
O mode l o in a
c
imentos
8. .3 C lapso g ra v ita
c
Hori z onte de parté
ic
ios
- Вuracos negros de S c hw ar z sc h ild
8. Propriedades da so l uç
cQ
onte
c
onte
c
ao de ondas ra v ita
c
ampos ra v ita
c
ao de fundo de mi
c
ao das ondas ra v ita
c
ao das ondas ra v ita
c
ao de S
c h
os ne g ros e termodin aami
c
ionais de ori g em
c
4
7. . 2. 1 Uni v erso dominado por poeira (p = 0)
7. . 2. 2Uni v erso dominado por radiaç
cQ
ro ondas
7.5.2Quadro resumo das di ferentes éepo
c
ionaisra
c
ar z s
c h
Ener ia transportada pe las ondas ra v ita
c
osmo l g i
c
ionais Aproima ç
cQ
endice
teoria da relatividade restrita
1 Os postu ladas da re lati v idade restrita e suas
c
onse q uen
c
ias
ampos¡ ¢£ ¤
4ao de Lorent
.3
tores
A.3 e
c
endice
Cronologia
a re lati v ista
A
.3. uaç
cQ
iais
A
.3.2 uaç
cQ
ao do tempo
A
.2 Contra
c
. lataç
cQ
idades
A .5 Din aami
c
ç
cQ
otempo
A.2.2 Cone de l u
.2.3Quadri v e
c
trodin aami
c
Simu l taneidade
A
.4 Trans forma ç
cQ
a
A.3.3 Trans forma ç
cQ
otempo
A.2.1 Inter v a l os de espaç
c
o
A .7 O pseudo paradoo dos éemeos
A.2 eometria do espaç
c
a re lati v ista
A .6eito Dopp l er re lati vé
i
ao das e l o
c
oes para os poten
c
sti
c
oes de Lorent dos
c
oes de mo v imento de uma
c
ar a e lée
c
tri
c
ado da Re lati v idade " , tradde Méario Si lv a ,
C l e
c
oes Monsanto , Lis boa ,
54.
s " , Cam -
rid g e Uni v ersit yress , 84.
C
h
ç
cQ
in g Eintein lati v it y" , Clarendonress ,
ord 2.
h
b a l dee l er , "ra v ita -
tion " , W Freeman andompan y , Y or , 73.
lg e ra g
h
ourse in enera lre lati v it y" , Cam b rid g e Uni
ersit yress , 8 .
Bernard F
h
s , V l. 26, p éa g. 56 1 88.
Bernard F
h
ao èa teoria da re lati v idade restrita " ,
ress , 8.
Landau et Li f
h
e and t i f flbert
Einstein " ,ord Uni v ersit yress , 82.
l er , in
h
tion to te Teor y f lati v it y" ,
er , 76.
P.. Pee bl es , "rin
c
ao Studiumoim b ra , 58.
llan Sanda g e , " ser v ationa ltests o f or d mode l s " , annua l ie f
astronom y and astrop si
c
eton Uni v ersit y
ress ,99 3.
y 'In v erno , " Introdu
c
tion toenera l lati v it y" , Mra
ll, 75.
lbert Einstein " g ni fi
c
ut , "rst
c
ut , "eometri
c
ip l es o f P
h
ffer , " Introdu
c
tion toenera l lati v it y" ,
Cam b rid g e Uni v ersit yress ,99 4.
Peter b rie l Ber g mann " Introdu
c
si
c
eton Uni v ersit yress ,
6.
Resina Rodri g ues , " Introdu ç
cQ
o v o , 66.
Lorent , Einstein, Min o , "rin
c
é
i
ao
l ouste lb en ian 72.
.P. g ston and K.P Tod "an Introdu
c
ibliogra fi a
raamais , " b t e is t e Lorde s
c
ar l es isner , K ip Sorne , J o
h
ien
c
ard l man " l ati v it y ,ermod y nami
c
, "osmo l o g yandontro v ers y" , Prin
c
g oress ,
84.
y omes , "a Teoria da Re lati v idade " , Ediç
cQ
a l metods o f matemati
c
a l Cosmo l o g y" , Prin
c
s andosmo l o g y" ,
er , 87.
bert l d "enera l lati v it y" ,e Uni v ersit y o f C
h
, " T éeorie duamp " , Editions, Mos
c
a l p si
c
pio da Re lati v idade " , Fundaç
cQ
Ste enein berg, "ra v itation andosmo l o g y" , o l eand Sons ,
72.
in gandG. ll is , " T ar e s
c
a l e stru
ce -
time , Cam rid g e Uni v ersit yress , 84.
lfg an g Rind l er , "Essentia l l ati v it y" , Sprin g erer l g, 7 9 .
ture o fspa
c
q ue te v e
c
rade
c
Um a g rade
c
imento
om asfig urasue a
c
imento muito espe
c
ompanam este teto
ia lao D éarioassos pe l o tra b l
h
to e g iria a
c
ontraindo o tensor
Rd
acb
e gera
l
No seu famoso arti g o Os Fundamentos da Teoria da Re l ati v idadeera l ,de
ar ç
c
a
re
l
oes mais g erais , passando e las a serem ape
nas um
c
a
t
ompreen -
der neste
c
onsideraç
cQ
ao a b andonadas ,
mas su b stitué
i
C ap ¤
itulo
P rin c ¤
i
oes para as 1 g randeas gab Mais adi
ante as e quaç
cQ
apé
i
ess éarios anos de tentati v as e erros , q ue a
orma simp l es
c
re e Einstein (par éa g ra f 4 : "Somos deste modo l e v ados
a pensarue a
c
i l, e
nada l inear , per
c
ivi
d
o de 1 1 6 , es
c
aso parti
c
oes ser
Q
ao , teria que ir para
uma teoria q ue fosse
c
ondiç
cQ
a
d
pi
os f
om
preendido que , se quisesse
c
o b erta de que
um tratamento da g ra v itaç
cQ
ando os seus passos mais importantes
O primeiro foi a sua des
c
os na forma da
eometria de Riemann e do
c
ao de eometrias n
Q
¤
is
omo as e quaç
cQ
a de mat éeria ) No
entanto , antes de Einstein ter
c h
oes
ue e v am o seu nome , foram ne
c
das por trans formaç
cQ
ao eu
c
oes s
Q
g amos assim a 1 e quaç
cQ
o v a io de mat éeria de e
ser o anu l amento do tensor sim éetri
c
tu l o introdut éorio , mar
c
o
ordenadas Ou se j a ,as trans forma ç
cQ
onsiderar
c
ao e g ida pe l o
c
ao naase da
teoria da re lati v idade restrita ou espe
c
ideanas Fina l mente , q ue o quadro apro -
priado a esse tratamento j éa tina sido
c
o v ariante so ba a
c
urso ao l on g o de uma d ée
c
ç
cQ
ic
os d
o b erta do prin
c
ao g enera l i z adas para o
c
é
i
éa l l o tensoria l.
g ado a esta
c
on
c
ao que fosse re lati v isti
c
ampo g ra vé
i
orpos em a
c
ti
c
us
Q
ao apresentadas es
c
e l era ç
cQ
o Rabue se o b t éem
c
aso da presenç
c
onde
amente
c
ia l, teriamue ser , n
Q
ao de trans forma ç
cQ
ada que amos pro
c
riado pe l os matem éati
c
pio de e qui v a laen
c
u lar Depois ,a sua uaseue s éu b ita des
c
oes de Lorent , que est
Q
orre
c
urar
c
ia e o ter
c
é
E esse di f é
ic
ao , asamosas e quaç
cQ
oes erais de
c
orpo depende apenas das
c
ao desta
c
a
N
Q
onsideradoediante uma
es
c
ao , que Einstein sou b e des
ta
c
u l iar das
or ç
c
ao
do
c
as ,
forç
c
o l
h
ondiç
cQ
a apropriada de unidades , podemos p aor mg mi o que nos permite
simp l i fi
c
ao
mg .
onde o e
c
io de e quivalencia
Come
c
a ap l i
c
ar na me
c
orpo ée dada
pe la epress
Q
oes ini
c
as ra v ita
c
ao de ne -
uma outra
c
orpo
su eito a esse
c
iona l, intensidade
ue mede aor ç
c
onstante e in -
dependente da
c
ani
c
ao seria este o
c
as , propriedade j éa
éa muito tempo
c
CAP ¦ITULO 1. PRINC¦IPIOS F ¦ISICOS DA RELATIVIDADE GERAL
. 1 Princ¡
ip
ara
c
a
c
ar a e quaç
cQ
ao de mo v i
mento depender éa n
Q
om a massa de inéer
c
to
ue sin g u l ariorç
c
emos por
c h
teré
i
arando a de umaorma no v a ,
Einstein sou be etrair
c
on e
c
ionais , n
Q
éassi
c
sti
c
onstituiç
cQ
ao
c
ia
em sa b ido ue a for ç
c
ada depende da
c
ao
ou massa pesada ) mg se en
c
ao s éo das
c
om mais
nenum outro tipo de interaç
cQ
ao qué
i
ao anterior , es
c
onse qen
c
mi
c
a de g ra v itaç
cQ
ondiç
cQ
omparti l
h
orpo , pois depende de emi
Foi essa propriedade , l i g ando in éer
c
amar a atenç
cQ
ar a e lée
c
iais do pro bl ema posiç
cQ
a do mesmo ,
c
re endoa so b forma
G - , .3
ue , por sua e ,si g ni fi que a tra e
c
a de g ra v itaç
cQ
a do
c
tri
c
oes ini
c
aso se mgmi v ariasse de
c
a por unidade de massaou
c
a
diz- nosue
mi mg . .2
é
E importante ter presenteue desde o s ée
c
tor G representa a intensidade do
c
ao a
c
ida , mas da q l,en
c
ias de Besse l,
eeman iotosse sa b e que a massa de inéer
c
ampoor outro lado ,a e quaç
cQ
a do
c
ao e e l o
c
orpo
c
eptua lde
um o b ser v ador emueda l i v re Esta e peri aen
c
ia e ra v ita ç
cQ
t éoria do
c
ontram numa re l a ç
cQ
ao. Por eemp l o , no
c
ia mi pode ser lq uer , a so l uç
cQ
orpo para
c
ao , pois o mesmo n
Q
orpo e
c
omo se a a sua
c
ada pe las outrasorç
c
idade ini
c
ampo ra v ita
c
a e interpretar atra vées da e peri aen
c
ao mgmi
c
ar a ) de ra v itaç
cQ
u l o Х I Х peri aen
c
ias de uma g rande import aan
c
aso dasor ç
c
ia
c
tuando so b re um
c
ao da e q ua ç
cQ
iais , mas tam b éem da
c
omposiç
cQ
on
c
ao para uma propriedade pe
c
ao se passa
c
iais e n
Q
omo a re laç
cQ
as e lée
c
aoundamenta l da me
c
ao ué
i
ao mg do
c
tri
c
orpoIsto ée um a
c
mi
c
ani
c
ia mie a massa de g ra v itaç
cQ
omposiç
cQ
ia , idea l iada por Einstein
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