Teoria de Sistemas Amostrados e
Controle Digital
Prof. Daniel Juan Pagano
Departamento de Automa~ao e Sistemas
Centro Tenologio
Universidade Federal de Santa atarina
CEP 88040-900 Florianopolis - SC
Tel.: +55 48 331 7601/7670, FAX: +55 48 331 9934
E-mail: danieldas.ufs.br
Agradeimentos
A Cesar Torrio, aluno de doutorado do programa de Posgradua~ao em
Engenharia Eletria (PPGEEL-UFSC), pela assiste^nia e suporte na elabo-
ra~ao desta apostila. Tambem agradeo ao professor Julio E. Normey Rio,
do Departamento de Automa~ao e Sistemas (UFSC), pelo material aportado
para a onfe~ao desta apostila.
Sumario
1 Introdu~ao 5
1.1 Deni~oes Basias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Sinais Contnuos e Disretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Controle digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Problemas ligados ao ontrole de sistemas amostrados . . . . . . . . 12
2 Transformada Z e aplia~oes 14
2.1 Deni~ao da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Propriedades da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Inversa da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Aplia~ao a equa~oes a diferenas e sistemas . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 21
3.1 A amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Analise da onex~ao Interpolador - Sistema ontnuo . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Fun~ao de transfere^nia amostrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Ganho estatio de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.3 Rela~ao plano S - plano Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Estabilidade e resposta no tempo 40
4.1 Deni~ao e rela~ao om a fun~ao de transfere^nia . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Estabilidade e resposta no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Sistemas amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.2 Tipos de resposta estaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Estabilidade de sistemas om para^metros variaveis . . . . . . . . . . . . . . 45
Sumario 4
4.3.1 Lugar das Razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Estabilidade utilizando lugar de razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Conlus~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Funionamento de sistemas em regime permanente 54
5.1 Funionamento no regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Conlus~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Projeto de ontroladores disretos 59
6.1 Metodo de projeto por aproxima~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1.1 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.2 Metodo de Tustin (ou Bilinear) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.3 Metodo de aproxima~ao Zero-Polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.4 Metodo aproxima~ao zero-polo modiado . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Metodo de projeto direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.1 Elementos basios de ontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Captulo 1
Introdu~ao
A area de ontrole de proessos industriais teve um grande desenvolvimento nos
ultimos 100 anos e hoje em dia os sistemas automatios de ontrole est~ao presentes
em quase todas as maquinas e equipamentos utilizados pelo homem, inlusive na vida
domestia. Este desenvolvimento somente foi possvel graas a utiliza~ao de ferramentas
matematias de modelagem, analise e projeto de sistemas de ontrole. Dentro desta area,
a teoria de sistemas lineares teve e ainda tem um papel fundamental, pois uma grande
quantidade de problemas reais podem ser analisados e resolvidos om a sua utiliza~ao.
Duas perguntas podem ajudar a eslareer estas ideias.
(a) Que e, omo funiona e para que serve um sistema de ontrole?
(b) Qual a rela~ao entre estes problemas e a teoria de sistemas?
Analisaremos as respostas utilizando um exemplo. Suponhamos un sistema de arma-
zenamento de gr~aos onde deve-se manter onstante a temperatura do ar dentro do silo.
O primeiro a fazer e dotar ao silo dum sistema de aqueimento-esfriamento e de um sis-
tema de medi~ao de temperatura. Instalado o sistema de atua~ao e medi~ao a planta e
oloada a funionar simplesmente om uma regula~ao manual da entrada de alor-frio
ate atingir o ponto de equilbrio de temperatura T
0
desejado. Mas quem assegura que
isto se mantera ao longo do tempo? Se a temperatura ambiente varia o sistema n~ao vai
manter as ondi~oes ideais, pois n~ao existe nenhum dispositivo que avise ao gerador de
alor-frio que a situa~ao mudou. A solu~ao mais simples onsiste em oloar um operador
a atuar no sistema de aqueimento-esfriamento para orrigir as possveis varia~oes de T .
Este proedimento denomina-se ontrole manual e mostra-se na gura 1.1.
E laro que neste sistema de ontrole o termo manual signia que a opera~ao de
ontrole e realizada no erebro do operador, que possui o onheimento da dina^mia do
sistema, ompara os valores medidos om os neessarios e atua seguindo a diferena.
Introdu~ao 6
T
SILO
Operador Aquecedor
Termometro
Figura 1.1: Controle manual de temperatura dentro do silo.
Uma forma mais interessante de realizar esta opera~ao e mediante um meanismo ou
sistema automatio apaz de substituir ao operador. Este sistema e hamado de ontrola-
dor automatio ou simplesmente ontrolador. Este ontrolador possui uma lei de atua~ao
interna que lhe permite ajustar os valores de pote^nia de aqueimento-esfriamento, de
aordo om a varia~ao de T omo mostra-se na gura 1.2.
automatico
SILO
Aquecedor
Termometro
T
sistema de
controle
Figura 1.2: Controle automatio de temperatura do silo.
De forma geral, os resultados deste exemplo podem extender-se a todos os siste-
mas de ontrole, que omp~oem-se de tre^s elementos basios: MEDIC
~
AO, CONTROLE e
ATUAC
~
AO, omo pode ser visto no esquema da gura 1.3.
Os problemas relativos a medi~ao e atua~ao ser~ao estudados em outras disiplinas
espeas. Neste urso o objetivo e entender omo denir e implementar a lei de ontrole
que mantem o sistema operando omo desejado.
Introdu~ao 7
CONTROLE
ATUADOR SISTEMA MEDIDOR
Figura 1.3: Esquema geral do ontrole automatio de proessos.
Para poder projetar adequadamente o ontrole, devemos onheer as araterstias
dos sistemas envolvidos: atuadores, proesso e medidores. Para poder analisar o seu om-
portamento sem neessidade de operar o proprio sistema devemos gerar modelos que re-
presentem adequadamente este omportamento. Estes modelos matematios permitir~ao,
atraves da teoria de sistemas, denir leis de ontrole espeas para ada aplia~ao.
Pode-se dizer que em geral a analise de um sistema divide-se em tre^s etapas basias:
Desenvolvimento de um modelo matematio para o sistema fsio e montagem das
equa~oes orrespondentes;
Obten~ao da solu~ao das equa~oes;
Interpreta~ao dos resultados em termos do sistema real.
Assim, nesta disiplina estudaremos os elementos basios da teoria de sistemas de ontrole,
que diz respeito a analise dos sistemas e seus sinais. Todos os resultados que estudaremos
ser~ao a base para as disiplinas seguintes.
1.1 Deni~oes Basias
Deni~ao 1.1 Sinal e uma desri~ao quantitativa de um determinado feno^meno, asso-
iado a um dado meio.
Exemplos de sinais s~ao os sinais sonoros, eletrios, visuais, et...
Deni~ao 1.2 Sistema e uma parte do meio que ria sinais proprios e que permite que
ele se relaione om o restante do meio ambiente.
Exemplos de sistemas s~ao os iruitos eletrios (assoiados a sinais eletrios), hi-
draulios, mea^nios, et...
Deni~ao 1.3 Entradas e Sadas de um Sistema. Os sinais que relaionam ou omuni-
am o sistema om o meio s~ao os sinais de entrada e sinais de sada. O meio atua sobre
o sistema atraves dos sinais de entrada e o sistema atua sobre o meio atraves dos sinais
de sada.
Introdu~ao 8
A gura 1.4 mostra esta rela~ao.
E laro que em geral n~ao existe uma rela~ao unia entre
SaidaEntradaSistema
Figura 1.4: Sinais de entrada e sada.
entrada e sada. Quando a rela~ao e unia, isto e, para ada entrada a sada e determinada
de forma unia, diz-se que o sistema e Sistema Entrada-Sada Mapeado (sesm, pois existe
um mapeamento entre a entrada e a sada e o mapa e hamado mapa do sistema.
Esta n~ao e a unia maneira de representar sistemas, porem e a mais utilizada na
maioria das aplia~oes. Uma outra forma de representar um sistema e atraves de sua
desri~ao de estados.
1.2 Sinais Contnuos e Disretos
Na maioria dos sistemas que s~ao estudados em sistemas de ontrole e automa~ao
industrial, o tempo e importante e os sinais relaionados om estes s~ao fun~oes do tempo.
Estas fun~oes do tempo podem ser disretas ou ontnuas, isto e, estarem denidas para
um numero ontavel de pontos no eixo dos tempos ou para intervalos om innitos pontos.
Exemplo: O ndie da bolsa do RJ (media dos ndies de ota~ao das diferentes a~oes
da bolsa) e um sinal disreto. Cada dia tem-se um ndie.
I(k) = f8:3; 7:2; 5:0; : : :g
Exemplo: Temperatura de um forno medida om termopar.
Para ada instante t " [0;1) tem-se um dado valor de temperatura.
Os sistemas assoiados a sinais disretos s~ao hamados de Sistemas Disretos e os
assoiados a sinais ontnuos de Sistemas Contnuos. As araterstias partiulares de
estas duas lasses de sistemas s~ao apresentadas no proximo aptulo.
Exemplo: Sistemas amostrados.
Um aso partiular de sistemas disretos s~ao os sistemas amostrados, onde o tempo
n~ao e inteiro mas um multiplo inteiro do perodo de amostragem esolhido.
Muitas vezes na pratia, sobretudo nos sistemas de ontrole, trabalha-se om ombi-
na~ao de sinais e/ou sistemas ontnuos e disretos. Ent~ao para poder analisar matema-
tiamente estas ombina~oes faz-se neessario amostrar os sinais ontnuos de forma tal a
Introdu~ao 9
X(t)
tempo
x(n)
x(0) x(1) x(2)x(3)
x(4) x(5)
Amostragem do sinal X(t)X(t)
t0 t1 t2 t3 t4 t5
Figura 1.5: Amostragem de um sinal.
onstruir seque^nias que os representam. Este proesso e realizado olhendo amostras do
sinal ontnuo em determinados instantes.
O sinal obtido e dito de sinal amostrado. Em geral este proesso e feito usando inter-
valo entre amostras onstante T . Este valor e hamado de perodo de amostragem e sua
inversa
1
T
freque^nia de amostragem. O proedimento de amostragem se mostra na gura
1.5.
Quando o proesso de amostragem e feito para obter uma representa~ao disreta de
um sinal ontnuo, deve se onsiderar quanta informa~ao de sinal e "perdida"nesse pro-
esso. De forma intuitiva pode-se armar que quanto mais proximas no tempo sejam as
amostras, menos informa~ao sera perdida. Por outro lado, a utiliza~ao de freque^nias de
amostragem muito altas eleva o usto omputaional e produz problemas de identia~ao.
Estes problemas ser~ao disutidos om detalhe en temas posteriores.
Exemplo: Para ilustrar a importa^nia da amostragem onsidera-se o ontrole digital
de um proesso ontnuo. Imaginemos que para ontrolar um dado proesso e neessario
implementar uma serie de alulos matematios omplexos em pouo tempo. Para rea-
lizar estes alulos utiliza-se um omputador digital. Assim, a sada do proesso e lida,
onvertida em sinal disreto e enviado para o omputador. Este faz os alulos e envia
um outro sinal disreto que e onvertido em ontnuo para ser apliado ao proesso, omo
se mostra na gura 1.6.
Uma aplia~ao pratia deste proedimento mostra-se na gura 1.7. Em um aso omo
o analisado, a fun~ao realizada pelo sistema de ontrole pode ser representada por um
Introdu~ao 10
Referencia
Atuador Processo Medidor
Filtro D/AComputador Digital
u(t) y(t) m(t)
Amostragem
m(kt)u(kt)
u(t)
Figura 1.6: Diagrama de ontrole disreto de um proesso ontnuo.
h(t)
h
Atuador
Eletromecanico
ComputadorDigital
Filtro
H
Medidor de nivel
f1
f2
Amostragem
Referencia de nivel
T
Sinal eletricocontinuo
Figura 1.7: Controle por omputador do nvel do tanque.
onjunto de equa~oes a diferenas omo por exemplo:
e(kT ) = y
r
(kT ) y(kT )
u(kT ) = u[(k 1)T + 2e(kT )
onde u representa o ontrole, e o erro e y
r
a refere^nia.
Do ponto de vista pratio, esta lei de ontrole tem uma interpreta~ao bem simples: o
ontrole permanee onstante somente quando o erro e zero, o que implia que a sada do
sistema atingiu a refere^nia.
Assim omo os sistemas podem ser lassiados de aordo om o domnio do tempo
onde s~ao tratados, tambem e possvel lassia-los de aordo om outras araterstias.
1.3 Controle digital
Por diversas raz~oes (que ser~ao exempliadas a seguir) alguns sistemas apresentam
sinais disponveis em determinados instantes de tempo disreto. Por exemplo:
sistemas eono^mios
Introdu~ao 11
sistemas de manufatura
sistemas biologios
Dentre as varias situa~oes que originam o apareimento de sinais disretos no tempo e
interessante menionar:
reparti~ao de um instrumento de alto usto (multiplexagem)
PLANTA
Proessamento
Medi~ao e
Sistema de
Figura 1.8: Multiplexador
ontrole de sistemas utilizando omputadores digitais (ontrole digital)
Por exemplo, na Fig.1.9 se mostra o aso mais omum de ontrole digital de proessos
ontnuos. Neste aso, o ontrole e implementado de forma disreta utilizando para tal
-
Sada
Ref
Medidor
ProessoAtuadorControle
+
Figura 1.9: Controle Digital de proessos ontnuos
diferentes elementos (amostrador, onversores A/D e D/A, bloqueador) que permitem
proessar os sinais analogios do sistema ontnuo. Na Fig.1.10 s~ao mostrados os diferentes
elementos utilizados no ontrole digital de proessos ontnuos.
analogio
Calulo
BloqueadorConv. D/A
ontrole
da lei de
analogio disreto
Amostrador
digital disreto
digital disreto
analogio
disreto
analogio
ontinuo
Conversor A/D
ontinuo
Figura 1.10: Elementos de um ontrolador digital.
Introdu~ao 12
1.3.1 Problemas ligados ao ontrole de sistemas amostrados
O primeiro problema que se apresenta e omo realizar a amostragem dos sinais
ontnuos. Na Fig.1.11 e representado o proesso de amostragem de um sinal ontnuo.
Neste proesso dois fatores s~ao importantes:
a) a esolha do perodo de amostragem T ou taxa de amostragem f =
1
T
;
b) e a representa~ao matematia utilizada.
Em rela~ao a esolha de T , n~ao existiria uma perda importante de informa~ao se T fosse
suientemente pequeno frente a veloidade de varia~ao do feno^meno onsiderado. Isto
impliaria, no entanto, em um usto elevado em termos de tempo de alulo, fun~ao da
freque^nia de amostragem. Tem-se, ent~ao, que quanto maior a freque^nia de amostragem,
melhor a informa~ao e mais alto o usto. Por outro lado, quanto menor a freque^nia de
amostragem, maior sera a degrada~ao da informa~ao, mas baixara o usto. Existe portanto
um ompromisso entre qualidade da informa~ao e usto de alulo. Como veremos este
ompromisso se resolve apliando o Teorema de Shannon.
x(t)
x((k + 1)T )x(kT )
x(kT )
t
x
T
: : :
Figura 1.11: Amostragem de sinais ontnuos.
O segundo problema e omo fazer a onvers~ao analogio/digital (A/D) e digi-
tal/analogia (D/A). Este proesso de onvers~ao de sinais implia neessariamente na
quantia~ao dos sinais ontnuos para poder ser transformados em sinais disretos. Os
sinais digitais so podem ter valores multiplos do \tamanho" de quantia~ao. Isto produz
inevitavelmente erros de quantia~ao uja magnitude depende diretamente do numero
de bits dos onversores A/D e D/A. O problema relaionado om o erro gerado na quan-
tia~ao aparee em tre^s nveis:
na onvers~ao das medidas analogias em sinais disretos digitais: devido a natureza
intrnsea da representa~ao digital, a onvers~ao de uma medida analogia em uma
medida digital so pode ser realizada aproximadamente. Este e um feno^meno n~ao
linear onde e neessario n~ao deteriorar a preis~ao original do elemento de medi~ao.
Introdu~ao 13
Entretanto, na pratia, s~ao utilizados onversores de 10, 12, 14 e ate 16 bits, om o
qual o erro pode ser onsiderado muito pequeno.
durante os alulos do proessador: neste aso n~ao existe maior problema devido ao
fato de poder trabalhar om preis~ao estendida no proessador digital;
no posiionamento numerio de alguns atuadores: usando odigos de mais de 8 bits
este aso n~ao onstitui maior problema, ja que o erro sera menor que o rudo proprio
do sistema.
t
x
q
x
0
0
11
t
Figura 1.12: Quantia~ao de um sinal ontnuo.
Outro problema onsiste em omo projetar o algoritmo de ontrole. Para soluionar
este problema s~ao empregadas ferramentas de analise e projeto para tempo disreto, as
quais ser~ao estudadas nos proximos aptulos.
Finalmente, existe o problema de omo reuperar o sinal analogio ontnuo. Para
resolver esta situa~ao e neessario utilizar um elemento que permita interpolar o sinal
disreto ente amostras. Este proesso denomina-se de bloqueamento ou interpola~ao e
o elemento assoiado de bloqueador ou sustentador. A interpola~ao pode ser realizada
utilizando diferentes tipos de sinais, por exemplo, degraus e rampas (Fig.1.13).
x((k + 1)T )
: : :
: : :
: : :
T
x
t
x(kT )
: : :
x((k + 1)T )x(kT )
t
x
T
: : :
: : :
a) b)
Figura 1.13: Proesso de bloqueamento por a) degraus b) rampas.
Captulo 2
Transformada Z e aplia~oes
Da mesma forma que no aso ontnuo, a analise de sistemas disretos pode ser feita
atraves das transformadas. Para transformar uma equa~ao a diferenas nos sinais de
entrada e sada dum sistema numa equa~ao algebria e introduzida a transformada Z.
2.1 Deni~ao da Transformada Z
Deni~ao 2.1 A transformada Z e o mapa que transforma o sinal x(n) na fun~ao om-
plexa
X(z) = Zfxg
dada por:
X(z) =
1
X
n=0
x(n)z
n
z "
1
C
onde
1
e a regi~ao de onverge^nia.
As regi~oes de existe^nia s~ao, para algum real :
1
= fz " C; j z j> g
Exemplos:
x(n) =
(
a
n
n 0
qualquer n < 0
X(z) =
1
X
0
a
n
zn =
z
z a
j z j>j a j
Transformada Z e aplia~oes 15
Se a = 1 ) x(n) = 1 n 0 e obtemos
X(z) =
z
z 1
= Z f1(n)g
2.2 Propriedades da Transformada Z
(a) Linearidade
Se existem as transformadas de x e y numa regi~ao , ent~ao vale:
Z fax + byg = aX + bY
(b) Desloamento
Seja x om transformada X em . Seja o operador de desloamento unitario e "
Transformada Z e aplia~oes 16
lim
n!1
x(n)
existe, vale que:
lim
n!1
x(n) = lim
z!1
(z 1)X(z)
Nota: Este teorema e muito importante para teoria de ontrole, pois permite quando
validas suas hipoteses, alular valores de regime permanente de sinais.
Exemplo: Deve-se veriar sempre as hipoteses do teorema.
Seja x(n) = a
n
a > 1
lim
t!1
a
n
=1 ) n~ao pode apliar-se o teorema do valor nal
Porem X(z) =
z
za
lim
z!1
(z 1)X(z) =
z
z a
= 1=(1 a) 6= lim
n!1
x(n)
(f) Teorema do valor iniial
Seja x(n) om transformada X(z). Logo vale que:
lim
jzj!1
X(z) = x(0)
Exemplo:
x(n) = n1(n) = (n1(n)). Usando propriedade (f) temos:
Z fn1(n)g = z
dX(z)
dz
X(z) = Z f1(n)g j z j> 1
Z fn1(n)g = z
d
dz
z
z 1
=
z
(z 1)
2
j z j> 1
Transformada da rampa:
z
(z 1)
2
j z j> 1
Transformada Z e aplia~oes 17
2.3 Inversa da Transformada Z
Antes de ontinuar estudando as aplia~oes da transformada Z, disutiremos o pro-
blema da invers~ao, ou seja, da obten~ao do sinal x a partir da sua transformada X. Da
mesma forma que na transformada de Laplae existem diversas maneiras de realizar esta
invers~ao:
usando a formula ou integral de invers~ao e
usando redu~ao da fun~ao a outras mais simples e om antitransformada onheida.
Na pratia geralmente s~ao usadas as tenias de redu~ao.
Redu~ao
Para usar redu~ao basta apliar as propriedades das transformadas e o onheimento
de pares transformados basios usualmente em tabelas.
De forma geral, usando deomposi~ao e fra~oes elementares, e possvel, apliando
linearidade, obter a fun~ao x de forma simples. Tambem pode se usar o metodo de
identia~ao da serie de pote^nias em z.
Exemplo: Veremos fra~oes pariais e series de pote^nia
X(z) =
1
z
2
1
j z j> 1
Veremos primeiro omo deompor em fra~oes pariais.
X(z) =
A
z 1
+
B
z + 1
A =
z 1
z
2
1
j
z=1
=
1
2
B =
z + 1
z
2
1
j
z=1
=
1
2
Logo
X(z) =
1=2
z 1
1=2
z + 1
=
1
2
z
1
z
z 1
| {z }
(1)
n
1(n)
1
2
z
1
z
z + 1
| {z }
(1)
n
1(n)
Usando tabelas temos:
x(n) =
1
2
1(n 1) +
1
2
(1)
n
1(n 1) =
(
1 8 n par n 2
0 8 outro n
Usaremos agora a serie (dividindo numerador e denominador)
Transformada Z e aplia~oes 18
1
z
2
1
=
z
2
1 z
2
= z
2
1
1 z
2
Logo
1
z
2
1
= z
2
1 + z
2
+ z
4
+
= z
2
+ z
4
+
que e onvergente para j z j > 1.
1
z
2
1
=
1
X
n=1
x(n)z
n
onde
x(n) =
(
1 se n 2 e par
0 em outro aso
que e o resultado ja obtido.
2.3.1 Aplia~ao a equa~oes a diferenas e sistemas
Seja uma equa~ao a diferenas linear e a oeientes onstantes, representando um
sistema linear e invariante no tempo:
Q()y = P ()u = operadoravano
onde
(
y(k) = sada
u(k) = entrada
Se alulamos Z [y(k) = Y (z) e Z [u(k) = U(z) e lembrando as propriedades da
transformada Z temos:
Z [Q()y = Z [P ()u
Z
q
n
n
y + q
n1
n1
y + + q
1
y + q
0
y
= Z
p
m
m
u+ p
m1
m1
u+ + p
0
u
Supondo ondi~oes iniiais nulas obtem-se:
Transformada Z e aplia~oes 19
q
n
z
n
Y (z) + q
n1
z
n1
Y (z) + + q
0
Y (z) = p
m
z
m
U(z) + p
m1
z
m1
U(z) + + p
0
U(z)
ou
Q(z)Y (z) = P (z)U(z)
que leva a equa~ao algebria que dene Y (z):
Y (z) =
P (z)
Q(z)
U(z)
Logo, onheida u(k), alula-se U(z) e a seguir Y (z) e utilizando a transformada inversa,
y(k).
No aso de ondi~oes iniiais n~ao nulas a solu~ao estara omposta, da mesma forma que no
aso ontnuo, por duas partes: uma que depende de U(z) e outra das ondi~oes iniiais.
Ilustraremos isto om alguns exemplos.
2.3.2 Exemplos
Exemplo 1: Considera-se um algoritmo de ontrole disreto onde a lei implementada
pelo omputador tem por objetivo apliar un sinal igual a integral do erro entre o sinal
de refere^nia e a sada:
e(k) = y
r
(k) y(k)
O alulo da integral do erro pode ser aproximada pela somatoria dos valores do erro
multipliados pela largura do tempo entre k e k + 1, que para simpliar onsideraremos
igual a 1.
u(k) =
k
X
0
e(i)
e para o passo anterior:
u(k 1) =
k1
X
0
e(i)
o que pode ser oloado de forma reursiva omo:
u(k) = u(k 1) + e(k):
Transformada Z e aplia~oes 20
Desta forma a lei de ontrole resulta:
u(k) = u(k 1) + y
r
(k) y(k):
Apliando transformada Z nesta equa~ao e usando as propriedades:
U(z) = U(z)z
1
+ Y
r
(z) Y (z)
U(z)(1 z
1
) = Y
r
(z) Y (z)
U(z) =
Y
r
(z) Y (z)
(1 z
1
)
que permite alular o sinal de ontrole se onheemos a refere^nia e a sada do sistema.
Exemplo 2: Qual a diferena om o exemplo anterior se o algoritmo e do tipo propor-
ional mais integral?
Usando as propriedades da transformada basta alular a parte proporional e somar
ao resultado do exemplo anterior.
u(k) = Ke(k)
U(k) = KE(z) = K(Y
r
(z) Y (z))
U(z) = K(Y
r
(z) Y (z)) +
Y
r
(z) Y (z)
(1 z
1
)
e nalmente:
U(z) = (K +
1
(1 z
1
)
((Y
r
(z) Y (z))
Captulo 3
Interonex~ao de sistemas ontnuos e
disretos
Em muitas aplia~oes e neessario ou resulta pratio utilizar ontroladores disretos
para ontrolar sistemas ontnuos. Assim, do ponto de vista formal, e neessario estudar
uma forma de representar matematiamente estes sistemas hbridos.
As duas opera~oes basias para esta interonex~ao s~ao a amostragem e a interpola~ao.
Assim, dado um sistema ontnuo om entrada u(t) e sada y(t), geraremos o y(kT )
amostrando y(t) om perodo T , k " Z
+
. Ja se a sada de um sistema disreto deve ser
onetada a entrada de um sistema ontnuo, usaremos um interpolador entre ambos, que
transforma o sinal u(kT ) disreto no u(t) ontnuo. A gura 3.1 mostra estas opera~oes.
Interpoladoru(kT) u(t)
y(t) y(kT)AmostradorProcesso Continuo
Figura 3.1: Fun~oes do interpolador e do amostrador.
Como ja disutimos, duas quest~oes basias devem ser oloadas:
1. o perodo de amostragem T deve ser esolhido de forma adequada para que o sinal
amostrado ontenha toda a "informa~ao"do sinal ontnuo;
2. o interpolador pode ser de varios tipos: por degraus, linear, et. Na pratia usare-
mos somente o de degraus, tambem denominado bloqueador ou sustentador de or-
dem zero ("Zero Order Holder- ZOH) e que representaremos por uma transfere^nia
Bo(s).
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 22
Veremos ent~ao omo representar matematiamente estas opera~oes.
3.1 A amostragem
Supomos que temos um sistema ontnuo representado por H(s) om entrada u(t) e
sada y(t). Como denir T para que o sistema amostrado represente adequadamente o
sistema ontnuo? Como representar matematiamente esta transforma~ao de sinais?
A opera~ao de amostragem, realizada mediante uma have que abre e feha periodia-
mente (vide Fig.3.2), e bem simples de simular ou implementar, porem difil de analisar.
Idealmente a sada u(kT ) do amostrador om entrada u(t), e uma seque^nia de valores
representando as amostras u(t). Como e muito pequeno dene-se ru
(kT ) omo o valor
T
u
u
t t0 T 2T 3T
t
P
0
T 2T 3T
Figura 3.2: Proesso de amostragem.
da \amostra em kT".
Matematiamente idealiza-se o amostrado supondo ! 0. Na pratia o sinal u(kT )
sera um sinal tipo pulso ontnuo de largura t e amplitude u(kT ), omo se mostra na
gura 3.2.
Dado que a largura do pulso e muito pequena, onsidera-se uma idealiza~ao onde os pulsos
s~ao substitudos por impulsos de a~ao u(kT ). Assim denimos um sinal u
(t) dado por:
u
(t) =
1
X
k=0
u(t)(t kT )
que e o resultado da modula~ao do sinal u(t) om um trem de impulsos denido omo:
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 23
p(t) =
1
X
k=0
(t kT ) ) u
(t) = u(t)p(t)
Esta representa~ao n~ao e real, mas faz-se neessaria para a analise matematia do
problema e os resultados obtidos pela teoria s~ao ondinentes om a pratia. Calulando
as transformadas de Laplae de u
(t) temos:
U
(s) = Lfu
(t)g =
Z
1
0
e
st
u
(t)dt
=
Z
1
0
e
st
u(t)
1
X
1
(t kT )dt =
1
X
1
Z
1
0
e
st
u(t)(t kT )dt
=
1
X
1
Z
1
0
e
st
u(t)(t kT )dt =
1
X
1
e
skT
u(kT )
pois u(t) = 0 8t < 0. Como
s = + j! ) U
(s) =
1
X
1
e
kT
u(kT )e
j!kT
que om = e
T
gera a transformada Z de u(kT ). Assim z = e
(+j!)T
= e
sT
e
U
(s) = Zfu(kT )g = U(z) (3.1)
z = e
sT
$ s =
1
T
ln z
Isto dene uma rela~ao entre o planos omplexos s e z, que permite relaionar diversas
quest~oes de sistemas ontnuos om seus pares amostrados.
Vejamos agora omo esolher o valor de T . Para isto onsideramos que um sinal
ontnuo u(t) e amostrado e depois deve ser reuperado sem perda de informa~ao. Con-
siderando que o sinal u(t) tem um espetro em freque^nia u^(f) alulado omo:
u^(f) =
Z
1
1
u(t)e
j2ft
dt
om uma forma omo a da gura 3.3.
Ja o sinal amostrado tera:
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 24
ffo-fo
u(f)
Figura 3.3: Espetro em freque^nia u^(f).
u^
(f) =
Z
1
1
k=1
X
k=1
u(t)(t kT )e
j2ft
dt =
=
k=1
X
k=1
Z
1
1
u(t)(t kT )e
j2ft
dt =
k=1
X
k=1
u(kT )e
j2fkT
que e periodia de perodo 1=T .
Desta forma o espetro do sinal amostrado tera uma forma omo a da gura 3.4.
Desta forma, somente quando os espetros repetidos n~ao estejam superpostos sera possvel
limitado a fo
f
Espectro em frequencia
u(f)
-fo fo1/2T-1/2T-3/2T 3/2T
Figura 3.4: Espetro em freque^nia u^
(f).
reuperar o espetro original do sinal u(t) utilizando um ltro passa baixas.
Esta ondi~ao esta dada pelo teorema de amostragem ou teorema de Shannon.
Teorema de Shannon
Se a transformada de Fourier de um sinal ontnuo u(t) e nula para todo f > f
0
, isto
e, u^(f) 0 8 f > f
0
, ent~ao u(t) pode ser determinada de forma unia a partir de suas
amostras u(kT ) se o perodo de amostragem e esolhido veriando a rela~ao:
T
1
2f
0
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 25
Observa~oes:
1. O teorema oloa que, amostrando um sinal x(t) om uma freque^nia pelo menos
duas vezes maior do que a maior das omponentes em freque^nia do sinal, e possvel
reuperar toda a informa~ao ontida em x(t) a partir de x(kT ). Isto a bem laro
a partir da analise graa pois n~ao ha superposi~ao de espetros.
2. Teniamente os sinais utilizados na pratia tem espetro em freque^nia n~ao limi-
tado, isto e, x^(f) 6= 0 8 f > 0 e assim o teorema indiaria usar T 0. Porem,
omo na pratia os sinais tem a maior parte da sua energia ondensado em baixas
freque^nias, e possvel ahar uma freque^nia f
0
para a qual x^(f) ' 0 8 f > f
0
.
3. Devido ao solapamento do espetro do sinal original e a suas replias aparee um
efeito de distor~ao onheido omo "aliasing"que impede a orreta reupera~ao do
sinal original.
Na gura 3.5 mostra-se um espetro em freque^nia de um sinal real om o aliassing.
aliassing
f
u(f)
1/2T-1/2T-3/2T 3/2T
Espectro em frequencia sinal real
Figura 3.5: Espetro em freque^nia dum sinal real amostrado.
Alem desta quest~ao, na pratia apareem alguns outros problemas. Em geral o sinal que
se deseja amostrar vem aompanhado de rudos que alteraram o espetro original. Assim,
normalmente s~ao utilizados ltros analogios passa baixa que eliminam boa parte do rudo
e limitam o espetro do sinal a ser amostrado a uma freque^nia f
0
. Este tipo de ltro e
onheido omo "ltro anti-aliasing"pois evitam a distor~ao riada pela superposi~ao do
sinal e seus "alias".
3.2 Analise da onex~ao Interpolador - Sistema
ontnuo
Estudaremos agora o problema de onetar um sistema disreto om um sistema
ontnuo atraves de um interpolador ou bloqueador. Como foi oloado anteriormente, o
objetivo do bloqueador onsiste em reuperar o sinal ontinuo a partir do sinal disreto.
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 26
Usaremos o ZOH omo interpolador. Para representar matematiamente este bloo ZOH
utilizaremos novamente a amostragem ideal. Observa-se que a sada veria:
u(t) =
1
X
k=0
u(kT ) [1(t kT ) 1 (t (k + 1)T ) k " Z
+
(3.2)
om t " [kT; (k + 1)T .
Lembrando que:
1(t kT ) 1[t (k + 1)T =
(
1 8 t " [kT; (k + 1)T
0 outro aso
u(kT ) india o valor do degrau
Se desejamos obter na sada do ZOH um sinal u(t) igual ao da gura 3.6, teremos que
integrar os pulsos, ja que:
d1(t)
dt
= (t)
Como o valor u(kT ) deve ser mantido somente entre kT e (k + 1)T , devemos usar o
proprio sinal integrado atrasado de T . Graamente isto e mostrado na gura 3.6, onde
u
d
= u(kT ).
(k + 1)T
u
u
d
t
t
B
0
(s)
kT
Figura 3.6: Transforma~ao dos pulsos em degraus.
Idealmente transforma-se um impulso em um pulso. Na Fig.3.7 se representa um
pulso omo a diferena de dois degraus desloados no tempo. Esta representa~ao ma-
tematia permitira determinar a fun~ao de transfere^nia do bloqueador, omo sera visto
a ontinua~ao.
Assim temos:
u
(t) =
Z
1
0
u
d
(t)dt
Z
1
0
u
d
(t T )dt
Apliando Laplae:
U
(s) =
1
s
U
d
(s)
1
s
e
sT
U
d
(s)
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 27
kT
u
0
u
u
0
u
u
0
u
t
t
t
kT (k + 1)T
(k + 1)T
Figura 3.7: Representa~ao matematia do pulso.
A fun~ao de transfere^nia do ZOH e:
Bo(s) =
U
(s)
U
d
=
1
s
1 e
sT
3.3 Fun~ao de transfere^nia amostrada
Tendo omo representar o ZOH, sera possvel estudar a Fun~ao de Transfere^nia (FT)
de um sistema amostrado ligado a sistemas disretos. Como a parte disreta do sistema
so tem validade para t = kT om k " Z
+
, n~ao sera possvel estudar o sistema ompleto
em tempo ontnuo, mas apenas nos instantes de amostragem. Assim aharemos a fun~ao
de transfere^nia amostrada do sistema ZOH + proesso, omo se mostra na gura 3.8.
Bo(s) Processo Continuou(kT) u(t) y(t) y(kT)
Figura 3.8: Sustentados em asata om o proesso
A seguir alularemos
Y (z)
U(z)
= H(z). A fun~ao resposta impulsiva da asata ZOH +
proesso e:
h(t) = g(t) b
0
(t)
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 28
e apliando a transformada de Laplae tem-se que:
H(s) = G(s)Bo(s) = Bo(s)G(s)
Ao amostrar om perodo T riamos a fun~ao h(kT ) e logo usando transformada Z
obtemos H(z).
H(z) =
Y (z)
U(z)
= Z
+
fh(kT )g = T
1
X
k=0
h(kT )z
k
Como em geral onheemos H(s) e n~ao h(t), deveramos fazer:
H(s)
L
1
! h(t)
Amost
! h(kT )
Z
! H(z)
porem existe uma forma direta para passar de H(s) ! H(z). Notaremos ent~ao que
H(z) = ZfH(s)g e alularemos esta rela~ao usando tabelas de transformadas. Apliando
esta ideia ao produto Bo(s)G(s) tem-se:
Z fZOH:G(s)g = Z
1 e
sT
s
G(s)
= Z
G(s)
s
Z
e
sT
G(s)
s
= Z
G(s)
s
z
1
Z
G(s)
s
=
1 z
1
Z
G(s)
s
= BoG(z)
BoG(z) =
1 z
1
Z
G(s)
s
Que da uma forma geral para o alulo da FT amostrada de um proesso quaisquer.
3.3.1 Ganho estatio de um sistema
Supomos um sistema linear representado pela sua FT H(). Consideremos uma en-
trada u(t) tal que lim
t!1
u(t) = U
1
= te e que o sistema seja estavel, isto e, a sada
y(t) veriara lim
t!1
y(t) = Y
1
= te. Assim o ganho estatio de H() e denido omo:
K
e
= ganho estatio =
Y
1
U
1
(3.3)
Se lembramos as propriedades das transformadas Z e L temos:
aso disreto:
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 29
U
1
= lim
z!1
(z 1)U(z) vale pois 9 lim
n!1
U(n)
Y
1
= lim
z!1
(z 1)Y (z) = lim
z!1
(z 1)H(z)U(z)
Como o sistema e estavel ! polos om j j< 1 ) lim
z!1
H(z) existe. Assim
Y
1
= lim
z!1
(z 1)U(z) lim
z!1
H(z) = U
1
lim
z!1
H(z)
Impliando:
lim
z!1
H(z) =
Y
1
U
1
= K
e
(3.4)
valida se
i
= polo de H(z) j
i
j< 1 8 i.
Nota: lembrei que para o aso ontnuo o ganho estatio se determinava omo mostrado
a seguir:
U
1
= lim
s!0
sU(s)
Y
1
= lim
s!0
sY (s) = lim
s!0
sH(s)U(s) = U
1
lim
s!0
H(s)
lim
s!0
H(s) =
Y
1
U
1
= K
e
(3.5)
valida se
i
= polo de H(s) Re(s) < 0 8 i.
Exemplos: Sejam os sistemas representados pelas FT:
(1)H(s) =
2
1 + 3s
(2)H(s) =
5(s+ 1)
s(s+ 2)
(3)H(z) =
z + 1
z + 0:5
(4)H(z) =
z
z + 2
Calular o ganho estatio de ada uma.
1. Como H(s) tem polo p = 1=3, o sistema e Entrada-Limitada-Sada-Limitada
estavel (ELSL-estavel) e ent~ao pode-se obter:
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 30
K
e
= lim
s!0
H(s) = 2
2. Como H(s) tem polos p = 2 p = 0, o sistema e ELSL-instavel. 6 9K
e
.
3. Como H(z) tem polo p = 0:5, o sistema e ELSL-estavel
K
e
= lim
z!1
H(z) = 4=3
4. Como H(z) tem polo p = 2, o sistema e ELSL-instavel. 6 9K
e
.
Exemplo: Filtro digital
y(n+ 1) ay(n) = (1 a)u(n+ 1) a 6= 0; a 6= 1
Z fy(n+ 1) ay(n)g = Z f(1 a)u(n+ 1)g
(z a)Y (z) = (1 a)zU(z)
H(z) =
Y (z)
U(z)
=
(1 a)z
z a
j z j>j a j
que tem polo em z = a, um zero em z = 0 e ganho unitario.
3.3.2 Exemplos
Exemplo 1: seja o sistema de ontrole disreto representado na Fig.3.9, omposto por
uma planta ontnua (representado pela sua fun~ao de transfere^nia mais a do bloqueador)
e o algoritmo de ontrole disreto. Para poder estudar este sistema hbrido devemos
determinar a fun~ao de transfere^nia disreta (apliando a transformada Z) para:
1. o algoritmo disreto(equa~ao a diferenas);
2. o onjunto proesso + bloqueador (transfere^nia no plano s).
Consideremos primeiro o aso da transformada do algoritmo disreto e vamos supor
que a lei de ontrole disreta orresponde om um ontrolador tipo PI, ujas equa~oes a
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 31
u(kT )
Tr(z)
s(z)E(z)
Bloo
s(kT )e(kT )
C
r(kT )
y(kT )
+
B
0
G(s)
y(t)
Figura 3.9: Fun~ao de transfere^nia em z
diferenas s~ao:
8
>
:
u
1
(k) = k
1
e(k)
u
2
(k) = u
2
(k 1) + k
2
Te(k)
u(k) = u
1
(k) + u
2
(k)
A transformada z para ada termo da express~ao anterior sera ent~ao:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
U
1
(z) = k
1
E(z)
U
2
(z) = U
2
(z)z
1
+ k
2
TE(z)
U
2
(z) =
k
2
T
1 z
1
E(z)
U(z) = k
1
+
k
2
T
1 z
1
E(z)
Portanto a fun~ao de transfere^nia disreta do ontrole sera:
C(z) =
U(z)
E(z)
= k
1
+
k
2
T
1 z
1
Em segundo lugar, determinaremos a transformada Z do onjunto proesso + bloque-
ador, omo mostrado na Fig.3.10.
u(kT )
1
1+s
y(kT )
B
0
y(t)
Figura 3.10: Proesso + bloqueador de ordem zero.
BoG(s) =
1
s
(1 e
Ts
)
1
1 + s
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 32
BoG(s) =
1
s
1
1 + s
e
Ts
1
s
1
1 + s
BoG(s) = (1 z
1
)
1
s
1
1 + s
BoG(z) = (1 z
1
)
z(1 e
T
)
1
(z 1)(z e
T
)
BoG(z) =
(1 e
T
)
1
1 e
T
Exemplo 2: seja a fun~ao de transfere^nia T (z) orrespondente ao onjunto proesso
e bloqueador de um sistema de ontrole, representado na Fig.3.11.
B
0
y(k)
k
p
1+s
p
1
1+s
T
u(k)
Figura 3.11: Bloqueador + pro
esso + amostrador do exemplo 2.
BoG(s) =
1
s
(1 e
Ts
)
1
1 + s
T
k
p
1 + s
p
BoG(z) = (1 z
1
)Z
k
p
s(1 + s
T
)(1 + s
p
)
Regra geral
BoG(z) = (1 z
1
)Z
G(s)
s
BoG(z) =
z 1
z
Z
8
>
>
>
:
k
p
T
p
s(s+
1
T
)(s+
1
p
)
9
>
>
=
>
>
;
Deomposi~ao para usar tabela
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 33
k
p
(
T
p
)
1
s(s+
1
T
)(s+
1
p
)
=
k
p
s
+
k
p
1
p
1
p
1
T
s+
1
T
+
k
p
1
T
1
T
1
p
s+
1
p
=
k
p
s
+
k
p
T
T
p
s+
1
T
+
k
p
p
p
T
s+
1
p
BoG(z) =
k
p
1 z
1
+
z
k
p
T
T
p
z e
T
T
+
z
k
p
p
p
T
z e
T
p
e agrupando tem-se a fun~ao de transfere^nia disreta da planta:
BoG(z) =
k
p
(z z
0
)
"
(1 e
T
T
)(1 e
T
p
)
(1 z
0
)
#
(z e
T
T
)(z e
T
p
)
Observe que:
existe uma rela~ao entre os polos da planta ontnua e da planta disretizada dada
por z = e
Ts
.
os zeros de ambas transfere^nias s~ao diferentes e n~ao guardam rela~ao alguma entre
si.
o ganho estatio de ambas transfere^nias deve ser o mesmo. O ganho estatio de
G(s) se determina fazendo s ! 0, desta forma obtem-se G(s) = G(0) = G
0
. Para
determinar o ganho estatio de BoG(z), se faz z ! 1, BoG(z) = BoG(1). Deve,
ent~ao, veriar-se que G
0
= BoG(1).
Estas tre^s observa~oes permitem validar se a transforma~ao de um domnio a outro, foi
realizada om suesso.
Para a esolha do tempo de amostragem T , vamos supor ertos valores dos para^metros
do sistema e deniremos os objetivos de ontrole omo:
Resposta em malha aberta om t
subida
' 1:5
p
= 30 seg
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 34
Resposta em malha fehada: Ajustar para t
subida
' 10 seg
Uma possvel esolha para o tempo de amostragem pode ser T =
t
sub
10
= 1 seg. Com
estes valores a fun~ao de transfere^nia disreta e:
BoG(z) = G(z) =
4:18(z + 0:35)
(z 0:951)(z 0:036)
A representa~ao polo-zero da fun~ao G(z), no plano Z, e mostrada na 3.12.
0.951-0.35 0.036
dois polos
zero
negativo
-1
j!
1
Figura 3.12: Representa~ao polo-zero da fun~ao G(z) no plano Z.
Exemplo 3: Analisar as fun~oes de transfere^nia ontnua e amostrada dos sistemas abai-
xo.
a) G(s) =
2
1 + s
b) G(s) =
3
s 2
) G(s) =
1
(1 + 2s)(1 + 3s)
Para o aso (a): G(s) =
2
1 + s
BoG(z) =
z 1
z
Z
2
s(s+ 1)
=
z 1
z
z(1 e
T
)
(z 1)(z e
T
)
Esolhendo T = 0:2 seg., tem-se
BoG(z) =
0:4
z 0:8
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 35
R
I
-1
Figura 3.13: Representa~ao polos de G(s) no plano S, para o aso a).
0.8
-1
R
I
1
Figura 3.14: Representa~ao polos de BoG(z) no plano Z, para o aso a
I
R2
Figura 3.15: Representa~ao polos de G(s) no plano S, para o aso b
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 36
Caso (b): G(s) =
3
s 2
Esolhendo T = 0:2 seg, e
2T
= 1:49, hega-se a
BoG(z) =
z 1
z
Z
3
s(s 2)
=
z 1
z
:
z(1 e
2T
)
(z 1)(z e
2T
)
BoG(z) =
0:49
z 1:49
-1
I
R
1.49
1
Figura 3.16: Representa~ao polos de BoG(z) no plano Z, para o aso b
Caso (): G(s) =
1
(1 + 25)(1 + 35)
=
1
6
(s+
1
2
)(s+
1
3
)
1
2
I
R
1
3
Figura 3.17: Representa~ao polos de G(s) no plano S, para o aso
Esolhendo T =
3
10
= 0:3 seg. e apliando tabela de transformadas ou utilizando o
programa MATLAB, hega-se a
BoG(z) =
k
p
(z z
0
)
(1 a)(1 b)
1 z
0
(z a)(z b)
om a = e
0:3
2
=
0:86, b = e
0:3
3
=
0:90, z
0
= 0:92, k
p
= 1 (ganho do sistema
ontnuo).
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 37
A fun~ao disreta e
BoG(z) =
0:0069(z + 0:92)
(z 0:86)(z 0:9)
:
Note que esta fun~ao de transfere^nia apresenta um zero negativo.
3.3.3 Rela~ao plano S - plano Z
A rela~ao entre os planos S e Z pode ser obtida mapeando pontos de um plano no
outro utilizando a rela~ao z = e
sT
. Na Fig.3.18, se mostra a orresponde^nia que existe
entre diferentes regi~oes do plano S e do planoZ.
jzj < 1
z
1
1
Im
Re
s
Re(s) < 0
a
Im
s
0
Re
Re(s) <
0
a = e
T
0
jzj < a
z
1
1
espiral
Im
Re
s
Re(s) > Im(s)
em z
z
1
1
0
Im
Re
s
z
1
1
a
Combina 2 e 3
Figura 3.18: Rela~ao plano S - plano Z.
Observe que:
o limite de estabilidade e o rulo unitario;
z = 1 no plano Z se orresponde om s = 0 no plano S;
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 38
os lugares geometrios no plano Z forneem informa~ao normalizada em rela~ao ao
perodo de amostragem T mais que em rela~ao ao tempo omo aontee no plano
S;
o eixo real negativo do plano Z sempre representa a freque^nia ! =
2
=
!
0
2
onde
!
0
=
2
T
e a freque^nia de amostragem;
lineas vertiais no semiplano negativo do plano S orrespondem a rulos dentro
do rulo unitario do plano Z;
lineas horizontais no plano S, (j! = te), mapeiam-se em lineas radiais no plano Z;
freque^nias ! >
!
0
2
=
2
(denominada freque^nia de Nyquist) apareem superpostas
a outras freque^nias devido a natureza das fun~oes trigonometrias e
j!
= os(!T )+
j sin(!T ). Este solapamento e onheido omo feno^meno de "aliasing"e, portanto,
para evitar este efeito e neessario amostrar apliando o Teorema de Shannon, omo
foi visto no iniio deste aptulo.
3.4 Exemplos
Exemplo 1: Seja o proesso ontnuo
G(s) =
1
s+ 1
Calulando
BoG(z) =
1 z
1
Z
1
s(s+ 1)
para perodo T e usando tabelas temos:
BoG(z) =
1 z
1
z
z 1
z
z e
T
BoG(z) =
(1 e
T
)z
z e
T
Exemplo 2: Seja o proesso ontnuo
G(s) =
3
(s+ 1)(s+ 3)
=
1
(1 + s)(1 + s=3)
Calulando
Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 39
BoG(z) =
1 z
1
Z
3
s(s+ 1)(s+ 3)
para perodo T e usando tabelas temos:
BoG(z) =
1 z
1
z
z 1
3
2
z
z e
T
+
1
2
z
z e
3T
Deve-se observar aqui que na transforma~ao o numero de polos e mantido e que logia-
mente estes dependem do perodo de amostragem T . Ja quanto aos zeros o numero pode
variar.
Captulo 4
Estabilidade e resposta no tempo
Estabilidade e um oneito muito importante na teoria de ontrole. Existem varias
formas de denir estabilidade que se apliam a diferentes ondi~oes de trabalho dos sis-
temas. Quando se trabalha om sistemas representados por fun~ao de transfere^nia e
normal utilizar o oneito de estabilidade Entrada Limitada - Sada Limitada (ELSL).
Neste aptulo deniremos este tipo de estabilidade, num segundo passo estudaremos
alguns metodos de analise de estabilidade de sistemas em malha fehada (MF).
4.1 Deni~ao e rela~ao om a fun~ao de transfere^nia
Caso ontnuo:
Um sistema entrada sada e dito ELSL (Entrada Limitada - Sada Limitada) estavel
se a resposta y(t) a toda entrada u(t) om amplitude nita tem amplitude nita 8 t 0.
se jjujj
1
Estabilidade e resposta no tempo 41
todos os polos da fun~ao de transfere^nia disreta tem j z j< 01 (ou seja pertenem
ao interior do irulo unitario no plano Z);
sistema Proprio.
4.2 Estabilidade e resposta no tempo
A estabilidade e a resposta no tempo est~ao intimamente relaionadas. Um sistema e
estavel, se para uma entrada limitada gera uma sada tambem limitada. Para estudar
a estabilidade de um sistema qualquer em malha aberta basta analisar os polos de sua
fun~ao de transfere^nia propria. Para isto podem ser utilizados metodos analtios ou
numerios de alulo de razes de polino^mios.
Exemplo: Seja o sistema da Fig.4.1 dado pela seguinte fun~ao de transfere^nia
G(s) =
b
s+ a
om b 6= 0 e onsidere uma entrada do tipo degrau unitario, omo mostrado na Fig.4.2.
sada
entrada
SISTEMA
Figura 4.1: Sistema linear.
u
t
Figura 4.2: Sinal de entrada tipo degrau apliado ao sistema.
Dependendo do valor do para^metro a a sada do sistema sera estavel ou instavel (vide
Fig.4.3).
A ondi~ao de estabilidade do sistema esta dada por a > 0.
4.2.1 Sistemas amostrados
Para o aso dos sistemas amostrados, pode-se utilizar a rela~ao existente entre o plano
S e o plano Z dado pela express~ao z = e
Ts
, om T > 0, onde s e polo do sistema ontnuo
Estabilidade e resposta no tempo 42
t
Instavel
Estavel
a < 0
a = 0
a > 0
y
Figura 4.3: Resposta do sistema a entrada degrau.
e z e polo do sistema amostrado, para estudar a estabilidade do sistema. A ondi~ao de
estabilidade para os sistemas ontnuos Re(z) < 0 passa a ser j z j< 1. Na gura 4.4, se
mostra a regi~ao de estabilidade no plano Z.
j z j< 1
I
m
(z)
R
e
(z)-1 1
Figura 4.4: Regi~ao de estabilidade j z j< 1 no plano Z.
Exemplo: Seja o sistema denido pela fun~ao de transfere^nia disreta
G(z) =
b
z
(4.1)
Considerando uma entrada tipo degrau dada por
U(z) =
z
z 1
(4.2)
Estabilidade e resposta no tempo 43
a sada do sistema no domnio da transformada Z e
y(z) =
bz
(z 1)(z )
Da mesma forma, se utilizamos a tabela de transformadas, o alulo da sada Y (z)
resultara em
y(z) =
z(1 e
aT
)
(z 1)(z e
aT
)
onde
b = 1 e
aT
= e
aT
A resposta no domnio do tempo obtem-se apliando a transformada Z inversa a Y (z)
y(kT ) = 1 e
akT
:
Analisando a express~ao da resposta obtida, tem-se que: (i) se jj < 1, ent~ao aT > 0 e
portanto a sada y(kT ) e uma exponenial limitada, omo se mostra na Fig.4.5.
limitada
y
t = kT0 T 2T
: : :
: : :
sada
Figura 4.5: Sada limitada y(kT ) para j j< 1.
(ii) Se jj > 1, ent~ao aT < 0 e portanto y(kT ) e uma exponenial ilimitada, omo se
representa na Fig.4.6.
4.2.2 Tipos de resposta estaveis
A posi~ao dos polos da fun~ao de transfere^nia disreta F (z) no plano Z determina o
tipo de resposta do sistema. Na Fig.4.7 s~ao mostradas diferentes ongura~oes de polos e
a sua orrespondente resposta disreta no domnio do tempo.
Respostas mais rapidas no domnio do tempo impliam em polos de F (z) om menor
j z j (Vide Fig.4.8).
Estabilidade e resposta no tempo 44
sada ilimitada
y
t = kT0 T 2T : : :
: : :
Figura 4.6: Sada ilimitada y(kT ) para j j> 1.
-1
Re(z)
Im(z)
1
Figura 4.7: Rela~ao polos - resposta no tempo.
-1
Im(z)
Re(z)
t
y
1
Figura 4.8: Rela~ao polos - resposta no tempo. Caso polos reais.
Estabilidade e resposta no tempo 45
Respostas menos osilatorias no domnio do tempo impliam em uma menor rela~ao
Imag(p)
Real(p)
, onde p representa o polo do sistema (Vide Fig.4.9).
-1
Im(z)
Re(z)
y
t
1
Figura 4.9: Rela~ao polos - resposta no tempo. Caso polos omplexos onjugados.
4.3 Estabilidade de sistemas om para^metros va-
riaveis
Na maioria das aplia~oes de ontrole a fun~ao de transfere^nia do sistema que se deseja
estudar depende de um ou varios para^metros. Estes para^metros podem ser de ajuste para
o melhor funionamento do sistema, ou apenas varia~oes proprias das araterstias do
mesmo. Assim, por exemplo, o ganho de um ampliador pode ser um para^metro de
ajuste, e o valor da resiste^nia do estator de uma maquina um para^metro que varia om
as ondi~oes de opera~ao.
Devido a estes motivos interessa estudar a estabilidade ou posi~ao dos polos de um
sistema quando variamos estes para^metros. A analise deve-se fazer variando-se um
para^metro por vez. Assim a equa~ao que determina os polos do sistema resulta:
P (z;K) = 0 K 2 < para^metro variavel
Determinando as razes do polino^mio araterstio P (z;K) e possvel estudar a es-
tabilidade ou estabilidade relativa do sistema para diferentes valores de K. Porem, se
interessa n~ao somente determinar se o sistema e estavel mas tambem onheer a varia~ao
dos polos om o para^metro K pode-se utilizar a ferramenta de Lugar das Razes (LR). Su-
ponhamos que na equa~ao P (z;K) = 0 o para^metro K varia linearmente. Ent~ao pode-se
oloar:
Estabilidade e resposta no tempo 46
P (z;K) = A(z) +KB(z) = 0 ou 1 +K
B
A
(z) = 0 (4.3)
e estudar a solu~ao da equa~ao 4.3 omo sendo:
z 2 C tq
B
A
(z) =
1
K
e omo K 2 < pode-se oloar:
8
>
>
>
>
>
>
>
:
B
A
(z)
=
1
jKj
'B
A
(z)
=
(
(2i + 1) se K > 0
(2i) se K < 0
i 2 Z
(4.4)
A vantagem desta ultima express~ao e que ela permite, de uma forma simples, a ons-
tru~ao do grao das trajetorias que seguem as razes da equa~ao 4.3 quando varia o
para^metro K. O metodo torna-se ainda mais interessante quando observamos que a ex-
press~ao 4.3 representa a equa~ao araterstia da fun~ao de transfere^nia do sistema da
gura 4.10:
Y (z) =
K B=A
1 +K B=A
Assim o metodo de LR permite estudar a varia~ao dos polos de MF de um sistema om
uyr yeB(s)/A(s)
processo1
K
ganho varivel
Figura 4.10: Diagrama de bloos do sistema om ontrole K.
fun~ao de transfere^nia de malha aberta K B=A(z) quando K 2 (1;1). Estudaremos
agora as regras basias do LR.
4.3.1 Lugar das Razes
Todos os oneitos e regras de traado ontnuo s~ao validas para o aso disreto. As
diferenas est~ao no estudo da estabilidade. Calulemos as razes dos polino^mios A(z) e
B(z) supostos mo^nios. As express~oes da equa~ao 4.4 resultam:
Estabilidade e resposta no tempo 47
Q
m
l=1
jz+z
l
j
Q
n
j=1
jz+p
j
j
=
1
jKj
P
m
l=1
'(z + z
l
)
P
n
j=1
'(z + p
j
) =
(
(2i+ 1) K > 0
(2i) K < 0
(4.5)
Observamos ent~ao que se identiamos as express~oes 4.5 om o diagrama da Fig.??:
p
j
= polos de malha aberta (MA) do sistema
z
l
= zeros de MA do sistema
A express~ao da fase tem uma interpreta~ao graa simples: a soma das ontribui~oes
de fase para um dado ponto do plano omplexo z deve somar (2i+1) se K > 0 ou (2i)
se K < 0.
Apos estabeleer a ondi~ao na fase e simples alular o valor de K
0
omo K
0
=
A(z
0
)=B(z
0
).
Baseado neste prinpio a onstru~ao do LR pode ser feita onsiderando apenas a
ondi~ao de fase. A determina~ao dos valores K para ada ponto apenas dara a parame-
triza~ao da urva. Veremos ent~ao as regras basias obtidas de apliar 4.5.
4.3.1.1 Regras Basias de Constru~ao do LR
Disutiremos as regras onsiderando K >= 0 sendo que para K < 0 os resultados s~ao
omplementares.
1) Pontos Espeiais: K = 0 e K !1
Se K = 0 a equa~ao A(z) + KB(z) = 0 tem solu~ao A(z) = 0 ou seja as razes de
A(z), que hamamos de polos de MA. (p
j
)
Se K !1 a equa~ao
B(z)
A(z)
=
1
K
diz que
B(z)
A(z)
! 0
ou seja que z !zeros da fun~ao de transfere^nia de MA que s~ao os valores:
(
z
l
razes de B(z)
z !1 se o grau B(z) < grau A(z)
Observamos que B(z)=A(z) tem tantos zeros em z ! 1 quanto a diferena de grau
do denominador e numerador.
Assim o LR omeara (K = 0) nos polos de MA e terminara (K ! 1) nos zeros de
MA.
E bom observar que se grauB > grauA ent~ao o LR omeara no innito pois existiram
Estabilidade e resposta no tempo 48
p
j
innitos. QuandoB(z)=A(z) representa um sistema real isto n~ao pode aonteer, porem
omo o metodo permite o estudo de razes de equa~oes do tipo P (z;K) = 0 os polino^mios
A e B podem n~ao ter signiado fsio.
2) Ramos do LR
Dada a ontinuidade da solu~ao da equa~ao P (z;K) = 0, quando variamos K de
forma ontnua, o LR sera formado por \ramos" ou urvas ontnuas que uniram pontos
de partida p
j
om pontos de hegada z
l
no plano z.
A quantidade de ramos sera igual ao maior de (grauA; grauB).
3) Simetria do LR
Como os oeientes da equa~ao P (z;K) = 0 s~ao reais, as razes z omplexas apa-
reer~ao sempre em pares onjugadas e por tanto o LR sera simetrio em rela~ao ao eixo
real.
4) Comportamento Assintotio
Quando o LR e tal que para algum K, z !1 e possvel oloar que:
B(z)
A(z)
=
z
n
z
m
=)
z
n
z
m
=
1
K
Assim os a^ngulos das assntotas do LR veriam:
i
=
(2i+1)
nm
i = 0; 1; 2; : : : jnmj 1
e s~ao laramente simetrios em rela~ao ao eixo real.
5) Interse~ao de Assntotas
Todas as assntotas se ruzam num ponto no eixo real dada a simetria do LR. Alem
disto, este ponto pode ser determinado pela express~ao:
=
P
p
j
P
z
l
nm
p
j
= polos nitos
z
l
= zeros nitos
6) LR no Eixo Real
O omportamento do LR no eixo real pode ser estudado failmente apliando a on-
di~ao de fase do LR da equa~ao 4.5. Para pontos sobre o eixo real a ontribui~ao das
singularidades fora do eixo e nula. Por outro lado a ontribui~ao das singularidades no
eixo vale 0 ou , segundo z esteja a direita ou a esquerda da singularidade respetiva-
mente. Assim um ponto do eixo real pertene ao LR se tem a sua direita um numero
de singularidades mpar (K 0) e par (K
Estabilidade e resposta no tempo 49
A equa~ao P (z;K) = 0 pode ter solu~oes multiplas, isto e, para um mesmo valor de
K uma raiz z tem multipliidade maior que um. Isto pode ser interpretado omo um
ruzamento de ramos no LR. A quantidade de ramos que se ruzam e igual a ordem de
multipliidade da raiz. Para determinar estes pontos lembra-se que se z
0
e raiz multipla
de P (z;K) = 0 vale que:
d
m1
P (z;K)
dz
m1
z=z
0
= 0
m = 1; 2; : : :M
M = ordem de multipliidade de z
0
Usando a igualdade para m = 1, e m = 2 temos:
A(z) +KB(z) = 0
dA(z)
dz
+K
dB(z)
dz
= 0
9
>
=
>
;
=)
dA
dz
+
A
B
dB
dz
= 0
z = raiz multipla
ou seja:
B(z)
dA
dz
A(z)
dB
dz
= 0 z raiz multipla
Mas
K =
A
B
)
dK
dz
=
1
B
2
dA
dz
B
dB
dz
A
dK
dz
=
1
B
2
B(z)
dA
dz
A(z)
dB
dz
Se
dK
dz
z=z
0
= 0 )
B(z)
dA
dz
A(z)
dB
dz
z=z
0
= 0
ou seja, usando a express~ao
dK
dz
podemos, alulando as razes, enontrar os possveis
valores de pontos de ruzamento. Isto pois mesmo que z
0
seja tal que
dK
dz
z=z
0
= 0 n~ao
neessariamente K(z
0
) sera real e pertenera ao intervalo onsiderado para o para^metro
K.
8) Simetria de Partes Reais
Uma outra propriedade util do LR para ter ondi~oes de esboar rapidamente o grao
e observar que quando o LR tem duas ou mais assntotas, a equa~ao A(z) +KB(z) = 0
tem os oeientes de grau n e n1 (maior e seguinte) independentes de K. Assim omo a
P
n
i=1
Re (
i
) das razes da equa~ao depende apenas destes oeientes, sera independente
de K. Assim os ramos do LR dever~ao guardar uma simetria de partes reais om a varia~ao
de K. Por exemplo, n~ao pode-se ter todos os ramos saindo no mesmo sentido do eixo
real.
Estabilidade e resposta no tempo 50
Na pratia, n~ao e neessario lembrar todas as regras de onstru~ao do LR, ja que
existem paotes omputaionais (exemplo: ontrol toolbox - Matlab) que permitem traar
automatiamente o LR para um dado sistema.
4.4 Estabilidade utilizando lugar de razes
Como foi analisado a estabilidade de um sistema esta assoiada a posi~ao dos polos
no plano omplexo. Assim, um sistema e dito estavel se todos os seus polos est~ao dentro
do rulo unitario do plano Z. A estabilidade de um sistema tambem pode ser estudada
usando o metodo do lugar das razes.
Exemplo 1:
Seja o seguinte sistema de primeira ordem om ontrole proporional (Fig.4.11).
G(s) =
k
s
! Bog(z) =
b
z a
onde
8
>
>
>
:
> 0
jaj < 1
k =
b
1 a
+
T
y(k)
u(t)
y(t)
G(s)B
0
K
y
r
(k)
Figura 4.11: Sistema de ontrole orrespondente ao exemplo 1.
O ajuste do ganho do ontrolador k
e realizado utilizando o LR. A equa~ao ara-
terstia do sistema (polino^mio P (z; k)) e
1 + k
b
z a
= 0
Observando a Fig.4.12 pode ser determinado o valor do ganho do ontrolador, k
max
,
que torna o sistema instavel.
Analisando esta equa~ao tem-se que za+k
b = 0, de onde se obtem o polo, z = ak
b,
em fun~ao dos para^metros do sistema.
Estabilidade e resposta no tempo 51
k
= 0
k
"
a
1-1
R
I
Figura 4.12: LR, aso disreto, para o exemplo 1.
a > 0
b > 0
k
> 0
9
>
=
>
;
! jzj < 1) ja k
bj < 1
A desigualdade 1 < a k
b < 1 pode ser analisada por partes omo mostrado a
ontinua~ao
1 a < k
b
k
b < a+ 1
k
0
a k
b < 1
a 1 < k
b
k
>
a 1
b
g < 0
De onde de deduz que o valor maximo do ganho do ontrolador e
k
max
=
a+ 1
b
Note que no aso ontnuo, i.e. para G(s) =
K
1+s
, K
max
! 1 sem que o sistema
pera a sua estabilidade. O LR para o aso ontinuo e mostrado na Fig.4.13.
A quest~ao que surge e porque os dois asos s~ao diferentes?. A resposta reside em que
o sistema amostrado esta em "malha aberta"entre amostras, ent~ao se o ganho for alto
perde-se o ontrole da variavel.
Exemplo 2:
Seja o sistema de segunda ordem
G(s) =
k
(1 + s
1
)(1 + s
2
)
Estabilidade e resposta no tempo 52
1
k
!1
I
R
Figura 4.13: LR, aso equivalente ontnuo, para o exemplo 1.
a orrespondente fun~ao de transfere^nia disreta G(z) e
BoG(z) =
k
d
(z z
0
)
(z a)(z b)
O ajuste do ontrole proporional sera realizado utilizando o metodo do LR. Para isto
determinamos a equa~ao araterstia do sistema:
1 +
k
k
d
(z z
0
)
(z a)(z b)
= 0
Assumindo os seguintes valores para os para^metros do sistema: k = 1;
1
= 2;
2
= 3;
T = 0; 3; k
d
= 0:0069; z
0
= 0; 92; a = 0:86; b = 0; 9, onstrue-se o LR quando da
varia~ao do para^metro k
, omo mostrado na Fig.4.14.
0.86 0.9
0.92
K
max
(estav)
1
I
R
-1
Figura 4.14: LR para o aso disreto do exemplo 2.
Vamos a determinar o valor maximo do ganho do ontrolador (k
max
), para o qual o
sistema perde a estabilidade.
(z a)(z b) + k
k
d
(z z
0
) = 0
Estabilidade e resposta no tempo 53
Denindo k
k
d
= k
1
, tem-se
(z
2
1:76z + 0:774 + k
1
z + 0:92k
1
) = 0
z
2
+ (k
1
1:76)z + (0:774 + 0:92k
1
) = 0:
Devemos resolver esta equa~ao determinando as suas razes para diferentes valores de
k
1
. De tal forma que: se as razes enontradas pertenem ao rulo unitario (jzj < 1),
ent~ao o sistema sera estavel. Caso ontrario o sistema e instavel. No limite entre estas
duas situa~oes se tem a estabilidade rtia para K
max
. Para os valores aima oloados
se tem que K
max
= 44:2.
Se omparamos om o aso ontnuo, o orrespondente LR e mostrado na Fig.4.15.
Note que, para o aso ontnuo, k
max
!1.
R
I
1
2
1
3
Figura 4.15: LR para o aso equivalente ontnuo do exemplo 2.
4.5 Conlus~oes
Os oneitos de estabilidade disutidos neste aptulo s~ao de importa^nia fundamental
para o desenvolvimento do projeto de ontroladores. A partir do estudo da estabilidade
riou-se a base teoria para a abordagem dos problemas de ontrole. Como ja foi disutido
anteriormente a aloa~ao de polos e zeros no plano omplexo permitira estabeleer a
dina^mia da resposta de MF do sistema. Assim as ferramentas de LR e de resposta
em freque^nia permitiram n~ao somente analisar a estabilidade mas tambem auxiliar no
projeto do ontrole.
Captulo 5
Funionamento de sistemas em
regime permanente
A maioria dos proessos de gera~ao de energia ou de produtos (energia eletria,
industria qumia, era^mia et) opera em regime permanente durante a maior parte
do tempo. Isto e, xa-se um ponto de opera~ao para o sistema e trabalha-se nele por
grandes perodos de tempo. Devido a isto, o estudo de tenias de ontrole que permitam
garantir estas araterstias de funionamento e de grande importa^nia. Neste aptulo,
analisaremos o problema e iniiaremos o estudo dos aminhos de solu~ao.
5.1 Funionamento no regime permanente
Nos ambientes industriais, os dois tipos de problemas de ontrole mais importantes
s~ao: o seguimento de sinais (problema de servomeanismo) e a rejei~ao de perturba~oes
(problema de regula~ao) (vide Fig.5.1).
Ref
T
C B
0
Proesso
yu
Perturba~ao
Sada
Erro
-
+
Figura 5.1: Sistemas de ontrole sujeito a varia~oes de arga e mudanas de refere^nia.
Nos problemas de ontrole os sinais mais omuns s~ao do tipo degrau ou rampa. Por
exemplo em opera~oes de "liga-desliga"(vide Fig.5.2b) de sistemas ou em etapas de ini-
ializa~ao ("start-up") do sistema (vide Fig.5.2b). Na maioria dos asos, os sistemas de
ontrole em regime permanente tem dois objetivos prinipais:
Funionamento de sistemas em regime permanente 55
x
liga - desliga
x
t
lenta
varia~ao
t
Figura 5.2: a) sinal tipo degrau; b) sinal rampa.
rejeitar as perturba~oes de arga;
aompanhar ou seguir a refere^nia om erro nulo ou onstante.
Para alanar estes objetivos, e sempre que a planta no possua integradores proprios,
se faz neessario utilizar uma a~ao do tipo integral no ontrole. Em geral, observa-se que,
para se obter erro nulo em regime permanente, e neessario que a fun~ao de transfere^nia
de malha aberta possua os modos dos sinais de refere^nia e perturba~ao a que o sistema
seria submetido. Este tipo de resultado pode ser failmente demonstrado apliando o
teorema do valor nal de Laplae sobre o sinal do erro do sistema. Portanto deixamos
a argo do leitor a demonstra~ao analtia deste enuniado, assim omo dos oloados a
seguir.
Se o objetivo for rejeitar argas ou seguir sinais de refere^nia do tipo degrau ent~ao
sera neessario utilizar um integrador na malha de ontrole. Para o aso de sinais tipo
rampas sera neessario utilizar dois integradores. A utiliza~ao de a~oes integrais na malha
de ontrole estabeleera um ompromisso om a estabilidade do sistema, que logiamente
devera ser estudada quando do projeto do ontrolador.
Exemplo 1: (seguimento de degraus) Controle PI
C(z) = k
(z z
0
)
(z 1)
z
0
e k
ajustam-se para transitorio
U(z)
E(z)
=
k
z k
z
0
z 1
=
k
k
z
0
z
1
1 z
1
U(z) U(z)z
1
= k
E(z) k
z
0
z
1
E(z)
U(k) U(k 1) = k
e(k) k
z
0
e(k 1)
Funionamento de sistemas em regime permanente 56
U(k) = U(k 1) + k
e(k) k
z
0
e(k 1)
| {z }
Quando o erro for zero (e(k) = e(k 1) = 0) ent~ao o ontrole mantem-se onstante
(u(k) = u(k 1)).
Exemplo 2 (seguimento de rampas) Controle PI Duplo
C(z) = k
(z z
1
)
(z 1)
(z z
2
)
(z 1)
Os para^metros k
, z
1
e z
2
s~ao ajustados para veriar as espeia~oes da resposta
transitoria.
Ref
gera uma rampa
Com entrada degrau o PI
2
gera sinal degrau
Com erro zero o PI
1
u
B
0
PPI
2
PI
1
y
Sada
Erro
-
+
Figura 5.3: Diagrama de bloos do sistema de ontrole om dois ontroladores PI em
asata.
Com erro zero, o primer ontrolador PI gera um sinal de ontrole tipo degrau. Com
esta entrada degrau, o segundo bloo PI gera uma rampa.
Exemplo 3: Seja o sistema de ontrole de malha fehada representado na Fig.5.4, onde
o proesso e BoG(z) =
0:1
z 0:9
e o ontrolador disreto C(z).
C(z)
r
p
-
+
y
+
+
Bog(z)
Figura 5.4: Diagrama de bloos do sistema de ontrole para o exemplo 3.
Ajustar C(z) para:
Funionamento de sistemas em regime permanente 57
a) rejeitar perturba~ao p tipo degrau e obter resposta sem osila~oes;
b) seguir uma rampa de ref(r) om erro zero, e om transitorio pouo osilatorio.
a) Usar um ontrolador om 1 integrador (representado pelo polo em z = 1)
C(z) = PI = k
(z z
0
)
(z 1)
e ajustar k
e z
0
utilizando o Lugar de Razes no plano Z. Se n~ao se utiliza o zero do
ontrolador z
0
ent~ao o LR resultante e mostrado na Fig.5.5. Note que para um dado valor
do ganho do ontrolador k
= k
0
, o sistema se torna instavel. Considerando o zero do
1
-1
R
I
0.9
C(z) =
k
z 1
N~ao usar z
0
somente k
Figura 5.5: LR para o exemplo 3 sem o zero do ontrolador.
ontrolador, o diagrama do LR se modia segundo apresentado na Fig.5.5. Observa-se
1-1 R
I
0.9
C(z) =
k
z 1
Usar z
0
e k
Figura 5.6: LR para o exemplo 3 om o zero do ontrolador.
que utilizando z
0
e k
se onsegue uma resposta mais rapida do sistema.
b) Para seguir uma rampa om erro nulo e om resposta transitoria pouo osilatoria
e neessario oloar 2 integradores no denominador de C(z) (para ter erro nulo) e dois
Funionamento de sistemas em regime permanente 58
zeros no numerador de C = (z) para atender as espeia~oes transitorias.
C(z) =
k
(z z
1
)(z z
2
)
(z 1)
2
O orrespondente diagrama do LR e mostrado na Fig.5.7.
1
-1
R
I
0.9
Figura 5.7: LR para o exemplo 3, parte b).
O ajuste nal de K
, z
1
e z
2
e realizado usando programas de omputador e simula~ao.
5.2 Conlus~oes
Neste aptulo foram estudados os problemas de funionamento em regime permanente
mais enontrados na pratia. Os resultados deste estudo ser~ao a base de onstru~ao dos
ontroladores que disutiremos nos aptulos seguintes.
Captulo 6
Projeto de ontroladores disretos
A diferena da eletro^nia analogia, os omputadores digitais n~ao podem exeutar
fun~oes de integra~ao. Portanto as equa~oes difereniais que desrevem um ontrolador
ontinuo C(s) devem ser aproximadas utilizando equa~oes a diferenas que envolvem
somente termos de adi~ao e multiplia~ao. Neste aptulo estudaremos este problema de
aproxima~ao e introduziremos as prinipais tenias de Projeto de Controladores Digitais
(ou disretos).
Basiamente estudaremos duas tenias de projeto de ontroladores disretos:
por aproxima~oes (ou emula~ao);
projeto disreto ou direto.
6.1 Metodo de projeto por aproxima~oes
Esta tenia onsiste em projetar um ontrolador ontinuo C(s) para uma determinado
proesso, utilizando ferramentas do domnio ontinuo e, em um segundo passo, transladar
o ontrolador do domnio ontnuo ao disreto , mediante aproxima~oes, obtendo assim o
ontrolador disreto C(z).
O ontrolador ontinuo C(s) e aproximado mediante equa~oes a diferena obtidas
atraves de diferentes metodos, omo por exemplo: o metodo de Euler, de Tustin ou
bilinear, aproxima~ao zero-polo, et. A seguir s~ao apresentados os prinipais metodos de
aproxima~ao utilizados na pratia.
Projeto de ontroladores disretos 60
6.1.1 Metodo de Euler
Este metodo basiamente onsiste na aproxima~ao da derivada de x(t) pela seguinte
express~ao matematia:
_x
=
x(k + 1) x(k)
T
Exemplo 1: Dado o ontrolador
C(s) =
U(s)
E(s)
= K
s + a
s+ b
projetado a partir de ferramentas de projeto para sistemas ontnuos, pode-se obter a
seguinte express~ao
U(s)(s+ b) = k
(s+ a)E(s)
e apliando a transformada de Laplae inversa, tem-se
_u(t) + b u(t) = k
_e(t) + k
a e(t) = k
( _e(t) + a e(t)):
Apliando a aproxima~ao de Euler as derivadas _u(t) e _e(t), obtem-se
u(k + 1) u(k)
T
= b u(k) = K
e(k + 1) e(k)
T
+ a e(k)
om o qual a lei de ontrole na forma de equa~oes a diferenas e
u(k + 1) = u(k) + T
b u(k) +K
e(k + 1) e(k)
T
+ a e(k)
ou atrasando 1 perodo de amostragem
u(k) = u(k 1) + T
b u(k 1) +K
e(k) e(k 1)
T
+ a e(k 1)
Observa~ao: Vide omo o perodo de amostragem T inuenia a equa~ao a diferenas
afetando o valor dos oeientes da lei de ontrole. Este e outro fator importante na
esolha do T .
Projeto de ontroladores disretos 61
O algoritmo de ontrole que permite implementar a lei de ontrole e
Ler y(k), y
r
(k)
Calular e(k) = y
r
(k) y(k)
Calular u(k) = u(k1)+T
b u(k 1) +K
e(k) e(k 1)
T
+ a e(t)
Limitar u(k) aos valores maximos (U
max
; U
min
)
Apliar u(k)
Atualizar variaveis u(k 1) = u(k), e(k 1) = e(k)
Espera ate ompletar T seg.
Este algoritmo exeuta-se a ada T segundos via interrup~oes ou mediante "pooling".
Exemplo 2: Seja
G(s) =
1
s(s+ 1)
um proesso de segunda ordem om 1 polo na origem do plano S (1 integrador) e seja
C(s) = 70
(s+ 2)
(s+ 10)
um ontrolador (ompensador de avano) projetado utilizando ferramentas lassias.
Apliando o metodo anterior, a disretiza~ao do ontrolador ontnuo nos permite
enontrar o ontrole disreto (ja na forma de equa~oes a diferenas)
u(k + 1) = u(k)(1 10T ) + 70 [e(k + 1) + (2T 1)e(k)
ou atrasando 1 perodo de amostragem
u(k) = u(k 1) + T
10u(k 1) + 70
e(k) e(k 1)
T
+ 2e(k)
Se a freque^nia de amostragem for f =
1
T
= 20 Hz ! T = 0:05 seg, ent~ao
u(k) = 0:5u(k 1) + 70 [e(k) 0:9e(k 1)
Entretanto, se for f =
1
T
= 40 Hz ! T = 0:025 seg., temos
Projeto de ontroladores disretos 62
u(k) = 0:75u(k 1) + 70 [e(k) 0:95e(k 1)
Reserva-se ao leitor a tarefa de obter resultados de simula~ao omparando as duas leis
de ontrole aima determinadas. Devendo veriar a seguinte observa~ao:
Observa~ao: Com f = 40 Hz (aproximadamente 30 vezes a largura de banda do
proesso) o sistema disreto se omporta essenialmente omo no aso ontnuo, no entanto
om f = 20 Hz (aproximadamente 15 vezes) a resposta se degrada. Conlus~ao f 20f!.
6.1.2 Metodo de Tustin (ou Bilinear)
Seja o seguinte ontrolador ontnuo:
C(s) =
U(s)
E(s)
=
1
s
de onde tem-se que
U(s) =
1
S
E(s)
ou no tempo
u(t) =
Z
t
0
e(t)dt:
Operando no domnio do tempo disreto pode-se oloar a equa~ao anterior omo
u(kT ) =
Z
(k1)T
0
e(t) dt+
Z
kT
(k1)T
dt
ou
u(kT ) = u[(k 1)T + area baixo e(t) no perodo T .
Utilizando uma aproxima~ao retangular para a area baixo a urva obtem-se a seguinte
equa~ao a diferenas
u(kT ) = u[(k 1)T +
T
2
[e((k 1)T ) + e(kT )
ou eliminando T das express~oes das variaveis
u(k) = u(k 1) +
T
2
[e(k 1) + e(k) :
Projeto de ontroladores disretos 63
Apliando a transformada Z, hega-se a
U(z) = U(z)z
1
+
T
2
E(z)(1 + z
1
)
om o qual a fun~ao de transfere^nia disreta do ontrolador e
C(z) =
U(z)
E(z)
=
T
2
(1 + z
1
)
(1 z
1
)
=
1
2
T
1
(1z
1
)
(1+z
1
)
:
Comparando esta ultima express~ao om a do ontrolador ontnuo
C(s) =
1
s
se deduz a aproxima~ao Bilinear ou de Tustin:
s
=
2
T
(1 z
1
)
(1 + z
1
)
=
2
T
(z 1)
(z + 1)
Apliando esta aproxima~ao (substituir s pela express~ao aima) diretamente sobre a
equa~ao de um dado ontrolador ontnuo obtem-se o ontrolador disreto.
6.1.3 Metodo de aproxima~ao Zero-Polo
Basiamente este metodo onsiste em:
1. mapear polos e zeros de C(s) em C(z) utilizando a rela~ao z = e
sT
;
2. se o polino^mio do numerador for de menor ordem que o polino^mio denominador,
ent~ao adiionar termos (1 + z
1
) ao numerador ate que os dois tenham a mesma
ordem;
3. oloar o ganho estatio de C(z) igual ao de C(s)
Exemplo 3: Seja o ontrolador
C(s) = k
C
(s+ a)
(s+ b)
:
Projeto de ontroladores disretos 64
Mapeando-se polos e zeros, obtem-se
C(z) = k
D
(z e
aT
)
(z e
bt
)
e igualando os ganhos estatios, tem-se
k
C
a
b
= k
D
1 e
aT
1 e
bT
k
D
= k
C
a
b
(1 e
bT
)
(1 e
aT
)
om o qual
C(z) = k
D
(1 e
aT
z
1
)
(1 e
bT
z
1
)
= k
D
(1 z
1
)
(1 + z
1
)
=
U(z)
E(z)
U(z)(1 + z
1
) = k
D
E(z)(1 z
1
):
Apliando a transformada Z inversa se hega a express~ao em equa~oes a diferenas do
ontrolador disreto
U(k) = u(k 1) + k
D
[e(k) e(k 1)
6.1.4 Metodo aproxima~ao zero-polo modiado
Este metodo e uma variante do metodo de aproxima~ao polo-zero e se utiliza quando
o suporte de hardware n~ao permite trabalhar om tempos de alulo t
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