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Ano letivo: 2012-2013
Teste Intermédio de Matemática B
11º Ano de Escolaridade
Duração do teste: 90 minutos 24 de Maio de 2013
Curso Tecnológico de Gestão e Dinamização Desportiva
Curso Tecnológico de Química Industrial e Ambiental
Curso Tecnológico de Informática
Curso Tecnológico de Mecânica
Curso Tecnológico de Informática de Gestão
Curso Tecnológico de Contabilidade e Gestão
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Utiliza apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, exceto nas respostas que impliquem construções, desenhos ou outras representações, que podem ser primeiramente feitos a lápis e a seguir passados a tinta.
Utiliza a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que for necessário.
Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deves riscar de forma inequívoca aquilo que pretendes que não seja classificado.
Escreve de forma legível a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respetivas respostas. As repostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos.
Para cada item, apresenta apenas uma resposta. Se escreveres mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.
Em todas as respostas, indica todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias.
Sempre que, na resolução de um problema, recorreres à calculadora, apresenta todos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente:
sempre que recorreres às capacidades gráficas da tua calculadora, apresenta o(s) gráfico(s) obtido(s), bem como as coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos de interseção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);
sempre que recorreres a uma tabela obtida na tua calculadora, apresenta todas as linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto.
A prova inclui um Formulário na página 8.
As cotações dos itens encontram-se na página 8.
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GRUPO I
Na figura 1 está representado, num referencial o.n xOy , o círculo trigonométrico.
Os pontos A , B , C e D são os pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados do
referencial.
Considera que um ponto P se desloca ao longo do arco BC , nunca coincidindo com B nem com C .
Para cada posição do ponto P , seja Q o ponto do arco AB que tem ordenada igual à ordenada do
ponto P e seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa igual à abcissa do ponto Q .
Seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo
Ox e por lado extremidade a semirreta OP
2 , .
1. Mostra que a área do trapézio [OPQR] é dada, em função de , por 32 sin cos .
2. Recorrendo à tua calculadora gráfica, determina o valor de para o qual a área do trapézio é
máxima.
Apresenta o resultado arredondado à décima do radiano.
Figura 1
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GRUPO II
No dia nove de maio, a temperatura do ar, na cidade
de Amarante, era dada, em graus Celsius,
aproximadamente, por
818 8 12A
tt sin
, com 0 24t
e, nesse mesmo dia e também em Amarante, mas no
interior da casa da Beatriz, a temperatura, em graus
Celsius, era dada, aproximadamente, por
1020 3 12
tB t sin
, com 0 24t
em que t representa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas do dia nove de maio.
Nota: o argumento da função seno, tanto em A como em B, está expresso em radianos.
1. Determina entre que horas, desse dia, a temperatura do ar em Amarante foi superior a 18 graus
Celsius.
2. Determina durante quanto tempo, no dia nove de maio, a temperatura do ar no exterior da casa
da Beatriz foi superior à temperatura no seu interior.
Apresenta o resultado em horas e minutos, minutos arredondados às unidades.
Resolve o problema recorrendo às capacidades gráficas da tua calculadora.
Apresenta o gráfico, ou gráficos, que tenhas visualizado na calculadora, bem como as
coordenadas, arredondadas às centésimas, dos pontos que considerares relevantes para resolver
o problema.
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GRUPO III
Na figura 2, está representada, num referencial o.n.
xOy , parte da hipérbole que é o gráfico de uma
função f .
O gráfico da função f interseta o eixo Ox no ponto
de abcissa 1 .
As retas de equações 1x e 2y são as assíntotas
do gráfico da função f .
1. Responde aos dois itens seguintes sem efetuar cálculos, ou seja, recorrendo apenas à leitura
do gráfico da função f , apresentado na figura 2.
1.1. Indica o contradomínio da função f .
1.2. Copia para a tua folha de respostas as expressões seguintes e de seguida completa-as de
modo a obteres afirmações verdadeiras.
xlim f x ______
; 1x
lim f x ______
e 1x
lim f x ______
2. Seja g a função, de domínio , definida por 3 9g x x .
Tendo em conta o gráfico de f (ver figura 2) e a expressão analítica de g , resolve a
inequação 0gf x x , completando o seguinte quadro de variação de sinal, que deves
transcrever para a tua folha de respostas.
x
f x
g x
gf x x
Apresenta o conjunto solução da inequação na forma de reunião de intervalos de números reais.
3. Escreve f x na forma ba x c
, com a,b,c .
Figura 2
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GRUPO IV
O Diogo foi operado a um ligamento do joelho e começou a tomar um analgésico, o ANTIDOR, hoje,
às 9 horas da manhã.
A concentração do ANTIDOR no sangue, x horas depois de ser administrado, é dada, em
miligramas por litro (mg/L) de sangue, por
22
3 1xx
x
A , com 0x .
Para um caso como o do Diogo, o ANTIDOR só produz efeito, ou seja, só elimina a dor, se a
concentração no sangue for superior a 0 3, mg/L.
1. Verifica se às 9 horas e 15 minutos, o ANTIDOR já estava a fazer efeito.
2. Para que o ANTIDOR seja considerado um analgésico eficaz, deve começar a fazer efeito, no
máximo, 10 minutos depois de ser administrado e deve eliminar a dor durante, pelo menos, duas
horas.
Averigua se o ANTIDOR pode ser considerado um analgésico eficaz.
Resolve o problema proposto, recorrendo às capacidades gráficas da tua calculadora.
Deves incluir, obrigatoriamente, na tua resposta os seguintes tópicos:
o tempo, em minutos, que o medicamento demora a fazer efeito
o tempo, em horas e minutos, durante o qual o medicamento faz efeito
a conclusão acerca da eficácia do medicamento
Em cálculos intermédios, conserva duas casas decimais.
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GRUPO V
A Maria vai sempre de carro, com o pai, para o Colégio, saindo de casa entre as oito e as oito e meia
da manhã.
Admite que, quando a Maria sai de casa t minutos depois das oito horas, a duração da viagem, em
minutos, é dada por
2500044
275t
t
d , com 0, 30t
As aulas da Maria começam sempre às nove horas.
1. Mostra que, se a Maria sair de casa às 8 h e 15 min, chega ao Colégio às 8 h e 49 min, mas, se
sair de casa às 8 h e 25 min, já chega atrasada ao Colégio.
2. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, resolve o seguinte problema:
Até que horas pode a Maria sair de casa, de modo a não chegar atrasada às aulas?
A tua resolução deve incluir:
uma explicação de que, para a Maria não chegar atrasada às aulas, é necessário
que 60t t d ;
o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora;
a resposta ao problema em horas e minutos, minutos arredondados às unidades.
FIM
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Formulário
Geometria
Perímetro do círculo: 2 r , sendo r o raio do círculo
Áreas
Paralelogramo: Base Altura
Losango: Diagonal maior Diagonal menor2
Trapézio: Base maior Base menor Altura2
Círculo: 2r , sendo r o raio do círculo
Volumes
Prisma e cilindro: Área da base Altura
Pirâmide e cone: 13
Área da base Altura
Esfera: 343 r , sendo r o raio da esfera
Cotações
GRUPO I GRUPO II GRUPO III GRUPO IV GRUPO V
1. ………… 20 1. ………… 17 1.1 ………… 8 1. ………… 15 1. ………… 17
2. ………… 16 2. ………… 18 1.2 ………… 12 2. ………… 21 2. ………… 21
2. ………… 20
3. ………… 15
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