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Rendas em regime de juro composto

INTRODUÇAO

Neste trabalho vamos abordar um conceito que surgiu no âmbito da disciplina de Calculo Financeiro leccionada no 1º ano de licenciatura de Informática de Gestão, com este trabalho pretendemos ficar a perceber melhor o que são Rendas em Regime de Juro Composto.Neste trabalho vamos explicar o que são rendas e todos os conceitos relacionados com as mesmas em Valor Actual e em Valor Acumulado, tentar perceber todas as fórmulas para que melhor consigamos resolver os exercícios e saber calcular todo o tipo de rendas.

Rendas em regime de juro composto

Definição de rendas

As rendas são um conjunto de capitais, constantes ou não, com vencimentos

equidistantes, no tempo. Cada um desses capitais designa-se habitualmente, de

“termo de Renda”.

Rendas são um conjunto de capitais que ocorrem em momentos com o mesmo

intervalo de tempo. Cada um dos capitais designa-se por termo de renda. Cada

intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos dá-

se o nome de período de renda.

As rendas podem ser classificadas de acordo com muitos critérios. Podem ser

classificados quanto ao período da renda, quanto ao valor dos seus termos, quanto ao

momento de referência e quanto ao vencimento dos termos.

Rendas em regime de juro composto

Quanto aos termos, podem ser:

- Certas – são aquelas em que a duração do seu serviço não depende de qualquer

eventualidade, isto é, a disponibilidade dos seus termos é absoluta segundo critérios

previamente estabelecidos.

- Temporárias – se os seus termos se encontram num intervalo de tempo finito. (ex.

prestação de um electrodoméstico)

- Perpétuas ou Perpetuidades – se a sua duração é ilimitada. (ex. determinada

prestação que recebo até à morte.

- Aleatórias ou incertas – neste tipo de rendas, a disponibilidade dos seus termos

depende de circunstâncias não previstas, isto é, aquelas em que o começo ou o fim do

serviço é impreciso e dependente de algum acontecimento externo, imprevisível (ex:

um seguro de vida – a sua duração não é certa, ou seja, não sabemos o seu inicio e

fim).

- Constantes ou termos constantes – são aquelas em que todos os pagamentos são

iguais.

- Termos Variáveis – são aquelas em que os pagamentos não são todos iguais.

Quanto aos períodos, podem ser:

- Inteiras – são aquelas em que cada termo está disponível no momento da

capitalização.

- Fraccionadas – são aquelas em que cada termo está dividido em sub-termos,

encontrando-se disponíveis em sub-períodos de cada período inteiro da taxa.

Quanto ao momento de referência, podem ser:

- Renda Imediata – são aquelas que são recebidas desde a origem, isto é, aquelas em

que o primeiro serviço reporta-se ao período, cujo o início se situa o valor actual da

renda.

Rendas em regime de juro composto

- Renda Diferida – são aquelas em que o primeiro serviço respeita a um período que é

posterior àquele em que se situa o valor actual da renda.

Tanto as rendas imediatas, como as rendas diferidas podem ser classificadas por:

- Postecipadas ou de Termos Normais – são aquelas em que os seus termos estão

disponíveis no fim de cada período.

- Antecipados ou de Termos Antecipados – são aquelas em que os seus termos estão

disponíveis no início de cada período.

Este tipo de rendas também é classificado quanto ao vencimento dos termos.

CÁLCULO DOS VALORES DE UMA RENDA

O valor de uma renda depende do momento que se toma por referência, vamos

passar a explicar:

-O valor actual é o valor duma renda referida ao início do primeiro período e é

constituído pela soma dos valores actuais de cada um dos termos, também referidos

ao início do primeiro período. É, assim, o capital único de todos os termos.

-O valor acumulado é o valor da renda referido ao fim do último período e é constituído

pela soma dos valores acumulados de cada um dos seus termos, também referidos ao

fim do último período.

-O valor duma renda num ponto intermédio da sua vigência – e havendo que

considerar todos os seus termos – obrigará, por via dos conceitos anteriores, ao

cálculo dos valores acumulados dos termos vencidos e ao cálculo dos valores actuais

dos termos vincendos, sendo todos os valores referidos ao ponto intermédio.

-O valor de uma renda num ponto intermédio da sua vigência – e havendo que

considerar apenas os termos futuros – é constituído pela soma dos valores actuais,

referidos a esse momento (ponto intermédio), de cada um dos termos vincendos. É,

assim, o capital único dos termos vincendos.

Rendas em regime de juro composto

Rendas certas, inteiras, de termos constantes:

Vão ser apenas considerados rendas de termos unitários e iremos analisar dois

aspectos essenciais tais como:

- Capitalizações no fim de cada período

- Capitalizações em sub-períodos de cada período inteiro

Rendas imediatas com n termos normais e unitários

Estas rendas são as mais importantes pois são as mais simples e todas as

outras rendas podem-se converter nestas, ou seja, podem ser transformadas em

rendas imediatas, de termos inteiros e normais. Este tipo de renda é composta por n

termos iguais que se vencem no respectivo período.

Com capitalizações no fim de cada período

T T T T T termos

0 1 2 ….. n - 1 n períodos

Nesta recta temporal temos representado termos unitários (1 capital) e temos também

os períodos referentes a cada termo. A cada período corresponde uma taxa (i). Neste

tipo de renda como é uma renda imediata o pagamento é feito no inicio do primeiro

período.

Rendas em regime de juro composto

Cálculo do valor actual:

O valor actual de uma renda certa, temporária, imediata e inteira com n termos

normais e unitários representa-se por .

Neste caso o número de termos

coincide com o número de período

1 1 1 1 1

0 1 2 ….. n - 1 n

(1 + i)

(1+i)

Então:

Sendo,

Temos então:

Rendas em regime de juro composto

Nesta fórmula está a ser considerado o T como sendo igual a 1; Para calcularmos o

valor actual de uma renda imediata, iremos utilizar o valor referido ao início do 1º

período e somamos todos os termos actualizando-os para o período que estamos a

utilizar.

Termos não unitários mas iguais a T temos a seguinte formula:

Ou seja: T =

a – representa o valor actual;

i – a taxa aplicada

n – o numero de termos

T – o valor da renda, t 1

No caso de ser uma renda perpétua imediata de termos normais e unitários temosa

seguinte formula:

Nesta fórmula podemos verificar que o n pode ser infinito ou seja, podemos ter um

número infinito de termos.

Rendas em regime de juro composto

Valor acumulado

O valor acumulado é a soma dos valores acumulados ou capitalizados de todos os

termos

0 1 2 n - 1 n

(1+i)

Neste esquema podemos verificar o valor acumulado de cada termo da renda.

Formula:

Logo, =

i - taxa

n- número de termos

S- valor acumulado.

Podemos concluir que o valor acumulado é o valor actual capitalizado no fim do prazo

da mesma forma que o valor actual é igual ao valor acumulado actualizado para o

início da renda.

Rendas em regime de juro composto

Rendas imediatas com n termos normais e unitários e capitalizações em sub- períodos

de cada período inteiro:

A resolução do problema é igual apenas com alguns pormenores que devem ser

tidos em atenção:

- Neste caso não há coincidência da taxa com o período da renda sendo a

taxa inferior ao período da capitalização pois há períodos intermédios;

- Neste caso temos também que calcular a taxa efectiva relativa ao período da

renda para nos podermos situar nas rendas inteiras visto serem mais fáceis.

1 1 1 1

0 1 2 ,,,, n-1 n

i = (1+ ) -1

Está-se a calcular a taxa efectiva para um período sendo esta a formula a utilizar.

Valor actual

Para calcular o valor actual são necessários alguns passos:

Sabemos o valor actual da renda, sabemos também que a formula a utilizar para

calcular a taxa efectiva é a anteriormente referida. Então vamos substituir na

formula, utilizada para calcular o valor actual, o (i) da taxa de juro pela formula que

utilizamos para calcular a taxa efectiva. Tendo como formula final o valor actual

calculada com a taxa efectiva.

Rendas em regime de juro composto

Formula:

Com:

Vem:

Temos como fórmula

a – valor actual,

n - Número de periodos inteiros,

i –taxa efectiva referida a um período,

- taxa nominal referida a um período com m capitalizações no período

m: número de capitalizações por período ou frequência de capitalizações

Rendas em regime de juro composto

1 1 1

0 … 1 1+ 1+ 2 …n

m – representa o número de capitalizações por período. Neste caso é possível

verificar que existem capitalizações em sub-períodos, isto é, vão existir varias

capitalizações dentro de um so período.

Cálculo do valor actual com m capitalizações:

Rendas em regime de juro composto

Através desta fórmula vamos calcular o valor actual tendo em conta a taxa nominal

. O cálculo será feito através do produto entre o valor actual (utilizando o mesmo

número de termos igual ao total das actualizações e utilizando também a taxa

proporcional ) e o inverso do valor acumulado.

Valor acumulado

Formula:

Rendas em regime de juro composto

Esta fórmula vem da junção da taxa efectiva com o valor acumulado, isto é, na fórmula

substituímos a nossa taxa (i) pela taxa o nominal de onde surge a formula.

Contudo ao escrevermos os termos por uma ordem inversa e utilizando o mesmo

esquema que utilizamos para demonstrar o valor actual iremos obter o mesmo

resultado ou seja:

Ao escrever os títulos por ordem inversa fica:

Rendas em regime de juro composto

Fórmula final:

Com esta formula vamos calcular o valor acumulado tendo em conta o numero de

termos (n) e a taxa efectiva i(m). Esse calculo é feito através do produto entre o valor

acumulado utilizando a taxa proporcional e o valor acumulado que tem o numero

de capitalizações iguais ao numero de termos.

Rendas imediatas com n termos antecipados e unitários

Rendas com capitalizações no fim de cada período

Neste caso o pagamento das rendas começa a ser efectuado no início do primeiro

período (0) e termina no momento (n-1) sendo que o ultimo período da renda termina

em n, tal como podemos verificar na recta temporal a seguir:

1 1 1 1

Rendas em regime de juro composto

0 1 2 n – 1 n

Nesta recta vemos que o pagamento é efectuado no início de cada período, ou seja o

primeiro termo vence-se no momento zero e corresponde ao período (0,1) e o ultimo

termo vence se no momento n-1 correspondendo ao período de tempo (n, n-1),

havendo capitalizações no fim de cada período da renda.

Valor actual

O valor actual deste tipo de rendas representa-se . O n e o i tem o mesmo

significado que nas rendas anteriores.

Formula:

E ainda:

Nesta fórmula verifica-se a ligação entre o valor actual da renda de termos

antecipados e o valor actual da renda de termos normais. Há também outra ligação

importante nesta fórmula que é a divisão da renda antecipada em duas: uma parte que

Rendas em regime de juro composto

é constituída pelo 1º termo que vence no momento zero, outra constituída pelos

restantes termos em que o primeiro se vence no momento um e o ultimo em (n-1). O

valor actual destes termos no momento zero tal como podemos verificar na

fórmula.

Valor acumulado

O valor acumulado representa se por e tal como nas rendas de termos

normais, o seu valor advêm da capitalização do valor actual para o fim do ultimo

período.

Formula:

Formula final:

Por aqui concluímos que para calcularmos o valor acumulado de uma renda com n

termos antecipados e unitários é apenas necessário multiplicar o valor actual de uma

renda igualmente de n termos antecipados e unitários ao valor actual de n termos.

Rendas em regime de juro composto

Rendas com capitalizações em sub-períodos

Se existirem capitalizações em sub-períodos de cada período inteiro para

calcular o valor actual e o valor acumulado iremos utilizar as mesmas formulas que

utilizamos nas rendas imediatas de termos normais.

Rendas diferidas com n termos normais e unitários

Antes de falarmos das rendas diferidas convêm distingui-las das rendas imediatas.

1 1 1

0 1 2 ….. n-1 n

Por este esquema pode-se observar que nas rendas diferidas o primeiro pagamento será efectuado no momento um, ou seja, o primeiro pagamento será feito no período (1,2), o período seguinte em que se situa o valor actual, e o ultimo será efectuado em (n -1) sendo uma renda de termos antecipados mas diferida de um período.

1 1 1

0 4 5 6 ….. n+4

Nas rendas diferidas postecipadas o pagamento é feito num determinado número de períodos após aquele em que se situa o valor actual aqui como podemos

Rendas em regime de juro composto

analisar através do esquema, o pagamento é feito no momento 5 que é referente ao período (4,5), logo podemos concluir que o prazo de diferimento desta renda é de 4 períodos.

Vamos calcular o valor actual e o valor acumulado de uma renda diferida de k

períodos com n termos normais e unitários e capitalizações apenas no fim de cada

período inteiro.

Cálculo do valor actual

Existem duas formas de calcular o valor actual:

Primeiro vamos analisar as rendas imediatas de termos normais. Primeiro temos

aqui um renda imediata com n termos normais de valor actual igual a . A seguir

actualizamos o valor de k perdoados para se obter o valor actual na origem:

Por esta fórmula vamos obter o valor da renda actual levando em conta que o momento k representa uma renda imediata com n termos normais e unitários de seguida actualizamos o valor de K pelo número de períodos diferidos.

Em segundo temos o valor actual calculado a partir do princípio geral de

actualização termo a termo. Sendo a formula utilizada a seguinte:

Rendas em regime de juro composto

O calculo do valor actual termo a termo será calculado pela mesma formula acima referida.

Cálculo do valor acumulado

A fórmula utilizada é

Em primeiro capitalizamos o valor actual para o fim do ultimo período

Aqui temos uma renda diferida de k períodos cujo valor é calculado para o momento

em que se efectua o ultimo pagamento, logo coincide com o ultimo período da renda.

Depois vamos calcular os valores de cada um dos termos:

Aqui estamos a capitalizar para o último período. Isto é neste caso visto que os valores que pretendemos calcular são calculados no último momento da renda, ou seja coincidente com o ultimo período da renda não existindo momentos diferidos, o valor

Rendas em regime de juro composto

actual será calculado da mesma forma que se calcula na renda normal e unitária com n termos normais e constantes.

RENDAS DIFERIDAS COM N TERMOS ANTECIPADOS E UNITÁRIOS

Cálculo do Valor Actual

A forma mais simples para deduzir a expressão do seu valor é transformar a renda

numa renda de termos normais, mas agora diferida de k-1 períodos.

Também se podia fazer termo a termo:

Cálculo do Valor acumulado

Rendas em regime de juro composto

RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CERTOS E CONSTANTES

Renda temporária está dividida em vários sub-termos, encontrando-se

disponíveis em sub-períodos de cada período inteiro da taxa. Esquematicamente,

considera-se:

T T … T T T … T T … T

0 … 1 1+ …1+ 2 n anos

Período da renda

Período da taxa

Rendas em regime de juro composto

I – a taxa de juro referente a um ano;

n – o número de anos da renda;

12 – o número de serviços da renda em cada ano;

T – o valor de cada prestação mensal e postecipadas;

Cada período da taxa corresponde um termo igual a 12 T, que está dividido em 12

partes iguais, vencendo-se cada uma delas num sub-período (mês) do ano. A renda

de n termos anuais e iguais a 12 T dá origem a uma nova renda com termos e

períodos iguais a 1/ 12 do ano.

RENDAS TEMPORÁRIAS IMEDIATAS DE TERMOS NORMAIS E CONSTANTES

… …. …

0 … 1 … 2 … n anos

Rendas em regime de juro composto

Em geral para rendas de termos unitários de renda inteira, taxa i referida ao período

inteiro, divisão de cada termo em m sub-termos iguais, vencíveis em sub-períodos .

De cada período inteiro. Uma renda temporária constituída por m, n termos iguais a .

e cujo período é .

Valor Actual

O valor actual desta renda representam-se por .

Se o valor de cada termo do período inteiro da taxa não for unitário mas

sim igual a T, o símbolo do valor actual será .

1º Processo: actualização termo a termo

Se for T o valor de cada termo da renda inteira:

Rendas em regime de juro composto

Neste caso estudamos o T como sendo diferente de 1

2º Processo: Alteração da renda temporária em renda de termos inteiros

Este método é de utilização prática na medida em que se trabalha com o tipo de

rendas mais simples.

Para isso é fundamental fazer combinar o período da renda com o período da

taxa e é suficiente convencionar a taxa referida ao sub-período .

O valor da taxa não necessita ser calculado e a sua conexão com a taxa

efectiva é a seguinte:

Valor Acumulado

Representa-se pelo símbolo e a sua expressão resulta a partir dos

mesmos métodos que utilizámos para o cálculo do valor actual

Rendas em regime de juro composto

1º Processo: Capitalização termo a termo para o fim do último

2º Processo: Transformação da renda temporária em renda de termos inteiros

RENDAS TEMPORÁRIA IMEDIATAS DE TERMOS NORMAIS E CONSTANTES COM P CAPITALIZAÇÕES EM CADA PERÍODO INTEIRO

Rendas em regime de juro composto

A existência de capitalizações em cada período pode coincidir ou não conforme

ou , como os vencimentos dos termos 1/m.

Esta situação determina-se na relação de equivalência de taxas:

a taxa nominal relativa ao período inteiro com capitalizações no período.

Consequência das relações:

Valor Actual

Valor Acumulado

RENDAS TEMPORÁRIAS IMEDIATAS DE TERMOS ANTECIPADOS E CONSTANTES

Rendas em regime de juro composto

0 1 n

Neste esquema possuímos uma renda composta por sub-períodos,tal que os termos

são antecipados, ou seja, os termos estão disponíveis no começo de cada período.

Alterando para uma renda inteira:

1+i =

0 1 2 m n-1 m n

Neste esquema está mais uma vez representada uma renda com sub-períodos.

Valor Actual

Fórmula final:

Rendas em regime de juro composto

Valor Acumulado

Fórmula final:

Rendas em regime de juro composto

RENDAS TEMPORÁRIAS DIFERIDAS DE TERMOS NORMAIS E CONSTANTES

0 1 k k+1 k+n

Neste esquema está representada uma renda temporária composta por sub-períodos,

e diferida em que k representa o número de períodos diferidos.

Alterando a renda temporária em renda de termos inteiros:

0 1 … k (0) 1 2 ….. m m+1 m.n

Valor Actual

Formula Final:

Rendas em regime de juro composto

Valor Acumulado

Fórmula final:

À conformidade de casos prévios o valor acumulado não provém do prazo de

diferimento:

RENDAS TEMPORÁRIAS DIFERIDAS DE TERMOS ANTECIPADOS E CONSTANTES

...

Rendas em regime de juro composto

0 1 k

Neste esquema esta apresentada uma renda termos são pagos previamente e são

consumadas varias capitalizações dentro do mesmo período de tempo.

….

0 1 …k - k (0) 1 m.n-1 m.n

Nesta recta esta apresentada a modificação de uma renda temporária em uma renda

de termos inteiros

Valor Actual

Fórmula final:

Rendas em regime de juro composto

Este é o valor da renda no momento k

Actualização de k períodos inteiros para a obtenção do valor actual na origem

Esta expressão corresponde á actualização da renda de termos normais durante k

- períodos.

Valor Acumulado

Fórmula final:

Rendas em regime de juro composto

Valor acumulado no momento m.n

RENDAS PERPÉTUAS OU PERPETUIDADES

Rendas perpétuas são aquelas que a duração é ilimitada, isto não significa

obrigatoriamente que sejam infinitos, apenas que n assuma valores elevados e o

último termo não tenha um aumento expressivo no seu valor. Consequentemente a

taxa de juro exercida também influi, o que indica que a função vai aumentar até

determinado ponto até estabilizar (isto acontece à medida que se afasta da origem).

Este tipo de rendas assume todos os tipos de rendas estudadas previamente, ou seja,

as rendas temporárias.

Assim, as expressões de Valor Acumulado e de Valor Actual, obtém-se a partir

das expressões dos valores das rendas temporárias, calculando o seu limite com n a

tender para infinito.

RENDAS PERPÉTUAS DE TERMOS CONSTANTES

Rendas perpétuas, imediatas, inteiras, de n termos normais, constantes e no

valor de t unidades monetárias

Este modelo de renda é representado pelo símbolo: ou

0 1 2 …… n períodos

Rendas em regime de juro composto

Neste esquema temos representada uma renda perpetua que tende para infinito pois

não se sabe determinar quando termina.

Sendo os termos iguais a T e não unitários, teríamos:

RENDAS PERPÉTUAS, IMEDIATAS, INTEIRAS DE TERMOS ANTECIPADOS, CONSTANTES E

UNITÁRIOS

Esta renda é representada pelos seguintes símbolos: ou

1 1 1 1

0 1 2 n-1 n

neste esquema pode se observar que a renda é perpétua imediata pois o seu primeiro

termo é efectuado no princípio da renda.

Rendas em regime de juro composto

Alcançamos, por fim:

RENDAS PERPÉTUAS, DIFERIDAS, CERTAS E FRACCIONADAS DE TERMOS NORMAIS E

CONSTANTES

A expressão representativa deste tipo de renda, é a seguinte: ou

k – o prazo do diferimento representado em número de períodos inteiros

m – o número de sub-termos em cada termo inteiro e unitário

Vem,

… …

0 1 …. K ….. … k+n

nesta recta temporal apuramos o número de deferimentos apresentado por k,

podemos também verificar que esta renda é temporária.

Rendas em regime de juro composto

Alterando a renda temporária para uma renda inteira:

…. …

0 1 … k( 0) 1 2 … m n

Então,

Rendas em regime de juro composto

RENDAS VARIÁVEIS

As rendas variáveis ou com termos variáveis, são classificadas, quanto aos termos,

como rendas incertas ou aleatórias. Este tipo de rendas aplicam-se quando os

pagamentos são diferentes, tendo por isso que assumir uma forma de crescimento em

progressão aritmética e progressão geométrica.

RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS VARIÁVEIS

Estas rendas aplicam se quando os termos de uma renda são variáveis, logo a

única forma de calcular o seu valore acumulado e actualizado consiste em capitalizar e

actualizar todos e cada um dos seus termos, um a um, para o momento desejado.

Logo quando os termos variam de acordo com determinado padrão,

progressão aritmética ou progressão geométrica, é possível calcular os seus valores

acumulado e actual de forma mais simplificada.

RENDAS TEMPORÁRIAS INTEIRAS, IMEDIATAS COM N TERMOS NORMAIS VARIANDO EM

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Para determinar n termos de uma renda em Progressão Aritmética, com razão

r, cujo primeiro deles no valor de t euros são:

Valor actual:

Para calcular o valor deste tipo de renda em certo momento antes da origem,

necessitamos de actualizar para que o valor a adquirir venha reportado à origem e

coincida com o momento 0.

O valor actual neste tipo de renda apresenta se pela expressão:

Sabendo que

Rendas em regime de juro composto

Como:

Desta forma, soma-se e subtrai-se o segundo membro

Resumindo,

Por fim adquirimos, a fórmula final:

Rendas em regime de juro composto

Valor Acumulado:

Para calcular o valor deste tipo de renda em determinado momento após a

ocorrência do último termo que coincide com o momento n, precisamos então de

capitalizar o valor acumulado.

O capital acumulado neste tipo de renda vai ser denominada pela expressão:

Sendo,

E multiplicando os membros por (1+i)

Se subtrair os membros,

t =1º termo; r = razão

Onde,

Rendas em regime de juro composto

Adquirindo por fim:

Quando r <0, subsiste um limite de aplicabilidade prática neste tipo de rendas,

logo não é conveniente que existam termos de valor negativo ou mesmo nulo. Com

esta situação só faz sentido calcular a renda até ao momento em que ocorre o último

termo de valor positivo, este é de ordem n, tal que: , em que t é o primeiro

termo da renda.

No caso de não ser um valor inteiro, o último termo da renda com valor

positivo é o que corresponde ao inteiro imediatamente superior.

RENDA TEMPORÁRIA, INTEIRA, IMEDIATA, DE N TERMOS NORMAIS VARIANDO EM

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Os n termos de uma renda variando em progressão geométrica, de razão r,

sendo o primeiro deles no valor de t euros, são:

Valor Actual

Rendas em regime de juro composto

Para calcular este tipo de renda, o valor actual da renda será no momento 0, de

razão r e t representa o 1ºtermo.

Este tipo de renda representa-se pela expressao:

Desta forma, temos que

(p.g)

Obtemos como fórmula final:

Valor Acumulado

O símbolo que representa o valor actual desta renda, é o seguinte:

A fórmula usada para calcular este tipo de renda é a seguinte:

Se calcularmos d períodos após o último termo, utilizamos a fórmula:

De onde podemos tirar a fórmula final:

Rendas em regime de juro composto

RENDAS PERPÉTUAS DE TERMOS VARIÁVEIS EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Valor Actual

O valor actual de uma renda perpétua, inteira, imediata, de termos normais, em

progressão aritmética será reportada à origem.

Este tipo de renda é representado pela expressão:

Assim,

Invertendo, adquirimos

Colocando em evidência os termos, adquirimos

Assim, podemos por fim obter a seguinte fórmula:

Rendas em regime de juro composto

Assim, podemos achar o valor actual de uma renda perpétua, inteira, imediata,

de termos normais, em progressão aritmética, reportado à origem, tendo como

primeiro termo t e razão r.

Neste tipo de renda, em progressão aritmética decrescente vai existir um limite

na sua aplicabilidade prática, visto que, quando r <0 é n = , a renda deixa de ser

perpétua para passar a temporária, com n termos.

Exercícios:

Rendas em regime de juro composto

1- O Redolfo deposita anualmente, e durante 20 anos, a quantia de 500 euros. Os depósitos vencem juros compostos à taxa de 9% ano. Determine o valor acumulado que adquire no final do prazo e imediatamente após ter efectuado o último depósito.

t = 500

i = 0,09

n= 20

2- O Fábio e o Hugo pretendem comprar um computador a pronto pagamento, no

valor de 1000 euros, no início do mês de Junho de 2003. Para tal, de

Novembro de 2002 a Junho de 2003, deposita uma certa quantia constante, no

início de cada mês. Supondo que os depósitos mensais são aplicados a uma

taxa mensal de 0,8% (capitalização de juros mensal) e que o valor total desses

depósitos é utilizado na compra do referido computador, determine o valor de

cada mensalidade.

= 1000€

n = 8 meses

i = 0,008/mês

t = ?

Rendas em regime de juro composto

3- A Sr. Sonia acordou com o banco “BCP”, o pagamento de 24 prestações

mensais de 2 de Novembro 2001 a 2 de Outubro 2003, para liquidação de uma

dívida no valor de 5000 euros. Sabendo que a Sr. Sonia recebeu os 5000

euros em 2 de Agosto de 2001, e que foi acordada uma taxa de juro de 0,9%

ao mês, determine o valor de cada prestação mensal.

n = 24

i = 0,9% = 0,009

Rendas em regime de juro composto

Conclusão

Este trabalho foi muito importante para a nossa formação como futuros trabalhadores na área de gestão, pois com este trabalho enriquecemos e muito o nosso campo lexical e intelectual referente á disciplina de cálculo.Aprendemos a calcular os vários tipos de rendas bem como as suas definições.Por estas e por outras podemos dizer de peito cheio que foi um trabalho muito importante para nos e que nos deu grande agrado em fazer.