02/08/2017

1

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Transferência de Massa – ENG 524

Capítulo 3 – Balanços de massa em volumes de controle e a Equação da

Continuidade

Prof. Édler Lins de Albuquerque

1

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Considerações Iniciais Equação da Continuidade (Lei de Conservação da Massa)

Aprendemos esta equação em problemas de mecânica dos fluidos. Nesta abordagem consideramos fenômenos envolvendo fluidos puros (um único componente presente) e processos sem ocorrência de reação química...

2

02/08/2017

2

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

3

Equação Diferencial da Conservação da Massa

Taxa de acúmulo de

massa dentro do VC

Taxa de saída de massa do

VC

Taxa de entrada de

massa no VC = -

Na ausência de reações químicas:

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

4

Equação Diferencial da Conservação da Massa

0)v(t

0)v(Dt

D

0)v()v(t

)v(t

)v(ρz

w)(

y

v)(

x

u)(

02/08/2017

3

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

5

Equação Diferencial da Conservação da Massa – Equação da Continuidade

O que deve ocorrer quando se leva em conta misturas? Como a equação fica para um dado soluto? E a reação química, como tratá-la nesta equação?

0)v(t

0)v(Dt

D

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

6

Equação da Continuidade Mássica de um Soluto A

Na presença de reações químicas:

Taxa de acúmulo de massa dentro

do VC

Taxa de saída de massa do VC

Taxa de entrada de massa no VC

= - Taxa de produção ou consumo de

massa do VC ±

zyxr

yxnyxn

zxnzxn

zynzyn

zyxt

"'A

)zz(A)z(A

)yy(A)y(A

)xx(A)x(A

A

02/08/2017

4

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

7

Equação da Continuidade Mássica de um Soluto A

zz

nnnz

z

nnn

yy

nnny

y

nnn

xx

nnnx

x

nnn

:se-tem linear, termo no expressão cada Truncando

!m

z

z

n...

!2

z

z

nz

z

nnn

!m

y

y

n...

!2

y

y

ny

y

nnn

!m

x

x

n...

!2

x

x

nx

x

nnn

:se-tem Taylor, de Séries em fluxos os Expandindo

z

z,A

)zz(A)z(A

z

z,A

)z(A)zz(A

y

y,A

)yy(A)y(A

y

y,A

)y(A)yy(A

x

x,A

)xx(A)x(A

x

x,A

)x(A)xx(A

m

z

m

z,Am2

z

2

z,A2

z

z,A

)z(A)zz(A

m

y

m

y,Am2

y

2

y,A2

y

y,A

)y(A)yy(A

m

x

m

x,Am2

x

2

x,A2

x

x,A

)x(A)xx(A

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

8

Equação da Continuidade Mássica de um Soluto A

"'AA

A"'A

z

z,A

y

y,A

x

x,AA

"'A

z

z,A

y

y,A

x

x,A

A

z

z,A

)zz(A)z(A

y

y,A

)yy(A)y(A

x

x,A

)xx(A)x(A

"'A

)zz(A)z(A

)yy(A)y(A

)xx(A)x(A

A

rnt

rz

n

y

n

x

n

t

zyxr

yxzz

n

zxyy

n

zyxx

n

zyxt

zz

nnn

yy

nnn

xx

nnn

zyxr

yxnyxn

zxnzxn

zynzyn

zyxt

"'AA

A rnt

02/08/2017

5

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

9

Equação da Continuidade Mássica de um Soluto A

"'A

,A,Ar,A2

2A

"'A

z,A,Ar,AA

"'A

z,Ay,Ax,AA

rn

rSen

1)nSen(

rSen

1

r

)nr(

r

1

t

rz

nn

rSen

1

r

)nr(

r

1

t

rz

n

y

n

x

n

t

),(r,:Esféricas sCoordenada

z),(r,:sCilíndrica sCoordenada

z)y,(x, :sCartesiana sCoordenada

"'AA

A rnt

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Equação da Continuidade Mássica de um Soluto A

Dividindo-se a equação anterior pela massa molar (MA) do soluto, encontra-se:

Equação da Continuidade Molar de um Soluto A

10

Equações da Continuidade de um Soluto A

"'AA

A rnt

"'A

A

'''A

AA R

M

rN

t

C

02/08/2017

6

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

11

Equação da Continuidade Molar de um Soluto A

"'A

,A,Ar,A2

2A

"'A

z,A,Ar,AA

"'A

z,Ay,Ax,AA

RN

rSen

1)NSen(

rSen

1

r

)Nr(

r

1

t

C

),(r,:Esféricas sCoordenada

Rz

NN

rSen

1

r

)Nr(

r

1

t

C

z),(r,:sCilíndrica sCoordenada

Rz

N

y

N

x

N

t

C

z)y,(x, :sCartesiana sCoordenada

"'AA

A RNt

C

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

12

Equação da Continuidade Molar para uma solução binária

"'B

"'A

"'B

"'A

"'B

"'Atotal

"'BB

B

"'AA

A

RRVCCVt

CRRVC

t

C

RRNt

C

RNt

C

RNt

C

"'AAA

A"'AAA

A

"'AAA

A

AAc

AAA

RJvCt

Crjv

t

rvjt

vjjjn

02/08/2017

7

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

13

Equação da Continuidade Molar para uma solução binária

"'

B"'ABABA

BA

"'BBB

B

"'AAA

A

RRJJvCCt

CC

RJvCt

C

RJvCt

C

"'B

"'A

"'B

"'A

"'B

"'A RRvC

Dt

DCRRvCCv

t

CRRvC

t

C

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

14

Equação da Continuidade do Soluto A em termos da Lei de Fick

"'AAAB

"'AAA

A

"'AAAB

"'AAA

A

rDrjvt

RCDRJvCt

C

Acúmulo Contribuição Convectiva

Contribuição Difusiva

Produção ou

Consumo

"'AAABAA

A

"'AAABAA

A

rDvvt

RCDvCCvt

C

02/08/2017

8

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Caso 1: Regime transiente, T e p constantes no meio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa.

15

Formas Simplificadas para a Equação da Continuidade do Soluto A

.constantes são C e ,D:suposições das iasConsequênc

rDvvt

RCDvCCvt

C

AB

"'AAABAA

A

"'AAABAA

A

"'AA

2AB

"'AAABA

A

"'AA

2AB

"'AAABA

A

rDrDvt

RCDRCDCvt

C

"'AA

2AB

A

"'AA

2AB

A

rDDt

D

RCDDt

DC

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Caso 1: Regime transiente, T e p constantes no meio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa.

16

Formas Simplificadas para a Equação da Continuidade do Soluto A

"'AA

2AB

A

"'AA

2AB

A

rDDt

D

RCDDt

DC

Aplicações:

Fenômenos de transferência de um soluto em meio gasoso leve e reacional;

Difusão de um soluto diluído em solução líquida e de baixa viscosidade com reação química.

02/08/2017

9

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Caso 2: Regime transiente, velocidade do meio nula, T e p constantes no meio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa.

17

Formas Simplificadas para a Equação da Continuidade do Soluto A

.0v e constantes são C e ,D:suposições das iasConsequênc

rDvvt

RCDvCCvt

C

AB

"'AAABAA

A

"'AAABAA

A

"'AA

2AB

A

"'AA

2AB

A

rDt

RCDt

C

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Caso 2: Regime transiente, velocidade do meio nula, T e p constantes no meio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa.

Adicionalmente, se o meio não for reacional, tem-se:

18

Formas Simplificadas para a Equação da Continuidade do Soluto A

"'AA

2AB

A

"'AA

2AB

A

rDt

RCDt

C

Fick de Lei 2 a para Expressões

Dt

CDt

C

a

A2

ABA

A2

ABA

02/08/2017

10

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Caso 3: Regime permanente, T e p constantes no meio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa.

19

Formas Simplificadas para a Equação da Continuidade do Soluto A

.0tt

C e constantes são C e ,D:suposições das iasConsequênc

rDvvt

RCDvCCvt

C

AAAB

"'AAABAA

A

"'AAABAA

A

"'AA

2ABA

"'AA

2ABA

rDv

RCDCv

Aplicações: Problemas onde as contribuições convectiva e difusiva são da mesma ordem de grandeza, como em camadas limites mássicas.

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Caso 4: Regime permanente, velocidade do meio nula, T e p constantes no meio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa.

20

Formas Simplificadas para a Equação da Continuidade do Soluto A

.0tt

C e 0v ,constantes são C e ,D:suposições das iasConsequênc

rDvvt

RCDvCCvt

C

AAAB

"'AAABAA

A

"'AAABAA

A

A2

AB"'

A

A2

AB"'A

Dr

CDR

Aplicações: Problemas onde, à medida que a difusão do soluto, há reação deste no meio.

02/08/2017

11

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Caso 4: Regime permanente, velocidade do meio nula, T e p constantes no meio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa.

Se, adicionalmente, não houver reação química, tem-se:

21

Formas Simplificadas para a Equação da Continuidade do Soluto A

Fick de Lei 1 tan

tan

ou

Laplace de Equações 0

0

a

2

2

AAAB

AAAB

A

A

jteconsρD

JteconsCD

C

Aplicações: Difusão em regime permanente de um soluto em um sólido poroso; Contradifusão equimolar.

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

1 - Condição Inicial: Valor de concentração no início do processo de transferência.

Para t = 0, CA = CA0.

2 – Condições de Contorno: informação envolvendo uma medida da concentração do soluto em posições específicas do VC.

Condições numa dada fronteira (Condição de Dirichlet);

Condições de fluxo (Condição de Neumann);

Reação numa dada superfície.

22

Condições de Contorno em Problemas de Transferência de Matéria

02/08/2017

12

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Equações Fundamentais (Aplicáveis em quaisquer situações):

23

Considerações Finais

n

1iiAAAMisturaA

"'AA

A

nwwDn

rnt

n

1iiAAAMisturaA

"'AA

A

NyyCDN

RNt

C

Em termos molares Em termos mássicos

Os próximos assuntos concentram aplicações dos conjuntos de equações mostradas acima.

Transf. de Massa - ENG 524

Pro

f. D

r. É

dle

r L.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

FIM do Capítulo 3 !!!

24