uAULA8 - [Download PDF]

Sinais e SistemasAula 8

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

1

Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade

• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo– Convergência da série de Fourier– Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo

2

visto

• Supondo que determinado sinal periódico possa ser representado por:

• Como determinar os coeficientes ak??– Multiplicando ambos os lados por e-jnw0t e integrando de 0 a T=2π/w0,

temos:

– Trocando a ordem da integração e somatório, temos:

3

Determinação da representação de um sinal periódico de tempo contínuo

Série de Fourier

• E usando a fórmula de Euler:

• Para k≠n, cos(...)w0t e sen(...)w0t são senoidais periódicas com período fundamental T/|k-n|

Portanto estamos integrando em um intervalo T que é um número inteiro de períodos desses sinais.

Como a integral representa a medida da área total sob uma função em um intervalo, vemos que para k≠n, ambas integrais a direita são nulas.

4

Determinação da representação de um sinal periódico de tempo contínuo

Série de Fourier

• Para k=n, o integrando a esquerda é igual a 1 e portanto:

• E o membro direito da equação abaixo se reduz a:

• Que podemos usar para achar os coeficientes ak.

5

Determinação da representação de um sinal periódico de tempo contínuo

Série de Fourier

• Resumindo: Se x(t) tem uma representação em série de Fourier, então...

– Esse par de equações define a série de Fourier de um sinal de tempo contínuo periódico:

6

Equação de síntese

Equação de análise

Coeficientes da série de Fourier ou coeficientes espectrais de x(t)- Medem cada parcela do sinal x(t) que está em cada harmônica da componente fundamental- O coeficiente a0 é a componente DC de x(t)

Determinação da representação de um sinal periódico de tempo contínuo

Série de Fourier

= valor médio de x(t)

• Exemplo: x(t) = sen(w0t)

– Ache os coeficientes da série de Fourier.

7

Determinação da representação de um sinal periódico de tempo contínuo

Série de Fourier

• Exemplo:

x(t) = 1+sen(w0t)+2cos(w0t)+cos(2w0t+π/4)

– Ache os coeficientes da série de Fourier.

8

Determinação da representação de um sinal periódico de tempo contínuo

Série de Fourier

• Exemplo:

– Ache os coeficientes da série de Fourier.

9

Determinação da representação de um sinal periódico de tempo contínuo

Série de Fourier

• Exemplo:

– Ache os coeficientes da série de Fourier.

10

Determinação da representação de um sinal periódico de tempo contínuo

Série de Fourier

Solução

Para ciclo = 50%

2

1

0 k ,)2/(

0

a

k

ksenak

Convergência da série de Fourier

• Euler e Lagrange conheciam essas equações no sec. XIII porém não consideraram o quão amplo seria a classe de sinais periódicos que poderiam ser representadas.

• Euler e Lagrange teriam rejeitado o exemplo 3.5 anterior pois x(t) é descontínuo enquanto que cada um de seus harmônicos seja contínuo.

• Fourier sustentou que a representação da onda quadrada é válida, afirmando ainda que qualquer sinal periódico poderia ser representado por uma série de Fourier.

– O que não é totalmente verdade, mas quase...

11

Série de Fourier

• Para entender a questão da validade das representações de série de Fourier, vamos examinar o problema de aproximar determinado sinal periódico x(t) por uma combinação linear de um número finito de exponenciais complexas relacionadas harmonicamente ou seja, por uma séria da forma:

– Se eN(t) é o erro de aproximação, então:

– Como critério usaremos a energia do erro em um período:

12

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

Temos então que achar os coeficientes ak que minimizem a energia do erro

• Esta última equação é idêntica àquela vista na definição da série de Fourier.

• Logo, se x(t) tem uma representação em série de Fourier, a melhor aproximação usando um número finito de exponenciais complexas relacionadas harmonicamente é obtida truncando a série para o número desejado de termos.

• Quando N aumenta, novos termos são acrescentados EN diminui.

• Se x(t) tem uma representação em série de Fourier, então no limite N→∞, EN vai a zero.

13

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

• Mas quando um sinal periódico x(t) tem de fato uma representação em série de Fourier??

– Para qualquer sinal podemos tentar obter um conjunto de coeficientes de Fourier;

– Porém, em alguns casos, a integral da equação pode divergir (o valor de algum ak será infinito);

– Mas, mesmo que todos os ak sejam finitos, quando esses são substituídos na outra equação, a série infinita resultante pode não convergir para o sinal x(t).

14

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

• Felizmente, esse problema não existe para uma ampla classe de sinais periódicos.

– Todo sinal periódico tem uma representação de série de Fourier para a qual a energia EN do erro de aproximação se aproxima de 0, quando N → ∞.

– Isso também é verdade para muitos sinais com descontinuidades.

15

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

• Existem duas classes de condições que um sinal periódico pode satisfazer para ter uma séria de Fourier.• Existem aqueles sinais que possuem energia finita em um único

período:

– Quando isso acontece, temos a garantia que os coeficientes são finitos;

• Se xN(t) obtido a partir de truncamento c/ |k| ≤ N, ou seja:

– Então temos a garantia de que a energia EN do erro de aproximação converge para zero a medida que acrescentamos mais e mais termos;

» No limite....

– Esta equação não implica que o sinal x(t) e xN(t) sejam iguais para todo t. Ela diz que não existe energia em sua diferença.

16

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

Um conjunto alternativo de condições foi desenvolvido por P. L. Dirichlet e satisfeitos praticamente por todos os sinais que veremos, garantindo que x(t) é equivalente a sua representação em serie de Fourier, exceto em valores isolados para os quais x(t) é descontinuo.

As condições de Dirichlet são as seguinte: 1) Em qualquer período, x(t) deve ser absolutamente integrável;

2) Em qualquer intervalo finito de tempo, x(t) tem variação limitada (valores finitos);

3) Em qq intervalo de duração finita, existe apenas um numero finito de descontinuidades. Cada uma dessas descontinuidade é finita.

17

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

1) Em qualquer período, x(t) deve ser absolutamente integrável;

18

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

1) Em qualquer período, x(t) deve ser absolutamente integrável;

Viola essa condição

19

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

Erro na página 116

2) Em qualquer intervalo finito de tempo, x(t) tem variação limitada (existe um número finito de máximos e mínimos durante qualquer período do sinal);

20

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

Condição 1

Condição 2

3) Em qq intervalo de duração finita, existe apenas um número finito de descontinuidades. Cada uma dessas descontinuidades é finita.

Abaixo um sinal que viola a condição 3. Este sinal tem um número infinito de seções. Cada qual com metade da altura e da largura anterior. A área é claramente menor que 8 (Condição 1).

Como podemos ver, os sinais que não satisfazem as condições de Dirichlet geralmente são patológicos por natureza e, logo, não aparecem em contextos práticos.

21

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

Para um sinal periódico que não possui descontinuidades, a representação por série de Fourier converge e é igual ao sinal original para todo valor de t.

Para um sinal com número finito de descontinuidades em cada período, a série se iguala a x(t) em toda parte, exceto nos pontos isolados de descontinuidade, em que a série converge para a média dos valores do sinal dos dois lados da descontinuidade.

22

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

Para um sinal periódico que não possui descontinuidades, a representação por série de Fourier converge e é igual ao sinal original para todo valor de t.

Para um sinal com número finito de descontinuidades em cada período, a série se iguala a x(t) em toda parte, exceto nos pontos isolados de descontinuidade, em que a série converge para a média dos valores do sinal dos dois lados da descontinuidade. Nesse caso, a diferença entre o sinal original e sua representação não

contém energia e consequentemente os dois sinais podem ser considerados iguais para todas as finalidades práticas.

Como os dois sinais se diferem apenas em pontos isolados, as integrais dos dois sinais em qualquer intervalo são idênticas. Por este motivo os dois sinais são idênticos na convolução e logo são idênticos do ponto de vista de análise de sistemas LIT.

23

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

• Albert Michelson construiu um analisador harmônico ‘truncado’ para N até 80;

• Quando fez experimentos com a onda quadrada observou o seguinte...

• A amplitude de pico em torno da descontinuidade não diminui com o aumento de N;

• Escreveu então para o matemático JosiahGibbs que em 1899 explicou o problema que ficou conhecido como Fenômeno de Gibbs.

24

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

• Para uma descontinuidade de altura unitária, a soma parcial apresenta um valor máximo de 1,09 não importa quanto N se torne grande;

• Como foi dito, para qualquer valor fixo de t, as somas parciais convergirão para o valor correto e nas descontinuidades, para a média dos valores. Contudo, quanto mais perto do instante da descontinuidade, maior deverá ser N para reduzir o erro abaixo de uma quantidade especificada.

• Logo, o aumento de N tem o efeito de compressão sobre a ondulação, não influenciando a amplitude de pico das oscilações.

25

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier

• A implicação é que a aproximação da série de Fourier truncada xN(t) de um sinal descontínuo x(t) em geral exibirá ondulações de alta frequência e sobresinalpróximo da descontinuidade.

• Como vimos, no limite, a energia do erro desaparece e a representação em série de Fourier de um sinal descontínuo, como a onda quadrada, converge.

26

Convergência da série de Fourier

Série de Fourier