Unidade I
Professora: Ana Cristina G. e Silva
Natal-RN
Introdução à Matemática Computacional
Vetores no R2, R3, Rn
Espaço Vetorial
Combinação linear
Vetores LI e LD
Base
Resolução de sistemas lineares
Determinação da Inversa de uma matriz
Índice
Vetores no R2
(2, 1)
x
0
y
),( bav Representação:
Vetores no R3
(2, 4, 3)
x
y
z
),,( cbav Representação:
Vetores no Rn
1 2 3( , , ,..., ),nv x x x x
Adição:
Multiplicação por escalar:
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
( , , ,..., ) ( , , ,..., )
( , , ,..., )n n
n n
v u x x x x y y y y
x y x y x y x y
1 2 3
1 2 3
( , , ,..., )
( , , ,..., )n
n
ku k x x x x
kx kx kx kx
1 2 3( , , ,..., ) nnu y y y y R k Re
Operações
1 2 3( , , ,..., )nv x x x xRepresentação:
Definição:Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão definidas duas
operações
Espaço Vetorial
Soma:
Mult. por escalar:
E devem satisfazer, para quaisquer Vwvu ,,, Rba ,e
As seguintes propriedades:
VvuVvu ,
VkvRkVv ,
Existe tal que
Existe tal que
uvvu
)()( wvuwvu
V0 uu 0
Vu 0)( uu
1)
2)
3)
4)
avauvua )(
bvavvba )(
)()( bvavab uu 1
5)
6)
7)
8)
Combinação Linear
e Vvvv n ,,, 21
Definição:
naaa ,,, 21 reais (ou complexos). Então,
nnvavavav 2211
é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de Vvvv n ,,, 21
Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo),
Ex:
kjiv 342 v
ij
k
R³
Dependência e Independência LinearDefinição:
Sejam V um espaço vetorial e Vvvv n ,,, 21 . Dizemos que o conjunto
é Linearmente Independente (L.I.), ou que os vetores são L.I, },,,{ 21 nvvv
se a equação
02211 nnvavava
Implica que 021 naaa . Caso exista algum 0ia
é Linearmente dependente (L.D.), ou que os vetores são L.D. },,,{ 21 nvvv
dizemos que
Exemplo
é LD ou LI ? )}1,1(),0,1(),1,1{( O conjunto
)0,0()1,1()0,1()1,1( cba
Solução:
)0,0(),()0,(),( ccbaa
)0,0(),( cacba
0
0
ca
cba
)(
)(
II
I O sistema admite infinitas soluções. Façamos c a variável livre.
De ( II ) vem queca
Substituindo o valor de a em ( I ) ficamos com
cb 2
Fazendo, por exemplo, 2c obtemos 2a e 4b
Encontramos a seguinte combinação linear)0,0()1,1(2)0,1(4)1,1(2
Logo, o conjunto é LD.)}1,1(),0,1(),1,1{(
é LD ou LI ? )}1,1(),0,1(),1,1{(
BaseDefinição:
será uma base de V (um espaço vetorial qualquer), se:
( i ) },,,{ 21 nvvv é LI, e
( ii ) Vvvv n ],,,[ 21
)0,0(),0(),( baa
)0,0(),( baa
Temos que verificar se
)}1,0(),1,1{( é LI, e2)]1,0(),1,1[( R
( i )
( ii )
Solução:Exemplo: )}1,0(),1,1{( é uma base de ?2R
)0,0()1,0()1,1( ba
( i )Substituindo ( I ) em ( II ) encontramos
0b)(
)(
II
I
0
0
ba
a
Logo, )}1,0(),1,1{( é LI
},,,{ 21 nvvv
Exemplo:
)1,0()1,1(),( bayx
),0(),(),( baayx
),(),( baayx
bay
ax
xa
ayb xyb
)1,0)(()1,1(),( xyxyx
Portanto, 2)]1,0(),1,1[( R
Logo, )}1,0(),1,1{( é uma base de .2R
)4,0()3,3()1,3(
)1,0)(4()1,1(3)1,3(
²)1,3( R
Base
Resolução de sistemas lineares
523
4452
134
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Seqüência deoperações elementares
2100
2010
3001
Forma escada reduzida por linha
)}2,2,3{( SPortanto, o sistema é possível e determinado com solução única
5231
4452
1341
Matriz ampliada do sistema
2
2
3
3
2
1
x
x
x
Ex.:
Resolução de sistemas lineares
Seqüência deoperações elementares
5231
4452
1341
Matriz ampliada do sistema
Ex.:
402000
3570
0121
4020
357
12
3
32
321
x
xx
xxx
534
12
023
321
321
321
xxx
xxx
xxx
1
22
0
tz
tzy
tzyx Neste caso, o número de variáveis é maior que o número de equações. O sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Isso significa que uma das variáveis , a variável livre, receberá um valor arbitrário.
22
32
423
z
zy
zyx Como o número de variáveis é igual ao número de equações. O sistema é possível e determinado, ou seja, tem solução única.
Soluções do sistema (método do escalonamento)
Ex.:
Neste caso a última equação do sistema é sempre falsa, então o sistema é impossível e S =.
240
1724
63
z
zy
zyx
Determinação da Inversa de uma matriz
3001
1110
1101
0012
A
Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A.
1000
0100
0010
0001
3001
1110
1101
0012
1000
0100
0001
0010
3001
1110
0012
1101
21 LL
122 2LLL 144 LLL
1010
0100
0021
0010
4100
1110
2210
1101
00012210
00002202:2
00010012:
1
2
L
L
10102200
00101201:
10003001:
1
4
L
L
A I
1010
0100
0021
0010
4100
1110
2210
1101
33 LL
1010
0121
0021
0010
4100
3100
2210
1101
1010
0121
0021
0010
4100
3100
2210
1101
233 LLL
1111
0121
0221
0111
1000
3100
4010
2001
311 LLL 322 2LLL
344 LLL
411 2LLL
1111
3454
4265
2333
1000
0100
0010
0001
422 4LLL 433 3LLL
1111
0121
0221
0111
1000
3100
4010
2001
I A-1
1111
3454
4265
2333
1A
Portanto,
Quando A não admite inversa.
020
121
101
A
100
010
001
020
121
101
A I
111
0
001
000
010
101
21
21
Como a forma escada não é a identidade, a matriz A não tem inversa.
I
Exemplo:
- BOLDRINE, José L. – Álgebra linear – 3º edição Harbra LTDA
Bibliografia
Operações elementares
2)
3)
1) ji LL (permutar duas linhas)
Ex.:32 LL
43
14
01
14
43
01
ii kLL Rk ( )0ke
Ex.:
22 3LL
43
14
01
43
312
01
Ex.:
133 2LLL
43
14
01
41
312
01
jii kLLL
41
02:2
43:
1
3
L
L
voltar
0100
0110
0001
000
301
120
21000
00000
10310
00000
21000
20310
(1) V (1) F (1) F (1) V
Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
0100
0110
0001
000
301
120
21000
00000
10310
00000
21000
20310
(1) V (1) F (1) F (1) V
(2) F (2) V
Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
0100
0110
0001
000
301
120
21000
00000
10310
00000
21000
20310
(1) V (1) F (1) F (1) V
(2) F (2) V
(3) V
Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
0100
0110
0001
000
301
120
21000
00000
10310
00000
21000
20310
(1) V (1) F (1) F (1) V
(2) F (2) V
(3) V
(4) V
Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
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