UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
FACULDADE INTEGRADA AVM
MATEMÁTICA FINANCEIRA
UMA REVISÃO SINTETIZADA E EXEMPLIFICADA
Por: Vinicius Esteves Borges
Orientadora
Professora Ana Cláudia Morrissy
Rio de Janeiro
2011
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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
FACULDADE INTEGRADA AVM
MATEMÁTICA FINANCEIRA
UMA REVISÃO SINTETIZADA E EXEMPLIFICADA
Apresentação de monografia à Universidade
Candido Mendes como requisito parcial para
obtenção do grau de especialista em Gestão em
Instituições Financeiras.
Por: Vinicius Esteves Borges
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AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que, de
alguma forma, colaboraram para a
realização deste trabalho em
especial:
Aos familiares e amigos, que
me incentivavam e me deram
estímulo para agir sempre em
direção ao objetivo.
Ao Banco do Brasil S.A. pela
disponibilização de cursos auto-
instrucionais que muito contribuem
para a minha formação profissional.
Agradeço ao Instituto A Vez do
Mestre por meio da orientadora
Professora Ana Cláudia Morrissy por
esta empreitada conjunta.
Agradeço a Deus pela força
que me faz levantar todos os dias de
manhã.
4
DEDICATÓRIA
A minha esposa, Hellen Carla, meus
pais, Ronaldo e Neiva, e a minha irmã,
Carolina, pelo tempo que lhes furtei.
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RESUMO
O estudo tem por objetivo sintetizar conceitos de Porcentagem, Juros
Simples, Desconto Simples, Juros Compostos, Estudo e Definição das Taxas,
Convenções Linear e Exponencial, Descontos Compostos, Rendas Certas,
Sistemas de Amortização e Análise de Fluxo de Caixa com exemplos práticos
da área de finanças. Dividido em três capítulos, tem como objetivo facilitar o
aprendizado básico da disciplina de Matemática Financeira para profissionais
de instituições financeiras e do mercado financeiro, bem como facilitar a
preparação dos candidatos a todos os concursos públicos onde sejam
cobrados estes conhecimentos.
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METODOLOGIA
O estudo tem por objetivo sintetizar conceitos de Porcentagem, Juros
Simples, Desconto Simples, Juros Compostos, Estudo e Definição das Taxas,
Convenções Linear e Exponencial, Descontos Compostos, Rendas Certas,
Sistemas de Amortização e Análise de Fluxo de Caixa com exemplos práticos
da área de finanças. Pretende-se item a item definir suas características,
conceituar metodologias de cálculo empregadas estabelecendo suas
diferenças, apresentar casos práticos da área de finanças, demonstrar a
solução destes casos aplicando os conceitos estudados bem como, quando
possível, a resolução na calculadora HP-12C. Como referência bibliográfica e
de conhecimento são utilizados materiais de cursos internos destas áreas no
Banco do Brasil S.A bem como notas de aulas além de livros e pesquisas web
aplicáveis ao estudo em questão.
7
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 08
CAPÍTULO I
PORCENTAGEM, JUROS E DESCONTOS SIMPLES 11
CAPÍTULO II
JUROS E DESCONTOS COMPOSTOS 18
CAPÍTULO III
RENDAS CERTAS, SISTEMAS DE AMORTIZAÇÂO E
ANÀLISE DO FLUXO DE CAIXA 31
CONCLUSÃO 45
ANEXOS 46
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 50
ÍNDICE 51
8
INTRODUÇÃO
A Matemática Financeira teve seu início quando o homem criou os
conceitos de Capital, Juros, Taxas e Montante. Daí para frente, os cálculos
financeiros tornaram-se mais justos e exatos, mas é preciso conhecê-los, se
possível muito bem.
Hoje, a velocidade com que transações financeiras são fechadas nos
diferentes pontos do globo terrestre demonstra que tempo e espaço perderam
suas noções originais. Rompidas as limitações impostas pelas condições
espaço-temporais, o mercado financeiro exige de quem nele opera tenha
competências até há pouco tempo inimagináveis.
Paralelamente, os meios de comunicação têm disponibilizado
informações em quantidade, qualidade e velocidade tais, que já não se admite
que alguém possa alegar ignorância total a respeito de qualquer assunto em
qualquer parte do mundo.
Este trabalho, que é constituído de três capítulos, tem como objetivo
facilitar o aprendizado básico da disciplina de Matemática Financeira para
profissionais de instituições financeiras e do mercado financeiro, bem como
facilitar a preparação dos candidatos a todos os concursos públicos onde
sejam cobrados estes conhecimentos.
No primeiro capítulo são apresentados conceitos de Porcentagem, Juros
Simples e Desconto Simples. No segundo capítulo são apresentados conceitos
de Juros Compostos, Estudo e Definição das Taxas, Convenções Linear e
Exponencial e Descontos Compostos. Por fim, no terceiro capítulo são
apresentados conceitos de Rendas Certas, Sistemas de Amortização e Análise
de Fluxos de Caixa.
Este trabalho demonstra os conceitos de forma sintetizada e com a
apresentação de exemplos básicos para a compreensão do que foi explanado.
9
CAPÍTULO I
PORCENTAGEM, JUROS E DESCONTOS SIMPLES
Porcentagem
A taxa percentual i% associa-se a razão i / 100 e assim calcula-se i% de
uma quantidade qualquer multiplicando a mesma pela razão.
Exemplo 01:
Calcular 20% de 80.
Temos: 20% . 80 = 20 / 100 . 80 = 0,2 . 80 = 16
Do exemplo podemos inferir que 20% é igual a 20 / 100 e que também é
igual a 0,2. Este último, utilizado no exemplo como última transformação antes
de sua efetiva multiplicação pela quantidade é o que chamamos de Taxa
Percentual na Forma Unitária.
i è Taxa Percentual na Forma Unitária
Podemos ainda ampliar a análise introduzindo o conceito de fator de
atualização onde aparecem ainda as situações de aumento e redução que
para a solução das situações propostas deve-se somar ou diminuir,
respectivamente, da unidade o aumento ou a redução em questão
F = 1 + i è Fator de Aumento
F = 1 – i è Fator de Redução
Na forma dos exemplos abaixo podemos entender:
Exemplo 02:
Um artigo com preço de $ 50,00 deve ser reajustado em 10%. Qual o
seu preço final?
Temos: Reajuste è Fator de Aumento
Logo: F = 1 + 10% = 1 + 10 / 100 = 1 + 0,1 = 1,1
Portanto: Preço Final = $ 50,00 . 1,1 = $ 55,00
Exemplo 03:
10
Um artigo com preço de $ 200,00 deve sofrer um desconto de 5%. Qual
o seu preço final?
Temos: Desconto è Fator de Redução
Logo: F = 1 - 5% = 1 - 5 / 100 = 1 - 0,05 = 0,95
Portanto: Preço Final = $ 200,00 . 0,95 = $ 190,00
Ressaltamos, também, a possibilidade de que fatores sejam
considerados em conjunto onde devemos multiplicá-los junto com a unidade
em análise. Logo, entende-se que uma infinidade de situações pode ocorrer
com a presença de diversos Fatores de Aumento e de Redução interferindo
em conjunto no caso proposto.
Exemplo 04:
Um artigo sofre dois reajustes sucessivos de 10% e 20%. Sabendo-se
que seu preço inicial era de $ 1000,00, qual o seu preço final?
Temos: Reajuste è Fator de Aumento
Logo: F1 = 1 + 10% = 1 + 10 / 100 = 1 + 0,1 = 1,1
F2 = 1 + 20% = 1 + 20 / 100 = 1 + 0,2 = 1,2
Portanto: Preço Final = $ 1000,00 . 1,1 . 1,2 = $ 1000,00 . 1,32
Preço Final = $ 1320,00
Exemplo 05:
Um feirante percebendo o movimento de seu comércio decide elevar o
preço do kg do tomate em 10% e depois ao ser questionado sobre o preço
pelos consumidores praticar um desconto de 10%. Desta forma, sabendo que
no início o kg do tomate custava $ 4,00, qual é o preço final do kg do tomate?
Temos: Reajuste è Fator de Aumento e
Temos: Desconto è Fator de Redução
Logo: F1 = 1 + 10% = 1 + 10 / 100 = 1 + 0,1 = 1,1
F2 = 1 - 10% = 1 - 10 / 100 = 1 – 0,1 = 0,9
Portanto: Preço Final = $ 4,00 . 1,1 . 0,9 = $ 4,00 . 0,99 = $ 3,96
Neste exemplo podemos observar que todo o movimento gerou um
desconto efetivo de $ 0,04, ou seja, um desconto de 1% em relação ao preço
11
original e demonstrado no cálculo abaixo (guarde esta análise, pois ela será de
grande valia mais adiante):
Preço Inicial: $ 4,00 e Preço Final: $ 3,96
Logo: $ 4,00 . F = $ 3,96 è F = $ 3,96 / $ 4,00 = 0,99
Se F = 0,99 e F = 1 – i è Desconto
Temos i = 0,01 = 1 / 100 = 1%
Juros Simples – Capitalização Simples
Esta é a metodologia de aplicação de juros onde este é calculado
período a período incidindo exclusivamente sobre o capital inicial. Podemos
entender que a parcela de juros mensais será constante no tempo.
Assim sendo, podemos calcular esta parcela de juros multiplicando o
capital pela taxa de juros na forma unitária e, deste valor, multiplicar pelo
tempo – número de vezes em que ocorrerão rendimentos decorrentes de juros.
Ainda podemos somar este resultado ao próprio capital de forma a atingirmos
o montante conforme demonstrado nas fórmulas abaixo:
J = C . i . t
M = C + J è M = C + C . i . t è M = C ( 1 + i . t )
Onde: J: Juros;
C: Capital;
i: Taxa de Juros na Forma Unitária;
t: Tempo;
M: Montante.
Exemplo 06:
Se $ 3000,00 são aplicados pelo período de três meses a taxa de juros
de 5% a.m. (ao mês) no regime de capitalização simples. Qual é a parcela de
juros mensal?
Jm = $ 3000,00 . 5% = $ 3000 . 0,05 = $ 150,00
Qual o valor acumulados do juros no período em questão?
Ja = $ 150,00 . 3 = $ 450
12
Qual o valor do montante da aplicação ao final dos três meses?
M = $ 3000,00 + $ 450,00 = $ 3450,00
Cabe, neste momento, colocar algumas questões sobre o período de
capitalização. Este deve sempre ser igual ao período a que a taxa de juros se
refere. Logo se a taxa de juros refere-se ao mês devemos ajustar o período de
maneira que este represente o número de meses em questão da seguinte
forma:
1 Ano è 12 meses
1 Semestre è 6 Meses
1 Trimestre è 3 Meses
1 Bimestre è 2 Meses
1 Mês è 30 Dias
Ainda é relevante ressaltar que no regime de capitalização simples
temos a proporcionalidade da taxa no tempo o que será visto mais adiante
junto no estudo das taxas.
Exemplo 07:
O capital de $ 2000,00 foi aplicado à taxa de 24% a.a (ao ano) no
regime de capitalização simples pelo prazo de dois meses. Qual o montante?
24% a.a é proporcional a 2% a.m. (24 / 12)
Logo: M = $ 2000,00 (1 + 0,02 . 2) = $ 2000,00 . 1,04 = $ 2080,00
Exemplo 08:
O capital de $ 2000,00 foi aplicado à taxa de 24% a.a (ao ano) no
regime de capitalização simples pelo prazo de dois meses e vinte e um dias.
Qual o montante?
24% a.a. è 2% a.m.
21 dias è 21 / 30 mês è 0,7 mês
Logo: 2 Meses e 21 Dias è 2,7 meses
Portanto: M = $ 2000,00 (1 + 0,02 . 2,7) = $ 2000,00 . 1,054
M = $ 2108,00
13
Exemplo 09: (é comumente encontrado em nosso dia a dia)
Um artigo pode ser comprado à vista com 10% de desconto ou em duas
vezes iguais, “sem juros”, sendo a primeira no ato da compra e a segunda em
30 dias. Qual a taxa de juros efetivamente cobrada pelo vendedor?
Supondo P o preço do artigo, temos que P / 2, ou seja, 0,5 P é o valor
de cada uma das duas parcelas e que o valor à vista é 0,9 P.
Logo o valor financiado no momento da compra é de:
0,9 P – 0,5 P = 0,4 P
Portanto financia-se 0,4 P para um pagamento de 0,5 P em 1 mês.
Assim: 0,5 P = 0,4 P ( 1 + i . 1 ) è 0,5 = 0,4 ( 1 + i )
1 + i = 1,25 è i = 0,25 = 25 / 100 = 25% a.m.
Desconto Simples
Trata-se de operação que se utiliza da metodologia de capitalização
simples, onde os juros são calculados sobre a mesma base e são, portanto,
constantes no tempo.
Nas operações de desconto observamos a existência de diversos títulos
de crédito, como cheques, títulos em cobrança, notas promissórias, etc. que
apresentam um fluxo de caixa, uma entrada de recursos em uma data futura e
que por necessidade é necessário que estes recursos estejam disponíveis no
presente momento. Dá-se o nome ao valor de face do título de Valor Nominal e
seu valor na presente data de Valor Atual.
As operações de desconto são calculadas utilizando-se as metodologias
simples e composta (a ser vista adiante). Podemos ainda dividir cada
metodologia de cálculo em duas formas, a saber: Desconto por Fora e
Desconto por Dentro.
Assim sendo quatro modalidades são possíveis onde, neste momento
veremos duas:
Desconto Comercial Simples - Desconto por Fora – Desconto Bancário
14
O desconto comercial, bancário ou por fora “D” é uma modalidade onde
o juro incide sobre o valor nominal do título e o valor atual é resultado da
subtração deste desconto do valor nominal do título.
D = N . i . t
Ac = N – D è Ac = N - N . i . t è Ac = N ( 1 – i . t )
Onde: D: Desconto Comercial;
N: Valor Nominal;
i: Taxa de Juros na Forma Unitária;
t: Tempo;
Ac: Valor Atual Comercial.
Exemplo 10:
Na operação de desconto comercial simples de um cheque de $ 120,00
com vencimento em 30 dias a taxa de 5% a.m. qual o valor do desconto?
Se N = $ 120,00, i = 5% = 0,05 e t = 30 Dias = 1 Mês temos:
D = $ 120,00 . 0,05 . 1 = $ 6,00
Qual é o Valor Atual Comercial Simples?
Ac = $ 120,00 - $ 6,00 = $ 114,00
Supondo que fossemos aplicar este Valor Atual a uma determinada taxa
de juros simples pelo período de 30 dias e que pudéssemos resgatar o valor de
$ 120,00. Qual seria esta taxa de juros?
Se M = $ 120,00, C = $ 114,00 e t = 30 Dias = 1 Mês, temos:
Juros Simples: $ 120,00 = $ 114,00 ( 1 + i . 1 ) è i ≈ 5,26%a.m.
Seguindo o mesmo exemplo, no entanto levando nossa análise para um
período de dois meses, teríamos que o valor do desconto comercial simples
seria:
Se N = $ 120,00, i = 5% = 0,05 e t = 60 Dias = 2 Meses temos:
D = $ 120,00 . 0,05 . 2 = $ 12,00
O Valor Atual Comercial Simples seria:
Ac = $ 120,00 - $ 12,00 = $ 108,00
Aplicando este valor atual a uma determinada taxa de juros simples pelo
período de dois meses com um resgate no valor de $ 120,00, teríamos:
15
Se M = $ 120,00, C = $ 108,00 e t = 60 Dias = 2 Meses, temos:
Juros Simples: $ 120,00 = $ 108,00 ( 1 + i . 2 ) è i ≈ 5,56% a.m.
Verifica-se, portanto, que a Taxa de Desconto Comercial Simples é
menor que a Taxa de Juros Simples citada nos exemplos. Em termos do
mercado financeiro esta Taxa de Juros Simples é chamada de Taxa Efetiva de
uma operação de Desconto Comercial (ief)
Desconto Racional Simples - Desconto por Dentro - Desconto Matemático
O desconto racional, matemático ou por dentro “d” é uma modalidade
onde o juro incide sempre sobre o valor do Atual Racional – Capital chegando
ao Valor Nominal do título – Montante, sendo o valor do desconto racional o
resultado da subtração entre o Valor Nominal do título e o Atual Racional.
d = Ar . i . t
N = Ar + d è N = Ar + Ar . i . t è N = Ar ( 1 + i . t )
Onde: d: Desconto Racional;
Ar: Valor Atual Racional;
N: Valor Nominal;
i: Taxa de Juros na Forma Unitária;
t: Tempo.
Exemplo 11:
Qual o valor do desconto racional de um cheque de valor de $ 120,00
com vencimento em 60 dias a taxa de 5% a.m.?
Se N = $ 120,00, i = 5% = 0,05 e t = 60 Dias = 2 Meses temos:
Primeiro: $ 120,00 = Ar ( 1 + 0,05 . 2 ) = Ar . 1,1
Logo: Ar ≈ $ 109,09
Segundo: d = $120,00 – $ 109,09 ≈ $ 10,91
Caso a taxa fosse de aproximadamente 5,56% a.m. teríamos:
N = $ 120,00, i ≈ 5,56% = 0,0556 e t = 60 Dias = 2 Meses temos:
$ 120,00 = Ar ( 1 + 0,0556 . 2 ) = Ar . 1,11
Logo: Ar = $ 108,00 e d = $120,00 – $ 108,00 = $ 12.
16
Comparando este valor ao final do exemplo anterior concluímos que o
cálculo do desconto racional simples aproxima-se muito a forma de cálculo dos
juros simples.
Cabem, aqui, duas observações:
Obs I: Com o objetivo principal de comparação da relação entre os
descontos, considerando a mesma taxa de juros para a forma comercial e para
a forma racional, temos:
ic = ir = i
d = Ar . i . t è Ar = d / i . t
N = Ar + d è N = d / i . t + d
N . i . t = d + d . i . t = d (1 + i . t )
Aplicando: D = N . i . t
Temos: D = d ( 1 + i . t )
Logo: “D é Montante de d”
Exemplo 12:
Considerando a taxa de juros de 10% a.m. e o período de 2 meses para
o vencimento de um título de valor nominal de $ 2000,00, qual o valor do
Desconto Comercial Simples?
Se N = $ 2000,00, i = 10% = 0,1 e t = 2 meses, temos:
D = $ 2000,00 . 0,1 . 2 = $ 400,00
Qual o valor do Desconto Racional Simples?
Primeiro: $ 2000,00 = Ar ( 1 + 0,1 . 2) è Ar ≈ $ 1666,67
Segundo: d = $ 2000,00 - $ 1666,67 ≈ $ 333,33
Verificando se “D é Montante de d”:
Temos: $ 400,00 = $ 333,33 ( 1 + 0,1 . 2 )
$ 400,00 = $ 333,33 . 1,2 = $ 400,00 (Verdadeiro)
Obs II: Da comparação entre os descontos chegamos à conclusão que o
“D é montante de d’ e da comparação entre o Desconto Racional Simples e o
Juros Simples chegamos a conclusão que o cálculo do desconto racional
simples aproxima-se muito da forma de cálculo dos juros simples.
17
Portanto podemos ainda retirar algumas peculiaridades: que o valor do
Desconto Comercial Simples é maior que o Valor do Desconto Racional
Simples e que, por lógica, o Valor Atual Comercial Simples é menor que o
Valor Atual Racional Simples.
Sendo: D > d
Como: Ac = N – D e Ar = N – d
Temos: Ac < Ar
18
CAPÍTULO II
JUROS E DESCONTOS COMPOSTOS
Juros Compostos
Esta é a metodologia de aplicação de juros onde este é calculado a
cada período, a partir do segundo, incidindo sobre o montante (entenda-se
capital + juros) do período anterior. Podemos entender que a parcela de juros
mensais será crescente no tempo. Assim temos:
M = C + J è M = C ( 1 + i ) n
J = C [ ( 1 + i ) n -1 ]
Onde: J: Juros;
C: Capital;
i: Taxa de Juros na Forma Unitária;
n: Tempo;
M: Montante.
(1 + i ) n : Fator de capitalização – Vide Anexo 1
Exemplo 13:
Qual o montante de um capital de $ 2000,00 aplicado a taxa de juros
compostos de 5% a.m. durante três meses?
Temos: C = $ 2000,00, i = 5% = 0,05 e t = 3 meses
Logo: M = $ 2000,00 (1 + 0,05) 3 = $ 2315,25
Qual é o valor dos juros auferidos?
J = M – C = $ 2315,25 - $ 2000,00 = $ 315,25
Caso a metodologia utilizada fosse a dos juros simples teríamos:
Sendo C = $ 2000,00, i = 5% = 0,05 e t = 3 meses
J = $ 2000,00 . 0,05 . 3 = $ 300,00
M = $ 2000,00 + $ 300,00 = $ 2300,00 ou
M = $ 2000,00 ( 1 + 0,05 . 3 ) = $ 2000,00 . 1,15 = $ 2300,00
19
Comparando e ampliando a análise para um e dois meses temos:
Tabela 1:
Capital Tempo Taxa Juros
Juros Simples $ 2000 1 Mês 5% $ 100,00
Juros Compostos $ 2000 1 Mês 5% $ 100,00
Juros Simples $ 2000 3 Meses 5% $ 200,00
Juros Compostos $ 2000 3 Meses 5% $ 205,00
Juros Simples $ 2000 3 Meses 5% $ 300,00
Juros Compostos $ 2000 3 Meses 5% $ 315.25
Podemos concluir, parcialmente, que a capitalização simples e a
composta produzem montantes iguais, a partir de um mesmo capital, a
mesma taxa de juros, quando aplicados para um único período, seja ele dia,
mês, ano, etc. Para períodos maiores que a unidade os juros, e
conseqüentemente o montante produzido pela capitalização composta é maior
que pela capitalização simples.
Agora para um período inferior ao unitário. Vamos supor no exemplo
acima que este período fosse de 21 dias, então teremos:
C = $ 2000,00
i = 5% = 0,05 a.m.
t = 21 dias = 21 / 30 Meses = 0,7 Meses
Juros Simples: J = $ 2000,00 . 0,05 . 21 / 30 = $ 70,00
M = $ 2000,00 + $ 70,00 = $ 2070,00
Juros Compostos: M = $ 2000,00 (1 + 0,05) 21/30 = $ 2069,49
J = $ 2069,49 - $ 2000,00 = $ 69,49
Verifica-se, portanto, uma inversão. Para períodos menores que a
unidade os juros, e conseqüentemente o montante produzido pela
capitalização composta é menor que pela capitalização simples. Assim temos:
20
Jc > Js e Mc > Ms p/ n > 1
Jc = Js e Mc = Ms p/ n = 1
Jc < Js e Mc < Ms p/ 0 < n < 1
Onde: Jc: Juro Composto
Js: Juro Simples
Mc: Montante Composto
Ms: Montante Simples
Isto fica visualizado no gráfico abaixo:
Gráfico 1: Juros Simples e Compostos para períodos entre Zero e Dois
Estudo e Definição das Taxas
Nesta parte iremos definir algumas taxas utilizadas no mercado
financeiro e observar, através de exemplos, as relações entre estas.
21
Taxa de juros em princípio é o índice que determina a remuneração do
capital, ou seja, o preço do “aluguel” do dinheiro num determinado período de
tempo (dias, meses, ano, etc.)
Taxa Efetiva:
É a taxa que está definida em um período de tempo igual a seu período de
capitalização.
Exemplificando:
Taxa de 2% a.m. com capitalização mensal,
Taxa de 12% a.a. com capitalização anual.
Taxa Nominal
É a taxa que está definida em um período de tempo diferente de seu
período de capitalização. Para efeito de cálculo financeiro a taxa e o período
de capitalização devem ser os mesmos. Quando é apresentada uma taxa
nominal, para fazer um cálculo financeiro é necessário convertê-la em taxa
efetiva.
Exemplificando:
Taxa de 24% a.a. com capitalização mensal è24 / 12 = 2% a.m.
Taxa de 24% a.a. com capitalização semestral è24 / 2 = 12% a.s.
Cabe aqui um exemplo das situações acima descritas.
Exemplo 14:
Supondo que um cliente possuísse $ 1000 para aplicá-lo durante um
período de 12 meses com juros compostos e que lhe fosse oferecido duas
alternativas:
Alternativa 1: 24% a.a. com capitalização mensal,
Alternativa 2: 24% a.a. com capitalização semestral.
Qual das duas deveria o cliente escolher?
Alternativa 1: Mc = $ 1000,00 ( 1 + 0,02)12 = $ 1268,24
Alternativa 2: Mc = $ 1000,00 ( 1 + 0,12)2 = $ 1254,40
Logo o cliente deve optar pela alternativa 1.
22
Supondo agora que a mesma situação fosse apresentada ao cliente,
porém com o regime de capitalização simples. Temos:
Alternativa 1: Ms = $ 1000,00 ( 1 + 0,02 . 12 ) = $ 1240,00
Alternativa 2: Ms = $ 1000,00 ( 1 + 0,12 . 2 ) = $ 1240,00
Concluímos que há uma igualdade no cálculo utilizando-se a
metodologia dos juros simples. Isto se deve a proporcionalidade das taxas no
tempo que só acontece nesta metodologia. Por este motivo sob a ótica dos
juros simples temos então taxas proporcionais.
Taxa Aparente:
É aquela verificada numa aplicação financeira onde não se apresenta
descontada dos efeitos inflacionários da moeda.
Taxa Real:
É aquela verificada numa aplicação financeira após o desconto dos
efeitos inflacionários da moeda. Lembramos que a inflação também é
representada por uma taxa na forma percentual.
Exemplo 15:
Supondo que o cliente acima tenha escolhido a alternativa 1 no regime
de juros compostos e que os 12 meses se passaram. Ele foi ao banco para
sacar seu dinheiro e lhe foram entregues os $ 1268,24 pactuados (suponha a
inexistência de tributos e taxas bancárias). Ao chegar a casa pesquisou junto
às informações do governo sobre inflação e verificou que a inflação do período
em que seus $ 1000,00 estavam aplicados foi de 12% e indagou-se: Qual foi a
taxa efetiva da minha aplicação financeira?
Assim temos:
Taxa Inflacionária = 12% è 0,12 na forma unitária.
Capital Inicial: $ 1000 è Montante $ 1268,24
Taxa Aparente do Investimento = ( $ 1268,24 / $ 1000 – 1 ) . 100 =
= 26,82% a.a.
Atualização Monetária do investimento = $ 1000 . ( 1 + 0,12 ) =
23
= $ 1000 . 1,12 =
= $ 1120
Taxa Real do Investimento: = ( $ 1268,24 / $ 1120 – 1 ) . 100 =
= 13,24%
Taxas Equivalentes:
São aquelas que aplicadas sobre o mesmo capital pelo mesmo prazo,
apesar de expressarem tempos de capitalização diferentes, produzem o
mesmo montante.
Exemplo 16:
Outro cliente possui $ 500,00 para aplicação durante o período de 2
meses com juros compostos e depara-se com duas alternativas:
Alternativa 1: 21% a.b. (ao bimestre) com capitalização bimestral,
Alternativa 2: 10% a.m. com capitalização semestral.
Qual das duas o cliente deveria escolher?
Alternativa 1: Mc = $ 500,00 ( 1 + 0,21)1 = $ 605,00
Alternativa 2: Mc = $ 500,00 ( 1 + 0,10)2 = $ 605,00
Neste caso o cliente é indiferente quanto as taxas pois 21% a.b. com
capitalização bimestral é equivalente a 10% a.m. com capitalização semestral
para um período de dois meses.
Convenções Linear e Exponencial
Estas convenções determinam como será o tratamento ao período
fracionário da capitalização composta. Para, por exemplo, i% a.m. com
capitalização mensal e um período de aplicação de 70 dias define-se como
será tratada a capitalização no período de 10 dias posterior aos dois primeiros
meses. Vejamos:
24
Convenção Linear:
Utiliza-se na parte inteira do período a metodologia dos juros compostos
produzindo um montante que será o capital para que na parte fracionária do
período utilize-se a metodologia dos juros simples.
Exemplo 17:
Qual o montante produzido por $ 5000,00 aplicados à taxa composta de
12% a.m. durante 100 dias utilizando-se a convenção linear?
Temos: C = $ 5000,00, i = 0,12 e t = 100 dias = 3 meses e 10 dias
Primeiro juros compostos na parte inteira do período:
M’ = $ 5000,00 (1 + 0,12)3 = $ 5000,00 . 1,41 = $ 7024,64
Segundo juros simples na parte fracionária do período calculado sobre o
montante parcial da parte inteira:
MCL = $ 7024,64 ( 1 + 0,12 . 10 / 30 ) = $ 7024,64 . 1,04 = $ 7305,63
Convenção Exponencial:
Utiliza-se em todo o período (Inteiro e Fracionário) a metodologia dos
juros compostos.
Exemplo 18:
Qual o montante produzido por $ 5000,00 aplicados à taxa composta de
12% a.m. durante 100 dias utilizando-se a convenção exponencial?
Temos: C = $ 5000,00, i = 0,12 e t = 100 dias
MCE = $ 5000,00 ( 1 + 0,12)100 / 30 = $ 5000,00 . 1,46 = $ 7295,08
Comparando os exemplos 17 e 18 chegamos a conclusão de que
utilizando-se a convenção linear produz-se um montante maior que utilizando-
se a convenção exponencial. Isto decorre da conclusão anteriormente
25
demonstrada de que a metodologia dos juros simples produz maior montante
em períodos de capitalização menores que a unidade, ou seja, fracionários.
Apenas para comparação, o cálculo deste montante na forma dos juros
simples produziria o seguinte montante, inferior aos demais:
Ms = $ 5000,00 ( 1 + 0,12 . 100 / 30 ) = $ 7000,00
Portanto concluímos que:
MCL > MCE > Ms
Descontos Compostos
Trata-se de operação que se utiliza da metodologia de capitalização
composta onde os juros são calculados sobre o valor produzido no período
imediatamente anterior e são, portanto, crescentes no tempo.
Assim como no desconto simples, podemos observar a existência do
desconto comercial e do desconto racional.
Desta forma das quatro modalidades de desconto possíveis, neste
momento veremos as outras duas:
Desconto Comercial Composto:
O desconto comercial composto “Dc” é uma modalidade onde o juro
incide sobre o valor nominal período a período.
Acc = N ( 1 - i ) n
Acc = N – Dc
Onde: Dc: Desconto Comercial Composto;
N: Valor Nominal;
i: Taxa de Juros na Forma Unitária;
n: Tempo;
Acc: Valor Atual Comercial Composto
Exemplo 19:
26
Um título de valor nominal de $ 20000,00 foi saldado três meses antes
de seu vencimento a taxa de desconto comercial composto de 10% a.m.. Qual
foi o valor da liquidação antecipada?
Temos: N = $ 20000,00, t = 3 meses, i =0,1.
Acc = $ 20000,00 ( 1 – 0,1 )3 = $ 20000,00 . 0,73 = $ 14580,00
Qual foi o valor do abatimento / desconto pela liquidação antecipada?
Dc = $ 20000,00 - $ 14580,00 = $ 5420,00
Desconto Racional Composto:
O desconto racional composto “dc” é uma modalidade onde o juro incide
sobre o valor do Atual Racional – Capital, período a período, chegando ao
Valor Nominal do título – Montante, sendo o valor do desconto racional o
resultado da subtração entre o Valor Nominal do título e o Atual Racional.
dc = N – Arc
N = Arc ( 1 + i ) n
Onde: dc: Desconto Racional Composto;
Arc: Valor Atual Racional Composto;
N: Valor Nominal;
i: Taxa de Juros na Forma Unitária;
n: Tempo
Assim como o desconto racional simples assemelha-se a metodologia
de cálculo dos juros simples, o desconto racional composto assemelha-se a
metodologia de cálculo dos juros compostos.
Exemplo 20:
Um título de valor nominal de $ 5000,00 foi saldado quatro meses antes
de seu vencimento a taxa de desconto racional composto de 5% a.m.. Qual foi
o valor da liquidação antecipada?
Temos: N = $ 5000,00, t = 4 meses, i =0,05.
$ 5000,00 = Arc ( 1 + 0,05 )4 = Arc . 1,22
27
Arc = $ 5000,00 / 1,22 = $ 4113,51
Qual foi o valor do abatimento / desconto pela liquidação antecipada?
Dc = $ 5000,00 - $ 4113,51 = $ 886,49
Exemplo 21:
Suponha a existência de um título de valor nominal $ 50000,00 com
vencimento em três meses e que fosse estabelecida a taxa de 2% a.m. para o
desconto em qualquer de suas modalidades.
Para o Desconto Comercial Simples temos:
D = $ 50000,00 . 0,02 . 3 = $ 3000,00
Ac = $ 50000,00 - $ 3000,00 = $ 47000,00
Para o Desconto Racional Simples temos:
$ 50000,00 = Ar ( 1 + 0,02 . 3) = Ar . 1,06
Ar = $ 50000,00 / 1,06 = $ 47169,81
d = $ 50000,00 - $ 47169,81 = $ 2830,19
Para o Desconto Comercial Composto temos:
Acc = $ 50000,00 ( 1 – 0,02 )4 = $ 50000,00 . 0,92 = $ 46118,41
Dc = $ 50000,00 - $ 46118,41 = $ 3881,59
Para o Desconto Racional Composto temos:
$ 50000,00 = Arc ( 1 + 0,02 )4 = Arc . 1,08
Arc = $ 50000,00 / 1,08 = $ 46192,27
dc = $ 50000,00 - $ 46192,27 = $ 3807,73
Portanto, comparativamente, temos:
Dc = $ 3881,59 > dc = $ 3807,73 > D = $ 3000,00 > d = $ 2830,19
Acc = $ 46118,41 < Arc = $ 46192,27 < Ac = $ 47000,00 < Ar = $ 47169,81
Neste ponto, mediante as comparações apresentadas, cabem alguns
comentários a respeito da discussão existente sobre a constitucionalidade ou
não da utilização da metodologia de juros compostos para o cálculo dos saldos
e prestações de empréstimos e financiamentos. Esta pequena exposição não
tem por objetivo adentrar em debates jurídicos sobre a questão, pretendendo
apenas estabelecer uma comparação e demonstrar alguns efeitos práticos
como forma de apresentar alguns argumentos ao debate.
28
Muitos – em sua maioria devedores na relação - defendem a
inconstitucionalidade alegando a chamada cobrança de “juros sobre juros”.
Outros – em sua maioria instituições financeiras – defendem a
constitucionalidade alegando não haver a capitalização dos juros. Enfim,
diversos argumentos já foram apresentados, mas o objetivo aqui é estabelecer
uma comparação entre um empréstimo e uma aplicação em uma poupança,
desconsiderando efeitos tributários, de forma a demonstrar a semelhança
existente.
Vamos supor que um cliente possua $ 50000,00 para aplicar por um
período de três meses e que deseje que estes recursos sejam aplicados em
poupança. Para esclarecimento é necessário informar que o rendimento da
poupança é dividido em duas partes, uma definida constitucionalmente que
são juros de 6% a.a. com capitalização mensal e a outra é a Taxa Referencial
TR que tem sua composição definida em Lei e que é mensalmente divulgada
pelo Banco Central do Brasil S.A.. Para efeito desta suposição vamos
estabelecer seus valores em 0,12%, 0,15% e 0,10% no primeiro, segundo e
terceiro mês respectivamente. Qual o montante que o cliente terá ao fim do
período da aplicação?
Temos: C = $ 50000,00, t = 3 meses e i = 0,5% a.m. = 0,005
TR: TR1 = 0,0012, TR2 = 0,0015 e TR3 = 0,0010
Assim, ao fim do primeiro mês temos:
M1 = $ 50000,00 . ( 1 + 0,0012 ) . ( 1 + 0,005 ) = $ 50310,30
Ao final do segundo mês temos:
M2 = $ 50310,30 . ( 1 + 0,0015 ) . ( 1 + 0,005 ) = $ 50637,69
Ao final do terceiro mês temos:
M3 = $ 50637,69 . ( 1 + 0,0010 ) . ( 1 + 0,005 ) = $ 50941,77
Reparem, portanto que o capital inicial do segundo mês é o montante do
primeiro mês, que o capital inicial do terceiro mês é o montante do segundo
mês e que se a aplicação tivesse um período maior isto se perpetuaria. Fica
claro que está ocorrendo uma capitalização dos juros.
Se não fosse desta forma, ou seja, se os juros fossem sempre
calculados sobre o capital da aplicação inicial, todos os poupadores retirariam
29
seus recursos da poupança no aniversário e tornariam a aplicar no mesmo dia
para assim terem como capital inicial um valor ampliado o que levaria a mesma
rentabilidade que se verifica nos moldes atuais.
Guardadas as peculiaridades de cada tipo de aplicação financeira, mas
entendendo que a maioria apresenta esta mesma metodologia de cálculo de
juros, imaginem o movimento diário das agências bancárias só com clientes
sacando e “re-depositando” seus recursos. Não seria lógico, nem tão pouco,
razoável.
Suponha agora que um cliente deseje tomar emprestado $ 20000,00
para pagamento em única parcela ao final do prazo de dois meses a uma taxa
de 2% a.m., então qual o valor do pagamento final?
Temos: C = $ 20000,00, t = 2 meses e i = 0,02
Logo: Mc = $ 20000,00 ( 1 + 0,02 )2 = $ 20808,00 è Juros Compostos.
Para aqueles que discordam o cálculo deveria ser este:
Ms = $ 20000,00 ( 1+ 0,02 . 2 ) = $ 20800,00 è Juros Simples
Vejamos que para as instituições financeiras, caso fosse adotada esta
segunda opção, ficaria configurada a seguinte situação: na captação,
guardadas as peculiaridades da diversificação de produtos, deveria remunerar
os aplicadores utilizando-se a metodologia dos juros compostos e nos
empréstimos e financiamentos deveria receber dos tomadores utilizando-se a
metodologia dos juros simples.
Ademais, caso fosse adotada efetivamente a opção dos juros simples
nos empréstimos e financiamentos primeiro os bancos poderiam reduzir o
prazo dos empréstimos para um mês fazendo com que os clientes efetuassem
o pagamento mensalmente para novamente tomar emprestado. Mais uma vez,
imaginem o movimento diário das agências bancárias só com clientes pagando
seus empréstimos e solicitando-os novamente. Não seria lógico, nem tão
pouco, razoável. Segundo os bancos poderiam elevar as taxas de juros de
forma a buscar a mesma rentabilidade da metodologia de juros compostos o
que daria na mesma situação para os clientes.
Portanto, sob estes argumentos acredito não haver inconstitucionalidade
na forma atualmente utilizada pelas instituições financeiras tanto para captação
30
de recursos quanto para a concessão de empréstimos e financiamentos.
Acredito ainda ser a forma historicamente utilizada em todo o mundo e que por
este motivo não devem ocorrer maiores debates neste campo de discussão.
31
CAPÍTULO III
RENDAS CERTAS, SISTEMAS DE AMORTIZAÇÂO E
ANÀLISE DO FLUXO DE CAIXA
Rendas Certas – Anuidades
Chamamos de rendas certas ou anuidades uma série uniforme de
pagamentos periódicos que utilizam a metodologia dos juros compostos para a
contabilização dos juros incidentes.
Lembremos a fórmula dos juros compostos:
M = C ( 1 + i ) n
Agora, invertendo os fatores, temos:
C = M ( 1 + i ) -n
Portanto, podemos saber o Capital – valor presente no estudo de
Rendas Certas – a partir de um dado Montante – ou parcela de um fluxo de
caixa no estudo de Rendas Certas – dividindo este pelo fator de capitalização
elevado pelo número de capitalizações existentes. Percebe-se grande
semelhança com o Desconto Racional Composto anteriormente descrito.
No estudo das Rendas Certas ou Anuidades este raciocínio estará
sempre presente, no entanto, deve ser tomado em conjunto para uma série de
pagamentos periódicos com valores iguais.
Renda Postecipada
Chamamos de renda postecipada à série uniforme de pagamentos
periódicos em que o primeiro pagamento ocorre um período após o início do
negócio.
Exemplo 22:
Um cliente deseja financiar a compra de um produto de valor V em três
prestações iguais, vencendo a primeira 30 dias após a compra, a uma taxa de
juros i% a.m.. Definimos P as prestações. Sabe-se que a soma do valor das
32
três prestações descontadas até o momento da compra representará o valor
do produto. Em termos matemáticos temos:
V = P . ( 1 + i ) -1 + P . ( 1 + i ) -2 + P . ( 1 + i ) -3 =
V = P . [ ( 1 + i ) -1 + ( 1 + i ) -2 + ( 1 + i ) -3 ]
Supondo agora que este parcelamento fosse em um número n de
prestações, teríamos uma equação bastante grande que no entanto pode ser
simplificada conforme para a equação abaixo descrita que chamamos de Fator
de Valor Atual de Uma Série de Pagamentos Postecipados:
Vide Anexo 3
Seguindo neste exemplo vamos supor que o produto seja um carro de
valor $ 30000,00 financiado em 20 parcelas mensais sem entrada e a uma
taxa de juros de 1% a.m. Qual seria o valor da prestação?
Assim temos:
Consultando o valor da expressão entre colchetes na tabela do anexo 3
teríamos a seguinte expressão e o seu resultado:
$ 30000,00 = P . 18,045553 è P = $ 1662,46
A representação da situação pode ser vista no desenho abaixo onde há
um recebimento no momento da compra do carro onde os recursos seriam
repassados ao vendedor (seta direcionada para cima) e há vinte pagamentos
consecutivos de igual valor, sendo primeiro um mês após a compra.
]
Renda Antecipada
33
Chamamos de renda antecipada a serie uniforme de pagamentos
periódicos em que o primeiro pagamento ocorre no ato da realização do
negócio. Segue o mesmo principio acima descrito, no entanto, existe o
pagamento de uma entrada no valor da prestação junto com o recebimento
dos recursos. Podemos visualizar a situação na forma do desenho abaixo.
Matematicamente teríamos, a partir da fórmula de Fator de Valor Atual
de Uma Série de Pagamentos, a multiplicação do valor atual pelo fator de
capitalização:
Exemplo 23:
Uma pessoa deseja comprar um carro de valor $ 30000,00 em 20
prestações iguais e consecutivas, pagando a primeira no momento da compra,
onde a taxa de juros do financiamento é de 1% a.m. Qual o valor da
prestação?
Assim teríamos:
Consultando o valor da expressão entre colchetes na tabela do anexo 3
teríamos a seguinte expressão e o resultado:
$ 30000,00 = P . 18,045553 . 1,01 è P = $ 1646,00
Renda Diferida
34
Chamamos de renda diferida à série uniforme de pagamentos
periódicos em que o primeiro pagamento ocorre M + 1 períodos após o início
do negócio, ou seja, há carência de M períodos. Segue o mesmo princípio da
Renda Postecipada, no entanto existe um período M de carência onde os juros
são incluídos no saldo devedor. Podemos visualizar a situação na forma do
desenho abaixo.
Matematicamente teríamos, a partir da fórmula de Fator de Valor Atual
de Uma Série de Pagamentos, a multiplicação do valor atual pelo fator de
capitalização elevado ao número M de capitalizações:
Exemplo 24:
Uma pessoa deseja comprar um carro de valor $ 30000,00 em 20
prestações iguais e consecutivas, pagando a primeira sete meses após a
compra, ou seja, com uma carência de seis meses, onde a taxa de juros do
financiamento é de 1% a.m. Qual o valor da prestação?
Assim teríamos:
Consultando o valor da expressão entre colchetes na tabela do anexo 3
teríamos a seguinte expressão e o resultado:
$ 30000,00 . 1,016 = P . 18,045553 è P = $ 1764,73
Renda Vitalícia
35
Chamamos de renda vitalícia o valor da remuneração de um capital em
cada período de capitalização. Normalmente este conceito aparece em
sistemas de previdência onde o indivíduo forma uma poupança durante seu
período produtivo para poder usufruir de uma renda vitalícia após o momento
em que deseje se aposentar. Para o cálculo do montante acumulado até o
momento do último pagamento do período contributivo utilizamos a fórmula do
Fator de Acumulação de Capital de Uma Série de Pagamentos:
A partir deste montante calculamos o valor de sua renda vitalícia na
forma abaixo:
Exemplo 25:
Um indivíduo passa trinta e cinco anos efetuando depósitos mensais
constantes de $ 200,00 em uma aplicação financeira que lhe rendeu
mensalmente 1% de juros. Após o último depósito qual o valor do montante
acumulado?
Temos 35 anos . 12 meses = 420 depósitos.
Logo: Montante = $ 200,00 . 6430,96 = $ 1286191,89
Qual seria o valor de sua renda mensal vitalícia, supondo que a
rentabilidade permaneça em 1% a.m.?
RV = $ 1286191,89 . 0,01 = $ 12861,92
Sistemas de Amortização
36
Na devolução de um empréstimo, cada prestação é composta de duas
parcelas, uma referente ao pagamento de juros e outra referente à cota de
amortização.
Pk = Jk + Ak
Onde: Pk é a k-ésima prestação do financiamento,
Jk é a cota de juros da k-ésima prestação do financiamento e
Ak é a cota de amortização da k-ésima prestação do financiamento.
Definimos também que, nos diversos sistemas de capitalização
existentes, a parcela de juros é calculada da seguinte forma:
Jk = SDK-1 . i%
Onde: Jk é a cota de juros da k-ésima prestação do financiamento,
SDK-1 é o saldo devedor imediatamente após o pagamento da
Prestação anterior e
i% é a taxa de juros aplicada ao financiamento.
Chamamos de Sistema de Amortização às diferentes formas de
devolução de um empréstimo. Dentre estes, podemos citar como principais o
Sistema Frances ou Tabela Price, o Sistema Hamburguês ou Sistema de
Amortização Constante e o Sistema Americano.
Sistema Frances ou Tabela Price
Essa forma de amortização é representada por uma série de
pagamentos uniformes e periódicos (anuidade), que pode ser antecipada,
postecipada ou diferida (com carência), ou seja, tem prestações fixas. As
situações anteriormente citadas exemplificam a situação. Devemos apenas
decompor os dados do exemplo 22 conforme tabela abaixo:
Sistema Price
Tempo Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 -30000,00 0,00 0,00 0,00 1 -28637,54 300,00 1362,46 1662,46
37
2 -27261,46 286,38 1376,08 1662,46 3 -25871,61 272,61 1389,84 1662,46 4 -24467,87 258,72 1403,74 1662,46 5 -23050,09 244,68 1417,78 1662,46 6 -21618,13 230,50 1431,96 1662,46 7 -20171,85 216,18 1446,28 1662,46 8 -18711,11 201,72 1460,74 1662,46 9 -17235,76 187,11 1475,35 1662,46
10 -15745,66 172,36 1490,10 1662,46 11 -14240,66 157,46 1505,00 1662,46 12 -12720,60 142,41 1520,05 1662,46 13 -11185,35 127,21 1535,25 1662,46 14 -9634,74 111,85 1550,61 1662,46 15 -8068,63 96,35 1566,11 1662,46 16 -6486,86 80,69 1581,77 1662,46 17 -4889,27 64,87 1597,59 1662,46 18 -3275,70 48,89 1613,57 1662,46 19 -1646,00 32,76 1629,70 1662,46 20 0,00 16,46 1646,00 1662,46
Conclusões importantes: Prestações Fixas,
Saldo Devedor Decrescente,
Juros Decrescentes e
Amortização Crescente.
Sistema Hamburguês ou Sistema de Amortização Constante
Nesta forma de amortização as cotas de amortização são constantes e
dadas pelo valor do empréstimo dividido pelo número de prestações. Os juros
são calculados a partir do saldo devedor da parcela anterior e o saldo devedor
da parcela anterior é calculado extraindo-se do valor do empréstimo o número
de amortizações já efetuadas.
Exemplo 26:
Uma pessoa deseja comprar um carro de valor $ 30000,00 em 20
prestações consecutivas utilizando-se o sistema de amortizações constantes,
38
pagando a primeira prestação um mês após a compra, onde a taxa de juros do
financiamento é de 1% a.m. Qual o valor da 14ª prestação?
Temos: Amortização Mensal = $ 30000,00 / 20 = $ 1500,00
Saldo Devedor 13 = $ 30000,00 – 13 . $ 1500,00 = $ 10500,00
Juros14 = $ 10500,00 . 0,01 = $ 105,00
Prestação 14 = $ 105,00 + $ 1500,00 = $ 1605,00
Podemos visualizar os dados completos do problema 26 na tabela
abaixo:
Sistema Hamburguês ou Sistema de Amortização Constante
Tempo Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 -30000,00 0,00 0,00 0,00 1 -28500,00 300,00 1500,00 1800,00 2 -27000,00 285,00 1500,00 1785,00 3 -25500,00 270,00 1500,00 1770,00 4 -24000,00 255,00 1500,00 1755,00 5 -22500,00 240,00 1500,00 1740,00 6 -21000,00 225,00 1500,00 1725,00 7 -19500,00 210,00 1500,00 1710,00 8 -18000,00 195,00 1500,00 1695,00 9 -16500,00 180,00 1500,00 1680,00
10 -15000,00 165,00 1500,00 1665,00 11 -13500,00 150,00 1500,00 1650,00 12 -12000,00 135,00 1500,00 1635,00 13 -10500,00 120,00 1500,00 1620,00 14 -9000,00 105,00 1500,00 1605,00 15 -7500,00 90,00 1500,00 1590,00 16 -6000,00 75,00 1500,00 1575,00 17 -4500,00 60,00 1500,00 1560,00 18 -3000,00 45,00 1500,00 1545,00 19 -1500,00 30,00 1500,00 1530,00 20 0,00 15,00 1500,00 1515,00
Conclusões importantes: Amortização Constante,
Prestações Decrescentes,
Saldo Devedor Decrescente,
39
Juros Decrescentes.
Sistema Americano
Nessa forma de amortização durante todo o período do financiamento
são devidos somente os juros e na última data ocorre o pagamento do capital
emprestado acrescido dos juros do último período.
Exemplo 27:
Uma pessoa deseja comprar um carro de valor $ 30000,00 utilizando-se
o sistema americano de amortizações, pagando mensalmente os juros e o
capital 20 meses após a compra, onde a taxa de juros do financiamento é de
1% a.m. Qual o valor da parcela de juros mensal?
Juros Mensal = $ 30000,00 . 0,01 = $ 300
Qual o valor do 20º pagamento?
Juros 20 = $ 30000,00 . 0,01 = $ 300
Amortização 20 = $ 30000,00
Prestação 20 = $ 300,00 + $ 30000,00
Sistema Americano
Tempo Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 -30000,00 0,00 0,00 0,00 1 -30000,00 300,00 0,00 300,00 2 -30000,00 300,00 0,00 300,00 3 -30000,00 300,00 0,00 300,00 4 -30000,00 300,00 0,00 300,00 5 -30000,00 300,00 0,00 300,00 6 -30000,00 300,00 0,00 300,00 7 -30000,00 300,00 0,00 300,00 8 -30000,00 300,00 0,00 300,00 9 -30000,00 300,00 0,00 300,00
10 -30000,00 300,00 0,00 300,00 11 -30000,00 300,00 0,00 300,00 12 -30000,00 300,00 0,00 300,00 13 -30000,00 300,00 0,00 300,00 14 -30000,00 300,00 0,00 300,00 15 -30000,00 300,00 0,00 300,00
40
16 -30000,00 300,00 0,00 300,00 17 -30000,00 300,00 0,00 300,00 18 -30000,00 300,00 0,00 300,00 19 -30000,00 300,00 0,00 300,00 20 0,00 300,00 30000,00 30300,00
Conclusões importantes: Sem Amortização Até a Penúltima Prestação,
Prestações Iguais aos Juros, Exceto a Última,
Saldo Devedor Constante,
Juros Constantes.
Análise de Fluxo de Caixa
Trata-se do principal objetivo da matemática financeira. O fluxo
de caixa de um investimento, empréstimo ou financiamento, ou mesmo de uma
empresa, é o nome dado ao conjunto de entradas e saídas de dinheiro ao
longo do tempo. Em princípio segue os mesmos conceitos básicos aplicados
as rendas certas partindo da fórmula dos juros compostos:
M = C ( 1 + i ) n
Agora, invertendo os fatores, temos:
C = M ( 1 + i ) -n
Portanto, podemos saber o Capital – valor presente no estudo dos
fluxos de caixa – a partir de um dado Montante – entrada ou saída no estudo
dos fluxos de caixa – dividindo este pelo fator de capitalização elevado pelo
número de capitalizações existentes.
No estudo dos Fluxos de Caixa este raciocínio estará sempre presente,
no entanto, deve ser tomado em conjunto para uma série de entradas e saídas
de caixa que compõem o fluxo e sem regra quanto a seus valores. Podemos
visualizar um fluxo de caixa com 17 períodos na forma do desenho abaixo.
Reparem que em certos períodos não existe entrada ou saída de recursos o
que é perfeitamente passível de ocorrer.
41
Neste estudo, a maioria dos casos se apresenta como comparação
entre dois ou mais fluxos de caixa e, portanto, casa um deve ter um número
que o represente de forma a que seja estabelecida a comparação. Assim dois
conceitos são utilizados: VPL – Valor Presente Líquido e TIR – Taxa Interna de
Retorno. Como não há um padrão em relação aos fluxos de caixa, não pode
ser definida uma fórmula para simplificação do cálculo, logo utilizaremos a
calculadora HP 12-C para nos ajudar nos cálculos.
VPL – Valor Presente Líquido
Valor Presente Líquido é a soma das entradas e saídas,
descapitalizadas, uma a uma, até o momento zero. Na calculadora HP 12-C
vem indicada pela sigla NPV.
Exemplo 28:
Uma empresa tem de investir em uma máquina para ampliar seu
faturamento. No entanto existem no mercado duas máquinas que, de acordo
com estudos, podem gerar para a empresa os seguintes fluxos anuais de
caixa:
Investimento A Investimento B
Tempo 0: - $ 30000,00 - $ 40000,00
Tempo 1: - $ 10000,00 $ 0,00
Tempo 2: $ 10000,00 $ 20000,00
Tempo 3: $ 20000,00 $ 20000,00
Tempo 4: $ 25000,00 $ 15000,00
Valores com sinal negativo indicam saídas de recursos, valores sem
sinais indicam entradas de recursos. Supondo uma taxa anual de juros de 10%
qual das alternativas de investimento deveria a empresa escolher?
Resolvendo na HP 12-C:
Investimento A:
42
Teclas: Comentários:
f / CLx Limpa os registros financeiros e o visor.
30000 / CHS / g / PV Insere a saída do período 0.
10000 / CHS / g / PMT Insere a saída do período 1.
10000 / g / PMT Insere a entrada do período 2.
20000 / g / PMT Insere a entrada do período 3.
25000 / g / PMT Insere a entrada do período 4.
10 / i Insere a taxa de juros.
f / PV Valor Presente Líquido = $ 1275,19
Investimento B:
Teclas: Comentários:
f / CLx Limpa os registros financeiros e o visor.
40000 / CHS / g / PV Insere a saída do período 0.
0 / g / PMT Insere o movimento zerado do período 1.
20000 / g / PMT Insere a entrada do período 2.
2 / g / FV Insere o número de vezes que a entrada de
$ 20000,00 se repete (períodos 2 e 3).
15000 / g / PMT Insere a entrada do período 4.
10 / i Insere a taxa de juros.
f / PV Valor Presente Líquido = $ 1800,42
Conclui-se, portanto, que os dois investimentos possuem valores
presentes líquidos positivos utilizando-se como referência a taxa de 10% a.a. e
que o investimento B é o que apresenta, desconsiderando outros fatores
alheios a esta análise, o maior VPL sendo o mais rentável para a empresa.
TIR – Taxa Interna de Retorno
Taxa interna de retorno é a taxa que torna nulo o valor presente líquido
de um fluxo de caixa.
Exemplo 29:
43
Uma empresa tem de investir em uma máquina para ampliar seu
faturamento. No entanto existem no mercado duas máquinas que, de acordo
com estudos, podem gerar para a empresa os seguintes fluxos anuais de
caixa:
Investimento A Investimento B
Tempo 0: - $ 30000,00 - $ 40000,00
Tempo 1: - $ 10000,00 $ 0,00
Tempo 2: $ 10000,00 $ 20000,00
Tempo 3: $ 20000,00 $ 20000,00
Tempo 4: $ 25000,00 $ 15000,00
Valores com sinal negativo indicam saídas de recursos, valores sem
sinais indicam entradas de recursos. Qual das alternativas de investimento
representa para a empresa uma maior Taxa Interna de Retorno Anual?
Resolvendo na HP 12-C:
Investimento A:
Teclas: Comentários:
f / CLx Limpa os registros financeiros e o visor.
30000 / CHS / g / PV Insere a saída do período 0.
10000 / CHS / g / PMT Insere a saída do período 1.
10000 / g / PMT Insere a entrada do período 2.
20000 / g / PMT Insere a entrada do período 3.
25000 / g / PMT Insere a entrada do período 4.
f / FV Taxa Interna de Retorno Anual = 11,19% a.a.
Investimento B:
Teclas: Comentários:
f / CLx Limpa os registros financeiros e o visor.
40000 / CHS / g / PV Insere a saída do período 0.
0 / g / PMT Insere o movimento zerado do período 1.
20000 / g / PMT Insere a entrada do período 2.
2 / g / FV Insere o número de vezes que a entrada de
44
$ 20000,00 se repete (períodos 2 e 3).
15000 / g / PMT Insere a entrada do período 4.
f / FV Taxa Interna de Retorno Anual = 11,72% a.a.
Conclui-se, portanto, que os dois investimentos possuem taxas internas
de retorno positiva e que o investimento B é o que apresenta, desconsiderando
outros fatores alheios a esta análise, a maior TIR sendo o mais rentável para a
empresa.
45
CONCLUSÃO
A Matemática Financeira, enquanto parte de uma ciência, tem como
objetivo estudar a forma como capital e juros se comportam ao longo do tempo
baseando-se nas metodologias de Juros Simples e Juros Compostos.
Neste trabalho foram apresentados de forma sintetizada conceitos de
Porcentagem, Juros Simples, Desconto Simples, Juros Compostos, Estudo e
Definição das Taxas, Convenções Linear e Exponencial, Descontos
Compostos, Rendas Certas, Sistemas de Amortização e Análise de Fluxos de
Caixa com a utilização de exemplos práticos básicos como ferramenta de
aprendizado.
Ademais, foram evidenciadas comparações entre as metodologias e as
definições apresentadas, de forma que o leitor possa entender as implicações
da adoção de cada uma delas. Brevemente, alguns argumentos foram
apresentados a respeito da discussão existente a respeito da
constitucionalidade ou não da utilização da metodologia de juros compostos
para o cálculo dos saldos e prestações de empréstimos e financiamentos.
Logo, em um único material foram apresentados conceitos de
matemática financeira e exemplos práticos de finanças com demonstrações de
resolução sem utilização de calculadoras financeiras e quando necessário com
o auxilio da HP 12-C, alcançando o objetivo de facilitar o aprendizado básico
da disciplina para profissionais de instituições financeiras e do mercado
financeiro, bem como facilitar a preparação dos candidatos a todos os
concursos públicos onde sejam cobrados estes conhecimentos.
Maiores e mais aprofundados conceitos bem como exemplos de maior
complexidade devem ser procurados em outros trabalhos de forma a completar
o aprendizado.
46
ANEXOS
ÍNDICE DE ANEXOS
Anexo 1 >> Fator de Capitalização
Anexo 2 >> Fator de Acumulação de Capital de Uma Série de Pagamentos
Anexo 3 >> Fator de Valor Atual de Uma Série de Pagamentos Postecipados
47
ANEXO 1
Fator de Capitalização
n i% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%
1
1,0
1000
0
1,0
2000
0
1,0
3000
0
1,0
4000
0
1,0
5000
0
1,0
6000
0
1,0
7000
0
1,0
8000
0
1,0
9000
0
1,1
0000
0
1,1
2000
0
1,1
5000
0
1,1
8000
0
2
1,0
2010
0
1,0
4040
0
1,0
6090
0
1,0
8160
0
1,1
0250
0
1,1
2360
0
1,1
4490
0
1,1
6640
0
1,1
8810
0
1,2
1000
0
1,2
5440
0
1,3
2250
0
1,3
9240
0
3
1,0
3030
1
1,0
6120
8
1,0
9272
7
1,1
2486
4
1,1
5762
5
1,1
9101
6
1,2
2504
3
1,2
5971
2
1,2
9502
9
1,3
3100
0
1,4
0492
8
1,5
2087
5
1,6
4303
2
4
1,0
4060
4
1,0
8243
2
1,1
2550
9
1,1
6985
9
1,2
1550
6
1,2
6247
7
1,3
1079
6
1,3
6048
9
1,4
1158
2
1,4
6410
0
1,5
7351
9
1,7
4900
6
1,9
3877
8
5
1,0
5101
0
1,1
0408
1
1,1
5927
4
1,2
1665
3
1,2
7628
2
1,3
3822
6
1,4
0255
2
1,4
6932
8
1,5
3862
4
1,6
1051
0
1,7
6234
2
2,0
1135
7
2,2
8775
8
6
1,0
6152
0
1,1
2616
2
1,1
9405
2
1,2
6531
9
1,3
4009
6
1,4
1851
9
1,5
0073
0
1,5
8687
4
1,6
7710
0
1,7
7156
1
1,9
7382
3
2,3
1306
1
2,6
9955
4
8
1,0
8285
7
1,1
7165
9
1,2
6677
0
1,3
6856
9
1,4
7745
5
1,5
9384
8
1,7
1818
6
1,8
5093
0
1,9
9256
3
2,1
4358
9
2,4
7596
3
3,0
5902
3
3,7
5885
9
10
1,1
0462
2
1,2
1899
4
1,3
4391
6
1,4
8024
4
1,6
2889
5
1,7
9084
8
1,9
6715
1
2,1
5892
5
2,3
6736
4
2,5
9374
2
3,1
0584
8
4,0
4555
8
5,2
3383
6
12
1,1
2682
5
1,2
6824
2
1,4
2576
1
1,6
0103
2
1,7
9585
6
2,0
1219
6
2,2
5219
2
2,5
1817
0
2,8
1266
5
3,1
3842
8
3,8
9597
6
5,3
5025
0
7,2
8759
3
15
1,
1609
69
1,
3458
68
1,
5579
67
1,
8009
44
2,
0789
28
2,
3965
58
2,
7590
32
3,
1721
69
3,
6424
82
4,
1772
48
5,
4735
66
8,
1370
62
11,
9737
48
18
1,
1961
47
1,
4282
46
1,
7024
33
2,
0258
17
2,
4066
19
2,
8543
39
3,
3799
32
3,
9960
19
4,
7171
20
5,
5599
17
7,
6899
66
12,
3754
54
19,
6732
51
20
1,
2201
90
1,
4859
47
1,
8061
11
2,
1911
23
2,
6532
98
3,
2071
35
3,
8696
84
4,
6609
57
5,
6044
11
6,
7275
00
9,
6462
93
16,
3665
37
27,
3930
35
48
ANEXO 2
Fator de Acumulação de Capital de Uma Série de Pagamentos
n i% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%
1
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
1,0
0000
0
2
2,0
1000
0
2,0
2000
0
2,0
3000
0
2,0
4000
0
2,0
5000
0
2,0
6000
0
2,0
7000
0
2,0
8000
0
2,0
9000
0
2,1
0000
0
2,1
2000
0
2,1
5000
0
2,1
8000
0
3
3,0
3010
0
3,0
6040
0
3,0
9090
0
3,1
2160
0
3,1
5250
0
3,1
8360
0
3,2
1490
0
3,2
4640
0
3,2
7810
0
3,3
1000
0
3,3
7440
0
3,4
7250
0
3,5
7240
0
4
4,0
6040
1
4,1
2160
8
4,1
8362
7
4,2
4646
4
4,3
1012
5
4,3
7461
6
4,4
3994
3
4,5
0611
2
4,5
7312
9
4,6
4100
0
4,7
7932
8
4,9
9337
5
5,2
1543
2
5
5,1
0100
5
5,2
0404
0
5,3
0913
6
5,4
1632
3
5,5
2563
1
5,6
3709
3
5,7
5073
9
5,8
6660
1
5,9
8471
1
6,1
0510
0
6,3
5284
7
6,7
4238
1
7,1
5421
0
6
6,1
5201
5
6,3
0812
1
6,4
6841
0
6,6
3297
5
6,8
0191
3
6,9
7531
9
7,1
5329
1
7,3
3592
9
7,5
2333
5
7,7
1561
0
8,1
1518
9
8,7
5373
8
9,4
4196
8
8
8,
2856
71
8,
5829
69
8,
8923
36
9,
2142
26
9,
5491
09
9,
8974
68
10,
2598
03
10,
6366
28
11,
0284
74
11,
4358
88
12,
2996
93
13,
7268
19
15,
3269
96
10
10,
4622
13
10,
9497
21
11,
4638
79
12,
0061
07
12,
5778
93
13,
1807
95
13,
8164
48
14,
4865
62
15,
1929
30
15,
9374
25
17,
5487
35
20,
3037
18
23,
5213
09
12
12,
6825
03
13,
4120
90
14,
1920
30
15,
0258
05
15,
9171
27
16,
8699
41
17,
8884
51
18,
9771
26
20,
1407
20
21,
3842
84
24,
1331
33
29,
0016
67
34,
9310
70
15
16,
0968
96
17,
2934
17
18,
5989
14
20,
0235
88
21,
5785
64
23,
2759
70
25,
1290
22
27,
1521
14
29,
3609
16
31,
7724
82
37,
2797
15
47,
5804
11
60,
9652
66
18
19
,614
748
21
,412
312
23
,414
435
25
,645
413
28
,132
385
30
,905
653
33
,999
033
37
,450
244
41
,301
338
45
,599
173
55
,749
715
75
,836
357
103
,740
283
20
22
,019
004
24
,297
370
26
,870
374
29
,778
079
33
,065
954
36
,785
591
40
,995
492
45
,761
964
51
,160
120
57
,274
999
72
,052
442
102
,443
583
146
,627
970
49
ANEXO 3
Fator de Valor Atual de Uma Série de Pagamentos Postecipados
n i% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%
1
0,9
9009
9
0,9
8039
2
0,9
7087
4
0,9
6153
8
0,9
5238
1
0,9
4339
6
0,9
3457
9
0,9
2592
6
0,9
1743
1
0,9
0909
1
0,8
9285
7
0,8
6956
5
0,8
4745
8
2
1,9
7039
5
1,9
4156
1
1,9
1347
0
1,8
8609
5
1,8
5941
0
1,8
3339
3
1,8
0801
8
1,7
8326
5
1,7
5911
1
1,7
3553
7
1,6
9005
1
1,6
2570
9
1,5
6564
2
3
2,9
4098
5
2,8
8388
3
2,8
2861
1
2,7
7509
1
2,7
2324
8
2,6
7301
2
2,6
2431
6
2,5
7709
7
2,5
3129
5
2,4
8685
2
2,4
0183
1
2,2
8322
5
2,1
7427
3
4
3,9
0196
6
3,8
0772
9
3,7
1709
8
3,6
2989
5
3,5
4595
1
3,4
6510
6
3,3
8721
1
3,3
1212
7
3,2
3972
0
3,1
6986
5
3,0
3734
9
2,8
5497
8
2,6
9006
2
5
4,8
5343
1
4,7
1346
0
4,5
7970
7
4,4
5182
2
4,3
2947
7
4,2
1236
4
4,1
0019
7
3,9
9271
0
3,8
8965
1
3,7
9078
7
3,6
0477
6
3,3
5215
5
3,1
2717
1
6
5,7
9547
6
5,6
0143
1
5,4
1719
1
5,2
4213
7
5,0
7569
2
4,9
1732
4
4,7
6654
0
4,6
2288
0
4,4
8591
9
4,3
5526
1
4,1
1140
7
3,7
8448
3
3,4
9760
3
8
7,6
5167
8
7,3
2548
1
7,0
1969
2
6,7
3274
5
6,4
6321
3
6,2
0979
4
5,9
7129
9
5,7
4663
9
5,5
3481
9
5,3
3492
6
4,9
6764
0
4,4
8732
2
4,0
7756
6
10
9,4
7130
5
8,9
8258
5
8,5
3020
3
8,1
1089
6
7,7
2173
5
7,3
6008
7
7,0
2358
2
6,7
1008
1
6,4
1765
8
6,1
4456
7
5,6
5022
3
5,0
1876
9
4,4
9408
6
12
11,
2550
77
10,
5753
41
9,
9540
04
9,
3850
74
8,
8632
52
8,
3838
44
7,
9426
86
7,
5360
78
7,
1607
25
6,
8136
92
6,
1943
74
5,
4206
19
4,
7932
25
15
13,
8650
53
12,
8492
64
11,
9379
35
11,
1183
87
10,
3796
58
9,
7122
49
9,
1079
14
8,
5594
79
8,
0606
88
7,
6060
80
6,
8108
64
5,
8473
70
5,
0915
78
18
16,
3982
69
14,
9920
31
13,
7535
13
12,
6592
97
11,
6895
87
10,
8276
03
10,
0590
87
9,
3718
87
8,
7556
25
8,
2014
12
7,
2496
70
6,
1279
66
5,
2731
64
20
18,
0455
53
16,
3514
33
14,
8774
75
13,
5903
26
12,
4622
10
11,
4699
21
10,
5940
14
9,
8181
47
9,
1285
46
8,
5135
64
7,
4694
44
6,
2593
31
5,
3527
46
50
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
Cesar, BENJAMIN. Matemática Financiera: Teoria e 840 Questões. Rio de
Janeiro: Impetus, 2002.
BANCO DO BRASIL. Curso básico de Finanças: Rumo a Consultoria
Financeira. Apostilado, 2006
BANCO DO BRASIL. Auto-Instrucional de Matemática Financeira, Curso.
Apostilado.
HEWLETT-PACKARD COMPANY. HP 12-C Manual do Proprietário e Guia
para Solução de Problemas. 1981
51
ÍNDICE
FOLHA DE ROSTO 2
AGRADECIMENTO 3
DEDICATÓRIA 4
RESUMO 5
METODOLOGIA 6
SUMÁRIO 7
INTRODUÇÃO 8
CAPÍTULO I 9
PORCENTAGEM 9
JUROS SIMPLES 11
DESCONTOS SIMPLES 13
CAPÍTULO II 18
JUROS COMPOSTOS 18
ESTUDO E DEFINIÇÂO DE TAXAS 21
CONVENÇÕES LINAR E EXPONENCIAL 24
DESCONTOS COMPOSTOS 25
CAPÍTULO III 31
RENDAS CERTAS 31
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÂO 36
ANÀLISE DO FLUXO DE CAIXA 40
CONCLUSÃO 45
ANEXOS 46
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 50
ÍNDICE 51
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