UN
IVER
SID
AD
E D
E SÃ
O P
AULO
Inst
ituto
de
Ciên
cias
Mat
emát
icas
e d
e Co
mpu
taçã
o
Aspectos da teoria invariante e equivariante para a ação dogrupo de Lorentz no espaço de Minkowski
Leandro Nery de OliveiraTese de Doutorado do Programa de Pós-Graduação emMatemática (PPG-Mat)
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito:
Assinatura: ______________________
Leandro Nery de Oliveira
Aspectos da teoria invariante e equivariante para a ação dogrupo de Lorentz no espaço de Minkowski
Tese apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Doutor em Ciências – Matemática. VERSÃOREVISADA
Área de Concentração: Matemática
Orientadora: Profa. Dra. Miriam Garcia Manoel
USP – São CarlosAgosto de 2017
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
O48aOliveira, Leandro Nery de Aspectos da teoria invariante e equivariantepara a ação do grupo de Lorentz no espaço deMinkowski / Leandro Nery de Oliveira; orientadoraMíriam Garcia Manoel. -- São Carlos, 2017. 117 p.
Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação emMatemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas ede Computação, Universidade de São Paulo, 2017.
1. Grupo de Lorentz. 2. Espaço de Minkowski. 3.Teoria invariante. I. Manoel, Míriam Garcia, orient.II. Título.
Leandro Nery de Oliveira
Aspects of invariant and equivariant theory for the action ofthe Lorentz group on the Minkowski space
Doctoral dissertation submitted to the Institute ofMathematics and Computer Sciences – ICMC-USP, inpartial fulfillment of the requirements for the degree ofthe Doctorate Program in Mathematics. FINALVERSION
Concentration Area: Mathematics
Advisor: Profa. Dra. Miriam Garcia Manoel
USP – São CarlosAugust 2017
À minha esposa Jorgeane e aos meus dois filhos Helena e Heitor.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, agradeço à minha esposa Jorgeane Oliveira, pelo amor, paciência, com-preensão, encorajamento e aos meus filhos Helena e Heitor, meus grandes presentes.
À professora Míriam, pelo profissionalismo, seriedade e paciência. Sou eternamentegrato pela orientação e apoio bem como sua ajuda pessoal com a minha estadia em São Carlos.
Ao professor Leonardo Câmara pelo incentivo e apoio.
Aos meus amigos Thiago, Maico, Fernando, Karlo, Telau, Giovani e Marcos Auréliopela sincera amizade e momentos de desabafo.
Aos meus amigos do doutorado, Camilo, Dione, Rogélio e Martin, pelo momentos deestudos e descontração, em especial a Patrícia pelas discussões e conversas.
À minha cunhada Ana Helena (Lene), por se dispor a vir de Rio Branco a São Carlos meajudar, cuidando dos meus filhos nas incontáveis horas que passei distante deles.
À CAPES pelo auxílio financeiro durante todo o doutorado.
A todos aqueles que me ajudaram de alguma forma durante o doutorado.
“A matemática, vista corretamente,
possui não apenas verdade,
mas também suprema beleza -
uma beleza fria e austera, como a da escultura.”
(Bertrand Russell)
RESUMO
OLIVEIRA, L. N. Aspectos da teoria invariante e equivariante para a ação do grupo deLorentz no espaço de Minkowski. 2017. 117 p. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) –Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos –SP, 2017.
Neste trabalho, introduzimos a teoria invariante e equivariante para a ação do grupo de Lorentzno espaço de Minkowski. Na teoria clássica, muitos resultados são válidos somente para a açãode grupos compactos em espaços Euclideanos. Continuamos o estudo para alguns subgrupos deLorentz compactos e apresentamos uma forma de calcular as involuções de Lorentz em O(n,1).Fazemos uma empolgante discussão sobre uma classe de matrizes centrossimétricas polinomiaiscom aplicações em teoria invariante, estabelecendo um rumo para a pesquisa em subgrupos deLorentz não compactos. Por fim, apresentamos alguns resultados da teoria equivariante parasubgrupos de Lorentz.
Palavras-chave: Grupo de Lorentz, Espaço de Minkowski, Teoria invariante, Teoria equivariante.
ABSTRACT
OLIVEIRA, L. N. Aspects of invariant and equivariant theory for the action of the Lorentzgroup on the Minkowski space. 2017. 117 p. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) –Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos –SP, 2017.
In this work, we introduce the invariant and equivariant theory for the Lorentz group on theMinkowski space. In the classical theory, many results are valid only for compact groups onEuclidean spaces. We continue the study of some compact Lorentz subgroups and present a wayof calculating the Lorentz involutions in O(n,1). We make an exciting discussion about a classof polynomial centrosymmetric matrices with applications in invariant theory, setting a coursefor research in non-compact Lorentz groups. Finally, we present some results for the equivarianttheory of Lorentz subgroups.
Keywords: Lorentz Group, Minkowski space, Invariant theory, Equivariant theory.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – (i) Plano do tipo espaço (ii) Plano do tipo luz (iii) Planodo tipo tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 2 – Espaço hiperbólico H n(r) em relação ao cone luz. . . . . . . . . . . . . . 51Figura 3 – Ação de uma matriz de SO0(2,1) em um vetor v de um espaço hiperbólico. . 51Figura 4 – Fix do tipo espaço e seu complemento Lorentz ortogonal . . . . . . . . . . 65Figura 5 – Fix do tipo luz e seu complemento Lorentz ortogonal . . . . . . . . . . . . 65Figura 6 – Fix do tipo tempo e seu complemento Lorentz ortogonal . . . . . . . . . . . 66Figura 7 – Cadeia de Isotropia de O(1,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Figura 8 – Cadeia de Isotropia de O(2,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Subespaços invariantes de O(1,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Tabela 2 – Subespaços de pontos fixos de R1+1 e R2+1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Tabela 3 – Polinômios Γln(2)-invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Tabela 4 – Subgrupos de isotropia de O(1,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Tabela 5 – Subgrupos de isotropia de O(2,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1 Grupos de Lie e teoria de representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.1 Teoria invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1.2 Aplicações equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2 Os grupos de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.1 A decomposição polar e as componentes conexas de O(n,1) . . . . . . . . 33
1.2.2 O(n,1) como o produto semidireto dos subgrupos SO0(n,1) e Z2×Z2 . . . 40
1.2.3 A decomposição em valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.4 Vetores no espaço de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2.5 Subespaços do espaço de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 A AÇÃO DO GRUPO DE LORENTZ NO ESPAÇO DE MINKOWSKI . 49
2.1 A ação do grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Teoria invariante e o subespaço de pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Operadores de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Subespaços invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.1 Complemento Lorentz invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.2 Subespaços invariantes em R1+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.3 Subespaços invariantes em R2+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 AS INVOLUÇÕES DE LORENTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1 Involuções em O(1,1) e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Involuções em O(2,1) e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Involuções em O(n,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 O subespaço de pontos fixos de uma involução de Lorentz . . . . . . . . 84
4 SOBRE OS INVARIANTES PARA ROTAÇÕES DE LORENTZ . . . . 87
4.1 Matriz centrossimétrica polinomial em duas variáveis . . . . . . . . . . 89
4.2 A base de Hilbert de P(Γθ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 APLICAÇÕES EQUIVARIANTES PELA AÇÃO DE UM SUBGRUPODE LORENTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1 Cadeia de isotropia de O(1,1) e O(2,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.1 Cadeia de isotropia de O(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.2 Cadeia de isotropia de O(2,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Aplicações equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.1 O módulo das aplicações equivariantes por uma involução de O(1,1) . . . 1075.2.2 Aplicações equivariantes por uma involução de O(2,1) . . . . . . . . . . . 108
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
APÊNDICE A MATRIZES DE Rh(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
21
INTRODUÇÃO
De uma maneira geral, os sistemas dinâmicos estudam a evolução de um fenômeno,que depende do tempo, bem como suas propriedades locais e globais. A teoria de sistemasdinâmicos que são equivariantes com respeito à ação de grupos usa diversas ferramentas daÁlgebra e da Topologia, como a teoria da representação de grupos, teoria invariante, açõesde grupos e teoria da bifurcação, além da teoria de singularidades. Contribuições importantesforam dadas por Golubitsky, Stewart e Schaeffer com o livro clássico [17], Vanderbauwhede[41] e outros trabalhos que vieram a partir de então. Diferentes aspectos destas ferramentas sãonecessários para lidar com as propriedades algébricas e geométricas destes sistemas em espaçosnão euclideanos, como o espaço que estudamos, o espaço de Minkowski.
Muito do que se tem feito em teoria de sistemas dinâmicos equivariantes usa o fato, comohipótese fundamental, que o grupo é compacto. Nesse sentido, o estudo do grupo de Lorentz,especialmente dos seus subgrupos compactos, torna-se relevante.
Por definição, o grupo de Lorentz é um subgrupo do grupo de Poincaré que preservaa forma bilinear, ou pseudo-produto interno de Lorentz 〈,〉 e também preserva a distânciade Lorentz dada por ||u− v|| =
√| 〈u,v〉 |. Porém, o grupo de Lorentz não contém todas as
transformações que preservam a distância de Lorentz, isso cabe ao grupo de Poincaré, o grupode isometrias no espaço de Minkowski. Por várias razões, a descrição de subgrupos gerais dogrupo de Lorentz é de grande interesse em aplicações. Por exemplo, é de particular interesse sediscutir os subgrupos discretos do grupo de Lorentz; a literatura traz trabalhos que variam dosanos 60 ([19]) até trabalhos recentes como em [37].
O espaço de Minkowski, ou também chamado espaço-tempo, é o contexto em que secombina espaço e tempo em um único sistema de coordenadas. É um espaço vetorial real,(n+1)-dimensional, dotado de uma pseudo-métrica simétrica, bilinear não degenerada associadaao pseudo-produto interno
〈((x1, · · · ,xn,xn+1),((y1, · · · ,yn,yn+1)〉=n
∑i=1
xiyi− xn+1yn+1.
Classifica-se os pontos x do espaço de Minkowski como sendo do tipo espaço, tipo tempo outipo luz, se 〈x,x〉 é positivo, negativo ou nulo, respectivamente. Essa nomenclatura vem da teoriada relatividade de Einstein. Na teoria da relatividade de Einstein, o espaço de Minkowski R3+1 éo espaço vetorial real R4 onde as três primeiras coordenadas são espaciais e a última coordenadaé temporal. Vários autores têm considerado uma grande variedade de aspectos da teoria das
22 SUMÁRIO
singularidades e da geometria diferencial em espaços de Minkowski ([32] e [39]) e sistemasdinâmicos e bifurcações ([7], [24], [44]).
Discutimos, neste trabalho, aspectos no grupo de Lorentz e no espaço de Minkowskido ponto de vista da teoria invariante e equivariante, importantes ferramentas para a teoria desistemas dinâmicos equivariantes. Adaptamos a teoria invariante e equivariante, desenvolvidaem [17] e [35] para grupos compactos, para o grupo de Lorentz.
A teoria de representação em espaço de Minkowski para o grupo de Lorentz é abordada.Optamos por fazer um texto mais fluido, suave e uniforme. Por isso, incluímos alguns resultados,devidamente referenciados, com as demonstrações. Em outros resultados apresentamos umademonstração particular.
Uma matriz centrossimétrica [ai, j], de ordem n, é definida por
ai, j = an+1−i,n+1− j, para todo i, j = 1, · · · ,n.
Muitos trabalhos abordam as propriedades das matrizes centrossimétricas ([6], [12], [18], [28],[36], [40] e [43]). Estas matrizes desempenham um papel importante em várias áreas como, porexemplo, no cálculo de probabilidades e na análise de séries temporais ([8]). Também em áreas daengenharia e física como reconhecimento de padrões, teoria de antenas, física quântica, vibraçãoem estruturas e o oscilador quântico-mecânico, teoria da comunicação e análise de fala, comoabordado em [9] e [10]. Portanto, existe uma potencial aplicação destas matrizes em sistemasdinâmicos equivariantes. Estudamos, nesta tese, uma classe de matrizes centrossimétricas comentradas polinomiais e mostramos uma aplicação destas matrizes na teoria invariante.
Esperamos que os resultados obtidos nesta tese contribuam para um melhor entendimentodos aspectos da teoria invariante e equivariante da ação do grupo de Lorentz no espaço deMinkowski.
A seguir, descrevemos o conteúdo de cada capítulo destacando alguns dos resultadosencontrados.
No capítulo 1 apresentamos os conceitos básicos da teoria invariante e equivariante,que podem ser encontrados em [17] e [35]. Apresentamos também os grupos de Lorentz e suadecomposição em quatro componentes conexas. Destacamos o Teorema 1.2.14, mostrando quematrizes conjugadas estão na mesma componente conexa e escrevemos o grupo de Lorentz comoo produto semidireto da componente conexa da identidade com um subgrupo de Lorentz finitode ordem quatro, Proposição 1.2.15. Mostramos a decomposição na forma polar e em valoressingulares das matrizes de Lorentz, encontrado em [13], sendo esta última de grande importânciapara os resultados neste trabalho. Apresentamos também os subespaços do tipo luz, tempo eespaço, do espaço de Minkowski, e suas principais propriedades.
No capítulo 2, fazemos uma reunião de alguns resultados e propriedades mais geraissobre o grupo de Lorentz. Estudamos a ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski. No
SUMÁRIO 23
Teorema 2.1.6, mostramos que a ação do grupo de Lorentz em Rn+1 é absolutamente irredutível.O Lema 2.3.1 é importante para estabelecer um método que possa nos dar uma base de Hilbertde um grupo Γ, uma vez que se conheça a base de Hilbert de um subgrupo de Γ de índice quatro,usando para isso operadores de Reynolds e o Teorema 2.3.3, encontrado em [3]. Mostramos, naProposição 2.4.1, que todo subespaço de Minkowski Γ-invariante, não degenerado, admite umcomplemento Lorentz ortogonal Γ-invariante. No caso de subespaço degenerado apresentamosuma condição suficiente para encontrarmos um complemento Lorentz ortogonal, Proposição2.4.2. Finalizamos o capítulo apresentando alguns resultados e propriedades sobre subespaçosinvariantes do espaço de Minkowski, mostrando vários resultados sobre os espaços invariantesem R1+1 e R2+1, dando um destaque aos espaços de pontos fixos e sua natureza geométrica noespaço de Minkowski.
O capítulo 3 é dedicado aos Z2-subgrupos de Lorentz. Fazemos uma classificação geraldas matrizes de involução de Lorentz em O(n,1). As Proposições 3.1.1 e 3.2.1 nos dão a formageral de uma involução de Lorentz em O(1,1) e O(2,1), respectivamente, e no Teorema 3.3.4mostramos como pode ser escrita uma involução em O(n,1). Por fim, o Corolário 3.3.5 ajuda-nos a encontrar de maneira simples uma involução de Lorentz. Apresentamos os polinômiosinvariantes pela ação de involuções em O(1,1) (Proposição 3.1.4) e O(2,1) (Proposição 3.2.4)e alguns polinômios invariantes pela ação de O(3,1) (Proposições 3.3.3 e 3.3.6). Encerramoso capítulo mostrando que o conjuntos dos pontos fixos, da ação de um grupo gerado por umainvolução, nunca será um espaço do tipo luz, Teorema 3.4.3.
No capítulo 4 estudamos o grupo gerado pela rotação hiperbólica pura em O(1,1).No estudo dos invariantes para o grupo gerado por esta rotação hiperbólica, chegamos a umtipo especial de matrizes conhecida como matrizes centrossimétricas. Dedicamos boa parte docapítulo ao estudo das propriedades destas matrizes com entradas polinomiais. Chegamos aofinal do capítulo com algumas conjecturas.
Finalmente, no capítulo 5 mostramos a cadeia de isotropia dos grupos O(1,1) e O(2,1).Mostramos que dado uma função Γ-invariante podemos achar uma aplicação Γ-equivariante,usando um resultado da teoria clássica, Proposição 5.2.1. Finalizamos o capítulo apresentando umprocedimento, Teorema 5.2.2, para o cálculo das aplicações Γ-equivariantes a partir das funçõesΓ-invariantes, e vice-versa, desde que se conheça a base de Hilbert do anel dos polinômiosinvariantes ou os geradores do módulo das aplicações Γ-equivariantes.
25
CAPÍTULO
1PRELIMINARES
Neste capítulo encontra-se a teoria clássica necessária para a leitura deste trabalho.
Inicialmente, vemos alguns resultados essenciais para os resultados nos capítulos posteri-ores. A maior parte dos resultados aqui podem ser encontradas em [13], [17], [29] e [35]. Estecapítulo é dividido em duas seções.
Na primeira seção, vemos alguns conceitos fundamentais sobre teoria de grupos, defi-nindo grupo de Lie linear e ação deste grupo em um espaço vetorial. Por isso, também damosuma noção sobre teoria de representação, visto que um grupo pode agir num espaço vetorialde várias formas. Definimos as funções invariantes e aplicações equivariantes e anunciamos osseus clássicos teoremas. Ao finalizar esta primeira seção, apresentamos dois algoritmos que nosajudam a determinar uma base de Hilbert para o anel dos polinômios invariantes pela ação deum grupo de Lie compacto.
Na segunda seção, introduzimos os conceitos sobre grupo de Lorentz e espaço deMinkowski. Apresentamos a decomposição do grupo de Lorentz em quatro componentes conexase também uma forma de decompor cada elemento deste grupo em valores singulares ou escreve-los na forma polar. Esta decomposição é de fundamental importância para o desenvolvimentodos capítulos à frente. Encerramos o capítulo apresentando propriedades importantes sobre ossubespaços vetoriais do espaço de Minkowski.
1.1 Grupos de Lie e teoria de representação
Nesta seção tratamos sobre grupos de Lie e teoria de representação, além de noçõesda teoria invariante e equivariante. Comecemos com os grupos de Lie, em [20] achamos umaexcelente referência com uma leitura agradável. Seja GL(n) o grupo das matrizes invertíveis deordem n.
26 Capítulo 1. Preliminares
O espaço GL(n) pode ser identificado como um subconjunto aberto de Rn2. Assim, um
subgrupo fechado é um subconjunto fechado de GL(n) que tem estrutura de subgrupo. Temosentão:
Definição 1.1.1. Um subgrupo de Lie fechado de GL(n) é chamado de grupo de Lie linear.
Em [17] vemos que todo grupo de Lie compacto é topologicamente isomorfo a um grupode Lie linear. Neste caso, o chamaremos apenas de grupo de Lie. Por toda esta seção, o grupoΓ representa um grupo de Lie compacto e V um espaço vetorial real, a menos de menção emcontrário.
Definimos a ação à esquerda de um grupo Γ num espaço V , ou simplesmente uma açãode Γ em V , como uma função ς : Γ×V →V tal que
(i) Para todo γ,δ ∈ Γ e todo v ∈V ,
ς(γ,ς(δ ,v)) = ς(γδ ,v),
(ii) Para todo v ∈V temos que
ς(1,v) = v.
onde 1 é o elemento identidade de Γ. Para abreviar a notação usaremos γv em lugar de ς(γ,v),para indicar a ação de γ em v.
A ação é chamada fiel se γv = v para todo v∈V então γ = 1. A ação é chamada transitiva
se para quaisquer u,v ∈V existe algum γ ∈ Γ tal que u = γv.
Definição 1.1.2 ([5]). A uma ação de Γ em V corresponde um homomorfismo de grupos
ρ : Γ −→ GL(V )
γ 7−→ ργ
chamado representação de Γ em V .
Duas ações podem ser isomorfas. Sejam V e W espaços vetoriais n-dimensionais esuponha que o grupo de Lie Γ age em ambos (note que estamos considerando que a ação em V
e W podem ser distintas). Dizemos que as ações são isomorfas, ou que os espaços V e W sãoΓ-isomorfos, se existe um isomorfismo linear T : V →W tal que T (γv) = γT (v), para todov ∈V e γ ∈ Γ.
Podemos estender a mesma ideia para o caso em que o grupo Γ age em V , pela açãoγ·v, e outro grupo ∆ age em W , pela ação δ ∗w, supondo que Γ e ∆ são isomorfos. De fato,sendo I : Γ→ ∆ um isomorfismo de grupos, dizemos que as ações são isomorfas se existe umisomorfismo linear T : V →W tal que T (γ·v) = I (γ)∗T (v), para todo v ∈V e γ ∈ Γ.
1.1. Grupos de Lie e teoria de representação 27
Podemos identificar qualquer grupo de Lie compacto contido em GL(n) como umsubgrupo do grupo ortogonal O(n) ([17]). Essa identificação é feita usando uma forma deintegração que é invariante por translação dos elementos de Γ. Ela é chamada de Integral de
Haar ([30]).
1.1.1 Teoria invariante
Muitos problemas em álgebra aplicada têm simetrias ou são invariantes sob determinadastransformações naturais. Propriedades na geometria euclideana são invariantes sob o grupo eucli-deano de rotações, reflexões e translações; propriedades na geometria projetiva são invariantessob o grupo de transformações projetivas e, como veremos adiante, propriedades do espaço deMinkowski são invariantes pela ação do grupo de Lorentz. Dessa forma, a teoria invariante émuito mais do que uma observação filosófica, ela tem uma importância prática e uma elegânciamatemática ímpar.
Definição 1.1.3 ([17]). Seja Γ um grupo de Lie agindo em um espaço vetorial V . Uma função
real f : V → R é invariante sob a ação de Γ se
f (γx) = f (x)
para todo γ ∈ Γ, x ∈V .
Como a ação de Γ em V é linear, e sendo Γ finitamente gerado, é suficiente verificar aigualdade acima apenas para os geradores de Γ.
O teorema a seguir afirma que existe um subconjunto finito de polinômios invariantes,u1, · · · ,us tal que todo polinômio invariante pode ser escrito como uma função polinomial deu1, · · · ,us. Este conjunto finito não é único e é chamado de base de Hilbert, ou de conjuntode geradores do anel de funções polinomiais, e os elementos são chamados de invariantes
fundamentais. O conjunto de todos os polinômios invariantes, pela ação de um grupo Γ, tem aestrutura de um anel e é denotado por P(Γ).
Teorema 1.1.4 (Hilbert-Weyl). Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo num espaço V . Então
existe uma base de Hilbert para o anel P(Γ).
Demonstração. Veja [17], p. 54, Theorem 4.2.
Em geral, o cálculo do conjunto de geradores para o conjunto P(Γ) é extremamentedifícil.
Note que o Teorema de Hilbert-Weyl nos restringe a grupos compactos, embora seja pos-sível achar exemplos de grupos não compactos que possuem uma base de Hilbert. Luna, em [23],demonstrou que o Teorema de Hilbert-Weyl também é verdadeiro para representações racionais
28 Capítulo 1. Preliminares
de grupos algébricos redutivos. Uma explanação sobre grupos redutivos e uma demonstraçãodeste resultado pode ser encontrada em [11], Proposição 2.2.10.
O teorema de Schwarz, que se baseia no teorema de Hilbert-Weyl, nos dá uma descriçãodos germes invariantes. Para entende-lo melhor, precisamos da seguinte definição:
Definição 1.1.5 ([38]). Seja x ∈ Rn e seja F o conjunto de todas as aplicações suaves f : U ⊂Rn→ Rm, definidas em uma vizinhança U de x. Definimos a seguinte classe de equivalência em
F : f1 : U1 ⊂Rn→Rm e f2 : U2 ⊂Rn→Rm são equivalentes se existe um aberto W ⊂U1∩U2
contendo x tal que f1|W = f2|W . A classe de equivalência da aplicação f é chamada de germe de
f em x, ou simplesmente de germe de f .
Se f (x) = y, chamamos x de fonte do germe e y de meta do germe. Denotamos por En,m
o conjunto dos germes de funções de fonte nula, isto é, En,m = { f : (Rn,0)→ Rm}. Se m = 1denotamos apenas por En.
O teorema a seguir garante que a base de Hilbert para P(Γ) é também a base de Hilbertpara o anel dos germes Γ-invariantes E (Γ). A notação E (Γ) é usada para indicar o anel dosgermes Γ-invariantes V,0→ R.
Teorema 1.1.6 (Teorema de Schwarz, 1975). Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo num
espaço V . Seja {u1, · · · ,us} uma base de Hilbert para o conjunto P(Γ) de polinômios Γ-
invariantes. Seja f ∈ E (Γ). Então existe um germe suave h : Rs,0→ R, tal que
f (x) = h(u1, · · · ,us).
Demonstração. Veja [17], p. 58, Theorem 4.3.
Dizemos que um conjunto de polinômios Γ-invariantes tem uma relação se existe umpolinômio não nulo r(y1, · · · ,ys) tal que
r(u1(x), · · · ,us(x))≡ 0,
onde o conjunto {u1, · · · ,us} é uma base de Hilbert para E (Γ). Tais relações também sãochamadas de syzygies.
O anel PV = R[x1, · · · ,xn] é uma álgebra graduada sobre R, isto é,
PV =∞⊕
d=0
PVd ,
onde PVd é o subespaço vetorial das aplicações polinomiais homogêneas de grau d. Seja Pd(Γ)
o subespaço de todos os polinômios Γ-invariantes homogêneos de grau d. Como a ação de Γ
em V é linear então γ f ∈Pd(Γ), para todo γ ∈ Γ e f ∈Pd(Γ). Portanto, o anel dos polinômiosΓ-invariantes P(Γ) é uma álgebra graduada sobre R.
1.1. Grupos de Lie e teoria de representação 29
Definição 1.1.7 ([35]). A série de Hilbert da álgebra graduada P(Γ) é a função dada por
ΦΓ(t) =∞
∑d=0
dim(Pd(Γ))td.
O teorema a seguir é um clássico resultado que nos dá uma forma explícita da série deHilbert em termos das matrizes de Γ (ou da representação (ρ,Γ)). A série de Hilbert definidadesta forma é chamada de série de Molien.
Teorema 1.1.8 (Molien, 1897). Seja Γ um grupo compacto. A série de Hilbert do anel de
polinômios Γ-invariantes é
ΦΓ(t) =∫
γ∈Γ
1(det(I− tγ))
. (1.1)
Uma demonstração para este teorema pode ser encontrada em [35].
Observação 1.1.9. Se Γ é um grupo finito então a série de Molien é dada por
ΦΓ(t) =1|Γ| ∑
γ∈Γ
1(det(I− tγ))
.
A série de Molien nos dá uma estimativa sobre a contagem de polinômios homogêneos,pelo menos para os de grau mais baixo. Com o auxílio de algum software é possível achar essaestimativa para graus maiores.
Os polinômios p1, · · · , pm são algebricamente independentes se não existe relação entreestes polinômios, isto é, se o único polinômio r(x1, · · · ,xm) tal que r(p1, · · · , pm)≡ 0 é o polinô-mio nulo. A proposição a seguir, que pode ser encontrada em [35], simplifica o cálculo da sériede Hilbert para o caso em que os polinômios são algebricamente independentes.
Proposição 1.1.10 ([35]). Sejam p1, · · · , pm polinômios algebricamente independentes de K[x]
que são homogêneos de grau d1, · · · ,dm, respectivamente. Então a série de Hilbert do subanel
graduado R := K[p1, · · · , pm] é dada por
H(R, t) =∞
∑d=0
dimK(Rd)td =1
(1− td1)(1− td2) · · ·(1− tdm).
Como determinar quando polinômios são algebricamente independentes? Precisamos,antes de responder esta questão, de algumas definições.
Uma ordem total ≺ sobre os monômios xa11 · · ·xan
n em K[x1, · · · ,xn] é chamada de ordemmonomial se 1≺ x1 e x1 ≺ x2 o que implica que x1x3 ≺ x2x3, para todos os monômios x1,x2,x3 ∈K[x1, · · · ,xn].
Um exemplo de ordem monomial é a ordem graduada lexicográfica. Nesta ordem,
xa11 · · ·x
ann ≺ xb1
1 · · ·xbnn
30 Capítulo 1. Preliminares
se ∑ai < ∑bi. Ou se ambos têm o mesmo grau mas a primeira diferença não-nula, ai− bi, énegativa.
Outro exemplo é a ordem lexicográfica. O nome da ordem lexicográfica vem de suageneralização da ordem dada às palavras em um dicionário: uma seqüência de letras. Nestaordem, a ordem x≺ y≺ z em três variáveis induz uma ordem lexicográfica 1≺ x≺ x2 ≺ x3 ≺·· · ≺ y≺ yx≺ yx2 ≺ ·· · ≺ z≺ zx≺ zx2 ≺ ·· · em K[x,y,z].
Fixada uma ordem monomial≺ em K[x1, · · · ,xn], e dado um polinômio f ∈K[x1, · · · ,xn],denotamos por:
1. init( f ) o maior monômio do polinômio f , chamado monômio inicial de f ;
2. init(I) := 〈{init( f ) : f ∈ I}〉, o ideal gerado pelos monômios iniciais de todos os polinô-mios do ideal I ⊂ K[x1, · · · ,xn].
Um ideal gerado por monômios iniciais é chamado de ideal monomial.
Definição 1.1.11 ([35]). Um subconjunto finito G := {g1,g2, · · · ,gs} de um ideal I é chamado
base de Gröbner para I se o ideal monomial init(I) for gerado pelo conjunto
{init(g1), init(g2), · · · , init(gs)}.
Apresentamos a seguir dois procedimentos para o cálculo de uma base de Hilbert parao anel dos polinômios invariantes pela ação de um grupo compacto. O primeiro algoritmodetermina se um conjunto de polinômios é algebricamente independentes ou não.
Algoritmo 1.1.12 ([35]). ENTRADA: Um conjunto de polinômios F := { f1, f2, · · · , fm} ⊂ K[x].
QUESTÃO: F é algebricamente dependente sobre K? Se sim, encontre os polinômios não
nulos P, em m variáveis, tais que P( f1, f2, · · · , fm)≡ 0.
SOLUÇÃO:
(i) Introduzimos m novas variáveis y := (y1,y2, · · · ,ym);
(ii) Calculamos a base de Gröbner G de { f1−y1, f2−y2, · · · , fm−ym}, com respeito à ordem
lexicográfica x1 > x2 > · · ·> xn > y1 > y2 > · · ·> ym;
(iii) Seja G ′ = G ∩K[y]. Então F é algebricamente independente se G ′ = /0. Caso contrário,
os polinômios de F são algebricamente dependentes e cada elemento não nulo P(y) ∈ G ′
é uma relação tal que P( f1, f2, · · · , fm)≡ 0.
Suponha um conjunto de polinômios invariantes {p1, · · · , pm} ⊂P(Γ). O próximoalgoritmo determina se esse conjunto gera o anel dos polinômios invariantes P(Γ).
1.1. Grupos de Lie e teoria de representação 31
Algoritmo 1.1.13 ([14],[15] e [35]). ENTRADA: Um conjunto de polinômios F := {p1, · · · , pm}⊂P(Γ);
QUESTÃO: O conjunto F gera P(Γ)?
SOLUÇÃO:
(i) Use o Algoritmo 1.1.12 para verificar se os polinômios {p1, · · · , pm} são algebricamente
independentes;
(ii) Se os polinômios {p1, · · · , pm} são algebricamente independentes, calcule a série de
Hilbert H(R, t), segundo a Proposição 1.1.10;
(iii) Se os polinômios são algebricamente dependentes, calcule a série de Hilbert H(R, t),
segundo a definição.
(iv) Calcule a série de Molien ΦΓ(t). Se ΦΓ(t) = H(R, t) então o conjunto {p1, · · · , pm} gera
o anel P(Γ), e aqui termina o algoritmo.
(v) Caso contrário ΦΓ(t)−H(R, t) = cdtd + cd+1td+1 + · · · , onde cd é algum inteiro positivo.
(vii) Encontre todos os cd invariantes de grau d e adicione-os ao conjunto F. Recomece pelo
item (i).
A série ΦΓ(t)−H(R, t) = cdtd + cd+1td+1 + · · · nos dá a informação que existem cd
invariantes linearmente independentes de grau d, que não podem ser expressos em função dospolinômios p1, · · · , pm.
Estes dois algoritmos são usados nesta tese para calcular a base de Hilbert para o aneldos polinômios invariantes, pela ação de algumas classes de grupos de Lorentz compactos, emespecial as involuções descritas nos Capítulos 3 e 5. Também usamos o programa MAPLE ([27])como recurso para calcular, entre outras coisas, a base de Gröbner, polinômios invariantes e osubespaço de pontos fixos. No texto, deixamos claro quando fazemos uso deste software.
1.1.2 Aplicações equivariantes
Definição 1.1.14 ([17]). Seja Γ um grupo de Lie agindo em V . Dizemos que uma aplicação
g : V →V comuta com Γ ou é Γ-equivariante se
g(γx) = γg(x),
para todo γ ∈ Γ, x ∈V .
O produto de uma aplicação Γ-equivariante por uma função Γ-invariante é uma aplicaçãoΓ-equivariante. Denotamos por ~P(Γ;V ) o módulo das aplicações polinomiais Γ-equivariantes
32 Capítulo 1. Preliminares
de V em V sobre o anel P(Γ), e por ~E (Γ;V ) o módulo dos germes suaves de aplicaçõesΓ-equivariantes de V em V sobre o anel E (Γ).
Os teoremas a seguir nos garantem que os módulos ~P(Γ;V ) e ~E (Γ;V ) são finitamentegerados, se o grupo Γ for compacto.
Teorema 1.1.15 ([17]). Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em V . Então existe um conjunto
finito de polinômios Γ-equivariantes g1, · · · ,gr que geram o módulo ~P(Γ;V ) sobre o anel P(Γ).
A versão Γ-equivariante do teorema de Schwarz, Teorema 1.1.6, foi provada por Poénaru.Uma prova pode ser encontrada em [17].
Teorema 1.1.16 (Poénaru, 1976). Seja Γ um grupo de Lie compacto e sejam g1, · · · ,gr geradores
do módulo ~P(Γ;V ) sobre o anel P(Γ). Então g1, · · · ,gr geram o módulo ~E (Γ;V ) sobre o anel
E (Γ).
1.2 Os grupos de Lorentz
Nesta seção, apresentamos o grupo de Lorentz e seus resultados básicos. As referênciasprincipais são [13], [22] e [29]. Como alguns resultados nestas referências aparecem sem ademonstração preferimos refazê-las. Em alguns outros casos, reproduzimos as demonstraçõesdada a sua importância para este texto.
Denotamos por J = Jp,q a matriz em Mn (R) dada por Jp,q =
[Ip 00 −Iq
], onde Ip ∈
Mp (R) e Iq ∈Mq (R), p,q≥ 1 com p+q = n.
A matriz J pode ser associada com a forma bilinear simétrica não degenerada ϕp,q :Rn×Rn −→ R,
ϕp,q (x,y) = xtJy =p
∑i=1
xiyi−n
∑j=p+1
x jy j,
onde xt denota a transposta de x que é tomado como vetor coluna, e com a forma quadráticaφp,q : Rn −→ R,
φp,q (x) = xtJx =p
∑i=1
x2i −
n
∑j=p+1
x2j .
Chamamos esta forma quadrática de métrica de Lorentz. O espaço Rn, com a métrica de Lorentz,é chamado de espaço de Minkowski.
Temos,
Definição 1.2.1 ([13]). O grupo
O(p,q) ={
A ∈ GL(n,R) ;AtJp,qA = Jp,q}
é chamado grupo pseudo-ortogonal de assinatura (p,q).
1.2. Os grupos de Lorentz 33
Se A ∈ O(p,q) então |detA|= 1, detJ = det Iq = (−1)q e A−1 = JAtJ. Ainda, o grupoO(p,q) é fechado também em relação a transposição.
O(p,q) é o grupo de todas as isometrias que preservam a forma quadrática φp,q. Osubgrupo ortogonal especial do grupo O(p,q) é dado por
SO(p,q) = {A ∈ O(p,q) ;detA = 1} .
Este subgrupo também é fechado em relação a transposição.
Daqui em diante, tratamos do grupo O(n,1), o grupo pseudo-ortogonal de assinaturaum, também chamado de grupo de Lorentz, e seus subgrupos estudando sua ação no espaço deMinkowski Rn+1. Também usamos o pseudo-produto interno de Lorentz, como na definição:
Definição 1.2.2. A forma bilinear 〈,〉 : Rn+1×Rn+1→ R é chamada pseudo-produto internode Lorentz, com 〈x,y〉= ∑
ni=1 xiyi− xn+1yn+1.
Os elementos do espaço de Minkowski são representados por (x, t), onde t ∈R, na física,é interpretado como tempo e x = (x1, · · · ,xn) ∈ Rn são conhecidas como coordenadas espaciais.
1.2.1 A decomposição polar e as componentes conexas de O(n,1)
Determinamos a decomposição polar e a decomposição em valores singulares das matri-zes do grupo de Lorentz O(n,1). Escrevendo J = Jn,1 e dado qualquer A ∈ O(n,1) escrevemos
A =
(B u
vt c
)
onde B ∈Mn(R), u e v são vetores (coluna) de Rn e c ∈ R. Começamos com a decomposiçãopolar do grupo de Lorentz O(n,1).
Proposição 1.2.3 ([13]). Toda matriz A ∈ O(n,1) tem uma decomposição polar da forma
A =
(Q 00 1
)( √In + vvt v
vt |c|
)ou
A =
(Q 00 −1
)( √In + vvt −v
−vt |c|
)onde Q ∈ O(n) e |c|=
√||v||2 +1.
Demonstração. Escrevemos A em bloco:
A =
(B u
vt c
),
34 Capítulo 1. Preliminares
com B ∈Mn(R), u e v são vetores (coluna) de Rn e c ∈ R. Como A ∈ O(n,1) então AtJA = J,isto é, (
B u
vt c
)t(In 00 −1
)(B u
vt c
)=
(In 00 −1
),
assim temos, (Bt v
ut c
)(B u
−vt −c
)=
(In 00 −1
)e daí,
BtB− vvt = In
Btu− cv = 0utB− cvt = 0utu− c2 =−1
=⇒
BtB = In + vvt
Btu = cv
utu = c2−1
Usando AJAt = J, de forma análoga, chegamos ao sistemaBBt = In +uut
Bv = cu
vvt = c2−1
.
Temos, portanto, as equações BtB = In + vvt
Btu = cv
Bv = cu
utu = c2−1 = vvt
.
Note que
vvt =
v2
1 v1v2 · · · v1vn
v1v2 v22 · · · v2vn
...... . . . ...
vnv1 vnv2 · · · v2n
é simétrica. De utu = c2− 1 temos que ||u|| =
√c2−1, portanto |c| ≥ 1 e de BtB = In + vvt
concluímos que BtB é simétrica e positiva definida, pois
BBt =
v2
1 +1 v1v2 · · · v1vn
v1v2 v22 +1 · · · v2vn
...... . . . ...
vnv1 vnv2 · · · v2n +1
,
com os menores principais de determinante positivo.
Geometricamente, sabe-se que H = vvt
vtv é a projeção ortogonal de qualquer vetor em Rn
na reta determinada por v. Consequentemente, o núcleo de vvt é o complemento ortogonal de v.
1.2. Os grupos de Lorentz 35
A matriz vvt tem autovalor 0 com multiplicidade n−1 e autovalor c2−1 com multiplicidade1. Os autovetores associados ao autovalor 0 são ortogonais a v e o autovetor associado a c2−1é proporcional a v. Segue que In + vvt tem autovalor 1 com multiplicidade n−1 e autovalor c2
com multiplicidade 1, os autovalores são como os de vvt .
B ∈Mn(R tem uma forma polar B = QS1, onde Q é ortogonal, S1 é simétrica positivadefinida e S2
1 = BBt = In+vvt . Portanto, S1 tem autovalor 1 com multiplicidade n−1 e autovalor|c| com multiplicidade 1. Consideremos então dois casos:
Caso 1. Se c > 0. Então, v é um autovetor de S1 para c e como Bv = cu temos
cu = Bv = QS1v = Q(cv) = cQv
então Qv = u. Assim,
A =
(B u
vt c
)=
(QS1 Qv
vt c
)=
(Q 00 1
)(S1 v
vt c
)
onde Q ∈ O(n) e |c|=√||v||2 +1.
Caso 2. Se c < 0. Então, v é um autovetor de S1 para −c, e como Bv = cu então
cu = Bv = QS1v = Q(−cv) = cQ(−v)
assim Q(−v) = u, e daí
A =
(B u
vt c
)=
(QS1 Q(−v)
vt c
)=
(Q 00 −1
)(S1 −v
−vt −c
)=
=
(Q 00 −1
)(S1 −v
−vt |c|
)
onde Q ∈ O(n) e |c|=√||v||2 +1.
Observação 1.2.4. A matriz
S =
(S1 v
vt |c|
)é chamada de Lorentz boost. Na demonstração acima, mostramos que a matriz S1 =
√I + vvt é
simétrica definida positiva. Essa é uma propriedade importante para demonstrar que a ação do
grupo de Lorentz O(n,1) é absolutamente irredutível em Rn+1, feita no capítulo 2.
O resultado abaixo caracteriza a matriz Lorentz boost.
36 Capítulo 1. Preliminares
Proposição 1.2.5 ([13]). Assuma v 6= 0. Os autovalores de
S =
( √I + vvt v
vt |c|
),
com |c|=√||v||2 +1 são 1, com multiplicidade n−1, eθ e e−θ , cada um com multiplicidade 1
(para algum θ > 0). Uma base ortonormal de autovetores de S consiste de vetores da forma(u1
0
),
(u2
0
), · · · ,
(un−1
0
),
v√2||v||1√2
,
v√2||v||− 1√
2
onde ui ∈ Rn, com i = 1, · · · ,n−1, são ortogonais a v e dois a dois ortogonais.
Pelo resultado acima temos que o determinante da matriz Lorentz boost é sempre igual a1.
Sejam
Λpn+1 =
(In−1,1 0
0 1
)e Λ
tn+1 =
(In 00 −1
)(1.2)
matrizes de O(n,1). Note que
Λpn+1Λ
tn+1 = Λ
ptn+1 =
In−1 0 00 −1 00 0 −1
.
Denotamos por SO0(n,1) o subgrupo de O(n,1) dado pela componente conexa daidentidade. Logo, as classes laterais Λ
pn+1SO0(n,1), Λt
n+1SO0(n,1) são conexas. Se det(A) = 1então A ∈ SO0(n,1) ou A ∈ Λ
ptn+1SO0(n,1). O resultado da proposição a seguir nos dá uma
caracterização para uma matriz em SO0(n,1).
Proposição 1.2.6. A ∈ SO0(n,1) se, e somente se, det(A) = 1 e a(n+1)(n+1) > 0.
Demonstração. Se A ∈ SO0(n,1), então a decomposição polar de A é da forma
A =
(Q 00 ε
)(S1 v
vt c
)=
(Q 00 ε
)S,
com Q ∈ O(n), ε = ±1 e c =√||v||2 +1 > 0. Suponha que Q ∈ SO(n), o que implica que
ε = 1 pois det(S) = 1. Então existe um caminho contínuo λ : [0,1]→ SO(n), com λ (0) = In eλ (1) = Q. Considere agora a aplicação δ : [0,1]→ SO0(n,1) dada por:
δ (t) =
(λ (t) 0
0 1
)S =
(λ (t)S1 λ (t)v
vt c
).
1.2. Os grupos de Lorentz 37
É imediato que δ está bem definida e é um caminho contínuo de δ (0) = S a δ (1) = A. Assim,a(n+1)(n+1) = c > 0.
Por outro lado, suponha A ∈ O(n,1), com det(A) = 1 e a(n+1)(n+1) > 0. Podemos de-compor A de duas formas:
A =
(Q1 00 1
)(S1 v
vt c
), com Q1 ∈ SO(n), (1.3)
ou
A =
(Q2 00 −1
)(S1 v
vt c
), com Q2 ∈ O(n)\SO(n).
Mas a(n+1)(n+1) > 0 e c =√||v||2 +1 > 0, então A é como em (1.3). A aplicação α : [0,1]→
SO(n) com α(0) = In e α(1) = Q1 é contínua. Portanto, a aplicação β : [0,1]→ SO0(n,1)definida por
β (t) =
(α(t) 0
0 1
)é um caminho contínuo em SO0(n,1). Logo A ∈ SO0(n,1).
O resultado da proposição acima aparece enunciado em [13] sem demonstração.
Note, pela Proposição 1.2.6, que Λptn+1 /∈ SO0(n,1). Portanto, a classe lateral Λ
ptn+1SO0(n,1)
é conexa e SO0(n,1)∩Λptn+1SO0(n,1) = /0. A proposição a seguir caracteriza os elementos de
Λptn+1SO0(n,1).
Proposição 1.2.7. A ∈ Λptn+1SO0(n,1) se, e somente se, det(A) = 1 e a(n+1)(n+1) < 0.
Se det(A) =−1 então A ∈ Λpn+1SO0(n,1) ou A ∈ Λt
n+1SO0(n,1). A proposição a seguirnos ajuda a caracterizar os elementos destas classes laterais.
Proposição 1.2.8.
(i) A ∈ Λpn+1SO0(n,1) se, e somente se, det(A) =−1 e a(n+1,n+1) > 0.
(ii) A ∈ Λtn+1SO0(n,1) se, e somente se, det(A) =−1 e a(n+1,n+1) < 0.
Demonstração. (i) Se A ∈ Λpn+1SO0(n,1) então det(A) =−1 e existe B ∈ SO0(n,1) tal que
A = Λpn+1B =
(In−1,1 0
0 1
)(Q 00 1
)(S1 v
vt c
)=
(In−1,1QS1 In−1,1Qv
vt c
),
com Q ∈ SO(n) e a(n+1,n+1) = c =√||v||2 +1 > 0. Por outro lado, se det(A) = −1 então
A ∈ Λpn+1SO0(n,1) ou A ∈ Λt
n+1SO0(n,1). Suponha A ∈ Λtn+1SO0(n,1), então
A =
(In 00 −1
)(Q 00 1
)(S1 v
vt c
)=
(QS1 Qv
−vt −c
)
38 Capítulo 1. Preliminares
o que implica que a(n+1,n+1) < 0, contradição. Logo A ∈ Λpn+1SO0(n,1).
A prova é análoga para (ii).
Da proposição acima é imediato que Λpn+1SO0(n,1)∩Λt
n+1SO0(n,1) = /0. Vemos assimque o grupo de Lorentz O(n,1) tem pelo menos quatro componentes conexas. O resultadoa seguir, já conhecido na literatura, mostra que O(n,1) tem exatamente quatro componentesconexas. Apresentamos uma demonstração usando a decomposição polar.
Proposição 1.2.9.
O(n,1) = SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1)∪Λ
tn+1SO0(n,1)∪Λ
ptn+1SO0(n,1).
Demonstração. Como Λin+1SO0(n,1)⊂ O(n,1) para i = p, t, pt é imediato que
SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1)∪Λ
tn+1SO0(n,1)∪Λ
ptn+1SO0(n,1)⊂ O(n,1),
Por outro lado, se A ∈ O(n,1) então, pela decomposição polar, temos
A =
(Q 00 1
)(S1 v
vt |c|
)(1.4)
ou
A =
(Q 00 −1
)(S1 −v
−vt |c|
)(1.5)
com S1 =√
In + vvt .
Suponha que (1.4) ocorre. Se Q ∈ SO(n) então det(A) = 1 e a(n+1)(n+1) = |c| > 0,portanto A ∈ SO0(n,1). Se Q /∈ SO(n) então det(Q) =−1 o que implica que det(A) =−1, masainda teremos que a(n+1)(n+1) > 0. Suponha
Q =
(X(n−1)×(n−1) Y(n−1)×1
Z1×(n−1) k
),k ∈ R.
Note que
Q =
(X Y
Z k
)=
(In−1 0
0 −1
)(X Y
−Z −k
)= In−1,1
(X Y
−Z −k
)= In−1,1Q′,
onde det(Q′) =−det(Q) = 1. Além disso, Q′ ∈ SO(n). Portanto,
A =
(Q 00 1
)(S1 v
vt |c|
)=
=
(In−1,1 0
0 1
)(Q′ 00 1
)(S1 v
vt |c|
)=
= Λpn+1
(Q′ 00 1
)(S1 v
vt |c|
)= Λ
pn+1A′
1.2. Os grupos de Lorentz 39
com det(A′) = 1 e a′(n+1)(n+1) > 0 e ainda
AtJA = J⇒ (Λpn+1A′)tJ(Λp
n+1A′) = J⇒ (A′)tJA′ = J⇒ A′ ∈ O(n,1).
Daí A′ ∈ SO0(n,1). Logo A ∈ Λpn+1SO0(n,1).
Suponha que (1.5) ocorre. Se Q ∈ SO(n) então det(A) = −1 e a(n+1)(n+1) = −|c| < 0.Mostremos que A ∈ Λt
n+1SO0(n,1). De fato, podemos reescrever Q como Q = InQ. Daí
A =
(Q 00 −1
)(S1 −v
−vt |c|
)=
(In 00 −1
)(Q 00 1
)(S1 −v
−vt |c|
)= In,1A′
com
A′ =
(Q 00 1
)(S1 −v
−vt |c|
).
Note que A′ ∈ SO0(n,1) pois
det
(S1 −v
−vt |c|
)= |c| ·det
(S1− (−v)
1|c|
(−vt)
)=
= |c| ·det(
S1−1|c|
vvt)= det
(S1 v
vt |c|
)
assim, det(A′)= 1 e como a′(n+1)(n+1)= |c|> 0 segue o resultado, pela Proposição 1.2.6. Portanto,A ∈ Λt
n+1SO0(n,1).
Se Q /∈ SO(n) então det(A) = 1 e ainda a(n+1)(n+1) = −|c| < 0. Como anteriormente,podemos reescrever Q como Q = InIn−1,1Q′, com Q′ ∈ SO(n). Assim,
A =
(Q 00 −1
)(S1 −v
−vt |c|
)=
=
(InIn−1,1Q′ 0
0 −1
)(S1 −v
−vt |c|
)=
=
(InIn−1,1 0
0 −1
)(Q′ 00 1
)(S1 −v
−vt |c|
)=
=
(In 00 −1
)(In−1,1 0
0 1
)(Q′ 00 1
)(S1 −v
−vt |c|
)=
= Λpn+1Λ
tn+1
(Q′ 00 1
)(S1 −v
−vt |c|
)= Λ
pn+1Λ
tn+1B
Como Q′ ∈ SO(n) então det(B) = 1 e ainda temos que b′(n+1)(n+1) = |c| > 0. Portanto B ∈SO0(n,1) e consequentemente A ∈ Λ
pn+1Λt
n+1SO0(n,1). Logo, o resultado segue.
40 Capítulo 1. Preliminares
1.2.2 O(n,1) como o produto semidireto dos subgrupos SO0(n,1) e Z2×Z2
Nesta subseção, mostramos que SO0(n,1) é um subgrupo normal de O(n,1) e que estegrupo é o produto semidireto dos grupos SO0(n,1) e Z2×Z2. Provamos também que duasmatrizes conjugadas em O(n,1) devem pertencer à mesma componente conexa. Precisamos dealguns resultados preliminares.
Definição 1.2.10 ([34]). Sejam Γ um grupo e Σ e ∆ subgrupos de Γ. Dizemos que Γ é o produto
semi-direto de ∆ por Σ se as seguintes condições forem satisfeitas:
1. ∆ é subgrupo normal de Γ;
2. ∆∩Σ = e;
3. Γ = ∆Σ.
Neste caso, escrevemos Γ = ∆oΣ.
Proposição 1.2.11 ([4]). Se
A =
(B u
vt c
),
com B ∈M(n), c ∈ R e u,v ∈ Rn, então ||u||= ||v||.
Proposição 1.2.12 ([4]). Sejam A,B ∈ O(n,1), se C = AB então
sinal(c(n+1)(n+1)) = sinal(a(n+1)(n+1)) · sinal(b(n+1)(n+1))
.
Demonstração. Sejam
A =
(A1 u
vt c
)e B =
(B1 w
zt k
),
com A1,B1 ∈ M(n), c,k ∈ R e u,v,w,z ∈ Rn. Temos que c(n+1)(n+1) = vtw+ ck = ck+ 〈v,w〉.Temos portanto dois casos:
Caso 1. sinal(c) = sinal(k)
Neste caso, temos
c(n+1)(n+1) = ck+ 〈v,w〉 ≥ ck−|〈v,w〉| ≥ ck−||v|| · ||w||=
=√
1+ ||v||2 ·√
1+ ||z||2−||v|| · ||w||=
=√
1+ ||v||2 ·√
1+ ||w||2−||v|| · ||w||> 0
pois 1+ ||v||2 + ||w||2 + ||v||2 · ||w||2 > ||v||2 · ||w||2 e ||z||= ||w||, pela proposição anterior.
Assim sinal(c(n+1)(n+1)) = sinal(ck+ 〈v,w〉) = sinal(c) · sinal(k)> 0.
1.2. Os grupos de Lorentz 41
Caso 2. sinal(c) 6= sinal(k)
Neste caso, temos
c(n+1)(n+1) = ck+ 〈v,w〉 ≤ ck+ |〈v,w〉| ≤ ck+ ||v|| · ||w||=
= −√
1+ ||v||2 ·√
1+ ||z||2 + ||v|| · ||w||=
= −√
1+ ||v||2 ·√
1+ ||w||2 + ||v|| · ||w||< 0
o que mostra que sinal(c(n+1)(n+1)) = sinal(ck+ 〈v,w〉) = sinal(c) · sinal(k)< 0
Com os resultados acima, estamos prontos para mostrar que SO0(n,1) é subgrupo normalde O(n,1).
Proposição 1.2.13. SO0(n,1) é subgrupo normal de O(n,1).
Demonstração. Tome S ∈ SO0(n,1) e seja A ∈ O(n,1) qualquer, então
det(A−1SA) = det(A−1) ·det(S) ·det(A) = det(A−1) ·det(A) = 1
pois det(S) = 1. Basta analisar o sinal de B = A−1SA. Temos, pela Proposição 1.2.12, que
sinal(b(n+1)(n+1)) = sinal(a−1(n+1)(n+1)) · sinal(s(n+1)(n+1)) · sinal(a(n+1)(n+1)) =
= sinal(a−1(n+1)(n+1)) · sinal(a(n+1)(n+1)) =
= (sinal(a(n+1)(n+1))2 > 0
pois sinal(s(n+1)(n+1))> 0 e sinal(a−1(n+1)(n+1)) = sinal(a(n+1)(n+1)) uma vez que
A−1 = JAtJ =
(In 00 −1
)(Bt v
ut c
)(In 00 −1
)=
(Bt −v
−ut c
).
Portanto A−1SA ∈ SO0(n,1). Logo, SO0(n,1) é subgrupo normal de O(n,1).
No caso do grupo ortogonal O(n) observamos que duas matrizes, cada uma em umade suas 2 componentes conexas, não podem ser conjugadas (semelhantes), pois a conjugaçãode matrizes preserva o determinante. Uma questão natural é verificar isso no grupo de LorentzO(n,1), em que, ao contrário, há elementos com mesmo determinante em componentes conexasdistintas. O próximo resultado responde esta questão:
Teorema 1.2.14. Matrizes conjugadas em O(n,1) estão na mesma componente conexa.
Demonstração. Sejam A,B ∈ O(n,1) matrizes com determinante 1. Suponha que A = (ai j) ∈SO0(n,1) e B = (bi j) ∈ Λ
ptn+1SO0(n,1). Temos que sinal(a(n+1)(n+1)) é positivo e também que
42 Capítulo 1. Preliminares
sinal(b(n+1)(n+1)) é negativo, pela Proposição 1.2.6. Suponha, por absurdo, que A e B sejamconjugadas, isto é, existe P ∈ O(n,1) tal que A = PBP−1. Temos, portanto, que
sinal(a(n+1)(n+1)) = sinal(p(n+1)(n+1)) · sinal(b(n+1)(n+1)) · sinal(p(n+1)(n+1))−1
= sinal(b(n+1)(n+1)) · (sinal(p(n+1)(n+1)))2
= −(sinal(p(n+1)(n+1)))2,
contradição. De modo análogo, mostramos o mesmo para Λtn+1SO0(n,1) e Λ
pn+1SO0(n,1).
Um segundo ponto importante é como se decompõe O(n,1) a partir do subgrupoSO0(n,1) de índice quatro. Para o subgrupo abeliano Z2×Z2 = {In+1,Λ
pn+1,Λ
tn+1,Λ
ptn+1}, te-
mos:
Proposição 1.2.15.O(n,1) = SO0(n,1)o (Z2×Z2).
Demonstração. Observe que SO0(n,1)∩ (Z2×Z2) = {In+1}. De fato, temos que Λpn+1,Λ
tn+1 /∈
SO0(n,1) pois detΛpn+1 = detΛt
n+1 =−1 e Λpn+1Λt
n+1 /∈ SO0(n,1) dado que sinal(Λpn+1Λt
n+1)<
0. Basta verificar que O(n,1) = SO0(n,1) · (Z2×Z2). Já sabemos que
O(n,1) = SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1)∪Λ
tn+1SO0(n,1)∪Λ
ptn+1SO0(n,1).
Assim, se A ∈O(n,1) então existe B ∈ SO0(n,1) tal que A = B ou A = Λpn+1B ou A = Λt
n+1B ouA = Λ
ptn+1B. Como SO0(n,1) é subgrupo normal de O(n,1), segue a afirmação.
1.2.3 A decomposição em valores singulares
Apresentamos nesta subseção a decomposição de uma matriz de Lorentz em valoressingulares . No capítulo 3, usamos esta decomposição para estudar as involuções de Lorentz.
Teorema 1.2.16 (Decomposição em Valores Singulares, [13]). Toda matriz A ∈ O(n,1) pode
ser escrita como
A =
(P 00 ε
) In−1 0 00 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
( Qt 00 1
)
com ε =±1, P ∈ O(n), Q ∈ SO(n) e θ ∈ R.
Demonstração. Da Proposição 1.2.3, qualquer matriz A ∈ O(n,1) pode ser escrita como
A =
(R 00 ε
)( √I + vvt v
vt |c|
)=
(R 00 ε
)S,
1.2. Os grupos de Lorentz 43
onde ε =±1, R ∈ O(n) e |c|=√||v||2 +1. Se |c|= 1 então ||v||= 0 o que implica que v = 0,
sendo assim S = In+1 e, portanto, θ = 0. Assumimos |c| > 1, o que significa que θ > 0. Osautovalores da matriz (
cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
)
são eθ e e−θ . Como essa matriz é simétrica existe uma matriz ortogonal T tal que
D =
(eθ 00 e−θ
)= T
(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
)T t .
Daí
T =
(1√2
1√2
1√2− 1√
2
).
Deste fato, vemos que a matriz
E =
(In−1 0n−1×2
02×n−1 D
),
cuja diagonal é dada pelo autovalores de S, é dada porIn−1 0 0
0 1√2
1√2
0 1√2− 1√
2
In−1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
In−1 0 00 1√
21√2
0 1√2− 1√
2
.
Pela Proposição 1.2.5 uma base ortonormal de autovetores de S consiste de vetores da forma
(u1
0
),
(u2
0
), · · · ,
(un−1
0
),
v√2||v||1√2
,
v√2||v||− 1√
2
onde ui ∈ Rn. Agora multiplicamos as matrizes
u1 · · · un−1v√
2||v||v√
2||v||0 · · · 0 1√
2− 1√
2
1 · · · 0 0 0... . . . ...
......
0 · · · 1 0 00 · · · 0 1√
21√2
0 · · · 0 1√2− 1√
2
.
Obtemos assim uma matriz da forma (Q 00 1
),
44 Capítulo 1. Preliminares
onde as colunas de Q são os vetores u1, · · · ,un−1,v√
2||v|| . Trocando u1 por −u1, se necessário,podemos fazer com que essa matriz tenha determinante 1. Além disso, note que
1 · · · 0 0 0... . . . ...
......
0 · · · 1 0 00 · · · 0 1√
21√2
0 · · · 0 1√2− 1√
2
ut1 0
ut2 0...
...ut
n−1 0vt
√2||v||
1√2
vt√
2||v|| −1√2
=
(Qt 00 1
)
Portanto,
S =
(Q 00 1
) In−1 0 00 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
( Qt 00 1
)
Logo,
A =
(R 00 ε
)S,
onde P = RQ.
Observação 1.2.17. Na decomposição em valores singulares (DVS), se A∈ SO(n,1) então ε = 1e P ∈ SO(n). De fato, se ε = −1 então sinal(an+1,n+1) < 0, contradição. Além disso, como
det(P)ε = 1 então det(P) = 1, o que implica que P ∈ SO(n).
Pelo teorema anterior podemos concluir o seguinte corolário.
Corolário 1.2.18 ([13]). Os valores singulares de qualquer matriz A ∈ O(n,1) são 1, com
multiplicidade n−1, eθ e e−θ , cada um com multiplicidade 1, para algum θ ≥ 0.
No caso θ = 0, A é uma matriz ortogonal da forma(R 00 ε
),
com R ∈ O(n). Assim, os dois valores singulares eθ e e−θ , θ /∈ 0, caracterizam as matrizes deLorentz não ortogonais.
1.2.4 Vetores no espaço de Minkowski
Como notação, escrevemos todo vetor u ∈Rn+1 como u= (u, t) onde u ∈Rn e t ∈R, demodo que o pseudo-produto interno de Lorentz possa ser expresso como
〈u,v〉= 〈(u, t),(v,s)〉= u · v− ts
1.2. Os grupos de Lorentz 45
onde u · v é o produto interno euclideano usual. Dizemos que dois vetores u,v ∈ Rn+1 sãopseudo-ortogonais, ou Lorentz ortogonais, se 〈u,v〉= 0.
Assim, classificamos os vetores (u, t) ∈ Rn+1 como segue:
Definição 1.2.19 ([13]). Um vetor não nulo u= (u, t) ∈ Rn+1 é chamado de
(a) Tipo espaço (spacelike) se 〈u,u〉> 0, isto é, se ||u||2 > t2;
(b) Tipo tempo (timelike) se 〈u,u〉< 0, isto é, se ||u||2 < t2;
(c) Tipo luz (lightlike) ou isotrópico se 〈u,u〉= 0, isto é, se ||u||2 = t2.
Para quaisquer dos casos acima, dizemos que o sinal de um vetor é positivo se t > 0 enegativo se t < 0.
Definição 1.2.20 (([39])). O conjunto dos vetores do tipo luz
LC∗ = {u ∈ Rn+1 : 〈u,u〉= 0},
é chamado cone luz.
Definição 1.2.21 (([39])). Temos as seguintes pseudo-esferas em Rn+1, com centro em p ∈Rn+1
e raio r > 0:
H n(p,r) = {u ∈ Rn+1 : 〈u− p,u− p〉=−r2};
Sn1(p,r) = {u ∈ Rn+1 : 〈u− p,u− p〉= r2}.
O espaço H n(r) é chamado de espaço hiperbólico, Sn1(r) é chamado de espaço de Sitter.
Observação 1.2.22. Os conjuntos LC∗, H n(0,r) = H n(r) e Sn1(0,r) = Sn
1(r) são pseudo-
esferas centradas na origem em Rn+1.
Note que, para cada r > 0, o espaço hiperbólico dado por
H n(r) = H n− (r)∪H n
+ (r)
é um hiperboloide de duas folhas. Assim, o espaço hiperbólico H n(r) tem duas componentesconexas ([13]).
O conjunto {e1, . . . ,en+1}, com ei ∈ Rn+1, é uma base ortonormal, segundo Lorentz, deRn+1 se: ⟨
ei,e j⟩=
δi j, se 1≤ i, j ≤ n
−1, se i = j = n+1.
Proposição 1.2.23 ([29]). Suponha que u seja um vetor tipo-tempo e v 6= 0 um vetor tipo-
tempo ou tipo-luz. Seja {e1, . . . ,en+1} uma base ortonormal, segundo Lorentz, de Rn+1 e sejam
u=n+1∑1
xiei e v=n+1∑1
yiei, então:
46 Capítulo 1. Preliminares
(a) xn+1yn+1 > 0, neste caso, 〈u,v〉< 0;
(b) xn+1yn+1 < 0, neste caso, 〈u,v〉> 0.
Com a proposição acima decorre o seguinte:
Proposição 1.2.24 ([29]). Sejam u e v vetores não nulos em Rn+1 com 〈u,v〉 = 0. Se u é um
vetor tipo-tempo então v é vetor tipo-espaço.
A prova dessa proposição é uma consequência imediata da Proposição 1.2.23, dado quese u é um vetor tipo-tempo e 〈u,v〉= 0 então v não pode ser tipo-tempo nem tipo-luz.
Note que a recíproca da Proposição 1.2.24 não vale. Basta tomar, em R3, os vetoresu= (0,6,4
√2) e v= (2,4,3
√2), que são ambos vetores tipo-espaço, mas 〈u,v〉= 0.
Definição 1.2.25. ([13]) Para u= (u, t) ∈ Rn+1, definimos a pseudo-norma de u por
||u||=√|〈u,u〉|=
√|||u||2− t2|.
As propriedades da pseudo-norma são ([29]):
(1) ||u|| ≥ 0 e ||u||= 0⇔ u é tipo-luz;
(2) ||λu||= |λ |||u||, com λ ∈ R;
(3) Cauchy-Schwarz Invertida: |〈u,v〉| ≥ ||u||||v||, com u e v vetores tipo-tempo.
(4) Desigualdade Triangular Invertida: Sejam u e v vetores tipo-tempo com a mesma orienta-ção, isto é, 〈u,v〉< 0. Então ||u+v|| ≥ ||u||+ ||v||.
1.2.5 Subespaços do espaço de Minkowski
Dizemos que um subespaço vetorial V de Rn+1 é do tipo tempo se V tem um vetor tipotempo; é do tipo espaço se todos os vetores não nulos de V são do tipo espaço; e é do tipo luzcaso nenhuma das condições acima forem satisfeitas ([33]).
Também podemos definir estes subespaços a partir do produto interno de Lorentz, comoa seguir.
Definição 1.2.26. Seja V um subespaço vetorial do espaço de Rn+1. Dizemos que o espaço V é:
(i) do tipo espaço se o produto interno de Lorentz restrito a V for positivo definido;
(ii) do tipo tempo se o produto interno de Lorentz restrito a V for indefinido e não degenerado;
(iii) do tipo luz se o produto interno de Lorentz restrito a V for positivo semi-definido.
1.2. Os grupos de Lorentz 47
No caso de R2+1, temos as seguintes figuras representando os planos do tipo espaço, luze tempo, respectivamente:
Figura 1 – (i) Plano do tipo espaço (ii) Plano do tipo luz (iii) Plano do tipo tempo
Definição 1.2.27 ([33]). Um subespaço vetorial V de Rn+1 é não degenerado se a forma bilinear
restrita ao subespaço for não degenerada.
Proposição 1.2.28. O espaço V é não degenerado se, e somente se, V ∩V⊥ = {0}.
Demonstração. Suponha que V ∩V⊥ 6= {0}. Então, existe 0 6= v ∈V ∩V⊥. Como v ∈V⊥ então〈u,v〉L = 0, para todo u ∈ V . Dado que também v ∈ V e w 6= 0 seque que V |〈,〉L é degenerado.Por outro lado, suponha por absurdo que V seja degenerado. Então existe 0 6= v ∈ V tal que〈u,v〉L = 0, para todo u ∈V . Daí v ∈V⊥, o que implica que 0 6= v ∈V ∩V⊥. Contradição.
A proposição a seguir aparece em [31] enunciada para qualquer espaço vetorial dotadode um produto escalar não degenerado. Propomos aqui uma demonstração para o espaço deMinkowski.
Proposição 1.2.29. Dado qualquer subespaço V do espaço de Minkowski Rn+1 temos que
dimV +dimV⊥ = n+1.
Demonstração. Seja {v1, · · · ,vk} uma base para o espaço vetorial V . Definimos a aplicaçãoϕ : Rn+1→ Rn+1 por ϕ(x) = AJx, onde J = In,1 e
A =
v1...
vk
k×(n+1)
é a matriz cujas linhas são formadas pelos vetores da base de V . Temos então que dim(Im(ϕ)) =
RankA = k. Assim, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dimkerϕ + k = n+1. Note, porém,que kerϕ =V⊥. Logo dimV⊥ = n+1− k.
48 Capítulo 1. Preliminares
Proposição 1.2.30 ([21]). Sejam u,v ∈ Rn+1 vetores do tipo-luz. Então 〈u,v〉= 0 se, e somente
se, u e v são linearmente dependentes.
Proposição 1.2.31. Se V é um espaço tipo-luz então dim(V ∩V⊥) = 1.
Demonstração. Sejam u,v ∈V ∩V⊥. Então 〈u,v〉L = 0. Note que u e v são vetores do tipo-luz.Assim, pela Proposição 1.2.30 eles são linearmente dependentes. Isso nos dá que dim(V ∩V⊥)≤1. Por outro lado, sendo V um espaço do tipo-luz então dimV 6= 0. Desta forma, tomemos 0 6= v∈V com v um vetor tipo-luz. Então 〈v,v〉L = 0 o que implica que v∈V⊥. Assim, dim(V ∩V⊥)≥ 1,e o resultado segue.
Como consequência da proposição acima, juntamente com a Proposição 1.2.28, temos:
Corolário 1.2.32. Todo espaço do tipo-luz é degenerado.
Proposição 1.2.33 ([33]). O espaço vetorial V é do tipo-espaço se, e somente se, V⊥ é do
tipo-tempo.
Uma consequência imediata desta proposição é que se V é do tipo-luz então V⊥ tambémé do tipo-luz.
No capítulo 2, usamos a Proposição 1.2.33 para classificar a natureza dos subespaçosque são invariantes pela ação de um subgrupo discreto de Lorentz.
49
CAPÍTULO
2A AÇÃO DO GRUPO DE LORENTZ NO
ESPAÇO DE MINKOWSKI
No decorrer deste capítulo, estudamos a ação do grupo de Lorentz O(n,1) no espaço deMinkowski. Mostramos também que a ação do grupo de Lorentz é absolutamente irredutívelem Rn+1. Apresentamos um método que nos ajuda a determinar, via operadores de Reynolds, abase de Hilbert do anel dos polinômios invariantes de um grupo Γ, uma vez que se conheça oanel dos polinômios de um subgrupo de Γ de índice dois ou quatro. Finalizamos este capítuloestudando os subespaços invariantes de R1+1 e os subespaços invariantes de R2+1, especialmenteos subespaços de pontos fixos.
2.1 A ação do grupo de Lorentz
Começamos estudando a ação do subgrupo SO0(n,1) no espaço hiperbólico H n(r).
Já que toda isometria de Lorentz, A ∈ SO(n,1), preserva o produto interno de Lorentz,temos que A preserva (globalmente) todo o espaço hiperbólico H n(r). Então todo A ∈ SO0(n,1)preserva cada componente conexa do espaço hiperbólico, H n
+ (r) e H n− (r). Isto segue da seguinte
proposição.
Proposição 2.1.1 ([13]). Toda isometria de SO0(n,1) preserva os vetores tipo-tempo positivos
(resp. negativos) e os vetores tipo-luz positivos (resp. negativos). Mais ainda, se A ∈ SO(n,1)preserva todos os vetores tipo-tempo positivos então A ∈ SO0(n,1).
Temos também:
Proposição 2.1.2. Se A ∈ O(n,1) preserva os vetores do tipo tempo positivos (resp. negativos)
então A ∈ SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1).
50 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
Demonstração. Sem perda de generalidade, tome en+1 = (0,0, · · · ,1) (tipo tempo e positivo).Tome a matriz de Lorentz A ∈ O(n,1) na sua forma polar. Temos que
Aen+1 =
(Q 00 ε
)(S1 v
vt c
)(01
)=
(Qv
εc
).
Como, por hipótese, A preserva todos os vetores do tipo tempo positivos, então εc > 0 o queimplica que ε = 1, uma vez que c =
√1+ ||v||2 > 0. Portanto,
A =
(Q 00 1
)(S1 v
vt c
).
Como Q ∈ O(n) segue que A ∈ SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1).
Note que o sinal de um vetor do tipo espaço pode não ser preservado. De fato, tome amatriz de SO0(1,1) dada por
A =
( √2 1
1√
2
)agindo no vetor do tipo espaço v = (
√2,−1). Temos que Av = e1, onde e1 = (1,0). Assim, a
ação de uma matriz de SO0(1,1) em um vetor do tipo espaço negativo não preserva o sinal dovetor. Este exemplo mostra também que cada ramo da hipérbole que compõe o espaço de SitterS1
1(1) não é invariante pela ação de SO0(1,1).
Uma consequência imediata da Proposição 2.1.1 é que qualquer matriz A ∈ SO0(n,1)deixa H n
+ (r) (resp. H n− (r)) invariante. Portanto, as ações
ϕ1 : SO0(n,1)×H n+ (r)−→H n
+ (r) e ϕ2 : SO0(n,1)×H n− (r)−→H n
− (r)
dadas por ϕi(A,u) = Au, i = 1,2, estão bem definidas. E vale também:
Proposição 2.1.3. A ação SO0(n,1)×H n+ (r)−→H n
+ (r) é transitiva.
Demonstração. Segue diretamente da prova encontrada em [([13])] para r = 1.
Considere o subgrupo Z2×Z2 = {In+1,Λpn+1,Λ
tn+1,Λ
ptn+1} de O(n,1) agindo no espaço
hiperbólico H n(r). A órbita de um ponto de H n(r) pela ação de Z2×Z2 é formada por vérticesde um retângulo contidos em H n(r). A Figura 2 ilustra o caso n = 1 e nos ajuda a visualizar aação de Z2×Z2 no espaço hiperbólico H 1(r).
Podemos entender a ideia geométrica da ação de uma matriz de SO0(n,1) em Rn+1
usando a decomposição em valores singulares. Pela Proposição 1.2.16, temos que uma matriz deSO0(n,1) pode ser decomposta como
(P 00 1
) In−1 0 00 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
( Q 00 1
),
2.1. A ação do grupo de Lorentz 51
v1
v2
v4
v3
x-x 0
(0,r)
(0,-r)
Cone luz
Esp. hiperbólico
Figura 2 – Espaço hiperbólico H n(r) em relação ao cone luz.
onde P,Q ∈ SO(n). Desta forma, quando esta matriz age em v = (x, t) temos uma rotaçãoda coordenada espacial x com preservação do sinal da coordenada t. Após isso, uma rotaçãohiperbólica nas coordenadas x′n e t; onde x′n é a n-ésima coordenada resultante da rotação de x
por Q. E por fim, uma rotação na coordenada espacial, novamente sem mudança de sinal na(n+1)-ésima coordenada. A Figura 3 ilustra esta ação no espaço hiperbólico H 2(r).
Figura 3 – Ação de uma matriz de SO0(2,1) em um vetor v de um espaço hiperbólico.
52 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
Definição 2.1.4 ([17]). Uma representação de um grupo Γ em um espaço vetorial V é absolu-
tamente irredutível se as únicas aplicações lineares em V que comutam com Γ são múltiplos
escalares da identidade.
O resultado a seguir é usado na prova do Teorema 2.1.6.
Proposição 2.1.5. Seja Γ agindo num espaço V e seja Σ um subgrupo de Γ. Se V é absolutamente
irredutível para Σ então ele é absolutamente irredutível para Γ.
Demonstração. Suponha que não. Então existe uma aplicação A : V →V com A(γx) = γA(x),para todo γ ∈ Γ, onde A não é um múltiplo escalar da identidade. Assim, temos que A |Σ não émúltiplo escalar da identidade. Portanto, V não é absolutamente irredutível para Σ, contradição.
Teorema 2.1.6. O espaço de Minkowski Rn+1 é absolutamente irredutível para o grupo de
Lorentz O(n,1).
Demonstração. Pela Proposição 2.1.5 basta mostrar que Rn+1 é absolutamente irredutível paraum subgrupo de O(n,1). Tome o conjunto {v1, · · · ,vn} como uma base para Rn e defina osubgrupo Σ gerado pelas matrizes de Lorentz tomadas na sua forma polar:
Ai =
(I 00 1
)(Si vi
vti c
)=
(Si vi
vti c
)e
Bi =
(I 00 −1
)(Si vi
vti c
)=
(Si vi
−vti −c
)com i = 1, · · · ,n. Tome a matriz
W =
(X y
zt k
)que comuta com todos os Ai e Bi, isto é, AiW = WAi e BiW = WBi, i = 1, · · · ,n. Assim, paraAiW =WAi obtemos as equações:
XSi + yvti = SiX + vizt (2.1)
Xvi + cy = Siy+ kvi (2.2)
ztSi + kvti = vt
iX + czt (2.3)
ztvi = vtiy (2.4)
e para BiW =WBi, obtemos
XSi− yvti = SiX + vizt (2.5)
Xvi− cy = Siy+ kvi (2.6)
ztSi− kvti = −vt
iX− czt (2.7)
ztvi = −vtiy (2.8)
2.2. Teoria invariante e o subespaço de pontos fixos 53
Comparando as equações (2.2) e (2.6), para um mesmo i, temos
(Xvi + cy)− (Xvi− cy) = 0⇒ y = 0,
pois c 6= 0. Somando as equações (2.3) e (2.7), obtemos
ztSi = 0⇒ ztSiz = 0 ⇐⇒ z = 0,
pois, da demonstração da Proposição 1.2.3, Si é simétrica positiva definida. Assim, todas asequações acima podem ser reescritas como
XSi = SiX
Xvi = kvi
vtiX = kvt
i
Observe que Xvi = kvi, para todo vi com i = 1, · · · ,n. Ou seja, k é um autovalor de X
com multiplicidade n. Portanto, a matriz X é semelhante à matriz kIn, ou melhor, X = kIn. Assim,W = kIn+1, isto é, se Σ é gerado pelas matrizes Ai e Bi então Rn+1 é absolutamente irredutívelpara Σ. Logo, pela Proposição 2.1.5, Rn+1 é absolutamente irredutível para O(n,1).
2.2 Teoria invariante e o subespaço de pontos fixos
Nesta seção mostramos a relação entre a teoria invariante e o subespaço de pontos fixos.Mostramos como podemos calcular o subespaço de pontos fixos de um grupo gerado por umaquantidade finita de elementos e também como definir uma aplicação invariante a partir desteconjunto.
Dado um grupo de Lie Γ agindo num espaço vetorial V , definimos o subespaço de pontosfixos de Γ como o subespaço vetorial de V dado por
Fix(Γ) = {v ∈V : γv = v,∀γ ∈ Γ}.
Lema 2.2.1. Suponha o grupo Γ agindo num espaço V . Dada a decomposição de V como
V =V1×V2 e de Γ como Γ= Γ1×Γ2 tal que a ação seja diagonal, isto é, γv= (γ1,γ2) ·(v1,v2) =
(γ1v1,γ2v2), então Fix(Γ) = Fix(Γ1)×Fix(Γ2).
Demonstração. De fato,
Fix(Γ) = {v ∈V : γv = v,∀γ ∈ Γ}
= {(v1,v2) ∈V1×V2 : (γ1v1,γ2v2) = (v1,v2),∀(γ1,γ2) ∈ Γ1×Γ2}
= (Fix(Γ1)×{0})⊕ ({0}×Fix(Γ2))
= Fix(Γ1)×Fix(Γ2).
54 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
A proposição a seguir nos ajuda a fazer o cálculo do Fix de um grupo gerado por doiselementos, desde que se conheça os subespaços de pontos fixos dos subgrupos gerados por cadaum destes elementos. Indicamos por Fix(γ) o subespaço de pontos fixos da ação do grupo geradopor γ .
Proposição 2.2.2. Sejam Γ um grupo de Lie agindo em um espaço V e Σ = 〈γ1,γ2〉 um subgrupo,
com γi ∈ Γ. Então
Fix(Σ) = Fix(γ1)∩Fix(γ2).
Demonstração. Se x ∈ Fix(Σ) então, em particular, γix = x, i = 1,2. Logo x ∈ Fix(γ1)∩Fix(γ2).Reciprocamente, se x ∈ Fix(γ1)∩Fix(γ2) então γix = x, i = 1,2, o que implica que γix = γ jx,i, j = 1,2. Portanto, γi ◦ γ j(x) = x, assim x ∈ Fix(γi ◦ γ j). Logo x ∈ Fix(Σ).
Note que o caso acima pode ser estendido para o caso em que Σ é gerado por umaquantidade finita de elementos. Uma demonstração análoga, mostra que se γi ∈ Γ, i = 1, · · · ,n,com Γ um grupo de Lie agindo em V , são tais que geram o subgrupo Σ, isto é, Σ = 〈γ1, · · · ,γn〉,então Fix(Σ) = ∩n
i=1Fix(γi).
A proposição a seguir mostra como podemos achar uma aplicação linear Γ-invarianteconhecendo o subespaço de pontos fixos e vice-versa.
Proposição 2.2.3. Seja Γ um grupo agindo num espaço V e algum v ∈V . Defina a aplicação
L : V −→ R por L(x) = 〈v,x〉, onde 〈,〉 é o produto interno de Lorentz. A aplicação L é Γ-
invariante se, e somente se, v ∈ Fix(Γ).
Demonstração. Suponha que L seja Γ-invariante, então L(γx) = L(x), para todo x ∈V e γ ∈ Γ.Temos que
〈v,x〉=⟨v,γ−1x
⟩=⟨γv,γγ
−1x⟩= 〈γv,x〉 .
Portanto, v ∈ Fix(Γ). Por outro lado, se v ∈ Fix(Γ) então γv = v para todo γ ∈ Γ. Temos que
L(γ−1x) =⟨v,γ−1x
⟩= 〈γv,x〉= 〈v,x〉= L(x).
Logo, L é Γ-invariante.
Terminamos esta seção com um resultado que mostra como podemos construir umaaplicação Γ-invariante, com Γ = Γ1×Γ2 com ação diagonal em um espaço vetorial V =V1×V2,conhecendo aplicações que sejam Γ1-invariante e Γ2-invariante.
Proposição 2.2.4. Sejam L1 : V1→ R e L2 : V2→ R aplicações lineares tais que L = L1⊕L2,
com L definida na Proposição 2.2.3. Seja o grupo Γ=Γ1×Γ2 com ação diagonal em V =V1×V2.
Temos que L é Γ-invariante se, e somente se, L1 é Γ1-invariante e L2 é Γ2-invariante.
2.3. Operadores de Reynolds 55
Demonstração. Por hipótese, temos que L(x) = L(x1,x2) = L1(x1)⊕ L2(x2). Suponha que L
seja Γ-invariante, então sendo L definida por L(x) = 〈v,x〉 temos, pela Proposição 2.2.3, que v =
(v1,v2) ∈ Fix(Γ). Mas, pelo Lema 2.2.1, vemos que Fix(Γ) = Fix(Γ1)×Fix(Γ2) o que implicaque (v1,v2) ∈ Fix(Γ1)×Fix(Γ2). Então L1(x1) = 〈(v1,0),(x1,0)〉 e L2(x2) = 〈(0,v2),(0,x2)〉 edaí,
L1(γ1x1)⊕L2(x2) = L((γ1, I) · (x1,x2)) = L(x1,x2) = L1(x1)⊕L2(x2).
Como a soma é direta, segue que L1(γ1x1) = L1(x1). Portanto, L1 é Γ1-invariante. De maneiraanáloga mostramos que L2 é Γ2-invariante.
A recíproca é imediata.
2.3 Operadores de Reynolds
Nesta seção apresentamos um método, encontrado em [2], que nos ajuda a encontrar oanel dos polinômios invariantes de subgrupos de Lorentz, que podem ser escritos como o produtosemidireto por um subgrupo normal de índice 2 ou 4. De fato, veja que na prova do Lema 2.3.1,temos que Σ é um subgrupo de índice 4 de Γ, mas que ΣoZ1
2 é um subgrupo normal de índice 2de Γ. Finalizamos mostrando um exemplo de uma classe de subgrupos compactos de O(3,1),não contido em O(4), onde calculamos a base de Hilbert do anel dos polinômios invariantesutilizando este método prático.
O resultado a seguir deve ser um resultado bem estabelecido na literatura, muito emboranão conseguimos encontrar uma referência. Para a sua demonstração usamos a Definição 1.2.10para produto semi-direto.
Lema 2.3.1. Seja Γ um grupo e Σ um subgrupo normal de Γ. Suponha que Γ = Σo (Z12×Z2
2),
onde Z12 = 〈γ1〉 e Z2
2 = 〈γ2〉, γ1,γ2 ∈ Γ distintos . Então Γ = (ΣoZ12)oZ2
2.
Demonstração. Afirmamos que ∆ = ΣoZ12 é subgrupo normal de Γ. Sejam γ ∈ Γ e δ ∈ ∆
quaisquer, então existe σ ∈ Σ tal que δ = σγ1. Desta forma, temos que
γδγ−1 = γ(σγ1)γ
−1 = (γσγ−1)(γγ1γ
−1) = σ(γγ1γ−1),
com σ ∈ Σ, pois Σ /Γ. Afirmamos que γγ1γ−1 ∈ ∆. De fato, note que γ1 ∈ ∆ e como Γ =
Σo(Z1
2×Z22)
então existe algum σ1 ∈ Σ tal que γ = σ1γ i1γ
j2 , para i, j = 0,1. Daí,
γγ1γ−1 = (σ1γ
i1γ
j2)γ1(σ1γ
i1γ
j2)−1 = σ1γ1σ
−11 ,
pois Z12×Z2
2 é abeliano. Dado que σ1,γ1 ∈∆, segue que γγ1γ−1 ∈∆ o que implica que γδγ−1 ∈∆.Assim, ∆ é subgrupo normal de Γ.
Agora, basta mostrar que Γ = ∆oZ22. Seja γ ∈ Γ qualquer. Como Γ = Σ(Z1
2×Z22), segue
que γ = σγ i1γ
j2 , para algum i, j = 0,1. Já que σγ i
1 = δ ∈ ∆ temos que γ = δγj
2 , e assim, γ ∈ ∆Z22,
56 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
o que implica que Γ = ∆Z22. Resta mostrar que ∆∩Z2
2 = {e}. De fato, como ∆ = ΣoZ12 então
Σ∩Z12 = {e} e dado que Z1
2∩Z22 = {e} e γ2 /∈ Σ segue que ∆∩Z2
2 = ΣZ12∩Z2
2 = {e}.
Denotamos por R[V ] o anel das funções polinomiais de V em R. Se f ∈ R[V ] e γ umelemento do grupo Γ agindo em V então definimos a ação de γ em f por
γ f (x) = f (γ−1x), para todo x ∈V.
Assim, se γ f = f para todo γ ∈ Γ, então f é Γ-invariante.
Definição 2.3.2 ([11]). Seja Γ um grupo de Lie agindo em um espaço vetorial V . Um operadorde Reynolds é uma projeção Γ-invariante, isto é, é uma aplicação linear
R : R[V ]−→ R[V ]Γ := P(Γ),
tal que
(i) R( f ) = f , para todo f ∈P(Γ);
(ii) R é Γ-invariante, isto é, R(γ f ) = R( f ), para todo f ∈ R[V ] e todo γ ∈ Γ.
Para grupos finitos, o operador de Reynolds é dado por ([14]):
R( f (x)) =1|Γ| ∑
γ∈Γ
f (γx).
Considere um epimorfismo σ : Γ→ Z2, onde Z2 é o grupo multiplicativo {−1,1}. Umafunção polinomial f : V → R é chamada de anti-invariante se
f (γx) = σ(γ) f (x),
para todo γ ∈ Γ e x ∈V ([2]).
Sejam Σ um subgrupo normal de Γ de índice 2 e P(Σ) o anel dos polinômios Σ-invariantes. Considere o operador definido como R : R[V ]→P(Σ), com
R( f )(x) =12( f (x)+ f (γx)),
para um γ ∈ Γ\Σ, arbitrário e fixado. Seja também S : R[V ]→ R[V ], o operador definido por
S( f )(x) =12( f (x)− f (γx)).
R e S são operadores de Reynolds ([1]). Tais operadores são usados no seguinte resultado:
Teorema 2.3.3 ([2]). Seja {u1, · · · ,us} uma base de Hilbert para o anel P(Σ). Então o conjunto
{R(ui),S(ui)S(u j);1≤ i, j ≤ s}
é uma base de Hilbert para P(Γ).
2.3. Operadores de Reynolds 57
Observação 2.3.4. Usando o Lema 2.3.1, aplicamos o Teorema 2.3.3 em sequência para produzir
os invariantes de Γ = Σo (Z12×Z2
2). De fato, pelo Lema 2.3.1, temos que Γ = (ΣoZ12)oZ2
2.
Sabendo qual é a base de Hilbert de P(Σ) usamos o Teorema 2.3.3 para calcular a base
de Hilbert de P(ΣoZ12). Como ΣoZ1
2 é um subgrupo normal de índice 2 de Γ, aplicamos
novamente o Teorema 2.3.3 para encontrar a base de Hilbert de P(Γ).
Apresentamos dois exemplos para ilustrar este procedimento.
Exemplo 2.3.5. Considere o subgrupo de Lorentz dado por
SOn,1(n−1) :=
{Rϕ =
(Pϕ 00 I2
): Pϕ ∈ SO(n−1)
}. (2.9)
Para n = 3, SO3,1(2) é um subgrupo compacto de O(3,1) isomorfo a SO(2). Este isomor-
fismo evidencia que o conjunto {x2 + y2,z, t} é uma base de Hilbert para P(SO3,1(2)), já que
P(SO(2)) =⟨x2 + y2⟩. Considere agora um Z2-subgrupo de O(3,1) gerado por uma involução
da forma:
γ1 :=
(I2 00 S−h (θ)
), com S−h (θ) =
(cosh(θ) senh(θ)− senh(θ) −cosh(θ)
),
com θ ∈ R fixado.
Calculamos a base de Hilbert para P(SO3,1(2)oZ2(γ1)), onde
SO3,1(2)oZ2(γ1) = SO3,1(2)∪ γ1SO3,1(2).
Temos que a ação de γ1 em R3+1 é dada por
γ1 · (x,y,z, t) = (x,y,cosh(θ)z+ senh(θ)t,− senh(θ)z− cosh(θ)t).
Sendo u1(x,y,z, t) = x2 + y2,u2(x,y,z, t) = z,u3(x,y,z, t) = t, usando o operador de Reynolds R,
obtemos:
R(u1(x,y,z, t)) =12(u1(x,y,z, t)+u1(γ1(x,y,z, t)) =
12(x2 + y2 + x2 + y2) = x2 + y2,
R(u2(x,y,z, t)) =12(u2(x,y,z, t)+u2(γ1(x,y,z, t)) =
12((cosh(θ)+1)z+ senh(θ)t),
R(u3(x,y,z, t)) =12(u3(x,y,z, t)+u3(γ1(x,y,z, t)) =−
12((cosh(θ)−1)t + senh(θ)z).
Temos que R(u2(x,y,z, t)) =−cosh(θ)+1senh(θ) R(u3(x,y,z, t)). Ainda, usando o operador de Reynolds
S, temos que
S(u1(x,y,z, t)) =12(u1(x,y,z, t)−u1(γ1(x,y,z, t)) = 0,
S(u2(x,y,z, t)) =12(u2(x,y,z, t)−u2(γ1(x,y,z, t)) =−
12((cosh(θ)−1)z+ senh(θ)t),
S(u3(x,y,z, t)) =12(u3(x,y,z, t)−u3(γ1(x,y,z, t)) =
12((cosh(θ)+1)t + senh(θ)z).
58 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
Vemos que S(u2(x,y,z, t)) =−cosh(θ)+1senh(θ) S(u3(x,y,z, t)).
Assim, o conjunto
{R(u1),R(u2),S(u2)2}= {(cosh(θ)−1)t + senh(θ)z,x2 + y2,((cosh(θ)−1)z+ senh(θ)t)2}
é uma base de Hilbert de P(SO3,1(2)oZ2), pelo Teorema 2.3.3. Outra base de Hilbert pode
ser dada por
{(cosh(θ)−1)t + senh(θ)z,x2 + y2,z2− t2}.
De fato, observe que
12(cosh(θ)−1)
(((cosh(θ)−1)t + senh(θ)z)2− ((cosh(θ)−1)z+ senh(θ)t)2
)= z2− t2,
implicando que os conjuntos {R(u1),R(u2),S(u2)2} e {R(u1),R(u2),z2− t2} geram o mesmo
anel de polinômios invariantes pela ação de SO3,1(2)oZ2.
Exemplo 2.3.6. Considere o grupo SO3,1(2) do exemplo anterior e um Z2-subgrupo de Lorentz
gerado por outra involução:
γ2 :=
(I2 00 S+h (θ)
), com S+h (θ) =
(−cosh(θ) − senh(θ)
senh(θ) cosh(θ)
),
com θ ∈ R fixado.
Calculamos aqui a base de Hilbert para P(Γ), onde
Γ = SO3,1(2)o (Z2(γ1)×Z2(γ2)) = SO3,1(2)∪ γ1SO3,1(2)∪ γ2SO3,1(2)∪ γ1γ2SO3,1(2).
Pelo Lema 2.3.1, temos
Γ = (SO3,1(2)oZ2(γ1))oZ2(γ2).
Uma vez que conhecemos a base de Hilbert de P(SO3,1(2)oZ2), aplicamos novamente o
Teorema 2.3.3, para calcular a base de Hilbert de P(Γ).
A ação de γ2 em R3+1 é dada por
γ2 · (x,y,z, t) = (x,y,−cosh(θ)z− senh(θ)t, senh(θ)z+ cosh(θ)t).
Sendo v1(x,y,z, t) = (cosh(θ)− 1)t + senh(θ)z,v2(x,y,z, t) = x2 + y2,v3(x,y,z, t) = z2− t2 e
usando o operador de Reynolds R, obtemos:
R(v1(x,y,z, t)) =12(v1(x,y,z, t)+ v1(γ2(x,y,z, t)) = 0,
R(v2(x,y,z, t)) =12(v2(x,y,z, t)+ v2(γ2(x,y,z, t)) = x2 + y2,
R(v3(x,y,z, t)) =12(v3(x,y,z, t)+ v3(γ2(x,y,z, t)) = z2− t2.
2.4. Subespaços invariantes 59
Ainda, usando o operador de Reynolds S, temos que
S(v1(x,y,z, t)) =12(v1(x,y,z, t)− v1(γ2(x,y,z, t)) = (cosh(θ)−1)t + senh(θ)z,
S(v2(x,y,z, t)) =12(v2(x,y,z, t)− v2(γ2(x,y,z, t)) = 0,
S(v3(x,y,z, t)) =12(v3(x,y,z, t)− v3(γ2(x,y,z, t)) = 0.
Assim, pelo Teorema 2.3.3, o conjunto
{R(v2),R(v3),S(v1)2}= {x2 + y2,z2− t2,((cosh(θ)−1)t + senh(θ)z)2}
é uma base de Hilbert de P(Γ).
Observamos que Γ, no exemplo acima, é um subgrupo compacto de O(3,1) não contidono grupo ortogonal O(4).
De maneira geral, tomando o grupo SOn,1(n−1) definido em (2.9), podemos encontrarmatrizes de Lorentz γ1,γ2 ∈O(n,1) tal que Λ = SOn,1(n−1)o (Z2(γ1)×Z2(γ2)) seja um grupocompacto não contido no grupo ortogonal O(n+ 1). De fato, é suficiente que estas matrizessejam involuções.
2.4 Subespaços invariantes
Nesta seção tratamos dos subespaços do espaço de Minkowski que são invariantes pelaação de um subgrupo de Lorentz. Mostramos que um subespaço de Lorentz invariante só admiteum complemento Lorentz ortogonal invariante se ele for não degenerado. Em todo o restante docapítulo apresentamos os subespaços invariantes de R1+1 e estudamos os subespaços de pontosfixos de R2+1 como subespaços invariantes pela ação de determinados subgrupos discretos deLorentz.
2.4.1 Complemento Lorentz invariante
Seja Γ um grupo de Lie agindo em um espaço vetorial V . Um subespaço W de V échamado Γ-invariante se γw ∈W para todo w ∈W e γ ∈ Γ. A ação de Γ em V é chamadairredutível se os subespaços Γ-invariantes de V são {0} e V . Um subespaço W de V é Γ-irredutível se for Γ-invariante e a ação de Γ em W é irredutível. Um exemplo trivial de umsubespaço invariante, pela ação de qualquer grupo Γ, é o subespaço de pontos fixos Fix(Γ). Pararesultados gerais sobre subespaços invariantes e irredutíveis, ver [17].
Proposição 2.4.1. Seja Γ ∈ O(n,1) um subgrupo de Lorentz agindo em Rn+1. Todo subespaço
não degenerado W, Γ-invariante, admite um complemento Lorentz ortogonal Γ-invariante com
W ⊕W⊥ = Rn+1.
60 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
Demonstração. Seja W um subespaço Γ-invariante. Defina U = {u∈Mn,1 : 〈w,u〉= 0,∀w∈W}.Tome u ∈U , mostramos que γu ∈U , para todo γ ∈ Γ. De fato, note que
〈w,γu〉=⟨γ−1w,γ−1
γu⟩=⟨γ−1w,u
⟩= 0,
pois γ−1w ∈W . Logo, U é um conjunto Lorentz ortogonal Γ-invariante. Mostramos agora queU é um subespaço vetorial de Rn+1. É óbvio que 0 ∈U . Também, dados u1,u2 ∈U e α ∈ Rtemos que 〈w,u1 +αu2〉 = 〈w,u1〉+α 〈w,u2〉, o que implica que u1 +αu2 ∈U . Finalizando,observe que sendo W não degenerado então W ∩W⊥ = {0} e, pela Proposição 1.2.29, sabemosque dimW +dimW⊥ = n+1. Portanto, W ⊕W⊥ = Rn+1.
Fica claro, na proposição acima, que para existir um complemento Lorentz ortogonal aum subespaço W , Γ-invariante, tal que W ⊕W⊥ =Rn+1, é suficiente que este subespaço seja nãodegenerado, isto é, não pode ser do tipo luz. É possível encontrar um complemento, Γ-invariante,a um subespaço do tipo luz. Mas é necessária uma condição específica para o grupo Γ, comopodemos ver na próxima proposição.
Proposição 2.4.2. Seja Γ um subgrupo de Lorentz e W um subespaço do tipo luz. Se γ t ∈ Γ, para
todo γ ∈ Γ, então JW⊥ é um complemento Γ-invariante, onde J = In,1, com W ⊕ JW⊥ = Rn+1.
Demonstração. Seja W um subespaço do tipo luz, então segue que dim(W ∩W⊥) = 1, pelaProposição 1.2.31, o que mostra que W⊥ não é um complemento Lorentz ortogonal para W .Por outro lado, W ∩ JW⊥ = {0}. De fato, seja w ∈ JW⊥ então existe v ∈W⊥ tal que w = Jv.Suponha w ∈W ∩ JW⊥, então temos
〈w,v〉= 0 ⇐⇒ 〈Jv,v〉= 0 ⇐⇒ 〈v,v〉E = 0 ⇐⇒ v = 0.
Onde 〈,〉E indica o produto interno usual no espaço euclidiano. Assim, temos que w = Jv = 0.Além disso, é claro que dim(JW⊥) = dim(W⊥). Falta mostrar que JW⊥ é Γ-invariante. De fato,como W e W⊥ são Γ-invariantes, temos que
γw = γJv = J(γ t)−1v ∈ JV⊥,
pois γ t ∈ Γ, pela hipótese. Logo W ⊕ JW⊥ = Rn+1.
Proposição 2.4.3. Seja Γ um subgrupo de Lorentz agindo num espaço não degenerado W. Se a
ação de Γ é absolutamente irredutível então W é irredutível.
Demonstração. Suponha que a ação não seja irredutível. Então existe um subespaço próprio U
de W , Γ-invariante, tendo um complemento Γ-invariante U⊥. Defina π : U⊕U⊥→W a projeçãoem U com kerπ =U⊥. Note que
π(γ(u+ u)) = π(γu+ γ u) = γu = γπ(u+ u)
é Γ-equivariante e não é um múltiplo escalar da identidade. Assim, W não é absolutamenteirredutível.
2.4. Subespaços invariantes 61
Observação 2.4.4. Se γ t ∈ Γ, para todo γ ∈ Γ, a Proposição 2.4.3 também é verdadeira para o
caso em que W é degenerado, pois o complemento Γ-invariante de U é JU⊥. A demonstração
segue a mesma ideia, bastando definir π : U⊕ JU⊥→V a projeção em U com kerπ = JU⊥.
2.4.2 Subespaços invariantes em R1+1
Sob que condições um subspaço do espaço de Minkowski R1+1 é invariante pela ação deum subgrupo de Lorentz? Os seguintes resultados respondem esta questão.
Proposição 2.4.5. Sejam os grupos cíclicos
Γ1θ =
⟨(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
)⟩(2.10)
e
Γ2θ =
⟨−
(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
)⟩, (2.11)
com θ fixado, agindo em R1+1. Temos que os únicos subespaços Γ1θ
-invariantes e Γ2θ
-invariantes
são cada um dos ramos do cone-luz.
Demonstração. Note que Fix(Γ1θ) = {0}. Tomemos o subespaço Wa = {(x,y) ∈ R2 : y = ax}.
Então (cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
)(x
ax
)=
((cosh(θ)+a senh(θ))x( senh(θ)+acosh(θ))x
).
Para que o ponto resultante pertença a Wa devemos ter que
senh(θ)+acosh(θ) = a(cosh(θ)+a senh(θ))⇒
senh(θ) = a2 senh(θ)⇒
a2 = 1.
Logo, os valores para a que permitem que Wa seja Γ1θ
-invariante são a =−1 ou a = 1. Assim, ossubsespaços Γ1
θ-invariantes são
WΓ1
θ
1 = {(x,y) ∈ R2 : y = x} e (2.12)
WΓ1
θ
−1 = {(x,y) ∈ R2 : y =−x}. (2.13)
A união desses dois subespaços é o cone-luz e obviamente R2 =WΓ1
θ
−1 ⊕WΓ1
θ
1 . Temos ainda que(W
Γ1θ
i
)⊥= W
Γ1θ
i , com i = −1,1. Portanto, R2 não pode ser obtido como uma soma WΓ1
θ
i +(W
Γ1θ
i
)⊥, i =−1,1.
O resultado é análogo para o grupo Γ2θ
.
62 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
Observe que, na Proposição 2.4.5, os conjuntos WΓ1
θ
i , com i =−1,1, são degenerados.
Assim, um complemento Lorentz ortogonal que seja Γ1θ
-invariante pode ser dado por JWΓ1
θ
i , pela
Proposição 2.4.2. Neste caso, WΓ1
θ
i ⊕ JWΓ1
θ
i = R1+1, com i =−1,1.
Considere, por outro lado, os Z2-subgrupos cíclicos de O(1,1) dados por
Γ3θ =
⟨(cosh(θ) senh(θ)− senh(θ) −cosh(θ)
)⟩e (2.14)
Γ4θ =
⟨(−cosh(θ) − senh(θ)
senh(θ) cosh(θ)
)⟩, (2.15)
com θ fixado, cada um agindo no espaço R1+1.
Proposição 2.4.6. Os únicos subespaços Γ3θ
-invariantes e Γ4θ
-invariantes, não triviais, de R1+1
são as retas de pontos fixos, Fix(Γ3θ) e Fix(Γ4
θ), e as retas Lorentz ortogonal às retas de pontos
fixos, respectivamente.
Demonstração. Façamos para Γ3θ
. Tomemos o subespaço WΓ3
θa = {(x,y) ∈ R2 : y = ax}. Então(
cosh(θ) senh(θ)− senh(θ) −cosh(θ)
)(x
ax
)=
((cosh(θ)+a senh(θ))x−( senh(θ)+acosh(θ))x
).
Para que o ponto resultante pertença a WΓ3
θa devemos ter que
− senh(θ)−acosh(θ) = a(cosh(θ)+a senh(θ))⇒
a2 senh(θ)+2acosh(θ)+ senh(θ) = 0.
Portanto a1 =−cosh(θ)−1senh(θ) e a2 =−cosh(θ)+1
senh(θ) .
Assim, temos dois subespaços invariantes, a saber,
WΓ3
θa1 =
{(x,y) ∈ R2 : y =−cosh(θ)−1
senh(θ)x}
e (2.16)
WΓ3
θa2 =
{(x,y) ∈ R2 : y =−cosh(θ)+1
senh(θ)x}. (2.17)
Observe que WΓ3
θa1 = Fix(Γ3
θ). Ainda, as retas W
Γ3θ
a1 e WΓ3
θa2 são ortogonais pelo pseudo produto
interno de Lorentz, pois⟨(x,−cosh(θ)−1
senh(θ)x),(x,−cosh(θ)+1
senh(θ)x)⟩
L= x2−
(cosh2(θ)−1
senh2(θ)
)x2 = 0
Logo, WΓ3
θa2 = (W
Γ3θ
a1 )⊥. Observe ainda que WΓ3
θa1 = Fix(Γ3
θ).
O resultado é análogo para Γ4θ
, sendo que
WΓ4
θa1 =
{(x,y) ∈ R2 : y =−cosh(θ)+1
senh(θ)x}
e WΓ4
θa2 =
{(x,y) ∈ R2 : y =−cosh(θ)−1
senh(θ)x},
onde WΓ4
θa2 = (W
Γ4θ
a1 )⊥ e WΓ4
θa1 = Fix(Γ4
θ).
2.4. Subespaços invariantes 63
Tabela 1 – Subespaços invariantes de O(1,1).
Grupo Subespaço invariante Subespaço Lorentz ortogonal Complemento
Γ1θ
W Γ1θ
1 = {(x,y) ∈ R2 : y = x}W Γ1
θ
−1 = {(x,y) ∈ R2 : y =−x}W Γ1
θ
1
W Γ2θ
1
NãoNão
Γ2θ
W Γ1θ
1 = {(x,y) ∈ R2 : y = x}W Γ1
θ
−1 = {(x,y) ∈ R2 : y =−x}W Γ1
θ
1
W Γ2θ
1
NãoNão
Γ3θ
W Γ3θ
a1 ={(x,y) ∈ R2 : y =− cosh(θ)−1
senh(θ) x},
W Γ3θ
a2 ={(x,y) ∈ R2 : y =− cosh(θ)+1
senh(θ) x} W Γ3
θa2
W Γ3θ
a1
SimSim
Γ4θ
W Γ4θ
a1 =W Γ3θ
a2 ,
W Γ4θ
a2 =W Γ3θ
a1
W Γ4θ
a2
W Γ4θ
a1
SimSim
Observe que para Γ1θ
, dado em (2.10) na Proposição 2.4.5, as retas WΓ1
θ
1 e WΓ1
θ
−1 são dotipo luz. Neste caso, não é possível decompor o espaço R1+1 como soma do subespaço invariantepelo seu subespaço Lorentz ortogonal. Chegamos à mesma conclusão para o grupo Γ2
θdado em
(2.11).
Por outro lado, para os grupos Γ3θ
e Γ4θ
, dados em (2.14) e (2.15) na Proposição 2.4.6,
os subespaços Γ3θ
-invariantes e Γ4θ
-invariantes não são do tipo luz. Mais especificamente, WΓ3
θa1
(2.16) é do tipo espaço enquanto que WΓ3
θa2 (2.17) é do tipo tempo. Ou ainda, W
Γ4θ
a1 é do tipo
tempo enquanto que WΓ4
θa2 é do tipo espaço. Temos ainda que os subespaços W
Γ3θ
a1 e WΓ4
θa1 têm um
complemento Lorentz ortogonal.
A Tabela 1 resume os resultados da Proposição 2.4.5 e da Proposição 2.4.6, mostrandoainda se os subespaços invariantes possuem ou não um complemento Lorentz ortogonal.
2.4.3 Subespaços invariantes em R2+1
Finalizamos este capítulo estudando alguns subespaços invariantes de R2+1, particular-mente o subespaço de pontos fixos e seu respectivo subespaço Lorentz ortogonal.
Proposição 2.4.7. Seja o grupo cíclico ΣR+h (ϕ,θ ,φ)
gerado pela matriz R+h (ϕ,θ ,φ) ∈ SO0(2,1)
dada por
cos(ϕ) − sen(ϕ) 0sen(ϕ) cos(ϕ) 0
0 0 1
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
,
com ϕ,θ e φ fixados. Então o subespaço de pontos fixos de ΣR+h (ϕ,θ ,φ)
, Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)
), e o su-
bespaço Lorentz ortogonal, Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)
)⊥, são dados de acordo com as seguintes condições:
64 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
(i) Se ϕ 6= π−φ , então Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)
) é a reta{(x,y,z) ∈ R2+1 : y =− sen(φ)− sen(ϕ)
cos(φ)+cos(ϕ) x e z =− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x
},(2.18)
e Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)
)⊥ é o plano{(x,y,z) ∈ R2+1 : z = (cosh(θ)−1)(( sen(φ)− sen(ϕ))y−(cos(φ)+cos(ϕ))x)
(cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)
}. (2.19)
(ii) Se ϕ = π−φ , temos que Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ)) é a reta{
(x,y,z) ∈ R2+1 : y =cos(φ)sen(φ)
x e z =− senh(θ)(cosh(θ)−1) sen(φ)
x}
e Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ))
⊥ é o plano{(x,y,z) ∈ R2+1 : z =−(cosh(θ)−1)
senh(θ)( sen(φ)x+ cos(φ)y)
}.
Demonstração. Um cálculo direto nos dá o subespaço de pontos fixos e o subespaço Lorentzortogonal nos dois casos.
Observação 2.4.8. Note que Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ)) é uma reta do tipo tempo. De fato, para v(π−
φ ,θ ,φ) ∈ Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ)), temos que
〈v(π−φ ,θ ,φ),v(π−φ ,θ ,φ)〉=− 2x2
sen2(φ)(cosh(θ)−1)< 0.
Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ))
⊥ é um complemento Lorentz ortogonal à reta de pontos fixos e, pela Proposi-
ção 1.2.33, é um plano do tipo espaço.
A reta Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)
) pode ser do tipo espaço, luz ou tempo dependendo dos valores deϕ,θ e φ . Em geral, o subgrupo ΣR+
h (ϕ,θ ,φ)é não compacto. Como exemplificamos a seguir.
Exemplo 2.4.9. Sejam ϕ = π
4 ,θ = ln(2),φ =−π
4 . Temos que
Fix(
ΣR+h (
π
4 ,ln(2),−π
4 )
)= {(x,x,0) : x ∈ R}
é do tipo espaço e que Fix(ΣR+h (
π
4 ,ln(2),−π
4 ))⊥ = {(x,−x,y) : x,y ∈R} é do tipo tempo. Na Figura
4, o plano é o subespaço Lorentz ortogonal à reta de pontos fixos.
Exemplo 2.4.10. Sejam ϕ = φ = π
3 ,θ = ln(7−4√
3). Temos que
Fix(
ΣR+h (
π
3 ,ln(7−4√
3), π
3 )
)= {(x,0,x) : x ∈ R}
é do tipo luz e que Fix(ΣR+h (
π
3 ,ln(7−4√
3), π
3 ))⊥ = {(x,y,x) : x,y ∈ R} é do tipo luz. Na Figura 5, o
plano é o subespaço Lorentz ortogonal à reta de pontos fixos.
Note que neste caso, Fix(
ΣR+h (
π
3 ,ln(7−4√
3), π
3 )
)⊂ Fix(ΣR+
h (π
3 ,ln(7−4√
3), π
3 ))⊥.
2.4. Subespaços invariantes 65
Figura 4 – Fix do tipo espaço e seu complemento Lorentz ortogonal
Figura 5 – Fix do tipo luz e seu complemento Lorentz ortogonal
Exemplo 2.4.11. Sejam ϕ = π
3 ,θ = ln(2),φ = π
6 . Temos que
Fix(
ΣR+h (
π
3 ,ln(2),π
6 )
)= {(x,(2−
√3)x,3(1−
√3)x) : x ∈ R}
é do tipo luz e que Fix(ΣR+h (
π
3 ,ln(2),π
6 ))⊥ = {(x,y, 1
6(1+√
3))(√
3y− x−2y) : x,y ∈ R} é do tipo
luz. Na Figura 6, o plano é o subespaço Lorentz ortogonal à reta de pontos fixos.
Para grupos gerados por uma matriz em Λpt3 SO0(2,1) temos um resultado semelhante:
Proposição 2.4.12. Dado o grupo cíclico ΣR−h (ϕ,θ ,φ)gerado pela matriz R−h (ϕ,θ ,φ)∈Λ
pt3 SO0(2,1)
dada por cos(ϕ) sen(ϕ) 0sen(ϕ) −cos(ϕ) 0
0 0 −1
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
,
com ϕ,θ e φ fixados. Então o subespaço de pontos fixos de ΣR−h (ϕ,θ ,φ), Fix(ΣR−h (ϕ,θ ,φ)
), e
o subespaço Lorentz ortogonal, Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ))⊥, são dados de acordo com as seguintes
condições:
66 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
Figura 6 – Fix do tipo tempo e seu complemento Lorentz ortogonal
(i) Se ϕ 6= π−φ , então Fix(ΣR−h (ϕ,θ ,φ)) é a reta{
(x,y,z) ∈ R2+1 : y =− sen(φ)− sen(ϕ)cos(φ)+cos(ϕ) x e z =− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)
(cosh(θ)+1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x}(2.20)
e Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ))⊥ é o plano{
(x,y,z) ∈ R2+1 : z = (cosh(θ)+1)(( sen(φ)− sen(ϕ))y−(cos(φ)+cos(ϕ))x)(cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)
}.
(ii) Se ϕ = π−φ , temos que Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ)) é a reta{(x,y,z) ∈ R2+1 : y =
cos(φ)sen(φ)
x e z =− senh(θ)(cosh(θ)+1) sen(φ)
x}
e Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ))⊥ é o plano{
(x,y,z) ∈ R2+1 : z =−(cosh(θ)+1)senh(θ)
(x sen(φ)+ cos(φ)y)}.
Observação 2.4.13. Note que a reta Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ)) é do tipo espaço. De fato, para o vetor
v(π−φ ,θ ,φ) ∈ Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ)) temos que
〈v(π−φ ,θ ,φ),v(π−φ ,θ ,φ)〉= 2x2
sen2(φ)(cosh(θ)−1)> 0,
o que implica, pela Proposição 1.2.33, que o plano Lorentz ortogonal Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ))⊥ é do
tipo tempo.
Da mesma forma para o caso da reta Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)
), a reta Fix(ΣR−h (ϕ,θ ,φ)) pode ser do
tipo espaço, luz ou tempo dependendo dos valores de ϕ,θ e φ .
Na proposição a seguir, fazemos um estudo sobre o subespaço de pontos fixos da açãodo grupo gerado por uma matriz em Λ
p3SO0(2,1) ou em Λ
p3SO0(2,1).
2.4. Subespaços invariantes 67
Proposição 2.4.14. Dado o grupo cíclico ΣS+h (ϕ,θ ,φ)gerado pela matriz S+h (ϕ,θ ,φ)∈Λ
p3SO0(2,1)
dada por cos(ϕ) sen(ϕ) 0sen(ϕ) −cos(ϕ) 0
0 0 1
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
,
e o grupo ΣS−h (ϕ,θ ,φ)gerado pela matriz de Lorentz S−h (ϕ,θ ,φ) ∈ Λt
3SO0(2,1) dada por
cos(ϕ) − sen(ϕ) 0sen(ϕ) cos(ϕ) 0
0 0 −1
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
,
com ϕ,θ e φ fixados. Assim,
(i) Se ϕ =−φ , então Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ)) é o plano{(x,y,z) ∈ R2+1 : z =− senh(θ)( sen(φ)x+ycos(φ))
cosh(θ)−1
}, (2.21)
onde Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊥ é a reta{
(x,y,z) ∈ R2+1 : y = cos(φ)sen(φ)x e z =− cosh(θ)−1
senh(θ) sen(φ)x}. (2.22)
Temos também que Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ)) é o plano{(x,y,z) ∈ R2+1 : z =− senh(θ)( sen(φ)x+ycos(φ))
cosh(θ)+1
},
onde Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ))⊥ é a reta{
(x,y,z) ∈ R2+1 : y = cos(φ)sen(φ)x e z =− cosh(θ)+1
senh(θ) sen(φ)x}.
(ii) Se ϕ 6=−φ , então
Fix(ΣS+h (ϕ,θ ,φ)) = Fix(ΣS−h (ϕ,θ ,φ)
) = {0}.
Observação 2.4.15. Note que o plano Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ)) é do tipo tempo. Para verificar isso, é
mais prático calcular a natureza do subespaço Lorentz ortogonal Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊥, por ser
uma reta. Assim, temos que⟨(x, cos(φ)
sen(φ)x,−cosh(θ)−1
senh(θ) sen(φ)x),(
x, cos(φ)sen(φ)x,−
cosh(θ)−1senh(θ) sen(φ)x
)⟩= x2 + cos2(φ)
sen2(φ)x2− (cosh(θ)−1)2
senh2(θ) sen2(φ)x2
= 2(cosh(θ)−1)senh2(θ) sen2(φ)
x2 > 0.
68 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski
Tabela 2 – Subespaços de pontos fixos de R1+1 e R2+1.
Grupo Subespaços de pontos fixos TipoΓ1
θ{(0,0)} -
Γ2θ
{(0,0)} -Γ3
θ{(x,− cosh(θ)−1
senh(θ) x)} Espaço
Γ4θ
{(x,− cosh(θ)+1senh(θ) x)} Tempo
ΣR+h (ϕ,θ ,φ)
ϕ 6= π−φ
{(x,− sen(φ)− sen(ϕ)
cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x
)}Qualquer
ΣR+h (π−φ ,θ ,φ)
{(x, cos(φ)
sen(φ)x,− senh(θ)(cosh(θ)−1) sen(φ)x
)}Tempo
ΣR−h (ϕ,θ ,φ)
ϕ 6= π−φ
{(x,− sen(φ)− sen(ϕ)
cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)+1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x
)}Qualquer
ΣR−h (π−φ ,θ ,φ)
{(x, cos(φ)
sen(φ)x,− senh(θ)(cosh(θ)+1) sen(φ)x
)}Espaço
ΣS+h (−φ ,θ ,φ)
{(x,y,− senh(θ)( sen(φ)x+cos(φ)y)
cosh(θ)−1
)}Tempo
ΣS−h (−φ ,θ ,φ)
{(x,y,− senh(θ)( sen(φ)x+cos(φ)y)
cosh(θ)+1
)}Espaço
ΣS+h (ϕ,θ ,φ)
ϕ 6=−φ{0,0} -
ΣS−h (ϕ,θ ,φ)
ϕ 6=−φ{0,0} -
Isso mostra que Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊥ é do tipo espaço o que implica, pela Proposição 1.2.33, que
Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ)) é do tipo tempo. Como são, desta forma, não degenerados, temos que
Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊕Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊥ = R2+1,
pela Proposição 2.4.1. De modo análogo, verificamos que a reta Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ))⊥ é do tipo
tempo. Portanto, o plano Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ)) é do tipo espaço e também
Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ))⊕Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ))⊥ = R2+1.
A Tabela 2 resume todos os resultados desta seção no que diz respeito ao subespaçode pontos fixos. Observe que é possível decompor R2+1 como uma soma direta do subespaçode pontos fixos com o seu complemento Lorentz ortogonal, desde que o subespaço de pontosfixos seja do tipo espaço ou do tipo tempo. Os subgrupos estudados nesta seção são gerados porapenas um elemento. Não é difícil calcular os subespaços de pontos fixos de grupos gerados pordois ou mais elementos, para isto basta aplicar a Proposição 2.2.2.
69
CAPÍTULO
3AS INVOLUÇÕES DE LORENTZ
Neste capítulo abordaremos as involuções de Lorentz. Fazemos uma caracterização dasinvoluções de Lorentz começando pelas involuções em O(1,1) e O(2,1), apresentando tambémuma base de Hilbert para o anel dos polinômios invariantes. Caracterizamos também todas asinvoluções em O(n,1), para todo n≥ 3. Terminamos o capítulo mostrando que o subespaço depontos fixos de uma involução nunca é degenerado.
Definição 3.0.1. Uma matriz A é chamada de matriz de involução se o seu quadrado é a matriz
identidade, isto é, se A2 = Id. Chamamos de involução de Lorentz a qualquer involução em
O(n,1).
Se duas matrizes são conjugadas então os subgrupos gerados por cada uma dessasmatrizes são conjugados. A proposição a seguir é um resultado clássico que mostra a existênciade uma correspondência entre o subespaço de pontos fixos, as funções invariantes e as aplicaçõesequivariantes pela ação de cada um destes subgrupos.
Proposição 3.0.2. Sejam os grupos Γ1 = 〈γ〉 e Γ2 = 〈δ 〉, com γ e δ conjugados, isto é, existe P
invertível tal que δ = PγP−1. Então:
a) v ∈ Fix(Γ1) se, e somente se, Pv ∈ Fix(Γ2).
b) f : V → R é Γ1-invariante se, e somente se, f ◦P−1 é Γ2-invariante.
c) g : V →V é Γ1-equivariante se, e somente se, P◦g◦P−1 é Γ2-equivariante.
3.1 Involuções em O(1,1) e invariantes
Nesta seção estudamos as involuções de Lorentz em O(1,1). Calculamos também a basede Hilbert para o anel dos polinômios invariantes para cada involução de Lorentz.
70 Capítulo 3. As involuções de Lorentz
Pela Proposição 1.2.16 qualquer elemento do grupo de Lorentz pode ser decomposto,em valores singulares, da forma:
A =
(P 00 ε
) In−1 0 00 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
( Q 00 1
), (3.1)
com ε =±1, P ∈ O(n), Q ∈ SO(n) e θ ∈ R.
No resultado a seguir descrevemos as involuções em O(1,1).
Proposição 3.1.1. Pela decomposição em valores singulares, uma involução do grupo de Lorentz
O(1,1) pode ser escrita como uma das seguintes formas:
γ3 =
[1 00 −1
][cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
]ou
γ4 =
[−1 00 1
][cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
].
Demonstração. Note que a decomposição em valores singulares de matrizes em O(1,1) é dadapor (
P 00 ε
)(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
)com P =±1 e ε =±1. Assim, podemos reescrevê-la como(
±1 00 ±1
)(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
)Fica fácil verificar que as únicas involuções de Lorentz são γ3 e γ4.
Observação 3.1.2. Observe que γ3 e γ4 estão em componentes conexas diferentes. Desse modo,
os grupos Γ3θ= 〈γ3〉 e Γ4
θ= 〈γ4〉 não são conjugados, pelo Teorema 1.2.14.
Podemos encontrar matrizes, da mesma componente conexa, conjugadas γ3 e γ4. Noresultado a seguir descrevemos essa conjugação de matrizes.
Proposição 3.1.3. As matrizes(cosh(θ) senh(θ)− senh(θ) −cosh(θ)
)e
(1 00 −1
)são conjugadas, assim como as matrizes(
−cosh(θ) − senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
)e
(−1 00 1
),
para qualquer θ ∈ R.
3.2. Involuções em O(2,1) e invariantes 71
Demonstração. A matriz (cosh(θ
2 ) − senh(θ
2 )
− senh(θ
2 ) cosh(θ
2 )
)é uma matriz de conjugação para ambos os pares de matrizes.
No grupo ortogonal O(2), as matrizes Λp2 e Λt
2 são as matrizes de reflexão de O(2) κx eκy, respectivamente, e são conjugadas por uma matriz de permutação. Porém, isto não aconteceno grupo de Lorentz pois, pelo Teorema 1.2.14, Λ
p2 e Λt
2 estão em componentes conexas distintase não podem ser conjugadas por uma matriz de Lorentz em O(1,1). No entanto, as matrizes Λ
p2
e Λt2 são conjugadas por (
0 11 0
).
Portanto, pela Proposição 3.0.2, calculamos a base de Hilbert para somente uma destas matrizes.
A menos de conjugação, a base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes por umainvolução em O(1,1) é dada na seguinte proposição:
Proposição 3.1.4. Considere o subgrupo Z2(Λt2). Uma base de Hilbert do anel P(Z2(Λ
t2)) é
{x, y2}.
Observação 3.1.5. A demonstração da Proposição 3.1.4 é a mesma para o caso das reflexões
κx, um resultado clássico na literatura.
3.2 Involuções em O(2,1) e invariantes
Nesta seção estudamos as involuções do grupo de Lorentz O(2,1) e a respectiva base deHilbert para o anel dos polinômios invariantes pela ação do grupo gerado por cada uma dessasinvoluções, a menos de conjugação.
No teorema a seguir descrevemos as involuções de O(2,1), escritas na decomposição emvalores singulares.
Proposição 3.2.1. Qualquer involução de Lorentz em O(2,1) pode ser escrita, em sua decom-
posição em valores singulares, de uma das seguintes formas:
−cos(φ) − sen(φ) 0sen(φ) −cos(φ) 0
0 0 1
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
;
−cos(φ) sen(φ) 0sen(φ) cos(φ) 0
0 0 −1
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
;
72 Capítulo 3. As involuções de Lorentz
cos(φ) sen(φ) 0− sen(φ) cos(φ) 0
0 0 −1
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
;
cos(φ) − sen(φ) 0− sen(φ) −cos(φ) 0
0 0 1
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
.
Demonstração. Tome a decomposição em valores singulares (3.1). Podemos escrever, destaforma, qualquer matriz em O(2,1) como
B1,ε =
cos(ϕ) − sen(ϕ) 0sen(ϕ) cos(ϕ) 0
0 0 ε
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
ou como
B2,ε =
cos(ϕ) − sen(ϕ) 0− sen(ϕ) −cos(ϕ) 0
0 0 ε
1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) − sen(φ) 0
sen(φ) cos(φ) 00 0 1
.
Tomando a matriz B1,ε e impondo B21,ε = I3, obtemos:
sen(ϕ) sen(φ)− cos(ϕ)cos(φ) = ε
cos(ϕ) =−ε cos(φ)sen(ϕ) = ε sen(φ)
.
Do mesmo modo para a matriz B2,ε , obtemos:sen(ϕ) sen(φ)+ cos(ϕ)cos(φ) = ε
cos(ϕ) = ε cos(φ)sen(ϕ) = ε sen(φ)
.
Para ε =±1, obtemos as quatro formas desejadas.
Observação 3.2.2. Note que as matrizes B1,ε e B2,ε , para ε = ±1, não são conjugadas.
De fato, temos que B1,1 = R+h (π − φ ,θ ,φ) ∈ SO0(2,1), B1,−1 = S−h (−φ ,θ ,φ) ∈ Λt
3SO0(2,1),B2,1 = S+h (−φ ,θ ,φ) ∈ Λ
p3SO0(2,1) e B2,−1 = R−h (π − φ ,θ ,φ) ∈ Λ
pt3 SO0(2,1), definidas nas
Proposições 2.4.7, 2.4.12 e 2.4.14, estão em diferentes componentes conexas. Assim, pelo
Teorema 1.2.14, tais matrizes não são conjugadas.
A proposição a seguir mostra que cada involução de Lorentz em O(2,1) é conjugada auma das matrizes Λt
3, Λp3 , −Λt
3 e −Λp3 em O(2,1), definidas em (1.2).
3.2. Involuções em O(2,1) e invariantes 73
Proposição 3.2.3. Temos a seguinte conjugação de matrizes:
A matriz R+h (π−φ ,θ ,φ) é conjugada à matriz −Λt
3;
A matriz S−h (−φ ,θ ,φ) é conjugada à matriz Λt3;
A matriz S+h (−φ ,θ ,φ) é conjugada à matriz Λp3; e
A matriz R−h (π−φ ,θ ,φ) é conjugada à matriz −Λp3 .
Demonstração. A matriz −cos(φ) − sen(φ)cosh(
θ
2
)− sen(φ) senh
(θ
2
)sen(φ) −cos(φ)cosh
(θ
2
)−cos(φ) senh
(θ
2
)0 senh
(θ
2
)cosh
(θ
2
) ,
cuja inversa é −cos(φ) sen(φ) 0− sen(φ)cosh
(θ
2
)−cos(φ)cosh
(θ
2
)− senh
(θ
2
)sen(φ) senh
(θ
2
)cos(φ) senh
(θ
2
)cosh
(θ
2
) ,
é uma matriz de conjugação para todos os pares de matrizes.
As matrizes Λt3 e Λ
p3 são conjugadas por 1 0 0
0 0 10 1 0
.
Portanto, na proposição a seguir obtemos uma base de Hilbert do anel dos polinômios invariantespor cada uma das matrizes Λ
p3 e −Λ
p3 em O(2,1).
Proposição 3.2.4. Considere a ação de cada um dos subgrupos de Lorentz Z2(Λp3), Z2(−Λ
p3),
Z2(Λt3), Z2(−Λt
3) nos pontos (x,y,z) ∈ R2+1. Então
(i) O conjunto
{x,z,y2}
é uma base de Hilbert para o anel P(Z2(Λ
p3));
(ii) O conjunto
{y,xz,x2,z2}
é uma base de Hilbert para o anel P(Z2(−Λ
p3)).
Demonstração. É imediato.
74 Capítulo 3. As involuções de Lorentz
3.3 Involuções em O(n,1)
Nesta seção caracterizamos as involuções de Lorentz em O(n,1), para n≥ 3. Apresen-tamos algumas classes de involução em O(3,1) e calculamos a base de Hilbert do anel dospolinômios invariantes pela ação do grupo formado por essas involuções.
Tome a decomposição em valores singulares (3.1) de uma matriz de Lorentz A, com
P =
(Pn−1 v1
vt2 a
)e Q =
(Qn−1 u1
ut2 b
), v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 e a,b ∈ R. (3.2)
A condição A2 = In+1, implica em
ut2v1 +ab = −ε (3.3)(
ut2Pn−1 +bvt
2)
u1 = 0 (3.4)
vt2(au1 +Qn−1v1) = 0 (3.5)(
ut2Pn−1 +bvt
2)
Qn−1 = 0 (3.6)
Pn−1(au1 +Qn−1v1) = 0 (3.7)
vt2(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)u1− εab = 1 (3.8)
vt2(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)Qn−1− εaut2 = 0 (3.9)
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)u1− εbv1 = 0 (3.10)
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1− εv1ut
2 = In−1 (3.11)
As expressões a seguir vêm da ortogonalidade de P e Q:
Pn−1Ptn−1 + v1vt
1 = In−1 (3.12)
Ptn−1Pn−1 + v2vt
2 = In−1 (3.13)
Pn−1v2 +av1 = 0 (3.14)
Ptn−1v1 +av2 = 0 (3.15)
vt1v1 +a2 = 1 (3.16)
vt2v2 +a2 = 1 (3.17)
Qn−1Qtn−1 +u1ut
1 = In−1 (3.18)
Qtn−1Qn−1 +u2ut
2 = In−1 (3.19)
Qn−1u2 +bu1 = 0 (3.20)
Qtn−1u1 +bu2 = 0 (3.21)
ut1u1 +b2 = 1 (3.22)
ut2u2 +b2 = 1 (3.23)
Observe que as expressões acima são as informações que definem uma matriz de involu-ção de Lorentz em O(n,1), quando escrita na decomposição em valores singulares. Agora damosoutra caracterização dessa matriz em O(n,1).
3.3. Involuções em O(n,1) 75
Proposição 3.3.1. Sejam os vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 dados nas matrizes P e Q em (3.2). Se
pelo menos um desses vetores é nulo então todos eles são nulos.
Demonstração. Suponha v1 = 0. De (3.3), temos que ab =−ε , o que implica que a 6= 0 e b 6= 0.Além disso, Pn−1 é invertível, pois de (3.12) temos Pn−1Pt
n−1 = In−1, o que implica que Pn−1 éuma matriz ortogonal. De (3.14) temos Pn−1v2 = 0 e como Pn−1 é invertível segue que v2 = 0.De (3.7) obtemos u1 = 0. E de (3.9) obtemos u2 = 0. Nesse caso, segue também que Qn−1 éortogonal.
Suponha v2 = 0. De (3.13), temos que Pn−1 é ortogonal e, portanto, invertível. Dissosegue, de (3.14), que v1 = 0. De (3.7) temos que u1 = 0. E de (3.21) obtemos u2 = 0.
Suponha u1 = 0. De (3.18) segue que Qn−1 é invertível e de (3.20) temos u2 = 0. De(3.10) obtemos v1 = 0 e de (3.14) temos v2 = 0.
Suponha u2 = 0. De (3.19) segue que Qn−1 é invertível e de (3.21) temos u1 = 0. De(3.10) obtemos v1 = 0 e de (3.14) temos v2 = 0.
No caso em que um dos vetores é nulo temos a =±1 e b =±1. Assim, b =−εa, pelaequação (3.3). Além disso, Pn−1 e Qn−1 são ortogonais, com (Pn−1Qn−1)
2 = In−1 pela equação(3.11). Dessa forma, se um dos vetores é nulo temos a seguinte caracterização de uma involuçãode Lorentz:
Corolário 3.3.2. Se um dos vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 em (3.2) é nulo, então uma involução
de Lorentz pode ser escrita em uma das seguintes formas:
(κ 00 κxRh(θ)
)ou
(κ 00 κyRh(θ)
), (3.24)
onde
κ2 = In−1,κx =
(1 00 −1
)e κy =
(−1 00 1
).
Demonstração. Como um dos vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 é nulo então, pela Proposição 3.3.1,temos que todos os vetores são nulos, consequentemente Pn−1 e Qn−1 são ortogonais e b =−εa.Assim, a matriz (3.1) é escrita como
76 Capítulo 3. As involuções de Lorentz
A =
Pn−1 0 00 a 00 0 ε
In−1 0 0
0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)
Qn−1 0 0
0 −εa 00 0 1
=
Pn−1 0 00 acosh(θ) a senh(θ)0 ε senh(θ) ε cosh(θ)
Qn−1 0 0
0 −εa 00 0 1
=
Pn−1Qn−1 0 00 −ε cosh(θ) a senh(θ)0 −a senh(θ) ε cosh(θ)
.
Seja κ = Pn−1Qn−1, note que κ2 = In−1. Como |a|= |ε|= 1, temos que a submatriz(−ε cosh(θ) a senh(θ)−a senh(θ) ε cosh(θ)
)pode ser escrita em uma das seguintes formas: κxRh(θ),κyRh(θ),Rh(θ)κx ou Rh(θ)κy, onde κx
e κy são as matrizes de reflexão de O(2) dadas por(1 00 −1
)e
(−1 00 1
),
respectivamente, e
Rh(θ) =
(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
).
Para concluir, observe que κxRh(θ) = Rh(−θ)κx e que κyRh(θ) = Rh(−θ)κy.
Como o grupo gerado pela matriz (3.24) tem ordem 2, podemos estimar o número deinvariantes via série de Molien e aplicar a teoria dos invariantes para grupos finitos. Conhecendoalguns dos invariantes, aplicamos o Algoritmo 1.1.13 para determinar um conjunto de geradoresdo anel dos polinômios invariantes.
Duas classes de subgrupos de Lorentz gerados por involuções em O(3,1), usando oCorolário 3.3.2, são dadas por
C1 =
cos(φ) sen(φ) 0 0sen(φ) −cos(φ) 0 0
0 0 cosh(θ) senh(θ)0 0 − senh(θ) −cosh(θ)
e
C2 =
cos(φ) sen(φ) 0 0sen(φ) −cos(φ) 0 0
0 0 −cosh(θ) − senh(θ)0 0 senh(θ) cosh(θ)
,
3.3. Involuções em O(n,1) 77
com φ e θ fixados. Observe que estas duas matrizes são conjugadas à matriz
κyw =
(κx 00 κx
),
com κx a matriz de reflexão em relação ao eixo x, pela conjugaçãosen(φ) sen(φ) 0 0
1− cos(φ) −1− cos(φ) 0 00 0 cosh
(θ
2
)− senh
(θ
2
)0 0 − senh
(θ
2
)cosh
(θ
2
)
.
Portanto, para estas classes de matrizes, é suficiente encontrar a base de Hilbert pela ação dosubgrupo Z2(κyw). Porém, para ilustrar a aplicação dos Algoritmos 1.1.12 e 1.1.13, fazemos ocálculo da base de Hilbert para o anel P(Z2(C1)) na proposição a seguir.
Proposição 3.3.3. Considere a ação do grupo Z2(C1) nos pontos (x,y,z,w) de R3+1. O conjunto
M = { sen(φ)x− (cos(φ)−1)y,(cosh(θ)+1)z+ senh(θ)w,x2 + y2,
w2− z2,(cos(φ)+ cosh(θ))xz+ sen(φ)yz+ senh(θ)wx}
é uma base de Hilbert para o anel P(Z2(C1)).
Demonstração. Calculamos a série de Molien para o grupo Z2(C1). Temos que
det(I4− t · I4) = (1− t)4
e quedet(I4− t ·C1) = (1+ t)2(1− t)2.
Portanto, a série de Molien é dada por
ΦZ2(C1)(t) =12
(1
(1− t)4 +1
(1− t2)2
)= 1+2t +6t2 +10t3 +19t4 +28t5 +44t6 + · · · .
Usando o MAPLE, encontramos os polinômios homogêneos invariantes de grau 1, pela ação deZ2(C1) em R3+1,
sen(φ)x− (cos(φ)−1)y e (cosh(θ)+1)z+ senh(θ)w.
Encontramos também os polinômios homogêneos invariantes de grau 2,
x2 + y2, (3.25)
sen(φ)xy− cos(φ)y2, (3.26)
(cos(φ)+ cosh(θ))xz+ sen(φ)yz+ senh(θ)xw, (3.27)
sen(φ)xz+(cosh(θ)− cos(φ))yz+ senh(θ)yw, (3.28)
senh(θ)zw+ cosh(θ)z2, (3.29)
w2− z2. (3.30)
78 Capítulo 3. As involuções de Lorentz
Usando o pacote PolynomialIdeals do MAPLE mostramos que os polinômios (3.26), (3.28) e(3.29) pertencem ao anel gerado pelo conjunto M. Usando o Algoritmo 1.1.12, mostramos queos polinômios de M são algebricamente dependentes. Assim, a série de Hilbert é dada por
HZ2(C1)(t) =1+ t2
(1− t)2(1− t2)2 .
Note que
12
(1
(1− t)4 +1
(1− t2)2
)=
(t +1)2 +(1− t)2
2(t +1)2(1− t)4 =t2 +2t +1+1−2t + t2
2(1− t)2(−t2 +1)2 =1+ t2
(1− t)2(1− t2)2 .
Logo, pelo Algoritmo 1.1.13, o conjunto M é uma base de Hilbert para P(Z2(C1)).
No teorema a seguir, damos uma caracterização de uma involução em O(n,1). Tome P eQ as matrizes dadas em (3.2). Defina a matriz
P1 =
(Pt
n−1 v2
0 1
).
Observe que
P1 ·P =
(Pt
n−1 v2
0 1
)(Pn−1 v1
vt2 a
)
=
(Pt
n−1Pn−1 + v2vt2 Pt
n−1v1 +av2
vt2 a
)=
(In−1 0vt
2 a
),
por (3.13) e (3.15).
Assim, concluímos que det(Pn−1) =±a, pois det(P) =±1. Portanto, Pn−1 é invertívelse, e somente se, a é não nulo.
Analogamente, calculamos que det(Qn−1) = b, pois det(Q) = 1. Do mesmo modo, Qn−1
é invertível se, e somente se, b é não nulo.
Teorema 3.3.4. Sejam os vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 dados nas matrizes P e Q em (3.2), não
nulos. Então a matriz (3.1) é uma involução de Lorentz se, e somente se,
(i) b =−εa,
(ii) u2 =−εv1,
(iii) Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2) = Qt
n−1,
onde Qn−1Pn−1 +u1vt2 é uma involução ortogonal.
3.3. Involuções em O(n,1) 79
Demonstração. Suponha a matriz (3.1) uma involução de Lorentz. Usamos as expressões (3.3)a (3.23). Como ||v1||2 = 1−a2 então 1−a2 ≥ 0 o que implica que |a| ≤ 1. Se tomarmos |a|= 1então ||v1|| = 0, isto é, v1 é um vetor nulo. O mesmo aplica-se a b, isto é, se |b| = 1 então u1
é um vetor nulo. Neste caso, aplica-se a Proposição 3.3.1 e o Corolário 3.3.2. Por isso, nestademonstração, tomamos |a|, |b|< 1. Suponha a,b 6= 0. Tomando (3.20), e multiplicando pelamatriz Pn−1Qn−1Pn−1 à esquerda, temos:
Qn−1u2 +bu1 = 0 ⇒ Qn−1u2 =−bu1
⇒ Pn−1Qn−1Pn−1(Qn−1u2) =−bPn−1Qn−1Pn−1(u1).
Substituindo as expressões (3.10) e (3.11) na expressão acima, vemos que
Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1u2 = −bPn−1Qn−1Pn−1u1⇒
(In−1 + εv1ut2−Pn−1u1vt
2Qn−1)u2 = −b(εbv1−Pn−1u1vt2u1)⇒
u2 + εv1ut2u2−Pn−1u1vt
2Qn−1u2 = −εb2v1 +bPn−1u1vt2u1⇒
u2 + εv1(1−b2)−Pn−1u1vt2(−bu1) = −εb2v1 +bPn−1u1vt
2u1⇒
u2 + εv1− εb2v1 +bPn−1u1vt2u1 = −εb2v1 +bPn−1u1vt
2u1⇒
u2 + εv1 = 0
u2 = −εv1.
Do terceiro para o quarto passo acima usamos as equações (3.20) e (3.23). Desse resultado e de(3.3), obtemos que
ut2v1 +ab =−ε ⇒ (−εvt
1)v1 +ab =−ε ⇒ ab =−ε + εvt1v1
⇒ ab =−ε + ε(1−a2)⇒ ab =−εa2⇒ b =−εa.
Agora tomando (3.11) e (3.12), e usando que u2 =−εv1, temos
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1− εv1ut
2 = In−1⇒
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1 = In−1− v1vt
1⇒
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1 = Pn−1Pt
n−1⇒
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1 = Pt
n−1,
pois como estamos assumindo que a é não nulo então Pn−1 é invertível. De maneira análoga,usando (3.11) e (3.19), obtemos
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2) = Qt
n−1,
o que implica que
Qn−1 = (Qn−1Pn−1 +u1vt2)
tPtn−1.
80 Capítulo 3. As involuções de Lorentz
Resta mostrar que Qn−1Pn−1 +u1vt2 é uma involução ortogonal. De fato, substituindo Qn−1 =
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)
tPtn−1 na expressão (Qn−1Pn−1 +u1vt
2)Qn−1 = Ptn−1, temos
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1 = Pt
n−1⇒
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)tPt
n−1 = Ptn−1⇒
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)t = In−1,
o que mostra que a matriz Qn−1Pn−1 +u1vt2 é ortogonal. Note que
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt
2) =
(Pn−1Qn−1Pn−1 +Pn−1u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt
2) =
(Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1 +Pn−1u1vt2Qn−1)Pn−1 +(Pn−1Qn−1Pn−1u1 +Pn−1u1vt
2u1)vt2.
Aplicando as expressões (3.10) e (3.11) na última expressão acima, e usando que b = −εa,obtemos
(In−1 + εv1ut2)Pn−1 + εbv1vt
2 =
Pn−1 + εv1(−ε)vt1Pn−1−av1vt
2 =
Pn−1− v1vt1Pn−1−av1vt
2 =
Pn−1− v1(vt1Pn−1 +avt
2) = Pn−1.
Sendo a última igualdade obtida a partir de (3.15). Portanto,
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt
2) = Pn−1.
Como Pn−1 é invertível, isso mostra que Qn−1Pn−1 +u1vt2 é uma involução ortogonal e, portanto,
simétrica. Suponha agora a = 0. Isso implica que ||v1||= ||v2||= 1 e de (3.15), temos
vt1Pn−1 = 0 ⇒ vt
1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1 = 0
⇒ vt1(In−1 + εv1ut
2−Pn−1u1vt2Qn−1) = 0
⇒ vt1 + εvt
1v1ut2− vt
1Pn−1u1vt2Qn−1 = 0
⇒ vt1 + εut
2 = 0⇒ vt1 =−εut
2⇒ v1 =−εu2,
pois vt1v1 = 1, por (3.16). Comparando a norma,
1 = ||v2||= ||v1||= ||− εu2||= ||u2||= 1−b2⇒ b = 0.
Como a = 0, ainda vale a igualdade b =−εa. A matriz Qn−1Pn−1 +u1vt2 é ortogonal:
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)t =
Qn−1Pn−1Ptn−1Qt
n−1 +u1vt2Pt
n−1Qtn−1 +Qn−1Pn−1v2ut
1 +u1vt2v2ut
1 =
Qn−1Pn−1Ptn−1Qt
n−1 +u1ut1,
3.3. Involuções em O(n,1) 81
pois Pn−1v2 = 0 por (3.14) e vt2v2 = 1. Substituindo na última expressão acima as expressões
(3.12) e (3.18), obtemos
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)t =
Qn−1(In−1− v1vt1)Q
tn−1 +u1ut
1 =
Qn−1Qtn−1−Qn−1v1vt
1Qtn−1 +u1ut
1 =
In−1−u1ut1−Qn−1(−εu2)(−εut
2)Qtn−1 +u1ut
1 =
In−1−Qn−1u2ut2Qt
n−1 = In−1,
pois Qn−1u2 = 0 por (3.20). Isso mostra que Qn−1Pn−1 + u1vt2 é ortogonal também quando
a = 0. Mostramos que Qn−1Pn−1+u1vt2 é uma involução. Observe que desenvolvendo a potência
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)
3, temos
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)
3 =
(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)(Qn−1Pn−1 +u1vt2) =
(Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1Pn−1u1vt2 +u1vt
2Qn−1Pn−1 +
+u1vt2u1vt
2)(Qn−1Pn−1 +u1vt2) =
Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1u1vt2 +Qn−1Pn−1u1vt
2u1vt2 +
+u1vt2Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +u1vt
2u1vt2Qn−1Pn−1 +u1vt
2Qn−1Pn−1u1vt2 +
+u1vt2u1vt
2u1vt2 +Qn−1Pn−1u1vt
2Qn−1Pn−1.
Agrupando alguns termos,
Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1{Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)u1}vt
2 +
+u1{vt2(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)Qn−1}Pn−1 +u1{vt2(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)u1}vt2
+Qn−1Pn−1u1vt2Qn−1Pn−1 =
Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1Pn−1u1vt2Qn−1Pn−1 +u1vt
2,
pois vt2(Qn−1Pn−1+u1vt
2)u1 = 1, vt2(Qn−1Pn−1+u1vt
2)Qn−1 = 0 e Pn−1(Qn−1Pn−1+u1vt2)u1 = 0,
pela expressões (3.8) a (3.10). Agora, por (3.11), temos
Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1Pn−1u1vt2Qn−1Pn−1 +u1vt
2 =
Qn−1(In−1− v1vt1−Pn−1u1vt
2Qn−1)Pn−1 +Qn−1Pn−1u1vt2Qn−1Pn−1 +u1vt
2 =
Qn−1Pn−1−Qn−1v1vt1Pn−1 +u1vt
2 = Qn−1Pn−1 +u1vt2,
pois, por (3.15), vt1Pn−1 = 0. Como a matriz Qn−1Pn−1+u1vt
2 é ortogonal e, portanto, invertível, e,como acabamos de provar, (Qn−1Pn−1+u1vt
2)3 = Qn−1Pn−1+u1vt
2, segue que Qn−1Pn−1+u1vt2
82 Capítulo 3. As involuções de Lorentz
é uma involução. Por fim, temos da ortogonalidade de Qn−1Pn−1 +u1vt2 que
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2) = Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt
2)t
= Pn−1(Ptn−1Qt
n−1 + v2ut1)
= Pn−1Ptn−1Qt
n−1 +Pn−1v2ut1
= (In−1− v1vt1)Q
tn−1 +Pn−1v2ut
1
= Qtn−1− v1vt
1Qtn−1 +Pn−1v2ut
1
= Qtn−1,
pois vt1Qt
n−1 = 0, por (3.20), e Pn−1v2 = 0, por (3.14).
Reciprocamente, um cálculo direto nos mostra que nestas condições uma matriz deLorentz é uma involução.
O resultado a seguir estabelece uma forma simples de se detectar uma classe de involuçõesde Lorentz.
Corolário 3.3.5. Se todos os vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1, dados nas matrizes P e Q em (3.2),
são não nulos, então podemos encontrar uma involução de Lorentz tal que se Pn−1 =−εQtn−1
então u1 =−εv2.
Demonstração. Comparando as expressões (3.15) e (3.20), e usando as relações do Teorema3.3.4, b =−εa e u2 =−εv1, temos
Ptn−1v1 +av2 = Qn−1u2 +bu1 ⇒ Pt
n−1v1 +av2 =−εQn−1v1− εau1
⇒ Ptn−1v1 + εQn−1v1 =−εau1−av2
⇒ (Ptn−1 + εQn−1)v1 =−a(εu1 + v2)
Assim, se Pn−1 =−εQtn−1 então temos que u1 =−εv2. Note que Pn−1(Qn−1Pn−1+u1vt
2)=Qtn−1,
pois
Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2) = Pn−1(Qn−1(−εQn−1)+u1(−εut
1))
= −εPn−1(Qn−1Qtn−1 +u1ut
1)
= −εPn−1 = Qtn−1.
Finalizamos esta seção apresentando duas classes de involuções em O(3,1) calculadas apartir do Teorema 3.3.4 e do Corolário 3.3.5 e a respectiva base de Hilbert do anel dos polinômiosinvariantes, pela ação dos grupos gerados por essas involuções.
3.3. Involuções em O(n,1) 83
Considere a matriz, com φ e θ fixados, dada por
C3 =
cos(φ) 0 sen(φ) 0
0 1 0 0sen(φ) 0 −cos(φ) 0
0 0 0 1
1 0 0 00 1 0 00 0 cosh(θ) senh(θ)0 0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) 0 sen(φ) 00 1 0 0
− sen(φ) 0 cos(φ) 00 0 0 1
.
Temos ε = 1, u2 = (− sen(φ),0) = −( sen(φ),0) = −v1 e a = −cos(φ) = −b. Pelo Teorema3.3.4, C3 é uma involução.
Considere também a matriz C4, construída agora a partir do Corolário 3.3.5, com φ e θ
fixados. Mantemos a matriz
Q =
cos(φ) 0 sen(φ)0 1 0
− sen(φ) 0 cos(φ)
de C3 e construímos a matriz P, usando as hipóteses do corolário para ε = −1. Temos u1 =
( sen(φ),0), u2 = (− sen(φ),0), b = cos(φ) e
Q2 =
(cos(φ) 0
0 1
).
Assim, do Corolário 3.3.5, segue que
C4 =
cos(φ) 0 − sen(φ) 0
0 1 0 0sen(φ) 0 cos(φ) 0
0 0 0 −1
1 0 0 00 1 0 00 0 cosh(θ) senh(θ)0 0 senh(θ) cosh(θ)
cos(φ) 0 sen(φ) 00 1 0 0
− sen(φ) 0 cos(φ) 00 0 0 1
,
é uma involução de Lorentz. Estas duas classe de matrizes são conjugadas por1 0 0 −2 sen(φ)cosh(θ)
senh(θ)
0 1 0 0
0 0 1 2cos(φ)cosh(θ)senh(θ)
0 0 0 −1
.
Portanto, precisamos apenas da base de Hilbert para o anel de polinômios invariantes de umadelas, pela Proposição 3.0.2. Calculamos a base de Hilbert de para o anel P(Z2(C3)).
Proposição 3.3.6. O conjunto
R = {(cosh(θ)−1)x− senh(θ) sen(φ)w,y,(cosh(θ)−1)z+ senh(θ)cos(φ)w,x2 + y2 + z2−w2}
é uma base de Hilbert para o anel P(Z2(C3)).
Demonstração. Calculamos a série de Molien para o grupo Z2(C3). Temos que
det(I4− t · I4) = (1− t)4
84 Capítulo 3. As involuções de Lorentz
e quedet(I4− t ·C3) = (1+ t)(1− t)3.
Portanto, a série de Molien é dada por
ΦZ2(C3)(t) =12
(1
(1− t)4 +1
(1+ t)(1− t)3
)= 1+3t +7t2 +13t3 +22t4 +34t5 +50t6 + · · · .
Usamos o MAPLE para encontrar os três polinômios homogêneos invariantes de grau 1, pelaação de Z2(C3) em R3+1,
cosh(θ)−1)x− senh(θ) sen(φ)w,y e (cosh(θ)−1)z+ senh(θ)cos(φ)w.
Como estes três invariantes de grau 1 geram 6 invariantes de grau 2, e dado que a forma quadráticax2 + y2 + z2−w2 é um polinômio invariante, então temos o conjunto
R = {(cosh(θ)−1)x− senh(θ) sen(φ)w,y,(cosh(θ)−1)z+ senh(θ)cos(φ)w,x2 + y2 + z2−w2}
como um candidato a base de Hilbert. Usando o Algoritmo 1.1.12, mostramos que os polinômiosde P são algebricamente independentes. Assim, aplicamos a Proposição 1.2.3 para calcular asérie de Hilbert, dada por
HZ2(C3)(t) =1
(1− t)3(1− t2).
Temos que ΦZ2(C3)(t) = HZ2(C3)(t). Logo, pelo Algoritmo 1.1.13, o conjunto R é uma base deHilbert para P(Z2(C3)).
3.4 O subespaço de pontos fixos de uma involução de Lorentz
Seja γ ∈ O(n,1) uma involução, com Z2(γ) agindo em Rn+1. Definimos
A(Z2(γ)) = {x ∈ Rn+1 : γx =−x}
como o conjunto antipodal de γ . Nesta seção, mostramos que se γ for uma involução então oFix(Z2(γ)) é não degenerado.
É imediato que Rn+1 = Fix(Z2(γ))⊕A(Z2(γ)).
Proposição 3.4.1. Se Fix(Z2(γ)) é não degenerado então A(Z2(γ)) = Fix(Z2(γ))⊥.
Demonstração. Suponha w ∈ A(Z2(γ)). Temos, para todo v ∈ Fix(Z2(γ)) que
〈v,w〉= 〈γv,−γw〉= 〈v,−w〉=−〈v,w〉
o que implica que 〈v,w〉= 0 para todo v ∈ Fix(Z2(γ)). Portanto, w ∈ Fix(Z2(γ))⊥. Reciproca-
mente, suponha w ∈ Fix(Z2(γ))⊥ então 〈v,w〉= 0 para todo v ∈ Fix(Z2(γ)). Temos também que
〈γv,γw〉 = 〈v,γw〉 = 0 para todo v ∈ Fix(Z2(γ)). Portanto, 〈v,w〉+ 〈v,γw〉 = 〈v,w+ γw〉 = 0,para todo v ∈ Fix(Z2(γ)) e como w+ γw ∈ Fix(Z2(γ)) segue que w+ γw = 0, pois Fix(Z2(γ))
é não degenerado, e daí temos γw =−w. Logo w ∈ A(Z2(γ)).
3.4. O subespaço de pontos fixos de uma involução de Lorentz 85
Observe, da demonstração da Proposição 3.4.1, que se Fix(Z2(γ)) é um subespaçodegenerado, então em geral A(Z2(γ))⊂ Fix(Z2(γ))
⊥.
Corolário 3.4.2. Fix(Z2(γ)) é não degenerado se, e somente se, A(Z2(γ)) também é não dege-
nerado.
Demonstração. Se Fix(Z2(γ)) é não degenerado então, pela Proposição 3.4.1, temos queA(Z2(γ)) = Fix(Z2(γ))
⊥. Portanto, A(Z2(γ)) é não degenerado pela Proposição 1.2.33. Observeque Fix(Z2(γ)) = A(Z2(−γ)) e que A(Z2(γ)) = Fix(Z2(−γ)). Então, supondo que A(Z2(γ))
seja não degenerado, e como A(Z2(γ)) = Fix(Z2(−γ)), segue que Fix(Z2(−γ)) é não degene-rado e, pelo mesmo argumento acima, temos que Fix(Z2(−γ))⊥ = A(Z2(−γ)) = Fix(Z2(γ))
também é não degenerado.
Finalizamos esta seção com o teorema a seguir, mostrando que o subespaço de pontosfixos de qualquer involução é não degenerado.
Teorema 3.4.3. Seja γ ∈ O(n,1) uma involução agindo em Rn+1. Então o subespaço de pontos
fixos, Fix(Z2(γ)), é não degenerado.
Demonstração. Suponha que Fix(Z2(γ)) seja degenerado. Então A(Z2(γ)) também é dege-nerado, pelo Corolário 3.4.2. Seja x ∈ V um ponto do tipo-tempo, isto é, 〈x,x〉 < 0. ComoRn+1 = Fix(Z2(γ))⊕A(Z2(γ)) então x = u+ v, com u ∈ Fix(Z2(γ)) e v ∈ A(Z2(γ)). Como,pela Proposição 3.4.1, temos A(Z2(γ))⊂ Fix(Z2(γ))
⊥ então 〈u,v〉= 0. Sendo assim, temos
〈x,x〉= 〈u+ v,u+ v〉= 〈u,u〉+2〈u,v〉+ 〈v,v〉= 〈u,u〉+ 〈v,v〉 ≥ 0,
pois 〈u,u〉 ≥ 0 e 〈v,v〉 ≥ 0 uma vez que u e v são elementos de subespaços degenerados. Contra-dição.
Corolário 3.4.4. O significado geométrico do Teorema 3.4.3 é que o subespaço de pontos fixos
de um subgrupo gerado por uma involução, em qualquer dimensão, não é do tipo luz. Ou melhor,
em qualquer dimensão o subespaço de pontos fixos não tangencia o cone-luz.
87
CAPÍTULO
4SOBRE OS INVARIANTES PARA
ROTAÇÕES DE LORENTZ
Neste capítulo, estudamos sobre o grupo cíclico Γθ = 〈Rh(θ)〉, onde Rh(θ) é uma rotaçãohiperbólica pura em O(1,1) dada por
Rh(θ) =
(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
), (4.1)
com θ fixado. O grupo Γθ é não compacto, infinito, cujos elementos são Rh(nθ), n∈Z. Tambémestudamos sobre os possíveis polinômios invariantes R1+1→ R pela ação padrão deste grupo nodomínio da função, concluindo com algumas conjecturas que sugerem uma base de Hilbert parao anel P(Γθ ). Em todo o capítulo assumimos que θ 6= 0.
Vamos usar a notação α = cosh(θ) e β = senh(θ) em Rh(θ). Temos, portanto, que aação de Γθ em R1+1 transforma pontos (x,y) em pontos (αx+βy,βx+αy).
Estamos interessados nos polinômios invariantes pela ação de Γθ em R1+1. Como o aneldos polinômios Γθ -invariantes P(Γθ ) é uma álgebra graduada sobre R, podemos encontrar ospolinômios Γθ -invariantes grau a grau.
Consideramos um polinômio homogêneo geral de grau 1, f1(x,y) = a1x+a2y. Para quef1 seja Γθ -invariante, temos
f1(αx+βy,βx+αy)− f1(x,y) = 0,∀x,y ∈ R1+1.
De onde obtemos a expressão a1(αx+ βy)+ a2(βx+αy)− a1x− a2y = 0. Temos assim, osistema homogêneo nas variáveis a1 e a2:{
(α−1)a1 +βa2 = 0βa1 +(α−1)a2 = 0
,
88 Capítulo 4. Sobre os invariantes para rotações de Lorentz
cuja matriz dos coeficientes é (α−1 β
β α−1
).
O sistema acima admite apenas a solução trivial. Portanto, concluímos que não existem polinô-mios não nulos Γθ -invariantes de grau 1.
Procedemos do mesmo modo para os polinômios homogêneos de grau 2 e 3,
f2(x,y) = a1x2 +a2xy+a3y2, f3(x,y) = a1x3 +a2x2y+a3xy2 +a4y3,
obtemos as matrizes dos coeficientes do sistema associado:
α2−1 αβ β 2
2αβ α2 +β 2−1 2αβ
β 2 αβ α2−1
,
α3−1 α2β αβ 2 β 3
3α2β α3 +2αβ 2−1 2α2β +β 3 3αβ 2
3αβ 2 2α2β +β 3 α3 +2αβ 2−1 3α2β
β 3 αβ 2 α2β α3−1
,
respectivamente. Sendo relativamente fácil resolvê-las. Para f2 encontramos como soluçãoa1 = −a3 e a2 = 0, o que mostra que qualquer polinômio Γθ -invariante de grau 2 é da formaa1(x2− y2), com a1 ∈ R. No caso de f3 a solução é trivial. Assim, não existem polinômiosΓθ -invariantes não nulos de grau 3.
Para os polinômios homogêneos de grau 4, 5 e 6,
f4(x,y) = a1x4 +a2x3y+a3x2y2 +a4xy3 +a5y4,
f5(x,y) = a1x5 +a2x4y+a3x3y2 +a4x2y3 +a5xy4 +a6y5,
f6(x,y) = a1x6 +a2x5y+a3x4y2 +a4x3y3 +a5x2y4 +a6xy5 +a7y6,
temos as matrizes dos coeficientes do sistema associado
α4−1 α3β α2β 2 αβ 3 β 4
4α3β α4 +3α2β 2−1 2α3β +2αβ 3 3α2β 2 +β 4 4αβ 3
6α2β 2 3α3β +3αβ 3 α4 +4α2β 2 +β 4−1 3α3β +3αβ 3 6α2β 2
4αβ 3 3α2β 2 +β 4 2α3β +2αβ 3 α4 +3α2β 2−1 4α3β
β 4 αβ 3 α2β 2 α3β α4−1
,
α5−1 α4β α3β 2 α2β 3 αβ 4 β 5
5α4β α5 +4α3β 2−1 2α4β +3α2β 3 3α3β 2 +2αβ 4 4α2β 3 +β 5 5αβ 4
10α3β 2 4α4β +6α2β 3 α5 +6α3β 2 +3αβ 4−1 3α4β +6α2β 3 +β 5 6α3β 2 +4αβ 4 10α2β 3
10α2β 3 6α3β 2 +4αβ 4 3α4β +6α2β 3 +β 5 α5 +6α3β 2 +3αβ 4−1 4α4β +6α2β 3 10α3β 2
5αβ 4 4α2β 3 +β 5 3α3β 2 +2αβ 4 2α4β +3α2β 3 α5 +4α3β 2−1 5α4β
β 5 αβ 4 α2β 3 α3β 2 α4β α5−1
,
4.1. Matriz centrossimétrica polinomial em duas variáveis 89
α6−1 α5β α4β 2 α3β 3 α2β 4 αβ 5 β 6
6α5β α6 +5α4β 2−1 2α5β +4α3β 3 3α4β 2 +3α2β 4 4α3β 3 +2αβ 5 5α2β 4 +β 6 6αβ 5
15α4β 2 5α5β +10α3β 3 α6 +8α4β 2 +6α2β 4−1 3α5β +9α3β 3 +3αβ 5 6α4β 2 +8α2β 4 +β 6 10α3β 3 +5αβ 5 15α2β 4
20α3β 3 10α4β 2 +10α2β 4 4α5β +12α3β 3 +4αβ 5 α6 +9α4β 2 +9α2β 4 +β 6−1 4α5β +12α3β 3 +4αβ 5 10α4β 2 +10α2β 4 20α3β 3
15α2β 4 10α3β 3 +5αβ 5 6α4β 2 +8α2β 4 +β 6 3α5β +9α3β 3 +3αβ 5 α6 +8α4β 2 +6α2β 4−1 5α5β +10α3β 3 15α4β 2
6αβ 5 5α2β 4 +β 6 4α3β 3 +2αβ 5 3α4β 2 +3α2β 4 2α5β +4α3β 3 α6 +5α4β 2−1 6α5β
β 6 αβ 5 α2β 4 α3β 3 α4β 2 α5β α6−1
,
respectivamente.
Seja fn(x,y) =n∑
i=0aixn−iyi uma função polinomial homogênea de grau n. Suponha fn
Γθ -invariante, isto é,
n
∑i=0
ai((αx+βy)n−i(βx+αy)i− xn−iyi)= 0.
Com base nesta equação achamos um sistema homogêneo nas variáveis ai, i = 0, · · · ,n, cujamatriz dos coeficientes A = [ai, j], de ordem n+1, é dada por
ai, j =j−1
∑s=0
(j−1
s
)(n− j+1i− j+ s
)α
n−(i− j+2s)β
i− j+2s +j−1
∑r=0
(−1)r+1(
j− ri
)(jr
). (4.2)
Na expressão 4.2 acima, q pode ser qualquer número inteiro desde que fixemos a notação(p
q
)= 0,
se p < q ou se q < 0.
Para que possamos caracterizar essas matrizes precisamos da seguinte definição.
Definição 4.0.1. ([6]) Seja A = [ai, j] uma matriz de ordem n. Dizemos que A é uma matrizcentrossimétrica se
ai, j = an+1−i,n+1− j, para todo i, j = 1, · · · ,n.
Outra forma de definir uma matriz centrossimétrica é usando a matriz contra-diagonalL = [li, j], definida como li, j = δi,n+1− j, para todo i, j = 1, · · · ,n, onde δi, j é o delta de Kronecker.Assim, uma matriz A é centrossimétrica se, e somente se, AL = LA ([6]).
4.1 Matriz centrossimétrica polinomial em duas variáveis
Nesta seção, mostramos que uma matriz que satisfaz (4.2) é centrossimétrica. Fazemostambém uma investigação sobre estas matrizes.
Começamos com algumas propriedades de números binomiais. Uma das propriedadesmais conhecidas é a relação de Stiffel: Para n≥ k e n,k inteiros positivos, temos(
n−1k−1
)+
(n−1
k
)=
(nk
).
90 Capítulo 4. Sobre os invariantes para rotações de Lorentz
Enunciamos a seguir um resultado mais geral, ao qual chamamos de relação de Stiffel
p-geral, que nos auxilia na prova de algumas propriedades da matriz (4.2).
Proposição 4.1.1 (Relação de Stiffel p-Geral). Seja p um inteiro não negativo, então(nk
)=
p
∑i=0
(pi
)(n− p
k− (p− i)
). (4.3)
Demonstração. Para p = 0 temos
0
∑i=0
(pi
)(n−0
k− (0− i)
)=
(nk
).
Para p = 1, (nk
)=
1
∑i=0
(1i
)(n−1
k− (1− i)
)=
(n−1k−1
)+
(n−1
k
),
que é a relação de Stiffel. Suponha, por hipótese de indução, que a relação (4.3) é válida para p,isto é, (
nk
)=
p
∑i=0
(pi
)(n− p
k− (p− i)
).
Mostremos a validade para p+1. Tomamos
p+1
∑i=0
(p+1
i
)(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)e usemos a relação de Stiffel para
(p+1i
):
p+1
∑i=0
(p+1
i
)(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)=
p+1
∑i=0
((p
i−1
)+
(pi
))(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)=
p+1
∑i=0
(p
i−1
)(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)+
p+1
∑i=0
(pi
)(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)=
p+1
∑i=1
(p
i−1
)(n− (p+1)
k− (p− (i−1))
)+
p
∑i=0
(pi
)(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)=
p
∑i=0
(pi
)(n− (p+1)k− (p− i)
)+
p
∑i=0
(pi
)(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)=
p
∑i=0
(pi
)((n− (p+1)k− (p− i)
)+
(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)).
Da segunda para a terceira linha, usamos o fato de que( p
i−1
)= 0 para i = 0 e que
(pi
)= 0 para
i = p+1. Usamos novamente a relação de Stiffel(n− (p+1)k− (p− i)
)+
(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)=
(n− p
k− (p− i)
).
4.1. Matriz centrossimétrica polinomial em duas variáveis 91
Logo,
p+1
∑i=0
(p+1
i
)(n− (p+1)
k− (p+1− i)
)=
p
∑i=0
(pi
)(n− p
k− (p− i)
)=
(nk
).
O próximo resultado nos ajuda a caracterizar os elementos da matriz (4.2).
Proposição 4.1.2. Mostremos quej−1∑
r=0(−1)r+1( j−r
i
)( jr
)= 0, para j 6= i
j−1∑
r=0(−1)r+1( j−r
i
)( jr
)=−1, para j = i
.
Demonstração. Note que para j = i, temos que(i−r
i
)= 0, para todo r > 0, pois i− r < i para
r > 0. Portanto,
i−1
∑r=0
(−1)r+1(
i− ri
)(ir
)= (−1)0+1
(i−0
i
)(i0
)+
i−1
∑r=1
(−1)r+1(
i− ri
)(ir
)=−1.
Suponha agora j 6= i. Tratamos de dois casos:
Caso 1. Seja j < i.
Temos que j− r < i para r ≥ 0. Portanto,( j−r
i
)= 0 para todo r ≥ 0, o que implica que
j−1
∑r=0
(−1)r+1(
j− ri
)(jr
)= 0.
Caso 2. Seja j > i.
Temos que
j−1
∑r=0
(−1)r+1(
j− ri
)(jr
)=
j−i
∑r=0
(−1)r+1(
j− ri
)(jr
),
pois( j−r
i
)= 0 para r > j− i. Daí, segue que
j−i
∑r=0
(−1)r+1(
j− ri
)(jr
)=
j−i
∑r=0
(−1)r+1 j!i!r!( j− r− i)!
.
Agora, note que se ar = (−1)r+1 1r!(2t+1−r)! então a2t+1−r =−ar. Se j− i = 2t+1 é ímpar, então
j−i
∑r=0
(−1)r+1 j!i!r!( j− r− i)!
=j!i!
2t+1
∑r=0
ar =j!i!
(t
∑r=0
ar +2t+1
∑r=t+1
ar
)=
j!i!
(t
∑r=0
ar +t
∑r=0
a2t+1−r
)= 0.
Logoj−i
∑r=0
(−1)r+1 j!i!r!( j− r− i)!
= 0,
92 Capítulo 4. Sobre os invariantes para rotações de Lorentz
para j− i ímpar.
Seja br = (−1)r+1 1r!(2t−r)! . Então, b2t−r = br. Se j− i = 2t é par, então
j−i
∑r=0
(−1)r+1 j!i!r!( j− r− i)!
=j!i!
2t
∑r=0
br =j!i!
(t−1
∑r=0
br +(−1)t+1 1t!t!
+2t
∑r=t+1
br
)
=j!i!
(t−1
∑r=0
br +(−1)t+1 1t!t!
+t−1
∑r=0
b2t−r
)
=j!i!
(2
t−1
∑r=0
br +(−1)t+1 1t!t!
).
Assim, basta mostrar que
2t−1
∑r=0
br =−(−1)t+1 1t!t!
.
De fato, mostremos que
Sn = 2(b0 +b1 + · · ·+bn) = (−1)n+1 1n!t(2t− (n+1))!
.
Note que
S0 = (−1)1
0!t(2t−1)!=− 2
2t(2t−1)!=− 2
(2t)!= 2b0.
Temos ainda que S1 =1
t(2t−2)! . Por outro lado,
S0 +2b1 =−2
(2t)!+
2(2t−1)!
=− 2(2t)!
+2(2t)
(2t)(2t−1)!=
2(2t−1)2t(2t−1)!
=1
t(2t−2)!= S1.
Suponha a afirmação verdadeira para n = k, isto é
Sk = (−1)k+1 1k!t(2t− (k+1))!
.
Então temos
Sk +2bk+1 = (−1)k+1 1k!t(2t− (k+1))!
+(−1)k+2 2(k+1)!(2t− (k+1))!
= (−1)k+2(
2(k+1)!(2t− (k+1))!
− 1k!t(2t− (k+1))!
)= (−1)k+2 2t− (k+1)
(k+1)!t(2t− (k+1))!
= (−1)k+2 1(k+1)!t(2t− (k+2))!
= Sk+1.
Portanto,
2t−1
∑r=0
br = St−1 =−(−1)t+1 1t!t!
.
4.1. Matriz centrossimétrica polinomial em duas variáveis 93
Outra propriedade peculiar da matriz (4.2) diz respeito à soma de qualquer uma de suascolunas.
Proposição 4.1.3. A soma de todos os elementos de qualquer coluna da matriz (4.2), de ordemn+1, é o polinômio (α +β )n−1.
Demonstração. Temos que a soma da l-ésima coluna da matriz (4.2) é dada por
n+1
∑i=1
(l−1
∑s=0
(l−1
s
)(n+1− li− l + s
)α
n−(i−l+2s)β
i−l+2s +l−1
∑r=0
(−1)r+1(
l− ri
)(lr
))=
n+1
∑i=1
l−1
∑s=0
(l−1
s
)(n+1− li− l + s
)α
n−(i−l+2s)β
i−l+2s−1,
dado que j−1∑
r=0(−1)r+1( j−r
i
)( jr
)= 0, para j 6= i
j−1∑
r=0(−1)r+1( j−r
i
)( jr
)=−1, para j = i
entãon+1∑
i=1
l−1∑
r=0(−1)r+1(l−r
i
)(lr
)=−1, pela Proposição 4.1.2. Desejamos saber qual é o coeficiente
de αn−vβ v, para cada v = 0, · · · ,n. Assim, temos que i− l +2s = v o que implica i = v+ l−2s.Se s = 0 então i = v+ l e, daí,
0
∑0
(l−1
s
)(n− l +1
v+ l− (l− s)
)α
n−(v+l−l+2s)β
v+l−l+2s =
(l−1
0
)(n− l +1
v
)α
n−vβ
v.
Se s = 1 então i = v+ l−2 e, assim,
1
∑1
(l−1
s
)(n− l +1
v+ l−2− (l− s)
)α
n−(v+l−2−l+2s)β
v+l−2−l+2s =(l−1
1
)(n− l +1
v−1
)α
n−vβ
v.
Se s = 2 então i = v+ l−4 e, daí,
2
∑2
(l−1
s
)(n− l +1
v+ l−4− (l− s)
)α
n−(v+l−4−l+2s)β
v+l−4−l+2s =(l−1
2
)(n− l +1
v−1
)α
n−vβ
v.
...
Se s = l−2 então i = v− l +4 e, portanto,
l−2
∑l−2
(l−1
s
)(n− l +1
v− l +4− (l− s)
)α
n−(v−l+4−l+2s)β
v−l+4−l+2s =(l−1l−2
)(n− l +1v− l +2
)α
n−vβ
v.
94 Capítulo 4. Sobre os invariantes para rotações de Lorentz
Se s = l−1 então i = v− l +2 e, daí,
l−1
∑l−1
(l−1
s
)(n− l +1
v− l +2− (l− s)
)α
n−(v−l+2−l+2s)β
v−l+2−l+2s =(l−1l−1
)(n− l +1v− l +1
)α
n−vβ
v.
Portanto, o coeficiente de αn−vβ v e dado por((l−1
0
)(n− l +1
v
)+
(l−1
1
)(n− l +1
v−1
)+ · · ·+
(l−1l−1
)(n− l +1v− l +1
))α
n−vβ
v =
l−1
∑i=0
(l−1
i
)(n− l +1
v− i
)α
n−vβ
v =l−1
∑i=0
(l−1
l−1− i
)(n− l +1
v− (l−1− i)
)α
n−vβ
v =
l−1
∑i=0
(l−1
i
)(n− l +1
v− (l−1− i)
)α
n−vβ
v =
(nv
)α
n−vβ
v,
sendo a última igualdade obtida pela relação de Stiffel p-Geral (4.3). Tomemos a expressãoabaixo e substituímos i = v+ l−2s. Note que 0≤ i− l +2s≤ n.
n+1
∑i=1
l−1
∑s=0
(l−1
s
)(n+1− li− l + s
)α
n−(i−l+2s)β
i−l+2s−1 =
n
∑v=0
l−1
∑s=0
(l−1
s
)(n+1− l
v+ l−2s− l + s
)α
n−(v+l−2s−l+2s)β
v+l−2s−l+2s−1 =
n
∑v=0
l−1
∑s=0
(l−1
s
)(n+1− l
v− s
)α
n−vβ
v−1 =n
∑v=0
(nv
)α
n−vβ
v−1 = (α +β )n−1.
Na igualdade acima fazemos apenas um rearranjo agrupando os termos que têm o mesmomonômio αn−vβ v.
A seguir apresentamos um dos principais resultados para a classe de matrizes (4.2).
Proposição 4.1.4. A matriz definida em (4.2), de ordem n+1, é centrossimétrica. Isto é,
ai, j = an+2−i,n+2− j.
Demonstração. É suficiente mostrar a validade da igualdade ai, j = an+2−i,n+2− j para j ≤ i.Usando a fórmula em (4.2), temos que
an+2−i,n+2− j =n+1− j
∑s=0
(n+1− j
s
)(j−1
j− i+ s
)α
n−( j−i+2s)β
j−i+2s
+n+1− j
∑r=0
(−1)r+1(
n+2− j− rn+2− i
)(n+2− j
r
).
Para que (n+1− j
s
)(j−1
j− i+ s
)6= 0,
4.1. Matriz centrossimétrica polinomial em duas variáveis 95
devemos ter que j− i+ s≤ j−1⇒ s≤ i−1. Portanto, s = min{i−1,n+1− j}. Temos aindaque j− i+ s≥ 0⇒ s≥ i− j. Assim, s = max{0, i− j}. Se tomarmos j < i temos que s≥ i− j.Portanto,
an+2−i,n+2− j =min{i−1,n+1− j}
∑s=0
(n+1− ji− j+ s
)(j−1
s
)α
n−( j−i+2s)β
j−i+2s
+n+1− j
∑r=0
(−1)r+1(
n+2− j− rn+2− i
)(n+2− j
r
)
=min{i−1,n+1− j}
∑s=0
(n+1− ji− j+ s
)(j−1
s
)α
n−( j−i+2s)β
j−i+2s,
poisj−1∑
r=0(−1)r+1( j−r
i
)( jr
)= 0 para j < i. Além disso, para que
(n+1− ji− j+ s
)(j−1
s
)6= 0,
devemos ter que n+1− j ≤ i− j+ s⇒ s≤ n+1− i e ainda que s≤ j−1 o que implica ques≤min{ j−1,n+1− i}. Comparando com ai, j vemos que
ai, j =j−1
∑s=0
(j−1
s
)(n− j+1i− j+ s
)α
n−(i− j+2s)β
i− j+2s +j−1
∑r=0
(−1)r+1(
j− ri
)(jr
)
=min{ j−1,n+1−i}
∑s=0
(j−1
s
)(n− j+1i− j+ s
)α
n−(i− j+2s)β
i− j+2s,
pois, como j < i, então j− r < i, para r = 1, · · · , j−1. Portanto, ai, j = an+2−i,n+2− j para j < i.Se i = j, então
an+2−i,n+2−i =n+1−i
∑s=0
(n+1− i
s
)(i−1
s
)α
n−2sβ
2s
+n+1−i
∑r=0
(−1)r+1(
n+2− i− rn+2− i
)(n+2− i
r
).
Para que (n+1− i
s
)(i−1
s
)6= 0,
devemos ter que s≤ n+1− i e s≤ i−1 o que implica que s≤min{i−1,n+1− i}. Também,para que (
n+2− i− rn+2− i
)6= 0
basta que n+2− i≤ n+2− i− r o que implica que r = 0. Assim,
an+2−i,n+2−i =n+1−i
∑s=0
(n+1− i
s
)(i−1
s
)α
n−2sβ
2s−1.
96 Capítulo 4. Sobre os invariantes para rotações de Lorentz
Por outro lado,
ai,i =n+1−i
∑s=0
(i−1
s
)(n+1− i
s
)α
n−2sβ
2s +0
∑r=0
(−1)r+1(
i− ri
)(ir
)=
n+1−i
∑s=0
(n+1− i
s
)(i−1
s
)α
n−2sβ
2s−1.
Logo, ai,i = an+2−i,n+2−i.
Encontramos uma vasta biblioteca de artigos sobre matrizes centrossimétricas, ondedestacamos [6], [12], [18], [28], [36], [40] e [43] que abordam algumas propriedades dasmatrizes centrossimétricas. Em particular, [6], [28] e [43] estuda os autovalores e autovetoresdas matrizes centrossimétricas, [12] e [40] estabelecem algoritmos para a solução de sistemaslineares centrossimétricos, [18] disserta sobre a inversa de matrizes centrossimétricas, [36]apresenta as chamadas matrizes centrossimétricas generalizadas. No entanto, em nossa pesquisa,nada encontramos sobre matrizes centrossimétricas com entradas polinomiais.
4.2 A base de Hilbert de P(Γθ)
Para a matriz Rh(θ) em (4.1), consideramos o problema de encontrar uma base para oanel dos polinômios invariantes sob a ação em R1+1 do grupo Γθ = 〈Rh(θ)〉. O que apresentamosna seção anterior fez parte de um esforço para atingir este objetivo.
A matriz [ai, j], de ordem n+ 1, com ai, j como em (4.2) tem um sistema linear asso-
ciado cuja solução (a0, · · · ,an) deixa a função polinomial homogênea fn(x,y) =n∑
i=0aixn−iyi
Γθ -invariante.
Considere, como exemplo, o grupo gerado por
Rh(ln(2)) =
(54
34
34
54
).
A Tabela 3 (feita com ajuda do MAPLE) mostra os polinômios homogêneos invariantes até ograu 10, pela ação de Rh(ln(2)) em R1+1 (as matrizes Ai, i = 1, · · · ,10, da Tabela 3, são descritasno Apêndice A).
Depois de alguns cálculos e de dezenas de exemplos usando o software MAPLE, ela-boramos as seguintes conjecturas a respeito da ação do grupo Γθ no espaço de MinkowskiR1+1.
Conjectura 4.2.1. O determinante de uma matriz [ai, j] de ordem par com ai, j como em (4.2) énão nulo.
Por outro lado, estudamos o determinante da matriz [ai, j] de ordem ímpar, com ai, j comoem (4.2):
4.2. A base de Hilbert de P(Γθ ) 97
Tabela 3 – Polinômios Γln(2)-invariantes
Graupolinômio Matriz Determinante ai
Polinômioinvariante
1 A1 − 12 a1 = a2 = 0 -
2 A2 0 a3 =−a1,a2 = 0 a1(x2− y2)
3 A34916 ai = 0, i = 1, · · · ,4 -
4 A4 0a3 =−2a1,a5 = a1,
ai = 0, i = 2,4 a1(x2− y2)2
5 A5 − 47089512 ai = 0, i = 1, · · · ,6 -
6 A6 0a3 =−3a1,a5 = 3a1,a7 =−a1,
ai = 0, i = 2,4,6 a1(x2− y2)3
7 A7759498481
65536 ai = 0, i = 1, · · · ,8 -
8 A8 0a3 =−4a1,a5 = 6a1,a7 =−4a1,a9 = a1,
ai = 0, i = 2,4,6,8 a1(x2− y2)4
9 A9198321002857201
33554432 ai = 0, i = 1, · · · ,10 -
10 A10 0a3 =−5a1,a5 = 10a1,a7 =−10a1,
a9 = 5a1,a11 =−a1,ai = 0, i = 2,4,6,8 a1(x2− y2)5
Conjectura 4.2.2 (Dusân Pagon). Seja v0,v1, · · · ,v2k as linhas da matriz [ai, j] de ordem ímpar,com ai, j como em (4.2). Denote cada i, 0≥ i≥ k por
ci = ci(k) = (−1)i (2i−1)!!(2k−2i−1)!!(2k−1)!!
,
onde (−1)!! = 1!! = 1 e (2i+ 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · · (2i+ 1), para todos os inteiros positivos i(chamado de fatorial ímpar). Então a seguinte combinação linear de todas as linhas ímpares de[ai, j],
k
∑i=0
ci(k)v2i,
é igual ao vetor nulo (de comprimento 2k+1).
Como consequência da Conjectura 4.2.2, temos:
Conjectura 4.2.3. O determinante de uma matriz [ai, j] de ordem ímpar, com ai, j como em (4.2),é nulo.
Além disso, conjecturamos também as soluções do sistema linear associado à matriz[ai, j] de ordem ímpar:
Conjectura 4.2.4. Considere a matriz [ai, j] de ordem n+1 ímpar, com ai, j como em (4.2), comoa matriz dos coeficientes de um sistema linear. Então o vetor
x = b(x1, · · · ,xn+1), onde b ∈ R e
{x2k = 0, para k = 1, · · · , n
2
x2k−1 = (−1)k−1( n2
k−1
), para k = 1, · · · , n
2 +1,
é uma solução geral do sistema linear associado.
98 Capítulo 4. Sobre os invariantes para rotações de Lorentz
Caso a ordem da matriz [ai, j] seja par, com ai, j como em (4.2), temos como consequênciada Conjectura 4.2.1 que a solução do sistema de equações associado é trivial. Isto implica na nãoexistência de polinômios homogêneos invariantes de grau ímpar. Caso [ai, j] tenha ordem n+1ímpar temos, pela Conjectura 4.2.4, que o polinômio homogêneo de grau n dado por b(x2−y2)
n2 ,
com b ∈ R, é Γθ -invariante. Portanto, como consequência das Conjecturas 4.2.1 e 4.2.4, temos:
Conjectura 4.2.5. O conjunto {x2− y2} é uma base de Hilbert para o anel P(Γθ ).
Observação 4.2.6. Temos inúmeros exemplos que dão evidências da validade das conjecturasdesta seção, sem contra-exemplos até o momento. Vários caminhos e estratégias foram usadospara demonstrar a validade destes resultados. Compartilhamos estas conjecturas com o Prof.Dr. Dusân Pagon, da University of Maribor, Eslovênia. A Conjectura 4.2.2 é fruto desta parceria.Esperamos que, como trabalho futuro, possamos demonstrar estes resultados provendo assimuma importante propriedade sobre o anel dos polinômios invariantes sob a ação do subgrupoΓθ de Lorentz. Também, temos planos para continuar o estudo dessa classe de matrizes centros-simétricas polinomiais, uma vez que uma aplicação em teoria invariante pode ser estabelecida,como sugere este capítulo, e dada a importância das matrizes centrossimétricas em outras áreascomo estatística ([8]) e engenharia ([9], [10]).
99
CAPÍTULO
5APLICAÇÕES EQUIVARIANTES PELA
AÇÃO DE UM SUBGRUPO DELORENTZ
Neste capítulo, descrevemos a cadeia de isotropia de O(1,1) e de O(2,1). Além disso,supondo Γ um subgrupo de Lorentz agindo em subespaços Γ-invariantes V e W e conhecendoos polinômios homogêneos Γ-invariantes V ×W → R mostramos como calcular as aplicaçõesΓ-equivariantes V →W e uma base para o módulo das aplicações Γ-equivariantes, a partir dabase de Hilbert do anel P(Γ,V ×W ), para a ação do cartesiano definida como a ação diagonal.
Uma motivação para o que fazemos neste capítulo é sua aplicação nos sistemas dinâmicos.Mais especificamente, considere um sistema de equações diferenciais ordinárias
x = g(x), (5.1)
onde g : (V,0)→V é um germe de aplicação Γ-equivariante suave na origem, com o grupo Γ
agindo linearmente em um espaço vetorial V . Na Definição 1.1.14, vimos que uma aplicaçãog : V →V é Γ-equivariante se
g(γx) = γg(x),
para todo γ ∈ Γ, x ∈ V . Neste caso, uma condição suficiente para um campo equivariante éque para toda solução x(t), γx(t) é também uma solução, para todo γ ∈ Γ. Assim, o campoequivariante (5.1) é definido como uma EDO com simetrias. Sistemas dinâmicos equivariantessão sistemas dinâmicos que têm simetrias.
Uma propriedade importante de sistemas dinâmicos equivariantes é que os subespaçosde pontos fixos, definido no Capítulo 2, são invariantes pela dinâmica, isto é, se Σ é um subgrupode Γ então ([16])
g(Fix(Σ))⊂ Fix(Σ).
100 Capítulo 5. Aplicações equivariantes pela ação de um subgrupo de Lorentz
Um problema de bifurcação com grupo de simetria Γ de (5.1) é definido como um germeg : (V,0)×R→ V Γ-equivariante suave na origem, a um parâmetro no ponto de equilíbrio,satisfazendo g(0,0) = 0 e (dg)0,0 = 0. Em problemas de bifurcação, genericamente, existemramos de soluções em subespaços de pontos fixos unidimensionais. Este resultado é conhecidocomo o lema dos ramos equivariantes ([17]). Existem centenas de trabalhos que tratam de teoriade bifurcação para campos equivariantes, quando o grupo Γ é compacto e um subgrupo de O(n).Desta forma, estamos interessados na teoria de bifurcação para campos equivariantes, no casode subgrupos do grupo de Lorentz O(n,1). Motivados por estes estudos, apresentamos nestecapítulo alguns aspectos da teoria invariante e equivariante, com as isotropias e o subespaço depontos fixos sob a ação de subgrupos de Lorentz.
5.1 Cadeia de isotropia de O(1,1) e O(2,1)
Estudamos, nesta seção, os subgrupos de isotropia dos grupo de Lorentz O(1,1) e O(2,1)e a cadeia de isotropia.
Definição 5.1.1. Seja o grupo Γ agindo linearmente num espaço vetorial V . O subgrupo deisotropia de x em V é dado por
Σx = {γ ∈ Γ : γx = x} .
Definimos a órbita de x ∈V pela ação de Γ como
Γx = {γx : ∀γ ∈ Γ} .
Elementos numa mesma órbita pela ação de Γ têm subgrupos de isotropia conjugados
Σγx = γΣxγ−1.
Definição 5.1.2 (([16])). Seja H = {Hi} e K = {K j} duas classes conjugadas de subgrupos deisotropia de Γ. Defina uma ordem parcial � no conjunto de tais classes conjugadas por
H � K ⇐⇒ Hi ⊆ K j,
para algum par Hi e K j. A cadeia de isotropia de Γ, nesta ação em Rn, é o conjunto de todas asclasses conjugadas dos subgrupos de isotropia, parcialmente ordenados por �.
5.1.1 Cadeia de isotropia de O(1,1)
Começamos observando que as involuções em O(1,1) são conjugadas a
Λp2 =
(−1 00 1
)ou a Λ
t2 =
(1 00 −1
),
pela Proposição 3.1.3.
5.1. Cadeia de isotropia de O(1,1) e O(2,1) 101
Tabela 4 – Subgrupos de isotropia de O(1,1).
Subgrupo de Isotropia Subespaço de pontos fixos DimensãoO(1,1)) {(0,0)} 0Z2(Λ
t2) {(x,0) ∈ R1+1 : x 6= 0} 1
Z2(Λp2) {(0,y) ∈ R1+1 : y 6= 0} 1
{I2} {(x,y) ∈ R1+1 : x,y 6= 0} 2
{I2}
Zp2 Zt
2
O(1,1)
Figura 7 – Cadeia de Isotropia de O(1,1).
Ainda, as rotações de Lorentz são da forma
Rh(θ) =
(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)
)ou −Rh(θ), θ ∈ R. Portanto, qualquer elemento de O(1,1) é uma rotação Rh(θ) ou −Rh(θ) oué conjugado a Λ
p2 ou Λt
2.
Considere os subgrupos Z2(Λp2), Z2(Λ
t2). Obviamente, estes dois grupos não são conju-
gados. Os subespaços de pontos fixos para cada um desses subgrupos de Lorentz são:
Fix(Z2(Λp2)) = {(x,y) ∈ R2 : x = 0}, Fix(Z2(Λ
t2)) = {(x,y) ∈ R2 : y = 0}.
Um vetor da forma (x,0) ∈ R1+1, com x 6= 0, tem Z2(Λt2) como subgrupo de isotropia.
Um vetor da forma (0,y) ∈R1+1, com y 6= 0, tem Z2(Λp2) como subgrupo de isotropia. Um vetor
(x,y) ∈ R1+1, com x,y 6= 0, tem subgrupo de isotropia trivial. E, obviamente, o subgrupo deisotropia da origem é todo o grupo O(1,1).
A Tabela 4 mostra os subgrupos de isotropia de O(1,1) e seus respectivos subespaços depontos fixos e a Figura 7 mostra a cadeia de isotropia de O(1,1).
5.1.2 Cadeia de isotropia de O(2,1)
Pela Proposição 3.2.1, as involuções em O(2,1) são as matrizes S−h (−φ ,θ ,φ), S+h (−φ ,θ ,φ),R+
h (π−φ ,θ ,φ) e R−h (π−φ ,θ ,φ), dadas nas Proposições 2.4.7, 2.4.12 e 2.4.14. Estas matrizes
102 Capítulo 5. Aplicações equivariantes pela ação de um subgrupo de Lorentz
são conjugadas, respectivamente, às matrizes
Λt3 =
1 0 00 1 00 0 −1
, Λp3 =
1 0 00 −1 00 0 1
, −Λt3, −Λ
p3 .
pela Proposição 3.2.3.
Começamos encontrando todas as matrizes de Lorentz que fixam o vetor vx = (x,0,0),com x 6= 0. Sejam R+
h (ϕ,θ ,φ), R−h (ϕ,θ ,φ), S+h (ϕ,θ ,φ) e S−h (ϕ,θ ,φ) como definidas nasProposições 2.4.7, 2.4.12 e 2.4.14. Temos que R+
h (ϕ,θ ,φ)vx = vx implica no sistemacos(ϕ)cos(φ)− sen(ϕ)cosh(θ) sen(φ) = 1
sen(ϕ)cos(φ)+ cos(ϕ)cosh(θ) sen(φ) = 0
sen(φ) senh(θ) = 0
.
Supondo θ 6= 0 temos que ϕ = φ = 0 ou ϕ = φ = π . Em qualquer dos casos, temos
R+h (0,θ ,0) = R+
h (π,−θ ,π) =
(1 00 Rh(θ)
).
Se θ = 0, temos ϕ = −φ , e então R+h (−φ ,0,φ) é a matriz identidade. No caso em que
R−h (ϕ,θ ,φ)vx = vx, temos um sistema semelhantecos(ϕ)cos(φ)+ sen(ϕ)cosh(θ) sen(φ) = 1
sen(ϕ)cos(φ)− cos(ϕ)cosh(θ) sen(φ) = 0
− sen(φ) senh(θ) = 0
,
cuja solução é ϕ = φ = 0 ou ϕ = φ = π se θ 6= 0. Em qualquer dos casos, temos
R−h (0,θ ,0) = R−h (π,−θ ,π) =
(1 00 −Rh(θ)
).
Se θ = 0, temos ϕ = φ , e então R−h (φ ,0,φ)=Λpt3 . Nos casos S+h (ϕ,θ ,φ)vx = vx e S−h (ϕ,θ ,φ)vx =
vx chegamos, a menos de conjugação, à solução Λt3 e Λ
p3 . Portanto, o subgrupo de isotropia de vx
é dado porΣvx =
⟨R+
h (0,θ ,0),R−h (0,θ ,0),Λ
p3 ,Λ
t3⟩.
De modo similar, calculamos as matrizes de Lorentz que fixam o vetor vy = (0,y,0), comy 6= 0. Para R+
h (ϕ,θ ,φ)vy = vy temos o sistema associado−cos(ϕ) sen(φ)− sen(ϕ)cosh(θ)cos(φ) = 0
− sen(ϕ) sen(φ)+ cos(ϕ)cosh(θ)cos(φ) = 1
cos(φ) senh(θ) = 0
.
5.1. Cadeia de isotropia de O(1,1) e O(2,1) 103
Se θ 6= 0, temos ϕ =−φ =−π
2 ou ϕ =−φ = π
2 . Em qualquer dos casos, temos
R+h
(−π
2,θ ,
π
2
)= R+
h
(π
2,−θ ,−π
2
)=
cosh(θ) 0 senh(θ)0 1 0
senh(θ) 0 cosh(θ)
.
Se θ = 0, temos ϕ = −φ , e então R+h (−φ ,0,φ) é a matriz identidade. No caso em que
R−h (ϕ,θ ,φ)vy = vy, temos o sistema−cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cosh(θ)cos(φ) = 0
− sen(ϕ) sen(φ)− cos(ϕ)cosh(θ)cos(φ) = 1
cos(φ) senh(θ) = 0
,
com solução ϕ =−φ =−π
2 ou ϕ =−φ = π
2 se θ 6= 0 e, neste caso,
R−h(−π
2,θ ,
π
2
)= R−h
(π
2,−θ ,−π
2
)=
−cosh(θ) 0 − senh(θ)0 1 0
− senh(θ) 0 −cosh(θ)
.
Se θ = 0, temos ϕ = π+φ , e então R−h (π+φ ,0,φ) =−Λp3 . Analogamente para S+h (ϕ,θ ,φ)vx =
vx e S−h (ϕ,θ ,φ)vx = vx chegamos, a menos de conjugação, à solução Λt3 e −Λ
pt3 . Portanto, o
subgrupo de isotropia de vy é dado por
Σvy =⟨
R+h
(−π
2,θ ,
π
2
),R−h
(−π
2,θ ,
π
2
),Λt
3,−Λpt3
⟩.
Temos que Λp3 é conjugada a−Λ
pt3 , R+
h (0,θ ,0) é conjugada a R+h
(−π
2 ,θ ,π
2
)e R−h (0,θ ,0)
é conjugada a R−h(−π
2 ,θ ,π
2
), com conjugação dada pela permutação 0 1 0
1 0 00 0 1
.
Portanto, os subgrupos de isotropia Σvx e Σvy são conjugados.
Do mesmo modo, calculamos o subgrupo de isotropia do vetor vz = (0,0,z), com z 6= 0:
Σvz =⟨R+
h (ϕ,0,φ) ,−Λt3,Λ
p3⟩.
Os subgrupos Z2(Λp3) e Z2(Λ
t3) são subgrupos de isotropia de vetores {(x,y,z) ∈ R2+1 :
y = 0} e {(x,y,z) ∈ R2+1 : z = 0}, respectivamente.
Vetores do tipo (x,0,z) ∈ R2+1, com x,z 6= 0, tem o subgrupo Z2(Λp3) como subgrupo
de isotropia.
Vetores do tipo (x,y,0) ∈ R2+1, com x,y 6= 0, tem Z2(Λt3) como subgrupo de isotropia.
104 Capítulo 5. Aplicações equivariantes pela ação de um subgrupo de Lorentz
Para vetores do tipo (0,y,z) ∈ R2+1, com y,z 6= 0, o subgrupo Z2(−Λpt3 ) é o subgrupo
de isotropia. Observe, porém, que Λp3 é conjugada a −Λ
pt3 . Portanto, o subgrupo Z2(−Λ
pt3 ) é
conjugado ao subgrupo Z2(Λp3).
O subgrupo Z2(−Λt3), tratado no Capítulo 3, não é subgrupo de isotropia, pois Z2(−Λt
3)⊂Σvz . Como −Λ
p3 é conjugada a Λ
pt3 ∈ Σvx então o subgrupo Z2(−Λ
p3) é conjugado ao subgrupo
Z2(Λpt3 )⊂ Σvx . Logo, Z2(−Λ
p3) não é um subgrupo de isotropia.
Vetores do tipo
v+(x,ϕ,θ ,φ) =(
x,− sen(φ)− sen(ϕ)cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)
(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x),
dado na Proposição 2.4.7, tem como subgrupo de isotropia o subgrupo Σv+(x,ϕ,θ ,φ)=⟨R+
h (ϕ,θ ,φ)⟩,
para ϕ,θ ,φ fixados. E vetores do tipo
v−(x,ϕ,θ ,φ) =(
x,− sen(φ)− sen(ϕ)cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)
(cosh(θ)+1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x}
dado na Proposição 2.4.12, tem como subgrupo de isotropia o subgrupo Σv−(x,ϕ,θ ,φ)=⟨R−h (ϕ,θ ,φ)
⟩,
para ϕ,θ ,φ fixados.
O subgrupo de Lorentz⟨R+
h (ϕ,θ ,φ),R−h (ϕ,θ ,φ)
⟩deixa invariante somente a origem.
Pela Proposição 2.4.14 o subgrupo gerado pela matriz S+h (ϕ,θ ,φ), para ϕ 6=−φ , deixa invariantesomente a origem. Se ϕ = −φ então S+h (−φ ,θ ,φ) é uma involução de Lorentz, conforme aProposição 3.2.1. Usamos o mesmo argumento para S−h (ϕ,θ ,φ), com ϕ 6=−φ .
Para um vetor qualquer (x,y,z)∈R2+1, com x,y,z 6= 0, (x,y,z) 6= v+(x,ϕ,θ ,φ) e (x,y,z) 6=v−(x,ϕ,θ ,φ)}, um cálculo direto mostra que a matriz identidade é a única que deixa um vetor(x,y,z), com x,y,z 6= 0, invariante.
Nesta subseção, fizemos o estudo de todas as matrizes em O(2,1), pois qualquer matrizem O(2,1) pode ser representada por uma das matrizes R+
h (ϕ,θ ,φ), R−h (ϕ,θ ,φ), S+h (ϕ,θ ,φ),S−h (ϕ,θ ,φ). Portanto, as retas dada em (2.18), (2.20) e os eixos coordenados x e y de R2+1
são todas as retas invariantes pela ação de algum subgrupo de isotropia de O(2,1), a menos deconjugação.
A Tabela 5 mostra os subgrupos de isotropia de O(2,1), seus subespaços de pontos fixose a respectiva dimensão. A Figura 8 mostra a cadeia de isotropia de O(2,1).
5.2 Aplicações equivariantes
Nesta seção, descrevemos o cálculo de uma aplicação Γ-equivariante, quando Γ é umsubgrupo de Lorentz.
Sabe-se que se f : Rn → R é invariante pela ação de um subgrupo de O(n), então ogradiente ∇ f : Rn→ Rn é uma aplicação equivariante pela ação deste subgrupo. No caso dogrupo de Lorentz O(n,1), temos:
5.2. Aplicações equivariantes 105
Tabela 5 – Subgrupos de isotropia de O(2,1).
Subgrupo de Isotropia Subespaço de pontos fixos DimensãoO(2,1)) {(0,0,0)} 0
Σv+(x,ϕ,θ ,φ)
{(x,− sen(φ)− sen(ϕ)
cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x
): x 6= 0
}1
Σv−(x,ϕ,θ ,φ)
{(x,− sen(φ)− sen(ϕ)
cos(φ)+cos(ϕ) x, (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x
): x 6= 0
}1⟨
R+h (0,θ ,0),R
−h (0,θ ,0),Λ
p3 ,Λ
t3⟩
{(x,0,0) : x 6= 0} 1⟨R+
h (ϕ,0,φ) ,−Λt3,Λ
p3⟩
{(0,0,z) : z 6= 0} 1Z2(Λ
p3) {(x,0,z) : x,z 6= 0} 2
Z2(Λt3) {(x,y,0) : x,y 6= 0} 2
{I3} {(x,y,z) : x,y,z 6= 0,(x,y,z) 6= v+(x,ϕ,θ ,φ) e (x,y,z) 6= v−(x,ϕ,θ ,φ)} 3
{I3}
Z2(Λp3) Z2(Λ
t3)
ΣvxΣvz Σv+(x,ϕ,θ ,φ) Σv−(x,ϕ,θ ,φ)
O(2,1)
Figura 8 – Cadeia de Isotropia de O(2,1).
Proposição 5.2.1. Sejam Γ subgrupo de O(n,1) e f : Rn+1→R Γ-invariante. Então J∇ f é umaaplicação Γ-equivariante.
Demonstração. Suponha f uma função Γ-invariante, isto é, f (γx) = f (x), para todo γ ∈ Γ.Então temos que D( f (γx))γ = D( f (x)), pela regra da cadeia, onde D( f (x)) denota a matrizjacobiana de f em x. O que implica que
D( f (γx))γJγtJ = D( f (x))Jγ
tJ,
ou seja, D( f (γx)) = D( f (x))Jγ tJ. Temos D( f (x)) = (∇ f (x))t e, portanto,
D( f (γx)) = D( f (x))JγtJ ⇒ (∇ f (γx))t = (∇ f (x))tJγ
tJ⇒⇒ ∇ f (γx) = JγJ∇ f (x)⇒ J∇ f (γx) = γJ∇ f (x).
O grupo de Lorentz O(n,1) bem como o grupo de Lorentz especial SO(n,1) são redutivos([42]) e assim os respectivos anéis dos polinômios invariantes, P(O(n,1)) e P(SO(n,1)),
106 Capítulo 5. Aplicações equivariantes pela ação de um subgrupo de Lorentz
são finitamente gerados ([11]). Mais geralmente, para Γ um subgrupo de Lorentz agindo emsubespaços Γ-invariantes V e W , se o anel dos polinômios invariantes P(Γ,V ×W ) possuiuma base de Hilbert, considerando a ação diagonal no cartesiano, então é possível calcular osgeradores para o módulo das aplicações Γ-equivariantes ~P(Γ;V,W ) sobre o anel P(Γ,V ). Noteorema a seguir mostramos como podemos fazer isso.
Teorema 5.2.2. Seja Γ um subgrupo do grupo de Lorentz O(n,1). Suponha Γ agindo em V e Wsubespaços Γ-invariantes do espaço de Minkowski. Definimos uma aplicação Γ-equivariante apartir de uma função V ×W −→ R Γ-invariante, e vice-versa. Ainda mais, se existe uma basede Hilbert para P(Γ,V ×W ), então existe um conjunto finito de polinômios Γ-equivariantesque geram o módulo ~P(Γ;V,W ).
Demonstração. Suponha que g : V −→W seja Γ-equivariante e seja y ∈W . Então f (x,y) =〈g(x),y〉 é uma função V ×W −→R, Γ-invariante, onde a ação de Γ em V ×W é a ação diagonalγ(x,y) = (γx,γy). Assim, temos que
f (γx,γy) = 〈g(γx),γy〉= 〈γg(x),γy〉= f (x,y).
Reciprocamente, se V ×W −→ R é Γ-invariante pela ação diagonal, consideramos
g(x) = J (dy f )t(x,0) .
Temos f (γx,γy) = f (x,y). Derivando f com relação a y em (x,0), temos
(dy f )(γx,0) γ = (dy f )(x,0) .
Então,γ
t (dy f )t(γx,0) = (dy f )t
(x,0) .
Logo,γ
tJg(γx) = Jg(x)
o que implica queg(γx) = J
(γ
t)−1 Jg(x).
Portanto, g : V −→W é Γ-equivariante pois J (γ t)−1 J = γ . Seja o conjunto {u1, · · · ,us} uma basede Hilbert para o anel dos polinômios Γ-invariantes V ×W → R. Uma função f ∈P(Γ,V ×W )é dada por
h(u1(x,y), · · · ,us(x,y)),
para algum h : Rs→ R. Da construção acima, toda g ∈ ~P(Γ;V,W ) é da forma
g(x) =s
∑i=0
∂h∂ui
(u1, · · · ,us)|y=0 · J (dyui)t(x,0) .
Como ∂h∂ui
(u1(x,0), · · · ,us(x,0)) é Γ-invariante em P(Γ,V ) segue que os s Γ-equivariantes
J (dyu1)t(x,0) ,J (dyu2)
t(x,0) , · · · ,J (dyus)
t(x,0)
geram o módulo ~P(Γ;V,W ) sobre o anel P(Γ,V ).
5.2. Aplicações equivariantes 107
5.2.1 O módulo das aplicações equivariantes por uma involução de O(1,1)
Aplicamos o Teorema 5.2.2 para obter um sistema de geradores para o módulo dasaplicações equivariantes por uma involução de Lorentz de O(1,1). Nas hipóteses do Teorema5.2.2, considere V =W = R1+1.
Considere a base de Hilbert do anel P(ΓZ2(Λt2))
{x, y2},
dada na Proposição 3.1.4.
Proposição 5.2.3. O conjunto{(1,0), (0,y)}
é um sistema de geradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(Λt2);R2,R2)
sobre o anel P(Z2(Λt2).
Demonstração. Para X =(x,y,z,w)∈R2×R2, temos a ação diagonal Λt2X =(Λt
2(x,y),Λt2(z,w)),
que escrevemos da forma
Λt2X =
(Λt
2 00 Λt
2
)X =
1 0 0 00 −1 0 00 0 1 00 0 0 −1
xyzw
=
x−yz−w
.
Temos que,det(I4− t · I4) = (1− t)4, det(I4− t · γ3) = (1− t)2(1+ t)2.
Assim, a série de Molien, neste caso, é dada por
ΦZ2(Λt2)(t) =
12
(1
(1− t)4 +1
(1− t)2(1+ t)2
)= 1+2t +6t2 +10t3 +19t4 +28t5 +44t6 + · · · ,
Os invariantes de grau 1 e 2 são f1 = x, f2 = z, f3 = y2, f4 =w2 e f5 = yw. Existe uma dependênciaalgébrica entre estes invariantes dada pela relação
f 25 − f3 f4.
Portanto, a série de Hilbert é calculada como
HZ2(Λt2)(t) =
1+ t2
(1− t)2(1− t2)2 .
Portanto, temos ΦZ2(Λt2)(t) = HZ2(Λ
t2)(t). Pelo Algoritmo 1.1.13, o conjunto { f1, f2, f3, f4, f5} é
uma base de Hilbert para o anel P(Z2(Λt2);R2×R2). Pelo Teorema 5.2.2, temos que as apli-
cações gi(x,y) = J(d(z,w) fi)t(x,y,0,0), para cada i = 1, · · · ,5, geram o módulo ~P(Z2(Λ
t2);R2,R2).
Temos que gi é identicamente nulo para i = 1,3,4, pois f1 e f3 não dependem de z e w e, portanto,(d(z,w) fi)(x,y,0,0) = 0, para i = 1,3. Também, d(z,w) f4 =
(0 −2w
); logo (d(z,w) f4)(x,y,0,0) = 0.
Por outro lado, d(z,w) f2 =(
1 0). Assim,
J(d(z,w) f2)t(x,y,0,0) =
(10
).
108 Capítulo 5. Aplicações equivariantes pela ação de um subgrupo de Lorentz
Da mesma forma, como d(z,w) f5 =(
0 y), então
J(d(z,w) f5)t(x,y,0,0) =
(1 00 −1
)(0y
)=
(0−y
).
Logo, o conjunto {(1,0),(0,y)} é um sistema de geradores para o módulo das aplicaçõesequivariantes ~P(Z2(Λ
t2);R
2,R2) sobre o anel P(Z2(Λt2)).
Para concluir, tomando a Conjectura 4.2.5 e usando o Teorema 5.2.2, podemos definirum conjunto de geradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(〈Rh(θ)〉 ;R2,R2).
Conjectura 5.2.4. O conjunto{(x,y), (y,x)}
é uma base para o módulo das aplicações equivariantes ~P(〈Rh(θ)〉 ;R2,R2) sobre o anelP(Rh(θ)).
5.2.2 Aplicações equivariantes por uma involução de O(2,1)
Nesta subseção, usamos o Teorema 5.2.2 para calcular um sistema de geradores parao módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(γ);R3,R3) sobre o anel P(Z2(γ)), com γ umainvolução de O(2,1).
Inicialmente, mostramos a base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes P(Z2(γ),R3×R3) sob a ação diagonal de Z2(γ) em R3×R3.
Proposição 5.2.5. Considere a ação diagonal de cada um dos subgrupos de Lorentz Z2(Λp3),
Z2(−Λp3) nos vetores (x,y,z, p,q,r) ∈ R2+1×R2+1. Então:
(i) O conjunto{x, z, p, r, y2, q2, yq}
é uma base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes P(Z2(Λp3),R
3×R3).
(ii) O conjunto{y, q, x2, z2, p2, r2, xz, xp, xr, pz, rz, pr}
é uma base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes P(Z2(−Λp3),R
3×R3).
Demonstração. A ação diagonal de Z2(Λp3) em R3×R3 é representada por(
Λp3 0
0 Λp3
)(XY
),
com X = (x,y,z) e Y = (p,q,r). É imediato que os polinômios
f1 = x, f2 = z, f3 = p, f4 = r, f5 = y2, f6 = q2, f7 = yq
são Z2(Λp3)-invariantes. É claro também que estes polinômios são algebricamente dependentes,
com a relação f 27 − f5 f6. Calculamos a série de Molien. Temos que
det(I6− tI6) = (1− t)6
5.2. Aplicações equivariantes 109
e que
det(
I6− t(
Λp3 0
0 Λp3
))= (1− t)4(1+ t)2.
Portanto, a série de Molien é dada por
ΦZ2(Λp3)(t) =
12
(1
(1− t)6 +1
(1− t)4(1+ t)2
)= 1+4t +13t2 +32t3 +70t4 + · · · .
Agora usamos o Algoritmo 1.1.13. Como os polinômios acima são algebricamente dependentes,temos a série de Hilbert
HZ2(Λp3)(t) =
1+ t2
(1− t)4(1− t2)2 .
Um cáculo direto nos leva à igualdade
ΦZ2(Λp3)(t) = HZ2(Λ
p3)(t).
Logo, o conjunto{x, z, p, r, y2, q2, yq}
é uma base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes P(Z2(Λp3),R
3×R3).
O outro caso é análogo.
Finalizando, usamos a Proposição 5.2.5 e o Teorema 5.2.2 para calcular um sistema degeradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(γ);R3,R3) sobre o anel P(Z2(γ)),com γ uma involução de O(2,1). Temos, portanto, a seguinte proposição:
Proposição 5.2.6. (i) O conjunto
{(1,0,0),(0,0,1),(0,y,0)}
é um sistema de geradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(Λp3);R
3,R3)sobre o anel P(Z2(Λ
p3)).
(ii) O conjunto{(0,1,0),(x,0,0),(0,0,x),(z,0,0),(0,0,z)}
é um sistema de geradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(−Λp3);R
3,R3)sobre o anel P(Z2(−Λ
p3)).
Demonstração. Basta fazer uma aplicação direta do Teorema 5.2.2, especificamente da expressãog(x,y,z) = J
(d(p,q,r) f
)t(x,y,z,0,0,0), em cada um dos polinômios invariantes dados na Proposição
5.2.5.
111
REFERÊNCIAS
[1] F. Antoneli, P. H. Baptistelli, A. P. S. Dias, and M. Manoel. Invariant theory and reversible-equivariant vector fields. Journal of Pure and Applied Algebra, 213(5):649–663, 2009.
[2] P. H. Baptistelli and M. Manoel. Invariants and relative invariants under compact lie groups.Journal of Pure and Applied Algebra, 217(12):2213–2220, 2013.
[3] P. H. Baptistelli, M. Manoel, and I. O. Zeli. Normal form theory for reversible equivariantvector fields. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series, 47(3):935–954,2016.
[4] J. C. A. Barata. Curso de Física-Matemática. Notas didáticas do DFM-USP, 2013.
[5] T. Bröcker and T. tom Dieck. Representations of compact Lie groups, volume 98. SpringerScience & Business Media, 2013.
[6] A. Cantoni and P. Butler. Eigenvalues and eigenvectors of symmetric centrosymmetricmatrices. Linear Algebra and its Applications, 13(3):275–288, 1976.
[7] J. Constantopoulos. Relativistic extensions of dynamical systems. Journal of Physics A:
Mathematical and General, 18(4):729, 1985.
[8] E. B. Dagum, L. Guidotti, and A. Luati. Some statistical applications of centrosymme-tric matrices. In New Developments in Classification and Data Analysis, pages 97–104.Springer, 2005.
[9] L. Datta and S. Morgera. Some results on matrix symmetries and a pattern recognitionapplication. IEEE transactions on acoustics, speech, and signal processing, 34(4):992–994,1986.
[10] L. Datta and S. D. Morgera. On the reducibility of centrosymmetric matrices - applicationsin engineering problems. Circuits, Systems, and Signal Processing, 8(1):71–96, 1989.
[11] H. Derksen and G. Kemper. Computational invariant theory. Springer, 2015.
[12] M. El-Mikkawy and F. Atlan. On solving centrosymmetric linear systems. Applied
Mathematics, 4(12):21, 2013.
112 Referências
[13] J. Gallier. Notes on group actions, manifolds, lie groups, and lie algebras. Disponível em:
<http://www.cis.upenn.edu/ cis610/lie1.pdf>. Acesso em 2 de julho de 2013, 2005.
[14] K. Gatermann. Computer algebra methods for equivariant dynamical systems. Springer,2007.
[15] K. Gatermann and F. Guyard. Gröbner bases, invariant theory and equivariant dynamics.Journal of Symbolic Computation, 28(1):275–302, 1999.
[16] M. Golubitsky and I. Stewart. The symmetry perspective: from equilibrium to chaos in
phase space and physical space, volume 200. Springer Science & Business Media, 2003.
[17] M. Golubitsky, I. Stewart, et al. Singularities and groups in bifurcation theory, volume 2.Springer Science & Business Media, 2012.
[18] I. Good. The inverse of a centrosymmetric matrix. Technometrics, 12(4):925–928, 1970.
[19] L. Greenberg. Discrete subgroups of the lorentz group. Mathematica Scandinavica,10:85–107, 1962.
[20] B. C. Hall. Lie groups, Lie algebras, and representations: an elementary introduction,volume 222. Springer, 2015.
[21] S. Izumiya. Legendrian dualities and spacelike hypersurfaces in the lightcone. Mosc. Math.
J, 9(2):325–357, 2009.
[22] A. Jaffe. Lorentz transformations, rotations, and boosts, 2013.
[23] D. Luna. Fonctions différentiables invariantes sous l’opération d’un groupe réductif. InAnnales de l’institut Fourier, volume 26, pages 33–49, 1976.
[24] E. Malec. Bifurcation from the maxwell solution in the yang-mills theory. Acta Physica
Polonica. Series B, 12(7):665–673, 1981.
[25] M. Manoel and L. N. Oliveira. Invariant theory for the lorentz group on the minkowskispace. Preprint.
[26] M. Manoel and L. N. Oliveira. On the action of lorentz involutions on the minkowski space.Preprint.
[27] Maplesoft. Maple - versão 18.02. 2014.
[28] N. Muthiyalu and S. Usha. Eigenvalues of centrosymmetric matrices. Computing,48(2):213–218, 1992.
[29] G. L. Naber. The geometry of Minkowski spacetime: An introduction to the mathematics of
the special theory of relativity, volume 92. Springer Science & Business Media, 2012.
Referências 113
[30] L. Nachbin. The haar integral. RE Krieger Pub. Co., 1976.
[31] B. O’neill. Semi-Riemannian geometry with applications to relativity, volume 103. Acade-mic press, 1983.
[32] D. Pei. Singularities of p2-valued gauss maps of surfaces in minkowski. 1997.
[33] J. Ratcliffe. Foundations of hyperbolic manifolds, volume 149. Springer Science &Business Media, 2006.
[34] D. Robinson. A Course in the Theory of Groups, volume 80. Springer Science & BusinessMedia, 2012.
[35] B. Sturmfels. Algorithms in invariant theory. Springer Science & Business Media, 2008.
[36] D. Tao and M. Yasuda. A spectral characterization of generalized real symmetric centrosym-metric and generalized real symmetric skew-centrosymmetric matrices. SIAM Journal on
Matrix Analysis and Applications, 23(3):885–895, 2002.
[37] A. Tarakanov. On some discrete subgroups of the lorentz group. arXiv preprint ar-
Xiv:1301.1636, 2012.
[38] F. Tari. Singularidades de aplicaçoes diferenciáveis. Notas didáticas do ICMC-USP, (34),1999.
[39] F. Tari. Caustics of surfaces in the minkowski 3-space. QJ Math, 63(1):189–209, 2012.
[40] Z. Tian and C. Gu. The iterative methods for centrosymmetric matrices. Applied mathema-
tics and computation, 187(2):902–911, 2007.
[41] A. Vanderbauwhede. Local bifurcation and symmetry, volume 75. Pitman AdvancedPublishing Program, 1982.
[42] N. R. Wallach. Real Productive Groups I, volume 132. Academic press, 1988.
[43] J. R. Weaver. Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenva-lues, and eigenvectors. The American Mathematical Monthly, 92(10):711–717, 1985.
[44] D. A. Woodside. Uniqueness theorems for classical four-vector fields in euclidean andminkowski spaces. Journal of Mathematical Physics, 40(10):4911–4943, 1999.
115
APÊNDICE
AMATRIZES DE Rh(θ)
Apresentamos, a seguir, as matrizes representadas na Tabela 3, do Capítulo 4.
A1 =
(14
34
34
14
)
A2 =
9
161516
916
158
98
158
916
1516
916
A3 =
6164
7564
4564
2764
22564
15164
17764
13564
13564
17764
15164
22564
2764
4564
7564
6164
A4 =
369256
375256
225256
135256
81256
37564
26164
25564
18964
13564
675128
765128
675128
765128
675128
13564
18964
25564
26164
37564
81256
135256
225256
375256
369256
A5 =
21011024
18751024
11251024
6751024
4051024
2431024
93751024
66011024
57751024
41851024
29431024
20251024
5625512
5775512
5033512
4959512
4185512
3375512
3375512
4185512
4959512
5033512
5775512
5625512
20251024
29431024
41851024
57751024
66011024
93751024
2431024
4051024
6751024
11251024
18751024
21011024
116 APÊNDICE A. Matrizes de Rh(θ)
A6 =
115294096
93754096
56254096
33754096
20254096
12154096
7294096
281252048
198272048
161252048
114752048
79652048
54272048
36452048
843754096
806254096
686794096
621454096
506794096
398254096
303754096
168751024
191251024
207151024
202771024
207151024
191251024
168751024
303754096
398254096
506794096
621454096
686794096
806254096
843754096
36452048
54272048
79652048
114752048
161252048
198272048
281254096
7294096
12154096
20254096
33754096
56254096
93754096
115294096
A7 =
6174116384
4687516384
2812516384
1687516384
1012516384
607516384
364516384
218716384
32812516384
23049116384
17812516384
12487516384
8572516384
5791516384
3863716384
2551516384
59062516384
53437516384
44424116384
37957516384
30118516384
23168716384
17374516384
12757516384
59062516384
62437516384
63262516384
59607116384
56633716384
50197516384
42862516384
35437516384
35437516384
42862516384
50197516384
56633716384
59607116384
63262516384
62437516384
59062516384
12757516384
17374516384
23168716384
30118516384
37957516384
44424116384
53437516384
59062516384
2551516384
3863716384
5791516384
8572516384
12487516384
17812516384
23049116384
32812516384
218716384
364516384
607516384
1012516384
1687516384
2812516384
4687516384
6174116384
A8 =
32508965536
23437565536
14062565536
8437565536
5062565536
3037565536
1822565536
1093565536
656165536
2343758192
1636838192
1218758192
843758192
573758192
384758192
255158192
167678192
109358192
98437516384
85312516384
69299116384
56812516384
44077516384
33304516384
24615916384
17860516384
12757516384
5906258192
5906258192
5681258192
5169338192
4669058192
4006178192
3330458192
2693258192
2126258192
177187532768
200812532768
220387532768
233452532768
234787532768
233452532768
220387532768
200812532768
177187532768
2126258192
2693258192
3330458192
4006178192
4669058192
5169338192
5681258192
5906258192
5906258192
12757516384
17860516384
24615916384
33304516384
44077516384
56812516384
69299116384
85312516384
98437516384
109358192
167678192
255158192
384758192
573758192
843758192
1218758192
1636838192
2343758192
656165536
1093565536
1822565536
3037565536
5062565536
8437565536
14062565536
23437565536
32508965536
A9 =
1690981262144
1171875262144
703125262144
421875262144
253125262144
151875262144
91125262144
54675262144
32805262144
19683262144
10546875262144
7315981262144
5296875262144
3628125262144
2446875262144
1630125262144
1075275262144
703485262144
457083262144
295245262144
632812565536
529687565536
421258965536
334687565536
254812565536
189607565536
138388565536
99362765536
70348565536
49207565536
885937565536
846562565536
780937565536
689008965536
599137565536
500530565536
406892765536
322906565536
250897565536
191362565536
15946875131072
17128125131072
17836875131072
17974125131072
17375003131072
16480029131072
15015915131072
13272525131072
11410875131072
9568125131072
9568125131072
11410875131072
13272525131072
15015915131072
16480029131072
17375003131072
17974125131072
17836875131072
17128125131072
15946875131072
191362565536
250897565536
322906565536
406892765536
500530565536
599137565536
689008965536
780937565536
846562565536
885937565536
49207565536
70348565536
99362765536
138388565536
189607565536
254812565536
334687565536
421258965536
529687565536
632812565536
295245262144
457083262144
703485262144
1075275262144
1630125262144
2446875262144
3628125262144
5296875262144
7315981262144
10546875262144
19683262144
32805262144
54675262144
91125262144
151875262144
253125262144
421875262144
703125262144
1171875262144
1690981262144
117
A10 =
87170491048576
58593751048576
35156251048576
21093751048576
12656251048576
7593751048576
4556251048576
2733751048576
1640251048576
984151048576
590491048576
29296875524288
20178837524288
14296875524288
9703125524288
6496875524288
4303125524288
2824875524288
1840725524288
1191915524288
767637524288
492075524288
1582031251048576
1286718751048576
1004045491048576
778218751048576
583031251048576
428118751048576
309035251048576
219829951048576
154409491048576
107272351048576
73811251048576
31640625131072
29109375131072
25940625131072
22278303131072
18800625131072
15357375131072
12248145131072
9563103131072
7327665131072
5522175131072
4100625131072
132890625524288
136434375524288
136040625524288
131604375524288
122954337524288
112431975524288
99493137524288
85737015524288
72108225524288
59322375524288
47840625524288
47840625262144
54219375262144
59936625262144
64500975262144
67459185262144
68223087262144
67459185262144
64500975262144
59936625262144
54219375262144
47840625262144
47840625524288
59322375524288
72108225524288
85737015524288
99493137524288
112431975524288
122954337524288
131604375524288
136040625524288
136434375524288
132890625524288
4100625131072
5522175131072
7327665131072
9563103131072
12248145131072
15357375131072
18800625131072
22278303131072
25940625131072
29109375131072
31640625131072
73811251048576
107272351048576
154409491048576
219829951048576
309035251048576
428118751048576
583031251048576
778218751048576
1004045491048576
1286718751048576
1582031251048576
492075524288
767637524288
1191915524288
1840725524288
2824875524288
4303125524288
6496875524288
9703125524288
14296875524288
20178837524288
29296875524288
590491048576
984151048576
1640251048576
2733751048576
4556251048576
7593751048576
12656251048576
21093751048576
35156251048576
58593751048576
87170491048576
UN
IVER
SID
AD
E D
E SÃ
O P
AULO
Inst
ituto
de
Ciên
cias
Mat
emát
icas
e d
e Co
mpu
taçã
o
Top Related