UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
RUAN MAGNO OLIVEIRA DE FREITAS
DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA
CÁLCULO DE PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS
MOSSORÓ-RN
2012
RUAN MAGNO OLIVEIRAS DE FREITAS
DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA
CÁLCULO DE PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS
Monografia apresentada a Universidade Federal
Rural do Semiárido - UFERSA, Departamento
de Ciências Ambientais e Tecnológicas para a
obtenção do título de bacharel em Ciência e
tecnologia.
Orientador: Prof. M. Sc. Raimundo Gomes de
Amorim Neto – UFERSA
Coorientadora: Profª. M. Sc. Flaviana Moreira
de Souza Amorim – UFERSA
MOSSORÓ-RN
2012
Ficha catalográfica preparada pelo setor de classificação e
catalogação da Biblioteca “Orlando Teixeira” da UFERSA
Bibliotecária: Vanessa de Oliveira Pessoa
CRB15/453
F866d Freitas, Ruan Magno Oliveira de.
Desenvolvimento de ferramenta computacional para
cálculo de propriedades geométricas de seções transversais. /
Ruan Magno Oliveira de Freitas. -- Mossoró, 2012.
73 f.: il.
Monografia (Graduação em Ciência e tecnologia) –
Universidade Federal Rural do Semi-Árido.
Orientador: Prof. M. Sc. Raimundo Gomes de Amorim Neto.
Coorientador: Profª. M. Sc. Flaviana Moreira de Souza Amorim.
1. Modelagem matemática. 2. Propriedades geométricas. 3.
Engenharia civil. I.Título.
CDD: 511.8
Ficha catalográfica preparada pelo setor de classificação e
catalogação da Biblioteca “Orlando Teixeira” da UFERSA
Bibliotecária:
Vanessa de
Oliveira
Pessoa
CRB15/453
F866d Freitas, Ruan Magno Oliveira de.
Desenvolvimento de ferramenta computacional para
cálculo de propriedades geométricas de seções transversais. /
Ruan Magno Oliveira de Freitas. -- Mossoró, 2012.
74 f.: il.
Monografia (Graduação em Ciência e tecnologia) –
Universidade Federal Rural do Semi-Árido.
Orientador: Dr. Raimundo Gomes de Amorim Neto.
Co-orientador: Dr. Flaviana Moreira de Souza Amorim.
1. Modelagem matemática. 2. Propriedades geométricas. 3.
Engenharia civil. I.Título.
CDD: 511.8
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho de conclusão do bacharel
em ciência e tecnologia, àqueles que sempre
acreditaram na minha formação, meus pais,
irmãos, familiares, namorada e amigos que de
muitas formas me incentivaram e ajudaram para
que fosse possível a concretização não apenas
deste trabalho como na conclusão do meu curso
de graduação.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus por permitir que eu pudesse chegar até onde estou hoje, por tantas as
vezes que o procurei para pedir ajuda e muitas às vezes nem agradeci, pelas inúmeras noites
que passei estudando e sem esperança de fazer uma boa prova, o Senhor me concedeu a graça
da sabedoria, as dificuldades que passei, todas elas tinham um propósito, serviu para que eu
desse valor as oportunidades que logo surgiriam.
Aos meus pais que mesmo de longe sempre me apoiam, a minha mãe, Maria de Freitas
Oliveira de Souza, pelas noites que passou em claro zelando o meu sono e cuidando de mim,
ao meu pai, Ademir Freitas de Souza, pessoa que sempre idealizou seus objetivos, ensinou
aos seus filhos irem em busca das realizações dos seus sonhos, agradeço a ambos por
permitirem os meus estudos, acima de tudo. Ao meu irmão, Rômulo Magno, que sempre me
ajudou a escolher as melhores oportunidades e no tempo de cursinho ele foi um dos principais
que contribuiu e acreditou em mim, a minha irmã, Raíssa Maria, que estar no auge da sua
juventude e sem conhecer o mundo acadêmico, me apoia.
A todos os meus parentes em especial minha tia, Gildecina, que me forneceu moradia durante
meus estudos, as demais tias que sempre me ampararam e me ajudaram durante esse percurso,
aos meus avós que sempre incentivaram a formação de seus netos. A minha namorada,
Bárbara Torres, que sempre esteve paciente comigo na hora de dividir minhas angustia da
faculdade e sem reclamar continua apoiando os meus passos.
Agradeço a todos os professores por compartilharem conosco, alunos, seus conhecimentos,
mesmo sem ganhar o prestígio que merecem, se esforçam para dar uma boa aula. Aos meus
colegas que passaram várias tardes estudando comigo, que compartilham as mesmas
dificuldades, alegrias, sem eles para servi de base como amigos seria difícil concluir o
bacharelado.
Ao meu orientador, Prof. Raimundo Gomes de Amorim Neto e a minha coorientadora
Flaviana Moreira de Souza Amorim, que me orientou a desenvolver esse projeto que é tão
importante para a minha formação como Bacharel em Ciência e Tecnologia no Campus da
UFERSA.
“As dificuldades são o aço
estrutural que entra na construção
do caráter.”
(Carlos Drummond de Andrade)
RESUMO
No âmbito da engenharia civil é fundamental o conhecimento de propriedades
geométricas de seções de peças ou áreas para construção. Este trabalho busca apresentar uma
metodologia simples utilizando modelagem matemática para o desenvolvimento de uma
ferramenta computacional para ser aplicada em problemas de engenharia, especialmente a
aqueles ligados a estruturação de peças como vigas, eixos, lajes e pilares. Fez-se o uso, para
tanto, das potencialidades previamente contidas no MatLab®, optando pela aplicação direta
das fórmulas obtidas por suas definições e em alguns casos através da decomposição das áreas
das seções em regiões elementares conhecidas, em vista que suas propriedades geométricas
podem ser facilmente encontradas tabeladas em diversas literaturas. O programa desenvolvido
apresenta-se na forma de um executável criado na interface gráfica do MATLAB, e este
disponibiliza para o usuário nove tipos de seções de área pré-definidas, sendo essas seções os
tipos mais utilizados em estruturas para problemas de engenharia. Com o uso das ferramentas
desenvolvidas percebe-se o ganho em escala e precisão, uma vez que o programa
desenvolvido se mostrou simples e com resultados similares aos resultados manuais, que
demandariam um grande custo no tocante ao tempo.
Palavras-chave: Modelagem matemática, propriedades geométricas, engenharia civil.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1- Tipos de cargas distribuídas ................................................................................... 17
Figura 2.2- Estrutura de uma laje apoiada por duas vigas iguais e em diferentes orientações . 19
Figura 2.3- Área de trabalho do MATLAB .............................................................................. 22
Figura 2.4- Janela de edição/depuração do MATLAB ............................................................. 23
Figura 2.5- Janela de Ferramentas guide .................................................................................. 25
Figura 3.1- Área de uma superfície plana................................................................................. 27
Figura 3.2- Determinação da área de uma seção em forma de caixa ....................................... 28
Figura 3.3- Coordenadas centroidais ........................................................................................ 30
Figura 3.4- Centroide de uma superfície composta .................................................................. 31
Figura 3.5- Determinação do centroide de um retângulo ......................................................... 31
Figura 3.6- Determinação do centroide para uma seção em forma de C .................................. 32
Figura 3.7- Determinação do momento estático de uma seção triangular ................................ 34
Figura 3.8- Eixo paralelo que passa pelo centroide da seção ................................................... 38
Figura 3.9- Determinação do momento de inércia para uma seção retangular ........................ 38
Figura 3.10- Determinação do momento de inércia para uma seção em forma de T ............... 39
Figura 3.11- Áreas de simetrias ................................................................................................ 41
Figura 3.12- Determinação do produto de inércia para uma seção em forma de L.................. 42
Figura 3.13- Definição de raio de giração ................................................................................ 44
Figura 3.14- Determinação do raio de giração para uma seção circular .................................. 44
Figura 3.15- Fluxograma .......................................................................................................... 46
Figura 4.1- Solução do FTOOL para uma seção retangular ..................................................... 47
Figura 4.2- Solução do AutoCAD para uma seção retangular ................................................. 48
Figura 4.3- Solução do programa para uma seção retangular .................................................. 48
Figura 4.4- Exemplo para uma seção em forma de caixa ......................................................... 50
Figura 4.5- Solução do FTOOL para uma seção em forma de caixa ....................................... 50
Figura 4.6- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de caixa .................................... 51
Figura 4.7- Solução do Programa para uma seção em forma de caixa ..................................... 51
Figura 4.8- Solução do FTOOL para uma seção circular ......................................................... 52
Figura 4.9- Solução do AutoCAD para uma seção circular ..................................................... 53
Figura 4.10- Solução do programa para uma seção circular .................................................... 53
Figura 4.11- Solução do FTOOL para uma seção em forma de anel ....................................... 54
Figura 4.12- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de anel ................................... 55
Figura 4.13- Solução do programa para uma seção em forma de anel ..................................... 55
Figura 4.14- Exemplo de uma seção triangular ........................................................................ 56
Figura 4.15- Solução do AutoCAD para uma seção triangular ................................................ 57
Figura 4.16- Solução do programa para uma seção triangular ................................................. 57
Figura 4.17- Exemplo de uma seção em forma de I ................................................................. 58
Figura 4.18- Solução do FTOOL para uma seção em forma de I ............................................ 59
Figura 4.19- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de I ......................................... 59
Figura 4.20- Solução do programa para uma seção em forma de I .......................................... 60
Figura 4.21- Exemplo para uma seção em forma de T ............................................................. 61
Figura 4.22- Solução do FTOOL para uma seção em forma de T ........................................... 61
Figura 4.23- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de T ........................................ 62
Figura 4.24- Solução do programa para uma seção em forma de T ......................................... 62
Figura 4.25- Exemplo para uma seção em forma de L ............................................................. 63
Figura 4.26- Solução do FTOOL para uma seção em forma de L ........................................... 64
Figura 4.27- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de L ........................................ 64
Figura 4.28- Solução do programa para uma seção em forma de L ......................................... 65
Figura 4.29- Exemplo para uma seção em forma de C ............................................................ 66
Figura 4.30- Solução do FTOOL para uma seção em forma de C ........................................... 66
Figura 4.31- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de C ....................................... 67
Figura 4.32- Solução do programa para uma seção em forma de C ......................................... 67
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1- Comandos básicos para o MATLAB .................................................................... 24
Tabela 4.1- Comparação dos resultados da seção retangular ................................................... 49
Tabela 4.2- Comparação dos resultados da seção em forma de caixa ...................................... 52
Tabela 4.3- Comparação dos resultados da seção circular ....................................................... 54
Tabela 4.4- Comparação dos resultados da seção em forma de anel ....................................... 56
Tabela 4.5- Comparação dos resultados da seção triangular .................................................... 58
Tabela 4.6- Comparação dos resultados da seção em forma de I ............................................. 60
Tabela 4.7- Comparação dos resultados da seção em forma de T ............................................ 63
Tabela 4.8- Comparação dos resultados da seção em forma de L ............................................ 65
Tabela 4.9- Comparação dos resultados da seção em forma de C ........................................... 68
LISTA DE QUADROS
Quadro 3.1- Formulação e estratégia de programação para área ............................................. 29
Quadro 3.2- Formulação e estratégia de programação para o centroide .................................. 33
Quadro 3.3- Formulação e estratégia de programação para o momento estático ..................... 36
Quadro 3.4- Formulação e estratégia de programação para o momento de inércia ................. 40
Quadro 3.5- Formulação e estratégia de programação para o produto de inércia .................... 43
Quadro 3.6- Formulação e estratégia de programação para o raio de giração ......................... 45
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CAD Computer Aided Design
DCAT Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas
Eq. Equação
FTOOL Two - Dimensional Frame Analysis Tool
GUI Graphical User Interface
GUIDE Graphical User Interface Developmentenvironment
MATLAB MATrix LABoratory
PG Propriedade Geométrica
PGST Propriedade Geométrica de uma Seção Transversal
UFERSA Universidade Federal Rural do Semiárido
LISTA DE SÍMBOLOS
A Área de uma seção transversal
Momento de inércia em relação ao eixo x
Produto de inércia
Momento de inércia em relação ao eixo y
Raio de giração em relação ao eixo x
Raio de giração em relação ao eixo y
Momento estático em relação ao eixo x
Momento estático em relação ao eixo y
Centroide em relação ao eixo x
Centroide em relação ao eixo y
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 13
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................................... 13
1.2 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO .............................................................................. 13
1.3 OBJETIVOS ................................................................................................................... 14
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................... 15
2 REVISÃO DE LITERATURA .................................................................................... 16
2.1 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA ................................................. 16
2.1.1 Área ................................................................................................................................ 16
2.1.2 Centroide ........................................................................................................................ 17
2.1.3 Momento estático .......................................................................................................... 18
2.1.4 Momento de inércia....................................................................................................... 18
2.1.5 Produto de inércia ......................................................................................................... 20
2.1.6 Raio de Giração ............................................................................................................. 20
2.2 MATLAB ........................................................................................................................ 21
2.2.1 Introdução ...................................................................................................................... 21
2.2.2 Área de aplicação .......................................................................................................... 21
2.2.3 Vantagens ....................................................................................................................... 21
2.2.4 Desvantagens ................................................................................................................. 22
2.2.5 A área de trabalho do MATLAB ................................................................................. 22
2.2.6 Interfaces gráficas com o usuário no MATLAB ........................................................ 24
3 METODOLOGIA ......................................................................................................... 27
3.1 ÁREA .............................................................................................................................. 27
3.1.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma seção
em forma de caixa ................................................................................................................... 27
3.1.2 Estratégia de programação .......................................................................................... 28
3.2 CENTROIDE .................................................................................................................. 29
3.2.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma seção
em forma de C ......................................................................................................................... 31
3.2.2 Estratégia de programação .......................................................................................... 33
3.3 MOMENTO ESTÁTICO ................................................................................................ 33
3.3.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma seção
triangular ................................................................................................................................. 34
3.3.2 Estratégia de programação .......................................................................................... 36
3.4 MOMENTO DE INÉRCIA ............................................................................................ 37
3.4.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma seção
em forma de T ......................................................................................................................... 38
3.4.2 Estratégia de programação .......................................................................................... 39
3.5 PRODUTO DE INÉRCIA .............................................................................................. 40
3.5.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma seção
em forma de L ......................................................................................................................... 42
3.5.2 Estratégia de programação .......................................................................................... 42
3.6 RAIO DE GIRAÇÃO ..................................................................................................... 43
3.6.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma seção
circular ..................................................................................................................................... 44
3.6.2 Estratégia de programação .......................................................................................... 45
3.7 FLUXOGRAMA ............................................................................................................ 46
4 APLICAÇÃO NUMÉRICA ......................................................................................... 47
4.1 EXEMPLO 01- SEÇÃO RETANGULAR ..................................................................... 47
4.2 EXEMPLO 02- SEÇÃO EM FORMA DE CAIXA ....................................................... 49
4.3 EXEMPLO 03- SEÇÃO CIRCULAR ............................................................................ 52
4.4 EXEMPLO 04- SEÇÃO EM FORMA DE ANEL ......................................................... 54
4.5 EXEMPLO 05- SEÇÃO TRIANGULAR ...................................................................... 56
4.6 EXEMPLO 06- SEÇÃO EM FORMA DE I................................................................... 58
4.7 EXEMPLO 07- SEÇÃO EM FORMA DE T ................................................................. 60
4.8 EXEMPLO 08- SEÇÃO EM FORMA DE L ................................................................. 63
4.9 EXEMPLO 09- SEÇÃO EM FORMA DE C ................................................................. 66
5 CONCLUSÕES ............................................................................................................. 69
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 71
13
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
O conceito das propriedades geométricas de uma seção de área (PGST) está
englobado em todo o ramo da engenharia estrutural, pois ela está introduzida e dispersa no
campo de trabalho da mecânica para engenharia, desde a mecânica geral, passando pelas
resistências dos materiais, até as mecânicas estruturais entre outras disciplinas aplicadas. Com
o passar dos anos e com o avanço tecnológico das últimas décadas, todos os cálculos não só
os que envolvam esses conceitos estruturais como os demais, cada vez mais eles vem sendo
dominados por software e o programa para cálculos das PGST é uma deles.
A determinação das propriedades geométricas de uma área com um auxílio de
programas computacionais é de extrema importância, pois estas são muito utilizadas nos
cálculos ligados à análise de estruturas. Uma consequência imediata ao uso de programação
está no tocante à obtenção de resultados rápidos e precisos nos cálculos que irão servir de
base para o estudo estrutural, como são os casos para os cálculos de tensões em vigas ou
demais peças estruturais, além de deflexão em vigas e eixos.
As propriedades geométricas (PG) abordadas neste trabalho são a área, o centroide,
momento de primeira ordem ou momento estático, momento de segunda ordem ou momento
de inércia, produto de inércia e raio de giração. A razão da escolha destas propriedades se
deve ao fato das mesmas encontrarem um vasto número de aplicações ligadas a estruturas.
Em face disso, estão sendo desenvolvidos outros dois trabalhos, em paralelo, que
juntos farão parte de um único programa estrutural, com o objetivo de continuar o projeto e ir
além do trabalho de conclusão de curso. A finalidade dessa união é criar um programa de
estrutura capaz se solucionar as propriedades geométricas, calcular as reações de apoio e os
esforços internos de uma treliça e/ou viga.
1.2 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO
Com o avanço da tecnologia, grande parte dos cálculos tanto da análise estrutural
como qualquer outro que envolva dificuldade ou um vasto tempo para se determinar á mão,
hoje estão sendo resolvidos por software, com resultados rápidos e com certo grau de
precisão, sendo satisfatórios para os cálculos das propriedades geométricas.
14
Na literatura são vistas diversas aplicações das propriedades geométricas de uma
seção transversal. E como na instituição não há conhecimento da existência de alguma
ferramenta computacional para o cálculo destas propriedades, este projeto se mostra relevante.
Tanto na elaboração de uma revisão bibliográfica, como no desenvolvimento de uma
ferramenta computacional para calcular as propriedades geométricas de uma seção
transversal. A contribuição científica deste trabalho, estar na criação de uma ferramenta
computacional, específica para o cálculo das propriedades geométricas de uma seção
transversal, implementada no MATLAB (MATrix LABoratory).
1.3 OBJETIVOS
Geral
Busca-se contribuir no entendimento das propriedades geométricas, difundindo e
promovendo uma alternativa de estudo, tendo em vista que seus conhecimentos são
indispensáveis na mecânica para engenharia, no qual está incluso as disciplinas de mecânica
geral, resistência dos matérias e até mesmo mecânica das estruturas, sabendo que o conteúdo
dessas matérias são imprescindíveis nas analises estruturais.
Em procura de atender as necessidades impostas, essa pesquisa tem por finalidade
desenvolver uma aplicação computacional, capaz de calcular as propriedades geométricas de
uma seção transversal. Como subsidio para futuros programas de cálculo estrutural
desenvolvidos em projetos seguintes, com a finalidade do uso para cálculos estruturais com
vigas, eixos e colunas. Além disso, o trabalho busca servir como auxílio de revisão
bibliográfica para as propriedades geométricas de uma área.
Específicos
Pesquisar e conhecer as principais propriedades geométricas de uma área e
consequentemente aprofundar o conhecimento das mesmas;
Estudar o campo de atuação e as finalidades das aplicações das propriedades
geométricas de uma área;
Catalogar todas as informações obtidas, de modo a obter em um único trabalho,
informações úteis para o desenvolvimento do programa;
Pesquisar sobre as potencialidades e limitações de outros programas;
15
Auxiliar nos estudos de exercícios que envolva cálculos das propriedades
geométricas;
Capacitar o programa para acoplagem a outras aplicações;
Servir de incentivo no desenvolvimento de novas pesquisas na UFERSA, ligadas à
mecânica computacional.
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO
O trabalho encontra-se organizado em cinco capítulos. Como pode ser observado, o
presente capítulo 1, mostra a introdução do trabalho, citando a importância do estudo das
propriedades geométricas, além disso, expões os objetivos e a estruturação do trabalho. O
capítulo 2 aborda uma revisão das propriedades geométricas baseadas nas literaturas de
mecânica para engenharia, argumentando suas diversas aplicações e ainda uma breve revisão
do MATLAB mostrando os seus campos de atuações e suas diversas aplicações.
No capítulo 3, a metodologia do trabalho, mostra as definições, as formulações e as
estratégias de programação no MATLAB utilizadas para cada uma das propriedades
geométricas. O capítulo 4, as aplicações numéricas, compara os resultados do programa
desenvolvido neste trabalho com o de outros softwares e com cálculos manuais;
Por fim, o capítulo 5 discute os principais resultados obtidos neste trabalho e suas
conclusões. E o Capítulo 6 apresenta a bibliografia utilizada como suporte na revisão de
literatura e que reforçaram o conhecimento das propriedades geométricas e do MATLAB para
criação do programa.
16
2 REVISÃO DE LITERATURA
Este capítulo se destina a uma breve apresentação de conceitos intimamente ligados
ao estudo da mecânica aplicada, bem como a descrição do pacote (ambiente) utilizado na
programação.
2.1 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA
As propriedades geométricas de uma área representam a forma e a disposição da
superfície plana em relação a um sistema de referência, sendo os seus conceitos utilizados em
diversas aplicações em resistências dos materiais e na mecânica das estruturas. Alguns
exemplos de aplicações dos conceitos das PG‟s são: no estudo das propriedades mecânicas
dos materiais, no cálculo de tensões de flexão, tensões normais, tensão cisalhante provocada
por momento torçor e força de cisalhamento de uma viga ou demais peças estruturais. Além
disso, para o cálculo/estudo de deflexão em vigas e eixos, inclinação e deslocamento pelo
método dos momentos de área, cálculos de carga críticas em colunas as quais se pretende
evitar a flambagem. Os conceitos inerentes a propriedades geométricas de seções planas são
fundamentais e amplamente aplicados. Portanto, percebe-se que o estudo detalhado das
propriedades de uma área é um conceito elementar e imprescindível para a maioria dos
cálculos da análise estrutural.
Segundo Shames (2002), existe um grande número de propriedades que representam
a forma e a disposição de uma superfície plana em relação a um sistema de referencial. Essas
propriedades são de usos corriqueiros na engenharia, em que uma variedade de descrições
quantitativas de superfícies são necessárias para o estudo da mesma. Em geral, o estudo das
propriedades de superfícies é restrito a superfícies planas.
2.1.1 Área
Em meio as propriedades geométricas encontramos a área, cujo conceito utilizado
nos dimensionamentos em projetos de mecânica estrutural é de medida de espaço de uma
superfície plana bidimensional do objeto de estudo, ou seja, para nosso estudo de estruturas
usaremos a definição da área de uma seção de peça com caráter estrutural. O cálculo da área
17
de uma superfície plana é diretamente ligado à determinação do centroide de uma superfície,
pois o conceito de centroide está relacionado a uma determinada posição dentro de uma área.
2.1.2 Centroide
O centroide representa o ponto onde se encontra o centro geométrico de uma área,
que é formado pelas coordenadas deste e sua localização independem dos seus eixos de
referência adotados. Esse conceito é utilizado para diversos problemas de Engenharia, tais
como na análise de cargas distribuídas no cálculo das forças exercidas numa superfície plana,
como, por exemplo, pressão hidrostática imposta pela água em uma placa assinalando-se um
carregamento distribuído triangular (Figura 2.1a) ou o peso de uma laje sobre uma viga
analisando um carregamento distribuído retangular (Figura 2.1b), ou até mesmo por ações dos
ventos nas laterais de um edifício neste caso caracterizando um carregamento distribuído não
uniforme (Figura 2.1c).
Segundo Beer e Johntson (2006), desse modo essas cargas distribuídas podem ser
trocadas por uma única carga concentrada, no qual o módulo delas é numericamente igual a
área sob a curva de carga, cuja aplicação localiza-se no centroide dessa superfície. Ainda, de
acordo com Boresi e Schmidt (2003), no estudo de flexão da viga, o centroide da área de
seção transversal de uma viga tem um papel importante na determinação de tensões na viga.
Para esse e outros problemas de engenharia, são necessários o conhecimento das propriedades
de placas, discos ou áreas planas delgadas.
Figura 2.1- Tipos de cargas distribuídas
Fonte: Autoria própria (2012).
18
Quando o carregamento é do tipo triangular ou retangular, tipos comumente usados
na prática, sabe-se que a integral da carga é a força resultante, e esta se concentra no centro de
gravidade da carga. Sendo assim, o centroide do triângulo é localizado em 1/3 de sua base ou
2/3 dependendo da referência/orientação adotada, enquanto que o centroide do retângulo em
1/2 de sua base.
Para uma dada área de forma arbitrária, as coordenadas de x e y do centroide são
dadas pela integral da distância até o centroide pelo elemento de área dA, sobre a integral da
área, sendo o centroide em relação ao eixo x e y, respectivamente, dada por dAxdA e
dAydA . Ou seja, para encontrar o centroide de uma área de forma arbitrária, ela deve ser
dividida em n partes, onde o seu centroide será o somatório das distâncias dos seus centros
geométricos até o eixo de referência adotado, vezes suas respectivas áreas, dividido pelo
somatório de todas as áreas.
2.1.3 Momento estático
Momento de Primeira ordem ou momento estático são as integrais do centroide em x
ou y em primeiro grau pelo elemento de área dA, no qual é correspondente ao numerador do
conceito de centroide. Sendo o momento de primeira ordem em relação ao eixo x é dado pela
∫ydA e é representada por Qx e o momento de primeira ordem em relação ao eixo y é dado por
∫xdA e representado por Qy.Esses dois conceitos, momento de primeira ordem de uma área e
centroide, são utilizado em vários problemas de engenharia porque fornecem uma ideia de sua
forma, tamanho e a orientação da área.
Vale salientar que todos os eixos xy que tenha origem no centroide de uma área, os
chamados eixos centroidais, o momento de primeira ordem em relação a qualquer um dos
seus eixos será zero. Isso se deve ao fato de que a distância é nula entre o centroide e a própria
posição dos eixos.
2.1.4 Momento de inércia
O momento de segunda ordem ou momento de inércia é uma propriedade geométrica
de uma área que expressa dificuldade de se promover o giro desta seção em relação a um
determinado eixo contido no plano dela. Uma forma simplória de se definir esta propriedade é
como a rigidez que um corpo formado por um tipo de seção definida tem a um movimento
19
imposto a ele. Os momentos de inércia são representados por Ix e Iy dos seus respectivos
eixos. A Figura 2.2 mostra uma exemplificação do conceito de momento de inércia,
mostrando duas vigas iguais, porém de posições diferentes no qual está apoiando uma laje
retangular. Entre as duas vigas observa-se que a viga na posição P1 se encontra numa melhor
posição, pois é nessa posição que o perfil tem maior rigidez à flexão em torno do eixo x,
podendo ser verificado pela expressão do momento de inércia para uma seção retangular.
Figura 2.2- Estrutura de uma laje apoiada por duas vigas iguais e em diferentes orientações
Fonte: Autoria própria (2012).
A inércia Ix significa a resistência do corpo ao girar em torno do eixo x, e Iy a
resistência do corpo ao girar em torno do eixo y.
O Momento de Inércia de Área ou Momento de Segunda Ordem de Área, ressaltado
por Silva (2010), é uma propriedade de uma seção plana de um corpo, que tem relação com a
rigidez à deformação por flexão.
Conforme apontado por Meriam e Kraige (2011), frequentemente a intensidade da
força é proporcional à distância das linhas de ações delas ao eixo do momento. A força
elementar atuante em um elemento de área é então proporcional à distância vezes a área
diferencial, e o momento elementar é proporcional à distância ao quadrado vezes a área
diferencial. Assim, o momento total envolve uma integral da forma ∫(distância)²d(área). Essa
integral é denominada de momento de inércia ou momento de segunda ordem.
Segundo Shames (2002), ao contrário de momento de primeira ordem, o momento de
inércia de uma área não pode ser negativo, e como a distância ao quadrado até o eixo é
empregado, os elementos de área mais distantes do eixo contribuem em maior peso para o
momento de inércia de uma área.
20
2.1.5 Produto de inércia
O produto de inércia é uma propriedade geométrica que ajuda identificar se o eixo
inicialmente arbitrário tem o maior ou o menor valor de momentos de inércia de uma área ou
se existe outros eixos com esses valores. Sabendo que o momento de inércia é diferente para
cada eixo em torno do qual é calculado. Logo deve primeiramente calcular o produto de
inércia para uma área, bem como seus momentos de inércia para os eixos x,y dados.
Conforme Hibbeler (2011), o conceito de produto de inércia é utilizado para determinar os
momentos de inércia máxima e mínima para uma área. Onde esses valores de máximo e
mínimo são necessários para aplicações de projetos de mecânica e estrutural como viga,
colunas e eixos.
Ao contrário do momento de inércia, o produto de inércia pode ser positivo, negativo
ou nulo, sinais esses que dependem do quadrante onde a área está localizada. Quando nulo,
significa que o momento de inércia nessa orientação tem valores máximo e mínimo e
nenhuma outra orientação terá momento maior ou menor do que nela, e ainda implica dizer
que a peça é simétrica.
2.1.6 Raio de Giração
Outra propriedade de uma área é o raio de giração. Representado por k, tem a
unidade em comprimento e seu conceito é usado frequentemente na mecânica estrutural em
projetos de colunas. Conforme o seu conceito, toda a área pode ser concentrada em um único
ponto (kx,ky) para obter o segundo momento de inércia em relação à posição de referência
adotada (Ak²x= Ix ,Ak²y= Iy). “O raio de giração é, então, uma medida da distribuição da área
em relação ao eixo em questão. Um momento de inércia retangular ou polar pode ser expresso
especificando o raio de giração e a área” (MERIAM; KRAIGE, 2011, p. 320-321). Assim, ao
contrário do que acontece no centroide que sua localização não depende da referência
adotada, dependendo apenas de sua área, o raio de giração além de depender da forma da área,
depende também da posição de sua referência.
21
2.2 MATLAB
2.2.1 Introdução
O MATLAB como sua própria sigla já diz, (Matrix Laboratory - Laboratório de
Matrizes), seu desenvolvimento foi voltado pra cálculos com matrizes, mas que hoje passou a
ser um programa computacional amplo para diversa área devido suas transformações ao longo
dos anos, sendo capaz de resolver diversos problemas técnicos de engenharia.
Conforme Chapman (2006) o MATLAB é um programa de computador otimizado
para resolver cálculos científicos e problema de engenharia. Ele implementa a linguagem
MATLAB e oferece uma ampla biblioteca de funções predefinidas para que a programação
técnica torne-se mais rápida, eficiente e de fácil utilização. Tornando-se assim muito mais
fácil resolver programas técnicos nele do que em outras linguagens como o Fortran ou C.
Sua criação se deu no final do ano de 1970, por Cleve Moler, um dos fundadores da
Mathworks, e então presidente do departamento de ciências da computação da Universidade
do Novo México, onde ele foi professor de matemática por quase 20 anos. Devido ao seu
grande potencial, seu uso rapidamente se espalhou para diversos campos de atuação. Hoje ele
é muito utilizado no ensino de álgebra linear e análises numéricas, além de ser usado por
engenheiros e cientistas para estudos e elaboração de projetos.
2.2.2 Área de aplicação
O MATLAB pode ser utilizado para uma vasta gama de problemas na engenharia,
estatística, economia, física, entre outras, sendo capaz de solucionar inúmeros problemas além
de fazer análise, simulações e conversão de dados. Ele ainda pode ser aplicado para cálculos
matemáticos, gráficos científicos, desenvolvimento de algoritmos, simulações, modelagens e
confecções de protótipos, além de desenvolver interfase gráfica com o usuário.
2.2.3 Vantagens
Algumas das principais vantagens do MATLAB são baseadas no fato de ele ser de
fácil programação, onde uma pessoa com pouco conhecimento em programação pode
desenvolver programas sofisticados de alto grau de dificuldade, tornando-se ideal para uso
22
educacional e para desenvolver rapidamente protótipos de novos programas. Além disso, vem
com uma biblioteca de funções predefinida (“Toolboxes”) otimizando o tempo gasto nas
realizações de tarefas, evitando a necessidade da „refabricação‟ de procedimentos de
programação já amplamente difundidos no seu escopo.
2.2.4 Desvantagens
Por outro lado o MATLAB tem suas desvantagens, uma delas é por ser uma
linguagem interpretada, ou seja, o programa é traduzido na medida em que vai sendo
executado num processo de tradução de trechos seguidos de sua execução imediata, sendo por
isso mais lento que a compilada, que por sua vez é uma linguagem onde o código fonte é
executável diretamente pelo processador após ser traduzido.
2.2.5 A área de trabalho do MATLAB
Ao iniciar o MATLAB aparece a tela inicial do programa denominada de área de
trabalho (Figura 2.3), nela apresenta diversas ferramentas que serão especificadas a seguir.
Figura 2.3- Área de trabalho do MATLAB
Fonte: Autoria própria (2012).
23
Principais ferramentas apresentadas na área de trabalho:
Janela de comandos (Command Window): Permite que o usuário insiram comandos
interativos pelo marcador de comandos (>>) que serão executados de imediato;
Navegador da Área de Trabalho (Workspace): Exibe as variáveis definidas na área de
trabalho;
Janela de Histórico de Comandos (Command History): Janela que exibem uma lista de
comandos já realizados, caso queria reexecutar um comando, basta clicar duas vezes
sobre ele;
Navegador do Diretório Corrente (CurrentDirectory): Exibe os arquivos do diretório
correntes;
Janela de Figuras (Figures): Representa gráficos no MATLAB;
Janela de Edição/Depuração (Editor): Permite ao usuário criar ou modificar arquivos
no MATLAB.
Ao em vez de digitar os comandos diretamente na janela de comando, pode-se criar
um único arquivo que executem uma série de comandos de uma só vez, esse arquivo são
chamados arquivos de scripts ou arquivos M devido a sua extensão de arquivo.m.
Cria-se um arquivo M por meio da janela de edição/Depuração, digitando “edit” na
janela de comando ou pelo ícone destacado na Figura 2.4.
Figura 2.4- Janela de edição/depuração do MATLAB
Fonte: Autoria própria (2012).
Para inserir um comentário na janela de edição deve-se utilizar o símbolo “%”
seguido do comentário, observa-se que o comentário fica escrito na cor verde. Fora da linha
do comentário, números e variáveis ficam na cor preta e palavras-chaves da linguagem em
azul.
24
Comandos básicos
Os comandos básicos no MATLAB, como somas, subtração, multiplicação, etc., são
os convencionais, como mostrado na Tabela 2.1.
Tabela 2.1- Comandos básicos para o MATLAB
Operações Símbolos Exemplos
Adição + 15+3 = 18
Subtração - 16-4 = 12
Multiplicação * 1.5*3 = 4.5
Divisão / ou \ 15/3 = 5 ou15\3 = 5
Potência ^ 7^3 = 343
Raiz quadrada sqrt (x) sqrt(64) = 8
Constante (π) Pi Pi = 3.1415926
Fonte: Autoria própria (2012).
Antes de qualquer operação, é preciso definir sua variável, para isso usa-se o
comando “syms” seguido da letra ou expressão que deseja ser chamado de variável. Exemplo:
syms x, dessa forma estará indicando que qualquer x da função vai ser uma variável e não um
número. Observa ainda que os números fracionários são separados por pontos ao em vez de
vírgula.
2.2.6 Interfaces gráficas com o usuário no MATLAB
A interface gráfica de usuário – GUI (do inglês Graphical User Interface) é uma
interface feita para ser um ambiente simples e agradável para o usuário do programa. Um bom
GUI com controles intuitivos com botões, menus, caixas de listas, caixa de diálogos, entre
outras, pode facilitar as operações de um usuário na execução de um programa tornando-se
um ambiente familiar para o operador.
Por outro lado as GUIs são mais difíceis para o programador, pois o programa no
GUI tem que ser preparado para possíveis entradas a qualquer momento, tanto pelo clique do
mouse nos botões criado na interface gráfica, quanto pelo teclado.
Existem duas maneiras de criar uma GUI no MATLAB, uma delas é criar funções
diretamente na janela de comando, que não é nada fácil e muito demorado, ou usar a função
guide do MATLAB que simplifica bastante a tarefa. Para iniciar a construção de uma
25
interface gráfica basta digitar guide (graphical user interface developmentenvironment -
ambiente de desenvolvimento de interface gráfica com o usuário) na linha de comando e de
imediato abre uma janela de edição do aspecto que irá ter a interface que deseja construir,
como mostra na Figura 2.5.
Figura 2.5- Janela de Ferramentas guide
Fonte: Autoria própria (2012), baseado em Chapman (2006).
Principais ferramentas do Guide:
Área de projeto: Área designada à construção da interface gráfica.
Componentes de GUI:cada item contido no GUI é um componente gráfico. Dentre
os tipos temos:
Controles gráficos: Lista, réguas e botões;
Elementos estáticos: Quadros e cadeia de caracteres de texto;
Menus e Eixos.
Editor de arquivos M:Após ter adicionados os componentes na área de projetos e
salvá-los ele se encarrega de criar um arquivo M. Este arquivo fornece todos códigos para
iniciar a GUI e tem toda estrutura para as rotinas que são executadas quando o usuário
interage com um componente da interface gráfica de usuário. Para que essa interação ocorra
de maneira satisfatória é necessário programar as ações de todos os componentes criados na
área de projeto fazendo suas devidas alterações no arquivo M criado.
26
Inspetor de propriedades: Tem a finalidade de modificar cor de fundo da janela, o
tipo de fonte de um rótulo de texto, títulos, entre outros aspectos da interface. Basta executar
um clique duplo sobre qualquer um dos componentes durante a criação do GUI.
Editor de menu: Criar menu e submenu nas interfaces gráficas criado pelo Guide.
Funções importantes:
Get – Recebe as entradas de dados, seja ele um número ou um nome.
Set – Exibir os dados obtidos ou gerados no programa em qualquer
elemento GUI programado.
Str2num – Transforma o valor string em um valor numérico.
Num2str – Transforma o valor numérico em uma string.
27
3 METODOLOGIA
3.1 ÁREA
A área de uma superfície plana qualquer pode ser definida como a integral de dA ao
longo do seu domínio, de acordo se ilustra na Figura 3.1. Matematicamente, conforme,
A= ∫
(3.1)
Porém em muitos casos a área pode se subdividida em várias partes, segmentando
em áreas sejam previamente conhecidas. Assim a área total pode ser calculada pelo somatório
de cada área, conforme a expressão 3.2,
A Total =∑A (3.2)
Figura 3.1- Área de uma superfície plana
Fonte: Autoria própria (2012).
3.1.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma
seção em forma de caixa
Nesse caso a área da seção é formada por um conjunto de áreas elementares
conhecidas (retângulos), nas quais se pode decompor a área da seção em forma de caixa.
Assim o vazio retangular entrará com sinal negativo, devendo ser subtraído da área total.
Sabendo que o conjunto de área é formado por dois retângulos e que a área deste tipo de
figura é dada pelo produto de sua base pela altura. A área da seção em forma de caixa é
determinada pela subtração da área total da área vazia como mostra a Figura 3.2 e as Eq. 3.3 a
Eq. 3.6.
28
Figura 3.2- Determinação da área de uma seção em forma de caixa
Fonte: Autoria própria (2012).
Sabendo que d1= d e b1= b. Sendo assim, a base, altura e a área do furo são dadas
por,
(3.3)
(3.4)
Logo a área da seção em forma de caixa é formulada por,
A = A1 – A2 (3.5)
(3.6)
3.1.2 Estratégia de programação
A programação no MATLAB da área da seção em forma de caixa foi conduzida pela
aplicação das fórmulas obtidas por meio da decomposição da figura, como demonstrada na
seção anterior. Os valores das variáveis, por sua vez, são determinados pelos dados de entrada
fornecidos pelo usuário do programa, sendo elas: a base, a altura e a espessura da seção. Por
meio das funções „get‟ recebem-se as entradas das variáveis e através da função „set‟ exibem-
se os resultados obtidos do programa. Para as aplicações nas fórmulas são necessárias às
conversões dos valores „string‟ (das entradas do programa) em valores numéricos, usa-se para
tanto, a função „str2num‟, e as transformações dos valores numéricos em valores „string‟ para
a exibição dos resultados na interface gráfica do programa, se dá através da função „num2str‟.
Para as demais seções encontra-se tabelada suas formulações e estratégias de
programação estão apresentadas no Quadro 3.1.
29
Quadro 3.1- Formulação e estratégia de programação para área
Seção Fórmulas Estratégia de
programação
Retangular A = b.d Aplicação direta
Em forma
de Caixa
Decomposição da
figura
Circular
Aplicação direta
Em forma
de Anel
Decomposição da
figura
Triangular
Aplicação direta
Em forma
de I
Decomposição da
figura
Em forma
de T
Decomposição da
figura
Em forma
de C
Decomposição da
figura
Em forma
de L
Decomposição da
figura
Fonte: Autoria própria (2012).
3.2 CENTROIDE
Para um corpo homogêneo, um ponto ( , ) que coincide com o centro de gravidade
do corpo, este ponto ( , ) é chamado de centroide do corpo. Para áreas de forma arbitrárias
como mostrado na Figura 3.3, as coordenadas x e y que definem o centroide c são dada pelas
fórmulas,
∫
∫
∫
∫
30
Figura 3.3- Coordenadas centroidais
Fonte: Autoria própria (2012).
Observando ainda que o centroide de algumas áreas pode ser definido parcialmente
ou completamente pelas condições de simetria, se uma área tem um eixo de simetria, o
centroide estará localizado ao longo desse eixo.
Para o caso de áreas compostas, permite-se decompô-la em regiões elementares
conhecidas como um retângulo, um triângulo, um círculo e etc. Assim as suas propriedades
geométricas podem ser facilmente encontradas tabeladas em diversas literaturas, deve-se
lembrar de registrar a área de cada superfície com o sinal apropriado, que podem ser positivos
ou negativos, dados como exemplo à superfície de um furo será considerada uma parte
composta adicional com área negativa. Essa observação também é valida para o momento
estático que além do furo, uma superfície cujo centroide está localizado à esquerda do eixo y
também terá um momento estático negativo, assim como para tais problemas podemos
escrever:
∑
∑
Onde e , são dados com sinal apropriados, sendo elas as coordenadas do
centroide para a área e A é a área total para a área composta. A Figura 3.4 é um exemplo de
corpo composto.
31
Figura 3.4- Centroide de uma superfície composta
Fonte: Autoria própria (2012).
Aplicando os sinais apropriados para cada área da Figura 3.4 nas equações para o
centroide de área compostas como apresentadas anteriormente nas Equações 3.9 e 3.10,
teremos:
3.2.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma
seção em forma de C
Sabendo que uma seção em forma de C é um corpo composto formado por três
retângulos, para analisarmos o centroide dessa seção é necessário conhecer primeiramente o
centroide de um retângulo, que pode ser dado apenas pelas condições de simetria, mas iremos
usar a definição aplicando as Equações 3.7 e 3.8, para veracidade da análise.
Considerando a área de um retângulo como mostrado na Figura 3.5, onde suas faixas
diferencias são dadas por,
(3.13)
Figura 3.5- Determinação do centroide de um retângulo
Fonte: Autoria própria (2012).
32
Aplicando nas Equações 3.7 e 3.8, encontra-se o centroide em relação ao eixo x e y
que são equivalentes aos seus pontos de simetria.
∫
∫
∫
∫
[ ]|
[ ]|
( )
⇒
∫
∫
∫
∫
[ ]|
[ ]|
( )
⇒
Assim para o centroide da seção em forma de C mostrado na Figura 3.6, é
determinada pelas Equações 3.16 e 3.17. Sabendo que o centroide para cada retângulo é dada
pelas Equações 3.14 e3.15 calculadas anteriormente.
Figura 3.6- Determinação do centroide para uma seção em forma de C
Fonte: Autoria própria (2012).
⁄
⁄
Outra maneira de encontrar o centroide dessa seção seria considerar a seção
composta por duas áreas, uma formada por um retângulo que se estende por toda sua seção e
outra formada pela área do furo. Com os sinais apropriados aplicando nas Equações 3.9 e 3.10
encontraremos resultados equivalentes aos das Equações 3.16 e 3 17, lembrando que a
superfície do furo será considerando uma parte composta adicional com área negativa.
33
3.2.2 Estratégia de programação
A estratégia de programação para o centroide é análoga a da área, ou seja, aplicação
direta da fórmula ou em alguns casos através da decomposição da figura como é o caso da
seção em forma de C, no Quadro 3.2 mostra a estratégia para essa e outras seções.
Quadro 3.2- Formulação e estratégia de programação para o centroide
Seção Fórmulas Estratégia de
programação
Retangular
⁄ ⁄
Aplicação
direta
Em forma
de Caixa
Decomposição
da figura
Circular
⁄ ⁄
Aplicação
direta
Em forma
de Anel
Decomposição
da figura
Triangular
Aplicação
direta
Em forma
de I
Decomposição
da figura
Em forma
de T
Decomposição
da figura
Em forma
de C
Decomposição
da figura
Em forma
de L
Decomposição
da figura
Fonte: Autoria própria (2012).
3.3 MOMENTO ESTÁTICO
Analisando uma superfície plana de área A e dois eixos ortogonais x e y de seu plano
(Figura 3.1), seja dA um elemento diferencial de área da superfície genericamente
34
posicionado, define-se momento estático de um área em relação ao eixo x e y pelas
respectivas integrais denotadas por e .como,
=∫
(3.18)
=∫
(3.19)
Pelas Equações 3.7 e 3.8, as coordenadas do centroide de uma área plana A são
determinadas pelas equações.
A = , A =
Ou
(3.20)
A unidade para momento estático envolve o comprimento elevado à terceira
potência, como m³, mm³ ou ft³, in³.
3.3.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma
seção triangular
Para a determinação do momento estático de um triangulo qualquer subdivide-se em
dois triângulos retângulos como ilustrado na Figura 3.7a e Figura 3.7b, seu momento estático
de uma área em relação ao eixo x e y é apontado a partir de sua definição através das
Equações 3.18 e 3.19 como mostra a seguir.
Figura 3.7- Determinação do momento estático de uma seção triangular
Fonte: Autoria própria (2012).
Para o momento estático em relação ao eixo x, um elemento diferencial de espessura
dy (Figura 3.7a) divididas em duas áreas, . Por semelhança de
triângulos temos,
35
Aplicando na integral para o momento estático de uma área em relação ao eixo x no
intervalo de 0 á h produz:
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
*
+|
*
+|
(
)
(
)
Semelhante é usado para o eixo y, onde um elemento diferencial de espessura e
(Figura 3.7b) tem suas áreas , observando pela figura que
. Por semelhança de triângulos obtemos,
Aplicando na equação do momento estático de uma área em relação ao eixo y no
intervalo de 0 á b adquire,
∫ ∫
∫ [
]
∫
∫
∫
∫
[
]
*
+
*
+
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
36
[ ]
3.3.2 Estratégia de programação
A estratégia de programação para uma seção triangular se dá pela aplicação direta
das Equações 3.22 e 3.23 deduzidas no capítulo anterior. O Quadro 3.3 mostra a estratégia de
programação para essa e as demais seções.
Quadro 3.3- Formulação e estratégia de programação para o momento estático
Seção Fórmulas Estratégia de
programação
Retangular
Aplicação direta
Em forma de
Caixa
Decomposição
da figura
Circular
Aplicação direta
Em forma de
Anel
Decomposição
da figura
Triangular
Aplicação direta
Em forma de
I
Decomposição
da figura
Em forma de
T
Decomposição
da figura
Em forma de
C
Decomposição
da figura
Em forma de
L
Decomposição
da figura
Fonte: Autoria própria (2012).
37
3.4 MOMENTO DE INÉRCIA
Considerando uma área que se encontre no plano x-y (Figura 3.1), os momentos de
inércia do elemento diferencial dA em torno dos eixos x e y são d = dA e d = dA,
respectivamente. Para uma área inteira o memento de inércia é dado pela integral:
= ∫
(3.24)
= ∫
(3.25)
Sua unidade é dada pelo seu comprimento elevada a quarta potência, por exemplo,
m4, mm
4, ft
4 ou in
4.
Teorema dos eixos paralelos para o momento de inércia de uma área
Esse teorema é muito utilizado para cálculos de área que se pode dividir em partes
mais simples, ou seja, áreas compostas. Através desse teorema podemos determinar um
momento de inércia em torno de qualquer eixo, sendo esse paralelo a um momento de inércia
com centroide conhecido. Dado um eixo x da área mostrado na Figura 3.8, paralelo ao eixo x’
localizado a uma distância d que passa pelo centroide da seção. Logo o momento de inércia é
expresso como:
Ix= ∫
= ∫
(3.26)
Ix=∫
∫
(3.27)
A primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo que
passa pelo centroide, denotada de .
A segunda integral é zero, uma vez que x’ passa através do centroide C da área.
Assim temos:
∫
∫
.: = 0
Logo,
Ix= + (3.28)
Análoga a essa expressão podemos dizer que Iy é igual a,
Iy= + (3.29)
38
Figura 3.8- Eixo paralelo que passa pelo centroide da seção
Fonte: Autoria própria (2012).
3.4.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma
seção em forma de T
Sabendo que uma seção em forma de T é formada por uma área composta de dois
retângulos, necessitamos primeiramente conhecer o momento de inércia para um retângulo e
depois aplicamos o teorema dos eixos paralelos.
Para o calculo do momento de inércia para um retângulo em relação ao eixo x,
utiliza-se um elemento diferencial de área horizontal bdy localizada a uma distancia y do eixo
do centroide x’, como mostra a Figura 3.9. Assim,
∫
∫ *
+|
(
)
Fazendo analogia para o calculo do momento de inércia em relação ao eixo y’ do
centroide, obtemos:
∫
∫ *
+|
(
)
Figura 3.9- Determinação do momento de inércia para uma seção retangular
Fonte: Autoria própria (2012).
39
Como a seção em forma de T não é simétrica em relação ao eixo vertical, o seu
momento de inércia em relação ao eixo x não pode ser determinado apenas com o somatório
dos momentos de inércias em relação ao centroide de cada uma das figuras. Enquanto que
para momento de inércia em relação ao eixo y seja possível, por a seção ser simétrica no eixo
horizontal.
O momento de inércia em relação ao eixo x é determinado através do teorema dos
eixos paralelos, tornando-se o seu conhecimento crucial para sua solução.
Aplicando o teorema dos eixos paralelos usando as Equações 3.28 e 3.29, para a
seção em forma de T da Figura 3.10, temos,
∑ [
] [
]
(3.32)
∑
(3.33)
Observa-se que no momento de inércia em relação ao eixo y é definida apenas pela
soma dos momentos de inércia de cada figura em relação ao seu eixo, pois não existe
distância entre o eixo do centroide C e o da seção de área, ou seja, o centroide está
localizado no ponto de simetria em relação ao eixo x.
Figura 3.10- Determinação do momento de inércia para uma seção em forma de T
Fonte: Autoria própria (2012).
3.4.2 Estratégia de programação
No Quadro 3.4 segue as estratégias e as formulações usadas nas programações do
momento de inércia de cada seção disponível no programa, utilizando quando necessário o
teorema dos eixos paralelos.
40
Quadro 3.4- Formulação e estratégia de programação para o momento de inércia
Seção Fórmulas Estratégia de
programação
Retangular
Aplicação
direta
Em forma
de Caixa
Decomposição
da figura
Circular
Aplicação
direta
Em forma
de Anel
Decomposição
da figura
Triangular
Aplicação
direta
Em forma
de I
Decomposição
da figura
Em forma
de T
[
] [
]
Decomposição
da figura
Em forma
de C
[
] [
]
Decomposição
da figura
Em forma
de L
[
] [
] [
]
[
]
Decomposição
da figura
Fonte: Autoria própria (2012).
3.5 PRODUTO DE INÉRCIA
O produto de inércia de um elemento diferencial dA que está localizado nas
coordenadas x e y, é definida por d = xy dA. Logo para a área inteira A, o produto de
inércia é dada pela integral:
41
= ∫
(3.34)
O produto de inércia tem a unidade de comprimento elevado à quarta potência assim
como o momento de inércia, porém o seu valor pode ser negativo, positivo ou zero. Quando a
área em consideração tiver em um eixo de simetria, o produto de inércia de área em relação a
esse eixo será zero, esse evento é exemplificado na Figura 3.11a, cuja área é simétrica em
relação ao eixo x, observa-se que o centroide está em algum ponto ao longo desse eixo de
simetria. Nessa mesma figura verifica-se ainda que existem dois elementos de áreas que são
imagem refletidas um do outro em relação ao eixo x. Sabendo que os produtos de inércia para
esses elementos são, respectivamente, xydA e –xydA, como os sinais são diferentes , eles irão
se anular mutuamente, de modo que seu resultado final seja zero. Além disso, o sinal do
produto de inércia depende do quadrante onde a área está localizada, como mostra a Figura
3.11b.
Figura 3.11- Áreas de simetrias
Fonte: Autoria própria (2012).
Teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia
Analisando a área mostrada na Figura 3.8, onde x’ e y’ são os eixos do centroide x e
y são os eixo correspondentes paralelos posicionados arbitrariamente. Sendo e as
coordenadas em relação ao eixo x e y, respectivamente. O produto de inércia relacionada ao
eixo xy podem ser dado como:
∫
∫ ( )
(3.35)
Realizando a multiplicação dos termos, temos:
= ∫ ∫ ∫
(3.36)
O primeiro termo da expressão representa Ix’y’, enquanto o segundo termo é igual a
zero, pois x’ e y’ são eixos do centroide. Logo podemos concluir que,
= + (3.37)
42
3.5.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma
seção em forma de L
A metodologia empregada para programação de uma área de uma seção em forma de
L, assim como as demais superfícies é baseada pela formulação de sua própria seção usando
variáveis com dimensões que serão definidas pelo usuário do programa. A Figura 3.12 mostra
uma exemplificação para a formulação para a seção em forma de L, observando que para sua
determinação exige a aplicação do teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia, para
isso aplica-se a Equação 3.37 sabendo que a superfície é formada por uma área composta por
dois retângulos. Assim temos,
∑ ∑
(3.38)
Por simetria,
, como demonstrado a seguir,
∫ ∫ (∫
)
∫ (
|
)
∫ ∫ (∫
)
∫ (
|
)
Logo o produto de inércia para essa seção será,
(3.39)
Figura 3.12- Determinação do produto de inércia para uma seção em forma de L
Fonte: Autoria própria (2012).
3.5.2 Estratégia de programação
Como a maioria das seções fornecidas pelo programa tem seus eixos centroidais
localizados nos pontos de simetria da figura os produtos de inércia serão zero como mostra o
43
Quadro 3.5. Nesses casos foram aplicadas na programação diretamente o seu valor. Na seção
em forma de C o valor aplicado foi zero, pois o seu centroide está localizado no eixo x’ em
uma das figuras e as outras duas serão anulados por está localizado a uma mesma distância
dos quadrantes opostos.
Quadro 3.5- Formulação e estratégia de programação para o produto de inércia
Seção Fórmulas Estratégia de
programação
Retangular
Aplicação
direta
Em forma
de Caixa
Aplicação
direta
Circular
Aplicação
direta
Em forma
de Anel
Aplicação
direta
Triangular
Aplicação
direta
Em forma
de I
Aplicação
direta
Em forma
de T
Aplicação
direta
Em forma
de C
Aplicação
direta
Em forma
de L
Decomposição
da figura
Fonte: Autoria própria (2012).
3.6 RAIO DE GIRAÇÃO
Uma determinada área tem o momento de inércia em relação ao eixo x e y (Figura
3.13a). Concentrado esta área em duas faixas estreitas, uma paralela ao eixo x, com o mesmo
momento de inércia (Figura 3.13b) e outra paralela a y, com o mesmo momento de inércia
44
(Figura 3.13c). A distância dessas faixas aos seus respectivos eixos x e y são denominados
raios de giração. Definida pela relação,
√
(3.40)
√
(3.41)
Figura 3.13- Definição de raio de giração
Fonte: Autoria própria (2012).
3.6.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma
seção circular
A metodologia adotada para uma área de seção circular parte da formulação de uma
equação para um circulo de diâmetro qualquer com raio r ilustrado na Figura 3.14, nela
mostra uma faixa diferencial com espessura dy e base 2x, sendo assim sua área é dada por dA
= 2xdy para raio de giração em relação ao eixo x.
Figura 3.14- Determinação do raio de giração para uma seção circular
Fonte: Autoria própria (2012).
Aplicando a definição de raio de giração podemos definir que,
∫
∫
∫ ( √ )
45
√
(3.42)
Análogo ao eixo x, o raio de giração será igual .
(3.43)
3.6.2 Estratégia de programação
A estratégia de programação para o raio de giração é feita através de aplicação
diretas em caso de superfícies simples, como é a situação do retângulo, circulo e triangulo, as
demais foram utilizadas as decomposições das figuras como mostra o Quadro 3.6.
Quadro 3.6- Formulação e estratégia de programação para o raio de giração
Seção Fórmulas Estratégia de
programação
Retangular
√
√ Aplicação direta
Em forma de
Caixa √
√
Decomposição
da figura
Circular
Aplicação direta
Em forma de
Anel √
√
Decomposição
da figura
Triangular
√ √
Aplicação direta
Em forma de
I √
√
Decomposição
da figura
Em forma de
T √
√
Decomposição
da figura
Em forma de
C √
√
Decomposição
da figura
Em forma de
L √
√
Decomposição
da figura
Fonte: Autoria própria (2012).
46
3.7 FLUXOGRAMA
Na Figura 3.15, apresenta o fluxograma do software desenvolvido no trabalho, tem
como finalidade representar os processos e fluxo de operações do programa, melhorando a
visualização dos processos e verificando como os vários passos deles estão relacionados entre
si.
Figura 3.15- Fluxograma
Fonte: Autoria própria (2012).
47
4 APLICAÇÃO NUMÉRICA
Neste capítulo apresenta-se a aplicação do código desenvolvido e sua validação por
meio de exemplo de seções para cada um dos tipos implementados no programa.
4.1 EXEMPLO 01- SEÇÃO RETANGULAR
Cálculo das propriedades geométricas para um retângulo com 0,20 m de base e 0,25
m de altura. Para a averiguação dos resultados obtidos pelo programa, vamos verificar a área e
seus centroides a partir de cada uma de suas fórmulas, e depois essas e as demais propriedades
geométricas serão comparadas com a de outros programas que são neste caso o FTOOL (Two
- Dimensional Frame Analysis Tool) e o AutoCAD.
As soluções exatas para a área e o centroide pelas suas respectivas equações são:
O FTOOL por sua vez também habilita a observação destes resultados conforme se
apresenta na Figura 4.1. Observa porém que as únicas propriedades geométricas fornecidas
pelo FTOOL são a área, o centroide em relação ao eixo y e o momento de inércia em relação
ao eixo x que são os dados necessários para os estudos de análises de estruturas como vigas,
treliças e pórticos.
Figura 4.1- Solução do FTOOL para uma seção retangular
Fonte: Autoria própria (2012).
48
Por sua vez o AutoCAD, também permite a obtenção dos referidos dados além de
outras grandezas conforme se observa na Figura 4.2. Notando que as soluções pra o
AutoCAD são todos em relação ao eixo de origem xy, diferente do programa desenvolvido
nesse trabalho e ao do FTOOL que o centroide e o momento estático são em relação ao eixo
de origem e o momento de inércia, produto de inércia e raio de giração em relação ao eixo do
centroide x’y’.
Figura 4.2- Solução do AutoCAD para uma seção retangular
Fonte: Autoria própria (2012).
A Solução do programa desenvolvido neste trabalho para a seção retangular pode ser
observada na Figura 4.3.
Figura 4.3- Solução do programa para uma seção retangular
Fonte: Autoria própria (2012).
49
Comparação dos resultados obtidos:
Na Tabela 4.1 mostra a comparação dos resultados obtidos pelo programa
desenvolvido, com os resultados calculados manualmente e os fornecidos pelo AutoCAD,
para uma melhor comparação foram usados os valores do AutoCAD dos centroides e
momento estático em relação ao eixo xy e o momento de inércia, produto de inércia e raio de
giração em relação ao eixo do centroide. Ficando assim de acordo com os resultados do
programa desenvolvido e dos calculados manualmente. Observa-se ainda que nas tabelas não
há os resultados do FTOOL, pelo motivo deste fornecer apenas três das dez propriedades
geométricas fornecidas pelos demais programas, não sendo utilizadas para comparação.
Tabela 4.1- Comparação dos resultados da seção retangular
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
Calculado
Manualmente
Valores do
AutoCAD
(m) 0,0500 0,0500 0,0500
(m) 0,1000 0,1000 0,1000
(m) 0,1250 0,1250 0,1250
(m) 6,2500 6,2500 6,2500
(m) 5,0000 5,0000 5,0000
(m) 2,6042 2,6042 3,0000
(m) 1,6667 1,6667 2,0000
(m) 0,0000 0,0000 0,0000
(m) 0,0722 0,0722 0,0722
(m) 0,0577 0,0577 0,0577
Fonte: Autoria própria (2012).
Observação: Percebe-se que os resultados do AutoCAD para o momento de inércia
em relação aos eixos x e y não foram tão precisos quanto os resultados calculados
manualmente e os obtidos pelo programa desenvolvido neste trabalho, tendo em vista, eles
serem os únicos a possuírem valores diferentes às demais fontes de comparações para as
mesmas propriedades geométricas, sendo apenas uma aproximação deles.
4.2 EXEMPLO 02- SEÇÃO EM FORMA DE CAIXA
Para uma seção transversal em forma de caixa com espessura de 3 cm, com base de
21 cm e 25 cm de altura, como mostra a Figura 4.4, vamos determinar as propriedades
geométricas para essa seção.
50
Figura 4.4- Exemplo para uma seção em forma de caixa
Fonte: Autoria própria (2012).
As soluções exatas para a área e o centroide calculadas a partir de suas respectivas
equações são:
A solução do FTOOL para estes mesmos dados é observada na Figura 4.5.
Figura 4.5- Solução do FTOOL para uma seção em forma de caixa
Fonte: Autoria própria (2012).
A solução do AutoCAD, ainda para o exemplo 02, uma seção em forma de caixa, é
ilustrada na Figura 4.6.
51
Figura 4.6- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de caixa
Fonte: Autoria própria (2012).
Solução do programa desenvolvido neste trabalho para este mesmo exemplo é
apresentada na Figura 4.7.
Figura 4.7- Solução do Programa para uma seção em forma de caixa
Fonte: Autoria própria (2012).
Comparação dos resultados obtidos:
A Tabela 4.2 mostra a comparação dos resultados da seção em forma de caixa para
programa desenvolvido, os calculados manualmente e os do AutoCAD.
52
Tabela 4.2- Comparação dos resultados da seção em forma de caixa
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
Calculado
Manualmente
Valores do
AutoCAD
(cm) 240,0000 240,0000 240,0000
(cm) 10,5000 10,5000 10,5000
(cm) 12,5000 12,5000 12,5000
(cm) 3.000,0000 3.000,0000 3.000,0000
(cm) 2.520,0000 2.520,0000 2.520,0000
(cm) 18.770,0000 18.770,0000 18.770,0000
(cm) 13.950,0000 13.950,0000 13.950,0000
(cm) 0,0000 0,0000 0,0000
(cm) 8,8435 8,8435 8,8435
(cm) 7,6240 7,6240 7,6240
Fonte: Autoria própria (2012).
4.3 EXEMPLO 03- SEÇÃO CIRCULAR
Determinar as propriedades geometricas para uma seção transversal circular com 60
mm de diâmetro.
As soluções exatas para a área e o centroide pelas suas respectivas equações são
dadas por,
A solução do FTOOL para este exemplo é mostrada na Figura 4.8.
Figura 4.8- Solução do FTOOL para uma seção circular
Fonte: Autoria própria (2012).
53
Os resultados do programa AutoCAD para este exemplo é apresentado na Figura 4.9.
Figura 4.9- Solução do AutoCAD para uma seção circular
Fonte: Autoria própria (2012).
Solução do programa desenvolvido neste trabalho para a seção circular é ilustrada na
Figura 4.10.
Figura 4.10- Solução do programa para uma seção circular
Fonte: Autoria própria (2012).
Comparação dos resultados obtidos:
A comparação dos resultados do programa desenvolvido, dos calculados
manualmente e do AutoCAD são apresentados na Tabela 4.3.
54
Tabela 4.3- Comparação dos resultados da seção circular
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
Calculado
Manualmente
Valores do
AutoCAD
(mm) 2.827,4334 2.827,4334 2.827,4334
(mm) 30,0000 30,0000 30,0000
(mm) 30,0000 30,0000 30,0000
(mm) 84.823,0016 84.823,0016 84.823,0016
(mm) 84.823,0016 84.823,0016 84.823,0016
(mm) 636.172,5124 636.172,5124 636.172,5124
(mm) 636.172,5124 636.172,5124 636.172,5124
(mm) 0,0000 0,0000 0,0000
(mm) 15,0000 15,0000 15,0000
(mm) 15,0000 15,0000 15,0000
Fonte: Autoria própria (2012).
4.4 EXEMPLO 04- SEÇÃO EM FORMA DE ANEL
Determinar as propriedades geométricas para uma seção em forma de anel que tem
15 cm de diâmetro e 0,5 cm de espessura.
As soluções exatas para a área e o centroide pelas suas respectivas equações são:
A Figura 4.11 apresenta a soluções do FTOOL para a seção em forma de anel pelos
dados fornecidos neste exemplo.
Figura 4.11- Solução do FTOOL para uma seção em forma de anel
Fonte: Autoria própria (2012).
55
A solução do AutoCAD para a seção em forma de anel deste é observada na Figura
4.12.
Figura 4.12- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de anel
Fonte: Autoria própria (2012).
A Figura 4.13 mostra a solução do programa desenvolvido neste trabalho para a
seção em forma de anel deste exemplo.
Figura 4.13- Solução do programa para uma seção em forma de anel
Fonte: Autoria própria (2012).
Comparação dos resultados obtidos:
A comparação dos resultados da seção em forma de anel para este exemplo é
apresentado na Tabela 4.4.
56
Tabela 4.4- Comparação dos resultados da seção em forma de anel
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
Calculado
Manualmente
Valores do
AutoCAD
(cm) 22,7765 22,7765 22,7765
(cm) 7,5000 7,5000 7,5000
(cm) 7,5000 7,5000 7,5000
(cm) 170,8241 170,8241 170,8241
(cm) 170,8241 170,8241 170,8241
(cm) 599,3079 599,3079 599,3079
(cm) 599,3079 599,3079 599,3079
(cm) 0,0000 0,0000 0,0000
(cm) 5,1296 5,1296 5,1296
(cm) 5,1296 5,1296 5,1296
Fonte: Autoria própria (2012).
4.5 EXEMPLO 05- SEÇÃO TRIANGULAR
Definir as propriedades geométricas para uma seção triangular oblíquo com as
dimensões mostradas na Figura 4.14.
Figura 4.14- Exemplo de uma seção triangular
Fonte: Autoria própria (2012).
Os resultados obtidos da área e do centroide pelas suas respectivas equações são:
57
No programa FTOOL não fornece a opção para determinar as propriedades
geométricas para uma seção triangular não tendo solução para esse exemplo.
Soluções do AutoCAD para a seção triangular existe e é apresentada na Figura 4.15.
Figura 4.15- Solução do AutoCAD para uma seção triangular
Fonte: Autoria própria (2012).
Solução do programa desenvolvido neste trabalho para a seção triangular pode ser
observada na Figura 4.16.
Figura 4.16- Solução do programa para uma seção triangular
Fonte: Autoria própria (2012).
Comparação dos resultados obtidos:
A Tabela 4.5 apresenta a comparação dos resultados entre os programas e os valores
obtidos diretamente pelas equações.
58
Tabela 4.5- Comparação dos resultados da seção triangular
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
Calculado
Manualmente
Valores do
AutoCAD
(mm) 25.000,0000 25.000,0000 25.000,0000
(mm) 108,3333 108,3333 108,3333
(mm) 83,3333 83,3333 83,3333
(mm) 20,8333 20,8333 20,8333
(mm) 27,0833 27,0833 27,0833
(mm) 86,8056 86,8056 86,8056
(mm) 42,5347 42,5347 42,5347
(mm) 86,8056 86,8056 86,8056
(mm) 58,9256 58,9256 58,9256
(mm) 41,2479 41,2479 41,2479
Fonte: Autoria própria (2012).
4.6 EXEMPLO 06- SEÇÃO EM FORMA DE I
Calcular as propriedades geométricas para uma seção transversal de forma de I com
as dimensões apresentada na Figura 4.17.
Figura 4.17- Exemplo de uma seção em forma de I
Fonte: Autoria própria (2012).
As soluções para a área e o centroide, determinadas pelas suas respectivas equações
são:
A solução para o FTOOL com base neste é mostrada na Figura 4.18.
59
Figura 4.18- Solução do FTOOL para uma seção em forma de I
Fonte: Autoria própria (2012).
Os resultados do AutoCAD para a seção em forma de I é apresentada na Figura 4.19.
Figura 4.19- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de I
Fonte: Autoria própria (2012).
O resultado do programa desenvolvido neste trabalho para a seção em forma de I está
ilustrado na Figura 4.20.
60
Figura 4.20- Solução do programa para uma seção em forma de I
Fonte: Autoria própria (2012).
Comparação dos resultados obtidos:
A Tabela 4.6 mostra a comparação dos resultados da seção em forma de I.
Tabela 4.6- Comparação dos resultados da seção em forma de I
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
Calculado
Manualmente
Valores do
AutoCAD
(in) 11,0000 11,0000 11,0000
(in) 4,0000 4,0000 4,0000
(in) 3,5000 3,5000 3,5000
(in) 38,5000 38,5000 38,5000
(in) 44,0000 44,0000 44,0000
(in) 93,6667 93,6667 93,6667
(in) 42,7292 42,7292 42,7292
(in) 0,0000 0,0000 0,0000
(in) 2,9181 2,9181 2,9181
(in) 1,9709 1,9709 1,9709
Fonte: Autoria própria (2012).
4.7 EXEMPLO 07- SEÇÃO EM FORMA DE T
Resolver as propriedades geométricas para uma seção transversal em forma de T
com as dimensões especificadas na Figura 4.21.
61
Figura 4.21- Exemplo para uma seção em forma de T
Fonte: Autoria própria (2012).
As soluções calculadas da área e o centroide pelas suas respectivas equações são
dados por,
A Figura 4.22 ilustra a solução do FTOOL para uma seção em forma de T de acordo
com os dados apresentados neste exemplo.
Figura 4.22- Solução do FTOOL para uma seção em forma de T
Fonte: Autoria própria (2012).
A solução do AutoCAD para uma seção em forma de T é indicada na Figura 4.23.
62
Figura 4.23- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de T
Fonte: Autoria própria (2012).
A solução do programa desenvolvido neste trabalho pode ser observada na Figura
4.24.
Figura 4.24- Solução do programa para uma seção em forma de T
Fonte: Autoria própria (2012).
Comparação dos resultados obtidos:
A Tabela 4.7 aponta a comparação dos resultados para uma seção de forma de T.
63
Tabela 4.7- Comparação dos resultados da seção em forma de T
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
Calculado
Manualmente
Valores do
AutoCAD
(m) 0,0120 0,0120 0,0120
(m) 0,1000 0,1000 0,1000
(m) 0,1575 0,1575 0,1575
(m) 0,0019 0,0019 0,0019
(m) 0,0012 0,0012 0,0012
(m) 60,1250 60,1250 0,0001
(m) 20,4500 20,4500 0,0000
(m) 0,0000 0,0000 0,0000
(m) 0,0708 0,0708 0,0708
(m) 0,0413 0,0413 0,0413
Fonte: Autoria própria (2012).
4.8 EXEMPLO 08- SEÇÃO EM FORMA DE L
Determinar as propriedades geométricas para uma seção transversal em forma de L
com 4 in de base, 5 in de altura e 1 in de espessura, como mostra a Figura 4.25.
Figura 4.25- Exemplo para uma seção em forma de L
Fonte: Autoria própria (2012).
As soluções exatas para a área e o centroide pelas suas respectivas equações são:
64
A solução do FTOOL para os dados apresentados neste exemplo é mostrada na
Figura 4.26.
Figura 4.26- Solução do FTOOL para uma seção em forma de L
Fonte: Autoria própria (2012).
A Solução do AutoCAD para uma seção em forma de L pode ser observada na
Figura 4.27.
Figura 4.27- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de L
Fonte: Autoria própria (2012).
A Figura 4.28 apresenta a solução do programa desenvolvido neste trabalho para a
seção em forma de L.
65
Figura 4.28- Solução do programa para uma seção em forma de L
Fonte: Autoria própria (2012).
Comparação dos resultados obtidos:
A Tabela 4.8 apresenta a comparação dos resultados entre os programas (o
desenvolvido neste trabalho e o AutoCAD) e os valores obtidos diretamente pelas equações.
Tabela 4.8- Comparação dos resultados da seção em forma de L
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
Calculado
Manualmente
Valores do
AutoCAD
(in) 8,0000 8,0000 8,0000
(in) 1,2500 1,2500 1,2500
(in) 1,7500 1,7500 1,7500
(in) 14,0000 14,0000 14,0000
(in) 10,0000 10,0000 10,0000
(in) 18,1667 18,1667 18,1667
(in) 10,1667 10,1667 10,1667
(in) -7,5000 -7,5000 -7,5000
(in) 1,5069 1,5069 1,5069
(in) 1,1273 1,1273 1,1273
Fonte: Autoria própria (2012).
66
4.9 EXEMPLO 09- SEÇÃO EM FORMA DE C
Desenvolver as propriedades geométricas para uma seção transversal em forma de C
com os dados da Figura 4.29.
Figura 4.29- Exemplo para uma seção em forma de C
Fonte: Autoria própria (2012).
Os resultados obtidos para a área e o centroide pelas suas respectivas equações são:
A solução do FTOOL para a seção em forma de C está apresentada na Figura 4.30.
Figura 4.30- Solução do FTOOL para uma seção em forma de C
Fonte: Autoria própria (2012).
Os resultados do AutoCAD para este exemplo de seção em forma de C está ilustrada
na Figura 4.31.
67
Figura 4.31- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de C
Fonte: Autoria própria (2012).
A Figura 4.32mostra a solução do programa desenvolvido neste trabalho para este
exemplo.
Figura 4.32- Solução do programa para uma seção em forma de C
Fonte: Autoria própria (2012).
Comparação dos resultados obtidos:
A comparação dos resultados entre os dois programas (o desenvolvido neste trabalho
e o AutoCAD) e os valores obtidos diretamente pelas equações estão exposta na Tabela 4.9.
68
Tabela 4.9- Comparação dos resultados da seção em forma de C
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
Calculado
Manualmente
Valores do
AutoCAD
(ft) 0,2600 0,2600 0,2600
(ft) 0,2375 0,2375 0,2375
(ft) 0,6500 0,6500 0,6500
(ft) 0,1690 0,1690 0,1690
(ft) 0,0618 0,0618 0,0618
(ft) 0,0652 0,0652 0,0652
(ft) 0,0138 0,0138 0,0138
(ft) 0,0000 0,0000 0,0000
(ft) 0,5008 0,5008 0,5008
(ft) 0,2306 0,2306 0,2306
Fonte: Autoria própria (2012).
69
5 CONCLUSÕES
O desenvolvimento de software que vem se alastrando nessas últimas décadas, está
vindo para contribuir nas resoluções de diversos problemas, não só os de engenharia, mais em
qualquer estudo de problemáticas que envolvam soluções complexas, a engenharia estrutural
é uma delas. Um dos principais intuitos de criações de software é justamente tornar fácil,
prático e acessível o que antes era complicado, demorado e confuso.
O objetivo desse trabalho foi, justamente, aprofundar os conhecimentos sobre o tema e
desenvolver um programa específico para os cálculos deste, em vista que quando estudados as
propriedades geométricas se viu que existe uma carência de programa e de pesquisas sobre o
mesmo, daí a necessidade do desenvolvimento deste trabalho que além da informatização para
os cálculos das PG‟s, houve um aprofundamento em sua revisão bibliográfica.
Em meio às vantagens que o programa desenvolvido neste trabalho oferece em
relação aos demais programas, há possibilidade de resolver um triângulo qualquer e fornecer
todas suas propriedades geométricas, é uma delas em relação ao FTOOL que não
disponibiliza uma seção pré-definida para um triângulo e que, além disso, suas únicas
propriedades fornecidas para as demais seções existentes no programa são a área, o centroide
em relação ao eixo y e o momento de inércia em relação ao eixo x por se tratar de um
programa específico apenas para cálculos de análises estruturais.
Em relação ao AutoCAD o programa desenvolvido neste trabalho mostra uma
vantagem no que diz respeito ao tempo e praticidade, já que no programa não há necessidade
de desenhar de forma precisa e nem de adaptar o eixo de origem para os cálculos de algumas
propriedades geométricas em relação ao centroide.
Outra vantagem é a precisão dos resultados. Tanto em relação ao AutoCAD, quanto
ao FTOOL, o programa desenvolvido mostrou uma superioridade no que diz respeito à
precisão dos valores, tendo em vista que eles são similares ao dos valores dos cálculos
manuais em praticamente todos os exemplos estudados, ao contrário dos demais.
Atendendo as expectativas, o trabalho mostrou satisfatório ao que era esperado, tanto
no ponto de vista da parte de revisão bibliográfica das propriedades geométricas, como na
criação do software, que o mesmo se mostrou de grande eficiência na determinação das PG‟s
e com uma boa interface gráfica, possibilitando ao usuário uma fácil compreensão. O
resultado final do programa para este trabalho apresenta-se na versão atual na forma de um
executável criado na interface gráfica do Matlab que tem disponível para o usuário nove tipos
de seções de área pré-definidas, baseadas nas áreas transversais das estruturas mais utilizadas
70
na engenharia. O programa apresenta ainda opções de unidades no qual o usuário deseja
trabalhar.
As propriedades geométricas são utilizadas em quase todos os cálculos estruturais,
portanto, devida sua importância é fundamental a contínua busca por pesquisa nesse ramo
para aperfeiçoar cada vez mais as qualidades dos cálculos estruturais e reduzir os possíveis
problemas e erros que possam existir.
71
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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